中值定理

第二章 一元微分学

第二节 中值定理

有关知识： （1）费马定理．

（2）罗尔定理，拉氏中值定理，柯西中值定理。

（3）达布定理：设)(x f 在],[b a 上可导，且)()(b f a f '≠'，则对于介于)(a f '与)(b f '之间的任一实数c ，都存在),(b a ∈ξ，使得 c f =')(ξ。

本节中的题需要一定的技巧，主要体现上：找一个合适的函数（大多数情况下需要我们去构造，称之为辅助函数）在合适的区间上（有时就是题中给出的区间，有时需我们构造新的区间，称之为辅助区间），使用合适的中值定理。 例1：设)(x f 在]1,0[上连续，)(x f 在)1,0(内可导，且1)2

1

(,0)1()0(===f f f ，求证：

)1,0(∈?ξ，使得1)(='ξf 。

分析：欲证的结论实际上是：)1,0(∈?ξ，使得 0|])([='-=ξx x x f ，即0)(='ξF （x x f x F -=)()(），容易想到作辅助函数x x f x F -=)()(，并考虑对)(x F 用罗尔定理。但

)1()0(F F ≠，故)(x F 在]1,0[上用罗尔定理行不通。应重新找一个区间，使得)(x F 在该区间

上满足罗尔定理的条件。易见1)1(,21)21

(,0)0(-==

=F F F ，故存在)1,2

1

(0∈x ，使得0)(0=x F ，因此)(x F 在],0[0x 上满足罗尔定理的条件。那么对)(x F 在],0[0x 上用罗尔定理

便可得结论。具体的证明过程学生自己完成。

注：本题中构造了辅导函数x x f x F -=)()(，也构造了辅导区间],0[0x 。这是本问题解决的关键，同时也是解决此类问题（称之为介值问题）常用的思路和技巧。

例２：设)(x f 在],[b a 上连续，)(x f 在),(b a 内二阶可导，0)()(==b f a f 且曲线)(x f y =与拋物线))((b x a x y --=有一个交点)( ))(,(b c a c f c <<，求证：),(b a ∈?ξ，使得2)(=''ξf 。 分析：欲证的结论为 0|])()([=''-=ξx x g x f ，其中)(x g 为满足2)(=''x g 的某个函数，由题设容易想到：))(()(b x a x x g --=。作辅助函数))(()()(b x a x x f x F ---=，则有

)0)(()()(===b F c F a F ，进而可证明结论。具体的证明过程学生自己完成。

注：欲证0)()

(=ξk F

时,下面两种情况是常见的

(1) 由)(1x F )(2x F === )(1+k x F (121+<<

(=ξk F

(2) 由)(a F )(b F ===''='= )()(b F b F 0)()1(=-b F k （或

)(a F ==''='= )()(a F a F )()1(a F k -0)(==b F ）

，得0)()(=ξk F 。 例3. 设)(x f 在]1,1[-上三阶可导，且0)0(,1)1(,0)1(='==-f f f ，证明存在)1,1(-∈ξ，使得

3)(=ξ'''f 。

分析：欲证的结果化为03)(=-ξ'''f ，由此想到找一个3次多项式)(x P ，使得3)(='''x P ，再作

辅导函数)()()(x P x f x F -=，那么)(x P 如何找呢？首先易见C Bx Ax x x P +++=23

2

)(，为证得结论我们希望)(x F 满足条件：0)1(=-F ，0)1(=F ，0)0(=F ，0)0(='F (当然由四个条件确定三个待定系数可能办不到,但本题办得到.)由0)0(='F 可得0=B ,由0)0(=F 可得

)0(f C =,再由0)1(=-F 得)0(21f A -=,从而)0())0(2

1

(2)(23f x f x x P +-+=.容易验证

0)1(=F .至此,问题得以解决.

证明:令)]0())0(2

1(2[)()(2

3f x f x x f x F +-+-=,则

0)1(=-F ，0)1(=F ，0)0(=F ，0)0(='F , 由罗尔定理知 )1,0(),0,1(21∈ξ-∈ξ?,使得 0)(1=ξ'F ,0)(2=ξ'F 从而)()0()(21ξ'='=ξ'F F F ,

由罗尔定理知 ),0(),0,(2211ξ∈ηξ∈η?,使得 0)(1=η''F ,0)(2=η''F

由罗尔定理知 )1,1(),(21-?ηη∈ξ?,使得 0)(=ξ'''F , 即3)(=ξ'''f .

例4. 设b a <<0,)(x f 在],[b a 上可导，证明：),(b a ∈?ξ，使得

)()())()((222ξξf a b a f b f '-=-。

分析：欲证的结论变形为

ξξ2)

()()(2

2f a b a f b f '=-- 这正是柯西中值定理的结论．具体的证明过程学生自己完成。

注：这里无须技巧，关键一点是作恒等变形．

介值问题中构造辅助函数是解题的关键也是难点，下面通过举例重点说明如何构造辅助函数． 例.设)(x f 在]1,0[上连续,在)1,0(内可导,且1)1(=f ,证明在在)1,0(∈ξ,使得 )()1

1()(ξξ

-=ξ'f f

分析:为构造辅导函数并纳入罗尔定理的框架,先将目标等式变形 )()()(ξ-ξξ=ξ'ξf f f ,

为方便，把ξ换成x ,则上式为)()()(x f x xf x f x -=',再变形为)()()(x xf x f x f x =+',即 0)())((=-'x xf x xf

由此想到应当辅导函数)]([)(x xf e x F x -=.

以上构造的辅助函数是通过观察、分析后找出来的，技巧性较强．下面介绍一个方法（称为积分还原法），可以比较容易地找出辅助函数，无需太多技巧而且比较程序化． 欲证的结论)()11()(ξξ-=ξ'f f 中的ξ换成x 得)()1

1()(x f x

x f -

='，再将其变形为

x

x f x f 1

1)()(-=' 对上式两边积分得

c x x x f +-=ln )(ln

变形得, x

e C x

f x

=)(,再变形得

C x f xe x

=-)( 那么)()( x f xe

x F x

-=便是要找的辅助函数．

总结：这种方法的一般过程是这样的：把欲证的结论中的介值ξ换成x ，并且必要时要作恒等变形（以利于方便积分）．然后等式两边求不定积分，再移项、化简、整理得如下形式的等式

C x F =)(

那么)(x F 便是要找的辅助函数．找到了辅导函数后,证明过程是简单的.具体的证明过程学生自己完成。

例6．设)(),(x g x f 在],[b a 上二阶可导，且0)()()()(,0)(====≠''b g a g b f a f x g ，证明：

),(b a ∈?ξ，使得

)

()

()()(ξξξξg f g f ''''=

分析：首先由题设可以看出 ),(,0)(b a x x g ∈≠，下面用积分还原法找辅助函数： 把结论中的ξ换成x ，并作恒等变形 )()()()(x f x g x g x f ''='' 两过积分得 ??''-'=''-'dx x g x f x f x g dx x g x f x g x f )()()()()()()()(

整理得

c x f x g x g x f ='-')()()()( 辅助函数便是

)()()()()(x f x g x g x f x F '-'=.

