不等式与不等式组知识点归纳
一、不等式的概念
1．不等式：用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。
2．不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解。
3．不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。
4．解不等式：求不等式的解集的过程，叫做解不等式。
5．用数轴表示不等式的解集。
二、不等式的基本性质
1．不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。
2．不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
3．不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 说明：
①在一元一次不等式中，不像等式那样，等号是不变的，是随着加或乘的运算改变。
②如果不等式乘以0，那么不等号改为等号所以在题目中，要求出乘以的数，那么就要看看题中是否出现一元一次不等式，如果出现了，那么不等式乘以的数就不等为0，否则不等式不成立。
例:
1．已知不等式3x-a ≤0的正整数解恰是1，2，3，则a 的取值范围是 。
2．已知关于x 的不等式组???-≥->-1
250x a x 无解，则a 的取值范围是 。
3．不等式组?????>+≤+022
1042x x 的整数解为 。 4．如果关于x 的不等式（a-1）x 5．已知关于x 的不等式组?????<++>+0 1234a x x x 的解集为2 是 。 6．当x 时，代数式52+x 的值不大于零 7.若x <１，则22+-x ０（用“>”“=”或“”号填空） 8.不等式x 27->１，的正整数解是 9. 不等式x ->10-a 的解集为x <３，则a 10.若a >b >c ，则不等式组?????c x b x a x 的解集是 11.若不等式组???--3 212 b x a x 的解集是－１ 13.一罐饮料净重约为３００g ，罐上注有“蛋白质含量6.0 ”其中蛋白质 的含量为 _____ g 14.若不等式组的解集为x >３，则a 的取范围是 三、一元一次不等式（重点） 1．一元一次不等式的概念：一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。 2．解一元一次不等式的一般步骤： （1）去分母 2）去括号 （3移项 （4）合并同类项 （5）将x 项的系数化为 1 例： 一、判断题（每题1分，共6分） 1、a ＞b ，得a ＋m ＞b ＋m （ ） 2、由a ＞3，得a ＞2 3 （ ） 3、x = 2是不等式x ＋3＞4的解 （ ） 4、由－21＞－1，得－2 a ＞－a （ ） 5、如果a ＞ b ， c ＜0，则ac2＞bc2 （ ） 6、如果a ＜b ＜0，则 b a ＜1 （ ） 二、填空题（每题2分，共34分） 1、若a ＜b ，用“＞”号或“＜”号填空：a －5 b －5； －2a －2 b ；－1＋2a －1＋2b ；6－a 6－b ； 2、x 与3的和不小于－6，用不等式表示为 ； 3、当x 时，代数式2x －3的值是正数； 4、代数式41＋2x 的不大于8－2 x 的值，那么x 的正整数解是 ； 5、如果x －7＜－5，则x ；如果－2 x ＞0，那么x ； 6、不等式ax ＞b 的解集是x ＜a b ，则a 的取值范围是 ； 7、一个长方形的长为x 米，宽为50米，如果它的周长不小于280米，那么x 应满足的不等式为 ； 8、点A （－5，y1）、B （－2，y2）都在直线y = －2x 上，则y1与y2的关系是 ； 9、如果一次函数y =（2－m ）x ＋m 的图象经过第一、二、四象限，那么m 的取值范围是 ； 四、一元一次不等式组 （难点） 1、一元一次不等式组的概念： 几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。 2、几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集。 3、求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。 4、当任何数x 都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集。 5、一元一次不等式组的解法 （1）分别求出不等式组中各个不等式的解集 （2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。 例： 一、选择题 1．下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（） A． 2, 3 x x > ? ? <-? B． 10, 20 x y +> ? ? -< ? C． 