平面三角形单元有限元程序设计

第八章 平面问题的有限元分析及三角形单元的应用第一节 概述分析弹性力学平面问题时，最简单的单元式由三个结点组成的三角形单元。

当用以分析平面应力问题时，可将其视为三角板；当用以分析平面应变问题时，则可式为三棱柱。

各单元在结点处为铰结。

图8-1所示位移悬臂梁离散为三角形单元的组合体以矩阵形式列出弹性力学平面问题的基本量和基本方程。

谈形体所受体力分量可表示为[]Tyxy x p p p p p =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡= (8-1)所受面力分量可表示为[]Tyxy x p p p p p =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡= （8-2）体内任一点应力分量可表示为[]T xy y x τδδδ= （8-3）任一点的应变分量可表示为[]T xy y x γεεε= （8-4）任一点的位移分量可表示为[]Tv u =δ （8-5）弹性力学平面问题的几何方程的矩阵表达式为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂+∂∂∂∂∂∂=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=x u y v y v x u xy y x εεεε （8-6） 平面应力问题的物理方程的矩阵表达式为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡xy y x xy y x E γεεμμμμτσσ2100010112 （8-7）或简写成为 εσD = （8-8）式中⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=2100010112μμμμE D （8-9）称为弹性矩阵。

平面应变问题的物理方程也可写成式（8-8），但须将式（8-9）中的E 换成21μ-E，μ换成21μμ-，因此得出⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----+-=)1(22100011011)21)(1()1(22μμμμμμμμμE D （8-10）平衡微分方程及边界条件也可以用矩阵表示，但弹性力学有限元位移法中，通常用虚功方程代替平衡微分方程和应力边界条件。

虚功方程的矩阵表达式为⎰⎰⎰⎰⎰***=+tdxdy tds p f ptdxdy f T T σε （8-11）式中：[]Tv u f ***=，表示虚位移；[]Txyx x ****=γεεε，表示与虚位移相对应的虚应变。

