绵阳东辰学校高三第三次考试
《数学试题》
本试卷分第I 卷和第Ⅱ卷两部分，共5页。满分150分。考试时间120分钟。
注意事项：
1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将姓名、座号、考生号、科类填写在答题卡规定位置上。 2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置； 如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。 不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（非选择题，共90分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则A B = （ ）
A.{1}
B.{12}，
C.{0123}，，，
D.{10123}-，，，，
2．复数i
i
z +=2（i 为虚数单位)的虚部为 （ ）
A.－2
B.i
C.－2i
D.1
3．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(3，1)，则b －a ＝ （ ） A. (－2，1) B. (2，－1) C. (2，0) D. (4，3) 4．已知1
3
2
a -=，2
12
11
log ,log 33b c ==，则 （ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b >> D ．c b a >>
5．下列有关命题的叙述，错误的个数为 （ ） ① 若p ∨q 为真命题，则p ∧q 为真命题。
② “5x >”是“2450x x -->”的充分不必要条件。
③ 命题P ：?x ∈R ，使得x 2＋x －1<0，则?p ：?x ∈R ，使得x 2＋x －1≥0。 ④ 命题“若,0232
=+-x x 则1=x ”的否命题为假命题 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
6．已知直线1+=x y 与曲线y ln()x a =+相切，则a 的值为 ( ) A. 1 B. －2 C. －1 D. 2
7．若将函数f (x )＝sin 2x ＋cos 2x 的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小正值是
( )
A.π8
B. 3π8
C.3π4
D.π
4
8.设x ，y 满足约束条件????
?x ＋y －1≥0，x －y －1≤0，x －3y ＋3≥0，
则z ＝x ＋2y 的最大值为 ( )
A.8
B.7
C.2
D.1
9．已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，3
()1f x x =- ；当11x -≤≤ 时，()()f x f x -=-；当12x >
时，11
()()22
f x f x +=- .则f (6)= （ ） A.2 B.1 C.0 D.-2
10．如图(1)是反映某条公共汽车线路收支差额(即营运所得票价收入与付出成本的差)y 与乘客x 之间的关系图象，由于目前该条公路亏损，公司有关人员提出了两种调整的建议如图(2)(3)所示．
以下说法：
①图(2)的建议是：提高成本，并提高票价； ②图(2)的建议是：降低成本，并保持票价不变；
③图(3)的建议是：提高票价，并保持成本不变；④图(3)的建议是：提高票价，并降低成本． 其中正确的序号是( )
A ．②③
B ．①④
C ．①③
D ．②④
11.在实数集R 中定义一种运算“*”，对任意a ，b ∈R ，a *b 为唯一确定的实数，且具有性质： (1) 对任意a ∈R ，a *0＝a ；(2) 对任意a ，b ∈R ，a *b ＝ab ＋(a *0)＋(b *0)．
关于函数f (x )＝(e x )*1
e x 的性质，有如下说法：①函数
f (x )的最小值为3；②函数f (x )为偶函数；
③函数f (x )的单调递增区间为(－∞，0]．其中所有正确说法的个数为 ( ) A ．0 B ．3 C ．1 D ．2
12．直角△ABC 的三个顶点都在单位圆2
2
1x y +=上，点11(,)22
M ，则||MA MB MC ++ 的最大值是 ( )
A.
32
＋2 B. 2＋2 C.
2＋l D.
32
＋1
第II 卷（非选择题，共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题 ~ 第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22题 ~ 第24题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
13．计算：sin
cos
12
12
π
π
-= .
14．设向量a ，b 不平行，向量a b λ+与2a b +平行，则实数λ=_________． 15．设,x y R ∈，1,1a b >>，若3x y a b ==，23a b +=11
x y
+的最大值为 16．设函数()f x =(21)x
e x ax a --+,其中1a <，若存在唯一的整数0x ，使得0()0
f x <， 则a 的取值范围是 .
