导数及其应用.板块一.导数的概念与几何意义
1．函数的平均变化率：
一般地，已知函数()y f x =，0x ，1x 是其定义域内不同的两点，记10x x x ?=-，
10y y y ?=-10()()f x f x =-00()()f x x f x =+?-，
则当0x ?≠时，商00()()f x x f x y
x x
+?-?=
??称作函数()y f x =在区间00[,]x x x +?（或00[,]x x x +?）的平均变化率．
注：这里x ?，y ?可为正值，也可为负值．但0x ?≠，y ?可以为0．
2．函数的瞬时变化率、函数的导数：
设函数()y f x =在0x 附近有定义，当自变量在0x x =附近改变量为x ?时，函数值相应的改变00()()y f x x f x ?=+?-．
如果当x ?趋近于0时，平均变化率00()()
f x x f x y x x
+?-?=
??趋近于一个常数l （也就是说平均变化率与某个常数l 的差的绝对值越来越小，可以小于任意小的正数），那么常数l 称为函数()f x 在点0x 的瞬时变化率．
“当x ?趋近于零时，00()()
f x x f x x
+?-?趋近于常数l ”可以用符号“→”记作：
“当0x ?→时，00()()f x x f x l x +?-→?”，或记作“000()()
lim x f x x f x l x
?→+?-=?”，
符号“→”读作“趋近于”． 函数在0x 的瞬时变化率，通常称为()f x 在0x x =处的导数，并记作0()f x '． 这时又称()f x 在0x x =处是可导的．于是上述变化过程，可以记作
“当0x ?→时，000()()()f x x f x f x x +?-'→?”或“0000()()
lim ()x f x x f x f x x
?→+?-'=?”．
3．可导与导函数：
如果()f x 在开区间(,)a b 内每一点都是可导的，则称()f x 在区间(,)a b 可导．这样，对开区间(,)a b 内每个值x ，都对应一个确定的导数()f x '．于是，在区间(,)a b 内，()f x '构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数()y f x =的导函数．记为()f x '或y '（或x y '）．
导函数通常简称为导数．如果不特别指明求某一点的导数，那么求导数指的就是求导函数．
4．导数的几何意义：
设函数()y f x =的图象如图所示．AB 为过点00(,())A x f x 与
00(,())B x x f x x +?+?的一条割线．由此割线的斜率是00()()
f x x f x y x x
+?-?=
??，可知曲线割线的斜率就是函数的平均变化率．当点B 沿曲线趋近于点A 时，割线AB 绕点A 转动，它的最终位置为直线AD ，这条直线AD 叫做此曲线过点A 的切线，即
000()()lim x f x x f x x
?→+?-=?切线AD 的斜率． 由导数意义可知，曲线()y f x =过点00(,())x f x 的切线的斜率等于0()f x '．
知识内容
题型一：极限与导数
【例1】
正三棱锥相邻两侧面所成的角为α，则α的取值范围是（ ）
A ．(0180)??，
B ．(060)??，
C ．(6090)??，
D ．(60180)??，
【例2】
在正n 棱锥中，相邻两侧面所成的二面角的取值范围是（ ） A ．2ππn n -??
???， B ．1ππn n -?? ???， C ．π02?? ???， D ．21ππn n n n --?? ???
，
【例3】
对于任意π02???
∈ ??
?，都有（ ）
A ．sin(sin )cos cos(cos )???<<
B ．sin(sin )cos cos(cos )???>>
C ．sin(cos )cos cos(sin )???<<
D ．sin(sin )cos cos(sin )???<<
【例4】
若0
()lim
1x f x x →=，则0(2)
lim x f x x →=________．
【例5】
若1
(1)lim
11x f x x →-=-，则1(22)lim 1
x f x x →-=-_______．
【例6】
设()f x 在0x 可导，则()()
000
3lim
x f x x f x x x
?→+?--??等于（ ）
A ．()02f x '
B ．()0f x '
C ．()03f x '
D ．()04f x '
【例7】
若000(2)()
lim
13x f x x f x x ?→+?-=?，则0()f x '等于（ ）
A ．23
B ．3
2
C ．3
D ．2
【例8】
设()f x 在x 处可导，a b ，
为非零常数，则0()()
lim x f x a x f x b x x
?→+?--?=?（ ）
． A ．()f x ' B ．()()a b f x '+ C ．()()a b f x '- D ．()f x '
【例9】
设(3)4f '=，则0
(3)(3)
lim
2h f h f h →--=（ ）
A ．1-
B ．2-
C ．3-
D ．1
【例10】 若()2f a '=，则当h 无限趋近于0时，
()()
2f a h f a h
--=______．
【例11】 已知函数2
()8f x x x =+，则0
(12)(1)
lim
x f x f x
?→-?-?的值为 ．
【例12】 已知1()f x x =
，则0(2)(2)lim x f x f x
?→+?-?的值是（ ）
A ．14-
B ．2
C ．1
4
D ．2-
【例13】 若2
(1)(1)2f x f x x +-=+，则(1)f '=_______．
典例分析
【例14】 已知函数()f x 在0x x =处可导，则22
000[()][()]lim
x f x x f x x
?→+?-=?（ ） A ．0()f x ' B ．0()f x C ．20[()]f x ' D ．002()()f x f x '
【例15】 计算32
lim
43
n n n →∞-=+________．
【例16】 222lim 23
n n n
n →∞+=-_______．
【例17】 将直线2:0l nx y n +-=、3:0l x ny n +-=（*
n ∈N ，2n ≥）x 轴、y 轴围成的封闭图形的面积
记为n S ，则lim n n S →∞
= ．
【例18】 2
111lim 1333n
n →∞
??
+
+++
= ??
?
（ ） A ．53
B ．
32
C ．2
D ．不存在
【例19】 如图，在半径为r
的圆内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接
正六边形，如此无限继续下去．设n S 为前n 个圆的面积之和，则lim n n S →∞
=（ ）
r O
A ．22πr
B ．28
π3
r C ．24πr D ．26πr
【例20】 22
1
12lim 3243x x x x x →??
-=
?-+-+??
______．
【例21】 若1
n =，则常数a =_______．
【例22】
x →=_____．
【例23】 2
123lim
n n
n →∞++++=_________
【例24】 0
12lim (2)x x x x →??-= ?+??
________．
【例25】 211
lim
34
x x x x →-=+-__________．
【例26】 2
2
41lim 42x x x →??-=
?--??
（ ） A ．1- B ．14- C ．1
4
D ．1
【例27】
1
x →= ．
【例28】 设函数12()sin sin 2sin n f x a x a x a nx =++
+，其中12n a a a n +∈∈R N ，，，，，已知对一切
x ∈R ，有()sin f x x ≤和0sin lim
1x x
x
→=，求证：1221n a a na ++
+≤．
【例29】 如图，函数()f x 的图象是折线段ABC
，其中A B C ，
，的坐标分别为(04)(20)(64)，，，，，，则((0))f f = ；函数()f x 在1x =处的导数(1)f '= ．
【例30】 如图，函数()f x 的图象是折线段ABC
，其中A B C ，，的坐标分别为()04，，()20，，()64，，
则((0))f f = ；0(1)(1)
lim x f x f x
?→+?-=? ．
（用数字作答）
【例31】 下列哪个图象表示的函数在1x =点处是可导的（
）
B.
A.
【例32】 函数2
()21f x x =+在闭区间[11]x +?，
内的平均变化率为（ ）
A ．12x +?
B ．2x +?
C ．32x +?
D ．42x +?
