椭圆面积公式的推导
韩贞焱 （贵州省遵义四中 563000）
椭圆面积公式S=πab （其中a 、b 分别是椭圆的长半轴、短半轴的长）.在中学数学教材中，仅在高中《平面解析几何》的习题中作为已知公式给出过，直到高等数学的定积分学习时才给出定积分推导.现用初等数学方法作两种推导，供读者参考.
定理1. 若夹在两条平行直线间的两个平面图形，被平行于两条平行直线的任一直线所截，如果截得的两条线段长的比例总相等，那么这两个平面图形的面积比等于截得线段长的比 .
注：此定理相当于祖暅原理的推论，故证明从略.
方法一：设椭圆C 的方程为122
22=+b
y a x （a>b>0）,辅助圆C '的方程为x 2+y 2=b 2,
且一直线L ：y = m （b m b ≤≤-）与两曲线相交,交点分别为M （x 1 , m ）、 N （x 2 , m ）及P （x 3 , m ）、Q(x 4, m)，如图1.
由?????=+=1222
2b y a x m
y 解得 x 2
1、=22m b b a -±， 此时，21x x - =
22
2m b b
a -； 由???=+=2
22b
y x m y 解得x 4,3=±22m b -, （图1） 此时， 43x x -=222m b -.
01、当22m b =,即b=|m|时，交点为（0，b ）或（0，-b ）；
02、当22m b ≠，即b ≠|m|时，有
b
a
x x x x =
--4
321 . 显然01是一种特殊情况，即直线L 与两曲线C 、C ' 交于一点，此时与求椭圆C 的面积无影响，故可忽略；在情况02下，即椭圆C 的弦长|MN|与圆C '的弦长|PQ|比恒为定值
b a 时，则当设椭圆C 与圆C '的面积分别为S 、S '时，由定理1得'S S =b
a ，又圆C '的面积S '=π
b 2，故有 S =
b a S '=b
a
πb 2=πab . 所以椭圆C 的面积公式为S =πab （其中a 、b 分别是椭圆的长半轴、短半轴的长）.
注：此法适应于类似夹在两条平行直线间的平面图形，若被平行于两平行直线
的任一条直线所截得的线段长成相等比例，当已知线段长的比值时，则可利用定理1由一已知平面图形面积求另一平面图形面积.
定理2.若一平面图形M '是另一凸平面图形M 的射影，且凸平面图形M 与射
影平面图形M '所成角为α, 则射影平面图形M '的面积与凸平面图形M 的面积比为cos α.
证明：设平面图形M '是平面图形M 的射影 .10当平面图形M 是凸曲边行时，如图2，将平面图形M 的边缘进行n+1等分， 设分点分别为A 1、A 2、A 3、…、A i 、A 1+i 、
…、A n 、A 1+n ，它们分别在平
面图形M '上的射影为A '
1、A '2
…、A 'i 、A '1+i 、…、A 'n 、A '1+n ,
则分别连结点A 1、A 2、A 3、… 、A i 、A 1+i 、…、A n 、A 1+n ，然 后再将点A 1分别与点 A 2、A 3、
…、A i 、A 1+i 、…、A n 、A 1+n (图2)
连结得△A 1A 2A 3、△A 1A 3A 4、…△A 1A i A 1+i 、…、△A 1A n A 1+n .显然它们在平
面图形M ' 上的射影分别是对应的△A '1A '2A '3、△A '1A '
3A '4、…、△A '1A 'i A '1+i 、…、△A '1A 'n A '1+n 由于平面M 与平面M '所成角为α，则△A 1A 2A 3、△A 1A 3A 4、…、△A 1A i A 1+i 、…、△A 1A n A 1+n 所在平面与△A '1A '2A '3、△A '1A '3A '4、…、△A '1A 'i A '1+i 、…、△A '1A 'n A '1+n 所在平面所成角均为α，现分别记△A 1A 2A 3、△A 1A 3A 4、…、△A 1A i A 1+i 、…、△A 1A n A 1+n 及△A '1A '2A '3、△A '1A '3A '4、…、△A '1A 'i A '1+i 、…、△A '1A 'n A '1+n 的面积为S 1 、S 2、…、S i 、…、S n 及 S '1、S '2、…、S 'i 、…、S 'n . 则有S '1= S 1con α 、S '2 = S 2 con α、…、 S 'i = S i con α、…、S 'n =
S n cos α .
当分点无限增加时, 则S 1 、S 2、…、S i 、…、S n 及S '1、S '2、…、S 'i 、…、
S 'n 的和就分别无限地接近凸曲边形M 的面积和射影平面图形M '的面积， 故有
S '=∞
→n lim ( S '1 +S '2 +…+S 'i +…+S 'n )
=∞
→n lim ( S 1cos α + S 2 cos α+…S i +cos α+…+S n cos α)
=∞
→n lim ( S 1 +S 2+…+S i +…+S n ) cos α
=S cos α.