320, (2)(3)0 x x x -> ? ? -+> ? D． 320, 1 1 x x x -> ? ? ? +> ?? 2．下列说法正确的是（） A．不等式组 3, 5 x x > ? ? > ? 的解集是5 2, 3 x x >- ? ? <- ? 的解集是－3 C． 2, 2 x x ≥ ? ? ≤ ? 的解集是x=2 D． 3, 3 x x <- ? ? >- ? 的解集是x≠3 3．不等式组 2 , 3 482 x x x ? >- ? ? ?-≤- ? 的最小整数解为（） A．－1 B．0 C．1 D．4 4．在平面直角坐标系中，点P（2x－6，x－5）在第四象限，则x的取值范围是（） A．3 5．不等式组 20, 30 x x -> ? ? -< ? 的解集是（） A．x>2 B．x<3 C．2 6．若不等式组 2, x x m < ? ? > ? 有解，则m的取值范围是______． 7．已知三角形三边的长分别为2，3和a，则a的取值范围是_____． 8．将一筐橘子分给若干个儿童，如果每人分4个橘子，则剩下9个橘子；?如果每人分6个橘子，则最后一个儿童分得的橘子数将少于3个，由以上可推出，共有_____个儿童，分_____个橘子． 9．若不等式组 2, 20 x a b x -> ? ? -> ? 的解集是－1 三、解答题 10．解不等式组 2(2)4,(1) 1 0(2) 32 x x x x -≤- ? ? + ? -< ?? 11．若不等式组 1, 21 x m x m <+ ? ? >- ? 无解，求m的取值范围． 12．为节约用电，某学校于本学期初制定了详细的用电计划．?如果实际每天比计划多用2度电，那么本学期用电量将会超过2530度；如果实际每天比计划节约了2度电，那么本学期用电量将会不超过2200度．若本学期的在校时间按110天计算，那么学校每天计划用电量在什么范围内？ 易错点分析： 易错点1：误认为一元一次不等式组的“公共部分”就是两个数之间的部分． 例1 解不等式组? ??x －1＞0，①x ＋2＜0．② 错解：由①，得x ＞1，由②，得x ＜－2，所以不等式组的解集为－2＜x ＜1． 错因剖析：解一元一次不等式组的方法是先分别求出不等式组中各个不等式的解集，再利用数轴求出这些不等式解集的公共部分．此题错在对“公共部分”的理解上，误认为两个数之间的部分为“公共部分”（即解集）．实际上，这两部分没有“公共部分”，也就是说此不等式组无解，而所谓“公共部分”的解是指“两线重叠”的部分．此外，有些同学可能会受到解题顺序的影响，把解集表示成1＜x ＜－2或－2＜x ＞1等，这些都是错误的． 正解：由①，得x ＞1．由②，得x ＜－2，所以此不等式组无解． 易错点2：误认为“同向解集哪个表示范围大就取哪个”． 例2解不等式组???5x ＋12＞6－3x ， ① 4＋x 3－5＞2－2(1＋x )3 ． ② 错解：解不等式①，得x ＞－34．解不等式②，得x ＞5．由于x ＞－34 的范围较大，所以不 等式组的解集为x ＞－34 ． 错因剖析：本例错解中，由于对不等式组的解集理解得不深刻，在根据两个解集的范围确定不等式组的解集时，形成错误的认识．其实在求两个一元一次不等式组成的不等式组的解集时，可归纳为以下四种基本类型（设a ＜b ）， ① ???x ＞a ，x ＞b ， ② ???x ＜a ，x ＞b ， ③???x ＞a ，x ＜b ， ④???x ＜a ，x ＞b ． 利用数可确定它们的解集分别为 ①x ＞b ，②x ＜a ，③a ＜x ＜b ，④空集．也可以用下面的口诀来帮助记忆，“同大取大，同小取小，大小小大中间取，大大小小取不了（空集）”． 正解：解不等式①，得x ＞－34 ．解不等式②，得x ＞5． 所以不等式组的解集为x ＞5． 易错点3：混淆解一元一次不等式组和解二元一次方程组的方法． 例3 解不等式组?????x 2－2(x ＋3)≤11， ① 3x 2＋2(x ＋3)≤3． ② 错解：由①＋②，得2x ≤14，即x ≤7，所以不等式组的解集为x ≤7． 错因剖析：本例错在将解一元一次不等式组和解二元一次方程组的方法混淆，误将解二元一次方程组中的加减消元法用在解一元一次不等式组中．产生此类错误的根本原因是没有正确区分解一元一次不等式组和解二元一次方程组的不同点，（1）解二元一次方程组时，两个方程不是单独存在的；（2）由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集，可归纳为“独立解，集中到”，即独立地解不等式组中的每一个不等式组中的每一个不等式，在解的过程中，各不等式彼此不发生关系，“组”的作用在最后，即每一个不等式的解集都要求出来后，再利用数轴从“公共部分”的角度去求“组”的解集． 正解：由不等式①，得32x ≥－17，即x ≥－343 ． 由不等式②，得72x ≤－3，即 x ≤－67 ． 所以原不等式组的解集为－ 343≤x ≤－67 ． 易错点4：在去分母时，漏乘常数项． 例4 解不等式组???2x －3＜1， ① x －12 ＋2≥－x ． ② 错解：由①，得x ＜2．