第一讲 数与式的运算
在初中,我们已学习了实数,知道字母可以表示数用代数式也可以表示数,我们把实数和代数式简称为数与式.代数式中有整式(多项式、单项式)、分式、根式.它们具有实数的属性,可以进行运算.在多项式的乘法运算中,我们学习了乘法公式(平方差公式与完全平方公式),并且知道乘法公式可以使多项式的运算简便.由于在高中学习中还会遇到更复杂的多项式乘法运算,因此本节中将拓展乘法公式的内容,补充三个数和的完全平方公式、立方和、立方差公式.在根式的运算中,我们已学过被开方数是实数的根式运算,而在高中数学学习中,经常会接触到被开方数是字母的情形,但在初中却没有涉及,因此本节中要补充.基于同样的原因,还要补充“繁分式”等有关内容.
一、乘法公式
【公式1】
ca bc ab c b a c b a 222)(2
222+++++=++ 证明:2
222)(2)(])[()(c c b a b a c b a c b a ++++=++=++
ca bc ab c b a c bc ac b ab a 222222222222++++++++++=
∴等式成立
【例1】计算:
2
2)31
2(+-x x 解:原式=
2
2]31
)2([+-+x x 91
3223822)
2(31
2312)2(2)31()2()(234222222+
-+-=-??+?+-++-+=x x x x x x x x x x
说明:多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列.
【公式2】3322))((b a b ab a b a +=+-+(立方和公式)
证明: 3332222322))((b a b ab b a ab b a a b ab a b a +=+-++-=+-+
说明:请同学用文字语言表述公式2.
【例2】计算:
))((2
2b ab a b a ++- 解:原式=3
33322)(])()()][([b a b a b b a a b a -=-+=-+---+
我们得到:
【公式3】3322))((b a b ab a b a -=++-(立方差公式)
请同学观察立方和、立方差公式的区别与联系,公式1、2、3均称为乘法公式.
【例3】计算:
(1))416)(4(2
m m m +-+
(2))
41101251)(2151(22n mn m n m ++-
(3))164)(2)(2(24++-+a a a a (4)2
2222))(2(y xy x y xy x +-++ 解:(1)原式=3
33644m m +=+
(2)原式=3333811251)21()5
1(n
m n m -=- (3)原式=
644)()44)(4(6
3322242-=-=++-a a a a a (4)原式=
2222222)])([()()(y xy x y x y xy x y x +-+=+-+
63362332)(y y x x y x ++=+=
说明:(1)在进行代数式的乘法、除法运算时,要观察代数式的结构是否满足乘法公式的结
构.
(2)为了更好地使用乘法公式,记住1、2、3、4、…、20的平方数和1、2、3、4、…、10的立方数,是非常有好处的.
【例4】已知0132
==-x x ,求
331
x x +
的值.
解:0132
==-x x 0≠∴x 31=+∴x x
原式=18
)33(3]3)1
)[(1()11)(1(2222=-=-++=+-+x x x x x x x x
说明:本题若先从方程0132
==-x x 中解出x 的值后,再代入代数式求值,则计算较烦琐.本
题是根据条件式与求值式的联系,用整体代换的方法计算,简化了计算.请注意整体代换法.本题的解法,体现了“正难则反”的解题策略,根据题求利用题知,是明智之举.
【例5】已知0=++c b a ,求
111111()()()a b c b c c a a b +++++的值. 解:b a c a c b c b a c b a -=+-=+-=+∴=++,,,0
∴原式=
ab b
a c ac c a
b b
c c b a +?++?++?
abc c b a ab c c ac b b bc a a 2
22)()()(++-
=-+-+-= ①
abc c ab c c ab b a b a b a 3)3(]3))[((32233+-=--=-++=+
abc c b a 3333=++∴ ②,把②代入①得原式=3
3-=-
abc abc
说明:注意字母的整体代换技巧的应用. 引申:同学可以探求并证明:
))((3222333ca bc ab c b a c b a abc c b a ---++++=-++ 二、根式
0)a ≥叫做二次根式,其性质如下:
(1)
2
(0)a a =≥
||a =
0,0)a b =≥≥
0,0)
a b =>≥
【例6】化简下列各式:
(1)
1)x +≥ 解:(1) 原式
=2|1|211-+==
(2) 原式=
(1)(2)2 3 (2)
|1||2|(1)(2) 1 (1x 2) x x x x x x x x -+-=->?-+-=?
---=≤≤? 说明
||a =的使用:当化去绝对值符号但字母的范围未知时,要对字母的取值分类讨论.
【例7】计算(没有特殊说明,本节中出现的字母均为正数):
(1)
(2)
(3)
+解:(1) 原式
623
=
=--
(2) 原式
=
(3) 原式
=
-说明:(1)二次根式的化简结果应满足:①被开方数的因数是整数,因式是整式;②被开方数
不含能开得尽方的因数或因式.
(2)二次根式的化简常见类型有下列两种:①被开方数是整数或整式.化简时,先将它分解因
数或因式,然后把开得尽方的因数或因式开出来;②分母中有根式(
或被开方数有
分母(
如
形式(
) ,转化为 “分母中有根式”的
情况.化简时,要把分母中的根式化为有理式,采取分子、分母同乘以一个根式进行化简.(如
2+
2-).
【例8】计算:
(1) 2
1)(1
++-
+
解:(1) 原式
=22
(1()21
a b a
+--+=--+
(2) 原式
+=+
=
说明:有理数的的运算法则都适用于加法、乘法的运算律以及多项式的乘法公式、分式二次根式的运算.
【例9
】设
x y
=
,求33
x y
+的值.
解
:
7714,1
23
x y x y xy
==+=-?+==
-
原式=2222
()()()[()3]14(143)2702
x y x xy y x y x y xy
+-+=++-=-=
说明:有关代数式的求值问题:(1)先化简后求值;(2)当直接代入运算较复杂时,可根据结论的结构特点,倒推几步,再代入条件,有时整体代入可简化计算量.
三、分式
当分式
A
B的分子、分母中至少有一个是分式时,
A
B就叫做繁分式,繁分式的化简常用以下两种方法:(1) 利用除法法则;(2) 利用分式的基本性质.
【例10】化简
1
1
x
x
x
x
x
-
+
-
解法一:原式=
22
2
(1)1
1(1)
1
(1)(1)
11
x x
x x x x x
x x x x x
x x x x
x x
x
x
x x
x x
x
++
=====
--?+-
+-
+
+
+-
-+
解法一:原式=
2
2
(1)1
(1)(1)
11
1
()
x x
x x x x
x x x x x x
x x x
x
x x
x
x
x x
x
++
====
-?-+-
-
++
+
-
-?
说明:解法一的运算方法是从最内部的分式入手,采取通分的方式逐步脱掉繁分式,解法二
则是利用分式的基本性质
A A m
B B m ?=?进行化简.一般根据题目特点综合使用两种方法. 【例11】化简22
239616227
9x x x x x x x x ++-+-+-- 解:原式=222
39611612(3)3(3)(3)2(3)(3)(39)(9)x x x x x x x x x x x x x x x ++--+-=--+-+---++-
22(3)12(1)(3)(3)32(3)(3)2(3)(3)2(3)x x x x x x x x x x +-------===
+-+-+
说明:(1) 分式的乘除运算一般化为乘法进行,当分子、分母为多项式时,应先因式分解再
进行约分化简;(2) 分式的计算结果应是最简分式或整式.
A 组
1
.二次根式a =-成立的条件是( )
A .0a >
B .0a <
C .0a ≤
D .a 是任意实数
2.若3x <
|6|x -的值是( ) A .-3
B .3
C .-9
D .9
3.计算:
(1) 2
(34)x y z --
(2)
2
(21)()(2)a b a b a b +---+
(3) 222
()()()a b a ab b a b +-+-+
(4) 221
(4)(4)
4a b a b ab -++
4.化简(下列a 的取值范围均使根式有意义):
(2)
a
+
-
5.化简:
102m
0)x y >>
B 组
1.若112
x y -=,则33x xy y x xy y +---的值为(
):
A .3
5
B .35-
C .53-
D .53
2.计算:
(1) +-
(2)
1÷-
3
.设x y ==
,求代数式22
x xy y x y +++的值.
4.当22
320(0,0)a ab b a b +-=≠≠,求22a b a b b a
ab +--的值. 5.设x 、y 为实数,且3xy =
,求
+
6.已知
111
20,19,21202020a x b x c x =
+=+=+,求代数式
222
a b c ab bc ac ++---的值. 7
.设
1
2x -=
,求4221x x x ++-的值.