20当平面图形M 是凸多边形时，则在凸多边形M 内取适当的点连结出不重叠的
三角形，仿上易证，故略 .
方法二：我们知道，在一
圆柱上作一斜截面可得一椭圆面， 如图3. 设圆柱oo 1的底面直径 A B '=2 b, 斜截面椭圆的长轴长 A B =2a, 椭圆面M '与圆柱底面 M 所成角为α，将椭圆周n+1等
分，设其分点分别为P '
1、P '
2、…
、P 'i 、P '1+i 、…、P 'n 、P '1+n , 在底 （图3）
面圆周上的 射影分别为P 1、P 2、…、P i 、P 1+i 、…、P n 、P 1+n ,分别连结点A 、P '1、
P '2；A 、 P '2、P '3；、…；A 、P 'i 、P '1+i ；…;A 、 P 'n 、P '1+n 及点A 、P 1、P 2；A 、
P 2、P 3；…；A 、P i 、P 1+i ；…; A 、P n 、 P 1+n 。设椭圆面的面积及圆柱底面面积分别为 S '、S ，因为圆柱底面面积S '=πb 2.且b =a cos α,则仿定理2可证 S=
α
cos '
S =π b 2b a =πab . 故椭圆的面积公式为 S=πab . （其中a 、b 分别是椭圆的
长半轴、短半轴的长）.
注：此法还适应于可展为平面图形的曲面图形与其射影平面图形间，当已知一
曲面图形形成的侧面母线与其射影平面图形所成定角的大小时，则可利用定理2由一已知图形面积求另一图形面积（如圆锥、圆台的侧面面积亦可由底面面积求得）.
三角形面积公式的五种推导方法 三角形面积的计算》一节，教材上是这样安排的：一、明确目标；二、用数格的方式不能确定三角形的面积；三、能否转化成以前学过的图形进行计算？四、拿两个全等的直角三角形可以拼成以前学习过的学习过的长方形和平行四边形，直角三角形的面积是长方形和平行四边形面积的一半；五、验证锐角三角形和钝角三角形是否也能拼成平行四边形；六、三次试验确定所有类型的三角形能转化成平行四边形，两者的关系是“等底等高，面积一半”；七、总结三角形的面积公式。 我们在多次的课堂教学实践和课下辅导过程中，发现上面的几个“环节”有些地方不太符合学生的认知特点。具体分析一下： 第一步没什么问题，每个教师都有自己的导入新课的方式。 第二步也没有什么：学生在学习长方形和正方形的面积时用的是“数格”的方式。学习平行四边形时用的是切割再组合的方式，就是所谓的“转化”。在大部分学生对面积这个概念的理解还不十分透彻的情况下，面对三角形，学生们的首选方法就是“数格”。因为这是学生学习有关面积计算的第一经验，第一印象，第一个技巧。也是最简单，最直接（当然也是最麻烦）的方法。 关于第三步：教材上只有一句话：能不能把三角形转化成已经学过的图形再计算面积。这是化未知为已知的思维方式，我们常给初中学生提起这些认知策略，但它的基础却在小学阶段和学生的日常生活经验中。教材把这个重要的数学思想一笔带过，把挖掘其内涵，为学生建立辩证观念的重任留给了老师。但很多老师并不特别重视这句话，只是把它当作一个过渡句，当成进入下面环节的引言。 第四步。转化是一定的。但是，转化成什么？怎么转化？把三角形转化成“能计算的图形”大致有五种情况。教材推荐的是第五种（如图）。教材上的引导方式只有教师的主导性，而忽视了学生的主体位置。 前面提到，学生计算三角形面积的首选方法是数格，那么次选方法是什么？他们的第二方案应该还是在自己的经验中寻找帮助。这些经验当中，与计算面积有关的直接、简单、容易操作的内容就是在前面的几节课刚学过的“切割平行四边形成长方形”的方法。他们对“切割”这个动作记忆犹新。因为：一、这个技巧刚刚学过；二、切割是个动作，但这个动作能把不规则变规则，所以印象深刻；三、这个简单的动作能完成面积计算的任务。所以他们的下一步动作会是模仿上一节课的做法，想办法切割三角形的某一角移动填补另一角，变三角形成长方形或平行四边形。按这个说法，学生在寻找计算三角形面积的方法时，他首先会在他手中所拿的三角形卡片上琢磨，对这个三角形进行加工处理。在不得要领，或是找到了办法，问题解决了，但心有余味，继续探索下去时才会考虑到利用其他内容扩展思考空间，再找一个一样的三角形牵线搭桥，把思路引到问题的外面。
