北师大版数学八年级上册知识点总结
第一章 勾股定理
1、勾股定理
直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+
例 如图1，直角三角形ABC 的周长为24，且AB ：BC=5：3，则AC= （ ）.
（A ）6 （B ）8 （C ）10 （D ）12
例 直角三角形两直角边分别为5、12，则这个直角三角形斜边上的高为（ ）.
（A ）6 （B ）8.5 （C ）1320 （D ）13
60
2、勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。
例 若三角形三边长为a 、b 、c ，且满足等式ab c b a 2)(22=-+，则此三角形是 （A ）锐角三角形 （B ）钝角三角形（C ）等腰直角三角形（D ）直角三角形
3、勾股数：满足222c b a =+的三个正整数，称为勾股数。
例 下列各组中，不能构成直角三角形的是（ ）.
（A ）9，12，15 （B ）15，32，39 （C ）16，30，34 （D ）9，40，41
第二章 实数
一、实数的概念及分类
1、实数的分类
正有理数
有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数
无理数 无限不循环小数 负无理数
2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。 归纳起来有四类：
（1）开方开不尽的数，如32,7等；
（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3
π
+8等；
（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； （4）某些三角函数值，如sin60o 等
例 下列命题中，正确的是（ ）。
A 、两个无理数的和是无理数
B 、两个无理数的积是实数
C 、无理数是开方开不尽的数
D 、两个有理数的商有可能是无理数
二、实数的倒数、相反数和绝对值
1、相反数
实数与它的相反数是一对数（只有符号不同的两个数互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a= - b ，反之亦成立。
2、绝对值
在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。（|a|≥0）。零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a≥0；若|a|=-a ，则a≤0。
例 绝对值小于π的整数有__________。
3、倒数
如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。
4、数轴
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。
解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。
三、平方根、算数平方根和立方根
1、算术平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根。特别地，0的算术平方根是0。
表示方法：记作“a ”，读作根号a 。
性质：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。 2、平方根：一般地，如果一个数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个数x 就叫做a 的平方根（或二次方根）。
表示方法：正数a 的平方根记做“a ±”，读作“正、负根号a”。
性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
开平方：求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方。 0≥a
注意a 的双重非负性：
a ≥0
例 若x ，y 都是实数，且42112=+-+-y x x ，则xy 的值（ ）。 A 、0 B 、 2
1
C 、2
D 、不能确定
3、立方根
一般地，如果一个数x 的立方等于a ，即x 3=a ，那么这个数x 就叫做a 的立方根（或三次方根）。
表示方法：记作3a
性质：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。
注意：33a a -=-，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
例 38-＝________，38-＝_________。
例 下列说法中，错误的是（ ）。
A 、4的算术平方根是2
B 、81的平方根是±3
C 、8的立方根是±2
D 、立方根等于-1的实数是-1
例 代数式12+x ，x ，y ,2)1(-m ,33x 中一定是正数的有（ ）。 A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个
例 有一个数的相反数、平方根、立方根都等于它本身，这个数是（ ）。 A 、－1 B 、1 C 、0 D 、±1
四、实数大小的比较
1、实数比较大小：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；数轴上的两个点所表示的数，右边的总比左边的大；两个负数，绝对值大的反而小。
2、实数大小比较的几种常用方法
（1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。 （2）求差比较：设a 、b 是实数，
,0b a b a >?>- ,0b a b a =?=-
b a b a
（3）求商比较法：设a 、b 是两正实数，
;1;1;1b a b
a
b a b a b a b a ?> （4）绝对值比较法：设a 、b 是两负实数，则b a b a 。 （5）平方法：设a 、b 是两负实数，则b a b a 22。
五、算术平方根有关计算（二次根式）
1、含有二次根号“”；被开方数a 必须是非负数。
2、性质：
（1）)0()(2≥=a a a )0(≥a a
（2）==a a 2
)0(<-a a
（3）)0,0(≥≥?=b a b a ab （)0,0(≥≥=?b a ab b a ） （4）
)0,0(>≥=b a b
a
b a （)0,0(>≥=
b a b
a
b a ） 3、运算结果若含有“a ”形式，必须满足：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式
例 计算33841627-+-+的值是（ ）。 A 、1 B 、±1 C 、2 D 、7
六、实数的运算
（1）六种运算：加、减、乘、除、乘方、开方 （2）实数的运算顺序
先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。
（3）运算律
加法交换律 a b b a +=+
加法结合律 )()(c b a c b a ++=++ 乘法交换律 ba ab = 乘法结合律 )()(bc a c ab = 乘法对加法的分配律 ac ab c b a +=+)(
例 已知0525
22=--+-x
x x y ，求7（x ＋y ）－20的立方根。
例 若13223+-+-=x x y ，求3x ＋y 的值。
第三章 图形的平移与旋转
一、平移 1、定义
在平面内，将一个图形整体沿某方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。
2、性质
平移前后两个图形是全等图形，对应点连线平行且相等（即为平移的距离），对应线段平行且相等，对应角相等。
例 将图形平移，下列结论错误的是（ ） A.对应线段相等 B.对应角相等
C.对应点所连的线段互相平分
D.对应点所连的线段相等
B
A
F
D
E
C 二、旋转 1、定义
在平面内，将一个图形绕某一定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角叫做旋转角。
2、性质
旋转前后两个图形是全等图形，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线所成的角等于旋转角。
例 如图，在正方形ABCD 中，E 为DC 边上的点，连结BE ，将△BCE 绕点C 顺时针方向旋转90 得到△DCF ，连结EF ，若∠BEC=60
，则∠EFD 的度数为（ ）
A 、10
B 、15
C 、20
D 、25
例 下列说法正确的是( )
A.平移不改变图形的形状和大小,而旋转则改变图形的形状和大小
B.平移和旋转的共同点是改变图形的位置
C.图形可以向某方向平移一定距离,也可以向某方向旋转一定距离
D.由平移得到的图形也一定可由旋转得到
例 在四边形ABCD 中,∠ADC=∠B=900,DE ⊥AB,垂足为E,且DE=EB=5,请用旋转图形的方法求四边形ABCD 的面积.
┌ ┌ D
C A E B
第四章四边形性质探索
一、四边形的相关概念
1、四边形
在同一平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫做四边形。
2、四边形具有不稳定性
3、四边形的内角和定理及外角和定理
四边形的内角和定理：四边形的内角和等于360°。
四边形的外角和定理：四边形的外角和等于360°。
推论：多边形的内角和定理：n边形的内角和等于?