8.展开4
(2)x -
9.计算(1)(2)(3)(4)x x x x ----
10.计算()()()()x y z x y z x y z x y z ++-++-++- 11.化简或计算:
(1)
-+
(2)
+
(3)
-
(4)
+
÷+
-
第一讲 习题答案 A 组
1. C 2. A
3. (1)
2229166824x y z xy xz yz ++--+
(2) 22
353421a ab b a b -++-+
(3) 22
33a b ab --
(4) 3
3
1164a b -
4
.
21
2----
5
.B 组
1. D 2
.a c b +--.
4.3,2-
5
.±
6. 3
7
.3-8.432
8243216x x x x -+-+ 9.432
10355024x x x x -+-+
10.
444222222222x y z x y x z y z ---+++ 11
.-
第二讲 因式分解
因式分解是代数式的一种重要的恒等变形,它与整式乘法是相反方向的变形.在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用.是一种重要的基本技能. 因式分解的方法较多,除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外,还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组分解法等等.
一、公式法(立方和、立方差公式)
在第一讲里,我们已经学习了乘法公式中的立方和、立方差公式:
2233()()a b a ab b a b +-+=+ (立方和公式) 2233()()a b a ab b a b -++=- (立方差公式)
由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形,所以把整式乘法公式反过来写,就得到:
3322()()a b a b a ab b +=+-+ 3322()()a b a b a ab b -=-++
这就是说,两个数的立方和(差),等于这两个数的和(差)乘以它们的平方和与它们积的差(和).
运用这两个公式,可以把形式是立方和或立方差的多项式进行因式分解. 【例1】用立方和或立方差公式分解下列各多项式:
(1) 3
8x +
(2) 3
0.12527b -
分析: (1)中,3
82=,(2)中3330.1250.5,27(3)b b ==. 解:(1)
3332
82(2)(42)x x x x x +=+=+-+ (2)
333220.125270.5(3)(0.53)[0.50.53(3)]b b b b b -=-=-+?+
2(0.53)(0.25 1.59)b b b =-++
说明:(1) 在运用立方和(差)公式分解因式时,经常要逆用幂的运算法则,如333
8(2)a b ab =,这里逆用了法则
()n n n
ab a b =;(2) 在运用立方和(差)公式分解因式时,一定要看准因式中各项的符号.
【例2】分解因式:
(1) 34
381a b b -
(2) 76
a a
b -
分析:(1) 中应先提取公因式再进一步分解;(2) 中提取公因式后,括号内出现66
a b -,
可看着是3232()()a b -或
2323()()a b -. 解:(1)
3433223813(27)3(3)(39)a b b b a b b a b a ab b -=-=-++.
(2)
76663333()()()a ab a a b a a b a b -=-=+-
22222222()()()()
()()()()a a b a ab b a b a ab b a a b a b a ab b a ab b =+-+-++=+-++-+
二、分组分解法
从前面可以看出,能够直接运用公式法分解的多项式,主要是二项式和三项式.而对于四项以上的多项式,如ma mb na nb +++既没有公式可用,也没有公因式可以提取.因此,可以先将多项式分组处理.这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法.分组分解法的关键在于如何分组.
1.分组后能提取公因式 【例3】把2105ax ay by bx -+-分解因式.
分析:把多项式的四项按前两项与后两项分成两组,并使两组的项按x 的降幂排列,然后
从两组分别提出公因式2a 与b -,这时另一个因式正好都是5x y -,这样可以继续提取公因式. 解:21052(5)(5)(5)(2)ax ay by bx a x y b x y x y a b -+-=---=--
说明:用分组分解法,一定要想想分组后能否继续完成因式分解,由此合理选择分组的方法.本题也可以将一、四项为一组,二、三项为一组,同学不妨一试.
【例4】把
2222
()()ab c d a b cd ---分解因式. 分析:按照原先分组方式,无公因式可提,需要把括号打开后重新分组,然后再分解因
式.
解:
22222222
()()ab c d a b cd abc abd a cd b cd ---=--+ 2222()()abc a cd b cd abd =-+-
()()()()ac bc ad bd bc ad bc ad ac bd =-+-=-+
说明:由例3、例4可以看出,分组时运用了加法结合律,而为了合理分组,先运用了加法交换律,分组后,为了提公因式,又运用了分配律.由此可以看出运算律在因式分解中所起的作用.
2.分组后能直接运用公式 【例5】把
22x y ax ay -++分解因式.
分析:把第一、二项为一组,这两项虽然没有公因式,但可以运用平方差公式分解因式,
其中一个因式是x y +;把第三、四项作为另一组,在提出公因式a 后,另一个因式也是x y +.
解:22
()()()()()x y ax ay x y x y a x y x y x y a -++=+-++=+-+
【例6】把2222428x xy y z ++-分解因式.
分析:先将系数2提出后,得到222
24x xy y z ++-,其中前三项作为一组,它是一个完
全平方式,再和第四项形成平方差形式,可继续分解因式.
解:
22222224282(24)x xy y z x xy y z ++-=++-
222[()(2)]2(2)(2)x y z x y z x y z =+-=+++-
说明:从例5、例6可以看出:如果一个多项式的项分组后,各组都能直接运用公式或提取公因式进行分解,并且各组在分解后,它们之间又能运用公式或有公因式,那么这个多项式就可以分组分解法来分解因式.
三、十字相乘法
1.2()x p q x pq +++型的因式分解
这类式子在许多问题中经常出现,其特点是:
(1) 二次项系数是1;(2) 常数项是两个数之积;(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和.
22()()()()()x p q x pq x px qx pq x x p q x p x p x q +++=+++=+++=++
因此,2
()()()x p q x pq x p x q +++=++
运用这个公式,可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式.
【例7】把下列各式因式分解:
(1) 2
76x x -+
(2) 2
1336x x ++
解:(1) 6(1)(6),(1)(6)7=-?--+-=-
2 76[(1)][(6)](1)(6)x x x x x x ∴-+=+-+-=--. (2)
3649,4913=?+=
2 1336(4)(9)x x x x ∴++=++ 说明:此例可以看出,常数项为正数时,应分解为两个同号因数,它们的符号与一次项系数
的符号相同.
【例8】把下列各式因式分解:
(1) 2
524x x +-
(2) 2
215x x --
解:(1) 24(3)8,(3)85-=-?-+=
2 524[(3)](8)(3)(8)x x x x x x ∴+-=+-+=-+ (2)
15(5)3,(5)32-=-?-+=-
2 215[(5)](3)(5)(3)x x x x x x ∴--=+-+=-+ 说明:此例可以看出,常数项为负数时,应分解为两个异号的因数,其中绝对值较大的因数
与一次项系数的符号相同.
【例9】把下列各式因式分解:
(1) 226x xy y +-
(2)
222
()8()12x x x x +-++
分析:(1) 把226x xy y +-看成x 的二次三项式,这时常数项是26y -,一次项系数是y ,
把2
6y -分解成3y 与2y -的积,而3(2)y y y +-=,正好是一次项系数.
(2) 由换元思想,只要把2
x x +整体看作一个字母a ,可不必写出,只当作分解二次
三项式2
812a a -+.
解:(1)
222266(3)(2)x xy y x yx x y x y +-=+-=+- (2)
22222()8()12(6)(2)x x x x x x x x +-++=+-+-
(3)(2)(2)(1)x x x x =+-+-
2.一般二次三项式2
ax bx c ++型的因式分解
大家知道,
2
112212122112()()()a x c a x c a a x a c a c x c c ++=+++. 反过来,就得到:
2
121221121122()()()a a x a c a c x c c a x c a x c +++=++ 我们发现,二次项系数a 分解成12a a ,常数项c 分解成12c c ,把1212,,,a a c c 写成1
122a c a c
?,这里按
斜线交叉相乘,再相加,就得到1221a c a c +,如果它正好等于2
ax bx c ++的一次项系数b ,那么2
ax bx c ++就可以分解成1122()()a x c a x c ++,其中11,a c 位于上一行,22,a c 位于下一行.
这种借助画十字交叉线分解系数,从而将二次三项式分解因式的方法,叫做十字相乘法. 必须注意,分解因数及十字相乘都有多种可能情况,所以往往要经过多次尝试,才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解. 【例10】把下列各式因式分解:
(1) 2
1252x x --
(2) 22568x xy y +-
解:(1) 2
1252(32)(41)x x x x --=-+
324
1-?
(2)
22568(2)(54)x xy y x y x y +-=+- 1 254y
y -?
说明:用十字相乘法分解二次三项式很重要.当二次项系数不是1时较困难,具体分解时,为提高速度,可先对有关常数分解,交叉相乘后,若原常数为负数,用减法”凑”,看是否符合一次项系数,否则用加法”凑”,先”凑”绝对值,然后调整,添加正、负号.
