B. 0≤a <
C. 0≤a ≤
D. a >
7．函数y ＝
的单调递减区间为( )
A. (3，＋∞)
B. (－∞，1)
C. (－∞，1)和(3，＋∞)
D. (0，＋∞)
8．若函数()()2122,1{ 1,1
a x x f x x ax x -+≤=-++>在R 上单调递减, 则实数a 的取值围是（ ） A. 1,22?? ??? B. 1,12?? ???
C. 1,2??+∞ ???
D. (],2-∞ 9．如果函数()()221+2f x x a x =-+-在区间(],4-∞上单调递增 ，那么实数a 的取
值围是（ ）
A. 3a ≤-
B. 3a ≥-
C. 5a ≤
D. 5a ≥
10．函数()231
x f x x +=-，当[)2,x ∈+∞时，函数的值域为（ ） A. (],7-∞ B. ()(],22,7-∞? C. (]2,7 D. [)2,+∞
11．函数()f x 的定义域为R ， ()12f -=，对任意x R ∈， ()2f x '>，则()24f x x >+的解集为（ ）.
A. ()1,1-
B. ()1,-+∞
C. (),1-∞-
D. (),-∞+∞
12．若函数()2
2f x x a x =+-在()0,+∞上单调递增，则a 的围为 （ ） A. []4,2- B. []4,0- C. [)4,2- D. [
)2,2- 13．偶函数f （x ）在（0，+∞）上递增，若f （2）=0，则
()()f x f x x +-＜0的解集
是（ ）
A. （-2，0）∪（2，+∞）
B. （-∞，-2）∪（0，2）
C. （-∞，-2）∪（2，+∞）
D. （-2，0）∪（0，2） 14．函数()f x 是R 上的偶函数且在()0,+∞上减函数，又()21f -=，则不等式()11f x -<的解集为（ ）
A. {}| 3 x x >
B. {}| 1 x x <-
C. {}|1 3 x x -<<
D. {}
|3 1 x x x ><-或
15．函数在区间（-2，）上为增函数，则的取值围为（ ）
A. B. C. D.
16．已知函数()()2ln 23f x x x =--+，则()f x 的增区间为（ ）
A. (),1-∞-
B. ()3,1--
C. [)1,-+∞
D. [
)1,1- 17．已知52
x ≥，则()2452x x f x x -+=-有（ ） A. 最大值52 B. 最小值52
C. 最大值2
D. 最小值2 18．函数()2233x x f x --=的单调减区间为
（ ）
A. (),-∞+∞
B. (),1-∞
C. ()1,+∞
D. (),2-∞
19．已知定义在R 上的偶函数， ()f x 在0x ≥时， ()()ln 1x
f x e x =++， 若()()1f a f a <-，则a 的取值围是（ ）
A. (),1-∞
B. 1,2?
?-∞ ??? C. 1,12?? ???
D. ()1+∞， 20．已知奇函数()f x 与偶函数()g x 满足()()2x x f x g x a a
-+=-+，且()g b a =，
则()2f 的值为（ ） A. 2a B. 2 C. 174
D. 154 21．已知函数()23f x ax bx a b =+++是偶函数，且其定义域为[]1,2a a -，则( )
A. 1,03a b ==
B. 1,0a b =-=
C. 1,1a b =-=
D. 1,13
a b =-=- 22．若函数()f x 是周期为2的偶函数，当01x ≤≤时()()21f x x x =-，则
52f ??- ???
=( ) A. 12- B. 12 C. 14- D. 14
23．已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，则()22f x x x =+，则
()1f -=（ ）
． A. 3- B. 1 C. 1- D. 3
24．已知函数()()g x f x x =-，其中()g x 是偶函数，且()21f =，则()2f -=（ ）．
A. 1-
B. 1
C. 3-
D. 3
25．已知
是上的奇函数，且当时，，则当时，的解析式是
（ ）
A. B. C. D.
26．已知定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f （x ）=x 2-2x ，则当x ＜0时，f （x ）的表达式为（ ）
A. y =-x 2-2x
B. y =x 2+2x
C. y =-x 2+2x
D. y =x 2-2x
27．若函数()f x 为定义在[]2,3b b --上的偶函数，且在[]
0,3b -上单调递增，则()()1f x f ≤的解集为
A. []1,2
B. []3,5
C. []1,1-
D. 13,22??
???? 28．已知在上是奇函数，，当时，，则（ ）
A. B. C. D.
29．已知函数
，若，则 ( )
A. B. C. D.
30．已知函数()533f x ax bx cx =-+-， ()37f -=，则()3f 的值（ ）
A. 7-
B. 7
C. 13-
D. 13
31．已知函数()1f x +是偶函数，当(),1x ∈-∞时，函数()f x 单调递减，设
12a f ??=- ???
， ()1b f =-， ()2c f =，则,,a b c 的大小关系是（ ） A. a b c << B. b a c << C. c b a << D. c a b <<
32．若函数()f x 为偶函数，且在()0,+∞上是减函数，又()30f =，则()()
02f x f x x +-<的解集为 ( )