注：本题也可以通过观察、分析找出辅助函数，需要看出)()()()(x f x g x g x f ''-''是

)()()()()(x f x g x g x f x F '-'=的导数。原则上讲用积分还原法能找出的辅助函数都可以用观察、

分析方法找出辅助函数，可见观察、分析方法适用面更广，但技巧性更高，而积分还原法更程序化因而可能会更快速。

下面再举例子来简单介绍另一种方法：常值法．

例7. 设)(x f 在],[b a 上二阶可导，且0)()(==b f a f ，),(b a c ∈,证明：),(b a ∈?ξ，使得 ))((2

)

()(b c a c f c f --''=

ξ 分析：本题可以用观察、分析方法找出辅助函数，目标等式变形为（把ξ替换成x ） 0)

)(()

(2)(=---

''b c b c c f x f ，

由此想到需找一个函数)(x g ，使得)(x g '')

)(()

(2b c b c c f --=

，并使得)()()(x g x f x F -=有三

个零点，根据所给条件及目标，取))(()

)(()

()(b x a x b c a c c f x g ----=

。因此辅助函数为

-

=)()(x f x F ))(()

)(()

(b x a x b c a c c f ----，

容易验证 0)()()(===c F b F a F 。至此问题可以解决了。 通过积分还原法找辅助函数： x →ξ，并变形得)

)(()

(2)(b c a c c f x f --=

''，两边积分两次得

)()

)(()

()(212c x c x b c a c c f x f ++--=

这里出现了两个任意常数，需取合适的1c ，使之变为 C b x a x b c a c c f x f +----=

))(()

)(()

()(

便可得出辅助函数 ))(()

)(()

()()(b x a x b c a c c f x f x F -----

=

下面介绍另一个方法（称为常值法）： 令)

)(()

(2b c a c c f --=

λ，那么欲证的结论为 λξ='')(f

把)

)(()(2b c a c c f --=

λ变形为))((2)(b c a c c f --λ

-

把上式中的c 换成x ，便是要找的辅助函数

))((2

)()(b x a x x f x F ---

=λ

证明：令)

)(()

(2b c a c c f --=

λ，))((2)()(b x a x x f x F ---=λ

则 0)()()(===c F b F a F ，由罗尔定理可得 ),(b a ∈?ξ，使得 0)(=''ξF

即λξ='')(f ，也即)(ξf '')

)(()

(2b c a c c f --=

，从而得结论．

本题看不出常值法有何优势，但确有些题目用前两个方法都不方便，而用常值法会比较方便，看下面例子。

例8. 设)(x f 在],[b a 上三阶可导，证明存在),(b a ∈ξ，使得

)(12

)()]()()[(21)()(3

ξ'''-=

'+'-+-f a b b f a f a b b f a f 。 分析：用常值法来解决, 令=λ3)/()]}()()[(2

1

)()({12a b b f a f a b b f a f -'+'-+-,问题化为欲证λ=ξ''')(f , 把上式改为

3)(12

)]()()[(21)()(a b b f a f a b b f a f -λ

-'+'-+

-, 把a 改为x ,得辅导函数 =)(x F 3)(12

)]()()[(21)()(x b b f x f x b b f x f -λ

-

'+'-+-.)(x F 找不出两个以上零点,只能找出两个零点0)()(==b F a F ,但有0)(='b f .下面给出解答.

证明:记=λ3)/()]}()()[(21

)()({12a b b f a f a b b f a f -'+'-+-,令 =)(x F 3)(12

)]()()[(21)()(x b b f x f x b b f x f -λ

-

'+'-+-, 则 0)()(==b F a F ，

=')(x F 2)(4)(2)]()([21)(x b x f x b b f x f x f -λ+''-+'+'-

' ='')(x F ])([2

λ-'''-x f x

b 由0)()(==b F a F 知,存在),(b a ∈η,使得0)(=η'F , 又0)(='b F ,故存在),(b a ∈ξ,使得0)(=ξ''F ,即0])([2

=λ-ξ'''ξ

-f b , 由于0≠ξ-b ,所以λ=ξ''')(f .命题得证.

注:本题涉及三阶导,涉及高阶导的介值问题还有一种常用方法就是带拉氏余项的泰勒公式(见泰勒公式一节),但本题用泰勒公式也不方便. 习题

1． 设)(x f 在]1,0[上连续，)(x f 在)1,0(内可导，且,0)1()0(==f f 求证：对任意实数

)1,0(0∈x ，)1,0(∈?ξ，使得)()(0x f f ='ξ．

（容易想到辅助函数)()()(0x xf x f x F -=，但不能在]1,0[上使用罗尔定理，需找辅助区间。注意到0)1()(0≤F x F ）

2.设)(x f 在]1,0[上连续，)(x f 在)1,0(内可导，且1)2

1(,0)1()0(===f f f ，求证：对任意实数λ，)1,0(∈?ξ，使得

1))(()(=--'ξξλξf f 。

(可用观察、分析的方法找出辅助函数,本题的条件与例1完全相同，欲证的结论是例1的推广（取0=λ时便是例1的结论）。 欲证的结论变形为(把ξ换成x )

0])([])([=-λ-'-x x f x x f

由此便想到辅助函数)))(()( x x f e x F x -=λ-. 也用积分还原法找出辅助函数.

记x x f x g -=)()(,欲证的结论0)()(=-'ξλξg g 中的ξ换成x 得0)()(=-'x g x g λ，将其变形为

λ=')

()

(x g x g ，两边积分得c x x g +=λ)(ln ，变形得 C x g e x =λ-)( ， 那么)()( x g e x F x

λ-=便是要找的辅助函数．

验证一下是否符合罗尔定理的条件：0)()0(0)()0(00==?==x F F x g g （0x 在例１中找到的）．对)(x F 用罗尔定理便可得结论）

3．设)(x f 在],[b a 上连续，)(x f 在),(b a 内二阶可导，曲线)(x f y =与连接点))(,(a f a A 与点

))(,(b f b B 的直线有一个交点)( ))(,(b c a c f c C <<，求证：),(b a ∈?ξ，使得0)(=''ξf 。

（本题思路与例２差不多）

4．设b a <<0,)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，证明：),(b a ∈?ξ，使得

)( )()

()

(1

ξξξf f b f a f b

a b a '-=- （把结论变形，然后用柯西中值定理） 5.设]4

7,4

3[在)(ππx f 上可导,且0)47()43(

=π=πf f ,证明)4

7,43(π

π∈ξ?,使得

ξ=ξ+ξ'cos )()(f f . (注意到为)2

cos sin (2cos sin cos '+++=

x

x x x x ,便可找出辅助函数)

6.设)(x f 在],[b a 上二阶可导，0)()(),(0)(='='≤≤>b f a f b x a x f ，证明：),(b a ∈?ξ，使得

2)]([2)()(ξ'=ξ''ξf f f

(用积分还原法找辅助函数,变形为

)

()

(2)()(x f x f x f x f '=

''',两边积分便可得辅助函数) 7．设)(x f 在]1,0[上可导，且0)0(),1,0((0)(=∈≠f x x f ，证明：)1,0(∈?ξ，使得

)

1()

1()()( ξξξξα--'=

'f f f f 0(≠α为常数) (用积分还原法找辅助函数)

8．设)(),(x g x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，0)(≠'x g ，证明：),(b a ∈?ξ，使得

)

()()()()()(b g g f a f g f --=''ξξξξ (用积分还原法找辅助函数)

9．设)(x f 在],[b a 上可导，在),(b a 内二阶可导，且0)()(,0)()(>''==b f a f b f a f ,证明： (1) ),(b a ∈?ξ，使得0)(=ξf ； (2) ),(b a ∈?η，使得)()(ηηf f =''．

（（１）由题设可知21,x x ?，使得0)()(21

0|)]()([0|)]()()()([)()(=+'→=-'+'-''→=''==ηηηηx x x g x g x f x f x f x f f f →))()()(( 0|)]([x f x f x g x g e x x

-'===ξ，由此可以看出辅助函数可设为

)()(x g e x F x =，

或用积分还原法找辅助函数：

1

)

()()

()())()(()()()()()()(-=-''-''→

-'-='-''→=''→=''x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f f f ηη

积分，变形并整理得C x f x f e x

=-')]()([，由此可以看出辅助函数：))()(()(x f x f e x F x

-'=。

为了对)(x F 使用罗尔定理，还需找到两个点21,ξξ使得)()(21ξ=ξF F （显然)()(b F a F =不成立），注意到)(x F 的零点就是)()(x f x f -'的零点，而且))()((])([x f x f e x f e x x -'='--，因此若能找到)(x f e x -的三个零点，就有])(['-x f e x 的二个零点，进而就得)(x F 的两个零点，那么就可对)(x F 使用罗尔定理得到结论。

令)()(x f e x G x -=，那么0)()(0)()()(21=ξ'=ξ'?==ξ=G G b G G a G

)),(),,(( 0)()(2121b a F F ξ∈ξξ∈ξ=ξ=ξ?，即得到辅助区间为],[21ξξ，再对)(x F 在区间],[21ξξ上使用罗尔定理便可得到结论。）

10．设)(x f 在]1,0[上二阶可导，且0)1()0(==f f ， (1) )1,0(∈?ξ，使得ξξξ-'=

''1)

(2)(f f ； (2) )1,0(∈?η，使得)(2

)(ηη

ηf f '-=''．

（用积分还原法找辅助函数)

11．设)(x f 在],[b a 上三阶可导，且0)()()(=='=b f a f a f ，),(b a c ∈,证明：),(b a ∈?ξ，使得

)()(!

