２、向量的数量积不满足消去律，即:由ａ?b=a? c （a≠0)，推不出 b=ｃ。 3、|a?b｜≠|ａ｜?|b｜ 4、由 |a｜=|ｂ| ，推不出a=ｂ或ａ=－ｂ。 2、向量的向量积 定义：两个向量a和ｂ的向量积(外积、叉积)是一个向量,记作ａ×b。若a、b不共线,则ａ×b的模是：∣a×b ∣＝｜ａ|?｜ｂ｜?ｓｉn〈a，b>；ａ×ｂ的方向是:垂直于ａ和ｂ,且ａ、ｂ和ａ×b按这个次序构成右手系.若ａ、ｂ共线，则a×b=0。...文档交流仅供参考... 向量的向量积性质: ∣a×ｂ∣是以a和b为边的平行四边形面积. a×a=０。 a‖b〈=〉ａ×b＝０。 向量的向量积运算律 a×b=－b×a； （λa）×b=λ（ａ×b)=a×（λb)； （a+b)×c=a×ｃ+b×c。 注:向量没有除法，“向量ＡB/向量CＤ”是没有意义的. 3、向量的三角形不等式 1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a＋ｂ∣≤∣ａ∣+∣b∣；
定比分点的向量公式及应用
定比分点的向量公式及应用 浙江省永康市古山中学（321307） 吴汝龙 定比分点的向量公式：在平面上任取一点O ，设OP =1，OP =2，若21PP P λ=，则b a OP λ λ λ+++= 111。 特别地，当1=λ时，即P 为线段21P P 的中点，则有b a OP 2 1 21+= 。 用定比分点的向量公式，可使有些问题的解决更简洁。下面举几例说明。 一、求定比λ的值： 例1：已知A （1,2），B （1,3-）及直线l ：54-=x y ，直线AB 与l 相交于P 点，求P 点分AB 的比λ。 解：设),(y x P ，则由λ=，得 )11,131()1,3(1)1,2(11),(λ λ λλλλλ+-++=-+++= y x ， 又∵P 点在直线l 上， ∴51)31(411-++=+-λ λλλ， ∴31=λ。 例2：如图所示，在ABC ?中，D 为边BC 上的点，且k =，E 为AD 上的一点，且l =，延长BE 交AC 于F ，求F 分有向线段所成的比λ。 解：∵λ=，∴λλλ+++= 111， 又EA l DE =，∴BA l l BD l BE +++=111， 而BC k k DC k BD +==1， ∴BA l l BC k l k BE ++++= 1)1)(1(， ∵B 、E 、F 共线，∴设BF t BE =，而BA t BC t BF t λ λλ+++=11 ∴ BA t BC t BA l l BC k l k λ λλ+++=++++111)1)(1( F E D C B A
∴???????+=+++=+l l t k l k t 11) 1)(1(1λλλ，解得k k l )1(+=λ。 二、求直线上点的坐标 例3：已知点)1,1(--A ，)5,2(B ，点C 为直线AB 上一点，且5-=，求C 点的坐标。 分析：先求出C 点分的λ的值，再利用定比分点的向量公式求出点C 的坐标。 解：∵5-=，∴5==CB λ， 利用定比分点的坐标公式有 )4,2 3 ()5,2(65)1,1(616561=+--=+=OB OA OC 。 ∴C 点的坐标为)4,2 3 (。 例4：已知)3,2(A ，)5,1(-B ，且AB AC 3 1 =，3=，求点C ，D 的坐标。 分析：由题设，运用定比分点的向量公式，可以求得点C ，D 的坐标。 解：设),(11y x C ，),(22y x D ， ∵AB AC 31 = ，∴2 11== λ， ∴根据定比分点的向量公式有OB OA OC 2 11111 λλλ+++= ， ∴)311 ,1()5,1(31)3,2(32)5,1(2 1121 )3,2(2111),(11=-?+?=-?++?+=y x 同理由AB AD 3=得2 3 2- == λ， ∴根据定比分点的向量公式有OB OA OC 2 11111 λλλ+++= ， ∴)9,7()5,1(3)3,2(2)5,1(2 3123 )3,2(2311 ),(22-=-?+?-=-?+- +?-=y x
线段的定比分点公式的应用(精品绝对好)
