2015年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准
（测试时间：5月10日上午8：30－11：00）
一、选择题（每小题6分，共36分）
1.集合{}13A x x x N =-<∈，的子集有（ ）
A ．4个
B ．8个
C ．16个
D ．32个
【答案】 C
【解答】由13x -<，知24x -<<，结合x N ∈，得{}0123A =，，，。
∴ A 的子集有4216=个。
2．若直线2l 和直线1l ：21y x =-关于直线y x =对称，则2l 和两坐标轴围成的三角形的面积为（ ）
A ．1
B ．23
C ．12
D ．14
【答案】 D
【解答】在直线1l ：21y x =-取点(01)A -，，则(01)A -，关于直线y x =的对称点(10)A '-，在直线2l 上。
又直线1l 和直线y x =的交点(11)P ，在直线2l 。
∴ 2l 过(10)A '-，和(11)P ，两点，其方程为1122
y x =+。 ∴ 2l 和坐标轴交于(10)-，和1(0)2，两点，2l 和坐标轴围成的三角形的面积为14
。 3．给出下列四个判断：
（1）若a ，b 为异面直线，则过空间任意一点P ，总可以找到直线和a ，b 都相交。
（2）对平面α，β和直线l ，若αβ⊥，l β⊥，则l α∥。
（3）对平面α，β和直线l ，若l α⊥，l β∥，则αβ⊥。
（4）对直线1l ，2l 和平面α，若1l α∥，21l l ∥，且2l 过平面α内一点P ，则2l α?。 其中正确的判断有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】 B
【解答】（3）、（4）正确；（1）、（2）不正确。
对于（1），设a a '∥，过a '和b 的平面为α，则当点P 在平面α内，且不在直线b 上时，找不到直线同时和a ，b 都相交。
4．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -，E 为CD 中点，则二面
角1E AB B --的正切值为（ ）
A ．1
B ．24
C ．2
D ．22 【答案】 D 【解答】如图，作EF AB ⊥于F ，作1FO AB ⊥于O ，连结O
E 。
由1111ABCD A B C D -为正方体，知11EF ABB A ⊥面，1EF AB ⊥。
又1AB OF ⊥。因此，1AB OEF ⊥面，1OE AB ⊥。
∴ EOF ∠为面角1E AB B --的平面角。
设正方体棱长为a ，则EF a =，1124OF A B a =
=。 ∴ tan 22EF EOF OF ∠==。 5．已知ABC △为等腰直角三角形，CA CB =，4AB =，O 为AB 中点，动点P 满足条件：2PO PA PB =?，则线段CP 长的最小值为（ ）
A ．3
B ．2
C ．5
D ．4
【答案】 B
【解答】以AB 所在直线为x 轴，O 为坐标原点，建立平面直角坐标系。则(20)A -，、(20)B ，、(02)C ，。
设()P x y ，，由2PO PA PB =?，知222222(2)(2)x y x y x y +=++?-+。 ∴ 2222222()(44)(44)x y x y x x y x +=+++++-，
即222222222()()8()1616x y x y x y x +=++++-，化简，得222x y -=。
∴ 222222(2)2442(1)4CP x y y y y y =+-=++-+=-+。
∴ 1y =时，CP 有最小值2。此时，(31)P ±，
。 6．记e a e =，b ππ=，c e π=，e d π=，则a ，b ，c ，d 的大小关系为（ ）
A ．a d c b <<<
B ．a c d b <<<
C ．b a d c <<<
D ．b c d a <<< （必要时，可以利用函数()ln f x e x x =-在(]0e ，上为增函数，在[)e +∞，上为减函数）
【答案】 A
【解答】ln c π=，ln ln d e π=。
设()ln f x e x x =-，由()f x 在(]0e ，上为增函数，在[)e +∞，上为减函数，
得()()f f e π<，于是()ln ()ln 0f e f e e e e πππ=-<=-=。
∴ ln e ππ<，即ln ln d c <，于是d c <，e e ππ<。
又显然，e e a e d π=<=，c e b πππ=<=。于是，a d c b <<<。
第4题 图 第4题答题图
二、填空题（每小题6分，共36分）
7．已知()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，且2()()2x f x g x x +=+，则(1)f = 。 【答案】 34 【解答】依题意，有(1)(1)213f g +=+= ………… ①，
13(1)(1)122f g -+-=+=。由()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，得3(1)(1)2
f g -+=。… ② ①-②，得32(1)32f =-，3(1)4
f =。 8．已知直线l ：10x By ++=的倾斜角为α，若45120α?<