-)2
(n180°；
多边形的外角和定理：任意多边形的外角和等于360°。
4、设多边形的边数为n，则多边形的对角线共有
2)3
(-
n
n
条。从n边形的一个顶点出发能引（n-3）条对角线，将n边形分成（n-2）个三角形。
例一幅美丽的图案，在某个顶点处由四个边长相等的正多边形密铺而成，其中的三个分别为正三角形、正方形、正六边形，则另外一个是（）
（A）正三角形（B）正方形（C）正五边形（D）正六边形
二、平行四边形
1、平行四边形的定义
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
2、平行四边形的性质
（1）平行四边形的对边平行且相等。
（2）平行四边形相邻的角互补，对角相等
（3）平行四边形的对角线互相平分。
（4）平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点。
相关结论：
（1）若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段的中点是对角线的交点，并且这条直线二等分此平行四边形的面积。
（2）夹在两条平行线间的平行线段相等。
3、平行四边形的判定
（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形
（2）定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形
（3）定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形
（4）定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形
（5）定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
4、两条平行线的距离
两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离。
平行线间的距离处处相等。
5、平行四边形的面积
S平行四边形=底×高=ah
例如图1，□ABCD的周长是28cm，△ABC的周长是22cm，则AC的长为（）（A）6cm （B）12cm （C）4cm （D）8cm
例平行四边形的两邻边分别为3、4，那么其对角线必（）
（A）大于1 （B）小于7 （C）大于1且小于7 （D）小于7或大于1
三、矩形
1、矩形的定义
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
2、矩形的性质
（1）矩形的对边平行且相等
（2）矩形的四个角都是直角
（3）矩形的对角线相等且互相平分
（4）矩形既是中心对称图形又是轴对称图形；对称中心是对角线的交点（对称中心到矩形四个顶点的距离相等）；对称轴有两条，是对边中点连线所在的直线。
3、矩形的判定
（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形 （2）定理1：有三个角是直角的四边形是矩形 （3）定理2：对角线相等的平行四边形是矩形 4、矩形的面积 S 矩形=长×宽=ab
例 如图，在矩形ABCD 中，F 是BC 边上的一点，AF 的延长线交DC 的延长线于G ，DE ⊥AG 于E ，且DE ＝DC ，根据上述条件，请你在图中找出一对全等三角形，并说明你的结论。
四、菱形 1、菱形的定义
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 2、菱形的性质
（1）菱形的四条边相等，对边平行 （2）菱形的邻角互补，对角相等
（3）菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角 （4）菱形既是中心对称图形又是轴对称图形；对称中心是对角线的交点（对称中心到菱形四条边的距离相等）；对称轴有两条，是对角线所在的直线。
3、菱形的判定
（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形
（2）定理1：四边都相等的四边形是菱形
（3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形 4、菱形的面积
S 菱形=底×高=两条对角线乘积的一半
例 菱形的两条对角线长分别为6cm 、8cm ，则它的面积为（ ）2cm ． （A ）6 （B ）12 （C ）24 （D ）48
例 菱形的周长为20cm ，两邻角的比为1：2，则较长的对角线长为（ ） A ．4.5 cm B ．4 cm C ．53 cm D ．43 cm
五、正方形 1、正方形的定义
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 2、正方形的性质
（1）正方形四条边都相等，对边平行 （2）正方形的四个角都是直角
（3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角
（4）正方形既是中心对称图形又是轴对称图形；对称中心是对角线的交点；对称轴有四条，是对角线所在的直线和对边中点连线所在的直线。
3、正方形的判定
判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种： 先证它是矩形，再证它是菱形。 先证它是菱形，再证它是矩形。 4、正方形的面积
设正方形边长为a ，对角线长为b
S 正方形=2
22
b a
例 如图，正方形ABCD 中，E 、F 分别是AB 和AD 上的点，已知CE ⊥BF ，垂足为M ，请找出和BE 相等的线段，并说明你的结论。
六、梯形
1、梯形的相关概念
一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。
梯形中平行的两边叫做梯形的底，通常把较短的底叫做上底，较长的底叫做下底。
梯形中不平行的两边叫做梯形的腰。 梯形的两底间的距离叫做梯形的高。 2、梯形的判定
（1）定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形是梯形。 （2）只有一组对边平行且不相等的四边形是梯形。 3、一般地，梯形的分类如下： 一般梯形
梯形
直角梯形 特殊梯形
等腰梯形
4、直角梯形的定义：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。
5、等腰梯形的定义：两腰相等的梯形叫做等腰梯形。
6、等腰梯形的性质
（1）等腰梯形的两腰相等，两底平行。
（2）等腰梯形同一底上的两个角相等，同一腰上的两个角互补。 （3）等腰梯形的对角线相等。
（4）等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，即两底的垂直平分线。
A
B
C
D
E F
M
7、等腰梯形的判定
（1）定义：两腰相等的梯形是等腰梯形 （2）定理：底角相等的梯形是等腰梯形 （3）对角线相等的梯形是等腰梯形 8、梯形的面积
（1）如图，DE AB CD S ABCD ?+=
)(2
1
梯形 （2）梯形中有关图形的面积： ①BAC ABD S S ??=； ②BOC AOD S S ??=； ③BCD ADC S S ??=
例 下列语句中，正确的是（ ）
（A ）平行四边形的对角线相等 （B ）平行四边形的对角线互相垂直平分 （C ）等腰梯形的对角线互相垂直 （D ）矩形的对角线互相平分且相等
例 在四边形ABCD 中，∠A 、∠B 、∠C 、∠D 的度数比为1∶2∶2∶3，则这个四边形是（ ）
（A ）平行四边形 （B ）等腰梯形 （C ）菱形
（D ）直角梯形
例 如图2，等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AC ⊥BC ，点E 是AB 的中点，且AD=AE ，EC ∥AD ，则∠ABC 等于（ ）
（A ）75° （B ）70° （C ）60° （D ）30°
七、有关中点四边形问题的知识点：
（1）顺次连接任意四边形的四边中点所得的四边形是平行四边形； （2）顺次连接矩形的四边中点所得的四边形是菱形； （3）顺次连接菱形的四边中点所得的四边形是矩形； （4）顺次连接等腰梯形的四边中点所得的四边形是菱形； （5）顺次连接对角线相等的四边形四边中点所得的四边形是菱形； （6）顺次连接对角线互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是矩形； （7）顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形四边中点所得的四边形是正方形；
例 已知：如图，在矩形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为边AB 、BC 、CD 、DA 的中点。若AB ＝2，AD ＝4，则图中阴影部分的面积为（ ）
（A ）3 （B ）4 （C ）6 （D ）8
八、中心对称图形 1、定义