四、其它因式分解的方法 1.配方法
【例11】分解因式2
616x x +-
解:222222616233316(3)5x x x x x +-=+??+--=+-
(35)(35)(8)(2)x x x x =+++-=+-
说明:这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法,配方后将二次三项式化为两个平方式,然后用平方差公式分解.当然,本题还有其它方法,请大家试验. 2.拆、添项法
【例12】分解因式32
34x x -+
分析:此多项式显然不能直接提取公因式或运用公式,分组也不易进行.细查式中无一次项,如果它能分解成几个因式的积,那么进行乘法运算时,必是把一次项系数合并为0了,可考虑通过添项或拆项解决.
解: 3232
34(1)(33)x x x x -+=+--
22(1)(1)3(1)(1)(1)[(1)3(1)]x x x x x x x x x =+-+-+-=+-+--
22(1)(44)(1)(2)x x x x x =+-+=+-
说明:本解法把原常数4拆成1与3的和,将多项式分成两组,满足系数对应成比例,造成
可以用公式法及提取公因式的条件.本题还可以将2
3x -拆成224x y -,将多项式分成两组
32()x x +和244x -+.
一般地,把一个多项式因式分解,可以按照下列步骤进行: (1) 如果多项式各项有公因式,那么先提取公因式;
(2) 如果各项没有公因式,那么可以尝试运用公式来分解;
(3) 如果用上述方法不能分解,那么可以尝试用分组或其它方法(如十字相乘法)来分解; (4) 分解因式,必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.
A 组
1.把下列各式分解因式:
(1) 3
27a +
(2) 3
8m -
(3) 3
278x -+
(4) 33118
64p q
-
- (5) 3318125x y -
(6) 333
11216
27x y c
+ 2.把下列各式分解因式: (1) 34
xy x +
(2)
33
n n x x y +-
(3)
2323
()a m n a b +-
(4) 2232(2)y x x y -+
3.把下列各式分解因式: (1) 2
32x x -+ (2) 2
3736x x ++ (3)2
1126x x +-
(4) 2
627x x --
(5) 22
45m mn n --
(6)
2
()11()28a b a b -+-+ 4.把下列各式分解因式: (1) 5431016ax ax ax -+ (2) 212
6n n n a a b a b +++- (3) 22(2)9x x -- (4) 42
718x x --
(5) 2
673x x --
(6) 2282615x xy y +-
(7)
2
7()5()2a b a b +-+-
(8)
22
(67)25x x -- 5.把下列各式分解因式: (1) 233ax ay xy y -+- (2) 32
8421x x x +-- (3) 251526x x xy y -+- (4) 224202536a ab b -+- (5) 22414xy x y +-- (6) 432224
a b a b a b ab +--
(7)
663
21x y x --+
(8) 2
(1)()x x y xy x +-+
B 组
1.把下列各式分解因式:
(1) 2222
()()ab c d cd a b -+-
(2) 22
484x mx mn n -+-
(3) 4
64x +
(4) 32
113121x x x -+-
(5) 3223
428x xy x y y --+
2.已知
2
,23a b ab +=
=,求代数式22222a b a b ab ++的值.
3.证明:当n 为大于2的整数时,53
54n n n -+能被120整除. 4.已知0a b c ++=,求证:3223
0a a c b c abc b ++-+=.
第二讲 因式分解答案 A 组
1.
222
(3)(39),(2)(42),(23)(469),a a a m m m x x x +-+-++-++
222222211211
(2)(42),(2)(4),(2)(24)645525216
p q p pq q xy x y xy xy c x y xyc c -
+-+-+++-+2.2222
()(),()(),n x x y y xy x x x y x xy y +-+-++
22222432()[()()],(1)(4321)a m n b m n b m n b y x x x x x +-++++--+++
3.(2)(1),(36)(1),(13)(2),(9)(3)x x x x x x x x --+++--+
(9)(3),(5)(),(4)(7)x x m n m n a b a b -+-+-+-+
4.
322(2)(8),(3)(2),(3)(1)(23),(3)(3)(2)n ax x x a a b a b x x x x x x x --+--+-+-++ 2(23)(31),(2)(415),(772)(1),(21)(35)(675)x x x y x y a b a b x x x x -+-++++-+--+5.2()(3),(21)(21),(3)(52),(256)(256)x y a y x x x x y a b a b -++--+---+
23333(12)(12),()(),(1)(1),()(1)x y x y ab a b a b x y x y x x y x y -++-+----+-++. B 组
1.
22
()(),(42)(2),(48)(48),bc ad ac bd x m n x n x x x x +--+--+++ 2
(1)(3)(7),(2)(2)x x x x y x y ----+.
2.283
3.
5354(2)(1)(1)(2)n n n n n n n n -+=--++ 4.322322
()()a a c b c abc b a ab b a b c ++-+=-+++
第三讲 一元二次方程根与系数的关系
现行初中数学教材主要要求学生掌握一元二次方程的概念、解法及应用,而一元二次方程的根的判断式及根与系数的关系,在高中教材中的二次函数、不等式及解析几何等章节有着许多应用.本节将对一元二次方程根的判别式、根与系数的关系进行阐述.
一、一元二次方程的根的判断式
一元二次方程2
0 (0)ax bx c a ++=≠,用配方法将其变形为:
2224()24b b ac x a a -+=
(1) 当2
40b ac ->时,右端是正数.因此,方程有两个不相等的实数根:
2b x a -=
(2) 当2
40b ac -=时,右端是零.因此,方程有两个相等的实数根:
1,22b x a =-
(3) 当2
40b ac -<时,右端是负数.因此,方程没有实数根.
由于可以用24b ac -的取值情况来判定一元二次方程的根的情况.因此,把2
4b ac -叫做一元
二次方程
20 (0)ax bx c a ++=≠的根的判别式,表示为:24b ac ?=- 【例1】不解方程,判断下列方程的实数根的个数:
(1) 2
2310x x -+=
(2) 2
4912y y += (3) 2
5(3)60x x +-=
解:(1)
2
(3)42110?=--??=>,∴ 原方程有两个不相等的实数根. (2) 原方程可化为:
2
41290y y -+=
2
(12)4490?=--??=,∴ 原方程有两个相等的实数根. (3) 原方程可化为:2
56150x x -+=
2
(6)45152640?=--??=-<,∴ 原方程没有实数根. 说明:在求判断式时,务必先把方程变形为一元二次方程的一般形式.
【例2】已知关于x 的一元二次方程2
320x x k -+=,根据下列条件,分别求出k 的范围:
(1) 方程有两个不相等的实数根; (2) 方程有两个相等的实数根
(3)方程有实数根; (4) 方程无实数根.
解:
2
(2)43412k k ?=--??=-
(1)
1
41203k k ->?<
; (2)
141203k k -=?=
; (3)
1
41203k k -≥?≥
;
(4)
141203k k -<
.
【例3】已知实数x 、y 满足22
210x y xy x y +-+-+=,试求x 、y 的值. 解:可以把所给方程看作为关于x 的方程,整理得:
22(2)10x y x y y --+-+=
由于x 是实数,所以上述方程有实数根,因此:
222[(2)]4(1)300y y y y y ?=----+=-≥?=,
代入原方程得:2
2101x x x ++=?=-.
综上知:1,0x y =-=
二、一元二次方程的根与系数的关系
一元二次方程2
0 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为:
x x ==
所以:
12b x x a +=+=-
,
12244ac c
x x a a
?====
定理:如果一元二次方程
2
0 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为12,x x ,那么: 1212,b c
x x x x a a +=-=
说明:一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现,所以通常把此
定理称为”韦达定理”.上述定理成立的前提是0?≥.
【例4】若12,x x 是方程2
220070x x +-=的两个根,试求下列各式的值:
(1) 22
1
2x x +; (2) 1211x x +; (3) 12(5)(5)x x --; (4) 12||x x -.
分析:本题若直接用求根公式求出方程的两根,再代入求值,将会出现复杂的计算.这里,
可以利用韦达定理来解答.
解:由题意,根据根与系数的关系得:12122,2007x x x x +=-=-
(1)
2222121212()2(2)2(2007)4018x x x x x x +=+-=---= (2) 1212
12112220072007x x x x x x +-+===
- (3) 121212(5)(5)5()2520075(2)251972x x x x x x --=-++=---+=-
(4)
12||x x -====
说明:利用根与系数的关系求值,要熟练掌握以下等式变形:
222
121212()2x x x x x x +=+-,12
121211x x x x x x ++=,22121212()()4x x x x x x -=+-,
12||x x -=22
12121212()x x x x x x x x +=+, 33312121212()3()x x x x x x x x +=+-+等等.韦达定理体现了整体思想. 【例5】已知关于x 的方程
22
1(1)104x k x k -++
+=,根据下列条件,分别求出k 的值.
(1) 方程两实根的积为5; (2) 方程的两实根12,x x 满足12||x x =.
分析:(1) 由韦达定理即可求之;(2) 有两种可能,一是120x x =>,二是12x x -=,所以要分类讨论.