线段的定比分点公式的应用 一、难点知识剖析 （一）、在运用线段的定比分点坐标公式时，要注意(x 1，y 1)是起点的坐标，(x 2，y 2)是终点的坐标，(x ，y)表示分点的坐标，在每个等式中涉及到四个不同的量，它们分别表示三个坐标和定比λ，只要知道其中任意三个量，便可求第四个量． （二）、如何确定定比分点坐标公式中的λ 1、由坐标确定：分点坐标 终点坐标起点坐标 分点坐标--=--=--= y y y y x x x x 2121λ 2、由12 PP PP λ= 确定：先求||||21PP =λ2 1PP =λP 1与2PP 的方向决定λ的符号． 例：设点P 1（),11y x ，),(222y x P ，点P 是直线 21P P 上任意一点，且满足 1 2PP PP λ= ，求点P 的坐标. （三）、特殊情况的分析 1、λ＝0时，分点P 与起点P 1重合 2、λ＝1时，分点P 为线段P 1P 2的中点 3、λ不可能等于－1（若λ＝－1，则P 1、P 2重合，与P 1P 2为线段矛盾） ∴λ∈(－∞，－1)∪(－1，＋∞) 4、无论λ取何实数（当然λ≠－1）分点P 不可能与终点P 2重合 二、例题讲解 例1、已知点A 分有向线段的比为2，求下列定比λ：（1）A 分的比；（2）B 分的比；（3）C 分的比．
分析：本题直接用公式计算不太方便，若画出图表就一目了然． 解答：因为A分的比为2，所以A在BC之间，且|BA|＝2|AC|（如图所示） 例2、已知P分所成的比为λ，O为平面上任意一点，． 求证：线段定比分点向量公式 证明：∵P分所成比为λ， 例3、已知三点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D点内分的比为，E在BC上，且使△BDE的面积是△ABC面积的一半，求向量的坐标．（提示：三角形面积等于两边与其夹角正弦乘积的一半） 分析：要求的坐标，就要求D点的坐标，也要求E点的坐标．由于E点在线段BC上，且已知B、C两点的坐标，因此我们只要能确定E分有向线段的比，应用定比分点公式就能求出E点的坐标，将E点坐标减去D点的坐标就可得到向量． 解答：如图所示，
定比、定比分点公式
（3）定比、定比分点公式 一、教学内容分析 本节是的第三节课，是学习向量坐标表示及运算、向量的模与平行之后的又一个新的知识点.它既是对前两节内容复习与巩固，又是对向量知识的进一步深化与拓展，如式子 12PP PP λ=中的λ由实数推广到定比.同时，经历定比分点公式的推导过程，让学生领悟定比分点的多元化表示方法. 本节的教学重点是定比分点公式的形成、深化、拓展与应用.难点是定比λ的理解、确定及定比分点公式中分点、始点、终点坐标位置的识别. 根据本节特点，教师采取启发、提问为主的教学方法；学生则进行自主学习.即课前进行主动预习，课中进行讨论与交流，课后进行探索研究. 二、教学目标设计 1理解定比的概念，掌握定比分点公式； 2通过定比分点公式的推导过程，巩固向量的运算方法； 感悟定比分点的几种表达方式； 3通过本节的学习，提升发现能力、推理能力，渗透数形结合 思想. 三、教学重点及难点 定比的概念，定比分点公式的推导和应用. 四、教学流程设计
五、教学过程设计 一、 情景引入 观察思考，引入新课 问题1：设)1,2(A ，)1,2(--B ，)2,4(C 三点共线，可知BA ∥AC ，即存在实数λ，使BA = λAC ??，那么实数λ= . 而若?BC CA λ=，则λ= . [说明]（1）本问题由共线三点坐标求实数λ，它既是对前一节向量平行的复习与巩固，同时又为定比λ的产生作好铺垫（2）通过本题可以看出使两向量平行的实数λ的取值可正可负. 问题2：设1P （1，1），2P (4,4), λ=1.当12PP PP λ=时，你能求出点P 的坐标吗（引出课题） [说明]问题2是由共线三点中的两点坐标和定比λ的值求第三点坐标，本题给出的点具有一定的特殊性，这样便于学生利用数形结合思想猜出结果，尝试成功的快乐. 二、学习新课 1．定比分点公式
高中数学经典解题技巧和方法平面向量
高中数学经典解题技巧：平面向量 一、向量的有关概念及运算 解题技巧：向量的有关概念及运算要注意以下几点： （1）正确理解相等向量、共线向量、相反向量、单位向量、零向量等基本概念，如有遗漏，则会出现错误。 （2）正确理解平面向量的运算律，一定要牢固掌握、理解深刻 （3）用已知向量表示另外一些向量，是用向量解题的基础，除了用向量的加减法、实数与向量乘积外，还要充分利用平面几何的一些定理，充分联系其他知识。 例1：（2010·山东高考理科·Ｔ12）定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下，对任意的a=(m,n)，b p,q)= （，令a ⊙b mq np =-，下面说法错误的是（ ） A.若a 与b 共线，则a ⊙b 0= B. a ⊙b = b ⊙a C.对任意的R λ∈，有()a λ⊙b = (a λ⊙)b D. (a ⊙b )2222()a b a b +?= 【命题立意】本题在平面向量的基础上，加以创新，属创新题型，考查平面向量的基础知识以及分析问题、解决问题的能力. 【思路点拨】根据所给定义逐个验证. 