3)

()(2b c a c f c f --'''=ξ （参照例６）

12．设)(),(x g x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，),(b a c ∈,证明：),(b a ∈?ξ，使得

))(()(c a b a a f --)(2

1

))(()())(()(ξf c b a b b f b c a c c f ''=--+--+

（方法一：常值法：令))(()([2c a b a a f --=λ])

)(()

())(()(c b a b b f b c a c c f --+--+

变形为

0))()((2

))(())(())((=---λ

-

-+-+-c a c b b a a c b f b a c f c b a f 用x 取代c （亦可用x 取代a 或b ）便得辅助函数 ))()((2

))(())(())(()(x b x a b a a x b f b a x f x b a f x F -----+-+-=λ

方法二：通过观察、分析找出辅助函数：

)()()(x g x f x F -=

其中 ))(())()(()(c a b a c x b x a f x g ----=

)

)(()

)()(())(())()((c b a b c x a x b f b c a c b x a x c f ----+

----+ １3．设)(x f 在包含0x 的某个区间I 上二阶可导，I h x ∈+0，)1,0(∈α，证明：)1,0(∈?θ，使得

) (2

)

1( )()1()( ) (02000h x f h x f h x f h x f θααααα+''-+

-++=+

（用常值法．记2000)1(/)]()1()( ) ([2h x f h x f h x f -ααα--+α-α+=λ, 作辅导函数λ2

0002

)1()()1()()()(h t t x f t h x tf th x f t F --

--+-+=） 14. 设)(x f 在],[b a 上二阶可导,则对),(b a c ∈,存在),(b a ∈ξ,使得

)()(2

1

)()()()(ξ''-=-----f b c a b a f b f a c a f c f .

(用常值法, 令))(()()([2b c a c a f c f ---=λ])

)(()

()(b c a b a f b f ----

变形为

0))()((2

))](()([)))(()((=---λ

-

-----b c a c a b a c a f b f a b a f c f 用x 取代b (亦可用x 取代a 或c )便得辅助函数

))()((2

))](()([)))(()(()(x c a c a x a c a f x f a x a f c f x F ---λ

------= 则0)()()(===b F c F a F ,由此可得结论) 多介值问题：下面通2个例子说明此类问题

例9. 设b a <<0,)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，证明：),(,,321b a ∈?ξξξ，使得 )(3)()(2)()(2

22

3

3221a ab b f a b f f ++'=+'=

'ξξξξξ 分析：欲证的等式中有三项，仔细观察每一项，能想到应该与拉氏中值定理，柯西中值定理有关： ,)()()(1a b a f b f f --=

'ξ2222)

()(2)(a b a f b f f --='ξξ，3

3233)()(3)(a b a f b f f --=

'ξξ 因此能想到下面等式

a b a f b f --)()()()()(22a b a b a f b f +--=)()()(223

3a ab b a

b a f b f ++--= 由以上等式，问题就解决了。

证明：由拉氏中值定理及柯西中值定理知 ),(,,321b a ∈?ξξξ，使得

,)()()(1a b a f b f f --=

'ξ2222)

()(2)(a b a f b f f --='ξξ，3

3233)()(3)(a

b a f b f f --='ξξ 又由于

a b a f b f --)()()()()(22a b a b a f b f +--=)()()(2

23

3a ab b a

b a f b f ++--= 故 )(3)()(2)()(2

22

3

3221a ab b f a b f f ++'=+'=

'ξξξξξ 例10．设)(x f 在]1,0[上连续，)(x f 在)1,0(内可导，且,0)0(=f ,

1)1(=f 21,λλ是满足

121=+λλ的任意正数，证明：在)1,0(内存在两个不同的点ξ和η，使得

1)

()(21='+'ηλ

ξλf f 分析：初一看，不知从何处下手，而且题中特别说明了ξ和η是不同的两点。我们从物理意义上来分析此问题，以此寻找思路：

设)(t f s =是某物体的运动方程，那么该物体在时刻0=t ，处于位置0，在时刻1=t ，处于位置1，经过1个单位时间，运动了1个单位路程，)(t f s =的导数

)(t f dt

ds

'=是速度，若把21,λλ视为路程，路程除以速度就是时间，欲证的结论的物理意义就非常明显了：物体运动的1个单位路程分成两段21,λλ，两段所用的时间分别为

2

2

11,v v λλ（21,v v 分别为两段的平均速度）

，两段所用时间之和等于总时间1。而平均速度等于某时刻点上的瞬时速度，问题就简单了。 证明：对于

)1,0(1∈λ，)1,0(0∈?x ，使得10)(λ=x f

从而)()1(1012x f f -=-=λλ，由拉氏中值定理知 )1,(),,0(00x x ∈∈?ηξ，使得 ,0)0()()(0100x x f x f f λξ=--=

' ,11)()1()(0

200x x x f f f -=--='λ

η

所以

11)

()(0021=-+='+'x x f f ηλ

ξλ，并且ηξ≠。 注：以上两个问题虽同属多介值问题，但有很大的不同。例9中只要求证明321,,ξξξ是存在的，不要求说明它们是不同的，证明过程简单。关键一点是：根据欲证的等式（必要时要对等式作恒等变形），构造出一个有二项或多项的恒等式，然后对等式中各项分别用中值定理（拉氏中值定理及柯西中值定理）。例8中既要求证明ηξ,是存在的，还要求说明它们是不同的，这时应想到如果它们是在不同区间内找到的，那它们自然就不相同了，这种问题的处理往往是先将区间分成两个

或多个区间，然后在各个区间上用中值定理。能分析该题的几何意义吗？

其他：费马定理、达布定理在证明介值问题时也是很有用的。另外也可用中值定理证明含介值的不等式。

例11. 设)(x f 在),0[+∞上可导，且x e x f f -≤=|)(|,1)0(，证明：),0(+∞∈?ξ，使得

ξ-=ξ'e f )(

分析：辅助函数很容易看出x e x f x F --=)()(，但没法对)(x F 用罗尔定理。考虑用费马定理去解决：想办法说明)(x F 在),0(+∞内取得最大或最小值。 证明：令x e x f x F --=)()(，则0)(,0)(,0)0(≤=+∞=x F F F

若),0[,0)(+∞∈?=x x F ，则),0(+∞∈?ξ，有0)(='ξF ，从而结论成立。

若0)(),,0(00<+∞∈?x F x ，则0x A >?，使得当A x ≥时,2/)()(0x F x F >,这样)(x F 在],0[A 上的最小值在),0(A 内取得,即),0(A ∈?使得

)(min )(]

,0[x F F A x ∈=ξ

由费马定理知 0)(='ξF ，即ξ-=ξ'e f )(,结论得证。

注：证明问题： I ∈?ξ，使得0)(='ξF 时，容易想到 （1）用罗尔定理，要注意验证罗尔定理的条件；

（2）用费马定理，要说明)(x F 在区间I 的内部取得最大值或最小值。

（3）达布定理，该定理不常用，有些题需用该定理，后面的泰勒公式一节中，有例子也用到了达布定理。

例１2.设)(x f 在]1,0[上连续，)(x f 在)1,0(内可导，且,0)0(=f 且)(x f 在]1,0[上不恒等0，证明：)1,0(∈?ξ，使得0)()(>'ξξf f

证明：令)()(2

x f x F =，则0)0(=F ，由题设知 0)(),1,0(00>∈?x F x 由拉氏中值定理 0)

0()()(),1,0(0

0>-='∈?x F x F F ξξ，得结论．

练习题

15.设)(x f 在],[b a 上可导,且1)()(==b f a f ,证明存在),(,b a ∈ηξ,使得

0))()((=ξ'+ξη-ξf f e

(由条件有等式a

b e e a b a f e b f e a

b a b --=--)()()

16．设b a <<0,)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，证明：),(,,321b a ∈?ξξξ，使得

)ln (ln )()()(4)(2)(2

2332

232

211a b a b f a b f f --'=+'='ξξξξξξ

17．设)(x f 在]1,0[上连续，)(x f 在)1,0(内可导，且,0)0(=f ,1)1(=f n a a a ,,,21 是n 个正数，证明：在)1,0(内存在n 个互不相同的点n ξξξ,,,21 ，使得