【例33】 求函数y 0x 到0x x +?之间的平均变化率．
【例34】 若函数2
()f x x
=
，则当1x =-时，函数的瞬时变化率为（ ） A ．1 B ．1- C ．2 D ．2-
【例35】 求函数2
()f x x x =-+在1x =-附近的平均变化率，在1x =-处的瞬时变化率与导数．
【例36】 求函数3
()2f x x x =-在1x =附近的平均变化率，在1x =处的瞬时变化率与导数．
【例37】 已知某物体的运动方程是3
199
s t t =+
，则当3t =s 时的瞬时速度是_______．
【例38】 已知某物体的运动方程是22
23
2t s t t
-=
+，则3t =时的瞬时速度是_______．
【例39】 已知物体的运动方程是23
s t t
=+
，则物体在时刻4t =时的速度v =____，加速度a = ．
【例40】 物体运动方程为4
134s t =
-，则2t =时瞬时速度为（ ） A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
【例41】 一质点做直线运动，由始点起经过t s
后的距离为4321
4164
s t t t =-+，
则速度为零的时刻是（ ）
A ．4s 末
B ．8s 末
C ．0s 与8s 末
D ．0s ，4s ，8s 末
【例42】 如果某物体做运动方程为2
2(1)s t =-的直线运动（s 的单位为
m ，t 的单位为s ）
，那么其在1.2s 末的瞬时速度为（ ）
A ．0.88-m/s
B ．0.88m/s
C ． 4.8-m/s
D ．4.8m/s
【例43】
求y 0x x =处的导数．
题型二：导数的几何意义
【例44】 已知曲线1y x x =+
上一点522A ??
???
，，用斜率定义求： ⑴ 过点A 的切线的斜率；⑵ 过点A 的切线方程．
【例45】
已知曲线1
y x
=
上一点(12)A ，
，用斜率定义求： ⑴过点A 的切线的斜率；⑵过点A 的切线方程．
【例46】 函数()f x 的图象如图所示，下列数值排序正确的是（ ）
A ．0(2)(3)(3)(2)f f f f ''<<<-
B ．0(3)(3)(2)(2)f f f f ''<<-<
C ．0(3)(2)(3)(2)f f f f ''<
<<- D ．0(3)(2)(2)(3)f f f f ''<-<<
【例47】 求函数()a
f x ax x
=+
(0)a ≠的图象上过点A 2(1)a a +，的切线方程．
【例48】 曲线3
2
1y x x =+-在点(11)P --，
处的切线方程是（ ）
A ．1y x =-
B ．2y x =-
C ．y x =
D ．1y x =+
【例49】 求曲线1
y x
=
在点(11)，
的切线1l 方程，与过点(20)-，的切线2l 的方程．
【例50】 函数1y x =-
在点122??
- ???
，
处的切线方程为（ ） A ．4y x = B ．44y x =- C ．4(1)y x =+ D ．24y x =+
【例51】 已知曲线214y x =
的一条切线的斜率为1
2
，则切点的横坐标为_______．
【例52】 曲线3
24y x x =-+在点(13)，
处的切线的倾斜角为（ ）
A ．30?
B ．45?
C ．60?
D ．120?
【例53】 过点(11)，作曲线3
y x =的切线，则切线方程为__________．
【例54】 曲线2
x
y x =
-在点(11)-，
处的切线方程为__ ．
【例55】 若曲线2
1y x =-与3
1y x
=-在0x x =处的切线互相垂直，则0x 等于（ ）
A B ． C ．23 D ．23
或0
【例56】 设曲线1
1
x y x +=
-在点(32)，
处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a =（ ） A ．2
B ．12
C ．1
2- D ．2-
【例57】 设曲线2
y ax
=在点(1)a ，处的切线与直线260x y --=平行，则a =（ ） A ．1
B ．12
C ．1
2
- D ．1-
【例58】 若曲线4
y x
=的一条切线l 与直线48y x =+平行，则l 的方程为______________．
【例59】 若曲线4
y x
=的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ）
A ．430x y --=
B ．450x y +-=
C ．430x y -+=
D ．430x y ++=
【例60】 设P 为曲线C
：21y x x =-+上一点，曲线C 在点P 处的切线的斜率的范围是[13]，，则点P 纵
坐标的取值范围是_______．
【例61】 设P 为曲线C
：223y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为04π??????
，，
则点P 横坐标的取值范围为（ ）
A ．112?
?
--???
?，
B ．[]10-，
C ．[]01，
D ．112
??????
，
【例62】 曲线21
x
y x =
-在点()11，处的切线方程为（ ） A ．20x y --= B ．20x y +-= C ．450x y +-=
D ．450x y --=
【例63】 设函数2
()()f x g x x
=+，曲线()y g x =在点(1(1))g ，处的切线方程为21y x =+，则曲线()y f x =在点(1(1))f ，处切线的斜率为（ ）
A ．4
B ．14-
C ．2
D ．1
2
-
【例64】 设()
f x 是偶函数．若曲线()y f x =在点()()11f ，处的切线的斜率为1，则该曲线在点
()()11f --，处的切线的斜率为 ．
【例65】 函数sin y x
=的图象上一点π3? ??
处的切线的斜率为（ ）
A ．1
B C D ．12
【例66】 曲线ln(21)y x =-上的点到直线230x y -+=的最短距离是（
）
A
B ．
C ．
D ．0
【例67】 在平面直角坐标系xoy 中，点P 在曲线3
:103C y x x =-+上，且在第二象限内，已知曲线C 在
点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为 ．
【例68】 抛物线2
y x bx c =++在点(1,2)处的切线与其平行线0bx y c ++=间的距离为________．
【例69】 若0y =是曲线3
y x bx c =++的一条切线，则32()()32
b c
+=（
）
A ．1-
B ．0
C ．1
D ．2
【例70】 函数2
(0)y x x =>的图像在点(
)2
k k
a a ，处的切线与x 轴交点的横坐标为1
k a
+，其中*k ∈N ，若
116a =，则135a a a ++的值是 ．
【例71】 已知点P 在曲线4
e 1x y =
+上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是（ ） A ．π04
??
???
?
，
B ．ππ42??????，
C ．π3π24?? ???，
D ．3ππ4???
???，
【例72】 曲线2
x
y x =
+在点(11)--，处的切线方程为（ ） A ．21y x =+ B ．21y x =- C ．23y x =--
D ．22y x =--
【例73】 若曲线1
2
y x -=在点12a a -?
? ???
，处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，
则a =（ ）
A ．64
B ．32
C ．16
D ．8
【例74】 函数()ln f x x =的图象在点()e ,(e)f 处的切线方程是
．
【例75】 设曲线()1
*
n y x
n +=∈N 在点(11)，
处的切线与x 轴的交点的横坐标为n
x ，则12
n x x x ?等于
（ ）
A ．1n
B ．
11
n + C ．
1
n n +
D ．1
【例76】 直线1y kx =-与曲线ln y x =相切，则k =
（ ）
A ．0
B ．1-
C ．1
D ．1±
【例77】 已知直线1y x =+与曲线()ln y x a =+相切，则a 的值为（
）
A ．1
B ．2
C ．1-
D ．2-
【例78】 在平面直角坐标系xOy
中，点P 在曲线C ：3103y x x =-+上，且在第二象限内，已知曲线C
在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为____ ．
【例79】 若存在过点(10)，
的直线与曲线3
y x =和215
94
y ax x =+
-都相切，则a 等于（ ） A ．1-或2564- B ．1-或214 C ．74-或2564- D ．7
4
-或7
【例80】 已知函数2
1()()5
g x f x x =+
的图象在P 点处的切线方程为8y x =-+，
又P 点的横坐标为5，则(5)(5)
f f '+=________．
【例81】 设曲线1cos sin x y x +=
在点π12??