附录：平面问题三角形单元源程序******************************************************************* * ANALYSIS PROGTAM OF FINITE ELEMENT METHOD * * FOR PLANE STRESS/STRAIN OF TRIANGULAR ELEMENT * * ----- FEMT3.FOR ----- * *------------------------------------------------------------- * * Subroutines: 1-SDATA, 2-STE, 3-ATE, 4-DTE, 5-BTE, 6-STIFF * * 7-EQUPE, 8-INSCD, 9-BGSMT, 10-SIGME * ******************************************************************* DIMENSION LND(50,3),X(100),Y(100),JR(20,3),PJ(20,3),P(200) REAL KS(200,100)OPEN(5,FILE='FEMT3.DAT')OPEN(6,FILE='FEMT3.OUT',STATUS='NEW')READ(5,*) NJ,NE,NS,NPJ,IPS(结点、单元、支承、荷载、类型)WRITE(6,*)' FINITE ELEMENT ANALYSIS IN PLANE PROBLEM'WRITE(6,*)' SOURCE DATA OUTPUT'WRITE(6,20) NJ,NE,NS,NPJ,IPS20 FORMAT(4X,'NJ',3X,'NE',3X,'NS',3X,'NPJ',2X,'IPS'/1X,5I5)IF(IPS.EQ.0) WRITE(6,*)' PLANE STRESS PROBLEM'IF(IPS.EQ.1) WRITE(6,*)' PLANE STRAIN PROBLEM'CALL SDATA(NJ,NE,NS,NW,NPJ,IPS,E,PR,T,V,LND,X,Y,JR,PJ)NJ2=2*NJWRITE(6,50) NJ250 FORMAT(/1X,'DEGREES OF FREEDOM=',I5)WRITE(6,60) NW60 FORMAT(1X,'BAND WIDTH=',I5)CALL STIFF(NJ,NE,NJ2,NW,LND,X,Y,E,PR,T,KS)(总刚6)CALL EQUPE(NJ,NE,NPJ,NJ2,T,V,LND,X,Y,PJ,P)({P}7)CALL INSCD(NS,NW,NJ2,JR,KS,P)(引入支承条件8)CALL BGSMT(NJ,NJ2,NW,KS,P)（解方程9）CALL SIGME(NE,NJ,NJ2,E,PR,LND,X,Y,P)（求应力10）CLOSE(5)CLOSE(6)END*--------------------------------------------------------C SUBPROGRAM-1C INPUT STRUCTURAL DATASUBROUTINE SDATA(NJ,NE,NS,NW,NPJ,IPS,E,PR,* T,V,LND,X,Y,JR,PJ)DIMENSION LND(NE,3),X(NJ),Y(NJ),JR(NS,3),PJ(NPJ,3)READ(5,*) E,PR,T,V(弹性模量、泊松比、厚度、容重)WRITE(6,10) E,PR,T,V10 FORMAT(/6X,'E',10X,'PR',9X,'T',9X,'V'/,4F10.2)READ(5,*)((LND(I,J),J=1,3),I=1,NE)（结点编码）WRITE(6,20)20 FORMAT(/1X,'ELEMENT INFORMATION'/3X,'ELEM',3X,* 'I J K'/)WRITE(6,30)(I,(LND(I,J),J=1,3),I=1,NE)30 FORMAT(1X,4I5)READ(5,*)(X(I),Y(I),I=1,NJ)（结点坐标）WRITE(6,40)40 FORMAT(/1X,'COORDINATES OF NODES'/3X,'NODES',* 8X,'X',13X,'Y')WRITE(6,50)(I,X(I),Y(I),I=1,NJ)50 FORMAT(1X,I5,2E15.6)READ(5,*)((JR(I,J),J=1,3),I=1,NS)（约束信息）WRITE(6,60)60 FORMAT(/1X,'CONSTRAINED NODES'/3X,'NODE',3X,'X',4X,'Y') WRITE(6,70)((JR(I,J),J=1,3),I=1,NS)70 FORMAT(1X,3I5)READ(5,*)((PJ(I,J),J=1,3),I=1,NPJ)（荷载信息）WRITE(6,80)80 FORMAT(/1X,'LOAD CASES'/3X,'NODE',8X,'X',13X,'Y')WRITE(6,90)((PJ(I,J),J=1,3),I=1,NPJ)90 