在平面内，一个图形绕某个点旋转180°，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心。
2、性质
（1）成中心对称的两个图形是全等图形。
（2）成中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。
（3）成中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。 3、判定
如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。
A E B
F C
G D H
例 下列图形中，是中心对称图形而不是轴对称图形的是（ ） A ．平行四边形
B ．矩形
C ．菱形
D ．正方形
九、四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形、直角梯形的关系图：
第五章 位置的确定
一、在平面内，确定物体的位置一般需要两个数据。 二、平面直角坐标系及有关概念 1、平面直角坐标系
在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴，组成平面直角坐标系。其中，水平的数轴叫做x 轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y 轴或纵轴，取向上为正方向；x 轴和y 轴统称坐标轴。它们的公共原点O 称为直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。
2、为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x 轴和y 轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。
注意：x 轴和y 轴上的点（坐标轴上的点），不属于任何一个象限。 3、点的坐标的概念
对于平面内任意一点P,过点P 分别x 轴、
y 轴向作垂线，垂足在上x 轴、y 轴对应的数a ，b 分别叫做点P 的横坐标、纵坐标，有序数对（a ，b ）叫做点P
的坐标。
点的坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当b
a≠时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标。
平面内点的与有序实数对是一一对应的。
例点M在x轴的上侧，距离x轴5个单位长度，距离y轴3个单位长度，则M 点的坐标为（）
A. （5,3）
B. （－5,3）或（5,3）
C. （3,5）
D. （－3,5）或（3,5）
4、不同位置的点的坐标的特征
（1）各象限内点的坐标的特征
点P(x,y)在第一象限0
,0>
?y
x
>
点P(x,y)在第二象限0
x
?y
,0>
<
点P(x,y)在第三象限0
?y
x
<
,0<
点P(x,y)在第四象限0
?y
x
>
,0<
（2）坐标轴上的点的特征
点P(x,y)在x轴上0
=
?y，x为任意实数
点P(x,y)在y轴上0
?x，y为任意实数
=
点P(x,y)既在x轴上，又在y轴上?x，y同时为零，即点P坐标为（0，0）即原点
（3）两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征
点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线（直线y=x）上?x与y相等
点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上?x与y互为相反数
（4）和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征
位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。
位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。
（5）关于x轴、y轴或原点对称的点的坐标的特征
点P与点P’关于x轴对称?横坐标相等，纵坐标互为相反数，即点P（x，
y ）关于x 轴的对称点为P’（x ，-y ）
点P 与点P’关于y 轴对称?纵坐标相等，横坐标互为相反数，即点P （x ，y ）关于y 轴的对称点为P’（-x ，y ）
点P 与点P’关于原点对称?横、纵坐标均互为相反数，即点P （x ，y ）关于原点的对称点为P’（-x ，-y ）
(6)点到坐标轴及原点的距离 点P(x,y)到坐标轴及原点的距离： （1）点P(x,y)到x 轴的距离等于y （2）点P(x,y)到y 轴的距离等于x （3）点P(x,y)到原点的距离等于22y x +
例 设点A （m ，n ）在x 轴上，位于原点的左侧，则下列结论正确的是（ ）
A. m=0，n 为一切数
B. m=0，n<0
C. m 为一切数，n=0
D. m<0，n=0
例 在坐标轴上与点M （3，－4）距离等于5的点共有（ ）
A. 2个
B. 3个
C.4个
D. 1个
例 如图，坐标平面内一点A （2，－1），O 是原点，P 是x 轴上一个动点，如果以点P 、O 、A 为顶点的等腰三角形，那么符合条件的动点P 的个数为
A ．2
B ． 3
C ．4
D ．5
_ P
_y
_x
_ A
_ O
例如图所示，四边形OABC为正方形，边长为6，点A、C分别在x轴，y轴的正半轴上，点D在OA上，且D点的坐标为（2，0），P是OB上的一个动点，试求PD+PA和的最小值是（）
A．10
2B．10C．4D．6
三、坐标变化与图形变化的规律：
坐标(x,y)的变化图形的变化
x × a或y × a 横向或纵向拉长（压缩）为原来的a倍
x × a，y × a 放大（缩小）为原来的a倍
x ×(-1)或y ×(-1) 关于y 轴或x 轴对称
x ×(-1)，y ×(-1) 关于原点成中心对称
x +a或y+ a 沿x 轴或y 轴平移a个单位
x +a，y+ a 沿x 轴平移a个单位，
再沿y 轴平移a个单位
例在平面直角坐标系中，若一图形各点的横坐标不变，纵坐标分别减3，那么图形与原图形相比（）
A、向右平移了3个单位长度
B、向左平移了3个单位长度
C、向上平移了3个单位长度
D、向下平移了3个单位长度
第六章一次函数
一、函数：
一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果给定一个x值，相应地
就确定了一个y 值，那么我们称y 是x 的函数，其中x 是自变量，y 是因变量。 二、自变量取值范围
使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。一般从整式（取全体实数），分式（分母不为0）、二次根式（被开方数为非负数）、实际意义几方面考虑。 例 函数y=x
x 3
-的自变量的取值范围是( ) A ．x ≥3
B ．x ＞3
C ．x ≠0且x ≠3
D ．x ≠0
三、函数的三种表示法及其优缺点
（1）关系式（解析）法
两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做关系式（解析）法。
（2）列表法
把自变量x 的一系列值和函数y 的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。
（3）图象法
用图象表示函数关系的方法叫做图象法。 四、由函数关系式画其图像的一般步骤
（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值
（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点
（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。 五、正比例函数和一次函数 1、正比例函数和一次函数的概念
一般地，若两个变量x ，y 间的关系可以表示成b kx y +=（k ，b 为常数，k ≠0）的形式，则称y 是x 的一次函数（x 为自变量，y 为因变量）。
特别地，当一次函数b kx y +=中的b=0时（即kx y =）（k 为常数，k ≠0），称y 是x 的正比例函数。
2、一次函数的图像: 所有一次函数的图像都是一条直线
3、一次函数、正比例函数图像的主要特征：
一次函数b
kx
y+
=的图像是经过点（0，b）的直线；正比例函数kx
y=的图像是经过原点（0，0）的直线。
k的符号b的符
号
函数图像图像特征
k>0 b>0
y
0 x
图像经过一、二、三象限，
y随x的增大而增大。
b<0
y
0 x
图像经过一、三、四象限，
y随x的增大而增大。
k<0 b>0
y
0 x
图像经过一、二、四象限，
y随x的增大而减小
b<0
y
0 x
图像经过二、三、四象限，
y随x的增大而减小。
注：当b=0时，一次函数变为正比例函数，正比例函数是一次函数的特例。