???
，处的切线与直线10x ay -+=平行，则实数a 等于（ ） A ．1- B ．1 C ．2- D ．2
【例82】 已知函数()log a f x x =和()2log (22)(01)a g x x t a a t =+->≠∈R ，，的图象在2x =处的切线互相
平行，则t =_______．
【例83】 ⑴曲线3
2
242y x x x =--+在点(13)-，
处的切线方程是____． ⑵曲线32242y x x x =--+过点(13)-，
的切线方程是_________．
【例84】 已知曲线314
33
y x =
+，则过点(24)P ，
的切线方程是_______．
【例85】 已知曲线s ：3
3y x x
=-及点(22)P -，
，则过点P 可向s 引切线的条数为_____．
【例86】 曲线1
y x
=
和2y x =在它们的交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积是______．
【例87】 曲线12
e
x y =在点2(4e )，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） A ．29e 2
B ．24e
C ．22e
D ．2e
【例88】 曲线3
y x
=在点3()(0)a a a ≠，处的切线与x 轴、直线x a =所围成的三角形的面积为
1
6
，则a = ．
【例89】 曲线313y x x =
+在点413??
???
，处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ ）
A ．19
B ． 29
C ．1
3
D ．23
【例90】 求曲线2
21y x =-的斜率等于4的切线方程．
【例91】 若曲线
3()ln f x ax x =+存在垂直于y 轴的切线，则实数a 取值范围是_____________．
【例92】 曲线
cos y x =在点π4P ? ??
处的切线方程是 ．
【例93】 函数cos 2y x =在点π04??
???
，处的切线方程是（ ） A ．42π0x y ++= B ．42π0x y -+= C ．42π0x y --= D ．42π0x y +-=
【例94】 已知函数()f x 在R 上满足()()2
2288f x f x x x =--+-，则曲线()y f x =在点()
()11f ，处的切
线方程是（ ）
A ．21y x =-
B ．y x =
C ．32y x =-
D ．23y x =-+
【例95】 已知曲线C
：4323294y x x x =--+，求曲线C 上横坐标为1的点的切线方程．
【例96】 已知抛物线2
y ax bx c =++通过点(11)P ，
，且在点(21)Q -，处与直线3y x =-相切，求实数a 、b 、c 的值．
【例97】 曲线(1)(2)y x x x =+-有两条平行于直线
y x =的切线，求此二切线之间的距离．
【例98】 已知曲线3
2
()21f x x x =-+，求经过点(21)P ，
且与曲线()f x 相切的直线l 的方程．
【例99】 已知曲线3
2y x x =+-在点0P 处的切线1l 平行直线410x y --=，且点0P 在第三象限，
⑴求0P 的坐标；⑵若直线1l l ⊥，且l 也过切点0P ，求直线l 的方程．
【例100】 已知函数3
2
()(1)(2)f x x a x a a x b =+--++()a b ∈R ，
． 若函数()f x 的图象过原点，且在原点处的切线斜率是3-，求a ，b 的值．
【例101】 已知函数
x x e a e x f -?+=)(（a ∈R ）
的导函数是)(x f '，且)(x f '是奇函数，若曲线)(x f y =的一条切线的斜率是2
3
，则切点的横坐标为（ ）
A ．ln 2
B ．2ln -
C ．22ln
D ．2
2
ln -
【例102】 已知函数3
2
()c f x x bx x d
=+++的图象过点(02)P ，
，且在点(1(1))M f --，处的切线方程为670x y -+=．求函数()y f x =的解析式．
【例103】 已知直线1l 为曲线2
2y x x =+-在点(10)，
处的切线，2l 为该曲线的另一条切线，且12l l ⊥， ⑴求直线2l 的方程；
⑵求由直线1l 、2l 和x 轴所围成的三角形的面积．
【例104】 设函数()b
f x ax x
=-
，曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程为74120x y --=． ⑴求()y f x =的解析式；
⑵证明：曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =和直线y x =所围成的三角形面积为定值，并求此定值．
【例105】 设函数1
()()f x ax a b x b
=+
∈+Z ，，曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程为3y =． ⑴求()y f x =的解析式；
⑵证明：曲线()y f x =的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心；
⑶证明：曲线()y f x =上任一点的切线与直线1x =和直线y x =所围三角形的面积为定值，并求出此定值．
【例106】 已知抛物线1C ：22y x x =+和2C ：2
y x a =-+，如果直线l
同时是1C 和2C 的切线，称l 是1C 和
2C 的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段．
⑴则a 取什么值时，1C 和2C 有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程． ⑵若1C 和2C 有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分．
【例107】 设0t ≠，点(0)P t ，
是函数3()f x x ax =+与2()g x bx c =+的图象的一个公共点，两函数的图象
在点P 处有相同的切线．试用t 表示a b c ，
，．
【例108】 已知曲线1C ：2
y x
=与2C ：2(2)y x =--，直线l 与12C C ，都相切，求直线l 的方程．
【例109】 已知函数3
()f x x x =-．
⑴求曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程；
⑵求曲线()y f x =过点(26)P --，
的切线的方程． ⑶设0a >，如果过点()a b ，
可作曲线()y f x =的三条切线，证明：()a b f a -<<． ⑷求过任一点()N a b ，
能作的曲线3()f x x x =-的切线的条数．
【例110】 如图，在平面直角坐标系xOy
中，过y 轴正方向上一点(0)C c ，任作一直线，与抛物线2y x =相
交于A B ，
两点，一条垂直于x 轴的直线，分别与线段AB 和直线:l y c =-交于点P Q ，， ⑴若2OA OB ?=，求c 的值；
⑵若P 为线段AB 的中点，求证：QA 为此抛物线的切线； ⑶试问⑵的逆命题是否成立？请说明理由．
【例111】 证明如下命题：
命题：设(0)C c ，
是y 轴正半轴上的一动点，过C 的动直线与抛物线22(0)x py p =>交于A B ，两点，则过A B ，
的抛物线的两切线的交点的轨迹方程为y c =-，且轨迹上任一点的横坐标一定是该点对应的切点弦AB 中点的横坐标．
【例112】 设Q 为直线(0)y c c =-<上任意一点，过Q 作抛物线2
2x py =(0)p >的两条切线，切点分别为
A B ，，
求证：直线AB 必过定点(0)C c ，
，且线段AB 的中点的横坐标一定对应于Q 点的横坐标．
【例113】 已知函数()2ln f x x x =-．
⑴写出函数()f x 的定义域，并求其单调区间；
⑵已知曲线()y f x =在点()()00x f x ，处的切线是2y kx =-，求k 的值．
【例114】 求曲线1
2
y x =
+上的点到直线10x y ++=的距离的最小值．