∑=='++'+'n

i i n n a f a f a f a 1

22

11)()()(ξξξ

设)(x f 在),0[+∞上可导，且2

1)(0x

x

x f +≤

≤，证明：),0(+∞∈?ξ，使得 2

22

)1(1)(ξξξ+-=

'f (分析：注意到)1()1(12

222'+=+-x

x

x x 因此可想到辅助函数为 2

1)()(x

x

x f x F +-

=，但没法对)(x F 用罗尔定理。考虑用费马定理去解决：想办法说明)(x F 在),0(+∞内取得最大或最小值。)

１8．设)(x f 在]2,2[-I 上二阶可导，且,1|)(|≤x f ,4)]0([)]0([2

2='+f f 证明：)2,2(-∈?ξ，

使得0)()(=''+ξξf f

（作辅助函数2

2

)]([)()(x f x f x F '+=，用费马定理证明，要说明)(x F 可在)2,2(-内取得最值：

)0,2(,1|)(|2)

2()0()(111-∈≤'?--=

'x x f f f x f

)2,0(,1|)(|2

)

0()2()(222∈≤'?-='x x f f f x f

2)(1≤x F ，2)(2≤x F ，?=4)0(F )(x F 在],[21x x 上的最大值在其内部取得，还须说明

)0)(≠ξ'f .

19.设)(x f 在],[b a 上可导,且)()(b f a f =,证明),(b a ∈ξ?，使得

a

b a f f f --ξ=

ξ')

()()(

(用观察法:目标等式变形为0)]()([1

])()([=---'-a f x f a

b a f x f ,因此辅助函数为 ))()(()(a f x f e

x F a

b x -=--,本题就是用罗尔解决的问题)

19. 设)(x f 在],[b a 上可导,且0)(='c f ,证明),(b a ∈ξ?，使得 a

b a f f f --ξ=

ξ')

()()(

(辅助函数为))()(()(a f x f e

x F a

b x -=--,则

)())()((1)(x f e a f x f e a

b x F a b x

a

b x

'+---='----

由0)(='c f ,得a

b c F c F --

=')

()(, (i)若0)(=c F ,结合0)(=a F 易得结论;

(ii)若0)(≠c F ,由拉氏中值定理知),(c a ∈η,使得 a c c F a c a F c F F -=--=

η')()()()(,又a

b c F c F --=')

()(,故)(η'F 与)(c F '必异号,由达布定理可

得结论.

本题与上题欲证的结论相同,辅助函数也相同,但由于条件不同,因而在有了辅助函数后往下的做法就不一样了.许多题目在有了辅助函数后,往下的证明过程是简单的,但也有些题目在有了辅助函数后,往下的证明过程还要费一番周折)

20. 设)(x f 在],[b a 上可导,且)()(b f a f '=',证明),(b a ∈ξ?，使得 a

a f f f -ξ-ξ=

ξ')

()()(

(首先易见?--=

'a x a f x f x f )()()(a

x a f a a f x a f x f x a f x f -'--'-=''-))

()(()()())()((,

因此可不妨设0)(='a f (否则考察函数x a f x f x g )()()('-=) 用观察分析法找辅助函数,目标等式变形为

0))()(())()()((=--'--a f x f a f x f a x

至此想到函数

a

x a f x f --)

()(.因此作辅助函数

???

??=≤<--=a

x b x a a

x a f x f x F ,0,)

()()(

易见)(x F 在],[b a 上连续,在),(b a 内可导(往下的过程并不容易),

a

b b F b F --

=')

()((这里用到了)0)(='a f ) (i)若0)(=b F ,结合0)(=a F ,易得结论; (ii) 若0)(≠b F ,不妨设0)(>b F ,则0)

()(<--

='a

b b F b F ,由导数定义可知存在b x =的某个左侧邻域),(b b δ-,使得对),(b b x δ-∈?,有)()(b F x F >.因此存在),(0b a x ∈使得 0)()(0>>b F x F

又0)(=a F ,故)(x F 在],[b a 上的最大值必在),(b a 内取到,设),(b a ∈ξ是)(x F 在],[b a 上的最大值点,由费马定理知0)(=ξ'F .得结论.本题难度较大)

中值定理证明

中值定理 首先我们来瞧瞧几大定理: 1、 介值定理:设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且在该区间的端点取不同的函数值f(a)=A 及 f(b)=B,那么对于A 与B 之间的任意一个数C,在开区间(a,b)内至少有一点ξ使得f(ξ)=C(a<ξ

微分中值定理与导数的应用总结

1基础知识详解 先回顾一下第一章的几个重要定理 1、0 lim ()()x x x f x A f x A α→∞→=?=+ ，这是极限值与函数值（貌似是邻域）之间的 关系 2、=+()o αββαα?: ，这是两个等价无穷小之间的关系 3、零点定理： 条件：闭区间[a,b]上连续、()()0f a f b < (两个端点值异号) 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得()0f ζ= 4、介值定理： 条件：闭区间[a,b]上连续、[()][()]f a A B f b =≠= 结论：对于任意min(,)max(,)A B C A B <<，一定在开区间(a,b)上存在ζ，使得 ()f C ζ=。 5、介值定理的推论： 闭区间上的连续函数一定可以取得最大值M 和最小值m 之间的一切值。 第三章 微分中值定理和导数的应用 1、罗尔定理 条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，f(a)=f(b) 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得 '()0f ζ= 2、拉格朗日中值定理 条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得()()'()()f b f a f b a ζ-=- 3、柯西中值定理 条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，()0,(,)g x x a b ≠∈ 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得 ()()'() ()()'() f b f a f g b g a g ζζ-= - 拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情况，当g(x)=x 时，柯西中值定理就变成了拉格朗日中值定理。 4、对罗尔定理，拉格朗日定理的理解。 罗尔定理的结论是导数存在0值，一般命题人出题证明存在0值，一般都用罗尔定理。当然也有用第一章的零点定理的。但是两个定理有明显不同和限制，那就是，零点定理两端点相乘小于0，则存在0值。而罗尔定理是两个端点大小相同，

谈谈拉格朗日中值定理的证明(考研中的证明题)

谈谈拉格朗日中值定理的证明 引言 众所周至拉格朗日中值定理是几个中值定理中最重要的一个，是微分学 应用的桥梁，在高等数学的一些理论推导中起着很重要的作用. 研究拉格朗日中值定理的证明方法，力求正确地理解和掌握它，是十分必要的. 拉格朗日中值定理证明的关键在于引入适当的辅助函数. 实际上，能用来证明拉格朗日中值定理的辅助函数有无数个，因此如果以引入辅助函数的个数来计算，证明拉格朗日中值定理的方法可以说有无数个. 但事实上若从思想方法上分，我们仅发现五种引入辅助函数的方法. 首先对罗尔中值定理拉格朗日中值定理及其几何意义作一概述. 1罗尔()Rolle 中值定理 如果函数()x f 满足条件：()1在闭区间[]b a ,上连续；()2在开区间()b a ,内可导；（3）()()b f a f =,则在()b a ,内至少存在一点ζ ,使得()0'=ζf 罗尔中值定理的几何意义：如果连续光滑曲线()x f y =在点B A ,处的纵坐标相等，那么，在弧 ? AB 上至少有一点()(),C f ζζ ，曲线在C 点的切线平行于x 轴，如图1， 注意 定理中三个条件缺少其中任何一个，定理的结论将不一定成立；但不能认为定理条件不全具备，就一定不存在属于()b a ,的ζ，使得()0'=ζf . 这就是说定理的条件是充分的，但非必要的. 2拉格朗日()lagrange 中值定理