【规范解答】选B ，若a 与b 共线，则有a ⊙b 0mq np =-=，故A 正确；因为b ⊙a pn qm =-,，而a ⊙b mq np =-，所以有a ⊙b ≠ b ⊙a ，故选项B 错误，故选B. 【方法技巧】自定义型信息题 1、基本特点：该类问题的特点是背景新颖，信息量大，是近几年高考的热点题型. 2、基本对策：解答这类问题时，要通过联想类比，仔细分析题目中所提供的命题，找出其中的相似性和一致性 二、与平面向量数量积有关的问题 解题技巧：与平面向量数量积有关的问题 1．解决垂直问题：121200,a b a b x x y y a b ⊥?=?+=其中、均为非零向量。这一条件不能忽视。 2．求长度问题：2||a a a =，特别地1122(,),(,),||(A x y B x y AB x =则 3．求夹角问题：求两非零向量夹角的依据 2 22 222cos(,).||||a b a b a b x x y ==++ 例2：1.（2010·湖南高考理科·Ｔ4）在Rt ABC ?中，C ∠=90°AC=4，则AB AC ?uu u r uuu r 等于（ ）
立体几何(向量法)—找点难(定比分点公式)
立体几何（向量法）—找点难（定比分点公式） 例1（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））如图, 四棱柱 ABCD -A 1B 1C 1D 1中, 侧棱A 1A ⊥底面ABCD , AB (Ⅰ) 证明B 1C 1⊥CE ; (Ⅱ) 求二面角B 1-CE -C 1的正弦值. (Ⅲ) 设点M 在线段C 1E 上, 且直线AM 与平面ADD 1A 1所成角的正弦值为6 , 求线段AM 的长. 【答案】解：方法一：如图，以点A 为原点建立空间直角坐标系，依题意得A (0，0，0)，B (0，0，2)，C (1，0，1)，B 1(0，2，2)，C 1(1，2，1)，E (0，1，0)． (1)证明：易得B 1C 1→＝(1，0，－1)，CE →＝(－1，1，－1)，于是B 1C 1→·CE → ＝0，所以B 1C 1⊥CE . (2)B 1C → ＝(1，－2，－1)， 设平面B 1CE 的法向量＝(x ，y ，z )，
则?????·B 1C →＝0，m · CE →＝0，即?????x －2y －z ＝0，－x ＋y －z ＝0，消去x ，得y ＋2z ＝0，不妨令z ＝1，可得一个法向量 为＝(－3，－2，1)． 由(1)，B 1C 1⊥CE ，又CC 1⊥B 1C 1，可得B 1C 1⊥平面CEC 1，故B 1C 1→ ＝(1，0，－1)为平面CEC 1 的一个法向量． 于是cos 〈，B 1C 1→〉＝m ·B 1C 1→ |m |·|B 1C 1→|＝－414×2＝－2 77，从而sin 〈，B 1C 1→ 〉＝217. 所以二面角B 1－CE －C 1的正弦值为217. (3)AE →＝(0，1，0)，EC 1→＝(1，1，1)．设EM →＝λEC 1→＝(λ，λ，λ)，0≤λ≤1，有AM →＝AE →＋EM →＝(λ，λ＋1，λ)．可取AB → ＝(0，0，2)为平面ADD 1A 1的一个法向量． 设θ为直线AM 与平面ADD 1A 1所成的角，则 sin θ＝|cos 〈AM →，AB → 〉|＝|AM →·AB →||AM →|·|AB →|＝ 2λ λ2＋（λ＋1）2＋λ2×2＝λ3λ2＋2λ＋1. 于是 λ3λ2＋2λ＋1＝26 ，解得λ＝1 3(负值舍去)，所以AM ＝ 2. 方法二：(1)证明：因为侧棱CC 1⊥平面A 1B 1C 1D 1， B 1 C 1?平面A 1B 1C 1 D 1，所以CC 1⊥B 1C 1.经计算可得B 1 E ＝5，B 1C 1＝2，EC 1＝3，从而 B 1E 2＝B 1 C 21＋EC 21，所以在△B 1EC 1中，B 1C 1⊥C 1E .又CC 1，C 1E ? 平面CC 1E ，CC 1∩C 1E ＝C 1，所以B 1C 1⊥平面CC 1E ，又CE ?平面CC 1E ，故B 1C 1⊥CE . (2)过B 1 作B 1G ⊥CE 于点G ，联结C 1G .由(1)，B 1C 1⊥CE .故CE ⊥平面B 1C 1G ，得CE ⊥C 1G ，
(完整版)高中数学平面向量讲义