北师大版一年级数学上册《前后》教学设计（ 教学内容:北师大版数学一年级上册62至63页 教材分析:《前后》是义务教育教科书数学（北师大版）一年级上册第五单元位置与顺序中第一课时的教学内容.本单元的主要内容有:认识前后、左右、上下,这些内容是空间与图形的启蒙知识,也是学生在生活中辨认方向的基础知识.为了让学生直观地认识物体相对位置关系,教材借助“森林运动会”这一有趣的情境,让学生学习用“前后”描述物体的相对位置与顺序,初步培养学生的空间观念. 学情分析:. 学生在生活中曾有过“前后”的体验,因而学习本课的内容,不会很吃力,但让学生用完整的语言去描述可能会有一定的困难，因此，教学中注重在具体情境中引导学生去观察、去比较、去体验、去反思从而获取知识. 教学目标: 1：在对实际情境的观察中，认识物体“前后”的相对位置与顺序，初步培养空间观念。 2：能用语言表达实际情境中物体间的“前后”关系。 3：感受数学与生活的联系，培养探索精神，树立学数学、用数学、爱数学的信心 教学重难点: 1. 能确定物体前后的位置与顺序,并能用自己的语言表达. 2. 体验前后的相对性. 教学准备:课件等 教学流程: 一、创设情境探究新知: 同学们,你们还记得在幼儿园时参加运动会的情景吗？场面是不是很热闹,今天,在森林里也很热闹,原来,小动物们正在举行森林运动会,你们想去看一看吗？ 【设计意图: 力求创设一个贴近儿童生活的、极富亲和力的运动场景，以便有效地激发儿童的学习动机，激起儿童创造的欲望。】 1.观看赛跑比赛,初步感知“前后”（出示赛跑主题图:） （1）、认识两个物体的相对位置关系 师:同学们,仔细看一看,小动物们都举行了什么比赛？都有谁参加了? （生1:跑步比赛. 生2:有小鹿……） 师：比赛真激烈呀,. 瞧！现在谁在最前面，谁在最后面？谁能说说其他小动物的位置？（学生自由大胆表达：有的会说第几，有的会说前后……） 师：根据学生的回答适时板书：——在——的前面，——在——的后面。 师质疑：同学们说的真不错,可老师在同学们说的过程中有一个不明白的问题：比如说：同样是小兔，为什么有人说在前面，有人说后面？ （学生讨论、汇报。从而认识“比较对象不同，前后的位置关系也不同”初次渗透前后的相对性。） （2）认识多个物体的相对位置关系 师：这时比赛更激烈了,到最后冲锋的时刻了,小兔心里可急坏了，它着急地想问问大家：“我的前面有谁？后面有谁？”谁来告诉它？ （学生：表达……） 师：你们能不能告诉自己喜欢的小动物它的前面有谁，有几个？后面有谁，有几个？ （学生：表达……） 师：a根据学生的回答及时板书：——的前面有——，——的后面有——。
北师大版八年级上册数学整理总结 第一章 勾股定理 1、勾股定理 直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+ 2、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股数：满足222c b a =+的三个正整数，称为勾股数。 第二章 实数 一、实数的概念及分类 1、实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数 2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如32,7等； （2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3 π+8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； （4）某些三角函数值，如sin60o 等 二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数 实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b ，反之亦成立。 2、绝对值 在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。（|a|≥0）。零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a≥0；若|a|=-a ，则a≤0。 3、倒数 如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。 4、数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。 解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。 5、估算 三、平方根、算数平方根和立方根
北师大版五年级上册数学知识点归纳 集团标准化小组：[VVOPPT-JOPP28-JPPTL98-LOPPNN]
北师大版五年级上册数学概念整理 一、倍数与因数 1、像0，1，2，3，4，5，6……这样的数是自然数。最小的自然数是0，没有最大的自然数。注意：我们现在研究的都是0除外的自然数。 2、像-3，-2，-1，0，1，2，3，……这样的数是整数。没有最大和最小的整 数。 自然数一定是整数，整数不一定是自然数。（即整数包括自然数） 3、倍数和因数：倍数和因数是相互依存的。如：4×5=20，就可以说20是4和5的倍数，4和5是20的因数。 * 判断题或填空题易出。如：4×5=20，4是因数，20是倍数，这是错误的。 一个数的倍数有无数个，倍数的个数是无限的，而因数的个数是有限的。 4、找因数：找一个数的因数，一对一对有序地找就不会重复和遗漏。 一个数因数的个数是有限的。一个数最小的因数是1，最大的因数是它本身。 1的因数只有1个，就是1。如：36的因数：1，36，2，18，3，12，4，9，6 5．找倍数：从1倍开始有序地找。一个数倍数的个数是无限的。因此一个数没有最大的倍数，最小的倍数是它本身。 一个数最大的因数等于它最小的倍数都是它本身。 例：一个数最大的因数与最小的倍数是18，这个数是（ 18 ）。 6、2，3，5的倍数特征： 2的倍数的特征：个位是0、2、4、6、8的数是2的倍数。 5的倍数的特征：个位是0或5的数是5的倍数。 3的数的特征：各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 既是2的倍数又是5的倍数的特征：个位是0的数。 既是2的倍数又是3的倍数的特征：个位是0、2、4、6、8且各个数位上的数字的和是3的倍数 既是3的倍数又是5的倍数的特征：个位是0或5且各个数位上的数字的和是3的倍数。
北师大版小学数学三年级（上册）知识点一、本册知识点 一级知识点二级知识点三级知识点 数与代数数的运算 1、百以内一位数乘（除）两位数的口算 2、一位数乘两、三位数的乘法和连乘；结合具体情况 进行估算 3、一位数除两、三位数的除法和连除；乘除混合两步 运算 4、解决生活中简单的乘、除应用题 常见的量 1、质量单位千克、克、吨 2、千克、克、吨之间的换算,简单的实际问题 3、年、月、日与24时计时法 空间与图形图形的认识 从三个方向观察用小正方体搭成的立体图形形状测量 1．周长的认识 2．长方形、正方形的周长计算 统计与概率不确定现象 用“一定，经常，偶尔，不可能”等描述事件发生 的可能性。 二、单元课时知识点 第一单元乘除法 整十、整百数乘一位数 口算乘法 两位数乘一位数 乘除法 整十、整百数除以一位数 口算除法 两位数除以一位数
第一节小树有多少棵 知识点：1、掌握口算一位数乘（除）整十、整百、整千数以及百以内一位数乘（除）两位数的口算方法，有一定的口算速度和技巧，体验算法多样化。 2、能正确、熟练地口算乘、除法，口算速度约为每分种6－8道，正确率达90% 以上。 3、着重引导学生理解20×3的算理，即先计算2×3=6，再在积的末尾添上一 个0，从而得到20×3=60。 4、进一步把题目扩展到整百数乘一位数，由学生自己去类推。 5、给学生适当的练习，用于巩固学生所学的知识。 第二节需要多少钱 知识点：1、一位数乘两、三位数的乘法和连乘，结合具体情况进行估算 2、两位数乘一位数的口算，学会两位数乘一位数的方法。掌握0和任何数相 乘都得0这一规律； 3、能正确计算两、三位数乘一位数及一个数连续乘两个一位数的乘法，5分钟 2－3道，正确率达90%以上。 4、使学生理解计算的过程，主要需要解决两个问题，一是如何把两位数转化 成整十数和一位数的和，二是分别求乘积再相加的问题。 5、通过实力引入两位数乘一位数的计算问题，先让学生自己想办法解决。 6、讲解两位数乘一位数的计算方法，并演示计算的过程。10×3=30，2×3=6， 30+6=36，即先将12拆成10和2，再分别与3相乘，然后将乘积相加。 7、出几个练习题让学生用所讲的方法来解答，在解答过程中发现问题并及时 解决。 第三节参加科技馆 知识点：1、掌握计算两、三位数除以一位数除法的方法，5分钟约2－3道，正确率达到90%以上。掌握0除以任何不是0的数都得0这一规律；掌握用估算进行 试商的方法；能用乘法验算除法。 2、通过实例实例引入两位数除以一位数的计算问题，先让学生自己想办法解 决。 3、讲解两位数除以一位数的计算方法，并演示计算的过程：30÷3=10，6÷3=2， 10+2=12（这种方法用了上节课的整十数除以一位数的知识。） 4、出几道练习题让学生用所讲的方法来解答，在解答的过程中发现问题并及 时解决。 第二单元观察物体 按照要求正确搭建图形 搭建图形