FORMAT(1X,F5.0,2E15.6)100 NW=0（半带宽）DO 110 IE=1,NEDO 110 I=1,3DO 110 J=1,3IW=IABS(LND(IE,I)-LND(IE,J))IF(NW.LT.IW) THENNW=IWENDIF110 CONTINUENW=(NW+1)*2IF(IPS.NE.0) THENE=E/(1.0-PR*PR)PR=PR/(1.0-PR)ENDIFEND*---------------------------------------------------------C SUBPROGRAM-2C CALCULATE ELEMENT STIFFNESS MATRIXSUBROUTINE STE(IE,NJ,NE,LND,X,Y,E,PR,T,KE)DIMENSION LND(NE,3),X(NJ),Y(NJ),B(3,6),D(3,3)REAL KE(6,6)CALL ATE(IE,NJ,NE,LND,X,Y,AE)CALL DTE(E,PR,D)CALL BTE(IE,NJ,NE,LND,X,Y,AE,B)DO 10 I=1,6DO 10 J=1,6KE(I,J)=0.DO 10 K=1,3DO 10 K1=1,310 KE(I,J)=KE(I,J)+B(K,I)*D(K,K1)*B(K1,J)C=AE*TDO 30 I=1,6DO 30 J=1,630 KE(I,J)=KE(I,J)*CEND*------------------------------------------------ C SUBPROGRAM-3C CALCULATE ELEMENT AREASUBROUTINE ATE(IE,NJ,NE,LND,X,Y,AE)DIMENSION LND(NE,3),X(NJ),Y(NJ)I=LND(IE,1)J=LND(IE,2)K=LND(IE,3)XIJ=X(J)-X(I)YIJ=Y(J)-Y(I)XIK=X(K)-X(I)YIK=Y(K)-Y(I)AE=.5*(XIJ*YIK-XIK*YIJ)END*----------------------------------------------C SUBPROGRAM-4C CALCULATE ELASTICITY MATRIXSUBROUTINE DTE(E,PR,D)DIMENSION D(3,3)DO 10 I=1,3DO 10 J=1,310 D(I,J)=0.D(1,1)=E/(1.-PR*PR)D(1,2)=E*PR/(1.-PR*PR)D(2,1)=D(1,2)D(2,2)=D(1,1)D(3,3)=.5*E/(1.+PR)END*------------------------------------------------ C SUBPROGRAM-5C CALCULATE MATRIX [B]SUBROUTINE BTE(IE,NJ,NE,LND,X,Y,AE,B)DIMENSION LND(NE,3),X(NJ),Y(NJ),B(3,6)I=LND(IE,1)J=LND(IE,2)K=LND(IE,3)DO 10 II=1,3DO 10 JJ=1,610 B(II,JJ)=0.B(1,1)=Y(J)-Y(K)B(1,3)=Y(K)-Y(I)B(1,5)=Y(I)-Y(J)B(2,2)=X(K)-X(J)B(2,4)=X(I)-X(K)B(2,6)=X(J)-X(I)B(3,1)=B(2,2)B(3,2)=B(1,1)B(3,3)=B(2,4)B(3,4)=B(1,3)B(3,5)=B(2,6)B(3,6)=B(1,5)DO 20 I1=1,3DO 20 J1=1,620 B(I1,J1)=.5/AE*B(I1,J1)END*------------------------------------------------------- C SUBPROGRAM-6C CALCULATE GLOBAL STIFFNESS MATRIXSUBROUTINE STIFF(NJ,NE,NJ2,NW,LND,X,Y,E,PR,T,KS) DIMENSION LND(NE,3),X(NJ),Y(NJ)REAL KS(NJ2,NW),KE(6,6)DO 5 I=1,NJ2DO 5 J=1,NW5 KS(I,J)=0.DO 10 IE=1,NECALL STE(IE,NJ,NE,LND,X,Y,E,PR,T,KE)DO 10 I=1,3IZ=LND(IE,I)DO 10 II=1,2IH =2*(I -1)+IIIDH=2*(IZ-1)+IIDO 10 J=1,3JZ=LND(IE,J)DO 10 JJ=1,2L =2*(J -1)+JJIL=2*(JZ-1)+JJIF(IL.GE.IDH) THENIDL=IL-IDH+1KS(IDH,IDL)=KS(IDH,IDL)+KE(IH,L)ENDIF10 CONTINUEEND*-------------------------------------------------------- C SUBPROGRAM-7C CALCULATE NODAL LOAD VECTORSUBROUTINE