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《一元二次方程的解法》规律总结
1 ?一元二次方程的解法
2
(1) 直接开平方法：根据平方根的意义，用此法可解出形如 x 2=a (a >0) ,(x-a )二b (b >0) 类的一元二次方程.x 2 =a ，则 x=_、,a ； (x —a)2 =b ，x_a = _.,b ，x=a 「b .对有些一元二次方 程，本身不是上述两种形式，但可以化为 x 2 “或(x -a)2二b 的形式，也可以用此法解.
(2) 因式分解法：当一元二次方程的一边为零，而另一边易分解成两个一次因式的积时，就可 用此法来解.要清楚使乘积ab = 0的条件是a = 0或b = 0,使方程x(x — 3) = 0的条件是x = 0或x —3 = 0. x 的两个值都可以使方程成立，所以方程 x(x — 3) = 0有两个根，而不是一个根.
2
(3)配方法：任何一个形如x bx 的二次式，都可以通过加一次项系数一半的平方的方法配成
2
一个二项式的完全平方，把方程归结为能用直接开平方法来解的方程.如解
x 6x ^0时，可
=_7 +炉] 2 2 x 2 +6x
I 2丿 [2J ，即(x+3) =2，从而得解.
把方程化为x 2+6x=—7，注意：(1) “方程两边各加上一次项系数一半平方”的前提是方程的二次项系数是
1.
(2)解一元二次方程时，一般不用此法，掌握这种配方法是重点. (3)公式法：一元二次方程ax 2 bx ，c=0(a 工0)的根是由方程的系数a 、b 、c 确定的.在
-b 二，b 2 -4ac
2 X 二
b 2 -4ac_0的前提下， 2a .用公式法解一元二次方程的一般步骤：
① 先把方程化为一般形式，即ax 2 +bx +c =0 (a 工0)的形式；
② 正确地确定方程各项的系数 a 、b 、c 的值(要注意它们的符号);
③ 计算b 2 -4ac ：：：0时，方程没有实数根，就不必解了 (因负数开平方无意义)；
④ 将a 、b 、c 的值代入求根公式，求出方程的两个根.
说明：象直接开平方法、因式分解法只是适宜于特殊形式的方程，而公式法则是最普遍，最 适用的方法.解题时要根据方程的特征灵活选用方法.
2 .一元二次方程根的判别式
一元二次方程的根有三种情况：①有两个不相等的实数根；②有两个相等的实数根；③没有 实数
根.而根的情况，由b 2 -4ac 的值来确定.因此二=b 2 -4ac 叫做一元二次方程ax 2 bx 0的 根的判别式.
△ >0=方程有两个不相等的实数根.
△ = 0=方程有两个相等的实数根.
△ <0=方程没有实数根. 判别式的应用
(1) 不解方程判定方程根的情况；
(2) 根据参数系数的性质确定根的范围;
(3) 解与根有关的证明题.
3 .韦达定理及其应用
x 2 6x
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b c
2X i +x2 = ——x 1，x2 =—定理：如果方程ax bx?c=O(a工0)的两个根是Xi，x2，那么a' a.
当a= i 时，x i +X2 =—b, x i X2 =c .
应用：
(1) 已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；
(2) 已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知系数；
(3) 已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程；
(4) 已知两数和与积求两数.
4 .一元二次方程的应用
(i)面积问题；
⑵数字问题；
(3)平均增长率问题.
步骤：
①分析题意，找到题中未知数和题给条件的相等关系(包括隐含的)；
②设未知数，并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数；
③找出相等关系，并用它列出方程；
④解方程求出题中未知数的值；
⑤检验所求的答数是否符合题意，并做答.
这里关键性的步骤是②和③.
注意：列一元二次方程应用题是一元一次方程解应用题的拓展，解题的方法是相同的，但因一元次方程有两解，要检验方程的解是否符合题意及实际问题的意义.
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第9课时：商的变化规律 总第课时 教学目标 知识与技能： 1、学生通过观察，能够发现并总结商的变化规律。 2、会灵活运用商的变化规律。 3、培养学生用数学语言表达数学结论的能力 过程与方法：使学生经历引导学生思考发现商的变化规律的过程，灵活运用商的变化规律。 情感、态度和价值观：培养学生初步的抽象、概括能力及善于观察、勤于思考、勇于探索的良好习惯。 重点引导学生自己发现并总结商的变化规律。 难点引导学生自己发现并总结商的变化规律。 教具图片 教学过程 教师导学 一、故事导入 安排老猴子分桃子的故事
1、8个桃子分2天吃完，16个桃子分4天吃完，32个桃子分8天吃完，64个桃子分16天吃完。（将数字板书在黑板上） 2、提问：老猴子运用了什么知识教育了小猴子？今天我们一起来研究一下。 二、探究新知 1、提问：观察数字，你发现了什么？你怎么知道的？ 学生说方法，教师板书。 8÷2=4 16÷4=4 32÷8=4 64÷16=4 2、我们分别用第2、 3、4式与第1个算式进行比较，你发现了什么？ 被除数、除数分别都乘以一个相同的数。（扩大） 3、教师带领学生分别比较。 4、提问：谁能给我们总结一下，你发现了什么？ 5、学生讨论，并发现： 在除法里，被除数、除数同时扩大相同的倍数，商不变。
