一、实验目的
1、掌握IIR 滤波器的直接II 型、级联型和并联型三种结构的基本原理和特点。
2、掌握利用MATLAB 实现IIR 滤波器的三种结构的程序设计方法，并能够进行三者之间的相互转换。
3、掌握滤波器频响特性的绘制方法。 二、实验原理与计算方法
按照结构划分数字滤波器，有递归式和非递归式两种。递归式数字滤波器的差分方程为
∑∑==-=
-+
M
i i N
k k
i n x b k n y a
n y 1
1
)()()(
(1)
其中至少有一个0≠k a .非递归式数字滤波器的差分方程为
∑=-=M
i i i n x b n y 1)()( (2)
可以看出递归式数字滤波器的响应)(n y 不仅与激励)(n x 有关，而且与以前的输出信号)(k n y -有关；而非递归式数字滤波器的响应)(n y 仅只与激励)(n x 有关。
按照单位样值响应划分数字滤波器，则有无限冲激响应(IIR)和有限冲激响应(FIR)之分。IIR 滤波器是递归式的，差分方程如(1)式所示，FIR 滤波器一般是非递归式的，差分方程如(2)式所示。
IIR 滤波器常用的典型结构有直接II 型、级联型和并联型，分别介绍如下： １、直接II 型（也称为正准型结构） 根据(1)式，IIR 滤波器的传输函数为
∑∑=-=--
=
N
k k
k N
k k
k
z
a
z
b z H 1
01)( (3)
其中已假设(1)式中的M N =，对于其它情况，则可令相应的某些系数为零。
令 11)( ,)(1
201∑∑=-=--
=
=N
k k
k N
k k k z a
z H z b z H
则有)()()(21z H z H z H = (4) 由此可以得到相应的时域中激励)(n x 与响应)(n y 之间的关系为
∑∑==-=
+-=
N
k k
N
k k
k n y b
n y n x k n y a
n y 0
2122)
()()
()()( (5)
其中)(2n y 是与(4)式中的)(2z H 相应的中间函数序列。
由(5)式确定的直接II 型的信号流图如图1所示，其中将中间的两条延时链合并为一条，实际的信号流将按（5）式分成两个延时链独立运行。编程时，用三个数组分别存放系数k k b a ,和)(2k n y -，N k ,,2,1 =。由图可以看出，)(2n y 沿中间的延时链自上向下传播过程中将逐级向右移位，每一级)(2k n y -向左边与k a 的乘积按N k ,,2,1 =累加，再和)(n x 相加，得到的)(2n y 沿中间的延时链又自上向下传播逐级向右移位，
每一级)(2k n y -向右边与k b 的乘积按N k ,,2,1,0 =累加，其结果就是对应于激励)(n x 的响应)(n y 。然后)(2n y 向右移位一个单位时间，输入激励)(n x 计算下一个时刻的响应)(n y 。
直接II 型结构具有简单直观的典型网络结构形式，在计算机上很容易实现。但是它对系数k k b a ,的量值变化比较敏感，k k b a ,直接确定了系统零、极点的位置，从而影响到系统的性能。尤其当阶数N 较高时，系统对系数的字长效应很敏感，产生的误差也较大。
２、级联型结构
由于当直接II 型结构传输函数阶数增加时，系数量化引起的误差影响到滤波器的性能，因此要采用其它形式的结构。
将(3)式的传输函数分子和分母进行因式分解，即用它的零、极点表示为
∏∏∏∏==---==---++-++-=
12
1
2
1
1
221
11
11221101
)
1()
1()
()
1()(N k N k k k k M k M k k k k
k z a z a
z
p
z b z b b
z
q
z H (6)
其中N N N =+212，N M M =+212，分子和分母中的实系数二阶因子分别对应于共轭零、极点。可以将上式分子和分母中单根一阶因子作为二阶因子的一种特例，那么(6)式就可以表示为M 个实系数二阶基本节级联的形式 ∏∏
==----=
++++=M
k k
M
k k k k k k z H
z
a z
a z
b z b b z H 1
12
21
122110)(1)( (7)
2
211221101)(----++++=
z a z a z b z b b z H k k k k k k (8)
其中)(z H k 为滤波器的二阶基本节，
⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡+=21N M 为取整结果。
k k k k k b b b a a 21021,,,,则分别是第
k 个基本
节的分母、分子系数，它们只关系到滤波器的某一对零、极点。级联型结构如图2所示，它是一系列二阶基本节
)(z H k 的级联，每一个)(z H k 可以用直接II 型结构实现。
级联型结构的特点是对滤波器性能的调整比较方便，调整系数k k k k k b b b a a 21021,,,,，只单独涉及到第k 级零、极点，而不会影响到其它任一级的零、极点，因而可以独立地控制滤波器的各零、极点的分布。
x
(n ) y 2(n ) b 0 y (n )
图 1 直接II 型结构信号流
x (n ) h (n ) b h (n ) b y (n )
图 2 级联型结构信号流