EQUPE(NJ,NE,NPJ,NJ2,T,V,LND,X,Y,PJ,P) DIMENSION LND(NE,3),X(NJ),Y(NJ),PJ(NPJ,3),P(NJ2) DO 10 I=1,NJ210 P(I)=0.DO 20 I=1,NPJII=PJ(I,1)P(2*II-1)=PJ(I,2)20 P(2*II)=PJ(I,3)30 IF(V.EQ.0.) GOTO 50DO 40 IE=1,NECALL ATE(IE,NJ,NE,LND,X,Y,AE)PE=-V*AE*T/3.DO 40 I=1,3II=LND(IE,I)40 P(2*II)=P(2*II)+PE50 RETURNEND*---------------------------------------------C SUBPROGRAM-8C INTRODUCE BOUNDARY CONDITIONSUBROUTINE INSCD(NS,NW,NJ2,JR,KS,P)DIMENSION P(NJ2),JR(NS,3)REAL KS(NJ2,NW)DO 30 I=1,NSIR=JR(I,1)DO 30 J=2,3IF(JR(I,J).EQ.0) GOTO 30II=2*IR+J-3KS(II,1)=1.DO 10 JJ=2,NW10 KS(II,JJ)=0.IF(II.GT.NW) JO=NWIF(II.LE.NW) JO=IIDO 20 JJ=2,JO20 KS(II-JJ+1,JJ)=0.P(II)=0.30 CONTINUEEND*-------------------------------------------C SUBPROGRAM-9C SOLVE EQUATIONS BY GS METHODSUBROUTINE BGSMT(NJ,NJ2,NW,KS,P)DIMENSION P(NJ2)REAL KS(NJ2,NW)NJ1=NJ2-1DO 20 K=1,NJ1IF(NJ2.GT.K+NW-1) IM=K+NW-1IF(NJ2.LE.K+NW-1) IM=NJ2K1=K+1DO 20 I=K1,IML=I-K+1C=KS(K,L)/KS(K,1)IW=NW-L+1DO 10 J=1,IWM=J+I-K10 KS(I,J)=KS(I,J)-C*KS(K,M)20 P(I)=P(I)-C*P(K)P(NJ2)=P(NJ2)/KS(NJ2,1)DO 40 I1=1,NJ1I=NJ2-I1IF(NW.GT.NJ2-I+1) JO=NJ2-I+1IF(NW.LE.NJ2-I+1) JO=NWDO 30 J=2,JOK=J+I-130 P(I)=P(I)-KS(I,J)*P(K)40 P(I)=P(I)/KS(I,1)WRITE(6,50)50 FORMAT(/1X,'NODAL DISPLACEMENTS'/3X,* 'NODE',5X,'X-DISP.',8X,'Y-DISP.')DO 60 I=1,NJ60 WRITE(6,70) I,P(2*I-1),P(2*I)70 FORMAT(1X,I5,2E15.6)END*---------------------------------------------------C SUBPROGRAM-10C CALCULATE ELEMENT STRESS MATRIXSUBROUTINE SIGME(NE,NJ,NJ2,E,PR,LND,X,Y,P)DIMENSION LND(NE,3),X(NJ),Y(NJ),D(3,3),B(3,6), * S(3,6),ST(3),P(NJ2),DE(6)WRITE(6,*)WRITE(6,*)' ELEMENT STRESSES'CALL DTE(E,PR,D)DO 50 IE=1,NECALL ATE(IE,NJ,NE,LND,X,Y,AE)CALL BTE(IE,NJ,NE,LND,X,Y,AE,B)DO 10 I=1,3DO 10 J=1,6S(I,J)=0.DO 10 K=1,310 S(I,J)=S(I,J)+D(I,K)*B(K,J)DO 20 I=1,3DO 20 J=1,2IH=2*(I-1)+JIW=2*(LND(IE,I)-1)+J20 DE(IH)=P(IW)DO 30 I=1,3ST(I)=0.DO 30 J=1,630 ST(I)=ST(I)+S(I,J)*DE(J)SGX=ST(1)SGY=ST(2)TXY=ST(3)ASG=(SGX+SGY)*.5RSG=SQRT(.25*(SGX-SGY)**2+TXY*TXY)SGMA=ASG+RSGSGMI=ASG-RSGIF(SGY.EQ.SGMI) CETA=0.IF(SGY.NE.SGMI) CETA=90.-57.29578*ATAN* (TXY/(SGY-SGMI))50 WRITE(6,60) IE,SGX,SGY,TXY,SGMA,SGMI,CETA60 FORMAT(1X,'ELEMENT NO.=',I4/2X,'SIGX=',E10.4, * 2X,'SIGY=',E10.4,2X,'TXY =',E10.4/2X,'SGMA=', * E10.4,2X,'SGMI=',E10.4,2X,'CETA=',E10.4)END。