（教师板书） 6、提问：为什么说是“同时”，“相同”？可以举例子来证明 7、我们分别用第1、2、3式与第4个算式进行比较，你又发现了什么？ 被除数、除数分别都除以一个相同的数。（缩小） 8、通过观察，谁能再给我们总结一下，你发现了什么？ 在除法里，被除数、除数同时扩大（或缩小）相同的倍数，商不变。 板书课题：商的变化规律 三、总结： 提问：通过观察，我们发现了除法里有商的变化规律，那么谁能说说你觉得这个规律需要我们注意的有哪些？ 你们看我这样写对吗？为什么？ 48÷12=（48×0）÷（12×0） 让学生判断。 四、巩固练习：书P87“做一做” 五、总结 在运用商的变化规律时，一定要注意什么？（“同时”，
第一章:复数与复变函数 这一章主要是解释复数和复变函数的相关概念,大部分内容与实变函数近似,不难理解。 一、复数及其表示法 介绍复数和几种新的表示方法,其实就是把表示形式变来变去,方便和其他的数学知识联系起来。 二、复数的运算 高中知识,加减乘除,乘方开方等。主要是用新的表示方法来解释了运算的几何意义。 三、复数形式的代数方程和平面几何图形 就是把实数替换成复数,因为复数的性质,所以平面图形的方程式二元的。 四、复数域的几何模型——复球面 将复平面上的点,一一映射到球面上,意义是扩充了复数域和复平面,就是多了一个无穷远点,现在还不知道有什么意义,猜想应该是方便将微积分的思想用到复变函数上。 五、复变函数 不同于实变函数是一个或一组坐标对应一个坐标,复变函数是一组或多组坐标对应一组坐标,所以看起来好像是映射在另一个坐标系里。 六、复变函数的极限和连续性 与实变函数的极限、连续性相同。 第二章:解析函数
这一章主要介绍解析函数这个概念,将实变函数中导数、初等函数等概念移植到复变函数体系中。 一、解析函数的概念 介绍复变函数的导数,类似于实变二元函数的导数,求导法则与实变函数相同。 所谓的解析函数,就是函数处处可导换了个说法,而且只适用于复变函数。而复变函数可以解析的条件就是:μ对x与ν对y的偏微分相等且μ对y和ν对x的偏微分互为相反数,这就是柯西黎曼方程。二、解析函数和调和函数的关系 出现了新的概念:调和函数。就是对同一个未知数的二阶偏导数互为相反数的实变函数。而解析函数的实部函数和虚部函数都是调和函数。而满足柯西黎曼方程的两个调和函数可以组成一个解析函数,而这两个调和函数互为共轭调和函数。 三、初等函数 和实变函数中的初等函数形式一样,但是变量成为复数,所以有一些不同的性质。 第三章:复变函数的积分 这一章,主要是将实变函数的积分问题,在复变函数这个体系里进行了系统的转化,让复变函数有独立的积分体系。但是很多知识都和实变函数的知识是类似的。可以理解为实变函数积分问题的一个兄弟。 一、复积分的概念 复积分就是复变函数的积分,实质是两个实二型线积分。所以应该具有相应的实二型线积分的性质。复积分存在的充分条件是实部函数和虚部函数都连续。 二、柯西积分定理
一、积的变化规律 1、一个因数不变，另一个因数乘几或除以几（0除外），积也乘几或除以几。 2、两个数相乘，一个因数乘或除以几（0除外），另一个因数除以或乘相同的数，则它们的乘积不变。 （1）42×5= （2）48×16=768 42×15= （48×4）×（16÷4）= 420×15= （48÷8）×（16×8）= 840×15= （48×5）×（16○□）=768 （3）7本作业本摞起来高25毫米，全班56本作业本摞起来有多高？ （4）一个宽为9米的长方形菜地，面积是252平方米，如果把这块长方形菜地的宽增加到36米，长不变，扩建后的面积是多少？ 二、商的变化规律 1、除数不变，被除数乘几或除以几（0除外），商也乘几或除以几。 2、被除数不变，除数乘几或除以几（0除外），商反而除以几或乘几。 3、被除数和除数都乘或除以一个相同的数（0除外），商不变。 （1）80÷16=（80○□）÷（16÷4） 200÷40=（200÷20）÷（40○□） 180÷15=（180×3）÷（15○□） （2）1400÷70，如果除数不变，被除数除以10，那么商应当（）。 被除数不变，除数乘3，商应当（）。 两个数的商是8，如果被除数不变，除数乘4，商就变成（）。 一个除法算式，被除数乘15，要使商不变，除数也要（）。 两个数相除的商是6，如果被除数和除数都除以12，商是（）。 一个除法算式的被除数、除数都除以3后，商是20，那么原来的商是（）。
《除数是两位数的除法》 1、商店里卖衣服，29元/件，49元/2件，王阿姨有185元，最多可以买多少件？还剩多少元？ 2、小李家距离学校520米，小李每分钟走65米，小红每分钟走60米，从家到学校小红比小李多走5分钟，小红家离学校多少米？ 3、每条裤子75元，商店推出优惠活动，买4条送一条，900元钱最多可以买几条这样的裤子？ 4、12箱蜜蜂一年可以酿900千克蜂蜜，林叔叔家养了8箱这样蜜蜂，一年可以酿多少千克蜂蜜？ 5、学校组织四年级的540名学生去植树，要分成9个植树点，每个植树点分成4个小组，平均每个小组有多少人？ 6、从山顶到山脚共998米，王林爬了14分钟，距山顶还有260米，他平均每分钟爬多少米？
初中化学规律总结 1.金属活动性顺序 金属活动性顺序由强至弱：K Ca Na Mg Al Zn Fe Sn Pb (H) Cu Hg Ag Pt Au （按顺序背诵）钾钙钠镁铝锌铁锡铅（氢）铜汞银铂金 ①金属位置越靠前的活动性越强，越易失去电子变为离子，反应速率越快 ②排在氢前面的金属能置换酸里的氢，排在氢后的金属不能置换酸里的氢，跟酸不反应； ③排在前面的金属，能把排在后面的金属从它们的盐溶液里置换出来。排在后面的金属跟排在前面的金属的盐溶液不反应。 ④混合盐溶液与一种金属发生置换反应的顺序是“先远”“后近”。 注意：＊单质铁在置换反应中总是变为＋2价的亚铁。 2.干冰不是冰是固态二氧化碳；水银不是银是汞；铅笔不是铅是石墨；纯碱不是碱是盐（碳酸钠）；塑钢不是钢是塑料。 3.影响物质溶解的因素 ①搅拌或振荡。搅拌或振荡可以加快物质溶解的速度。 ②升温。温度升高可以加快物质溶解的速度。 ③溶剂。选用的溶剂不同物质的溶解性也不同。 