题号 ■ ? — 总分 得分 评卷人 得分 绝密★启用前 导数的概念和几何意义 注意事项： 1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2. 请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题） 1. 曲线y=2sinx 在点P （ n , 0）处的切线方程为（ ） A. y = -2x + 2〃 B. y = 0 C. y — -2x - 2/r D. y = 2x + 2/r 【答案】A 【解析】 试题分析：因为，y=2sinx,所以，y' = 2cosx,曲线y=2sinx 在点P （ n , 0）处的切 线斜率为-2,由直线方程的点斜式，整理得，曲线y 二2sinx 在点P （ n , 0）处的切线 方程为），二一2工+ 2几，选A 。 考点：导数的几何意义 点评：简单题，曲线切线的斜率，等于在切点的导函数值。 2. 若蓦函数），二 /（】）的图像经过点A （：S ）,则它在A 点处的切线方程是（ ） A. 4x + 4y+ 1 = 0 B. 4x-4y + l = 0 C. 2x-y = 0 D. 2x+ y = 0 【答案】B 【解析】 试题分析：设/（x ） = f ,把人（一,一）代入，得一=一，得。=一，所以j 、（x ） = E=￡, 4 4 广（：）=1 ,所以所求的切线方程为y — ! = * — !即4x — 4y +1 = 0 , 选B. 考点：羸函数、曲线的切线. 3. 函数f （x ） = e x cosx 的图像在点（0,/（0））处的切线的倾斜角为（） 考试范围：导数的概念和几何意义；考试时间： 100分钟；命题人：张磊
(C) (l,e) (D) (0,2) 7[ 3兀 A 、一 B N 0 C N — D 、1 4 4 【答案】A 【解析】 试题分析：由广⑴= / （cosx — sin X ）,则在点（0,/（0））处的切线的斜率k =广 （0） = 1, TT 故倾斜角为一.选A. 4 考点：1.利用导数求切线的斜率；2.直线斜率与倾斜角的关系 4. 曲线y = b 在点（2,疽）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） 2 A. * B. 2e 2 C. 4e 2 D.— 2 【答案】D 【解析】 试题分析：?.,点（2,疽）在曲线上，..?切线的斜率k = y x _2 = e x x _2 = e 2 , ..?切线的方程为y —疽=疽（工—2）,即e 2 x-y-e 2 =0, 两坐标轴的交点坐标为 (0,-乃，(1,0), 考点：1.利用导数求切线方程；2.三角形面积公式. 5.曲线= e v 在点A 处的切线与直线x —y + 3 = 0平行，则点月的坐标为（ ） (A) (-l,e _,) (B) (0,1) 【答案】B 【解析】 试题分析：直线x —y + 3 =。的斜率为1,所以切线的斜率为1, B|J k = y , = e x ^=} 解得%0=0，此时y = e° = \ ,即点A 的坐标为（0,1）. 考点：导数的几何意义. 6.设|1】|线），=史在点（3,2）处的切线与直线” + y + l = 0垂直，则。等于（ ） %-1 A. 2 B. — C. — D. — 2 2 2 【答案】D 【解析】 试题分析：由y = - => y'= ~~ = ------ 曲线y =三口 在点（3,2）处 , A-1 . （X-1）- （X-1）- ? X-1
§2 导数的概念及其几何意义 第四课时 导数的几何意义习题课 一、教学目标：会利用导数的几何意义求曲线上某点处的切线方程。 二、教学重点：曲线上一点处的切线斜率的求法 教学难点：理解导数的几何意义 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）、复习：导数的几何意义：函数)(x f y =在x 0处的导数就是曲线)(x f y =在点（x 0，)(0x f ）处的切线的斜率。 （二）、探究新课 例1、在曲线34x y =上求一点P 使得曲线在该点处的切线满足下列条件： （1）平行于直线y ＝x ＋1； （2）垂直于直线2x －16y ＋1＝0； （3）倾斜角为135°。 解：设点坐标为（0x ，0y ），则 202002020202020) (48)()(484)(4x x x x x x x x x x x x x x x x x y ?+?--=??+?-?-=?-?+=?? ∴当Δx 趋于0时，30 400088)(x x x x f -=-='。 （1）∵切线与直线y ＝x ＋1平行。 ∴1)(0='x f ，即1830 =-x ， ∴20-=x ，10=y 。 即P （―2，1）。 （2）∵切线与直线2x －16y ＋1＝0垂直， ∴1)16 2(·)(0-=--'x f ，即181·830-=-x ，
∴10=x ，40=y 。 即P （―1，4）。 （3）∵切线倾斜角为135°， ∴1135tan )(00-=='x f ，即1830 -=- x ， ∴20=x ，10=y 。 即P （2，1）。 例2、求曲线1)(3+==x x f y 过（1，1）点的切线的斜率。 解：设过（1，1）点的切线与13+=x y 相切与点)1,(300+x x P ，则 2020320203030)(33)()(33)1(1)(x x x x x x x x x x x x x x x y ?+?+=??+?+?=?+-+?+=?? 当Δx 趋于0时， 2003)(x x f ='， 由导数的几何意义可知，曲线在点P 处的切线的斜率为203x k = ① 又过（1，1）点的切线的斜率1 11030--+=x x k ② ∴由①②得：130302 -=x x x 解得：00=x 或230=x ，∴0=k 或427=k ， ∴曲线13+=x y 过（1，1）点的切线的斜率为0或427。 例3、如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数 2() 4.9 6.510h x x x =-++，根据图像，请描述、比较曲线()h t 在0t 、1t 、2t 附近的变化情况． 解：我们用曲线()h t 在0t 、1t 、2t 处的切线，刻画曲线()h t 在上述三个时刻附近的变化情况． （1） 当0t t =时，曲线()h t 在0t 处的切线0l 平行于x 轴，所以，在0t t =附近曲线 比较平坦，几乎没有升降． （2） 当1t t =时，曲线()h t 在1t 处的切线1l 的斜率1()0h t '<，所以，在1t t =附近
导数概念及其几何意义 1、在函数的平均变化率的定义中，自变量的的增量满足（） A .>0 B .<0 C D. =0 2、设函数，当自变量由改变到时，函数值的改变量是（） A B C D 3、已知函数的图像上一点（1，2）及邻近一点，则等于（） A 2 B 2x C D 2+ 5．函数y=f(x)在x=x0处可导是它在x=x0处连续的（） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 6．在曲线y=2x2－1的图象上取一点（1，1）及邻近一点（1+Δx,1+Δy）,则等于（） A．4Δx+2Δx2 B．4+2Δx C．4Δx+Δx2 D．4+Δx 7．若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为2x+y－1=0，则（） A．f′(x0)>0 B．f′(x0)<0 C．f′(x0)=0 D．f′(x0)不存在 8．已知命题p：函数y=f(x)的导函数是常数函数；命题q：函数y=f(x)是一次函数，则命题p是命题q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．设函数f(x)在x0处可导，则等于（） A．f′(x0) B．0 C．2f′(x0) D．－2f′(x0) 10．设f(x)=x(1+|x|),则f′(0)等于（） A．0 B．1 C．－1 D．不存在 11．若曲线上每一点处的切线都平行于x轴，则此曲线的函数必是______ 函数．（填增、减、常函数） 13．设f(x)在点x处可导，a、b为常数，则=_____． 16．已知曲线y=2x2上一点A(1，2)，求(1)点A处的切线的斜率．(2)点A处的切线方程． 17．已知函数f(x)=，试确定a、b的值，使f(x)在x=0处可导．