在x －21＋2≥－x 的两边同乘2，得x －1＋2≥－2x ．于 是有x ≥－13，所以原不等式组的解集为2＞x ≥－13 ． 错因剖析：解一元一次不等式组，需要先求出每一个不等式的解，最后找出 它们的公共部分．对不等式进行变形时，一定要使用同解变形，不然就容易出错．本例的解答过程中没有掌握不等式的运算性质，在去分母时漏乘了中间的一项．此外，还要注意在表示“大小小大中间取”这类不等式的解集时应按一般顺序，把小的那个数放在前面，大的那个数放在后面，用“＜”连接． 正解：由①，得x＜2．在x－1 2 ＋2≥－x的两边同乘2，得x－1＋4≥－2x．于 是有x≥－1，所以原不等式组的解集为－1≤x＜2． 易错点5：忽视不等式两边同乘（或除以）的数的符号，导致不等式方向出错． 例5 解关于x的不等式（1 2 －a）x＞1－2a． 错解：去分母，得(1－2a)x＞2(1－2a)．将不等式两边同时除以（1－2a），得x＞2． 错因剖析：在利用不等式的性质解不等式时，如果不等式两边同乘（或除以）的数是含字母的式子，应注意讨论含字母的式子的符号．本例中不等式两边同乘(或除以)的(1－2a)，在不确定取值符号的情况下进行约分，所以出错．正解：将不等式变形，得(1－2a)x＞2(1－2a)． （1）当1－2a＞0时，即a＜1 2 时，x＞2； （2）当1－2a＝0时，即a＝1 2 时，不等式无解； （3）当1－2a＜0时，即a＞1 2 时，x＜2． 例6 如果关于x的不等式(2a－b)x＋a－5b＞0的解集是x＜10 7 ，则关于x 的不等式ax＞b的解集是_________． 错解：因为不等式（2a－b）x＋a－5b＞0的解集是x＜10 7 ，所以 5b－a 2a－b ＝ 10 7 ， 则有? ??2a －b ＝7，5b －a ＝10， 解得???a ＝5，b ＝3． 从而知ax ＞b 的解集是x ＞35． 错因剖析：本题错因有两个，一是忽视了原不等式的不等号方向与解集的不等号方向正好相反；二是对含有字母系数的不等式没有根据解集的情况确定字母 系数的取值范围，所以在解题时错误得出???2a －b ＝7，5b －a ＝10，解得???a ＝5，b ＝3． 从而错误得到ax ＞b 的解集是x ＞35 ． 正解：由不等式（2a －b ）x ＋a －5b ＞0的解集是x ＜107，得???2a －b ＜0，5b －a 2a －b ＝107， 解得???a ＜0，b a ＝35． 所以ax ＞b 的解集是x ＜35． 易错点6：寻找待定字母的取值范围时易漏特殊情况． 例7 若关于x 的不等式组???5－2x ≥－1，x －a ＞2 无解，则a 的取值范围是________________． 错解：由???5－2x ≥－1，x －a ＞0，得???x ≤3，x ＞a ． 又因为不等式组无解，所以a 的取值范围是a ＞3． 错因剖析：由已知不等式的解集确定不等式组的解集时，可按“同大取大，同小取小，大小小大中间取，大大小小取不了”的基本规律求解，但当已知不等式组的解集而求不等式的解集中待定字母取值范围时则不能完全套用此规律，还应考虑特例，即a ＝3，有x ≤3及 x ＞3，而此时不等式组也是无解的．因此，本题错在没有考虑待定字母的取值范围的特殊情况． 正解：由???5－2x ≥－1，x －a ＞0得? ??x ≤3，x ＞a ．又因为不等式组无解，所以a 的取值范围 是a ≥3． 例8 已知关于x 的不等式组???x －a ≥0，3－2x ＞－1 的整数解共有5个，则 a 的取值范围是_________． 错解：由???x －a ≥0，3－2x ＞－1解得???x ≥a ，x ＜2． 又因为原不等式组的整数解共有5个，所以a ≤x ＜2，这 5个整数解为－3，－2，－1，0，1，从而有a ≤－3(或a ＝－3)． 错因剖析：本题主要考查同学们是否会运用逆向思维解决含有待定字母的一元一次不等式组的特解．上述解法错在忽视a ≤x ＜2中有5个整数解时，a 虽不唯一，但也有一定的限制，a 的取值范围在－3与－4之间，其中包括－3，但不应包括－4，所以错解在确定 a 的取值范围时扩大了解的范围． 正解：由???x －a ≥0，3－2x ＞－1解得???x ≥a ，x ＜2． 又因为原不等式组的整数解共有5个，所以a ≤x ＜2．又知这5个整数解为－3，－2，－1，0，1．故a 的取值范围是－4＜a ≤－3． 总之，对于解一元一次不等式（组）问题，我们要深刻领会一元一次不等式（组）的基础知识，熟悉这6个易错点，牢固地掌握一元一次不等式（组）的解法和步骤，从而远离解一元一次不等式（组）的错误深渊． 中考考点解读： 1. （2012山东滨州3分）不等式211841x x x x -≥+??+≤-? 的解集是【 】 A ．3x ≥ B ．2x ≥ C ．23x ≤≤ D ．空集 【答案】A 。 【考点】解一元一次不等式组。 【分析】解一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）。