《圆的面积》教学设计 正定回民小学吴彦霞 教材分析： 本课是学生学习了其它平面图形的面积后教学的，是小学平面几何的最后阶段，教材通过直观的组合图形面积的计算，让学生操作、观察、比较推导出圆的面积计算公式来解决生活中的实际问题。 学情分析： 学生已经掌握长方形、正方形、三角形、梯形的面积计算公式，并有了将一个图形转化成另一个面积相等的图形的转化思想，在此基础上将圆转化成长方形学生是乐于接受的。 教学目标： 知识与技能: 让学生经历操作、观察、讨论、归纳等数学活动的过程，探索并掌握圆的面积计算公式，能正确计算圆的面积，并能应用公式解决相关的简单实际问题，构建数学模型。 过程与方法： 让学生进一步体会“转化”的数学思想方法，感情极限思想的价值，培养运用已有知识解决新问题的能力，增强空间观念，发展数学思维。 情感态度价值观： 让学生进一步体验数学与生活的联系，感受用数学的方式解决实际问题的过程，提高学习数学的兴趣。 教学重点：让学生经历圆面积公式的推导过程，理解和掌握圆面积的计算
公式。 教学难点：“化圆为方”的转化方法和极限思想的感受。 教学准备：平均分成16份的学具、课件。 教学策略： 1、本课是在学生掌握了面积的含义及长方形、正方形等平面图形面积的计算方法，认识了圆，会计算圆的周长的基础上进行教学的，教学时要注意遵循学生的认识规律，重视学生获取知识的思维过程，重视从学生的生活经验和已有的知识出发。 2、教学本课时，重点引导学生参与知识形成的过程，从而培养学生的创新意识、实践能力，并发展学生的空间观念提出将圆割拼成已学过的图形，组织学生动手操作，让学生主动。 教学过程： 一、复习导入，激发探索欲望 1.复习圆的周长计算方方法，圆周长的一半计算方法。 2.复习圆的面积，学生自己总结圆的面积是什么？ 3.复习已学的平面图形的计算方法。 4.我们先来回忆一下平行四边形的面积计算公式是怎样推导出来？ 我们遇到没学过的图形可以转化成学过的图形来计算,那能否把圆也转化成学过的图形来计算呢？ 【设计意图:复习铺垫，让学生能很快联系所学过的知识，很快就能进入新课的学习。】 二、新课探究
三角形面积公式的推导过程 教学目标 1．理解三角形面积公式的推导过程，正确运用三角形面积计算公式进行计算． 2．培养学生观察能力、动手操作能力和类推迁移的能力． 3．培养学生勤于思考，积极探索的学习精神． 教学重点 理解三角形面积计算公式，正确计算三角形的面积． 教学难点 理解三角形面积公式的推导过程． 教学过程 一、复习铺垫． （一）教师提问：我们学过了哪些平面图形的面积？计算这些图形面积的公式是什么？ 教师：今天我们一起研究“三角形的面积”（板书课题） （二）共同回忆平行四边形面积的计算公式的推导过程． 二、指导探索 （一）数方格面积． 1．用数方格的方法求出第69页三个三角形的面积．（小组内分工合作）2．演示课件：拼摆图形 3．评价一下以上用“数方格”方法求出三角形面积． （二）推导三角形面积计算公式． 1．拿出手里的平行四边形，想办法剪成两个三角形，并比较它们的大小．2．启发提问：你能否依照平行四边形面积的方法把三角形转化成已学过的图形，再计 算面积呢？ 3．用两个完全一样的直角三角形拼． （1）教师参与学生拼摆，个别加以指导 （2）演示课件：拼摆图形 （3）讨论 ①两个完全一样的直角三角形拼成一个大三角形（第三种拼法）能帮助我们推导出 三角形面积公式吗？为什么？ ②观察拼成的长方形和平行四边形，每个直角三角形的面积与拼成的平行四边形
的面积有什么关系？ 4．用两个完全一样的锐角三角形拼． （1）组织学生利用手里的学具试拼．（指名演示） （2）演示课件：拼摆图形（突出旋转、平移） 教师提问：每个三角形的面积与拼成的平行四边形的面积有什么关系？ 5．用两个完全一样的钝角三角形来拼． （1）由学生独立完成． （2）演示课件：拼摆图形 6．讨论： （1）两个完全相同的三角形都可以转化成什么图形？ （2）每个三角形的面积与拼成的平行四边形的面积有什么关系？ （3）三角形面积的计算公式是什么？ （4）如果用S表示三角形面积，用a和h表示三角形的底和高，那么三角形面积的计算公式可以写成什么？ （三）教学例1． 例1．一种零件有一面是三角形，三角形的底是5.6厘米，高是4厘米．这个三角形的面积是多少平方厘米？ 1．由学生独立解答． 2．订正答案（教师板书） 5.6×4÷2＝11.2（平方厘米） 答：这个三角形的面积是11.2平方厘米． 三、质疑调节 （一）总结这一节课的收获，并提出自己的问题． （二）教师提问： （1）要求三角形面积需要知道哪两个已知条件？ （2）求三角形面积为什么要除以2？ （3）把三角形转化成已学过的图形，还有别的方法吗？ （演示课件：三角形剪拼法） 四、反馈练习 （一）下面平行四边形的面积是12平方厘米，求画斜线的三角形的面积．