4.原子结构知识中的八种决定关系 ①质子数决定原子核所带的电荷数（核电荷数）：因为原子中质子数＝核电荷数。 ②质子数决定元素的种类 ③质子数、中子数决定原子的相对原子质量：因为原子中质子数＋中子数＝原子的相对原子质量。 ④电子能量的高低决定电子运动区域距离原子核的远近 因为离核越近的电子能量越低，越远的能量越高。 ⑤原子最外层的电子数决定元素的类别 因为原子最外层的电子数＜4为金属，＞或＝4为非金属，＝8（第一层为最外层时＝2）为稀有气体元素。 ⑥原子最外层的电子数决定元素的化学性质 因为原子最外层的电子数＜4为失电子，＞或＝4为得电子，＝8（第一层为最外层时＝2）为稳定。 ⑦原子最外层的电子数决定元素的化合价 原子失电子后元素显正价，得电子后元素显负价，化合价数值＝得失电子数 ⑧原子最外层的电子数决定离子所带的电荷数 原子失电子后为阳离子，得电子后为阴离子，电荷数＝得失电子数 5初中化学实验中的“先”与“后” （1）使用托盘天平使用托盘天平时，首先要调节平衡。调节平衡时，先把游码移到零刻度，然后转动平衡螺母到达平衡。 （2）加热使用试管或烧瓶给药品加热时，先预热，然后集中加热。
《商的变化规律》教学反思 《商的变化规律》教学反思（通用8篇） 《商的变化规律》教学反思1 “商的变化规律”是人教版四年级上册第五单元最后一个教学内容。教材内容分两部分呈现，第一部分是商变化规律，第二部分是商不变规律。这节课我认为做得比较好的有如下几个方面： 1、结合实际改变教材内容顺序，使学生容易理解、掌握。 教材内容是先是商变化规律，然后才是商不变规律，但在实际教学中，商变化规律是难点，学生不容易发现与表述，相对来说，商不变规律更容易探究，也更容易表述。所以在设计时我把两个部分颠倒过来讲，先讲商不变规律，只有先使学生理解、掌握商不变规律，学生才能更好的理解、掌握商变化规律。 2、以游戏形式导入，提高学生学习兴趣。 为了激发学生学习兴趣，探究商不变规律，一开始我就给学生讲了“猴子分桃”的故事。 3、结合生活中实例，探究商不变规律。 为了探究商不变规律，我通过“猴子分桃”的故事，使学生明白，“桃子个数乘几，猴子只数也乘几(0除外)，每只猴子平均分到的桃子个数不变”。学生自然结合除法算式，得出结论：被除数乘几。除数也乘几（0除外），商不变。接着，我让学生反过来看，即桃子个数除以几，猴子只数也除以几(0除外)，每只猴子平均分到的桃子个数
不变。于是，另外类似的一个结论“被除数除以几。除数也除以几（0除外），商不变”学生也得出来了。 4、以教师位主导，学生为主体，充分体现“活力课堂”。 我采取书上的例题中的除法算式，探究、揭示商变化规律。抓住“什么没变，什么变了，怎么变的”这一主干线，完全放手让孩子们自己迁移前面（商不变规律）方法主动去观察，并口述规律，得出结论，充分体现“以学生为主体，教师为主导”。 当然，这节课也有一些不足的地方，主要体现如下几个方面： 1、时间安排的不太科学。 商不变规律是重点，也是难点，只花不到半节课的时间让全班学生弄懂是不现实的，在学生对商不变规律还是似懂非懂的前提下，就让学生探究商变化规律太过勉强，学生自然而然“囫囵吞枣”，无法当堂消化。如果分两节课教学，第一节探究商不变规律，第二节课探究上变化规律，效果会更好。 2、没有完全放手。 通过本节课的教学，尽管只有少数学生进行探究发现汇报，但还是让我深深体会到学生的潜力是无限的，教师只要稍微点拨，真得大胆放开手脚，让学生在知识的海洋中尽情的畅游。“授人予鱼，不如授人予渔。”在教学中，教师教的应该主要是学习方法。 总之，一节课下来，留给我很多值得继续保持的方面，也留给我一些要注意改进的地方。扬长避短，我还需要在今后的教学生涯中多学习，多反思，多实践，使自己的教学水平得以真正提高。
实变函数论主要知识点 第一章集合 1、集合的并、交、差运算；余集和De Morgan公式；上极限和下极限； 练习：①证明（A-B）-C = A-（BUC）； ②证明E[f>a]=QE[f>a + -]； ?=i n 2、对等与基数的定义及性质； 练习：①证明（0,1）□口； ②证明（0,1）0 [0,1]； 3、可数集的定义与常见的例；性质“有限个可数集合的直积是可数集合”与应用；可数集合 的基数； 练习：①证明直线上增函数的不连续点最多只有可数多个； ②证明平面上坐标为有理数的点的全体所成的集合为一可数集； ?Q =________ ； ④[0,1 ]中有理数集E的相关结论； 4、不可数集合、连续基数的定义及性质； 练习：?（0J）= _______ ； ②卩= ________ （P为Cantor集）；
第二章点集 1、度量空间，n维欧氏空间中有关概念 度量空间(Metric Space),在数学中是指一个集合，并且该集合中的任意元素之间的距离是可定义的。 n维欧氏空间：设V是实数域R上的线性空间(或称为向量空间)，若V上定义着正定对称双线性型g (g称为内积)，则V称为(对于g的)内积空间或欧几里德空间(有时仅当V是有限维时，才称为欧几里德空间)。具体来说，g是V上的二元实值函数，满足如下关系： ⑴ g(x,y)=g(y,x)； (2) g(x+y,z)=g(x,z)+g(y,z)； (3) g(kx,y)=kg(x,y)； (4) g(x,x)>=0,而且g(x,x)=O当且仅当x=0时成立。 这里x,y,z是V中任意向量，k是任意实数。 2、，聚点、界点、内点的概念、性质及判定(求法)；开核，导集，闭包的概念、性质及判定(求法); 聚点:有点集E,若在复平面上的一点z的任意邻域都有E的无穷多个点，则称z为E的聚点。内点:如果存在点P的某个邻域U(P)eE,则称P为E的内点。 3、开集、闭集、完备集的概念、性质；直线上开集的构造; 4、Cantor集的构造和性质； 5、练习：?P=__________ , P' = ______ , P= ________