解:(1) ∵方程两实根的积为5
∴ 2
22121[(1)]4(1)034
,412154k k k k x x k ??=-+-+≥???≥=±?
?=+=??
所以,当4k =时,方程两实根的积为5.
(2) 由12||x x =得知:
①当10x ≥时,12x x =,所以方程有两相等实数根,故
3
02k ?=?=
;
②当10x <时,12120101x x x x k k -=?+=?+=?=-,由于
3
02k ?>?>
,故1k =-不合题意,舍去.
综上可得,
3
2k =
时,方程的两实根12,x x 满足12||x x =.
说明:根据一元二次方程两实根满足的条件,求待定字母的值,务必要注意方程有两实根的条件,即所求的字母应满足0?≥.
【例6】已知12,x x 是一元二次方程2
4410kx kx k -++=的两个实数根.
(1) 是否存在实数k ,使
12123
(2)(2)2x x x x --=-
成立?若存在,求出k 的值;若不存在,
请您说明理由.
(2) 求使12
212
x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值.
解:(1) 假设存在实数k ,使12123
(2)(2)2x x x x --=-
成立.
∵ 一元二次方程2
4410kx kx k -++=的两个实数根
∴ 2
40
0(4)44(1)160k k k k k k ≠???=--?+=-≥?,
又12,x x 是一元二次方程2
4410kx kx k -++=的两个实数根
∴
1212114x x k x x k +=???+=??
∴ 222121
212121212(2)(2)2()52()9x x x x x x x x x x x x --=+-=+-
939
425k k k +=-
=-?=,但0k <.
∴不存在实数k ,使
12123
(2)(2)2x x x x --=-
成立.
(2) ∵ 22212121221
1212()44224411x x x x x x k x x x x x x k k +++-=-=-=-=-
++
∴ 要使其值是整数,只需1k +能被4整除,故11,2,4k +=±±±,注意到0k <,
要使12
212
x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值为2,3,5---.
说明:(1) 存在性问题的题型,通常是先假设存在,然后推导其值,若能求出,则说明存在,否则即不存在.
(2) 本题综合性较强,要学会对4
1k +为整数的分析方法.
A 组
1.一元二次方程
2
(1)210k x x ---=有两个不相等的实数根,则k 的取值范围是( )
A .2k >
B .2,1k k <≠且
C .2k <
D .2,1k k >≠且
2.若12,x x 是方程22630x x -+=的两个根,则1211
x x +
的值为( )
A .2
B .2-
C .1
2
D .92
3.已知菱形ABCD 的边长为5,两条对角线交于O 点,且OA 、OB 的长分别是关于x 的方程
22(21)30x m x m +-++=的根,则m 等于( )
A .3-
B .5
C .53-或
D .53-或
4.若t 是一元二次方程
20 (0)ax bx c a ++=≠的根,则判别式24b ac ?=-和完全平方式2(2)M at b =+的关系是( )
A .M ?=
B .M ?>
C .M ?<
D .大小关系不能确定
5.若实数a b ≠,且,a b 满足22
850,850a a b b -+=-+=,则代数式
11
11b a a b --+--的值为( )
A .20-
B .2
C .220-或
D .220或
6.如果方程
2
()()()0b c x c a x a b -+-+-=的两根相等,则,,a b c 之间的关系是 ______ 7.已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程
2
2870x x -+=的两个根,则这个直角三角形的斜边长是 _______ .
8.若方程2
2(1)30x k x k -+++=的两根之差为1,则k 的值是 _____ .
9.设12,x x 是方程20x px q ++=的两实根,121,1x x ++是关于x 的方程2
0x qx p ++=的两实
根,则p = _____ ,q = _____ .
10.已知实数,,a b c 满足
2
6,9a b c ab =-=-,则a = _____ ,b = _____ ,c = _____ .
11.对于二次三项式2
1036x x -+,小明得出如下结论:无论x 取什么实数,其值都不可能等
于10.您是否同意他的看法?请您说明理由. 12.若0n >,关于x 的方程
21(2)04x m n x mn --+
=有两个相等的的正实数根,求m n 的值.
13.已知关于x 的一元二次方程2
(41)210x m x m +++-=.
(1) 求证:不论为任何实数,方程总有两个不相等的实数根;
(2) 若方程的两根为12,x x ,且满足12
1112x x +=-
,求m 的值. 14.已知关于x 的方程22
1(1)104x k x k -++
+=的两根是一个矩形两边的长.
(1) k 取何值时,方程存在两个正实数根?
(2)
k 的值.
B 组
1.已知关于x 的方程
2
(1)(23)10k x k x k -+-++=有两个不相等的实数根12,x x . (1) 求k 的取值范围;
(2) 是否存在实数k ,使方程的两实根互为相反数?如果存在,求出k 的值;如果不存在,
请您说明理由.
2.已知关于x 的方程2
30x x m +-=的两个实数根的平方和等于11.求证:关于x 的方程
22(3)640k x kmx m m -+-+-=有实数根.
3.若12,x x 是关于x 的方程
22
(21)10x k x k -+++=的两个实数根,且12,x x 都大于1.
(1) 求实数k 的取值范围;
(2) 若1212x x =
,求k 的值.
初高中数学教材衔接的必要性与措施 近几年,随着我国教育体制改革步代加大,素质教育理念不断深入人心,课改新教材在我省大多数中小学已经实施。黄石市初中是率先使用课改新教材的县市之一,经过两届学生实验,结果表明:使用课改新教材的学生学习的自主性,思维的广阔性,师生的互动性明显增强,但思维的严谨性,推理的逻辑性显得有些不足。加上我市高中教材未与课改新教材接轨,教学内容上有明显“脱节”。学生从初中进入高中出现明显“不适应”现象。因此解决初高中数学教材衔接问题势在必行。 一、初高中数学知识“脱节”点 1. 绝对值型方程和不等式,初中没有讲,高中没有专门的内容却在使用 2.立方和与差的公式初中已删去不讲,而高中的运算还在用。 3.因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解,对系数不为“1”的涉及不多,而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求,但高中教材许多化简求值都要用到,如解方程、不等式等。 4.二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求,而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。 5.初中教材对二次函数要求较低,学生处于了解水平,但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值,研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。 6.二次函数、二次不等式与二次方程的联系,根与系数的关系(韦达定理)在初中不作要求,此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型,而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容,高中教材却未安排专门的讲授。 7.图像的对称、平移变换,初中只作简单介绍,而在高中讲授函数后,对其图像的上、下;左、右平移,两个函数关于原点,轴、直线的对称问题必须掌握。 8.含有参数的函数、方程、不等式,初中不作要求,只作定量研究,而高中这部分内容视为重难点。方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。 9.几何部分很多概念(如重心、垂心等)和定理(如平行线分线段比例定理,射影定理,相交弦定理等)初中生大都没有学习,而高中都要涉及。 10. 圆中四点共圆的性质和判定初中没有学习,高中则在使用。 另外,像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化,不利于高中知识的讲授。 二、“脱节”知识点掌握情况调查 高一新生入学不久,在已进行“乘法公式”与“因式分解”讲授后,我们对学生初高中“脱节”知识点作了全面调查,统计情况如下:
初高中数学衔接研究报告
————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期: ?