matlab有限元三角形单元编程
在MATLAB中进行有限元分析，可以使用其自带的有限元分析工具箱（FEATool）进行编程。

以下是一个简单的例子，演示如何使用三角形单元进行有限元分析：
1. 打开MATLAB，进入FEATool环境。

2. 创建新的有限元模型。

选择“Model”菜单下的“New Model”选项，进入“Model Builder”界面。

3. 在“Model Builder”界面中，选择“2D Triangle”单元类型，并在绘图区域中绘制出三角形网格。

4. 在“Model Builder”界面中，设置材料属性、边界条件和载荷等参数。

5. 运行有限元分析。

选择“Model”菜单下的“Solve”选项，进行有限元求解。

6. 查看结果。

选择“Model”菜单下的“Results”选项，可以查看位移、应力、应变等结果。

以上是一个简单的例子，演示了如何使用三角形单元进行有限元分析。

在实际应用中，还需要根据具体问题进行详细的建模和计算。

matlab有限元三角形单元程序以下是一个简单的 MATLAB 有限元三角形单元程序的示例：```matlab% 定义模型参数E = 1000; % 弹性模量nu = 0.3; % 泊松比thickness = 1; % 板的厚度% 定义节点坐标nodes = [0, 0; 1, 0; 1, 1; 0, 1; 0.5, 0.5];% 定义单元连接关系connectivity = [1, 2, 5; 2, 3, 5; 3, 4, 5; 4, 1, 5];% 计算总节点数和总单元数numNodes = size(nodes, 1);numElements = size(connectivity, 1);% 初始化全局刚度矩阵和载荷向量K = zeros(numNodes);F = zeros(numNodes, 1);% 循环遍历每个单元for i = 1:numElements% 查找当前单元的节点编号nodesIndex = connectivity(i, :);% 根据节点编号从全局坐标矩阵中取出节点坐标coordinates = nodes(nodesIndex, :);% 计算当前单元的局部刚度矩阵localK = calculateLocalStiffness(E, nu, thickness, coordinates);% 组装局部刚度矩阵到全局刚度矩阵中K(nodesIndex, nodesIndex) = K(nodesIndex, nodesIndex) + localK;% 计算当前单元的局部载荷向量localF = calculateLocalLoad(thickness, coordinates);% 组装局部载荷向量到全局载荷向量中F(nodesIndex) = F(nodesIndex) + localF;end% 边界条件：节点1固定K(1, :) = 0;K(1, 1) = 1;F(1) = 0;% 解线性方程组U = K \ F;% 输出位移结果disp('节点位移：');disp(U);% 计算应力结果stress = calculateStress(E, nu, thickness, nodes, connectivity, U);% 输出应力结果disp('节点应力：');disp(stress);% 计算局部刚度矩阵的函数function localK = calculateLocalStiffness(E, nu, thickness, coordinates)% 计算单元的雅可比矩阵J = (1/2) * [coordinates(2,1)-coordinates(1,1), coordinates(3,1)-coordinates(1,1);coordinates(2,2)-coordinates(1,2), coordinates(3,2)-coordinates(1,2)];% 计算雅可比矩阵的逆矩阵invJ = inv(J);% 计算单元刚度矩阵B = invJ * [-1, 1, 0; -1, 0, 1];D = (E/(1-nu^2)) * [1, nu, 0; nu, 1, 0; 0, 0, (1-nu)/2]; localK = thickness * abs(det(J)) * (B' * D * B);end% 计算局部载荷向量的函数function localF = calculateLocalLoad(thickness, coordinates) localF = zeros(3, 1);midPoint = [sum(coordinates(:,1))/3,sum(coordinates(:,2))/3];localF(3) = thickness * 1 * det([coordinates(1,:); coordinates(2,:); midPoint]);end% 计算各节点应力的函数function stress = calculateStress(E, nu, thickness, nodes, connectivity, U)stress = zeros(size(nodes, 1), 3);for i = 1:size(connectivity, 1)nodesIndex = connectivity(i, :);coordinates = nodes(nodesIndex, :);Ke = calculateLocalStiffness(E, nu, thickness, coordinates);Ue = U(nodesIndex);stress(nodesIndex, :) = stress(nodesIndex, :) + (Ke * Ue)';endstress = stress / thickness;end```这个程序实现了一个简单的平面三角形单元有限元分析，包括定义节点坐标和单元连接关系、计算全局刚度矩阵和载荷向量、施加边界条件、解线性方程组、计算节点位移和应力等。

三角形常应变单元程序的编制与使用有限元法是求解微分方程边值问题的一种通用数值方法，该方法是一种基于变分法（或变分里兹法）而发展起来的求解微分方程的数值计算方法，以计算机为手段，采用分片近似，进而逼近整体的研究思想求解物理问题。

有限元分析的基本步骤可归纳为三大步：结构离散、单元分析和整体分析。

对于平面问题，结构离散常用的网格形状有三角形、矩形、任意四边形，以三个顶点为节点的三角形单元是最简单的平面单元，它较矩形或四边形对曲边边界有更好的适应性，而矩形或四边形单元较三节点三角形有更高的计算精度。

Matlab语言是进行矩阵运算的强大工具，因此，用Matlab语言编写有限元中平面问题的程序有优越性。

本章将详细介绍如何利用Matlab语言编制三角形常应变单元的计算程序，程序流程图见图1。

有限元法中三节点三角形分析结构的步骤如下：1）整理原始数据，如材料性质、荷载条件、约束条件等，离散结构并进行单元编码、结点编码、结点位移编码、选取坐标系。

2）单元分析，建立单元刚度矩阵。

3）整体分析，建立总刚矩阵。

4）建立整体结构的等效节点荷载和总荷载矩阵5）边界条件处理。

6）解方程，求出节点位移。

7）求出各单元的单元应力。

8）计算结果整理。

计算结果整理包括位移和应力两个方面；位移计算结果一般不需要特别的处理，利用计算出的节点位移分量，就可画出结构任意方向的位移云图；而应力解的误差表现在单元内部不满足平衡方程，单元与单元边界处应力一般不连续，在边界上应力解一般与力的边界条件不相符合。

图1 程序流程图1.1 程序说明%******************************************************************* % 三角形常应变单元求解结构主程序%******************************************************************* ●功能：运用有限元法中三角形常应变单元解平面问题的计算主程序。