若函数()x f 满足如下条件：()1在闭区间[]b a ,上连续；()2在开区间()b a ,内可导；则在()b a ,内至少存在一点ζ，使()()()a b a f b f f --= ζ' 拉格朗日中值定理的几何意义：函数()x f y =在区间[]b a ,上的图形是连续光滑曲线弧 ? AB 上至少有一点C ，曲线在C 点的切线平行于弦AB . 如图2， 从拉格朗日中值定理的条件与结论可见，若()x f 在闭区间[]b a ,两端点的函数值相等，即()()b f a f =，则拉格朗日中值定理就是罗尔中值定理. 换句话说，罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一个特殊情形.正因为如此，我们只须对函数()x f 作适当变形，便可借助罗尔中值定理导出拉格朗日中值定理. 3 证明拉格朗日中值定理 3.1 教材证法 证明 作辅助函数 ()()()()f b f a F x f x x b a -=-- 显然，函数()x F 满足在闭区间[]b a ,上连续，在开区间()b a ,内可导，而且 ()()F a F b =．于是由罗尔中值定理知道，至少存在一点ζ()b a <<ζ，使 ()()()()0''=--- =a b a f b f f F ζζ.即()()()a b a f b f f --=ζ'. 3.2 用作差法引入辅助函数法 证明 作辅助函数 ()()()()()()?? ???? ---+-=a x a b a f b f a f x f x ? 显然，函数()x ?在闭区间[]b a ,上连续，在开区间()b a ,内可导，()()0==b a ??，因此，由罗尔中值定理得，至少存在一点()b a ,∈ζ，使得 ()()()()0''=---=a b a f b f f ζζ?，即 ()()()a b a f b f f --=ζ' 推广1 如图3过原点O 作OT ∥AB ，由()x f 与直线OT 对应的函数之差构成辅助函数()x ?，因为直线OT 的斜率与直线AB 的斜率相同，即有：

常见的勾股数及公式

常见的勾股数及公式 武安市黄冈实验学校 翟升华搜集整理 我们知道，如果∠C=90°，a 、b 、c 是直角三角形的三边，则由勾股定理，得a 2+b 2=c 2；反之，若三角形的三边 a 、 b 、 c 满足a 2+b 2=c 2，则该三角形是直角三角形，c 为斜边．与此相类似，如果三个正整数a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2，则称a 、b 、c 为勾股数，记为（a ，b ，c ）．勾股数有无数多组，下面向同学们介绍几种： 一、三数为连续整数的勾股数 （3，4， 5）是我们所熟悉的一组三数为连续整数的勾股数，除此之外是否还有第二组或更多组呢？ 设三数为连续整数的勾股数组为（x －１，x ，x ＋１），则由勾股数的定义，得（x+1）2+x 2=（x+1）2，解得x ＝ ４或x ＝０（舍去），故三数为连续整数的勾股数只有一组（３，４，５）；类似有3n,4n,5n (n 是正整数)都是勾股数 。 二、后两数为连续整数的勾股数 易知：（５，１２，１３），（９，４０，４１），（１１３，６３３８，６３８５），…，都是勾股数，如此许许多多的后两数为连续整数的勾股数，它的一般形式究竟是什么呢？ a=2n+1,b=2n 2+2n,c=2n 2+2n+1（其特点是斜边与其中一股的差为1）. 分别取n ＝１，２，３，…就得勾股数组（３，４，５），（５，１２，１３），（７，２４，２５），… 三、前两数为连续整数的勾股数 你知道（２０，２１，２９），（１１９，１２０，１６９），（４０５９，４０６０，５７４１）…，这些都是前两数为连续整数的勾股数组。其公式为：（x ，x ＋１，1222++x x ）（x 为正整数）。 设前两数为连续整数的勾股数组为（x ，x ＋１，y ），y=1222++x x 则()22 21y x x =++（＊） 整理，得1222++x x ＝2y ，化为()121222-=-+y x ，即()y x 212++() y x 212-+＝－１， 又()()2121-+＝－１，∴()122 1++n ()1221+-n ＝－１（ｎ∈Ｎ）， 故取()y x 212++＝()1221++n ，()y x 212-+＝()1 221+-n ， 解之，得x ＝41〔()1221++n ＋()1221+-n －２〕，y ＝42〔()1221++n －()1221+-n 〕， 故前两数为连续整数的勾股数组是（4 1〔()1221++n ＋()1221+-n －２〕，41〔()1221++n ＋()1221+-n －２〕＋１，42〔()1221++n －()1221+-n 〕）． 四、后两数为连续奇数的勾股数 如(8，15，17), (12，35，37) …其公式为：4(n+1),4(n+1)2-1,4(n+1)2+1(n 是正整数) . 五、其它的勾股数组公式： 1.a=2m,b=m 2－1,c=m 2+1（m 大于1的整数）. 2.a=21（m 2－n 2）,b=mn,c= 21（m 2+n 2 ）（其中m>n 且是互质的奇数）. 3.a=2m,b=m 2－n 2,c=m 2+n 2（m>n,互质且一奇一偶的任意正整数）. 下面我们把100以内的勾股数组列出来，供同学们参考： 3 4 5；5 12 13；6 8 10；7 24 25；8 15 17；9 12 15；9 40 41；10 24 26；11 60 61；12 16 20； 12 35 37；13 84 85；14 48 50；15 20 25；15 36 39；15 112 113；16 30 34；16 63 65 17 144 145；18 24 30；18 80 82；19 180 181；20 21 29；20 48 52；20 99 101；21 28 35 21 72 75；21 220 221；22 120 122；23 264 265；24 32 40；24 45 51；24 70 74；24 143 145

高等数学-中值定理证明

第三章中值定理证明

1.闭区间上连续函数定理① ② ③ ④ 2.微分中值定理 ① ② ③ ④ 3.积分中值定理 ① ② 不等式证明思路 ①构造函数（利用极值） ②拉格朗日中值定理 ③函数凹凸性定义

1.若()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 上可导，()()0f a f b ==，证明：R λ?∈， (,)a b ξ?∈使得：()()0 f f ξλξ'+=2.设,0a b >，证明：(,)a b ξ?∈，使得(1)() b a ae be e a b ξξ-=--3.设()f x 在(0,1)内有二阶导数，且(1)0f =，有2()()F x x f x =证明：在(0,1)内至少存在一点ξ，使得：()0 F ξ''=4.设)(x f 在[0，2a]上连续，)2()0(a f f =，证明在[0,a]上存在ξ使得 )()(ξξf a f =+.

5.若)(x f 在]1,0[上可导，且当]1,0[∈x 时有1)(0<

考研数学中值定理总结

中值定理一向是经济类数学考试的重点（当然理工类也常会考到），咪咪结合老陈的书和一些自己的想法做了以下这个总结，希望能对各位研友有所帮助。 1、所证式仅与ξ相关 ①观察法与凑方法 ②原函数法 ③一阶线性齐次方程解法的变形法 2、所证式中出现两端点 ①凑拉格朗日 ②柯西定理 ③k值法 ④泰勒公式法 老陈常说的一句话，管它是什么，先泰勒展开再说。当定理感觉都起不上作用时，泰勒法往往是可行的，而且对于有些题目，泰勒法反而会更简单。 3、所证试同时出现ξ和η ①两次中值定理 ②柯西定理（与之前所举例类似） 有时遇到ξ和η同时出现的时候还需要多方考虑，可能会用到柯西定理与拉氏定理的结合使用，在老陈书的习题里就出现过类似的题。 一、高数解题的四种思维定势 1、在题设条件中给出一个函数f(x)二阶和二阶以上可导，“不管三七二十一”，把f(x)在指定点展成泰勒公式再说。 2、在题设条件或欲证结论中有定积分表达式时，则“不管三七二十一”先用积分

中值定理对该积分式处理一下再说。 3、在题设条件中函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=0或f(b)=0或f(a)=f(b)=0，则“不管三七二十一”先用拉格朗日中值定理处理一下再说。 4、对定限或变限积分，若被积函数或其主要部分为复合函数，则“不管三七二十一”先做变量替换使之成为简单形式f(u)再说。 二、线性代数解题的八种思维定势 1、题设条件与代数余子式A ij 或A*有关，则立即联想到用行列式按行（列）展开定理以及AA*=A*A=|A|E 。 2、若涉及到A、B是否可交换，即AB=BA，则立即联想到用逆矩阵的定义去分析。 3、若题设n阶方阵A满足f(A)=0，要证aA+bE可逆，则先分解出因子aA+bE再说。 4、若要证明一组向量a 1,a 2 ,…,a s 线性无关，先考虑用定义再说。 5、若已知AB=0，则将B的每列作为Ax=0的解来处理再说。 6、若由题设条件要求确定参数的取值，联想到是否有某行列式为零再说。 7、若已知A的特征向量ζ 0，则先用定义Aζ =λ ζ 处理一下再说。 8、若要证明抽象n阶实对称矩阵A为正定矩阵，则用定义处理一下再说。