初高中数学衔接教学的实验与研究研究报告 平舆县第一高级中学“初高中数学衔接教学的实验与研究”课题组 执笔人:韩雨濛 摘要: 国家教委在八十年代对初中数学教学要求和内容的调整,较大地降低了有关知识的要求,造成了初、高中数学教学的较为严重的脱节。从高一数学老师的现状看:各校大部分是教学不足5年的青年教师,有学历,有热情,但对高一数学教材不熟悉,对初中数学教材知之更少,他们急需要有一个学习、了解初高中数学数学教材的衔接与初高中教学的差异,以便于更好的组织教学,使学生更快适应高中、 一、问题的提出 1.学生升入高中学习之后,无论选择理科或者文科的学习,数学课程都是必须继续学习的课程之一。初高中数学教学内容上有很强的延续性,初中数学是高中数学学习的基础,高中数学是建立在初中数学基础上的延续与发展,在教学内容上、思想方法上,均密切相关。因此,从教学内容、数学思想方法上,理顺初高中数学之间的关系,进而在高中刚开始阶段强化初高中衔接点的教学,为学生进一步深造打下基础,是高中数学教学必须研究的重要课题。 2.初高中数学教学衔接研究,主要从初高中数学教学内容、基本的数学思想方法、新课程标准对数学教学的要求,试图找出初高中数学教学衔接的相关关
键点,从而为高中数学教学提出有用的建议,让高一学生尽快适应高中数学,从而进行有效的学习。 3.近年来初高中数学教学衔接作为“初高中教学衔接”这一宏观课题,在很多地方被人们提及,一些教育科研部门也作过尝试,试图寻找其间的规律与共性,但大多是从教学内容上进行简单地分类研究,也没有作为专项课题进行研究。因为这一课题将直接影响学生高中数学学习的效果,因此有进行全面研究的重要价值。 二、选题目的与意义 1.找出初高中数学教学衔接的相关关键点,从而为高中数学教学提出有用的建议,为学生适应高中数学学习进行有效地定位。 2.从教学内容、数学思想方法上,理顺初高中数学之间的关系,进而在高中初期阶段强化初高中衔接点的教学,为学生进一步深造打下基础。 3.为学生有效适应高中阶段的数学学习打好基础,提高教师对新课程理念以及学科课程目标的全面、深刻地理解; 三、课题研究目标 1、通过研究,促使教师从研究的视角来审视初高中数学衔接问题,在课堂教学中更多地关注学生的这一学习主体。反思自身的教学思想和教学行为。寻找初高中数学教材的知识衔接,结合旧知识,寻找新知识的结合点和突破点,充分发挥数学本身所具有的激发、推动学生学习的动力。
初高中数学衔接教材 1。乘法公式 我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式: (1)平方差公式 22()()a b a b a b +-=-; (2)完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+. 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式: (1)立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+; (2)立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-; (3)三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++; (4)两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++; (5)两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-. 对上面列出的五个公式,有兴趣的同学可以自己去证明. 例1 计算:22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++. 解法一:原式=2222 (1)(1)x x x ??-+-?? =242(1)(1)x x x -++ =61x -. 解法二:原式=22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +-+-++ =33(1)(1)x x +- =61x -. 例2 已知4a b c ++=,4ab bc ac ++=,求222a b c ++的值。 解: 2222()2()8a b c a b c ab bc ac ++=++-++=. 练 习 1.填空: (1)221111 ()9423 a b b a -=+( ); (2)(4m + 22 )164(m m =++ ); (3 ) 2222 (2)4(a b c a b c +-=+++ ). 2.选择题: (1)若2 1 2 x mx k + +是一个完全平方式,则k 等于 ( ) (A)2 m (B )214m (C )213m (D )2116m (2)不论a ,b 为何实数,22 248a b a b +--+的值 ( ) (A)总是正数 (B)总是负数 (C)可以是零 (D )可以是正数也可以是负数 2.因式分解 因式分解的主要方法有:十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法,另外还应了解求根法及待定系数法。 1.十字相乘法 例1 分解因式: (1)x2-3x +2; (2)x 2+4x -12; (3)22()x a b xy aby -++; (4)1xy x y -+-.
初高中数学衔接教材 现有初高中数学知识存在以下“脱节” 1.立方和与差的公式初中已删去不讲,而高中的运算还在用。 2.因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解,对系数不为“1”的涉及不多,而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求,但高中教材许多化简求值都要用到,如解方程、不等式等。 3.二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求,而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。 4.初中教材对二次函数要求较低,学生处于了解水平,但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值,研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。 5.二次函数、二次不等式与二次方程的联系,根与系数的关系(韦达定理)在初中不作要求,此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型,而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容,高中教材却未安排专门的讲授。 6.图像的对称、平移变换,初中只作简单介绍,而在高中讲授函数后,对其图像的上、下;左、右平移,两个函数关于原点,轴、直线的对称问题必须掌握。 7.含有参数的函数、方程、不等式,初中不作要求,只作定量研究,而高中这部分内容视为重难点。方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。 8.几何部分很多概念(如重心、垂心等)和定理(如平行线分线段比例定理,射影定理,相交弦定理等)初中生大都没有学习,而高中都要涉及。 另外,像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化,不利于高中知识的讲授。 目录 1.1 数与式的运算 1.1.1 绝对值
1.1.2 乘法公式 1.1.3 二次根式 1.1.4分式 1.2 分解因式 2.1 一元二次方程 2.1.1 根的判别式 2.1.2 根与系数的关系(韦达定理) 2.2 二次函数 2.2.1 二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质 2.2.2 二次函数的三种表示方式 2.2.3 二次函数的简单应用 2.3 方程与不等式 2.3.1 二元二次方程组解法 2.3.2 一元二次不等式解法 3.1 相似形 3.1.1.平行线分线段成比例定理 3.1.2相似形 3.2 三角形 3.2.1 三角形的“四心” 3.2.2 几种特殊的三角形 3.3圆 3.3.1 直线与圆,圆与圆的位置关系 3.3.2 点的轨迹 1.1 数与式的运算 1.1.1.绝对值 绝对值的代数意义:正数的绝对值是它的本身,负数的绝对值是它的相反数,零的 1
初高中衔接教材编排 第一部分相交线 1角的定义:具有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。这个公共端点叫做角的顶点, 这两条射线叫做角的两条边。表示方法符号:∠ 两条相交线出现四个角 2余角和补角:两角之和为90°则两角互为余角,两角之和为180°则两角互为补角。 等角的余角相等,等角的补角相等 如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线,且这两个角有公共顶点,那么这两个角是对顶角如图1,两条直线相交,构成两对对顶角。∠1与∠3为一对对顶角,∠2与∠4为一对对顶角。 图1 注意: 1.对顶角一定相等,但是相等的角不一定是对顶角。 2.对顶角必须有共同顶点。 3.对顶角是成对出现的。 在证明过程中使用对顶角的性质时,以图1为例, ∴∠1=∠3,∠2=∠4(对顶角相等)。 同位角:两条直线被第三条直线所截,在截线的同旁,被截两直线的同一方,我们把这种位置关系的角称为同位角. 互为同位角的有:∠1与∠5,∠2与∠6,∠4与∠8,∠3与∠7; 内错角:两条直线被第三条直线所截,两个角分别在截线的两侧,且夹在两条被截直线之间,具有这样位置关系的 一对角叫做内错角.互为内错角的有:∠3与∠5,∠2与∠8 同旁内角:两条直线被第三条直线所截,在两条直线之间,并在第三条直线同旁的两个角称为同旁内角. 互为同旁内角的有:∠3与∠8,∠2与∠5 例题【基础题】请找出图中的同位角,内错角,同旁内角 例题、【基础题】如图,O是直线AB一点,∠BOD=∠COE=90o, 则(1)如果∠1=30o,那么∠2=,∠3= 。 (2)和∠1互为余角的有。 和∠1相等的角有。 例题【基础】32o的余角为,137o的补角是。 第二部分平行线 1.定义在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线. 2.特征在同一平面内【必须满足,这是一个难点】不相交 说明强调在一个平面内,是因为高中的时候会出现一条线和一个面,那么这个时候存在着线和这个面内的有些直线不平行的问题,这个有点难理解。 3.表示方法我们通常用‘//’表示平行比如直线AB//CD 4.在同一平面内两条直线的关系有两种,平行和相交 相交的情况包括垂直.两条直线的夹角为90度,就称这两条直线垂直 垂线的性质经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线最短。 点到直线的距离:直线外一点到这条直线的垂线的长度。 5.平行线的画法 工具:直尺,三角板 4 32 1 O E D C B A A B