三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（本题满分12分）已知等差数列{a n }中，a 1＝1，公差d ＞0，且a 2，a 5，a 14分别是等比数列{b n }的
第二项、第三项、第四项．
(1) 求数列{a n }和{b n }的通项公式； (2) 求数列{}n n b a +的前n 项和n S 。
18．（本小题满分12分）已知向量)sin ,(sin B A m =，)cos ,(cos A B n =，C n m 2sin =?，
且A 、B 、C 分别为ABC ?的三边a 、b 、c 所对的角． （1）求角C 的大小；
（2）若2=+b a ，设D 为AB 边上中点，求||CD 的最小值。
19．
（本小题满分12分） 已知函数
的图象如图所示·
(1) 求)(x f 在R 上的单调递增区间； (2) 设
是函数)(x f y =的一个零点，
求的值．
20．（本小题满分12分）已知函数11
()212
x f x =
+
-。 （Ⅰ）判断函数()f x 的奇偶性，并证明； （Ⅱ）若对于任意[2,4]x ∈，不等式2
1()()1(1)(7)
x m
f f x x x +<---恒成立，求正实数m 的取值范围。
21．（本小题满分12分）己知函数()ln(1)(1)f x x x x =+->-· （1）求()f x 的单调区间；
（2）若k Z ∈，且3(1)(1)f x x k x
-+>-对任意1x >恒成立，求k 的最大值； （3）对于任意给定常数)1,0(∈a ，是否存在正数x 0，使得2
0)(2
10x a e x f -<成立？请说明理由．
请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框涂黑。
22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲 如图，直线AB 为圆的切线，切点为B ，点C 在圆上，∠ABC 的角平分线BE 交圆于点E ，DB 垂直BE 交圆于D 。 （Ⅰ）证明：DB=DC ；
（Ⅱ）设圆的半径为1，BC=错误!未找到引用源。，延长CE 交AB 于点F ，
求△BCF 外接圆的半径。
23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xoy 中，曲线1cos ,
:sin ,
x t C y t αα=??=?（t 为参数，0t ≠），其中0απ≤<，在以O 为极
点，
x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:2sin C ρθ=，曲线3:23cos C ρθ=．
（Ⅰ）.求2C 与1C 交点的直角坐标；
（Ⅱ）.若2C 与1C 相交于点A ，3C 与1C 相交于点B ，求AB 的最大值．
24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |，g(x )=x +3. （Ⅰ）当a =－2时，求不等式f (x )＜g(x )的解集；
（Ⅱ）设a ＞－1，且当x ∈[－错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。)时，f (x )≤g(x )，求a 的取值范围.
绵阳东辰学校高2014级高三第三次考试理科试题答案
答案CABCB,DBBAA,DD. 13. 22-
,14.2
1
，15，1，16[错误!未找到引用源。，1） 17.解析：(1)∵等差数列{a n }的a 2，a 5，a 14分别是等比数列{b n }的第二、三、四项，且a 1＝1，
即(1＋d )(1＋13d )＝(1＋4d )2，∴d ＝2，a n ＝2n －1，
∵公比q ＝a 5a 2
＝3，a 2＝b 2＝3，∴b n ＝b 2·q n －2＝3·3n －2＝3n －1，故b n ＝3n －
1.
（2）
n S =21
32
-+
n n 18.解：（1）sin cos cos sin sin()m n A B A B A B ?=?+?=+1分
对于,,0sin()sin ,ABC A B C C A B C ππ?+=-<<∴+=sin ,
m n C ∴?=3分
又
sin 2m n C ?=，1sin 2sin ,cos ,.
23
C C C C π∴===2分
（2
）
3
2)()(,
3
cos
22
222222=??
?
