电子科技大学研究生试卷
（考试时间：10:00-12:00 共：2 小时）
课程名称：矩阵理论 教师：刘福体 学时：60 学分：3 教学方式：堂上教学 考试日期：2014年12月31日 成绩：
考核方式： （学生选填）一、 选择题（每题4分，共20分） 1、若A B 、为n 阶方阵，下列结论错误的是····································································（ ） A. (A B)H H H A B ?=? B. det(A )det(A)det(B)B ?= C ．tr(A B)()()tr A tr B ?= D. (A B)A B +++?=?
2. A 是正规矩阵，则下列说法错误的是········································································（ ）
A. A 的不同特征值对应的特征向量正交
B. A +
是正规矩阵
C ．A 的特征值为A 的奇异值 D. 若A 的特征值为i λ，则2
2
1
||||||
n
F
i
i A λ==∑
3. 下列命题错误的是········································································································ （ ） A.AB AC A AB A AC ++
=?=
B. rank(AB)rank(A)=，则(AB)R(A)R =。
C ．A 正规，则A 的特征向量也是H
A 的特征向量。 D. 2
A A =，且A BC =，则C
B E =（单位矩阵）。
4. 设012c A c ???
?=???
?
，若0
k k A ∞
=∑收敛，则c 为··································································（ ） A.1
2
c ≥
B.|c|1≥
C. |c|1≤
D.|c|<1 5.下列结论正确的是············································································································（ ） A. (AB)B A +
+
+
= B. 2
21
||A||n
F
i
i σ
==
∑
C ．(A)rank(A )rank +
= D. (A )A --
=
二、计算和证明（共80分） 1、（9分）设n n
A B C ?∈、，证明：222||AB||||A ||||B||m m m ≤
2、（9分）设(a )C n n ij A ?=∈既是正规矩阵，又是上三角矩阵，证明：A 一定是对角矩阵。
3、（8分）求矩阵1141A ??
=????
的谱分解。
4、（8分）设(a )C
n n
ij A ?=∈，证明：A 的任一特征值
1
n
i i S S λ=∈=
，其中
{z C :|z a |R
|a
i i i i i j
j i
S ≠=∈-<=∑ .
5．（8分）若3113A ??
=????
，计算sin(A).
6.（8分）设A 是秩为1的n 阶矩阵，(A)tr 为A 的迹。证明：1()n n A trA A -=.
7．（8分）设m n
A C ?∈，证明：22||A A ||m m +=.
8.（15分）已知011101110011A -????-?
?=??-??-?? ，1101b ????
-??=??????
。 （1）求矩阵A 的最大秩分解； （2）求A +
；
（3）判断方程组Ax b = 是否有解；
（4）求方程组Ax b =的最小范数解及通解或最小二乘解通解及最佳范数解？（指出所求的是哪种解）
9.若m n
A C
?∈，A -是A 的广义逆矩阵，则A -
是A 的自反广义逆矩阵的充要条件是
(A)rank(A )rank -= 。