【答案】 3(1)-， 【解答】当90α=?时，0B =；当4590α?<
>，解得10B -<<；当90120α?<
<-，解得30B <<。 ∴ B 的取值范围为3(1)-，。 9．如图，在三棱锥P ABC -中，PA PB PC ==，PA PB ⊥，PA PC ⊥，PBC △为等边三角形，则PC 和平面ABC 所成角的正弦值为 。
【答案】 21 【解答】如图，作PO ABC ⊥面于O ，则PCO ∠就是PC 和平
面ABC 所成的角。
∵ PA PB ⊥，PA PC ⊥，
∴ PA PBC ⊥面。
设PA PB PC a ===，则
23113333412
P ABC A PBC PBC V V PA S a a a --==??=??=△。 又2177224
ABC S a a a =??=△， 217312P ABC ABC V PO S a PO -=??=?△。 第9题 图
∴ 37PO =，321sin 77PO PCO PC ∠===。 或求出ABC △外接圆半径OC 后，再求解。
10．函数22()236f x x x x x =--+-的最小值为 。
【答案】 6
【解答】 由2223060
x x x x ?--≥??+-≥??，知1332x x x x ≤-≥??≤-≥?或或，3x ≤-或3x ≥。 ∴ ()f x 的定义域为(][)33-∞-?+∞，，。
∵ 2123y x x =--226y x x =+-在(]3-∞-，上都是减函数，在[)3+∞，上都是增函数。
∴ 22()236f x x x x x =--+-(]3-∞-，上是减函数，在[)3+∞，上是增函数。 ∴ ()f x 的最小值是(3)f -和(3)f 中较小者。
∵ (3)23f -=(3)6f =。
∴ ()f x 6。
11．已知函数254x x y a a =+-（0a >，且1a ≠）在区间[]11-，上的最小值为54
-，则254x x y a a =+-在区间[]11-，上的最大值为 。 【答案】 10
【解答】设x t a =，则2254154()24x x y a a t =+-=+-在52??-+∞????
，上为增函数。 01a <<时，1t a a ??∈????，，2541()24y t =+-在1a a ??????
，上为增函数。 ∴ 2min 5415()244y a =+-=-，12a =。2max 541(2)1024
y =+-=。 1a >时，1t a a ??∈????，，2541()24y t =+-在1a a ??????
，上为增函数。 ∴ 2min 15415()244y a =+-=-，2a =。2max 541(2)1024
y =+-=。 12．若实数x ，y 满足条件：222304936
x y x y ->??-=?，则2x y -的最小值为 。 【答案】 42【解答】由条件知，230x y ->，230x y +>，因此，23x y >，0x >。
第9题答题图
由对称性，不妨设0y ≥，则22x y x y -=-。
设2x y t -=，代入224936x y -=，消x 并整理，得2282360y ty t -+-=。………… ① 由①的判别式22432(36)0t t =--≥△，得42t ≤-42t ≥。 由23x y y >≥知，20t x y =->，42t ≥。 又42t =时，①化为288240y -+=，得22y =，此时924
x =，符合230x y ->。 ∴ t 的最小值为422x y -的最小值为42
三、解答题（第13、14、15、16题每题16分，第17题14分，满分78分）
13．在ABC △中，已知点(21)A ，，(28)B -，，且它的内切圆的方程为224x y +=，求点C 的坐标。
【答案】易知直线AB 于圆O 相切，直线AC 、BC 的斜率存在。
设直线AC 的方程为11(2)y k x -=-，即11120k x y k -+-=。
由直线AC 和圆O 1
21001221k k -+-=+，解得134
k =-。 ∴ 直线AC 的方程为34100x y +-=。 ……………………… 8分 设直线BC 的方程为28(2)y k x +=-，即22280k x y k ---=。
由直线BC 和圆O 2220028
21k k ---=+，解得2158
k =-。 ∴ 直线BC 的方程为158340x y ++=。 …………………… 12分 由34100158340x y x y +-=??++=?，解得67
x y =-??=?。
∴ 点C 的坐标为(67)-，
。 ………………………… 16分 14．已知2()f x x bx c =++（b ，c R ∈，0b >），且对任意实数x ，()2f x x b ≥+恒成立。
（1）求证：c b ≥；
（2）若当c b ≠时，不等式22()()()M c b f c f b -≥-对满足条件的b ，c 恒成立，求M 的最小值。
【答案】（1）∵ 对任意实数x ，()2f x x b ≥+恒成立，
∴ 对任意实数x ，22x bx c x b ++≥+，即2(2)0x b x c b +-+-≥恒成立。
∴ 2(2)4()0b c b ---≤△＝，即2440b c -+≤。 ………………… 4分 ∴ 2444c b b ≥+≥，c b ≥。 ……………………… 8分