1..3.2球的体积和表面积（1） 设球的半径为R ，将半径OAn 等分，过这些分点作平 面把半球切割成n 层，每一层都是近似于圆柱形状的“小 圆片”，这些“小圆片”的体积之和就是半球的体积。 由于“小圆片”近似于圆柱形状，所以它的体积也近似于圆柱的体积。它的高就是“小圆片”的厚度 n R ，底面 就是“小圆片”的下底面。 由勾股定理可得第i 层（由下向上数）“小圆片”的下底面半径： 2 2)]1([--=i n R R r i ，（i ＝1,2,3，···，n ） 第i 层“小圆片”的体积为： V ≈π2i r ·n R ＝??? ???????? ??--2311n i n R π， （i ＝1,2,3，···，n ） 半球的体积：V 半径＝V 1＋V 2＋···＋Vn ≈n R 3π{1＋（1－221n ）＋（1－222n ）＋···＋［1－2 2)1(n n -］} ＝n R 3π［n －2222)1(21n n -+???++］（注：)12)(1(6 121222++=+???++n n n n ） ＝n R 3π［n －6)12()1(12--?n n n n ＝236)12)(1(1(n n n R ---π）＝????????????---6)12)(11(13n n R π ① 当所分的层数不断增加，也就是说，当n 不断变大时，①式越来越接近于半球的 体积，如果n 无限变大，就能由①式推出半径的体积。 事实上，n 增大， n 1就越来越小，当n 无限大时，n 1趋向于0，这时，有 V 半径＝332R π，所以，半径为R 的球的体积为： V ＝33 4R π
九年义务教育第十一册第94页 圆的面积计算公式的推导 江油市世纪奥桥小学吴琼 设计意图： 拓展学生的思路，培养学生的创新能力，多角度来推导圆的面积计算公式。教学目标： （一）知识与技能 1．知道圆面积的含义。 2．理解和掌握圆面积的计算公式。 （二）过程与方法 1. 通过公式推导培养操作、观察、比较、分析、判断、推理、归纳概括能力，发展空间观念。 2．培养学生迁移类推能力。 （三）情感态度价值观 1.通过对圆面积公式的推导，认识到事物在一定条件下可以互相转化，渗透转化和极限的思想和方法。 2.运用转化思考方法解决实际问题， 探究过程： 1．回忆学过的图形面积公式的推导过程。 2．推导圆面积的计算公式。 （1）教师指导转化。
将已分成16等份的圆用剪刀把每一份剪开，用这些近似等腰三角形的小纸片依次横着拼起来，并用固体胶粘在纸上，看能拼成什么图形？ （2）学生动手操作。 按照老师的示范，请同学们动手剪拼一下，看到底能拼成什么图形。（学生动手操作。） 谁能向大家汇报一下，你把圆拼成了一个什么图形？（生答：拼成了一个近似的平行四边形。请把你拼好的图形放在实物投影上展示给大家看。） （3）课件演示过程。 把圆分成16等份，这些小纸片可以拼成一个近似的平行四边形；把圆分成32等份，可以拼成一个近似的长方形；如果分的份数越多，每一份就会越细，拼成的图形就会越接近于长方形。） （4）推导面积公式。 拼成的长方形与圆有什么联系？同位讨论。 学生汇报讨论结果。生答师继续演示课件。 生：拼成的长方形的面积与圆的面积相等。 师：这个长方形的长和宽与圆的周长和半径有什么关系？ 生：长方形的长相当于圆周长的一半，宽相当于半径。 因为长方形的面积＝长×宽 所以圆的面积＝周长的一半×半径 S＝πr×r S＝πr2 [设计意图：动手操作是学生学习数学的重要方式，让学生经历公式的推导过程，
三角形面积公式的五种 推导方法 Document number【AA80KGB-AA98YT-AAT8CB-2A6UT-A18GG】
三角形面积公式的五种推导方法 摘自：《小学数学网》六年制小学数学第九册《三角形面积的计算》一节，教材上是这样安排的：一、明确目标；二、用数格的方式不能确定三角形的面积；三、能否转化成以前学过的图形进行计算四、拿两个全等的直角三角形可以拼成以前学习过的学习过的长方形和平行四边形，直角三角形的面积是长方形和平行四边形面积的一半；五、验证锐角三角形和钝角三角形是否也能拼成平行四边形；六、三次试验确定所有类型的三角形能转化成平行四边形，两者的关系是“等底等高，面积一半”；七、总结三角形的面积公式。 我们在多次的课堂教学实践和课下辅导过程中，发现上面的几个“环节”有些地方不太符合学生的认知特点。