??+-+≥-+=++=?++==b a b a ab b a ab b a ab a b π
，
2224336,36,6
c c c c ∴=-?=∴=1分
19．解：(Ⅰ) 由图象知，
2
126561=-=A ，故312161-
=-=b ，
26322πππ=
-=T ，即π=T ，于是由πωπ
=2，解得2=ω． ∵ 6131)62sin(21=-+??π
，且)
2
2(ππ?，-∈，解得
6π?=． ∴
3
1)62sin(21)(-
+=πx x f ．…………………………………………………4分
由
22ππ-k ≤
62π+x ≤2
2ππ+
k ，Z ∈k ，解得3ππ-k ≤x ≤6ππ+k ，Z ∈k ， 即)(x f 在R 上的单调递增区间为Z
∈+-k k k ，，]6
3[π
πππ．………………6分
(Ⅱ)由条件得：
3
1
)62sin(21)(00=-+=πx x f ，即32)62sin(0=+πx ．
∵
0)0()6
(
且)(x f 在
)
6
0(π，上是增函数，
61)6(=π
f >0，3
143)4(-=πf >0，)(x f 在
)
4
6(ππ
，上是减函数，
∴
)
6
0(0π，∈x ，∴ )2
6(6
20ππ
π
，∈+
x ，……………………………………9分
∴
3
5)62(sin 1)62cos(02
0=
+-=+π
π
x x ，
…………………………………10分 ∴
]
6
)62cos[(2cos 00ππ
-+=x x 6
sin )62sin(6cos )62cos(00ππ
π
π
+++=x x
6
215+=
． …………………………………………………………12分
20 ．解：（Ⅰ）由210x -≠，得x
R 且0x
，∴函数的定义域为(,0)(0,)-∞+∞， ·
·· 1分 当(,0)(0,)x ∈-∞+∞时，()1121
2212(21)x x x f x +=+=--， ······················· 2分
()21122(21)2(12)
x x
x x f x --++-==
--， ······················································ 3分 所以()()f x f x -=-， ································································· 4分 ∴f (x )在定义域上是奇函数； ······················································· 5分
(Ⅱ) 由于()2
2ln 2(21)x x f x '=--，
当(,0)x ∈-∞或(0,)x ∈+∞时，()2
2ln 2
0(21)x x f x '=-<-恒成立，
所以()f x 在(,0),(0,)-∞+∞上是减函数， ········································ 6分 因为x ∈[2,4]且m >0，所以210,01(1)(7)
x m
x x x +>>---， ·
····················· 7分 由2
1()()1(1)(7)
x m
f f x x x +<---及()f x 在(0,)+∞上是减函数， 所以
211(1)(7)
x m
x x x +>---， ·························································· 8分 因为x ∈[2,4]，所以m <(x ＋1)(x －1)(7－x )在[2,4]x ∈恒成立． ············· 9分 设g (x )＝(x ＋1)(x －1)(7－x )，[2,4]x ∈，则g (x )＝－x 3＋7x 2＋x －7， ···· 10分 所以g ′(x )＝－3x 2＋14x ＋1＝－373x ?
?- ??
?2＋523，
所以当[2,4]x ∈时，g ′(x )>0 ．
所以y ＝g (x )在[2,4]上是增函数，g (x )min ＝g (2)＝15 ． ····················· 11分 综上知符合条件的m 的取值范围是(0,15)． ··································· 12分
21．解：（1）1
111)(+=
-+=
'x x
x x f ， ∴当x ∈(-1，0)时，0)(>'x f ，即f (x )在(-1，0)上是增函数， 当x ∈(0，+∞)时，0)(<'x f ，即f (x )在(0，+∞)上是减函数．
∴ f (x )的单调递增区间为(-1，0)，单调递减函数区间为(0，+∞)．………3分 （2）由f (x -1)+x >k )3
1(x
-变形得)31()1(ln x
k x x x ->+--， 整理得x ln x +x -kx +3k >0，令g (x )=x ln x +x -kx +3k ，则.2ln )(k x x g -+=' ∵ x >1，∴ ln x >0
若k ≤2时，0)(>'x g 恒成立，即g (x )在(1，+∞)上递增， ∴ 由g (1)>0即1+2k >0解得21
-
>k ，∴ .22
1≤<-k 又∵ k ∈Z ，∴ k 的最大值为2． 若k >2时，由ln x +2-k >0解得x >2-k e ，由ln x +2-k <0，解得1
∵ 当x >2+ln3时，0)(<'x h ，h (x )单调递减，当x <2+ln3时0)(>'x h ，h (x )单调递增． ∴ h (x )在x =2+ln3处取得最大值．∵ 1 3)1(>- =e h ，h (2+ln3)=3+3ln3>0，h (4)=12-e 2>0，h (5)=15-e 3<0， ∴ k ≤4．∴ k 的最大取值为4．…………………………………………………9分 （3）假设存在这样的x 0满足题意，则 由20)(210x a e x f - <等价于011 20 020<-++x e x x a （*） ． 要找一个x 0>0，使(*)式成立，只需找到当x >0时，函数h (x )=11 22-++x e x x a 的最小值h (x )min 满足h (x )min <0即可．∵ )1()(x e a x x h - ='，令)(x h '=0，得e x =a 1，则x =-ln a ，取x 0=-ln a ， 在0 ∴ h (x )min =h (x 0)=h (-ln a )= 1ln )(ln 2 2-++a a a a a