（2）由c b ≠以及（1）知，0c b >>。
∴ 22()()()M c b f c f b -≥-恒成立，等价于22()()f c f b M c b
-≥-恒成立。………… 12分
设c t b =，则2222()()()(2)221111f c f b c b c b c b t c b c b c b t t --+++====+--+++。 由1c t b =>，知22()()111f c f b c b t -=+-+的取值范围为3(1)2
，。 ∴ 32M ≥
，M 的最小值为32。 ……………………… 16分 15．如图，AD 、CF 分别是ABC △的中线和高线，PB 、PC 是ABC △外接圆O 的切线，点E 是PA 和圆O 的交点。
（1）求证：AFD ACP △∽△；
（2）求证：DC 平分ADE ∠。
【答案】（1）由PC 为圆O 切线，知CAF DCP ∠=∠。
∵ PB 、PC 是圆O 的切线，D 为BC 中点，
∴ O 、D 、P 三点共线，且OP BC ⊥。
∴ 90AFC CDP ∠=∠=?，AFC CDP △∽△。
∴
AF CD AC CP =。 ……………… 4分 ∵ CF AB ⊥，D 为BC 中点，
∴ 12FD BC DC DB =
==，DFB DBF ∠=∠。 ∴ AF FD AC CP =。于是，FA CA FD CP
=。 又∵ 180180AFD DFB ABC ACP ∠=?-∠=?-∠=∠。
∴ AFD ACP △∽△。 ……………… 8分
（2）延长AD 交圆O 于点G ，连结GE ，BG ，EC 。
由AFD ACP △∽△，知DAF PAC ∠=∠.
∴ BG EC =，CBG BCE ∠=∠。 ……………… 12分
又D 为BC 中点，DB DC =。
∴ BDG CDE △≌△。
∴ BDG CDE ∠=∠，ADC BDG CDE ∠=∠=∠。
∴ DC 平分ADE ∠。 ………………… 16分
（2）或解：连结OA 、OB 、OD 、OE 。
由OB BP ⊥，BD OP ⊥，知2PB PD PO =?。
又由切割线定理知，2PB PE PA =?，
∴ PD PO PE PA ?=?。
第15题 图 第15题答题图
第15题答题图
∴ E 、A 、O 、D 四点共圆。 ……………… 12分
∴ ODA OEA EAO PDE ∠=∠=∠=∠。
又OP BC ⊥于D ，因此，ADC EDC ∠=∠。
∴ DC 平分ADE ∠。 ……………………… 16分
16．已知正整数a ，b ，c （a b c >>）为ABC △的三边长，且222151515a b c ??????==????????????
，求
a b c ++的最小值。其中{}m 表示m 的小数部分，即{}[]m m m =-（[]m 表示不超过m 的最大整数）。
【答案】由222151515a b c ??????==????????????
，知222(mod15)a b c ≡≡（即，2a ，2b ，2c 被15除的
余数相同。） …………………………… 4分
∴ 2(21)0(mod15)b a b --≡，2(21)0(mod15)c b c --≡。
由2和15互质知，21(mod15)a b -≡，21(mod15)b c -≡ ……………… 8分 经验算，可知满足21(mod15)t ≡的最小正整数4t =。
∴ a b -，b c -都是4的倍数。 ……………………… 12分 设4b c x =+，4a c y =+（x ，y 为正整数，且y x >）。
∵ a ，b ，c 构成三角形三边长，
∴ 44b c c x c a c y +=++>=+，4()c y x >-。
∴ 5c ≥。
经验证，5，5419+?=，54213+?=可以为三角形的三边长。
∴ a b c ++的最小值为27。此时，13a =，9b =，5c =。 …………… 16分
17．已知集合{}1232015P =，，，，。集合A 是P 的子集，且在A 的任意三个元素中，总可以找到两个元素a 和b ，使得a 是b 的整数倍。求A 的最大值。（其中A 表示集合A 的元素的个数）。
【答案】首先集合{}231029122223323232A =???，，，，，，，，，，符合要求。 此时，21A =。 …………………………… 5分 设{}123k A a a a a P =?，，，，，123k a a a a <<<<，满足：在A 的任意三个元素中，总可以找到两个元素a 和b ，使得a 是b 的整数倍。
取A 的任意三个相邻元素：n a ，1n a +，2n a +。依题意1n a +是n a 的整数倍，或2n a +是n a 的整数倍，或2n a +是1n a +的整数倍。
∴ 12n n a a +≥，或22n n a a +≥，或212n n a a ++≥。
于是，总有22n n a a +≥成立。 ………………………… 10分 因此，22a ≥，24222a a ≥≥，36422a a ≥≥，48422a a ≥≥，……。
∴ 若22k ≥，则1122220482015k a a ≥≥=>和2015k a ≤矛盾。 ∴ 21k ≤。 因此，A 的最大值为21。 …………………………… 14分