关于高等数学常见中值定理证明及应用

中值定理 首先我们来看看几大定理： 1、介值定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在该区间的端点取不同的函数值 f(a)=A及f(b)=B，那么对于A与B之间的任意一个数C，在开区间(a,b)内至少有一点ξ使得f(ξ)=C(a<ξ

勾股定理

尊敬的各位评委、老师，您们好。今天我说课的内容是人教版《数学》八年级下册第十八章第一节《勾股定理》第一课时，我将从教材、教法与学法、教学过程、教学评价以及设计说明五个方面来阐述对本节课的理解与设计。 一、教材分析： （一）教材的地位与作用 从知识结构上看，勾股定理揭示了直角三角形三条边之间的数量关系，为后续学习解直角三角形提供重要的理论依据，在现实生活中有着广泛的应用。 从学生认知结构上看，它把形的特征转化成数量关系，架起了几何与代数之间的桥梁； 勾股定理又是对学生进行爱国主义教育的良好素材，因此具有相当重要的地位和作用。 根据数学新课程标准以及八年级学生的认知水平我确定如下学习目标：知识技能、数学思考、问题解决、情感态度。其中【情感态度】方面，以我国数学文化为主线，激发学生热爱祖国悠久文化的情感。 （二）重点与难点 为变被动接受为主动探究，我确定本节课的重点为：勾股定理的探索过程。限于八年级学生的思维水平，我将面积法发现勾股定理确定为本节课的难点，我将引导学生动手实验突

出重点，合作交流突破难点。 二、教法与学法分析 教学方法叶圣陶说过“教师之为教，不在全盘授予，而在相机诱导。”因此教师利用几何直观提出问题，引导学生由浅入深的探索，设计实验让学生进行验证，感悟其中所蕴涵的思想方法。 学法指导为把学习的主动权还给学生，教师鼓励学生采用动手实践，自主探索、合作交流的学习方法，让学生亲自感知体验知识的形成过程。 三、教学过程 我国数学文化源远流长、博大精深，为了使学生感受其传承的魅力，我将本节课设计为以下五个环节。 首先，情境导入 给出《七巧八分图》中的一组图片，让学生利用两组七巧板进行合作拼图。（请看视频）让学生观察并思考三个正方形面积之间的关系？它们围成了什么三角形？反映在三边上,又蕴含着什么数学奥秘呢？寓教于乐，激发学生好奇、探究的欲望。 第二步追溯历史解密真相 勾股定理的探索过程是本节课的重点，依照数学知识的循序渐进、螺旋上升的原则，我设计如下三个活动。 从上面低起点的问题入手，有利于学生参与探索。学生很容

[整理]年高中数学定理汇总

124推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 125切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角 126圆的外切四边形的两组对边的和相等 127弦切角定理弦切角等于它所夹的弧对的圆周角 128推论如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等 129相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等 130推论如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的 两条线段的比例中项 131切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割 线与圆交点的两条线段长的比例中项 132推论从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等 133如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上 134①两圆外离d﹥r+r ②两圆外切d=r+r ③两圆相交r-r﹤d﹤r+r(r﹥r) ④两圆内切d=r-r(r﹥r) ⑤两圆内含d﹤r-r(r﹥r) 135定理相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦 136定理把圆分成n(n≥3): ⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形 ⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形 137定理任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆 138正n边形的每个内角都等于（n-2）×180°/n 139定理正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形 149正n边形的面积sn=pnrn/2 p表示正n边形的周长 141正三角形面积√3a²/4( a表示边长) 142如果在一个顶点周围有k个正n边形的角，由于这些角的和应为 360°，因此k×(n-2)180°/n=360°化为（n-2）(k-2)=4 143弧长计算公式：l=nπr/180 144扇形面积公式：s扇形=nπr2/360=lr/2 145内公切线长= d-(r-r) 外公切线长= d-(r+r) 146等腰三角形的两个底角相等 147等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合 148如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等 149三条边都相等的三角形叫做等边三角形 150两边的平方的和等于第三边的三角形是直角三角形 编辑本段数学归纳法 （—）第一数学归纳法： 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，有如下步骤： （1）证明当n取第一个值时命题成立 （2）假设当n=k（k≥n的第一个值，k为自然数）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。 （二）第二数学归纳法： 第二数学归纳法原理是设有一个与自然数n有关的命题，如果：

2016考研数学中值定理证明思路总结

2016考研数学中值定理证明思路总结中值定理这块一直都是很多考生的“灾难区”，一直没有弄清楚看到一个题目到底怎么思考处理，因此也是考研得分比较低的一块内容，如果考生能把中值定理的证明题拿下，那么我们就会比其他没做上的同学要高一个台阶，也可以说这是一套“拉仇恨”的题目。下面小编就和大家来一起分析一下这块内容。 1.具体考点分析 首先我们必须弄清楚这块证明需要的理论基础是什么，相当于我们的工具，那需要哪些工具呢? 第一：闭区间连续函数的性质。 最值定理：闭区间连续函数的必有最大值和最小值。 推论：有界性(闭区间连续函数必有界)。 介值定理：闭区间连续函数在最大值和最小值之间中任意一个数，都可以在区间上找到一点，使得这一点的函数值与之相对应。 零点定理：闭区间连续函数，区间端点函数值符号相异，则区间内必有一点函数值为零。 第二：微分中值定理(一个引理，三个定理)

费马引理：函数f(x)在点ξ的某邻域U(ξ)内有定义，并且在ξ处可导，如果对于任意的x∈U(ξ)，都有f(x)≤f(ξ) (或f(x)≥f(ξ) )，那么f'(ξ)=0。 罗尔定理：如果函数f(x)满足： (1)在闭区间[a,b]上连续 (2)在开区间(a,b)内可导 在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)， 那么在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ 柯西中值定理：如果函数f(x)及F(x)满足 (1)在闭区间[a,b]上连续 (2)在开区间(a,b)内可导 (3)对任一x∈(a,b)，F'(x)≠0 那么在(a,b) 内至少有一点ξ，使等式[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f'(ξ)/F'(ξ)成立。 第三：积分中值定理： 如果函数f(x) 在积分区间[a, b]上连续，则在[a, b]上至少存在一个点ξ，使下式成立

勾股定理(基础)

勾股定理（基础） 一、目标与策略 明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！ 学习目标： ● 掌握勾股定理的内容，了解勾股定理的多种证明方法，体验数形结合的思想； ● 能够运用勾股定理求解三角形中相关的边长（只限于常用的数）； ● 通过对勾股定理的探索解决简单的实际问题，进一步运用方程思想解决问题． 学习策略： ● 体验勾股定理的探索过程，掌握方程思想； ● 牢记直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方. 二、学习与应用 1. 正数的平方根有 ，它们互为 ，其中正的那个叫它的____；负数 ，0的平方根是 . 2. 324的算术平方根是 ， 256的平方根是 . 3.196= ,144 = . 要点一、勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长 分别为a b ，，斜边长为c ，那么 . 要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系. （2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的 线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目 的. （3）理解勾股定理的一些变式： “凡事预则立，不预则废”．科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性．我们要在预习的基础上，认真听讲，做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记． 要点梳理——预习和课堂学习 认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听 课学习．课堂笔记或者其它补充填在右栏． 知识回顾——复习 学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？

2______ a=，2______ b=，()2 2____ c a b =+- 要点二、勾股定理的证明 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 图（1）中，所以. 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 图（2）中，所以. 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形. ，所以. 要点三、勾股定理的作用 1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； 2.用于解决带有平方关系的证明问题； 3. 与勾股定理有关的面积计算； 4. 勾股定理在实际生活中的应用． 类型一、勾股定理的直接应用 例1、在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．（1）若a＝5，b＝12，求c； （2）若c＝26，b＝24，求a． 典型例题——自主学习 认真分析、解答下列例题，尝试总结提升各类型题目的规律和技巧，然后完成举一反三．课堂笔记或者其它补充填在右栏．