因此， 解21+1x x -≥得2x ≥，解+841x x ≥-得3x ≥。按同大取大，得不等式组的解集是：3x ≥．故选A 。 2. （2012山东滨州3分）李明同学早上骑自行车上学，中途因道路施工步行一段路，到学校共用时15分钟．他骑自行车的平均速度是250米/分钟，步行的平均速度是80米/分钟．他家离学校的距离是2900米．如 果他骑车和步行的时间分别为x,y 分钟，列出的方程是【 】 A ．14250802900 x y x y ?+=???+=? B ．158********x y x y +=+=??? C ．14802502900 x y x y ?+=???+=? D ．152********x y x y +=+=??? 【答案】D 。 【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组。 【分析】李明同学骑车和步行的时间分别为x,y 分钟，由题意得： 李明同学到学校共用时15分钟，所以得方程：+=15x y 。 李明同学骑自行车的平均速度是250米/分钟，x 分钟骑了250x 米；步行的平均速度是80米/分钟，y 分钟走了80y 米。他家离学校的距离是2900米，所以得方程：250+80=2900x y 。 故选D 。 3. （2012山东德州3分）已知a+2b=43a+2b=8?? ?，则a+b 等于【 】 A ．3 B ．8 3 C ．2 D ．1 【答案】A 。 【考点】解二元一次方程组。 【分析】两式相加即可得出4a+4b=12，方程的两边都除以4即可得出答案：a+b=3。故选A 。 4. （2012山东东营3分）方程()21k 1x =04-有两个实数根，则k 的取 值范围是【 】． A ． k ≥1 B ． k ≤1 C ． k>1 D ． k<1 【答案】D 。 【考点】一元二次方程的意义和根的判别式。 【分析】当k=1时，原方程不成立，故k ≠1， 当k ≠1时，方程()21k 1x =04-为一元二次方程。 ∵此方程有两个实数根， ∴221 b 4a c 4k 11k k 122k 04 -=-?-?=---=-≥（（）（），解得：k ≤1。 综上k 的取值范围是k ＜1。故选D 。 5. （2012山东菏泽3分）已知=2=1x y ?? ?是二元一次方程组+=8 =1mx ny nx my ??-? 的解，则2m n -的算术平方根为【 】 A ．±2 B ． 2 C ．2 D ． 4 【答案】C 。 【考点】二元一次方程组的解和解二元一次方程组，求代数式的值，算术平方根。 【分析】∵=2=1x y ???是二元一次方程组+=8 =1mx ny nx my ??-?的解，∴2+=82=1m n n m ??-? ，解得=3=2m n ???。 ∴2=232=4=2m n -?-。即2m n -的算术平方根为2。故选C 。 6. （2012山东莱芜3分）对于非零的实数a 、b ，规定a ⊕b ＝ 1 b － 1 a ．若2⊕(2x －1)＝1，则x ＝【 】 A ． 5 6 B ． 5 4 C ． 3 2 D ．－ 1 6 【答案】A 。 【考点】新定义，解分式方程。 【分析】∵a ⊕b ＝ 1 b － 1 a ，2⊕(2x －1)＝1，∴2⊕(2x －1)＝11=12x 12 --。 ∴()135=32x 1=26x 3=26x=5x=2x 126 ?-?-??-。 检验，合适。故选A 。 7. （2012山东莱芜3分）已知m 、n 是方程x2＋22x ＋1＝0的两根，则代数式m2＋n2＋3mn 的值为【 】 A ．9 B ．±3 C ．3 D ．5 【答案】C 。 【考点】一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值。 【分析】∵m 、n 是方程x2＋22x ＋1＝0的两根，∴m ＋n=22-，mn=1。 ∴()()2222m +n +3mn =m+n +mn =22+1=8+1=9=3-。故选C 。 8. （2012山东临沂3分）用配方法解一元二次方程245x x -=时，此方程可变形为【 】 A ． ()221x += B ． ()221x -= C ． ()229x += D ． ()2 29x -= 【答案】D 。 【考点】配方法解一元二次方程。 【分析】()2 22454+45+42=9x x x x x -=?-=?-。故选D 。 9. （2012山东临沂3分）不等式组2153112x x x - A ． B ． C ． D ． 【答案】A 。 【考点】解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集。 【分析】解一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）。因此， 21531331112 x x x x x x - 故选A 。 10. （2012山东临沂3分）关于x 、y 的方程组3x y m x my n -=??+=? 的解是11x y =??