专题六 平面向量 一. 基本知识 【1】 向量的基本概念与基本运算 （1）向量的基本概念： ①向量：既有大小又有方向的量 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小． ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行 ③单位向量：模为1个单位长度的向量 ④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量 ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量 （2）向量的加法：设,AB a BC b u u u r u u u r r r ，则a +b r =AB BC u u u r u u u r =AC u u u r ①a a a 00；②向量加法满足交换律与结合律； AB BC CD PQ QR AR u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r L ，但这时必须“首尾相连”． （3）向量的减法： ① 相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量 ②向量减法：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b 的差， ③作图法：b a 可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量（a 、b 有共同起点） （4）实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度与方向规定如下： （Ⅰ）a a ； （Ⅱ）当0 时，λa 的方向与a 的方向相同；当0 时，λ a 的方向与a 的方向相反；当0 时，0 a ，方向是任意的 （5）两个向量共线定理：向量b 与非零向量a 共线 有且只有一个实数 ，使得b =a （6）平面向量的基本定理：如果21,e e 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数21, 使：2211e e a ，其中不共线的向量21,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 【2】平面向量的坐标表示
平面向量公式
平面向量公式 1.向量三要素：起点，方向，长度 2.向量的长度=向量的模 3.零向量：? ??方向任意长度为 .20.1 4.相等向量：?? ?长度相等 方向相同 .2.1 5.向量的表示：AB ()始点指向终点 6.向量的线性加减运算法则： ()()???? ?=-=+终点指向始点 始点指向终点， CB AC AB AC BC AB ,21 7.实数与向量的积： ()()a a λμμλ=.1 ()a a a μλμλ+=+.2 ()b a b a λλλ+=+.3 4.()y x a λλλ,=? 5.a b b a ?=? 6.()()b a b a ??=?λλ 7.()c b c a c b a ?+?=?+ 注；()()c b a c b a ≠? 8.定理：向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数 λ，使得: a b λ= 9.平面向量基本定理：如果e 1 ，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面 : e e a 2211λλ+= 10.坐标的运算： ()1?? ? ? ?+ =y x a ?y x a 22 +=
()2已知；A ()y x 11+，B () y x 22+?() ( )() ?? ???+=--=--y y x x y y x x AB AB 1212.2,.12 2 1212 ()3已知；()y x a 11,= ，()y x b 22,= () ()?? ???+?=?±±=±?和它们对应坐标的乘积的两个向量的数量积等于y y x x y y x x b a b a 21212 121.2,.1 ()4已知；()y x a 11,=//()y x b 22,=01 2 2 1 =?-?y x y x (横纵交错乘积之差为0） ()5已知；已知；()y x a 11,=⊥ ()y x b 2 2 ,= 02 1 2 1 =?+??y y x x （对应坐标乘积之和为0） 10.数量积b a ?等于a 的长度a 与b 在a 的方向上的投影θcos ?b 的乘积： θcos ??=?b a b a ()的夹角与为b a θ 变形?b a b a ?= θcos 11.线段的定比分点： 设()x x p 211, ，()y x p 222, ，P ()y x ,是不同于直线p 2 1,上 的任意两点；即有： p p p p 21λ=?? ? ???外在点内 在点p p p p p p 212 100λλ （其中p 为定比分点；λ为定比。） （1）.线段的定比分点“定比”λ=p p p p 2 1 （终点 分点分点 始点→→）
高中数学有关平面向量的公式的知识点总结.