导数与微积分重要概念及公式总结 1.平均变化率：=??x y 1212) ()(x x x f x f -- 称为函数f (x )从x 1到x 2的平均变化率 2.导数的概念 从函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率是: 000 0()()lim lim x x f x x f x y x x ?→?→+?-?=?? 我们称它为函数()y f x =在0x x =出的导数，记作'0()f x 或0'|x x y =，即 0000 ()() ()lim x f x x f x f x x ?→+?-'=? 3.导数的几何意义： 函数y =f (x )在x =x 0处的导数等于在该点00(,())x f x 处的切线的斜率，（其中 00(,())x f x 为切点），即 0000 ()() ()lim x f x x f x f x k x ?→+?-'==? 切线方程为：()()()000x x x f x f y -'=- 4.常用函数的导数： （1）y c = 则'0y = （2）y x =，则'1y = （3）2y x =，则'2y x = （4）1y x = ，则'21y x =- （5）*()()n y f x x n Q ==∈，则'1n y nx -= （6）sin y x =，则'cos y x = （7）cos y x =，则'sin y x =- （8）()x y f x a ==，则'ln (0)x y a a a =?> （9）()x y f x e ==，则'x y e = （10）()log a f x x =，则'1 ()(0,1)ln f x a a x a = >≠
高中数学 导数及其应用复习学案 类型一：利用导数研究函数的图像 例2、若函数()y f x =的导函数．．． 在区间[,]a b 上是增函数，则函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象 可能是（ ） (A) (B) (C) (D) 练习1．如右图：是f （x ）的导函数， )(/x f 的图象如右图所示，则f （x ）的图象只可能是（ ） （A ） （B ） （C ） （D ） 2．设f '(x )是函数f (x )的导函数，y =f '(x )的图象如右图所示，则y =f (x )的图象最有可能的是 （ ） B ． C ． 类型二：导数几何意义的应用 例3、（1）求曲线21x y x = -在点()1,1处的切线方程。（2）求抛物线y=2x 过点5,62?? ??? 的切线方程 y x y y x y x y x O 1 2 O 1 2 O 1 2 1 2 x y O 1 2 例1、设a ＜b,函数y=(x-a)2(x-b)的图象可能是( ) a b a b a o x o x y o x y o x y
32151,09425217257.1..76444644y x y ax x a B C D ==+ ----练习：若存在过点（）的直线和都相切，则等于（）A.-1或-或或-或 7．曲线y ＝x 2－2x ＋a 与直线y ＝3x ＋1相切时，常数a 的值是________． 类型三：利用导数研究函数的单调性 例4、已知a ，b 为常数，且a ≠0，函数f （x ）=-ax+b+axlnx ，f(e)=2（e=2.71828…是自然对数的底数）. （I ）求实数b 的值； （II ）求函数f （x ）的单调区间； 例5、已知函数f(x)= ax 1x 2 ++在(－2，＋∞)内单调递减，求实数a 的取值范围. 练习：若函数y =3 1x 3－21ax 2+（a －1）x +1在区间（1，4）内为减函数，在区间（6，+∞）内为增函数，试求实数a 的取值范围 类型四：导数与极值 ()ln 6x f x x = 例、求函数的极值。 ()3227310,f x x ax bx a x a b =+++=-例、已知在有极值，求常数的值。 练习1、已知f(x)=x 3+ax 2 +(a+6)x+1有极大值和极小值，则a 的取值范围是( ) （A ）-1＜a ＜2 （B ）-3＜a ＜6 （C ）a ＜-1或a ＞2 （D ）a ＜-3或a ＞6 2、直线y ＝a 与函数f(x)＝x 3－3x 的图象有相异的三个公共点，则求a 的取值范围。 类型五：导数与最值 例8、已知函数f(x)=(x-k)e x . (1)求f(x)的单调区间；
要求层次重难点 导数及其应用导数概念及其 几何意义 导数的概念A了解导数概念的实际背景； 理解导数的几何意义． 导数的几何意义C 导数的运算 根据导数定义求函数y c =， y x =，2 y x =，3 y x =， 1 y x =， y x =的导数 C 能根据导数定义，求函数 23 y c y x y x y x ==== ，，，， 1 y y x x == ，（c为常数）的导数． 能利用给出的基本初等函数的导数公式 和导数的四则运算法则求简单函数的导 数，能求简单的复合函数（仅限于形如 () f ax b +的复合函数）的导数．导数的四则运算C 简单的复合函数（仅限于形如 () f ax b +）的导数）B 导数公式表C 导数在研究函 数中的应用 利用导数研究函数的单调性（其 中多项式函数不超过三次） C 了解函数单调性和导数的关系；能利用导 数研究函数的单调性，会求函数的单调区 间（其中多项式函数一般不超过三次）． 了解函数在某点取得极值的必要条件和 充分条件；会用导数求函数的极大值、极 小值（其中多项式函数一般不超过三次）； 会求闭区间上函数的最大值、最小值（其 中多项式函数一般不超过三次）． 会利用导数解决某些实际问题．函数的极值、最值（其中多项式 函数不超过三次） C 利用导数解决某些实际问题B 定积分与微积 分基本定理 定积分的概念A了解定积分的实际背景，了解定积分的基 本思想，了解定积分的概念． 微积分基本定理A 高考要求 模块框架 导数及其应用
了解微积分基本定理的含义． 一、导数的概念与几何意义 1．函数的平均变化率： 一般地，已知函数()y f x =，0x ，1x 是其定义域内不同的两点，记10x x x ?=-， 10y y y ?=-10()()f x f x =-00()()f x x f x =+?-， 则当0x ?≠时，商00()()f x x f x y x x +?-?= ??称作函数()y f x =在区间00[,]x x x +?（或00[,]x x x +?）的平均变化率． 注：这里x ?，y ?可为正值，也可为负值．但0x ?≠，y ?可以为0． 2．函数的瞬时变化率、函数的导数： 设函数()y f x =在0x 附近有定义，当自变量在0x x =附近改变量为x ?时，函数值相应的改变00()()y f x x f x ?=+?-． 如果当x ?趋近于0时，平均变化率00()() f x x f x y x x +?-?= ??趋近于一个常数l （也就是说平均变化率与某个常数l 的差的绝对值越来越小，可以小于任意小的正数），那么常数l 称为函数()f x 在点0x 的瞬时变化率． “当x ?趋近于零时，00()() f x x f x x +?-?趋近于常数l ”可以用符号“→”记作： “当0x ?→时，00()()f x x f x l x +?-→?”，或记作“000()() lim x f x x f x l x ?→+?-=?”，符号“→”读作 “趋近于”． 函数在0x 的瞬时变化率，通常称为()f x 在0x x =处的导数，并记作0()f x '． 这时又称()f x 在0x x =处是可导的．于是上述变化过程，可以记作 “当0x ?→时，000()()()f x x f x f x x +?-'→?”或“0000()() lim ()x f x x f x f x x ?→+?-'=?”． 3．可导与导函数： 如果()f x 在开区间(,)a b 内每一点都是可导的，则称()f x 在区间(,)a b 可导．这样，对开区间(,)a b 内每个值x ，都对应一个确定的导数()f x '．于是，在区间(,)a b 内，()f x '构成一个新的函数，我们把这 个函数称为函数()y f x =的导函数．记为()f x '或y '（或x y '）． 导函数通常简称为导数．如果不特别指明求某一点的导数，那么求导数指的就是求导函数． 4.导数的几何意义： 设函数()y f x =的图象如图所示．AB 为过点00(,())A x f x 与 00(,())B x x f x x +?+?的一条割线．由此割线的斜率是00()() f x x f x y x x +?-?= ??，可知曲线割线的斜率就是函数的平均变化率．当点B 沿曲线趋近于点A 时，割线AB 绕点A 转动，它的最终位置为直线AD ，这条直线AD 叫做此曲线过点A 的切线，即 000()()lim x f x x f x x ?→+?-=?切线AD 的斜率． 由导数意义可知，曲线()y f x =过点00(,())x f x 的切线的斜率等于0()f x '． 知识内容 x 0x y x O D C B A