=? ，则m n -的值是【 】 A ．5 B ．3 C ．2 D ．1 【答案】D 。 【考点】二元一次方程组的解和解二元一次方程组，求代数式的值。 【分析】∵方程组3x y m x my n -=??+=?的解是11x y =??=?，∴31213m m m n n -==?????+==??。 ∴=23=1m n --。故选D 。 11. （2012山东日照4分）已知关于x 的一元二次方程(k －2)2x2＋(2k ＋1)x ＋1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是【 】 (A) k>34且k ≠2 (B)k ≥34且k ≠2 (C) k >43且k ≠2 (D)k ≥4 3且k ≠2 【答案】C 。 【考点】一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义。 【分析】∵方程为一元二次方程，∴k －2≠0，即k ≠2。 ∵方程有两个不相等的实数根，∴△＞0， ∴（2k ＋1）2－4（k －2）2＞0，即（2k ＋1－2k ＋4）（2k ＋1＋2k －4）＞0， ∴5（4k －3）＞0，k ＞34 。 ∴k 的取值范围是k ＞34且k ≠2。故选C 。 12. （2012山东日照4分）某校学生志愿服务小组在“学雷锋”活动中购买了一批牛奶到敬老院慰问老人.如果分给每位老人4盒牛奶，那么剩下28盒牛奶；如果分给每位老人5盒牛奶，那么最后一位老人分得的牛奶不足4盒，但至少1盒.则这个敬老院的老人最少有【 】 （A ）29人 （B ）30人 （C ）31人 （D ）32人 【答案】B 。 【考点】一元一次不等式组的应用。 【分析】设这个敬老院的老人有x 人，则有牛奶（4x ＋28）盒，根据关键语句“如果分给每位老人5盒牛奶，那么最后一位老人分得的牛奶不足4盒，但至少1 盒”可得不等式组： ()()4x 285x 144x 285x 11 ， 解得：29＜x ≤32。 ∵x 为整数，∴x 最少为30。故选B 。 13. （2012山东泰安3分）将不等式组841163x x x x +<-??≤-? 的解集在数轴上表示出来，正确的是【 】 A ． B ． C ． D ． 【答案】C 。 【考点】解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集。 【分析】解一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）。因此， 841163 x x x x +<-??≤-? ①②，由①得，x ＞3；由②得，x ≤4。 ∴其解集为：3＜x ≤4。 不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上 表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个。在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示。因此， 3＜x ≤4在数轴上表示为： 故选C 。 14. （2012山东潍坊3分）不等式组2x+3>53x 2<4??-? 的解等于【 】． A． 1 【答案】A。 【考点】解一元一次不等式组。 【分析】解一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）。因此， 解2x＋3＞5得，x＞1；解3x－2＜4得，x＜2，∴此不等式组的解集为：1＜x＜2。故选A。 15. （2012山东潍坊3分）下图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的9个数(如6，7，8，l3，14，l5，20，21，22)．若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，则这9个数的和为【】． A．32 B．126 C．135 D．144 【答案】D。 【考点】分类归纳（数字的变化类），一元二次方程的应用。 【分析】由日历表可知，圈出的9个数中，最大数与最小数的差总为16，又已知最大数与最小数的积为192，所以设最大数为x，则最小数为x－16。 ∴x（x－16）=192，解得x=24或x=－8（负数舍去）。 ∴最大数为24，最小数为8。 ∴圈出的9个数为8，9，10，15，16，17，22，23，24。和为144。故选D。 【素材积累】 1、2019年，文野31岁那年，买房后第二年，完成了人生中最重要的一次转变。这一年，他摘心里对自己的定位，从穷人变成了有钱人。一些人哪怕有钱了，心里也永远甩不脱穷的影子。 ２、10月19 日下战书，草埠湖镇核心学校组织全镇小学老师收看了江苏省泰安市洋思中学校长秦培元摘宜昌所作的教训呈文录象。秦校长的讲演时光长达两个多小时，题为《打造高效课堂实现减负增效全面提高学生素质》。
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