具体分析一下： 第一步没什么问题，每个教师都有自己的导入新课的方式。 第二步也没有什么：学生在学习长方形和正方形的面积时用的是“数格”的方式。学习平行四边形时用的是切割再组合的方式，就是所谓的“转化”。在大部分学生对面积这个概念的理解还不十分透彻的情况下，面对三角形，学生们的首选方法就是“数格”。因为这是学生学习有关面积计算的第一经验，第一印象，第一个技巧。也是最简单，最直接（当然也是最麻烦）的方法。关于第三步：教材上只有一句话：能不能把三角形转化成已经学过的图形再计算面积。这是化未知为已知的思维方式，我们常给初中学生提起这些认知策略，但它的基础却在小学阶段和学生的日常生活经验中。教材把这个重要的数学思想一笔带过，把挖掘其内涵，为学生建立辩证观念的重任留给了老师。但很多老师并不特别重视这句话，只是把它当作一个过渡句，当成进入下面环节的引言。
在小学数学中，图形的面积的编排，面积公式的推导中所蕴含的数学思想和方法。 在小学数学中，图形的面积编排如下： 三年级（下册）：面积与面积单位，长方形和正方形的面积。 1、结合实例认识面积的含义，能用自选的单位估计和测量图形的面积，体会并认识面积单位（平方厘米、平方米、平方千米、公顷），会进行简单的单位换算。 2、探索并掌握长方形、正方形的面积公式，能估算出给定的长方形、正方形面积。 五年级（上册）：多边形面积的计算 1、利用方格纸或割补等方法，探索并掌握平行四边形、三角形和梯形的面积公式 2、会计算由上述图形构成的组合图形的面积。 3.、能用方格纸估计不规则图形的面积。 六年级（上册）：圆 结合具体情景，探索并掌握圆的面积公式，会计算简单组合图形的面积 在面积公式的推导中蕴含了以下几个方面的数学思想和方法： 六年级下册：圆柱的侧面积和表面积 结合具体情景，探索并掌握圆柱的表面积公式。 在面积公式的推导中所蕴含的数学思想有：猜想、实验、转化、归纳等重要的数学思想方法，还渗透了极限思想、函数思想、等积变形思想等。 例如：从三年级开始学习长方形的面积计算，教材中不仅安排了文字公式，还介绍字母公式S=a×b;再如，圆面积公式S=πR2,S是R的函数，这些公式中既有一次函数也有二次函数。 如编排长方形和正方形的面积计算时，渗透了操作、归纳的思想，编排多边形的面积计算时，渗透了转化、归纳思想，平面图形面积公式的推导中，从平行四边形、三角形、到梯形的面积公式的推导都是以转化、归纳的思想方法为核心。研究三角形、平行四边形的面积公式时，都转化成我们学过的平面图形。在转化的过程中面积保持不变，把不会求面积的图形转化成会求面积的平面图形。如：把平行四边形运用割补的方法把它变成长方形，求出长方形的面积，也就求出了平行四边形的面积。找出平行四边形与长方形之间的关系，得出平行四边形的面积=底×高。在后面研究梯形的面积公式时就可以经历主动运用的阶段：一是回忆一下平行四边形、三角形面积公式的推导过程。二是研究梯形的面积公式想怎么办？说出想法？三是学生汇报的过程中紧紧抓住转化的思想方法进行。抓住图形与梯形的关系，抓住内部的联系，就是学生主动运用转化思想方法的成果。我们以后在面临要解决的问题，就
圆面积公式的各种证明方法刘晓丽李小龙 TPMK standardization office【 TPMK5AB- TPMK08- TPMK2C- TPMK18】
圆面积公式的各种证明方法证明方法1：转化（小学段） （1）拼成平行四边形，4份，8份，16份。 （2）拼成长方形。 近似长方形的长等于圆周长的一半，宽等于圆的半径。 长方形的面积 = 长×宽 圆的面积 = πr × r 所以，圆的面积公式是：S =πr2 （3）拼成两层平行四边形（两层） 近似平行四边形的面积 = 底×高 圆的面积 = 1 2 C × 2r = 1 2πr × 2r 所以，圆的面积公式是： S =πr2（4）用三角形（小）拼 三角形的面积 = 1 2×底×高 圆的面积 = 1 2×（ 1 16× C ）× r ×16 所以，圆的面积公式是：S =πr2（5）拼成梯形 梯形的面积 = 1 2（上底+下底）×高 圆的面积 = 1 2×（ 5 16 + 3 16）× C × 2r 所以，圆的面积公式是：S =πr2