初高中数学衔接教材 典型试题举一反三 理解记忆成功衔接 第一部分如何做好初高中衔接 1-3页 第二部分现有初高中数学知识存在的“脱节” 4页 第三部分初中数学与高中数学衔接紧密的知识点5-9页 第四部分分章节讲解 10-66页 第五部分衔接知识点的专题强化训练 67-100页 第一部分,如何做好高、初中数学的衔接 ●第一讲如何学好高中数学● 初中生经过中考的奋力拼搏,刚跨入高中,都有十足的信心、旺盛的求知欲,都有把高中课程学好的愿望。但经过一段时间,他们普遍感觉高中数学并非想象中那么简单易学,而是太枯燥、乏味、抽象、晦涩,有些章节如听天书。在做习题、课外练习时,又是磕磕碰碰、跌跌撞撞,常常感到茫然一片,不知从何下手。相当部分学生进入数学学习的“困难期”,数学成绩出现严重的滑坡现象。渐渐地他们认为数学神秘莫测,从而产生畏惧感,动摇了学好数学的信心,甚至失去了学习数学的兴趣。造成这种现象的原因是多方面的,但最主要的根源还在于初、高中数学教学上的衔接问题。下面就对造成这种现象的一些原因加以分析、总结。希望同学们认真吸取前人的经验教训,搞好自己的数学学习。 一高中数学与初中数学特点的变化 1 数学语言在抽象程度上突变。不少学生反映,集合、映射等概念难以理解,觉得离生活很远,似乎很
“玄”。确实,初、高中的数学语言有着显著的区别。初中的数学主要是以形象、通俗的语言方式进行表达。而高一数学一下子就触及抽象的集合语言、逻辑运算语言以及以后要学习到的函数语言、空间立体几何等。
2 思维方法向理性层次跃迁。高中数学思维方法与初中阶段大不相同。初中阶段,很多老师为学生将各种题建立了统一的思维模式,如解分式方程分几步;因式分解先看什么,再看什么。即使是思维非常灵活的平面几何问题,也对线段相等、角相等,分别确定了各自的思维套路。因此,初中学习中习惯于这种机械的、便于操作的定势方式。高中数学在思维形式上产生了很大的变化,数学语言的抽象化对思维能力提出了高要求。当然,能力的发展是渐进的,不是一朝一夕的。这种能力要求的突变使很多高一新生感到不适应,故而导致成绩下降。高一新生一定要能从经验型抽象思维向理论型抽象思维过渡,最后还需初步形成辩证型思维。 3 知识内容的整体数量剧增。高中数学在知识内容的“量”上急剧增加了。例如:高一《代数》第一章就有基本概念52个,数学符号28个;《立体几何》第一章有基本概念37个,基本公理、定理和推论21个;两者合在一起仅基本概念就达89个之多,并集中在高一第一学期学习,形成了概念密集的学习阶段。加之高中一年级第一学期只有七十多课时,辅助练习、消化的课时相应地减少了。使得数学课时吃紧,因而教学进度一般较快,从而增加了教与学的难度。这样,不可避免地造成学生不适应高中数学学习,而影响成绩的提高。这就要求:第一,要做好课后的复习工作,记牢大量的知识。第二,要理解掌握好新旧知识的内在联系,使新知识顺利地同化于原有知识结构之中。第三,因知识教学多以零星积累的方式进行的,当知识信息量过大时,其记忆效果不会很好,因此要学会对知识结构进行梳理,形成板块结构,实行“整体集装”。如表格化,使知识结构一目了然;类化,由一例到一类,由一类到多类,由多类到统一;使几类问题同构于同一知识方法。第四,要多做总结、归类,建立主体的知识结构网络。 二不良的学习状态 1 学习习惯因依赖心理而滞后。初中生在学习上的依赖心理是很明显的。第一,为提高分数,初中数学教师将各种题型都一一罗列,学生依赖于教师为其提供套用的“模子”;第二,家长望子成龙心切,回家后辅导也是常事。升入高中后,教师的教学方法变了,套用的“模子”没有了,家长辅导的能力也跟不上了。许多同学进入高中后,还象初中那样,有很强的依赖心理,跟随老师惯性运转,没有掌握学习的主动权。表现在不定计划,坐等上课,课前没有预习,对老师要上课的内容不了解,上课忙于记笔记,没听到“门道”。 2 思想松懈。有些同学把初中的那一套思想移植到高中来。他们认为自已在初一、二时并没有用功学习,只是在初三临考时才发奋了一、二个月就轻而易举地考上了高中,有的还是重点中学里的重点班,因而认为读高中也不过如此。高一、高二根本就用不着那么用功,只要等到高三临考时再发奋一、二个月,也一样会考上一所理想的大学的。存有这种思想的同学是大错特错的。有多少同学就是因为高一、二不努力学习,临近高考了,发现自己缺漏了很多知识再弥补后悔晚矣。 3 学不得法。老师上课一般都要讲清知识的来龙去脉,剖析概念的内涵,分析重点难点,突出思想方法。而一部分同学上课没能专心听课,对要点没听到或听不全,笔记记了一大本,问题也有一大堆;课后又不能及时巩固、总结、寻找知识间的联系,只是赶做作业,乱套题型,对概念、法则、公式、定理一知半解,机械模仿,死记硬背。还有些同学晚上加班加点,白天无精打采,或是上课根本不听,自己另搞一套,结果是事倍功半,收效甚微。
“初高中数学衔接教材研究”结题报告 国本中学高中数学课题组 一、课题背景。 由于义务教育的需要,初中数学教材进行了大量削减或弱化,其中一部分是高中数学进一步学习的重要基础和必不可少的知识方法。作为新课程的高中数学教材,在初高中衔接方面局部比原来的教材要好些,但仍然不尽人意。 我们会经常听到学生或家长提到的一个问题:初中时数学学得很好,每次考试不下90分,到了高中怎么学习数学这么吃力呢?甚至经常徘徊在及格线附近,相当部分学生进入数学学习的“困难期”,数学成绩出现严重的滑坡现象,动摇了学好数学的信心,甚至失去了学习数学的兴趣。这种现象应该说也是正常的,但是作为一名高中数学教师要了解学生数学能力的实际水平,衔接好初高中数学知识方法,并引导学生改变数学学习方法,尤其是高一的新生,教师应帮助他们完善学习方法,掌握学习数学的技能,以适应高中的大容量、快节奏的学习。因此做到初高中数学的有效衔接尤为重要。针对此类问题,我们认为要了解高中数学和初中数学有何不同从教材内容和要求到学习知识的能力需求分析:初中数学以常量数学教学为主,内容比较平面化,直观,针对某些知识还经常反复训练,机械模仿等。由于新课标强调的是学习的螺旋式上升,教材对知识章节的编排不够连贯,结构比较松散,教材坡度较缓,直观性强,对每一个概念配置了足够的例题和习题。同时初中对抽象思维要求较低,况且初中升学门槛降低,学生的数学基础和能力下降较多,诸如:运算能力差,不会化简代数式,不会解方程组,不会准确画二次函数图像等等,这些对高中教学无疑增加了难度。相对初中数学,高中数学的知识内容丰富,思维要求高,题目难度大,抽象概括性强,灵活性综合性强。教材中概念的符号多,定义严格,论证要求高,抽象思维增多,注重数学思想方法的积累和应用。不仅要求学生运算能力,还要有逻辑推理能力,能运用一定的数学思想方法解决问题。比如:高一数学教材上期数学1,数学4涉及集合函数,三角,向量,内容多,符号多,概念多公式多,特别是函数的性质部分,这一连串的内容有许多难点,有些学生直到高中毕业也还是惧怕函数内容,还有不等式中,对二次项系数的分类讨论问题,很多学生容易忽略,缺乏分类讨论的意识。又如:高中解绝对值不等式方法:绝对值的定义,分类讨论,还有绝
目录 第一章数与式 1.1数与式的运算 1.1.1 1.1.2 1.1.3 1.1.4绝对值乘法公式二次根式分式 1.2分解因式第二章二次方程与二次不等式 2.1 一元二次方程 2.1.1根的判别式 2.1.2根与系数的关系 2.2 二次函数 2.2.1二次函数y二ax2+bx+c的图像和性质 2.2.2二次函数的三种表达方式 2.2.3二次函数的应用 2.3方程与不等式 2.3.1二元二次方程组的解法 第三章相似形、三角形、圆 3.1相似形 3.1.1平行线分线段成比例定理 3.1.2相似三角形形的性质与判定3.2三角形 3.2.1三角形的五心 3.2.2解三角形:钝角三角函数、正弦定理和余弦定理及其应用3.3圆 3.3.1直线与圆、圆与圆的位置关系:圆幕定理 3.3.2点的轨迹 3.3.3四点共圆的性质与判定 3.3.4直线和圆的方程(选学)
1.1数与式的运算 1.1.1 .绝对值 绝对值的代数意义:正数的绝对值是它的本身,负数的绝对值是它的相反数,零的绝对值仍是零.即 a, a 0, |a| 0, a 0, a, a 0. 绝对值的几何意义:一个数的绝对值,是数轴上表示它的点到原点的距离. 两个数的差的绝对值的几何意义:|a b表示在数轴上,数a和数b之间的距离. 例1解不等式:|x 1 x 3 >4. 解法一:由x 1 0 ,得x 1 ;由x 3 0,得x 3 ; ①若x 1,不等式可变为(x 1) (x 3) 4 , 即2x 4 >4,解得X V0, 又x v 1 , 二x v 0; ②若1 x 2,不等式可变为(x 1) (x 3) 4 , 即1> 4, 二不存在满足条件的x; ③若x 3,不等式可变为(x 1) (x 3) 4 , 即2x 4 >4,解得x>4. 又x>3 二x>4. 综上所述,原不等式的解为 x V0, 或x>4. 解法二:如图1. 1- 1, x 1表示x轴上坐标为x的点P到坐标为1的点A 之间的距离|RA|,即|RA| = |x- 1|; |x-3|表示x轴上点P到坐标为2的点B之间的 距离|PB|,即|PB|= |x- 3|. 所以,不等式x 1 x 3 >4的几何意义即为 |RA| + |PB|> 4. 由|AB|= 2,可知 点P在点C(坐标为0)的左侧、或点P在点D(坐标为4)的右侧. x V0,或x>4.P 丄 C L A 丄 B L D L---- x0134x V |x - 3| |x- 1| 图1. 1-1
初高中数学衔接教材 1.乘法公式 我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式: (1)平方差公式 22()()a b a b a b +-=-; (2)完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+. 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式: (1)立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+; (2)立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-; (3)三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++; (4)两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++; (5)两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-. 对上面列出的五个公式,有兴趣的同学可以自己去证明. 例1 计算:22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++. 解法一:原式=2222 (1)(1)x x x ??-+-?? =242(1)(1)x x x -++ =61x -. 解法二:原式=22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +-+-++ =33(1)(1)x x +- =61x -. 例2 已知4a b c ++=,4ab bc ac ++=,求222a b c ++的值. 解: 2222()2()8a b c a b c ab bc ac ++=++-++=. 练 习 1.填空: (1)221111 ()9423 a b b a -=+( ) ; (2)(4m + 22 )164(m m =++ ); (3 ) 2222 (2)4(a b c a b c +-=+++ ). 2.选择题: (1)若2 1 2 x mx k + +是一个完全平方式,则k 等于 ( ) (A )2 m (B )214m (C )213m (D )2116m (2)不论a ,b 为何实数,22 248a b a b +--+的值 ( ) (A )总是正数 (B )总是负数 (C )可以是零 (D )可以是正数也可以是负数 2.因式分解 因式分解的主要方法有:十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法,另外还应了解求根法及待定系数法. 1.十字相乘法 例1 分解因式: (1)x 2-3x +2; (2)x 2+4x -12; (3)22()x a b xy aby -++; (4)1xy x y -+-.