一、三位数乘两位数的笔算算法 1.计算： 258×43 176×39 26×234 2.据统计，一公顷阔叶林一年约吸收365吨二氧化碳，一天约放出752千克氧气 （1）一片35公顷的阔叶林一年约吸收多少吨二氧化碳？ （2）一公顷阔叶林15天约放出多少千克氧气？ 二、因数末尾或中间有0的乘法 1.用竖式计算： 420×44 503×81 103×40 308×89 2.某大学军训结束进行汇演，同学们排成方队入场，每个方队由14排，每排有25名同学，2名同学担任领队，这样一个方队有多少人？12个这样的方队有多少人？ 三、积的变化规律 两个因数相乘，一个因数不变，另一个因数乘几或除以几（0除外），积也乘以或除以相同的数
1.填空 （1）一个因数乘10，另一个因数不变，积应该（） （2）两个因数的积是150，一个因数除以10，另一个因数不变，这时积是（） （3）一个因数乘10 ，另一个因数除以10，积（） 2.根据积的变化规律填空 250×30=7500 15×16=240 250×6=______ 60×16=______ 25×30=______ 15×320=_______ 250×60=_______ 30×16=_______ 3.2千克的苹果售价是12元，3千克香蕉的售价是18元，李阿姨买了8千克苹果和9千克香蕉，一共需要付多少钱？ 4.一个长方形停车场的面积是100平方米，扩建后，长扩大到原来的二倍，宽扩大到原来的 3倍，扩建后的停车场的面积是多少？ 5.有一条宽8米的人行道，占地面积是960平方米，为了行走方便，道路的宽增加了16米，长不变，扩建后人行道的面积是？ 6.两个数相乘，积是60，如果一个因数乘5，另一个因数除以6，那么现在的积是_______ 7.两个数相乘，一个因数乘3，另一个因数乘4后，积是120，原来的积是________
高中化学常见物质的物理性质归纳 1．颜色的规律 （1）常见物质颜色 以红色为基色的物质 红色：难溶于水的Cu，Cu2O，Fe2O3，HgO等 碱液中的酚酞酸液中甲基橙石蕊及pH试纸遇到较强酸时及品红溶液 橙红色：浓溴水甲基橙溶液氧化汞等 棕红色：Fe(OH)3固体 Fe(OH)3水溶胶体等 <2>以黄色为基色的物质 黄色：难溶于水的金碘化银磷酸银硫磺黄铁矿黄铜矿(CuFeS2)等 溶于水的FeCl3 甲基橙在碱液中钠离子焰色及TNT等 浅黄色：溴化银碳酦银硫沉淀硫在CS2中的溶液，还有黄磷 Na2O2 氟气 棕黄色：铜在氯气中燃烧生成CuCl2的烟 <3>以棕或褐色为基色的物质 碘水浅棕色碘酒棕褐色铁在氯气中燃烧生成FeCl3的烟等 <4>以蓝色为基色的物质 蓝色：新制Cu(OH)2固体胆矾硝酸铜溶液淀粉与碘变蓝石蕊试液碱变蓝 pH试纸与弱碱变蓝等 浅蓝色：臭氧液氧等 蓝色火焰：硫化氢一氧化碳的火焰甲烷,氢气火焰（蓝色易受干扰） <5>以绿色为基色的物质 浅绿色：Cu2(OH)2CO3，FeCl2，FeSO4*7H2O 绿色：浓CuCl2溶液 pH试纸在约pH=8时的颜色 深黑绿色：K2MnO4 黄绿色：Cl2及其CCl4的萃取液 <6>以紫色为基色的物质 KMnO4为深紫色其溶液为红紫色碘在CCl4萃取液碘蒸气中性pH试纸的颜色 K＋离子的焰色(钴玻璃)等 <7>以黑色为基色的物质
黑色：碳粉活性碳木碳烟怠氧化铜四氧化三铁硫化亚铜(Cu2S) 硫化铅硫化汞硫化银硫化亚铁氧化银(Ag2O) 浅黑色：铁粉 棕黑色：二氧化锰 <8>白色物质 无色晶体的粉末或烟尘； 与水强烈反应的P2O5； 难溶于水和稀酸的：AgCl，BaSO3，PbSO4； 难溶于水的但易溶于稀酸：BaSO3，Ba3(PO4)2，BaCO3，CaCO3，Ca3(PO4)2，CaHPO4，Al(OH)3，Al2O3，ZnO，Zn(OH)2，ZnS，Fe(OH)2，Ag2SO3，CaSO3等； 微溶于水的：CaSO4，Ca(OH)2，PbCl2，MgCO3，Ag2SO4； 与水反应的氧化物：完全反应的：BaO，CaO，Na2O； 不完全反应的：MgO <9>灰色物质 石墨灰色鳞片状砷硒（有时灰红色）锗等 2.离子在水溶液或水合晶体的颜色 水合离子带色的： Fe2＋：浅绿色； Cu2＋：蓝色； Fe3＋：浅紫色呈黄色因有[FeCl4(H2O)2] 2-； MnO4-：紫色 ：血红色； ：苯酚与FeCl3的反应形成的紫色 主族元素在水溶液中的离子（包括含氧酸根）无色 运用上述规律便于记忆溶液或结晶水合物的颜色 （3）主族金属单质颜色的特殊性 A的金属大多数是银白色 铯：带微黄色钡：带微黄色 铅：带蓝白色铋：带微红色
实变函数与泛函分析概要 第一章集合基本要求： 1、理解集合的包含、子集、相等的概念和包含的性质。 2、掌握集合的并集、交集、差集、余集的概念及其运算性质。 3、会求已知集合的并、交、差、余集。 4、了解对等的概念及性质。 5、掌握可数集合的概念和性质。 6、会判断己知集合是否是可数集。 7、理解基数、不可数集合、连续基数的概念。 8、了解半序集和Zorn引理。 第二章点集基本要求： 1、理解n维欧氏空间中的邻域、区间、开区间、闭区间、体积的概念。 2、掌握内点、聚点的概念、理解外点、界点、孤立点的概念。掌握聚点的性质。 3、掌握开核、导集、闭区间的概念及其性质。 4、会求己知集合的开集和导集。 5、掌握开核、闭集、完备集的概念及其性质，掌握一批例子。 6、会判断一个集合是非是开（闭）集，完备集。 7、了解Peano曲线概念。 主要知识点：一、基本结论： 1、聚点性质§2 中T1聚点原则： P0是E的聚点? P0的任一邻域内，至少含有一个属于E而异于P0的点?存在E中互异的点列{Pn}，使Pn→P0 （n→∞） 2、开集、导集、闭集的性质§2 中T2、T3 T2：设A?B，则A ?B ，· Ａ? · Ｂ， － Ａ? － Ｂ。 T3：（A∪B）′=A′∪B′. 3、开（闭）集性质（§3中T1、2、3、 4、5） T1：对任何E?R?，?是开集，E′和― Ｅ都是闭集。（?称为开核，― Ｅ称为闭包的理由也 在于此） T2：（开集与闭集的对偶性）设E是开集，则CE是闭集；设E是闭集，则CE是开集。T3：任意多个开集之和仍是开集，有限多个开集之交仍是开集。 T4：任意多个闭集之交仍是闭集，有限个闭集之和仍是闭集。 T5：（Heine-Borel有限覆盖定理）设F是一个有界闭集，?是一开集族{Ui}i?I 它覆盖了F（即Fс ∪ ｉ?ＩUi），则?中一定存在有限多个开集U1，U2…Um，它们