拉格朗日中值定理的证明

拉格朗日中值定理是微分学中最重要的定罗尔定理来证明。理之一，它是沟通函数与其导数之间的桥梁，也是微分学的理论基础。一般高等数学教材上，大都是用罗尔定理证明拉朗日中值定理，直接给出一个辅助函数，把拉格朗日定理的证明归结为用罗尔定理，证明的关键是给出—个辅助函数。 怎样构作这一辅助函数呢?给出两种构造辅助函数的去。 罗尔定理：函数满足在[a，b止连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)，则在(a，b)内至少存在一点∈，使f(∈)==o (如图1)。 拉格朗日定理：若f(x)满足在『a，b』上连续，在(a，b)内可导，则在(a，b)内至少存在_ ∈，使(如图2). 比较定理条件，罗尔定理中端点函数值相等，f ，而拉格朗日定理对两端点函数值不作限制，即不一定相等。我们要作的辅助函数，除其他条件外，一定要使端点函数值相等，才能归结为: 1.首先分析要证明的等式：我们令 (1) 则只要能够证明在(a，b)内至少存在一点∈，使f(∈ t就可以了。 由有，f(b)-tb=f(a)-ta (2) 分析(2)式，可以看出它的两边分别是F(X)=f(x)-tx在b,a观点的值。从而，可设辅助函数F(x)=f(x)-tx。该函数F(x)满足在{a.b{上连续，在(a，b)内可导，且 F(a)=F(b) 。根据罗尔定理，则在(a，b)内至少存在一点∈，使F。(∈)=O。也就是f(∈)-t=O，也即f(∈ )=t，代人(1 )得结论 2.考虑函数

我们知道其导数为 且有 F(a)=F(b)=0. 作辅助函数，该函数F(x)满足在[a，b]是连续，在(a，b)内可导，且f F 。根据罗尔定理，则在(a，b)内至少存在一点∈，使F’ 从而有结论成立.

拉格朗日中值定理证明中辅助函数构造及应用

分类号 编号 本科生毕业论文（设计） 题目拉格朗日中值定理证明中的辅助函数的构造及应用 作者姓名常正军 专业数学与应用数学 学号 2 9 1 0 1 0 1 0 2 研究类型数学应用方向 指导教师李明图 提交日期 2 0 1 3 - 3 - 1 5

论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交毕业论文，是本人在指导教师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 论文作者签名：年月日

摘要拉格朗日中值定理是微积分学三大基本定理中的主要定理，它在微积分中占据极其重要的地位，有着广泛地应用。关于它的证明，绝大多数教科书采用作辅助函数的方法，然后利用罗尔中值定理的结论证明拉格朗日中值定理来证明。罗尔中值定理是其的特殊形式，而柯西中值定理是其的推广形式，鉴于微分中值定理的广泛地应用，笔者将从以下几个不同的角度探讨拉格朗日中值定理中辅助函数的构造，以及几个方面的应用加以举例。 关键词：拉格朗日中值定理辅助函数的构造证明及应用 Abstract Lagrange mean value theorem is the main theorem of calculus three basic theorem, It occupies an important status and role in the calculus, has wide application. Proof of it, the vast majority of textbooks by using the method of auxiliary function, and then use the conclusion of Rolle's theorem to prove the Lagrange mean value theorem. Rolle mean value theorem is a special form of it, and Cauchy's theorem is extended form of it, given the widely application of the differential mean value theorem. This paper will discuss the construction of auxiliary function of the Lagrange mean value theorem from several following different angles, and several applications for example. Keyword: Lagrange mean value theorem The construction of auxiliary function Proof and Application

勾股定理典型例题详解及练习(附答案)

典型例题 知识点一、直接应用勾股定理或勾股定理逆定理 例1：如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（） A. CD、EF、GH B. AB、EF、GH C. AB、CD、GH D. AB、CD、EF

勾股定理说到底是一个等式，而含有未知数的等式就是方程。所以，在利用勾股定理求线段的长时常通过解方程来解决。勾股定理表达式中有三个量，如果条件中只有一个已知量，必须设法求出另一个量或求出另外两个量之间的关系，这一点是利用勾股定理求线段长时需要明确的思路。 ; 方程的思想：通过列方程（组）解决问题，如：运用勾股定理及其逆定理求线段的长度或解决实际问题时，经常利用勾股定理中的等量关系列出方程来解 决问题等。 例3：一场罕见的大风过后，学校那棵老杨树折断在地，此刻，张老师正和占明、清华、绣亚、冠华在楼上凭栏远眺。 清华开口说道：“老师，那棵树看起来挺高的。” “是啊，有10米高呢，现在被风拦腰刮断，可惜呀！” “但站立的一段似乎也不矮，有四五米高吧。”冠华兴致勃勃地说。 张老师心有所动，他说：“刚才我跑过时用脚步量了一下，发现树尖距离树根恰好3米，你们能求出杨树站立的那一段的高度吗”

占明想了想说：“树根、树尖、折断处三点依次相连后构成一个直角三角 形。” ' “勾股定理一定是要用的，而且不动笔墨恐怕是不行的。”绣亚补充说。几位男孩子走进教室，画图、计算，不一会就得出了答案。同学们，你算 出来了吗 思路分析： 1）题意分析：本题考查勾股定理的应用 2）解题思路：本题关键是认真审题抓住问题的本质进行分析才能得出正确 的解答

(完整版)中值定理的应用方法与技巧

中值定理的应用方法与技巧 中值定理包括微分中值定理和积分中值定理两部分。微分中值定理即罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理，一般高等数学教科书上均有介绍，这里不再累述。积分中值定理有积分第一中值定理和积分第二中值定理。积分第一中值定理为大家熟知，即若)(x f 在[a,b]上连续，则在[a,b]上至少存在一点ξ，使得))(()(a b f dx x f b a -=?ξ。积分第二中值定理为前者的推广，即若)(),(x g x f 在[a,b]上连续，且)(x g 在[a,b]上不变号，则在[a,b]上至少存在一点ξ，使得??=b a b a dx x g f dx x g x f )()()()(ξ。 一、 微分中值定理的应用方法与技巧 三大微分中值定理可应用于含有中值的等式证明，也可应用于恒等式及不等式证明。由于三大中值定理的条件和结论各不相同，又存在着相互关联，因此应用中值定理的基本方法是针对所要证明的等式、不等式，分析其结构特征，结合所给的条件选定合适的闭区间上的连续函数，套用相应的中值定理进行证明。这一过程要求我们非常熟悉三大中值定理的条件和结论，并且掌握一定的函数构造技巧。 例一．设)(x ?在[0,1]上连续可导，且1)1(,0)0(==??。证明：任意给定正整数b a ,，必存在(0,1)内的两个数ηξ,，使得b a b a +='+') ()(η?ξ?成立。 证法1：任意给定正整数a ，令)()(,)(21x x f ax x f ?==，则在[0,1]上对)(),(21x f x f 应用柯西中值定理得：存在)1,0(∈ξ，使得a a a =--=')0()1(0)(??ξ?。 任意给定正整数b ，再令)()(,)(21x x g bx x g ?==，则在[0,1]上对)(),(21x g x g 应用柯西中值定理得：存在)1,0(∈η，使得b b b =--=') 0()1(0)(??η?。 两式相加得：任意给定正整数b a ,，必存在(0,1)内的两个数ηξ,，使得 b a b a +='+') ()(η?ξ? 成立。 证法2：任意给定正整数b a ,，令)()(,)(21x x f ax x f ?==，则在[0,1]上对

勾股定理 例题详解

勾股定理经典例题详解 知识点一：勾股定理 如果直角三角形的两直角边长分别为：a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2．即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方． 要点诠释：（1）勾股定理揭示的是直角三角形平方关系的定理。 （2）勾股定理只适用于直角三角形，而不适用于锐角三角形和钝角三角。 （3）理解勾股定理的一些变式： c2=a2+b2, a2=c2-b2， b2=c2-a2，c2=(a+b)2-2ab 知识点二：用面积证明勾股定理 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形。 图（1）中，所以。 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形。 图（2）中，所以。 方法三：将四个全等的直角三角形分别拼成如图（3）—1和（3）—2所示的两个形状相同的正方形。

在（3）—1中，甲的面积=（大正方形面积）—（4个直角三角形面积）, 在（3）—2中，乙和丙的面积和=（大正方形面积）—（4个直角三角形面积）, 所以，甲的面积=乙和丙的面积和，即：. 方法四：如图（4）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形。 ，所以。 知识点三：勾股定理的作用 1．已知直角三角形的两条边长求第三边；2．已知直角三角形的一条边，求另两边的关系； 3．用于证明平方关系的问题； 4．利用勾股定理，作出长为 的线段。 2. 在理解的基础上熟悉下列勾股数 满足不定方程x2+y2=z2的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x,y,z为三边长的三角形一定是直角三角形。 熟悉下列勾股数，对解题是会有帮助的： ①3、4、5②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤10、24、26；⑥9、 40、41．