初升高暑假数学衔接教材 第一部分,如何做好高、初中数学的衔接 ● 第一讲如何学好高中数学● 初中生经过中考的奋力拼搏,刚跨入高中,都有十足的信心、旺盛的求知欲,都有把高中课程学好的愿望。但经过一段时间,他们普遍感觉高中数学并非想象中那么简单易学,而是太枯燥、乏味、抽象、晦涩,有些章节如听天书。在做习题、课外练习时,又是磕磕碰碰、跌跌撞撞,常常感到茫然一片,不知从何下手。相当部分学生进入数学学习的“困难期”,数学成绩出现严重的滑坡现象。渐渐地他们认为数学神秘莫测,从而产生畏惧感,动摇了学好数学的信心,甚至失去了学习数学的兴趣。造成这种现象的原因是多方面的,但最主要的根源还在于初、高中数学教学上的衔接问题。下面就对造成这种现象的一些原因加以分析、总结。希望同学们认真吸取前人的经验教训,搞好自己的数学学习。 一高中数学与初中数学特点的变化 1 数学语言在抽象程度上突变。不少学生反映,集合、映射等概念难以理解,觉得离生活很远,似乎很“玄”。确实,初、高中的数学语言有着显著的区别。初中的数学主要是以形象、通俗的语言方式进行表达。而高一数学一下子就触及抽象的集合语言、逻辑运算语言以及以后要学习到的函数语言、空间立体几何等。 2 思维方法向理性层次跃迁。高中数学思维方法与初中阶段大不相同。初中阶段,很多老师为学生将各种题建立了统一的思维模式,如解分式方程分几步;因式分解先看什么,再看什么。即使是思维非常灵活的平面几何问题,也对线段相等、角相等,分别确定了各自的思维套路。因此,初中学习中习惯于这种机械的、便于操作的定势方式。高中数学在思维形式上产生了很大的变化,数学语言的抽象化对思维能力提出了高要求。当然,能力的发展是渐进的,不是一朝一夕的。这种能力要求的突变使很多高一新生感到不适应,故而导致成绩下降。高一新生一定要能从经验型抽象思维向理论型抽象思维过渡,最后还需初步形成辩证型思维。 3 知识内容的整体数量剧增。高中数学在知识内容的“量”上急剧增加了。例如:高一《代数》第一章就有基本概念52个,数学符号28个;《立体几何》第一章有基本概念37个,基本公理、定理和推论21个;两者合在一起仅基本概念就达89个之多,并集中在高一第一学期学习,形成了概念密集的学习阶段。加之高中一年级第一学期只有七十多课时,辅助练习、消化的课时相应地减少了。使得数学课时吃紧,因而教学进度一般较快,从而增加了教与学的难度。这样,不可避免地造成学生不适应高中数学学习,而影响成绩的提高。这就要求:第一,要做好课后的复习工作,记牢大量的知识。第二,要理解掌握好新旧知识的内在联系,使新知识顺利地同化于原有知识结构之中。第三,因知识教学多以零星积累的方式进行的,当知识信息量过大时,其记忆效果不会很好,因此要学会对知识结构进行梳理,形成板块结构,实行“整体集装”。如表格化,使知识结构一目了然;类化,由一例到一类,由一类到多类,由多类到统一;使几类问题同构于同一知识方法。第四,要多做总结、归类,建立主体的知识结构网络。 二不良的学习状态 1 学习习惯因依赖心理而滞后。初中生在学习上的依赖心理是很明显的。第一,为提高分数,初中数学教师将各种题型都一一罗列,学生依赖于教师为其提供套用的“模子”;第二,家长望子成龙心切,回家后辅导也是常事。升入高中后,教师的教学方法变了,套用的“模子”没有了,家长辅导的能力也跟不上了。许多同学进入高中后,还象初中那样,有很强的依赖心理,跟随老师惯性运转,没有掌握学习的主动权。表现在不定计划,坐等上课,课前没有预习,对老师要上课的内容不了解,上课忙于记笔记,没听到“门道”。 2 思想松懈。有些同学把初中的那一套思想移植到高中来。他们认为自已在初一、二时并没有用功学习,只是在初三临考时才发奋了一、二个月就轻而易举地考上了高中,有的还是重点中学里的重点班,因而认为读高中也不过如此。高一、高二根本就用不着那么用功,只要等到高三临考时再发奋一、二个月,也一样会考上一所理想的大学的。存有这种思想的同学是大错特错的。有多少同学就是因为高一、二不努力学习,临近高考了,发现自己缺漏了很多知识再弥补后悔晚矣。 3 学不得法。老师上课一般都要讲清知识的来龙去脉,剖析概念的内涵,分析重点难点,突出思想方法。而一部分同学上课没能专心听课,对要点没听到或听不全,笔记记了一大本,问题也有一大堆;课后又不能及时巩固、总结、寻找知识间的联系,只是赶做作业,乱套题型,对概念、法则、公式、定理一知半解,机械模仿,死记硬背。还有些同学晚上加班加点,白天无精打采,或是上课根本不听,自己另搞一套,结果是事倍功半,收效甚微。 4 不重视基础。一些“自我感觉良好”的同学,常轻视基础知识、基本技能和基本方法的学习与训练,经常是知道
2018年浙江省初高中数学衔接教材 乘法公式 我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式: (1)平方差公式 22()()a b a b a b +-=-; (2)完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+. 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式: (1)立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+; (2)立方差公式 2 2 3 3 ()()a b a ab b a b -++=-; (3)三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++; (4)两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++; (5)两数差立方公式 3 3 2 2 3 ()33a b a a b ab b -=-+-. 对上面列出的五个公式,有兴趣的同学可以自己去证明. 第一讲 因式分解 因式分解的主要方法有:十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法,另外还应了解求根法及待定系数法. 1.十字相乘法 例1 分解因式: (1)x 2-3x +2; (2)x 2+4x -12; (3)2 2 ()x a b xy aby -++; (4)1xy x y -+-. 解:(1)如图1.1-1,将二次项x 2分解成图中的两个x 的积,再将常数项2分解成-1与-2的乘积,而图中的对角线上的两个数乘积的和为-3x ,就是x 2-3x +2中的一次项,所以,有 x 2-3x +2=(x -1)(x -2). -1 -2 x x 图1.1-1 -1 -2 1 1 图1.1-2 -2 6 1 1 图1.1-3 -ay -by x x 图1.1-4
初中升高中衔接练习题(数学) 乘法公式1.填空:(1)221111()9423 a b b a -=+( ); (2)(4m + 22 )168(m m =++ ); (3) 2222(2)4(a b c a b c +-=+++ ). 2.选择题:(1)若2 12 x mx k ++是一个完全平方式,则k 等于( ) (A )2m (B )214m (C )213 m (D )2116m (2)不论a ,b 为何实数,22248a b a b +--+的值( ) (A )总是正数 (B )总是负数 (C )可以是零 (D )可以是正数也可以是负数 因式分解 一、填空题:1、把下列各式分解因式: (1)=-+652x x __________________________________________________。 (2)=+-652x x __________________________________________________。 (3)=++652x x __________________________________________________。 (4)=--652x x __________________________________________________。 (5)()=++-a x a x 12__________________________________________________。 (6)=+-18112x x __________________________________________________。 (7)=++2762x x __________________________________________________。 (8)=+-91242m m __________________________________________________。 (9)=-+2 675x x __________________________________________________。 (10)=-+22612y xy x __________________________________________________。 2、若()()422-+=++x x b ax x 则 =a , =b 。 二、选择题:(每小题四个答案中只有一个是正确的) 1、在多项式(1)672++x x (2)342++x x (3)862++x x (4)1072++x x (5)44152++x x 中,有相同因式的是( ) A.只有(1)(2) B.只有(3)(4) C.只有(3)(5) D.(1)和(2);(3)和(4);(3)和(5) 2、分解因式2 2338b ab a -+得( ) A ()( )3 11-+a a B ()()b a b a 3 11-+ C ()()b a b a 3 11-- D ()()b a b a 3 11+- 3、()()2082-+++b a b a 分解因式得( ) A 、()( )2 10-+++b a b a B 、()()4 5-+++b a b a C 、()( )10 2-+++b a b a D 、()()5 4-+++b a b a 4、若多项式a x x +-32 可分解为()()b x x --5,则a 、b 的值是( ) A 、10=a ,2=b B 、10=a ,2-=b C 、10-=a ,2-=b D 、10-=a ,2=b 5、若()()b x a x mx x ++=-+ 102 其中a 、b 为整数,则m 的值为( ) A 、3或9 B 、3± C 、9± D 、3±或9± 三、把下列各式分解因式 1、()()3211262 +---p q q p 2、22365ab b a a +- 3、6422 --y y 4、8224--b b 提取公因式法 一、填空题:1、多项式xyz xy y x 42622+-中各项的公因式是_______________。