拼成三角形（大） （6）三角形的面积 = 1 2底×高 圆的面积 = 1 2×（ 1 4× C ）× 4r 所以，圆的面积公式是：S =πr2 证明方法2： 半径为r的圆的圆周长为2πr 1.先将圆周等分成n份:每份长为2πr/n. 2.连接每个分点与圆心,并且连接各个分点,组成三角形. 3.那么,根据三角形面积公式,该圆的面积近似等于:(n-1)·r·(2πr)/n/2.(因为在n充分大时,各个三角形的高近似等于r,并且有n-1个三角形,所以有该公式) 取极限:l im (n→+∞)(n-1)·r·(2πr)/n/2,因为lim(n→+∞)(n-1)/n=1 所以lim (n→+∞)(n-1)·r·(2πr)/n/2=πr^2 证明方法3：极限法（高中段: 以圆的正n边形表示圆的面积: 设圆的半径为r,内接一个正n边形,它的任意一边所对的圆心角为2π/n,先算出其中一个三角形的面积(用两边夹角的公式S=(1/2)a*b*sinC),然后得到这个正n六边形的面积: Sn=(n/2)r2sin(2π/n) 当n无限增大时,内接正n边形的形状无限接近于圆,它的面积也无限接近圆的面积.求这个极限要用一高等数学中一个重要的极限公式(函数的极限): 当x→0时,lim[(sinx)/x]=1 [题外话:这个极限的几何意义是,当x无限减小时,y=sinx的图象与直线y=x是重合的,在这种情况下,我们可以用x的值来代替sinx,以在某些领域做近似计算]
圆的面积公式推导教案 教学目标; 1、通过操作，使学生理解圆的面积公式推导过程，掌握圆的面积的方法并能正确计算。 2、激发学生参与整个课堂教学活动的学习兴趣，培养学生的分析、观察和概括能力，发展学生的空间观念。 3、渗透转化的数学思想和极限思想 教学重点： 1、理解圆的面积公式的推导过程。 2、掌握圆的面积的计算公式，能够正确地计算圆的面积。 教学难点：理解圆的面积公式的推导过程。 教具准备：多媒体课件，圆片，剪刀。学具准备：分成十六等分的圆硬片，剪教学过程： 一、故事导入 【设计意图】引起学生学习兴趣，同时也让学生明白这个故事与所要学习的内容有联系。【出示课件1、2】 二、出示学习目标【出示课件3】 【设计意图】让学生清楚学习的重点，难点是什么？也提醒老师要有的放矢。 三、学习新知 （一）、定义： 1、摸一摸哪里是圆的面积？圆所占平面的大小就是圆的面积。【出示课件4】（二）、小组交流【出示课件5】 圆与以前我们研究的平面图形有什么不同？ 不同之处：圆是由一条封闭曲线围成的平面图形，而以前学过的平面图形都是由几条线段围成的封闭图形。 如何化曲为直呢，推导出它的面积公式呢？ （三）复习旧知，渗透极限思想【出示课件6】
1、还记得这些平面图形的面积计算公式吗？ 2、平行四边形的面积公式推导过程还记得吗？（我们是通过剪拼的方法把它转化成长方形的。）【出示课件7、8】 小结：把圆转化成哪一个我们学过的平面图形，从而得到它的面积公式。（四）小组合作学习【出示课件9、10、11、12、13、14】 （1)老师引导学生将圆化曲为直，先将圆沿直径剪开，然后沿半径再把圆平均分成偶等份。然后把剪成多份并用拼的方法将其转化成学过的规则图形。 (2)请学生观察四组图。随着份数的不断增加，有何发现？【出示课件15】 （3）转化后的图形面积与圆的面积有什么关系？【出示课件16】 （4）长方形各部分相当于圆的什么？【出示课件17】 (5）试着推导出圆的面积公式。【出示课件18】 （五）风采展示 1、学生汇报推导过程。 2、学生齐读圆面积公式。并说一说圆的面积大小与什么有关系？ 【设计意图】这两个环节是在教师的引导和启发中，每个学生都动口，动手，动脑，培养学生学习的主动性和积极性。 （六）当堂测试与应用 1、做课件图示，求半径为2分米的圆的面积【出示课件19】 2、做课前出示的圆形花坛的面积。【出示课件20】 3、根据下面所给的条件，求圆的面积。【出示课件21】 （1）、半径2分米 （2）、直径10厘米 4、一个雷达屏幕的直径是40厘米，它的面积是多少平方厘米？ 5、判断对错： （1）圆的半径越大，圆所占的面积也越大。（） （2）圆的半径扩大3倍，它的面积扩大6倍。（） 【设计意图】在当堂测试与应用中设计了基本练习与综合练习。基本练习主要是加强学生对圆面积的认识，并能计算圆的面积。综合练习是培养学生的综合应用