第1课时 导数的概念与几何意义 1.理解导数的概念,能利用导数的定义求函数的导数. 2.理解函数在某点处的导数的几何意义是该函数图像在该点的切线的斜率,并利用其几何意义解决有关的问题. 3.掌握应用导数几何意义求解曲线切线方程的方法. 4.在学习过程中感受逼近的思想方法,了解“以直代曲”的数学思想方法. 如图,当点P n (x n ,f (x n ))(n=1,2,3,4)沿着曲线f (x )趋近点P (x 0,f (x 0))时,割线PP n 的变化趋势是什么? 问题1:根据创设的情境,割线PP n 的变化趋势是 . 问题2:导数的概念与求法: 我们将函数f (x )在x=x 0处的瞬时变化率称为f (x )在x=x 0处的导数, lim Δx→0 f (x 0+Δx )?f (x 0)Δx 即有f'(x 0)==,所以求导数的步骤为:lim Δx→0Δy Δx lim Δx→0f (x 0+Δx )?f (x 0)Δx (1)求函数的增量:Δy=f (x 0+Δx )-f (x 0); (2)算比值:=; Δy Δx f (x 0+Δx )?f (x 0)Δx (3)求极限:y'=. | x =x 0lim Δx→0Δy Δx 问题3:函数y=f (x )在x=x 0处的导数,就是曲线y=f (x )在x=x 0处的切线的斜率k=f'(x 0)= 相应的切线方程是: . 问题4:曲线上每一点处的切线斜率反映了什么?直线与曲线有且只有一个公共点时,直
线是曲线的切线吗? 它反映的是函数的 情况,体现的是数形结合,以曲代直的思想. 不一定是,有些直线与曲线相交,但只有一个公共点.相反,有些切线与曲线的交点 . 1.下列说法正确的是( ). A.曲线的切线和曲线有且只有一个交点 B.过曲线上的一点作曲线的切线,这点一定是切点 C.若f'(x0)不存在,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处无切线 D.若y=f(x)在点(x0,f(x0))处有切线,则f'(x0)不一定存在 2.如果曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为x+2y-3=0,那么( ). A.f'(x0)>0 B.f'(x0)<0 C.f'(x0)=0 D.f'(x0)不存在 3.设P0为曲线f(x)=x3+x-2上的点,且曲线在P0处的切线平行于直线y=4x-1,则P0点的坐标 为 . 4.函数y=3x+2上有一点(x0,y0),求该点处的导数f'(x0). 三，课后反思：
导数的概念与计算 一、基础知识 1、几何意义：函数)(x f y =在点x=0x 处的导数是曲线)(x f y =在 ))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-. 2、几种常见函数的导数 (1) 0='C （C 为常数）. (2) 1 )'(-=n n nx x . (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -='. (5) x x 1)(ln = '；e a x x a log 1)(log ='. (6) x x e e =')(; a a a x x ln )(='. 4、导数的运算法则 （1）)(')('))'()((x g x f x g x f ±=± （2）)(')()()('))'()((x g x f x g x f x g x f += （3）) () (')()()(')')()(( 2 x g x g x f x g x f x g x f -=. 备注：准确理解曲线的切线，需注意的两个方面： （1）直线与曲线公共点的个数不是切线的本质特征，若直线与曲线只有一个公共点，则直线不一定是曲线的切线，同样，若直线是曲线的切线，则直线也可能与曲线有两个或两个以上的公共点． （2）曲线未必在其切线的“同侧”，如曲线y ＝x 3 在其过（0,0）点的切线y ＝0的两侧． 二、典型例题 1、求曲线132 3 +-=x x y 在点（1，－1）处的切线方程 2、若直线y=x 是曲线ax x x y +-=233的切线，则a= 3、若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是 . 导数几何意义的应用，需注意以下两点： (1) 当曲线y ＝f （x ）在点（x 0，f （x 0））处的切线垂直于x 轴时，函数在该点处的导数不存在，切线方程是x ＝x 0； (2) 注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线．曲线y ＝f （x ）在点P （x 0，f （x 0））处的切线方程是y －f （x 0）＝f ′（x 0）（x －x 0）；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解． 4、已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf ′(e )＋ln x ，则f(e )＝________ 三、随堂练习 1、（2016年全国II 卷） 已知函数()(1)ln (1)f x x x a x =+--.当 4a =时，求曲线()y f x =在()1,(1)f 处的切线方程 2、（2016年全国III 卷）已知为偶函数，当 时， ，则曲线在点处的切线方程式 _____________________________. 3、[2015·全国卷Ⅰ] 已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图像在点(1，f (1))处的切线过点(2，7)，则 a ＝________． 4、[2015·全国卷Ⅱ] 已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________． 5、[2014·全国新课标卷Ⅰ] 设函数f (x )＝a ln x ＋1－a 2x 2－bx (a ≠1)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为0.求b ； 6、[2014·新课标全国卷Ⅱ] 已知函数f (x )＝x 3－3x 2＋ax ＋2，曲线y ＝f (x )在点(0，2)处的切线与x 轴交点的横坐标为－2.求a ； 7、[2012·课程标准卷] 曲线y ＝x (3ln x ＋1)在点(1，1)处的切线方程为________． 8、[2011·课标全国卷] 已知函数f (x )＝a ln x x ＋1＋b x ，曲线y ＝f (x )在点 (1，f (1))处的切线方程为x ＋2y －3＝0.求a ，b 的值； 导数的综合应用 ()f x 0x ≤1()x f x e x --=-()y f x =(1,2)
导数的概念及其几何意义 一.教学内容解析 （一）内容结构图 1.章内容结构图 2.单元内容结构图 （二）教学内容解析 1.本章内容解析 本章内容——导数及其应用是众多知识的交汇，是研究函数性质，解决不等式、数列、几何等相关问题的重要工具. 为了描述现实世界中的运动变化现象，在数学中引入了函数.在对函数的深入研究中，数学家创立了微积分，这是具有划时代意义的伟大创造，被誉为数学史上的里程碑.微积分的创立与处理四类科学问题直接相关：一是已知物体运动的路程作为时间的函数，求物体在任意时刻的速度与加速度，反之，已知物体的加速度作为时间的函数，求速度与路程；二是求曲线的切线；三是求函数的最大值与最小值；四是求长度、面积、体积和重心等. 导数是微积分的核心内容之一，是现代数学的基本概念，蕴含着微积分的基本思想；它定量地刻画了函数的局部变化，是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等性质的基本方法 .因而也是解决诸如增长率、