积的变化规律说课稿 LEKIBM standardization office【IBM5AB- LEKIBMK08- LEKIBM2C】
《积的变化规律》说课稿 各位评委老师，大家好！我是xx号考生，今天我说课的课题是《积的变化规律》，这是苏教版小学数学四年级下册第三单元的内容，下面，我将从五个方面进行阐述。 一、说教材 积的变化规律是在学生已经学习了两三位数除乘两位数的笔算的基础上进行教学的，通过学生的探索与发现的过程中学习并巩固积的变化规律。它的教学，最直接的目的是为下节课学习和理解乘法末尾有0的乘法简便算法服务，使学生不但知其然，而且知其所以然。同时，积的变化规律在实际应用中较广泛，利于学生运用所学知识技能来解决一些实际的问题。 根据以上对教材与学生的分析，我将本课的教学目标定为： 1、经历计算、探索级的变化规律的过程，发现并掌握积的 变化规律，并能应用规律口算相应乘法算式的积。 2、在探索积的变化规律的过程中，经历观察、比较、发 现、验证和归纳等一系列活动，体验探索和发现数学规律的 基本方法，进一步获得探索规律的经验，发展思维能力。 3、在发现规律的过程中，体验数学活动的探索性和创造 性，感受数学结论的严谨性和确定性，获得成功的乐趣，增 强学习数学的兴趣和自信心。
根据教材特点以及学生的实际情况，我将本节课的教学重点确定为：发现并掌握积的变化规律，而本节课的教学难点是：发现并归纳积的变化规律。 二、说教法 根据教学内容的特点，为了更好地突出重点、突破难点，按照学生的认知规律，遵循教师为主导、学生为主体、训练为主线的指导思想，在教学中我注意设计启发性思考问题，引导学生思考，并适时运用直观教具，让学生更直观地学到知识，从而激发学生探究知识的欲望，使学生始终处于主动探究问题的积极状态，培养学生的思维能力。 三、说学法 学生作为主体，在学习活动中的参与状态和参与度是决定教学效果的重要因素。因此在教学积的变化规律时，引导学生观察、分析、发现规律，把学生的求知欲由潜伏状态诱发为活动状态，培养学生的主动探索精神和概括归纳能力。 四、说教学过程： 我把本节课的教学程序设为：“问题导入，引出新知－－自主探究、学习新知－－学以致用、巩固新知－－课堂总结，拓展延伸”等四个环节。 在第一个环节“问题导入，引出新知”中，我先列出三道口算题，40×8= 6×70= 24×10= 让学生口算得数（板书）提问，上面的这些题是怎样计算的各按哪道算式口算比较方便
高中化学知识规律总结 一、中学化学中提及的“化”名目繁多．要判别它们分属何种变化，必须了解其过程.请你根据下列知 识来指出每一种“化”发生的是物理变化还是化学变化． 1.风化——结晶水合物在室温和干燥的空气里失去部分或全部结晶水的过程．注意：自然条件． 2.催化——能改变反应速度，本身一般参与反应但质量和化学性质不变．应了解中学里哪些反应需 用催化剂．如 8.氢化(硬化)——液态油在一定条件下与H2发生加成反应生成固态脂肪的过程． 作用：植物油转变成硬化油后，性质稳定，不易变质，便于运输等． 9.皂化——油脂在碱性条件下发生水解反应的过程．产物——高级脂肪酸钠＋甘油 10.老化——橡胶、塑料等制品露置于空气中，因受空气氧化、日光照射而使之变硬发脆的过程． 11.硫化——向橡胶中加硫，以改变其结构(双键变单键)来改善橡胶的性能，减缓其老化速度的过程． 12.裂化——在一定条件下，分子量大、沸点高的烃断裂为分子量小、沸点低的烃的过 程．目的--提高汽油的质量和产量. 13.酯化——醇与酸生成酯和水的过程． 14.硝化(磺化)——苯环上的H被—NO2或—SO3Ｈ取代的过程． 二、基本反应中，有一些特别值得注意的反应或规律．现分述如下： 1.化合反应：思考：化合反应是指单质间生成化合物的反应吗? 结论：不一定!化合反应即“多合一”的反应，根据反应物和生成物的种类，化合反应又可分为 三种． (1)单质＋单质→化合物 (2)单质＋化合物1 →化合物2 2FeCl2＋Cl2 ＝2FeCl34Fe(OH) 2 ＋O2 ＋2H2O ＝４Fe(OH)3 2Na2SO3 ＋O2 ＝2Na2SO4 (3)化合物1 ＋化合物2 →化合物3 ①酸性氧化物＋水→可溶性酸碱性氧化物＋水→可溶性碱 稳定性：碳酸正盐＞碳酸酸式盐＞碳酸 分解条件：(高温) (加热) (常温 )
一．商的变化规律． 被除数不变，除数和商的变化正好相反，即除数扩大（或缩小），商就缩小（或扩大），除数乘（或除以）几（0除外），商就除以（或乘）几； 除数不变，被除数和商的变化相同，即商随被除数的扩大（或缩小）而扩大（或缩小），被除数乘（或除以）几（0除外），商也乘（或除以）几． 二．商不变规律． 被除数和除数同时乘（或除以）相同的数（0除外），商不变． 三．根据商不变规律可以进行一些简便计算． 没有余数的除法中，有， 但要特别注意：在有余数的除法中，余数会发生与被除数、除数相同的变化．四．根据商不变规律计算被除数和除数末尾都有0的除法会更简便．被除数和除数的末尾同时去掉相同个数的0，商不变，但余数发生了变化，去掉几个0，余数的末尾就要加上几个0． 典型例题（1）计算下面两组数，你能发现什么？ （2）计算并观察下面的题．你发现了什么规律？ （3）计算：__________，__________． （4）计算：__________． 名师学堂（1）计算出结果后，进行比较． 正确解答， （2）计算出结果后，将被除数、除数和商分别进行比较． 举例验证． 正确解答， ， ， ，．从上往下观察： 被除数和除数都乘一个相同的数，商不变．从下往上观察：被除数和除数都除以一个相同的数，商不变． 规律：被除数和除数同时乘（或除以）相同的数（0除外），商不变． （3）计算：． 方法一：直接用竖式计算． 商的变化规律