定比分点定比分点公式(向量P1P=向量PP2 设P1、P2是直线上的两点,P是l上不同于P1、P2的任意一点。则存在一个实数,使向量P1P=向量PP2,叫做点P分有向线段P1P2所成的比。 若P1(x1,y1,P2(x2,y2,P(x,y,则有 OP=(OP1+OP2(1+;(定比分点向量公式 x=(x1+x2/(1+, y=(y1+y2/(1+。(定比分点坐标公式 我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式 三点共线定理 若OC=OA +OB ,且+=1 ,则A、B、C三点共线 三角形重心判断式 在△ABC中,若GA +GB +GC=O,则G为△ABC的重心 [编辑本段]向量共线的重要条件 若b0,则a//b的重要条件是存在唯一实数,使a=b。 a//b的重要条件是 xy-xy=0。零向量0平行于任何向量。 [编辑本段]向量垂直的充要条件 ab的充要条件是 ab=0。 ab的充要条件是 xx+yy=0。 零向量0垂直于任何向量.
设a=(x,y,b=(x,y。 1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。 AB+BC=AC。 a+b=(x+x,y+y。 a+0=0+a=a。 向量加法的运算律: 交换律:a+b=b+a; 结合律:(a+b+c=a+(b+c。 2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0. 0的反向量为0 AB-AC=CB. 即共同起点,指向被减 a=(x,y b=(x,y 则 a-b=(x-x,y-y. 4、数乘向量实数和向量a的乘积是一个向量,记作a,且∣a∣=∣∣∣a∣。 当>0时,a与a同方向; 当<0时,a与a反方向; 当=0时,a=0,方向任意。 当a=0时,对于任意实数,都有a=0。 注:按定义知,如果a=0,那么=0或a=0。 实数叫做向量a的系数,乘数向量a的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。当∣∣>1时,表示向量a的有向线段在原方向(>0或反方向(<0上伸长为原来的∣∣倍;
定比、定比分点公式讲解学习
定比、定比分点公式
8.1（3）定比、定比分点公式 一、教学内容分析 本节是8.1的第三节课，是学习向量坐标表示及运算、向量的模与平行之后的又一个新的知识点.它既是对前两节内容复习与巩固，又是对向量知识的进一步深化与拓展，如式子 12PP PP λ=u u u r u u u r 中的λ由实数推广到定比.同时，经历定比分点公式的推导过程，让学生领悟定比分点的多元化表示方法. 本节的教学重点是定比分点公式的形成、深化、拓展与应用.难点是定比λ的理解、确定及定比分点公式中分点、始点、终点坐标位置的识别. 根据本节特点，教师采取启发、提问为主的教学方法；学生则进行自主学习.即课前进行主动预习，课中进行讨论与交流，课后进行探索研究. 二、教学目标设计 1理解定比的概念，掌握定比分点公式； 2通过定比分点公式的推导过程，巩固向量的运算方法； 感悟定比分点的几种表达方式； 3通过本节的学习，提升发现能力、推理能力，渗透数形结 合思想. 三、教学重点及难点 定比的概念，定比分点公式的推导和应用. 四、教学流程设计
五、教学过程设计 一、 情景引入 观察思考，引入新课 问题1：设)1,2(A ，)1,2(--B ，)2,4(C 三点共线，可知BA u u u r ∥AC u u u r ，即存在实数λ，使BA u u u r = λAC u u u r ，那么实数λ= . 而若 BC CA λ=u u u r u u u r ，则λ= . [说明]（1）本问题由共线三点坐标求实数λ，它既是对前一节向量平行的复习与巩固，同时又为定比λ的产生作好铺垫（2）通过本题可以看出使两向量平行的实数λ的取值可正可负. 问题2：设1P （1，1），2P (4,4), λ=1.当12PP PP λ=u u u r u u u r 时，你能求出点 P 的坐标吗？（引出课题） [说明]问题2是由共线三点中的两点坐标和定比λ的值求第三点坐标，本题给出的点具有一定的特殊性，这样便于学生利用数形结合思想猜出结果，尝试成功的快乐. 二、学习新课
高中数学平面向量公式