九（上）数学知识点答案 第一章证明（一） 1、你能证明它吗？ （1）三角形全等的性质及判定 全等三角形的对应边相等，对应角也相等 判定：SSS、SAS、ASA、AAS、 （2）等腰三角形的判定、性质及推论 性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角） 判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边） 推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”）（3）等边三角形的性质及判定定理 性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60度；等边三角形的三条边都满足“三线合一”的性质；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴。 判定定理：有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。或者三个角都相等的三角形是等边三角形。 （4）含30度的直角三角形的边的性质 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 2、直角三角形 （1）勾股定理及其逆定理 定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。 逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。（2）命题包括已知和结论两部分；逆命题是将倒是的已知和结论交换；正确的逆命题就是逆定理。 （3）直角三角形全等的判定定理 定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL） 3、线段的垂直平分线 （1）线段垂直平分线的性质及判定 性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 （2）三角形三边的垂直平分线的性质 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。 （3）如何用尺规作图法作线段的垂直平分线 分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于AB的一半长为半径作弧，两弧交于点M、N；作直线MN，则直线MN就是线段AB的垂直平分线。 4、角平分线 （1）角平分线的性质及判定定理 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等； 判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。 （2）三角形三条角平分线的性质定理 性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。 （3）如何用尺规作图法作出角平分线
数的认识 【教学内容】 数的认识 【教学目标】 1.使学生理解数“1”的含义,掌握古人计数的方法,理解“同一个数字所占的位置不同,表示的意义也不同”。 2.使学生学会比较数的大小,体会对应的思想。 3.使学生领悟基数(表示几个)和序数(表示第几)的含义。 【教学重难点】 重点:理解数“1”的含义,掌握古人计数的方法,理解“同一个数字所占的位置不同,表示的意义也不同”。 难点:在比较两类物体的个数、比较两个数大小的活动中,培养初步的对应思想和用数学语言、数学符号描述关系的能力。 【教学准备】 课件 【教学过程】 一、情境导入 时间过得真快啊!这本书的新内容我们就学完了,现在我们回过头来进行系统的整理与复习,这节课我们主要复习“数的认识”。(板书课题) 设计意图:开门见山地告诉学生这节课要进行的教学内容,避免复习时杂乱无章,尽量做到目标明确、有条不紊。 二、探究新知 先想一想,在“数的认识”这一小板块,我们学过哪些内容? 看图中有几只小鸡?几只小鸭?你知道了什么?(课件出示:教材第95页情境图) 有4只小鸡,有6只小鸭,我知道了小鸡比小鸭少,4<6。 有4只小鸡,有6只小鸭,我知道了小鸭比小鸡多,6>4。 在比较数的大小时,我们可以一个一个地对着比,也可以数出来之后根据数的顺序再比。我们还学了什么呢? 学了同一个数,既可以表示几个,又可以表示第几。 看图(课件出示),有几只小动物?小猫排在第几? 有7个小动物,小猫排第7。 这两句话中的“7”表示的意思一样吗? 不一样,“7只”表示的是一共有7只小动物,是较多的,“第7”表示的是这7只中的一只。 想想我们还学什么呢? 古人用1块大石头表示10,就像计数器上十位上的数字;用小石头表示一个
《数学》（八年级上册）知识点总结（北师大版） 第一章 勾股定理 1、勾股定理-----已知直角三角形，得边的关系 直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即2 2 2 c b a =+ 2、勾股定理的逆定理-----由边的关系，判断直角三角形 如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系2 2 2 c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股数：满足2 2 2 c b a =+的三个正整数a ，b ，c ，称为勾股数。 常见的勾股数有：（6,8,10）（3,4,5）（5,12，,13）（9,12,15）（7,24,25）（9,40,41）…… 规律：（1）、短直角边为奇数，另一条直角边与斜边是两个连续的自然数，两边之和是短直角边的 平方。即当a 为奇数且a ＜b 时，如果2 b c a +=，那么a,b,c 就是一组勾股数. 如：（3,4,5）（5,12，,13）（7,24,25）（9,40,41）…… （2）大于2的任意偶数，2n(n ＞1)都可构成一组勾股数分别是：2 2 2,1,1n n n -+ 如：（6,8,10）（8,15,17）（10,24,26）…… 4、常见题型应用： （1）已知任意两条边的长度，求第三边/斜边上的高线/周长/面积…… （2）已知任意一条的边长以及另外两条边长之间的关系，求各边的长度//斜边上的高线/周长/面 积…… （3）判定三角形形状： 222a b c +> 锐角三角形，222a b c +=直角三角形，222a b c +<钝角三角形 判定直角三角形 a..找最长边； b.比较长边的平方与另外两条较短边的平方和之间的大小关系； c.确定形状 第二章 实数 1. 无理数的引入。无理数的定义无限不循环小数。
北师大版数学五年级上 册全册教案 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】
北师大版小学数学五年级上册全册教案 第一单元小数除法 第一节精打细算 [教学内容]精打细算（第2-3页） [教学目标] 1：理解小数除法的意义。 2：掌握小数除以整数（恰好除尽）的计算方法。 [教学重点] 小数除法的意义，小数除以整数（恰好除尽）的计算方法。 [教学难点] 商的小数点与被除数的小数点对齐。 [教学过程] 一、导入新课，创设情境，提出问题 1、淘气打算去买牛奶，你从图上得到了什么数学信息？ 2、根据图上的数学信息，你能提出哪些数学问题？ 3、教师根据学生提出的问题，引导学生列出算式： ÷5 ÷6 引导学生观察这两个算式与以往我们学过的除法算式有什么不同。（被除数都是小数，除数都是整数） 师：我们今天就来研究小数除以整数的计算方法，看看淘气到底应该买哪个商店的牛奶。 二、探索新知，解决问题 1、师：两个商店牛奶的单价分别是多少呢？我们先算一算甲商店的牛奶单价。 引导学生结合自己的生活经验和已经掌握的知识先自己想一想，并且尝试计算，然后在小组内讨论交流一下想法。 2、学生交流讨论，老师巡视指导。 3、请小组选派代表汇报讨论结果，指名学生板演。 4、老师引导学生比较汇总的各种方法，认为哪个方法比较简便实用？ 学生可能会将元转换为115角进行计算，老师应追问：为什么要化成115角进行计算？让学生进一步明确将小数转化成整数进行计算的思想和方法。也可能有学生直接运用竖式进行计算，老师应大胆放手让学生说出自己的想法，引导出“商的小数点与被除数的小数点对齐”。 5、理解算理：师生共同探究“商的小数点为什么要与被除数的小数点对齐”。先让学生说出自己的观点，再进行引导。将元平均分成5份，先将11平均分成5份，每份是2元，还剩1元，再将1元看作10角，加上5角，一共15角，平均分成5份是3角，3的单位是角，写成以元为单位的小数时，3