一、温故孕新渗透转化 教师提问：谁能说一说平行四边形面积计算公式的推导过程？ 学生口述，教师利用课件再现平行四边形面积计算公式的推导过程。 （设计意图：通过再现平行四边形面积公式推导过程，重温将“未知”转化为“已知”的过程，为进一步探究三角形面积计算公式做好思维上的准备） 三、动手操作发现规律 1、情境引入 师：少先队建队日到了，学校要给新加入少先队的小队员们定做红领巾，你们能 帮大队辅导员老师计算一下一条领巾需要多少布料吗？ （屏幕出示红领巾图片） 师：你想怎么做？ 生：红领巾是三角形，要算出三角形的面积。 师：（三角形）你们会算三角形的面积吗？这节课我们一起研究、探索这个问题。（板书：三角形面积的计算） （设计意图：利用学生熟悉的红领巾实物，以及帮学校计算要用多少布这样的事例，激起了学生想知道怎样去求三角形面积的欲望，从而将“教”的目标转化为学生“学”的目标。） 2、玩游戏，小组内交流问题。 师：我们来玩一个游戏。请听好要求：同学拿出小组里面准备好的学具，观察一下，说说有什么发现？ 生：1、有两个锐角三角形、两个钝角三角形、两个直角三角形。 2、形状、大小完全一样。 师：用这几个形状大小完全一样的三角形拼一拼，看你能发现了什么？同时要思考以下几个问题： （课件出示以下问题） A、两个完全一样的三角形能拼出什么图形？ B、拼成图形的面积你会算吗？ C、拼成的图形与原来每一个三角形有什么联系？ 教师行为：教师巡视，及时了解学生在操作和讨论中存在的问题，并针对性地进行指导学困生：你是怎样拼的？能说一说你的拼法吗？ （学生在小组里动手拼一拼，并相互交流以上问题） （设计意图：给学生留出足够的空间，发挥学生的主观能动性和合作精神自主探索三角形的面积的公式。在操作、观察、分析、推理、概括的过程中，培养学生的合作能力、动手能力、解决问题的能力。） 3、小组代表上台演示汇报 A：用2个完全一样的直角三角形拼成一个长方形，三角形的一条直角边（底）相当于长方形的长，另一条直角边（高）相当于长方形的宽，三角形面积相当于长方形的面积的一半，
《你记得这些面积公式的推导过程吗？》活动建议方案 一、活动流程框图 二、活动过程 2.1活动一：回顾面积计算方法 2.1.1活动任务 回顾每种平面图形面积计算的方法，为梳理转化关系做好准备。 2.1.2活动内容 回顾每种平面图形的面积计算方法： 1．我们研究过哪些平面图形的面积？ 学生很快能够回忆起学习过长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形、圆的面积。 2．每种图形的面积计算公式是什么？ S 长=ab S 正 =a2S 平 =ah S 三 =ah÷2S 梯 =（a+b）h÷2S 圆 =πr2 2.1.3活动组织方式 小组交流。 2.1.4活动评价方式 学生互评，教师评价。 2.1.5所需学习资源 2.1.6所需学习时间 5分钟。
2.2活动二：梳理图形面积计算方法之间的转化关系 2.2.1活动任务 通过对比和分析，梳理各种平面图形面积计算的方法，感受转化关系。 2.2.2活动内容 1．回顾学习各种平面图形面积计算方法的顺序。 学生能够回忆出的部分让学生自己说，记不清的教师给以提示。 长（正）方形——平行四边形——三角形——梯形——圆 2．梳理每种平面图形之间的“转化”关系 明确了学习平面图形的顺序，也就明确了学每一种图形时的旧问题和新问题。我们重温我们走过的学习历程，想一想学习每一种图形面积计算方法时都是怎样将它转化成“旧”图形的呢？ 学生在小组中交流。 长（正）方形是通过面积单位的拼摆推导出计算公式的； 平行四边形通过剪拼转化成长（正）方形，通过分析新旧图形的联系，进而得出平行四边形的面积计算方法； 通过将两个全等三角形拼摆成平行四边形，进而推导出三角形面积计算的方法； 通过将两个全等梯形拼摆成平行四边形，进而推导出梯形面积计算的方法； 将圆平均分成若干份，将其转化成近似的平行四边形、长方形、梯形或三角形，再通过想象平均分成无数份，由此推导出圆形面积计算的方法。 2.2.3活动组织方式 小组合作。 2.2.4活动评价方式 学生互评、教师评价。 2.2.5所需学习资源 2.2.6所需学习时间