膨胀率、效率、密度、加速度等实际问题的基本工具. 2.本单元内容解析 在本单元——导数的概念及其意义中，学生将通过实际情境，经历用平均变化率和瞬时变化率刻画实例的过程，感受数学的极限思想，抽象生成导数的概念，并通过函数图像直观感受导数的几何意义，感受“以直代曲”的极限思想.能够用导数的概念解释生活中的现象，体会用导数的知识研究函数的思想方法.通过具体实例感受导数在研究函数和解决实际问题中的作用，体会导数的意义. 本单元设计了三个分讲，共计4课时，分别是章引言与两个变化率问题（2课时），导数的概念及其几何意义（1课时），导数的应用及导函数（1课时）. 3. 课时内容解析 本课时内容选自人教社A 版《选修2-2》第一章导数及其应用中第一单元导数的概念及其意义中的单元分讲2——导数的概念及其几何意义，用时1课时. 本课时内容是在学生已经学习了分讲1——章引言和两个变化率问题，即：已经研究了物理学中的平均速度和瞬时速度，几何学中的割线斜率和切线斜率的基础上，通过数学抽象，生成导数的概念及其表达.从“数”的角度理解导数概念的本质就是瞬时变化率.从“形”的角度，类比分讲1中曲线2 ()f x x =在点(0,0)处的切线的斜率就是函数2 ()f x x =在0x =处的导数的几何意义，抽象生成一般曲线()y f x =在0x x =处的导数的几何意义. 通过信息技术，直观感受“以直代曲”的极限思想，感受“数”与“形”的相辅相成.由质疑“切线的原始定义”为出发点，类比分讲1中曲线2 ()f x x =在点(0,0)处的切线定义，抽象生成一般曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线定义. 体会微积分的重要思想——用运动变化的观点解决问题.课时中的两个生活实例，意在引导学生用导数的概念解决 “原油的瞬时变化率”问题，用导数的几何意义解决运动员“高台跳水”不同时刻的变化情况，感受数学源于生活，用于生活的价值.培养学生用数学的眼光观察世界，用数学的思维思考世界，用数学的语言表达世界，提升分析问题、解决问题的能力，提升数学抽象和直观想象的数学核心素养. 基于以上分析，确定本课时的教学重点：抽象生成导数的概念，直观感受导数的几何意义，体会“以直代曲”的极限思想. 二.教学目标设置 （一）本章教学目标
《导数的概念及几何意义》教学设计 教材内容分析 本节课的教学内容选自人教社普通高中课程标准实验教科书（ A 版）数学选修2－2第一章第一节的《变化率与导数》，《导数的概念及几何意义》是在学习了函数平均变化率以后，过渡到瞬时变化率，从而得出导数的概念，再从平均变化率的几何意义，迁移至瞬时变化率即导数的几何意义。 导数是微积分的核心概念之一，是从生产技术和自然科学的需要中产生的，它深刻揭示了函数变化的本质，其思想方法和基本理论在在天文、物理、工程技术中有着广泛的应用，而且在日常生活及经济领域也日渐显示出其重要的功能。 在中学数学中，导数具有相当重要的地位和作用。 从横向看，导数在现行高中教材体系中处于一种特殊的地位。它是众多知识的交汇点，是解决函数、不等式、数列、几何等多章节相关问题的重要工具， 它以更高的观点和更简捷的方法对中学数学的许多问题起到以简驭繁的处理。 从纵向看，导数是函数一章学习的延续和深化，也是对极限知识的发展， 同时为后继研究导数的几何意义及应用打下必备的基础， 具有承前启后的重要作用。 学生学情分析 学生在高一年级的物理课程中已经学习了瞬时速度，因此，先通过求物体在某一时刻的平均速度的极限去得出瞬时速度， 再由此抽象出函数在某点的平均变化率的极限就是瞬时变化率的的模型， 并将瞬时变化率定义为导数，这是符合学生认知规律的． 而在第一课时平均变化率的学习中，课本给出了一个思考，观察函数 )(x f y 的图像，平均变化x y 表示什么？这个思考为研究导数的几何意义埋下 了伏笔。因此，在将瞬时变化率定义为导数之后， 立即让学生继续探索导数的几何意义，学生会对导数的几何意义有更为深刻的认识。 教学目标 1、知识与技能目标会从数值逼近、几何直观感知，解析式抽象三个角度认识导数的含义，应用导数的定义求简单函数在某点处的导数， 掌握求导数的基本步骤，初步学会求解 简单函数在一点处的切线方程。 2、过程与方法目标 通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力，通过问题的探究体会逼近、类比、以及用已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法。 3、情感态度与价值观
导数的概念、几何意义及其运算 常见基本初等函数的导数公式和常用导数运算公式 ： +-∈==N n nx x C C n n ,)(;)(01''为常数； ;sin )(cos ;cos )(sin ''x x x x -== a a a e e x x x x ln )(;)(''==； e x x x x a a log 1 )(log ;1)(ln ''== 法则1： )()()]()([' ''x v x u x v x u ±=± 法则2： )()()()()]()(['''x v x u x v x u x v x u += 法则3： )0)(() ()()()()(])()([2' ''≠-=x v x v x v x u x v x u x v x u （一）基础知识回顾： 1.导数的定义：函数)(x f y =在0x 处的瞬时变化率 x x f x x f x y o x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 000称为函数)(x f y =在0x x =处的导数，记作)(0/ x f 或0/x x y =，即x x f x x f x f x ?-?+=→?) ()(lim )(0000/ 如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈， 都对应着一个确定的导数)(/ x f ，从而构成了一个新的函数)(/ x f 。称这个函数)(/ x f 为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数，也可记作/ y ，即)(/ x f ＝/ y ＝ x x f x x f x ?-?+→?) ()(lim 0 导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求函数 )(x f y =在0x 处的导数0 /x x y =，就是导函数)(/ x f 在0x 处的函数值，即0 / x x y =＝ )(0/x f 。 2. 由导数的定义求函数)(x f y =的导数的一般方法是: (1).求函数的改变量 )()(f x f x x f -?+=?; （2）.求平均变化率 x x f x x f x ?-?+= ??)()(f ; （3）.取极限，得导数/ y ＝x x ??→?f lim 0。 3.导数的几何意义：函数)(x f y =在0x 处的导数是曲线)(x f y =上点()(,00x f x )处的切线的斜率。 基础练习： 1.曲线324y x x =-+在点(13)， 处的切线的倾斜角为（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．120° 2.设曲线2ax y =在点（1，a ）处的切线与直线062=--y x 平行，则=a （ ） A ．1 B ． 1 2 C ．1 2 - D ．1 -
§57 导数的概念及导数的几何意义⑴ 【考点及要求】了解导数的概念，理解导数的几何意义，通过函数图象能直观地理解导数的几何意义。 【基础知识】 1．一般地，函数)(x f 在区间],[21x x 上的平均变化率为，平均变化率反映了函数在某个区间上平均变化的趋势（变化快慢），或说在某个区间上曲线陡峭的程度； 2．不妨设))(,()),(,(0011x f x Q x f x P ，则割线PQ 的斜率为， 设x 1－x 0=△x ，则x 1 =△x ＋x 0，∴=PQ k ，当点P 沿着曲线向点Q 无限靠近时，割线PQ 的斜率就会无限逼近点Q 处切线斜率，即当△x 无限趋近于0时，x x f x x f k PQ ?-?+=) ()(00无 限趋近点Q 处切线。 3．曲线上任一点(x 0，f(x 0))切线斜率的求法：x x f x x f k ?-?+= ) ()(00，当 △x 无限趋近于0时，k 值即为(x 0，f(x 0))处切线的，记为． 4．瞬时速度与瞬时加速度：位移的平均变化率： t t s t t s ?-?+) ()(00，称为；当无限趋近于0 时， t t s t t s ?-?+) ()(00无限趋近于一个常数，这个常数称为t=t 0时的；速度的平均变化率： t t v t t v ?-?+)()(00，当无限趋近于0 时，t t v t t v ?-?+) ()(00无限趋近于一个常数，这个常数 称为t=t 0时的． 【基础练习】 1．已知函数2()f x ax =在区间[1,2]上的平均变化率为,则()f x 在区间[-2,-1]上的平均变化率为 ． 2．A 、B 两船从同一码头同时出发,A 船向北,B 船向东,若A 船的速度为30km/h,B 船的速度为40km/h,设时间为t,则在区间[t 1,t 2]上,A,B 两船间距离变化的平均速度为____ __ _ 【典型例题讲练】 例1．已知函数f(x)=2x+1, ⑴分别计算在区间[-3，-1]，[0，5]上函数f(x)的平均变化率； ⑵.探求一次函数y=kx+b 在区间[m ，n]上的平均变化率的特点； 练习：已知函数f(x)=x 2+2x ，分别计算f(x)在下列区间上的平均变化率; ⑴[1，2]； ⑵[3，4]； ⑶[－1，1]； ⑷[2，3] 【课堂检测】 1．求函数()y f x == 在区间[1,1+△x]内的平均变化率