1、向量的的数量积 定义：已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π 定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作a?b。若a、b不共线，则a?b=|a|?|b|?cos〈a，b〉；若a、b共线，则a?b=+-∣a∣∣b∣。 向量的数量积的坐标表示：a?b=x?x'+y?y'。 向量的数量积的运算律 a?b=b?a（交换律）； (λa)?b=λ(a?b)(关于数乘法的结合律)； （a+b)?c=a?c+b?c（分配律）； 向量的数量积的性质 a?a=|a|的平方。 a⊥b 〈=〉a?b=0。 |a?b|≤|a|?|b|。 向量的数量积与实数运算的主要不同点 1、向量的数量积不满足结合律，即：(a?b)?c≠a?(b?c)；例如：(a?b)^2≠a^2?b^2。 2、向量的数量积不满足消去律，即：由a?b=a?c (a≠0)，推不出b=c。 3、|a?b|≠|a|?|b| 4、由|a|=|b| ，推不出a=b或a=-b。 2、向量的向量积 定义：两个向量a和b的向量积（外积、叉积）是一个向量，记作a×b。若a、b不共线，则a×b的模是：∣a×b∣=|a|?|b|?sin〈a，b〉；a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按这个次序构成右手系。若a、b共线，则a×b=0。向量的向量积性质： ∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积。 a×a=0。 a‖b〈=〉a×b=0。 向量的向量积运算律 a×b=-b×a； （λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）； （a+b）×c=a×c+b×c. 注：向量没有除法，“向量AB/向量CD”是没有意义的。 3、向量的三角形不等式 1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣； ①当且仅当a、b反向时，左边取等号； ②当且仅当a、b同向时，右边取等号。 2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣。 ①当且仅当a、b同向时，左边取等号； ②当且仅当a、b反向时，右边取等号。 4、定比分点
高中数学必修4第二章 平面向量公式及定义
平面向量公式 1、向量的加法 向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则. AB+BC=AC. a+b=(x+x',y+y'). a+0=0+a=a. 向量加法的运算律： 交换律：a+b=b+a； 结合律：(a+b)+c=a+(b+c). 2、向量的减法 如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.0的反向量为0 AB-AC=CB.即“共同起点,指向被减” a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y'). 4、数乘向量 实数λ和向量a的乘积是一个向量,记作λa,且∣λa∣=∣λ∣?∣a∣. 当λ＞0时,λa与a同方向； 当λ＜0时,λa与a反方向； 当λ=0时,λa=0,方向任意. 当a=0时,对于任意实数λ,都有λa=0. 注：按定义知,如果λa=0,那么λ=0或a=0. 实数λ叫做向量a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩. 当∣λ∣＞1时,表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍； 当∣λ∣＜1时,表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍. 数与向量的乘法满足下面的运算律 结合律：(λa)?b=λ(a?b)=(a?λb). 向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa. 数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λ b. 数乘向量的消去律：①如果实数λ≠0且λa=λb,那么a=b.②如果a≠0且λa=μa,那么λ=μ. 3、向量的的数量积 定义：已知两个非零向量a,b.作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角,记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π 定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量,记作a?b.若a、b不共线,则a?b=|a|?|b|?cos〈a,b〉；若a、b共线,则a?b=+-∣a∣∣b∣. 向量的数量积的坐标表示：a?b=x?x'+y?y'. 向量的数量积的运算律 a?b=b?a（交换律）；
高中数学经典解题技巧和方法：平面向量