方法二：利用商不变规律简便计算．被除数和除数的末尾都去掉相同个数的0，即同时除以10，商不变． 计算．观察算式，利用商不变规律，被除数和除数都乘4，把算式转化成 除数是整十数的算式，使计算简便． 正确解答，． （4）利用商不变规律简便计算．可以利用商不变规律，把被除数和除数的末尾都去掉相同个数的0，即同时除以10，商不变．但是此题有余数，余下的4在十位上，表示4个十，所以本题的余数应是40． 正确解答，． 重点：通过计算、填表、观察、比较，发现商的变化规律，渗透函数思想． 难点：理解和掌握商的变化规律，并能运用这一规律进行口算． 易错点：根据商不变规律计算有余数的除法时，余数易出错． 题模一：商随除数（或被除数）的变化而变化的规律 例2.1.1 根据240÷80＝3填空。（在○里填运算符号，在□里填数） （1）（240○□）÷80＝6 （2）240÷（80○□）＝6 （3）（240÷4）÷（80○□）＝3 （4）（240×2）÷（80÷3）＝□ 【答案】（1）×，2（2）÷，2（3）÷，4（4）18 【解析】（1）×，2（2）÷，2（3）÷，4（4）18 例2.1.2 在除法算式里，被除数乘3，除数除以3，商就乘9。（） 【答案】√ 【解析】√ 例2.1.3 不计算，直接写出每组下面两题的商或积． 64÷8＝8 65×6＝390 128÷16＝650×60＝ 64÷4＝65×3＝ 【答案】 8 16；39000 195 【解析】 8 16；39000 195 例2.1.4 两个数相除，如果被除数乘10，除数除以10，商怎样变化？ 【答案】商乘100 谜底：苏步青
积的变化规律的练习题 知识点：1、两数相乘，一个因数不变，另一个因数扩大几倍，积就扩大几倍。一个因数不变，另一个因数缩小几倍，积就缩小几倍。 2、两数相乘，一个因数扩大a倍，一个因数扩大b倍，积就扩大a×b倍。两数相乘，一个因数除以a， 另一个因数除以b，积就除以（a×b）倍。 3、两数相乘，一个因数扩大到原来的a倍，一个因数缩小到原来的1/a，积不变。 4、两数相乘，一个因数扩大到原来的a倍，一个因数缩小到原来的1/b，积就×a÷b；例如：两数相乘 积是10，一个因数扩大到原来的3倍，一个因数缩小到原来的1/2，积就变成10×3÷2=15 一、填空题 1、两个因数分别是14和9，积是（），如果把9乘以4，积是（）。 2、两个因数分别是18和4，积是（），如果把18除以2，积是（）。 3、两个因数分别是15和6，积是（），如果把15除以3,6乘以2，积是（）。 4、两个数相乘，积是35，如果一个因数扩大到它的2倍，另一个因数扩大到它的3倍，那么得到的新积是（）。 5、在乘法算式中，一个因数不变，另一个因数乘8，积就（）；一个因数不变，另一个因数除以9，积就（）；一个因数除以4，另一个因数乘以8，积就（）。 6、在乘法算式12×40，如果一个因数乘以4，另一个因数除以4，积就是（）。 7、两个数相乘，积是36，如果一个因数扩大到它的4倍，另一个因数缩小为它的1/3，那么得到的新积是（）。 8、两个数相乘，积是75，如果一个因数扩大到它的2倍，另一个因数缩小为它的1/5，那么得到的新积是（）。 9、两个数相乘，积是81，如果一个因数缩小为它的1/9，另一个因数缩小为它的1/3，那么得到的新积是（）。 10、由8×20=160可得16×20=（），32×20=（），32×40=（）， 4×20=（），16×10=（）。 11、一个长方形面积是12平方米，把长扩大到原来的3倍，宽不变，扩大后的面积是（）。 12、一个长方形面积是12平方米，把长扩大到原来的3倍，宽扩大到原来的2倍，扩大后的面积是（）。 13、一个正方形的面积是12平方米，把边长扩大到原来的3倍，扩大后的面积是（）。 14、两个因数的积是100，把其中一个因数扩大到原来的3倍，另一个因数也扩大到原来的3倍，积是（） 15、两个因数的积是100，把其中一个因数扩大到原来的3倍，另一个因数也缩小到原来的3倍，积是（）。 16、一个因数不变，把其中另一个因数扩大到原来的3倍，积是90，原来两个因数的积是（）。 17、一个因数扩大到原来的3倍，另一个因数也扩大到原来的3倍，积是90，原来两个因数的积是（）。 18、一个因数扩大到原来的3倍，另一个因数缩小到原来的3倍，积是90，原来两个因数的积是（）。 19、明明在做一道整数乘法算式题时，把其中一个因数末尾的“0”漏写了，得到的结果是240，正确的结果应该是多少？ 20、芳芳在做一道整数乘法算式题时，在一个因数末尾多写了一个“0”，得到的结果是240，正确的结果应该是多少？ 21、两个数相乘，积是66，如果一个因数乘以8，要使积不变，另一个因数应该有什么变化？ 二、选择题
化学工艺流程答题规律总结 第Ⅰ部分 一、【考点分析】 无机化工题实际上是考查考生运用化学反应原理及相关知识来解决工业生产中实际问题的能力。解此类型题目的基本步骤是： ①从题干中获取有用信息，了解生产的产品 ②分析流程中的每一步骤，从几个方面了解流程：A．反应物是什么；B．发生了什么反应；C．该反应造成了什么后果，对制造产品有什么作用。抓住一个关键点：一切反应或操作都是为获得产品而服务。 ③从问题中获取信息，帮助解题。 了解流程后着手答题。对反应条件的分析可从以下几个方面着手： 对反应速率有何影响？对平衡转化率有何影响？对综合生产效益有何影响？如原料成本，原料来源是否广泛、是否可再生，能源成本，对设备的要求，环境保护（从绿色化学方面作答）。 