百色学院2014～2015学年度第一学期
期末考试试卷参考答案及评分标准
课程名称：高等数学（I）
试卷类型：A卷；考试时间：120分钟；考试形式：闭卷
命题教师：罗中德教研室主任（签名）：系主任（签名）：
适用范围：物电系2014级材料、电气、物理、成控、电信专业本科数计系2014级计科、物联网、通信、网络专业本科
一、选择题(每小题3分，共15分)
1. B；
2. A；
3. D；
4. A；
5. C
二、填空题(每小题3分，共15分)
1. 0 ；
2.
2
23
dx
x+
； 3. 0 ； 4.y=2x ；5.
1
2
三、计算题(每小题6分，共42分)
1．求极限
x→
解法一：
0001=2
x x x x →→→→===
解法二：
012
012
01
(1)2=lim 1
1
lim (1)212
x x x x x x →→-→-→+=+= 2. 求极限0
2
sin lim
x x tdt x →?.
解：
()()0
2
2
00sin sin lim
lim
sin lim
21sin lim 212x x
x x x x tdt tdt x x x x x x →→→→'
='
===??
3. 求函数cos x y x =（0>x ）的导数. 解：
()()cos ln cos ln cos cos ln cos sin ln x x x x x y e e x x x x x x x '
'='
=?
?=-+ ?
?
?
4. 判断函数32321y x x x =-++的凹凸性，并求该函数曲线的拐点。
解： 2
362y x x '=-+
66y x ''=-
令660y x ''=-=，得1x =
当1x <时，0y ''<，从函数在(,1]-∞上是凸的， 当1x >时，0y ''>，从函数在[1,)+∞上是凹的， 又1|13211x y ==-++=，从而(1,1)为拐点。 5. 求不定积分()2cos 2x x dx +? 解：
()2
222
2cos 2cos 21cos()()221
sin()22x x
dx x x dx dx
x d x x x x C +=+=
+=++???? 6. 求不定积分x xe dx -? 解：
()x
x
x x x x x x xe
dx xde xe e dx xe e d x xe e C
--------=-=-+=---=--+????
7.
求定积分4
?
解：令t =，则2x t =，2dx tdt =， 且当0x =时，0t =；当4x =时，2t =， 从而
[]4
20020202
021*********ln |1|2(2ln 3)
t dt
t t dt
t dt t t t =++-=+??=- ?+??=-+=-????
四、应用题(第1小题6分，第2小题10分，共16分)
1．要用铁皮造一个有盖的圆柱形油罐，体积为V ，问：当油罐的底半径r 和高
h 各是多少时，才能使用料最少? 解：已知2r h V π=，即2
V
h r π=
，从而油罐的表面积为 2222222222(0,)V V
A r rh r r r r r r
ππππππ=+=+=+∈+∞
而 224V A r r
π'=- 令0A '=，得
r =
因为驻点唯一，从而当r = 此时
h =
，
从而当r h ==
图形绕x
轴旋转所产生的旋转体的体积。
从而所求面积为
1
220
1
20
1
230[][]2
32
3
=
(1)
6
V x dx
x x dx
x x πππππ
ππ
π
π
=-=-??=-??
??=-
??分
五、证明题(每小题6分，共12分)
1．证明方程431x x -=在区间(0,2)内至少有一个根。 证明：令函数4()31f x x x =--， 因为()f x 在闭区间[0,2]上连续 又4(0)10,(2)2321166190f f =-<=-?-=--=> 根据零点定理，在开区间(0,2)内至少有一点ξ使得
4()310f ξξξ=--=
即所给方程431x x -=在区间(0,2)内至少有一个根ξ.
2．用函数的单调性证明：当0x >
时，1
12
x +
>
证明：令1
()12
f x x =+
1
()
2
f x
'==
当0
x>时，f'(x)>0,因此f(x)在[0, +∞)上f(x)单调增加,故当0
x>时，()(0)
f x f
>=0，
即
1
10
2
x
+>
亦即，当0
x>
时，
1
1
2
x
+>