北师大版《数学》（八年级上册）知识点总结 第一章 勾股定理 1、勾股定理 直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即2 2 2 c b a =+ 2、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系2 2 2 c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股数：满足2 2 2 c b a =+的三个正整数，称为勾股数。 第二章 实数 一、实数的概念及分类 1、实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数 2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如32,7等； （2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如 3 π +8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； （4）某些三角函数值，如sin60o 等 二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数 实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b ，反之亦成立。 2、绝对值 在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。（|a|≥0）。零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。 3、倒数 如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。 4、数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。
第一单元生活中的数 第一课时数铅笔 一、复习 1、数数：从1数到20,一个一个地数 2、从1数到20,两个两个地数 3、从1数到20,五个五个地数 二、新课尝试 1、数数：从20数到100,一个一个地数 2、从20数到100,两个两个地数 3、从20数到100,五个五个地数 4、从20数到100,十个十个地数 知识点：十个十是100 三、巩固练习 1、圈一圈,数一数。 ★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★共（）个 2、数出下面各数的后面,连续数出五个数来。 二十三五十六七十七八十九九十五 3、想一想,说一说 34,36,38,（）,（）,（） 90,80,70,60,（）,（）,（）
一、复习 1、数数：从20数到100,一个一个地数 2、从20数到100,两个两个地数 3、从20数到100,五个五个地数 4、从20数到100,十个十个地数 二、新课尝试 1、抓一把豆子先估计,再数一数,然后把数字写下来 2、在计数器上拔出28,8在（）位上,表示（）个（）2在（）位上,表示（）个（） 3、在计数器上拔出100,认识百位 知识点：右边起第三位是百位 三、巩固练习 1、写出计数器上的数（书本练习1、 2、3） 2、写一写 十位上是4,个位上是7,这个数是（） 十位上是8,个位上是9,这个数是（） 个位上是4,十位上是7,这个数是（） 百位上是1,其他数位上是0,这个数是（） 3、从右边数起,第一位是（）位,第二位是（）位,第三位是（） 位
一、复习 1、从20数到100,一个一个地数 2、十位上是8,个位上是9,这个数是（） 个位上是4,十位上是7,这个数是（） 个位上是6,十位上是1,这个数是（） 二、新课尝试 1、看图,先数一数,再把数字写下来 ★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★（） ★★★★★★★★★★★★★★★★★★（） 2、尝试 26○31 67○49 89○90 3、小组学习：比一比下面计数器上的数（第6页） 知识点：十位上的数相同,就比个位上的数谁大的就大。三位数比两位数大。 三、巩固练习 1、按顺序填数 41,43,（）,（）,（）,（）,（） 88,86,（）,（）,（）,（）,（） 2、比较大小 45○54 78○67 89○89 58○91 67○49 第四课时小小养殖场
北师大版小学数学五年上册各单元主要知识点第一单元《倍数与因数》 数的世界 知识点： 1、认识自然数和整数，联系乘法认识倍数与因数。 像0，1，2，3，4，5，6，…这样的数是自然数。 像-3，-2，-1，0，1，2，3，…这样的数是整数。 2、我们只在自然数（零除外）范围内研究倍数和因数。 3、倍数与因数是相互依存的关系，要说清谁是谁的倍数，谁是谁的因数。 补充知识点： 一个数的倍数的个数是无限的。一个数的因数的个数是有限的。 探索活动（一）2，5的倍数的特征 知识点： 1、2的倍数的特征。 个位上是0，2，4，6，8的数是2的倍数。 2、5的倍数的特征。 个位上是0或5的数是5的倍数。 3、偶数和奇数的定义。 是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。 4、能判断一个数是不是2或5的倍数。能判断一个非零自然数是奇数或偶数。 补充知识点： 既是2的倍数，又是5的倍数的特征。个位上是0的数既是2的倍数，又是5的倍数。 探索活动（二）3的倍数的特征 知识点： 1、3的倍数的特征。 一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 2、能判断一个数是不是3的倍数。 补充知识点：
1、同时是2和3的倍数的特征。 个位上的数是0，2，4，6，8，并且各个数位上的数字的和是3的倍数的数，既是2的倍数，又是3的倍数。 2、同时是3和5的倍数的特征。 个位上的数是0或5，并且各个数位上的数字的和是3的倍数的数，既是3的倍数，又是5的倍数。 3、同时是2，3和5的倍数的特征。 个位上的数是0，并且各个数位上的数字的和是3的倍数的数，既是2和5的倍数，又是3的倍数。 找因数 知识点： 在1～100的自然数中，找出某个自然数的所有因数。方法：运用乘法算式，思考：哪两个数相乘等于这个自然数。 补充知识点： 一个数的因数的个数是有限的。其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。 找质数 知识点： 1、理解质数与合数的意义。 一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫作质数。 一个数除了1和它本身以外还有别的因数，这个数叫作合数。 2、1既不是质数也不是合数。 3、判断一个数是质数还是合数的方法： 一般来说，首先可以用“2，5，3的倍数的特征”判断这个数是否有因数2，5，3；如果还无法判断，则可以用7，11等比较小的质数去试除，看有没有因数7，11等。只要找到一个1和它本身以外的因数，就能肯定这个数是合数。如果除了1和它本身找不到其他因数，这个数就是质数。 数的奇偶性 知识点： 1、运用“列表”“画示意图”等方法发现规律：
五年级第一学期数学教案 教学工作计划 一、教材分析 1、教材简析 数与代数 （1）第一单元“倍数与因数”，主要是自然数的认识，倍数与因数，2，5，3倍数的特征，质数与合数，奇数与偶数。 （2）第三单元“分数”，主要学习分数的意义，能认、读、写简单的分数，会进行简单的同分母分数加减运算，能运用分数表示一些事物，解决一些简单的实际问题。 （3）第四单元“分数加减法”，主要学习异分母分数加减法以及实际应用、分数的混合运算、分数与小数的相互转化。 空间与图形 （1）第二单元“图形的面积（一）”，主要学习平面图形大小的比较，平行四边形、三角形与梯形的底和高的认识以及相关的面积计算。 （2）第五单元“图形的面积（二）”，主要学习组合图形的面积计算以及一些有趣的简单不规则图形的面积计算。 统计与概率 第六单元“可能性的大小”，主要学习用分数表示可能性的大小，运用所学知识设计方案。 综合应用 进一步整合“数与代数”“空间与图形”“统计与概率”三个领域的内容，加强数学知识与生活中的问题相结合，提高学生的综合应用能力。 2、教学目标 （1）会进行数的分类，理解自然数与整数的概念。理解掌握倍数与因数，2，5，3倍数的特征，知道什么是质数与合数，奇数与偶数。 （2）认识平行四边形、三角形和梯形的底、高，理解掌握相关的面积计算；会计算组合图形的面积及简单的不规则图形面积。 （3）认识真分数、假分数，理解分数与除法的关系，能正确进行假分数与带分数或整数的互化；探索分数的基本性质，正确进行分数大小的比较；运用分数解决一些简单的实际问题；体会分数与现实生活的联系，初步了解分数在现实生活中的应用。 （4）理解分数四则混合运算的运算顺序，并能正确计算；正确进行分数与有限小数的互化。 （5）能用分数表示可能性的大小，运用所学知识设计方案。 3、教学重点 （1）倍数与因数；2，5，3倍数的特征；奇数与偶数；质数与合数。