二、【工业流程题中常用的关键词】 原材料：矿样（明矾石、孔雀石、蛇纹石、大理石、锂辉石、黄铜矿、锰矿、高岭土，烧渣），合金（含铁废铜），药片（补血剂），海水（污水） 灼烧（煅烧）：原料的预处理，不易转化的物质转化为容易提取的物质：如海带中提取碘 酸：溶解、去氧化物（膜）、调节pH促进水解（沉淀） 碱：去油污，去铝片氧化膜，溶解铝、二氧化硅，调节pH促进水解（沉淀） 氧化剂：氧化某物质，转化为易于被除去（沉淀）的离子氧化物：调节pH促进水解（沉淀） 控制pH值：促进某离子水解，使其沉淀，利于过滤分离 煮沸：促进水解，聚沉后利于过滤分离；除去溶解在溶液中的气体，如氧气趁热过滤：减少结晶损失；提高纯度 三、【工业流程常见的操作】 （一）原料的预处理 ①粉碎、研磨：减小固体的颗粒度，增大固体与液体或气体间的接触面积，加快反应速率。（研磨适用于有机物的提取，如苹果中维生素C的测定等） ②水浸：与水接触反应或溶解。 ③酸浸：通常用酸溶，如用硫酸、盐酸、浓硫酸等，与酸接触反应或溶解，使可溶性金属离子进入溶液，不溶物通过过滤除去。近年来，在高考题出现了“浸出”操作。在化工生产题中，矿物原料“浸出”的任务是选择适当的溶剂，使矿物原料中的有用组分或有害杂质选择性地溶解，使其转入溶液中，达到有
人教版小学六年级数学上册知识点归纳总结 第一单元分数乘法 （一）分数乘法意义： 1、分数乘整数的意义与整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数的和的简便运算。 “分数乘整数”指的是第二个因数必须是整数，不能是分数。 2、一个数乘分数的意义就是求一个数的几分之几是多少。 “一个数乘分数”指的是第二个因数必须是分数，不能是整数。（第一个因数是什么都可以） （二）分数乘法计算法则： 1、分数乘整数的运算法则是：分子与整数相乘，分母不变。 （1）为了计算简便能约分的可先约分再计算。（整数和分母约分）（2）约分是用整数和下面的分母约掉最大公因数。（整数千万不能与分母相乘，计算结果必须是最简分数）。 2、分数乘分数的运算法则是：用分子相乘的积做分子，分母相乘的积做分母。（分子乘分子，分母乘分母） （1）如果分数乘法算式中含有带分数，要先把带分数化成假分数再计算。 （2）分数化简的方法是：分子、分母同时除以它们的最大公因数。
（3）在乘的过程中约分，是把分子、分母中，两个可以约分的数先划去，再分别在它们的上、下方写出约分后的数。（约分后分子和分母必须不再含有公因数，这样计算后的结果才是最简单分数）。 （4）分数的基本性质：分子、分母同时乘或者除以一个相同的数（0除外），分数的大小不变。 （三）积与因数的关系： 一个数（0除外）乘大于1的数，积大于这个数。a×b=c,当b >1时，c>a。 一个数（0除外）乘小于1的数，积小于这个数。a×b=c,当b<1时，c
实变函数论主要知识点
实变函数论主要知识点 第一章 集 合 1、 集合的并、交、差运算；余集和De Morgan 公式；上极限和下极限； 练习： ①证明()()A B C A B C --=-U ； ②证明1 1[][]n E f a E f a n ∞=>=≥+U ； 2、 对等与基数的定义及性质； 练习： ①证明(0,1):?； ②证明(0,1)[0,1]:； 3、 可数集的定义与常见的例；性质“有限个可数集合的直积是可数集合”与应用；可数集合的基数； 练习： ①证明直线上增函数的不连续点最多只有可数多个； ②证明平面上坐标为有理数的点的全体 所成的集合为一可数集； ③Q = ； ④[0,1]中有理数集E 的相关结论； 4、 不可数集合、连续基数的定义及性质； 练习： ①(0,1)= ； ②P = （P 为Cantor 集）；
第二章点集 1、度量空间，n维欧氏空间中有关概念 度量空间(Metric Space)，在数学中是指一个集合，并且该集合中的任意元素之间的距离是可定义的。 n维欧氏空间: 设V是实数域R上的线性空间（或称为向量空间），若V上定义着正定对称双线性型g（g称为内积），则V称为（对于g的）内积空间或欧几里德空间（有时仅当V是有限维时，才称为欧几里德空间）。具体来说，g是V 上的二元实值函数，满足如下关系： （1）g(x,y)=g(y,x)； （2）g(x+y,z)=g(x,z)+g(y,z)； （3）g(kx,y)=kg(x,y)； （4）g(x,x)>=0，而且g(x,x)=0当且仅当x=0
时成立。 这里x,y,z是V中任意向量，k是任意实数。 2、，聚点、界点、内点的概念、性质及判定（求法）；开核，导集，闭包的概念、性质及判定（求法）； 聚点:有点集E，若在复平面上的一点z的任意邻域都有E的无穷多个点，则称z为E的聚点。 内点:如果存在点P的某个邻域U(P)∈E，则称P为E的内点。 3、开集、闭集、完备集的概念、性质；直线上开集的构造； 4、Cantor集的构造和性质； 5、练习：①P=o，P'=，P=； ②11 1,,,, 2n ' ?? ?? ?? L L= ； 第三章测度论 1、外测度的定义和基本性质（非负性，单调性，次可数可加性）； 2、可测集的定义与性质（可测集类关于可数
高中化学知识点规律大全 ——化学反应及其能量变化 1．氧化还原反应 [氧化还原反应]有电子转移(包括电子的得失和共用电子对的偏移)或有元素化合价升降的反应．如2Na+ C12＝2NaCl(有电子得失)、H2+ C12＝2HCl(有电子对偏移)等反应均属氧化还原反应。氧化还原反应的本质是电子转移(电子得失或电子对偏移)。 [氧化还原反应的特征]在反应前后有元素的化合价发生变化．根据氧化还原反应的反应特征可判断一个反应是否为氧化还原反应．某一化学反应中有元素的化合价发生变化，则该反应为氧化还原反应，否则为非氧化还原反应。 概念含义概念含义 氧化剂反应后所含元素化合价降低的 反应物 还原剂 反应后所含元素化合价升高的 反应物 被氧化还原剂在反应时化合价升高的 过程 被还原 氧化剂在反应时化合价降低的 过程 氧化性氧化剂具有的夺电子的能力还原性还原剂具有的失电子的能力 氧化反应元素在反应过程中化合价升高 的反应 还原反 应 元素在反应过程中化合价降低 的反应 氧化产物还原剂在反应时化合价升高后 得到的产物 还原产 物 氧化剂在反应时化合价降低后 得到的产物 重要的氧化剂和还原剂： (1)所含元素的化合价处在最高价的物质只能得到电子，只具有氧化性，只能作氧化剂(注：不一定是强氧化剂)。