导数的几何意义教学设计（教案） 一、【教学目标】 1.知识与技能目标： （1）使学生掌握函数)(x f 在0x x =处的导数()0/ x f 的几何意义就是函数)(x f 的 图像在 0x x =处的切线的斜率。（数形结合），即： ()()x x f x x f x f x ?-?+=→?) (lim 000 0/＝切线的斜率 (2)会利用导数的几何意义解释实际生活问题，体会“以直代曲”的数学思想方法。 2.过程与方法：通过让学生在动手实践中探索、观察、反思、讨论、总结，发现问题，解决问题，从而达到培养学生的学习能力，思维能力，应用能力和创新能力的目的。 3.情感态度与价值观：导数的几何意义能够很好地帮助理解导数的定义，达到数与形的结合；同时又是知识在几何学，物理学方面的迁移应用。培养学生学数学，用数学的意识。 【教学手段】采用幻灯片，实物投影等多媒体手段，增大教学容量与直观性，有效提高教学效率和教学质量。 【课型】探究课 【教学重点与难点】 重点：导数的几何意义及“数形结合，以直代曲”的思想方法。 难点：发现、理解及应用导数的几何意义 二、【教学过程】 （一） 课题引入，类比探讨： 让学生回忆导数的概念及其本质。（承上启下，自然过渡）。 师：导数的本质是什么？写出它的表达式。（一位学生板书），其他学生在“学案”中写： 导数)(0/x f 的本质是函数)(x f 在0x x =处的瞬时变化率．．．．．，即： ()()x x f x x f x f x ?-?+=→?) (lim 000 0/ （注记：教师不能代替学生的思维活动，学生将大脑中已有的经验、认识转换成数学符号，有利于学生思维能力的有效提高，为学生“发现”,感知导数的几何意 义奠定基础） 师：导数的本质仅是从代数（数）的角度来诠释导数，若从图形（形）的角
1 导数的概念和几何意义同步练习题 一、选择题 1．若幂函数()y f x =的图像经过点11(,)42 A ，则它在A 点处的切线方程是（ ） A. 4410x y ++= B. 4410x y -+= C ．20x y -= D. 20x y += 【答案】B 【解析】试题分析：设()a f x x =，把11(,)42A 代入，得1142a =， 得1 2 a =， 所以1 2()f x x = ()f x '= ，1 ()14f '=，所以所求的切线方程为11 24 y x - =-即4410x y -+=，选B.考点：幂函数、曲线的切线. 2．函数()x e x f x cos =的图像在点()()0,0f 处的切线的倾斜角为( ) A 、 4π B 、0 C 、4 3π D 、1 【答案】A 【解析】试题分析：由)sin (cos )('x x e x f x -=，则在点()()0,0f 处的切线的斜率1)0('==f k ， 1.利用导数求切线的斜率； 2.直线斜率与倾斜角的关系 3．曲线x y e =在点2 (2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） A.2 e B.2 2e C.2 4e D.22 e 【答案】D 【解析】试题分析：∵点2 (2)e ，在曲线上，∴切线的斜率'22 2 x x x k y e e --===， ∴切线的方程为22(2)y e e x -=-，即22 0e x y e --=，与两坐标轴的交点坐标为2 (0,)e -，(1,0)， ∴22 1122 e S e =??=.考点：1.利用导数求切线方程；2.三角形面积公式. 4．函数2 ()f x x =在点(2,(2))f 处的切线方程为( ) A ．44y x =- B ．44y x =+ C ．42y x =+ D ．4y = 【答案】A 【解析】 试题分析：由x x f 2)(='得切线的斜率为4)2(='f ，又4)2(=f ，所以切线方程为)2(44-=-x y ，即44-=x y .也可以直接验证得到。考点：导数求法及几何意义 5．曲线e x y =在点A 处的切线与直线30x y -+=平行，则点A 的坐标为( ) （A ）() 1 1,e -- （B ）()0,1 （C ）()1,e （D ）()0,2
导数的概念及其几何意义同步练习题 一、选择题 1. 21y x =+在(1,2)内的平均变化率为（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 2. 质点运动动规律23s t =+，则在时间(3,3)t +?中，相应的平均速度为（ ） A ．6t +? B ．96t t +?+? C ．3t +? D ．9t +? 3. 函数y =f (x )的自变量x 由x 0改变到x 0+⊿x 时，函数值的改变量⊿y 为（ ） A.f (x 0+⊿x ) B.f (x 0)+⊿x C. f (x 0)?⊿x D. f (x 0+⊿x )- f (x 0) 4.已知函数y =f (x )=2x 2-1的图像上一点（1,1）及邻近一点（1+⊿x ，1+⊿y ），则 等于（ ） A.4 B.4x C.4+2⊿x D.4+2(⊿x ) 2 5. 一质点运动的方程为s ＝5－3t 2，则在时间[1，1＋Δt ]内相应的平均速度为( ) A. 3Δt ＋6 B. －3Δt ＋6 C. 3Δt －6 D. －3Δt －6 6.若函数y =f (x )在x 0处可导，则000()()lim h f x h f x h ?+-的值（ ） A.与x 0，h 有关 B.仅与x 0有关，而与h 无关 C. 仅与h 有关，而与x 0无关 D. 与x 0，h 都无关 7. 函数y ＝x ＋1x 在x ＝1处的导数是（ ） A.2 B.1 C.0 D.-1 8.设函数f (x )=，则()()lim x a f x f a x a ?--等于( ) A.1a - B.2a C.21a - D.21a 9. 下列各式中正确的是( ) A. y ′|x ＝x 0＝li m Δx →0 f (x －Δx )－f (x 0)Δx B. y ′|x ＝x 0＝li m Δx →0 f (x 0＋Δx )＋f (x 0)Δx C. f ′(x 0)＝li m Δx →0 f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx D. f ′(x )＝li m Δx →0 f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx 10. 设函数f (x )可导，则lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)3Δx 等于( ) A. f ′(1) B. 不存在 C. 13 f ′(1) D. 以上都不对 11. 设函数f (x )＝ax ＋4，若f ′(1)＝2，则a 等于( ) A. 2 B. －2 C. 3 D. 不确定 12. 已知物体的运动方程为s ＝t 2＋3t (t 是时间，s 是位移)，则物体在时刻t ＝2时的速度为( ) A. 194 B. 174 C. 154 D. 134 13.曲线y=2x 2+1在点P （-1,3）处的切线方程是（ ） A.y =-4x -1 B.y =-4x -7 C.y =4x -1 D.y =4x -7 14.过点（-1,2）且与曲线y =3x 2-4x +2在点M （1,1）处的切线平行的直线方程是（ ） A.y =2x -1 B.y =2x +1 C.y =2x +4 D .y =2x -4 15. 下面四个命题： ①若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处没有切线； ②若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处有切线，则f ′(x 0)必存在； ③若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率不存在； ④曲线的切线和曲线有且只有一个公共点． 其中，真命题个数是( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 16. 函数y ＝f (x )的导函数f ′(x 0)图像如图所示，则在y ＝f (x )的图像上A 、B 的对应点附近，有( )