1..3.2球的体积和表面积（1） 设球的半径为R ，将半径OAn 等分，过这些分点作平 面把半球切割成n 层，每一层都是近似于圆柱形状的“小 圆片”，这些“小圆片”的体积之和就是半球的体积。 由于“小圆片”近似于圆柱形状，所以它的体积也近 似于圆柱的体积。它的高就是“小圆片”的厚度 n R ，底面 就是“小圆片”的下底面。 由勾股定理可得第i 层（由下向上数）“小圆片”的下底面半径： 2 2)]1([--=i n R R r i ，（i ＝1,2,3，···，n ） 第i 层“小圆片”的体积为： V ≈π2i r ·n R ＝??? ???????? ??--2311n i n R π， （i ＝1,2,3，···，n ） 半球的体积：V 半径＝V 1＋V 2＋···＋Vn ≈n R 3π{1＋（1－221n ）＋（1－222n ）＋···＋［1－2 2)1(n n -］} ＝n R 3π［n －2222)1(21n n -+???++］（注：)12)(1(6 121222++=+???++n n n n ） ＝n R 3π［n －6)12()1(12--?n n n n ＝236)12)(1(1(n n n R ---π）＝????????????---6)12)(11(13n n R π ① 当所分的层数不断增加，也就是说，当n 不断变大时，①式越来越接近于半球的 体积，如果n 无限变大，就能由①式推出半径的体积。
事实上，n 增大， n 1就越来越小，当n 无限大时，n 1趋向于0，这时，有 V 半径＝332R π，所以，半径为R 的球的体积为： V ＝33 4R π 1..3.2球的体积和表面积（2） 球的表面积推导方法（设球的半径为R ，利用球的体积公式推导类似方法） （1）分割。把球O 的表面分成n 个“小球面片”，设它们的表面积分别是S 1，S 2，…… Sn ，那么球的表面积为：S ＝S 1＋S 2＋……＋Sn 把球心O 和每一个“小球面片”的顶点连接起来，整个球体被分成n 个以“小球 面片”为底，球心为顶点的“小锥体”。例如，球心与第i 个“小球面片”顶点相连后 就得到一个以点O 为顶点，以第i 个“小球面片”为底面的“小锥体”。这样“小锥体” 的底面是球面的一部分，底面是“曲”的。如果每一个“小球面片”都非常小，那么 “小锥体”的底面几乎是“平”的，（好象地球一样），这时，每一个“小锥体”就近 似于棱锥，它们的高近似于球的半径R 。 （2）求近似和。设n 个“小锥体”的体积分别为V 1，V 2，…，Vn 那么球的体积为：V ＝V 1＋V 2＋…＋Vn 由于“小锥体”近似于棱锥，所以我们用相应棱锥的体积作为“小锥体”体积的 近似值。第i 个“小锥体”对应的棱锥以点O 为顶点，以点O 与第i 个“小球面片” 顶点的连线为棱。设它的高为h i ，底面面积为S ’i ，于是，它的体积为： V ’i ＝3 1h i S ’i ，（i ＝1,2,…，n ） 这样就有：V i ≈3 1h i S ’i ，（i ＝1,2,…，n ） V ≈31（h 1 S ’1＋h 2 S ’2 ＋…＋h n S ’n ） ①
数学有形思想无痕 ——圆的面积公式的探索 董文华 一、在折剪中悟“极限” 师：在前几节课的学习中，我们知道了圆是最美丽的平面图形。现在我们举行一个“小巧手”比赛，每小组都备有纸和剪刀，想办法剪一个圆，比一比谁剪的最漂亮？ （小组活动后交流） 小组1：（举起两个纸片）我们小组先是随意剪，怎么也剪不圆。对折一次再剪，剪了半圈，这次剪得好多了，但是仍不太圆。 小组2：我们小组把纸对折了两次，剪了圆弧的四分之一，剪起来比较接近圆。 小组3：（举着剪好的像花瓣一样的纸片）我们小组遇到了麻烦，把纸对折三次，剪了一刀展开后像一朵花一样。 师：其他小组有没有这种情况？ 小组4：我们小组刚开始也出现了这些问题，试了几次后发现了窍门，纸片折好后应该尽量剪直线，这样才能避免剪出花瓣形状。 师：这个发现很重要，大家可以再尝试着剪一剪。 （学生再次尝试，不断发出惊喜的声音。每个小组纷纷把最得意的作品展示在黑板上。）
师：想一想，圆是个曲线图形，为什么要“直着剪”展开后才会更圆？ 学生1：受刘徽的“割圆术”的启示，正多边形最接近圆，“直着剪”其实就是剪了一个圆内的正多边形。 学生2：剪的时候，要尽量的多对折，剪出的边越多越接近圆。 师：认真观察黑板上我们的作品，你有什么发现？ 学生1：我们刚才剪“圆”时，对折时留下了许多折痕，其实就是圆的半径，和圆弧围成了许多近似的小三角形，折的次数越多的作品越接近三角形。 学生2：圆其实可以看成是由一些近似的等腰三角形组成的。 二、在探究中巧“转化” 师：如何求圆的面积？能不能像推导三角形、平行四边形的面积公式那样推导出圆的面积计算公式？ （小组活动后交流） 小组1：我们把圆对折三次平均分成8个小三角形，三角 形的底是圆周长的1 8，三角形的高也就是圆的半径r，推出 圆的面积公式：1 8×2∏r×r÷2×8＝∏r 2； 小组2：折的次数越多分的份数就越多，我们可以这样想 像分成了x个小三角形，就可以推出圆的面积公式：1 X×2