重要的氧化剂有： ①活泼非金属单质，如X2(卤素单质)、O2、O3等。②所含元素处于高价或较高价时的氧化物，如MnO2、NO2、PbO2等。③所含元素处于高价时的含氧酸，如浓H2SO4、HNO3等．④所含元素处于高价时的盐，如KMnO4、KClO3、K2Cr2O7等．⑤金属阳离子等，如Fe3＋、Cu2＋、Ag＋、H ＋等．⑥过氧化物，如Na2O2、H2O2等．⑦特殊物质，如HClO也具有强氧化性． (2)所含元素的化合价处在最低价的物质只能失去电子，只具有还原性，只能作还原剂(注：不一定是强还原剂)．重要的还原剂有： ①活泼金属单质，如Na、K、Ca、Mg、Al、Fe等．②某些非金属单质，如C、H2、Si等．③所含元素处于低价或较低价时的氧化物，如CO、SO2等．④所含元素处于低价或较低价时的化 合物，如含有 2- S、 4+ S、 1- I、 1- Br、2+Fe的化合物H2S、Na2S、H2SO3、Na2SO3、HI、HBr、FeSO4、 NH3等． (3)当所含元素处于中间价态时的物质，既有氧化性又有还原性，如H2O2、SO2、Fe2＋等． (4)当一种物质中既含有高价态元素又含有低价态元素时，该物质既有氧化性又有还原性．例如，盐酸(HCl)与Zn反应时作氧化剂，而浓盐酸与MnO2共热反应时，则作还原剂．
人教版四年级数学预习：重要知识点汇总 第一单元大数的认识 1、10个一千是一万，10个一万是十万，10个十万是一百万，10个一百万是一千万。 2、10个一千万是一亿，10个一亿是十亿，10个十亿是一百亿，10个一百亿是一千亿。 3、按照我国的计数习惯，从右边起，每四个数位是一级。 4、数位顺序表 个位、十位、百位、千位、万位……是数位，一（个）、十、百、千、万……是计数单位。从右往左每四个数位分一级，数级包括：个级、万级、亿级。 5、每相邻两个计数单位之间的进率都是10的计数方法叫做十进制计数法。 6、表示物体个数的1，2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,……都是自然
数。一个物体也没有，用0表示。0也是自然数。 最小的自然数是0，没有最大的自然数，自然数的个数是无限的。 7、读数时，只是在每一级的末尾加上“万”或“亿”字；每级末尾的0都不读，其它数位有一个0或几个0，都只读一个“零”。 8、写数：万级和亿级上的数都是按照个级上数的方法来写，哪一位不够用0补足。 9、改写和省略 （1）改写去掉末尾的四个0，将数写成用万作单位的数。如：450000=45万 去掉末尾的八个0，将数写成用亿作单位的数。如：200000000=2亿 （2）省略去掉末尾的四位数字，将数写成用万作单位的数。 （3）去掉末尾的八位数字，将数写成用亿作单位的数。 （用“四舍五入”法，要注意看清去掉部分的最高位，如果是5或比5大，要向前一位进一。）如：54340≈5万 56070≈6万 720023000≈7亿 459800000≈5亿 改写和省略的区别：改写不改变数的大小用 = 连接如：450000=45万 200000000=2亿 省略改变了数的大小用≈连接如：54340≈5万 720023000≈7亿
实变函数学习心得 实变函数课在我国高等学校数学系的教学计划中属于专业基础课,是一门承上启下的课。下面是为大家准备的实变函数学习心得体会，希望大家喜欢! 实变函数学习心得体会范文篇1 学习实变函数这们课已经一个学期了，对于我们数学专业的学生，大学最难的一门课就是实变函数论与实变函数这门课了。我们用的教材难度比较大，所以根据我自己学习这门课的心得与方法，有以下几点： 1、复习并巩固数学分析等基础课程。学习实变函数这门课程要求我们以数学分析为学习基础，因此，想学好这门课必须有相对比较扎实的数学分析基础。 2、课前预习。实变函数是一门比较难的课程，龙老师上课也讲得比较快、比较抽象，因此，适当的预习是必要的，了解老师即将讲什么内容，相应地复习与之相关内容。如果能够做到这些，那么你的学习就会变得比较主动、深入，会取得比较好的效果。 3、上课认真听讲，认真做笔记。龙老师是一位博学的老师，上课内容涵盖许多知识。因此，上课应注意老师的讲解方法和思路，其分析问题和解决问题的过程，记好课堂笔记，实变函数这门课比较难，所以建议听课是一个全身心投入听、记、思相结合的过程。 4、课后复习,做作业，做练习。我们作为大三的学生，我们要学
会抓住零碎的时间复习实变函数课堂的学习内容，巩固学习。复习不是简单的重复，应当用自己的表达方式再现所学的知识，例如对某些定理证明的复习，不是再读一遍书或课堂笔记，而是离开书本和笔记，回忆有关内容，理解并掌握其证明思路。做作业、做练习时，大家要重视基本概念和基本原理的理解和掌握，不要一头扎进题海中去。 所以，我们学习实变函数总的来说要把握课前、课时与课后的任务，学习内容要多下功夫掌握基本概念和原理及其证明思路，尽可能地掌握作业题目，在记忆的基础上理解，在完成练习中深化理解，在比较中构筑知识结构的框架，是提高学习实变函数课程效率的重要途径。 实变函数学习心得体会范文篇2 古语有云：微机原理闹危机，汇编语言不会编，随机过程随机过，量子力学量力学，实变函数学十遍。其它的不好说，这实变函数确实要多看几遍的。虽然我曾旁听过这门课，但是对于其中的种种总感觉模模糊糊，不甚明了。前几日在网上down了一个完整的教学视频，便想着把这门课重新来过，遂借着这片地方留下一些印记，好督促自己万不可半途而废。 1、集合列的极限有上下极限之分，只有当上下极限相等时，才称集合列存在极限。对于上极限可以这样定义： {x|x属于无穷多个An}.无穷多是用文字语言来进行形象的描述，那么转换成数学的语言应该是怎样的呢?类比数学分析中的聚点原理，我们可以假设若x属于某个Am，那么一定可以找到mm,使得x也属于m，如若不然，x就属于有限个集合，而不是无穷多个了。上述