高中数学经典解题技巧：平面向量【编者按】平面向量是高中数学考试的必考内容，而且是这几年考试解答题的必选，无论是期中、期末还是会考、高考，都是高中数学的必考内容之一。因此，马博士教育网数学频道编辑部特意针对这部分的内容和题型总结归纳了具体的解题技巧和方法，希望能够帮助到高中的同学们，让同学们有更多、更好、更快的方法解决数学问题。好了，下面就请同学们跟我们一起来探讨下平面向量的经典解题技巧。 首先，解答平面向量这方面的问题时，先要搞清楚以下几个方面的基本概念性问题，同学们应该先把基本概念和定理完全的吃透了、弄懂了才能更好的解决问题：1．平面向量的实际背景及基本概念 （1）了解向量的实际背景。 （2）理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义。 （3）理解向量的几何意义。 2．向量的线性运算 （1）掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义。 （2）掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义。 （3）了解向量线性运算的性质及其几何意义。 3．平面向量的基本定理及坐标表示 （1）了解平面向量的基本定理及其意义。 （2）掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。 （3）会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算。 （4）理解用坐标表示的平面向量共线的条件。 4．平面向量的数量积 （1）理解平面向量数量积的含义及其物理意义。 （2）了解平面向量的数量积与向量投影的关系。 （3）掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算。 （4）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直 关系。 5. 向量的应用 （1）会用向量方法解决某些简单的平面几何问题。 （2）会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题。 好了，搞清楚平面向量的上述内容之后，下面我们就看下针对这方面内容的具体的
人教版高中数学定比分点公式的向量形式及应用
定比分点公式的向量形式及应用 众所周知,向量法是解决平面几何问题的重要方法之一,而定比分点公式是解析几何中应用非常广泛的重要公式之一;本文介绍定比分点公式的向量形式及其在解决平面几何问题中的应用;供大家参考. 1 定理及其推论 定理 设点P 分21P P 的比为λ(即21PP P P λ=,1-≠λ),Q 为平面上的任意一点,则21 111QP QP QP λ λ λ+++= .(定比分点公式的向量形式) 证明: ∵21PP P P λ=,∴)(21QP QP QP QP -=-λ 即21)1(QP QP QP λλ+=+,即21 111QP QP QP λ λ λ+++= . 推论1设点P 为OAB ?的边AB 上的点,且 ,,n PB m AP ==则OB n m m OA n m n OP +++=. 推论2设点P 为OAB ?的边AB 的中点,则)(2 1 OB OA OP +=. 推论3 OAB ?中，点P 在直线AB 上的充要条件是：存在实数t ，使 OB t OA t OP )1(-+=成立 证明：（充分性）∵OB t OA t OP )1(-+=， ∴)(OB OA t OB OP -=-，即BA t BP =， 故P B A ,,三点共线，即点P 在直线AB 上. (必要性)(1)当点P 不与B 重合时，可设P 分AB 的比为λ,则由定理可知 OB OA OP λλλ+++= 111,取λ +=11 t 得OB t OA t OP )1(-+=.
(2) 当点P 与B 重合时,可取0=t ,显然有OB t OA t OP )1(-+=成立. 推论4在直角坐标平面中,设()111,y x P ,()222,y x P ,()y x P ,,且点P 分21P P 的比为λ(其中1-≠λ),则λλ++= 121x x x ,λ λ++=12 1y y y (定比分点公式) 证明:取Q 为原点()0,0O ,由定理可得()()),(1,11 ,2211y x y x y x λ λλ+++=, 即λλ++=121x x x ,λ λ++=12 1y y y 2 应用举例 (1)证明比例线段关系 例1 如图，在ABC ?中,E D ,是BC 边的三等分点，D 在B 和E 这之间， F 是AC 的中点， G 是AB 的中点，设 H 是线段DF 与EG 的交点，求比值HG EH :. 分析:要求比值HG EH :的大小,只须得到向量与向量之间的线性关系,由平面向量基本定理可知,可选择一组合适的基底, 则向量EH 、向量都可用这组基底的线性组合表示之,一旦表示成功,则结论也唾手可得了. 证明:设=, =,连结CG 、CH ，由于EC BE 2=, 由推论1可知：=+= 3132)(3 132-+ CG CB -=31)(2131CA CB CB +-==b a 2 161-- 即2 1 61+=；∵D 、H 、F 三点共线，∴t t )1(-+= ))(1(t t --+=== --+)3121)(1(3a b t a t b t a t 2 1312-+-， ∵与EH 是共线向量，∴0312212161=-?--? t t ，即5 3 =t ， E