北师大版一年级数学上册知识点总结 1、快乐的家园：用□、△等符号表示数。 2、玩具： 1-5 的书写笔画和书写姿势。 (1 像小棒斜着放，2 像小鸭嘎嘎叫，3 像耳朵弯又弯，4 像红旗迎风飘，5 像铁钩多个横。) 3、小猫钓鱼：认+写 0，0 的意义：①一个也没有②起点③分界④占位 4、文具：掌握 10 以内数的顺序和大小，正确数出物体的个数，正确读书。 5、快乐的午餐：渗透一一对应思想，理解一样多，谁比谁多或少. 6、动物乐园：认识>、=、<，用>、=、<表示 10 以内数的大小。 第二章比较 1、过生日：比较大小，理解大小是相对的 2、下课啦：两个或三个物体之间的比较，理解比较高矮或长短在同一起点下进行。 3、跷跷板：三种物体间的比较，最重最轻(轻重、厚薄、大小) 第三章加与减（一） 1、一共有多少：加法的含义，读写加法算式（5 以内的加法）
2、还剩下多少：5 以内的减法，减法的含义。 3、可爱的小猫：5 以内的加减法，理解得数 0 的减法算式的实际。 练习一 4、猜数游戏：熟练计算 6 的加减法，对 6 的加减法进行有序整理。 5、背土豆：7 的加减法 6、跳绳：8 的加减法、9 的加减法 7、可爱的企鹅：复习 6、7、8、9 的加减法 8、小鸡吃食：10 的加减法 9、乘车：三个数的加减法，说出运算顺序并正确计算 练习二 10、做个加法表(0-10) 11、做个减法表(0-10) 整理与复习 第四章分类 1、整理房间：按一定标准进行分类。 2、一起来分类：根据不同标准对物体进行分类，标准不同，结果不同。 第五章位置与顺序 1、前后
2、上下 3、左右 4、教室 第六章认识图形 1、认识图形：长方体、正方体、圆柱、球 2、我说你做：运用方向摆放几何模型，强化几何特征。 第七章加与减（二) 1、古人计数：11-20 掌握顺序，初步认识十位，各位。感受以十为单位的计数 2、搭积木：20 以内的直加直减。 3、有几瓶牛奶：9 加几的进位加法。凑十法 4、有几棵树：8 加几的进位加法。 5、有几只小鸟：7、 6、5、加几的进位加法。 练习三 做个加法表(11-18) 数学好玩 1、淘气的校园：发现数学信息，提出数学问题。 2、一起做游戏第八章认识钟表 1、小明的一天:认识表的结构. 整时：分针指着十二，十针指着几就是几时。半时：分针指着六，时针指着几就是几点半。
北师大版八年级上册数学知识点总结 第一章 勾股定理 1、勾股定理 （1）直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的 平方，即2 22c b a =+ （2）勾股定理的验证：测量、数格子、拼图法、面积法，如青朱出入图、五巧板、玄图、总统证法……（通过面积的不同表示方法得到验证，也叫等面积法或等积法） （3）勾股定理的适用范围：仅限于直角三角形 2、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系2 22c b a =+，那 么这个三角形是直角三角形。 3、勾股数：满足2 22c b a =+的三个正整数a ，b ， c ，称为勾股数。 常见的勾股数有：（6,8,10）（3,4,5）（5,12，,13）（9,12,15）（7,24,25）（9,40,41）…… 规律：（1），短直角边为奇数，另一条直角边与斜边是两个连续的自然数，两边之和是短直角边的平方。即当a 为奇数且a ＜b 时，如果b+c=a2那么a,b,c 就是一组勾股数.如（3,4,5）（5,12，,13）（7,24,25）（9,40,41）…… （2）大于2的任意偶数，2n(n ＞1)都可构成一组 勾股数分别是：2n,n2-1,n2+1 如：（6,8,10）（8,15,17）（10,24,26）…… 4、常见题型应用： （1）已知任意两条边的长度，求第三边/斜边上的高线/周长/面积…… （2）已知任意一条的边长以及另外两条边长之间的关系，求各边的长度//斜边上的高线/周长/面积…… （3）判定三角形形状： a2 +b2＞c2锐角~，a2 +b2=c2直角~，a2 +b2＜c2钝角~ 判定直角三角形a..找最长边；b.比较长边的平方与另外两条较短边的平方和之间的大小关系；c.确定形状 （4）构建直角三角形解题 例1. 已知直角三角形的两直角边之比为3：4，斜边为 10。求直角三角形的两直角边。 解：设两直角边为3x ，4x ，由题意知： ∴x=2，则3x=6，4x=8，故两直角边为6，8。 中考突破 （1）中考典题 例. 如图（1）所示，一个梯子AB 长2.5米，顶端A 靠在墙AC 上，这时梯子下端B 与墙角C 距离为1.5米，梯子滑动后停在DE 位置上，如图（2）所示，测得 得BD=0.5米，求梯子顶端A 下落了多少米？ 思维入门指导：梯子顶端A 下落的距离为AE ，即求AE 的长。已知AB 和BC ，根据勾股定理可求AC ，只要求出EC 即可。 解：在Rt △ACB 中，AC2=AB2-BC2=2.52-1.52=4， ∴AC=2 ∵BD=0.5，∴CD=2 ∴EC=1.5 答：梯子顶端下滑了0.5米。 点拨：要考虑梯子的长度不变。 例5. 如图所示的一块地，AD=12m ，CD=9m ，∠ADC=90°，AB=39m ，BC=36m ，求这块地的面积。 思维入门指导：求面积时一般要把不规则图形分割成规则图形，若连结BD ，似乎不 解：连结AC ，在Rt △ADC 中， 在△ABC 中，AB2=1521 答：这块地的面积是216平方米。 点拨：此题综合地应用了勾股定理和直角三角形判定条件。 第二章 实数 基本知识回顾 1. 无理数的引入。无理数的定义无限不循环小数。 得要领，连结，求出即可。AC S S ABC ACD ??-
北师大版小学数学一年级（上册）知识点 一生活中的数 各课知识点： 可爱的校园（数数） 知识点： 1、按一定顺序手口一致地数出每种物体的个数。 2、能用1-10各数正确地表述物体的数量。 快乐的家园（10以内数的认识） 知识点： 1、能形象理解数“1”既可以表示单个物体，也可以表示一个集合。 2、在数数过程中认识1-10数的符号表示方法。 3、理解1～10各数除了表示几个，还可以表示第几个，从而认识基数与序数的联系与区别：基数表示数量的多少，序数表示数量的顺序。 玩具（1～5的认识与书写） 知识点： 1、能正确数出5以内物体的个数。 2、会正确书写1-5的数字。 小猫钓鱼（0的认识） 知识点： 1、认识“0”的产生，理解“0”的含义，0即可以表示一个物体也没有，也可以表示起点和分界
点。 2、学会读、写“0”。 文具（6～10的认识与书写） 知识点： 1、能正确数出数量是6-10的物体的个数。 2、会读写6—10的数字。 二比较 各课知识点： 动物乐园（比大小与比多少） 知识点： 1、比较动物谁多谁少有两种策略：一是基于“数数”，二是进行“配对”，从而体验“一一对应”的数学思想。 2、通过比较具体数量多少的数学活动，获得对“＞”、“＜”、“=”等符号意义的理解，学会写法，并会用这些符号表示10以内的数的大小。 3、体验“同样多”、“多”、“少”、“最多”、“最少”的含义。 高矮（比高矮、比长短） 知识点： 1、长短、高矮、厚薄都属于物体长度的比较的问题，只是在实际生活中，人们习惯把水平放的物体的长度比较叫比长短，把垂直摆放的物体达到长度的比较叫比高矮。把扁平的物体上下距离的比较叫比厚薄。它们的比较方法是相通的。 2、认识高矮的区别，知道比较高矮、长短、厚薄时要在起点相同的情况下才能正确比较。 3、知道高矮比较的相对性 轻重（比轻重） 知识点： 1、经历比较轻重的过程，体验一些具体的比较方法及轻重的相对性。 2．初步体会借助工具确定轻重的必要性和解决问题方法的多样性。 3．间接比较轻重，渗透了等量对换的思想，对学生说具有一定的难度，不要求所有的学生都能独立完成。 三加减法（一） 各课知识点： 有几枝铅笔（加法的认识） 知识点： 1、初步了解加法的含义，会读、写加法算式，感悟把两个数合并在一起求一共是多少，用加法计算； 2、初步尝试选择恰当的方法进行5以内的加法口算。 3、第一次出现了图形应用题，要让学生学会看图形应用型题目，理解题目的意思。 有几辆车（初步认识加法的交换律） 知识点： 1、初步感知从不同的观察角度出发，会列出不同的算式，从而形象直观的说明两个数相加，交换加数位置，得数不变。 2、鼓励学生根据图意提出问题。解决问题时，可以出现两个不同的算式，并比较两个算式的异同。 摘果子（减法的认识）
北师大版小学数学上册知识点总结归纳 导读：我根据大家的需要整理了一份关于《北师大版小学数学上册知识点总结归纳》的内容，具体内容：期末快到了，想要数学考个好成绩的话，想要一份完整的知识点哦，下面是我分享给大家的的资料，希望大家喜欢!数学上册知识点总结归纳第一单元小数除法1、除数是整数的... 期末快到了，想要数学考个好成绩的话，想要一份完整的知识点哦，下面是我分享给大家的的资料，希望大家喜欢! 数学上册知识点总结归纳第一单元 小数除法 1、除数是整数的小数除法计算法则：除数是整数的小数除法，按照整数除法的法则去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐;如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添0再继续除。 2、除数是小数的小数除法计算法则：除数是小数的除法，先移动除数的小数点，使它变成整数;除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位(位数不够的，在被除数末尾用0补足)，然后按照除数是整数的小数除法进行计算。 3、连除的算式可以写成被除数除以几个数的积，但除以几个数的积时，必须给这个相乘的式子加上小括号。 4、在小数除法中的发现： ①当除数不为0时，除数大于1时，商小于被除数。如：3.5÷5=0.7 ②当除数不为0时，除数小于1时，商大于被除数。如：3.5÷0.5=7