微分中值定理的证明题[1](1)

微分中值定理的证明题 1. 若()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 上可导，()()0f a f b ==，证明：R λ?∈， (,)a b ξ?∈使得：()()0f f ξλξ'+=。 证：构造函数()()x F x f x e λ=，则()F x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导， 且()()0F a F b ==，由罗尔中值定理知：,)a b ξ?∈ （，使()0F ξ'= 即：[()()]0f f e λξξλξ'+=，而0e λξ≠，故()()0f f ξλξ'+=。 2. 设,0a b >，证明：(,)a b ξ?∈，使得(1)()b a ae be e a b ξξ-=--。 证：将上等式变形得：1111 111111 (1)()b a e e e b a b a ξξ-=-- 作辅助函数1 ()x f x xe =，则()f x 在11[,]b a 上连续，在11 (,)b a 内可导， 由拉格朗日定理得： 11()()1()11f f b a f b a ξ-'=- 1ξ11(,)b a ∈ ， 即 1111(1)11b a e e b a e b a ξξ-=-- 1ξ11(,)b a ∈ ， 即： )()1(b a e be ae a b --=-ξξ (,)a b ξ∈。 3. 设()f x 在(0,1)内有二阶导数，且(1)0f =，有2()()F x x f x =证明：在(0,1) 内至少存在一点ξ，使得：()0F ξ''=。 证：显然()F x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，又(0)(1)0F F ==，故由罗尔定理知：0(0,1)x ?∈，使得0()0F x '= 又2()2()()F x xf x x f x ''=+，故(0)0F '=， 于是()F x '在0[0]x ，上满足罗尔定理条件，故存在0(0,)x ξ∈， 使得：()0F ξ''=，而0(0,)x ξ∈?(0,1)，即证

中值定理总结

1、 所证式仅与ξ相关 ①观察法与凑方法 1 ()[0,1](0)(1)(0)0 2() (,)()1 ()()2()0 (1) ()() [()]()f x f f f f a b f x f x xf x f x f x xf x xf x xf x '==='ζ''ζ∈ζ=-ζ '''''ζ--='''''''=例设在上二阶可导，试证至少存在一点使得分析：把要证的式子中的换成，整理得由这个式可知要构造的函数中必含有，从找突破口 因为()(1) ()()[()()]0()()[()]0 ()(1)()() f x f x f x xf x f x f x f x xf x F x x f x f x '+'''''''''''--+=?--='=--，那么把式变一下： 这时要构造的函数就看出来了 ②原函数法 ?-?-? ===?=?+=?='ζζζ=ζ'∈ζ?==?dx x g dx x g dx x g e x f x F C C e x f Ce x f C dx x g x f x g x f x f x g f f g f b a b a x g b f a f b a b a x f )()()()()( )( )(ln )()(ln )()()( ) ()()(),( ],[)()()( ),(],[)( 2 很明显了 ，于是要构造的函数就现在设换成把有关的放另一边，同样有关的放一边，与现在把与方法 造的函数，于是换一种是凑都不容易找出要构分析：这时不论观察还使得求证：上连续 在，又内可导，上连续，在在设例两边积分00 ③一阶线性齐次方程解法的变形法 0 ()()()[,](,)()0 ()() (,)()()()()0 [()()]pdx pdx f pf p x u x e F x f e f x a b c a b f c f f a a b f b a f f a f b a f f a '+=??==?'∈=ξ-'ξ∈ξ= -ξ-'ξ-=-'?ξ-对于所证式为型，（其中为常数或的函数） 可引进函数，则可构造新函数例：设在有连续的导数，又存在，使得求证：存在，使得分析：把所证式整理一下可得：11[()()]00 () C=0()[()()] ()() ()0()() x x dx b a b a b a f f a f pf b a u x e e F x e f x f a f b f a f c f b f a b a ---'-ξ-=+=-?==--'==?=-－－，这样就变成了型引进函数＝（令），于是就可以设注：此题在证明时会用到这个结论 2、所证式中出现两端点 ①凑拉格朗日

积分中值定理的证明与应用

积分中值定理的证明与应用 作者：王晶岩 作者单位：黑龙江工商职业技术学院,黑龙江,哈尔滨,150000 刊名： 中国新技术新产品 英文刊名：CHINA NEW TECHNOLOGIES AND PRODUCTS 年，卷(期)：2009，""(5) 被引用次数：0次 参考文献(4条) 1.刘玉琏.傅沛仁教学分析 1988 2.马玲高等数学解题方法指导 1996 3.阎政平积分中值定理证明的一点注记 1996(04) 4.薛嘉庆高等数学题库精编 2000 相似文献(10条) 1.期刊论文余桂东.YU Gui-dong积分中值定理的逆-安庆师范学院学报（自然科学版）2001,7(1) 从积分中值定理的几何意义出发,探讨出有关积分中值定理的逆,并进一步推出微分中值定理的逆. 2.期刊论文郝玉芹.时立文.欧阳占瑞.HAO Yu-qin.SHI Li-wen.OUYANG Zhan-rui对积分中值定理结论的一点改动-河北能源职业技术学院学报2007,7(3) 本文对积分中值定理中取值区间进行讨论,证明在开区间上该定理仍然成立.这样可使积分中值定理与微分中值定理中的取值区间得以统一,从而更能体现积分中值定理的中值性以及两个中值定理之间的联系. 3.期刊论文张武关于积分中值定理的正确应用与理解-太原教育学院学报2002,20(4) 积分中值定理是微积分学中最基本的定理之一,但是在实际教学与应用中常常会有误解,对它的理解也不够全面和深刻.因此,有必要对一般情况下积分中值定理进行推广和证明,并阐述它与微分中值定理的关系. 4.期刊论文唐伟国.唐仁献微分中值定理的级数表达式-湖南科技学院学报2008,29(8) 本文探寻得到了罗尔中值定理、拉格朗日中值定理与柯西中值定理的级数表达式,并作为其应用,方便地得到了第一积分中值定理的两种新的形式. 5.期刊论文唐仁献微分中值定理的级数表达式-零陵学院学报2004,25(6) 探寻得到了罗尔中值定理、拉格朗日中值定理与柯西中值定理的级数表达式,并作为其应用,方便地得到了第一积分中值定理的两种新的形式. 6.期刊论文潘新对积分中值定理的推广与应用-考试周刊2008,""(26) 文章对积分中值定理进行了讨论与推广.得到了四个推论,并且对给出的积分中值定理进行了一些应用. 7.期刊论文孙翠芳.程智微积分中值定理间点的关系-高等数学研究2009,12(6) 根据微分中值定理和积分中值定理定义微分点与积分点.证明严格单调函数与凸(凹)函数中微分点与积分点间的一些关系式,指出在函数对称的情况下微分点与积分点之间也存在着对称关系,并给出一类向量函数以及多项式函数中微分点与积分点间的关系式. 8.期刊论文宁存法.陈丫丫关于积分中值定理的注记-太原大学教育学院学报2007,25(z1) 在分析教材中第一积分中值定理的条件下,证明了介值点ξ必可在开区间(a,b)内取得,进一步将这个结论推广到被积函数f以区间端点a和b为第一类间断点或瑕点以及在(a,b)内有间断点的情形,并且给出以上结果的一些应用. 9.期刊论文哈申浅谈微分中值定理与牛顿-莱布尼兹公式-内蒙古科技与经济2007,""(21) 本文介绍微分中值定理与牛顿-莱布尼兹公式的简单应用,找出微分中值定理与牛顿-莱布尼兹公式的辩证关系,从而使我们深入理解和运用微积分学的基本定理. 10.期刊论文薛国民关于一道数学竞赛题的解法探讨-考试周刊2008,""(26) 本文对江苏省普通高等学校第六届高等数学竞赛中一道试题的解法进行了探讨,分析了原有解法的不足,并且给出了另一种解法. 本文链接：https://www.doczj.com/doc/e5808516.html,/Periodical_zgxjsxcpjx200905194.aspx 授权使用：台州科技职业学院(tzkjzy)，授权号：1d0d7b6a-acd1-4f5e-850e-9e170098c7d5 下载时间：2010年10月22日