初高中数学衔接教材 一、现有初高中数学知识存在以下“脱节”: 1.立方和与差的公式初中已删去不讲,而高中的运算还在用。 2.因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解,对系数不为“1”的涉及不多,而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求,但高中教材许多化简求值都要用到,如解方程、不等式等。 3.二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求,而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。 4.初中教材对二次函数要求较低,学生处于了解水平,但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值,研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。 5.二次函数、二次不等式与二次方程的联系,根与系数的关系(韦达定理)在初中不作要求,此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型,而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容,高中教材却未安排专门的讲授。 6.图像的对称、平移变换,初中只作简单介绍,而在高中讲授函数后,对其图像的上、下;左、右平移,两个函数关于原点,轴、直线的对称问题必须掌握。 7.含有参数的函数、方程、不等式,初中不作要求,只作定量研究,而高中这部分内容视为重难点。方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。 8.几何部分很多概念(如重心、垂心等)和定理(如平行线分线段比例定理,射影定理,相交弦定理等)初中生大都没有学习,而高中都要涉及。 另外,像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化,不利于高中知识的讲授。 二、初高中数学衔接目录: 前言 第一讲数与式的运算(两课时) 第二讲因式分解(两课时) 第三讲一元二次方程根与系数的关系(一课时) 第四讲不等式(两课时) 第五讲二次函数的最值问题(一课时) 第六讲简单的二元二次方程组(一课时) 第七讲分式方程和无理方程的解法(一课时) 第八讲直线、平面与常见立体图形(一课时) 第九讲直线与圆,圆与圆的位置关系(一课时)
初中数学与高中数学衔接紧密的知识点 1 绝对值: ⑴在数轴上,一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。 ⑵正数的绝对值是他本身,负数的绝对值是他的相反数,0的绝对值是0,即(0)0(0)(0)a a a a a a >??==??- ⑶两个负数比较大小,绝对值大的反而小 ⑷两个绝对值不等式:||(0)x a a a x a <>?-<<;||(0)x a a x a >>?<-或x a > 2 乘法公式: ⑴平方差公式:22 ()()a b a b a b -=+- ⑵立方差公式:3322()()a b a b a ab b -=-++ ⑶立方和公式:3322()()a b a b a ab b +=+-+ ⑷完全平方公式:222()2a b a ab b ±=±+, 2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++ ⑸完全立方公式:33223()33a b a a b ab b ±=±+± 3 分解因式: ⑴把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变化叫做把这个多项式分解因式。 ⑵方法:①提公因式法,②运用公式法,③分组分解法,④十字相乘法。 4 一元一次方程: ⑴在一个方程中,只含有一个未知数,并且未知数的指数是1,这样的方程叫一元一次方程。 ⑵解一元一次方程的步骤:去分母,移项,合并同类项,未知数系数化为1。 ⑶关于方程ax b =解的讨论 ①当0a ≠时,方程有唯一解b x a = ; ②当0a =,0b ≠时,方程无解 ③当0a =,0b =时,方程有无数解;此时任一实数都是方程的解。 5 二元一次方程组: (1)两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。 (2)适合一个二元一次方程的一组未知数的值,叫做这个二元一次方程的一个解。 (3)二元一次方程组中各个方程的公共解,叫做这个二元一次方程组的解。 (4)解二元一次方程组的方法:①代入消元法,②加减消元法。
初高中数学衔接教材 引 入 乘法公式 第一讲 因式分解 第二讲 函数与方程 第三讲 三角形的“四心” 乘法公式 我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式: (1)平方差公式 22()()a b a b a b +-=-; (2)完全平方公式 222 ()2a b a a b b ±=±+. 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式: (1)立方和公式 2233 ()()a b a a b b a b +-+=+; (2)立方差公式 2233 ()()a b a a b b a b -++=-; (3)三数和平方公式 222 2()2()a b c a b c a b b c a c ++=+++++; (4)两数和立方公式 33223 ()33a b a a b a b b +=+++; (5)两数差立方公式 332 2()33a b a a b a b b -=-+-. 对上面列出的五个公式,有兴趣的同学可以自己去证明. 例1 计算:22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++. 解法一:原式=2222 (1)(1)x x x ??-+-?? =242(1)(1)x x x -++ =61x -. 解法二:原式=22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +-+-++ =33(1)(1)x x +- =61x -. 例2 已知4a b c ++=,4ab bc ac ++=,求222a b c ++的值. 解: 2222()2()8a b c a b c ab bc ac ++=++-++=. 练 习 1.填空: (1) 221111 ()9423 a b b a -=+( ); (2)(4m + 22)164(m m =++ ); (3 ) 2222 (2)4(a b c a b c +-=+++ ). 2.选择题: (1)若2 1 2 x mx k + +是一个完全平方式,则k 等于 ( ) (A )2 m (B )214m (C )213m (D )2116m (2)不论a ,b 为何实数,22 248a b a b +--+的值 ( ) (A )总是正数 (B )总是负数 (C )可以是零 (D )可以是正数也可以是负数 第一讲 因式分解
初高中数学衔接教材 编者的话 现有初高中数学教材存在以下“脱节”: 1、绝对值型方程和不等式,初中没有讲,高中没有专门的内容却在使用; 2、立方和与差的公式在初中已经删去不讲,而高中还在使用; 3、因式分解中,初中主要是限于二次项系数为1的二次三项式的分解,对系数不为1的涉及不多,而且对三次或高次多项式的分解几乎不作要求;高中教材中许多化简求值都要用到它,如解方程、不等式等; 4、二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求,而分子、分母有理化是高中数学中函数、不等式常用的解题技巧; 5初中教材对二次函数的要求较低,学生处于了解水平。而高中则是贯穿整个数学教材的始终的重要内容;配方、作简图、求值域(取值范围)、解二次不等式、判断单调区间、求最大最小值、研究闭区间上的函数最值等等是高中数学所必须掌握的基本题型和常用方法; 6、二次函数、二次不等式与二次方程之间的联系,根与系数的关系(韦达定理)初中不作要求,此类题目仅限于简单的常规运算,和难度不大的应用题,而在高中数学中,它们的相互转化屡屡频繁,且教材没有专门讲授,因此也脱节; 7、图像的对称、平移变换初中只作简单介绍,而在高中讲授函数时,则作为必备的基本知识要领; 8、含有参数的函数、方程、不等式初中只是定量介绍了解,高中则作为重点,并无专题内容在教材中出现,是高考必须考的综合题型之一; 9、几何中很多概念(如三角形的五心:重心、内心、外心、垂心、旁心)和定理(平行线等分线段定理、平行线分线段成比例定理、射影定理、相交弦定理)初中早就已经删除,大都没有去学习; 10、圆中四点共圆的性质和判定初中没有学习。高中则在使用。 另外,象配方法、换元法、待定系数法、双十字相乘法分解因式等等等等初中大大淡化,甚至老师根本没有去延伸发掘,不利于高中数学的学习。 新的课程改革,难免会导致很多知识的脱节和漏洞。本书当然也没有详尽列举出来。我们会不断的研究新课程及其体系。将不遗余力地找到新的初高中数学教材体系中存在的不足,加以补充和完善。 欢迎广大读者提出宝贵意见,我们将不胜感激!