当除数不为0时，除数等于1时，商等于被除数。如：3.5÷1=3.5 5、小数除法的验算方法： ①商×除数=被除数(通用) ②被除数÷商=除数 6、商的近似数：根据要求要保留的小数位数，决定商要除出几位小数，再根据"四舍五入"法保留一定的小数位数，求出商的近似数。例如：要求保留一位小数的，商除到第二位小数可停下来;要求保留两位小数的，商除到第三位小数停下来......如此类推。 7、循环小数： A、小数部分的位数是有限的小数，叫做有限小数。如，0.37、1.4135等。 B、小数部分的位数是无限的小数，叫做无限小数。如5.3... 7.145145...等。 C、一个数的小数部分，从某位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。(如5.3... 3.12323... 5.7171...) D、一个循环小数的小数部分，依次不断重复的数字，叫做小数的循环节。(如5.333... 的循环节是3， 4.6767...的循环节是67， 6.9258258...的循环节是258) E、用简便方法写循环小数的方法： ①只写一个循环节，并在这个循环节的首位和末位上面记一个小圆点 ②例如：只有一个数字循环节的，就在这个数字上面记一个小圆点， 5.333...写作5.3 ;有两位小数循环的，就在这两位数字上面，记上小圆点，7.4343...写作7.4 3 ;有三位或以上小数循环的，在首位和末位记上
第一单元小数除法 单元学习内容： 小数除以整数、整数除以整数、小数或整数除以小数。认识循环小数。 单元学习目标： 1.通过具体情境，进一步理解除法的意义，探索并掌握小数除以整数的计算方法。 2.利用已有知识，经历探索除数是小数的除法计算方法的过程,体会转化的数学思想。 3. 知道什么是循环小数，并会用四舍五入法对循环小数取近似值。 单元学习重点： 商小数点的定位。商小数点的定位。 单元学习难点： 除数是小数的情形，应用商不变规律。 单元课时安排： 11课时 第1课时 学习内容：精打细算课本P2-3，练一练第1-4题。 学习目标：理解小数除法的意义，掌握小数除以整数（恰好除尽）的计算方法。 学习重点：体会小数除法的意义。探索小数除以整数的计算方法，并能理解算法，进行正确地计算。 学习难点：探索小数除以整数的计算方法，并能理解算法，进行正确地计算。 导学过程： 一、导入新课，创设情境，提出问题 1.淘气打算去买牛奶，你从图上得到了什么数学信息？ 2.根据图上的数学信息，你能提出哪些数学问题？ 3.教师根据学生提出的问题，引导学生列出算式： 11.5÷5 12.6÷6 引导学生观察这两个算式与以往我们学过的除法算式有什么不同。（被除数都是小数，除数都是整数） 师：我们今天就来研究小数除以整数的计算方法，看看淘气到底应该买哪个商店的牛奶。 二、探索新知，解决问题 1.师：两个商店牛奶的单价分别是多少呢？我们先算一算甲商店的牛奶单价。 引导学生结合自己的生活经验和已经掌握的知识先自己想一想，并且尝试计算，然后在小组内讨论交流一下想法。 2.学生交流讨论，老师巡视指导。 3.请小组选派代表汇报讨论结果，指名学生板演。 4.老师引导学生比较汇总的各种方法，认为哪个方法比较简便实用？ 学生可能会将11.5元转换为115角进行计算，老师应追问：为什么要化成115角进行计算？
北师大版数学一年级上册教学计划 一、学生情况分析及改进措施。 1、由于一年级学生刚入学，年龄比较小，对学校的学习生活有一定的陌生感，但同时也具有很强的好奇心，教师在教学中应多鼓励学生参与学习活动，鼓励良好行为，让他们喜欢上课，喜欢数学。 2、刚入学学生个体差异相对较大，可能有些学生已经不同程度地掌握一些简单数学知识，教师根据班中学生的具体情况出发，适时调整教学进度，采用多种教学方法组织教学。 二、教材分析。 本册教材以实践新课标的理念、要求为出发点，以学生为主体的课堂教学过程。教材从实际出发，提供了大量的观察、操作、实验及独立思考的机会，让学生从生活实际出发和客观事实发展，为确立学习者的主体地位创设了良好的课程环境。教材注重为题的探索性，例如：比较、分类、等部分内容，重点在于经历探索，获取有关知识的体验。 三、教学要求。 第一单元“生活中的数”。经历从实际情境中抽象出数的过程，能用10以内的数表示物体的个数或事物的顺序，并能认、读、会写 0到10各数。在一一对应的活动中比较物体数量的多少，认识“=”、“＜”、“＞”，能比较10以内数的大小。能用数表示日常生活中的一些事物，能用一一对应等方法解决简单的实际问题。在教师的引导和示范下，开始学习认真倾听、思考、表达、书写，并逐步养成良好的学习习惯。 第二单元“比较”。在具体情境中，能够比较两个物体的大小、多少、长短、高矮、轻重，体验并积累一些简单的比较方法。经历“比一比”的过程，同时与他人交流比较的方法，并尝试解释自己的思考
过程。积极参与数学活动，养成仔细观察、认真思考的良好学习习惯。第三单元“加与减（一）”。经历自主探究算法并与同伴合作交流计算方法的过程。在具体情境中，通过操作活动，初步理解加减法的意义，探究并掌握10以内数的加减法的计算方法。能正确计算得数是10以内的加与减及连加、连减和加减混合，并能解决生活中有关的简单实际问题。在各种活动中，不断养成仔细观察、独立思考、认真倾听、有条理地表达的良好习惯。 第四单元“分类”。在动手操作的活动中，经历分类的过程，初步体会分类的含义和方法，感受分类在生活中的作用。能按给定标准或自己选定的标准进行分类，体会分类标准的多样性。运用分类的方法，解决生活中相关的实际问题。初步养成有条理地整理物品的习惯，体会分类在生活中的必要性。 第五单元“位置与顺序”。结合具体情境，体会前后、上下、左右的位置关系，会用前后、上下、左右描述物体的相对位置。能比较准确地确定物体的前后、上下、左右的位置，体会具体位置的相对性。逐步养成按一定顺序进行观察的习惯，体会到生活中有数学，初步感受用数学的乐趣。 第六单元“认识图形”。在丰富的操作活动中，经历观察、想象和交流的过程，积累认识几何体的数学活动经验。知道长方体、正方体、圆柱和球的名称，并能识别这些几何体。在分类、观察等学习活动中，形成对长方体、正方体、圆柱和球的直观认识，发展语言表达能力。感受数学与生活有密切关系，培养探索精神和与人合作的意识。 第七单元“加与减（二）”。结合数数、操作直观模型等活动，认识11-20各数。初步了解数的十进制，认识个位和十位，会比较 20以内数的大小。在教师指导下，能从日常生活中发现和提出简单的数
2010—2011学年度第一学期八年级上数学期末复习讲义 第一章勾股定理 [复习要求] (1)掌握勾股定理，了解利用拼图验证勾股定理的方法，并能运用勾股定理解决一些实际问题，发展合情推理能力，体会形数结合的思想； (2)掌握判断一个三角形是直角三角形的条件，能运用它解决一些实际问题； (3)了解勾股定理的历史和应用，体会勾股定理的文化价值． 勾股定理：如果直角三角形的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么，a2+b2=c2， 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 勾股定理在西方文献中又称毕达哥拉斯定理。 我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边为弦。 格式：a=8 b=15 解：由勾股定理得c的平方=a2+b2=82+152=64+225=289 ∵C＞0 ∴C=17 勾股定理逆定理：如果三角形三边长为a、b、c，c为最长边，只要符合a2+b2=c2，这个三角形是直角三角形。（直角三角形的判别条件）。 第二章实数 [复习要求] (1)了解无理数的概念和意义； (2)了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根；能用平方运算与立方运算求某些数的平方根与立方根；会用计算器求平方根和立方根，并能探索一些有趣的数学规律； (3)能用有理数估计一个无理数的大致范围； (4)了解实数的概念，会按要求对实数进行分类，了解实数的相反数和绝对值的意义，知道实数与数轴上的点具有一一对应的关系，了解有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用； (5)能对带根号的数进行化简，并能利用化简进行有关实数的简单四则运算； (6)能运用实数的运算解决简单的实际问题． ［概念与规律］ 事实上，有理数总可以用有限循环小数或无限不循环小数表示。 无限不循环小数叫无理数。 无理数：圆周率π=3.14159265……；0.585885888588885……(相邻两个5之间8的个数逐次加1)；根号a（a为非完全平方数或非立方数）。 一般的，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x就叫做a的