A. ()3,3-
B. ()(),33,-∞-?+∞
C. ()()3,03,-?+∞
D. ()(),30,3-∞-?
33．函数()21ax b f x x +=
+是定义在()1,1-上的奇函数，且()225f =，则,a b 的值分别为（ ）
A. 0，1
B. 1，0
C. -1，1
D. -1，0
34．定义域为R 上的奇函数()f x 满足()()11f x f x -+=+，且()11f -=，则()2017f =（ ）
A. 2
B. 1
C. -1
D. -2
35．函数()y f x =在()0,3上是增函数，函数()3y f x =+为偶函数，则有（ ）
A. ()()7322f f f ??<< ???
B. ()()7322f f f ??<< ???
C. ()()7232f f f ??<< ???
D. ()()7232f f f ??<< ???
36．如果定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数f（x），在（0，+∞）是减函数，又有f（3）=0，则x?f（x）＜0的解集为（）
A. {x|﹣3＜x＜0或x＞3}
B. {x|x＜﹣3或0＜x＜3}
C. {x|﹣3＜x＜0或0＜x＜3}
D. {x|x＜﹣3或x＞3}
函数的单调性与奇偶性综合 【课时目标】 1、能准确判断函数的单调性与奇偶性 2、会灵活利用函数的单调性与奇偶性求参数或参数的取值范围 3、能够解决抽象函数的单调性与奇偶性的问题 【基础训练】 1、单调性： （1）函数||2x x y +-=，单调递减区间为 （2）函数b x k y ++=)12(在实数集上是增函数，则k 的取值范围是 （3）已知函数2()(3)2f x ax a x =+++在区间[1,)+∞上为增函数，则实数a 的取值范围是 ___ （4）已知()f x 为R 上的减函数，则满足)1()1(f x f >的实数x 的取值范围是____________ — 2、奇偶性： （1）下列函数具有奇偶性的有 ①x x y 13+= ②x x y 2112-+-= ③x x y +=4 ④?? ???<--=>+=)0(2)0(0)0(222x x x x x y （2）函数1()f x x x =-的图像关于__________对称 （3）若函数(1)()y x x a =+-为偶函数，则a =__________ （4）已知()f x 在R 上是奇函数，且2(4)(),(0,2)()2,(7)f x f x x f x x f +=∈==当时，则_______ 【例题精讲】 例1、已知()f x 是偶函数，而且在0(,)+∞上是减函数．判断()f x 在0(,)-∞上是增函数还是减函数，并加以证明
例2、()f x 是定义在R 的奇函数，且()f x 在0(,)+∞上是增函数，10()f =，则不等式0()()f x f x x --<的解集为_________________ } 练习：已知()f x 是定义在(3,3)-上的偶函数，当0 x ≤< ()f x 的图象如右图，则不等式(1)()0x f x -?≤ 变：()f x 是定义在22[,]-的奇函数，且()f x 在02[,]上单调递减，若1()()f m f m -<，则实数m 的取值范围是________________ … 例3、已知函数()1).f x a =≠ （1）若0a >，则()f x 的定义域是 (2) 若()f x 在区间(]0,1上是减函数，则实数a 的取值范围是______________ 例4：（1）函数()y f x =的图象关于直线1x =对称，若当1x ≤时，2()1f x x =+，求()f x · （2）函数()y f x =的图象关于点(1,1)对称，若当1x ≤时，2()1f x x =+，求()f x
( 函数对称性、周期性和奇偶性 关岭民中数学组 (一)、同一函数的函数的奇偶性与对称性：（奇偶性是一种特殊的对称性） 1、奇偶性:（1） 奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式0)()(=-+x f x f （2）偶函数关于y （即x=0）轴对称，偶函数有关系式 )()(x f x f =- 2、奇偶性的拓展 : 同一函数的对称性 （1）函数的轴对称： 函数)(x f y =关于a x =对称?)()(x a f x a f -=+ > )()(x a f x a f -=+也可以写成)2()(x a f x f -= 或 )2()(x a f x f +=- 若写成：)()(x b f x a f -=+，则函数)(x f y =关于直线 2 2)()(b a x b x a x +=-++= 对称 证明：设点),(11y x 在)(x f y =上，通过)2()(x a f x f -=可知， )2()(111x a f x f y -==，即点)(),2(11x f y y x a =-也在上，而点 ),(11y x 与点),2(11y x a -关于x=a 对称。得证。 说明：关于a x =对称要求横坐标之和为2a ，纵坐标相等。 ∵1111(,)(,)a x y a x y +-与 关于x a =对称，∴函数)(x f y =关于a x =对称 ?)()(x a f x a f -=+ ∵1111(,)(2,)x y a x y -与关于x a =对称，∴函数)(x f y =关于a x =对称 ?)2()(x a f x f -= ∵1111(,)(2,)x y a x y -+与关于x a =对称，∴函数)(x f y =关于a x =对称 ?)2()(x a f x f +=- （2）函数的点对称： · 函数)(x f y =关于点),(b a 对称?b x a f x a f 2)()(=-++ b x f x a f 2)()2(=-++上述关系也可以写成 或 b x f x a f 2)()2(=+-
函数之周期性与对称性的理解 首先请大家辨析一下这几个等式关系： 2 )2()()62 )2()(5) 2()()4)2)()30 )2()(20 )2()(1=++=+-++-=+==++=+-+x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f ）（）） 以上6个等式，其中1）、4）、5）是在讲对称性，2）、3）、6）是在讲述周期性。 在教学过程中，我们发现很多学生到高三了还无法自如地辨析，其实大家只需记住六字口诀就能加以辨析： “同周期、异对称” 1）、4）、5）中x 的系数相同，即为周期，2）、3）、6）中x 的系数相异，即为对称，这样我们就能迅速辨析哪些是在讲周期，哪些是对称。 那具体周期为多少？具体关于什么对称呢？这又是大家一个容易混淆的点。 一、下面先讲对称问题的理解，以1）为例： 0)2()(=+-+x f x f 我们要从本质上理解这个等式：令第一个括号里的1x x =，22x x =+-，则满足221=+x x ， 即横坐标的和为2，那就意味着两个横坐标的中点为1=x 。同样的，令1)(y x f =，2)2(y x f =+-，则满足021=+y y ，即这两个点的纵坐标和为零，那就意味着纵坐标互为相反数。那么如果现在我换种方式描述，我说两个点),(),(2211y x y x 与，满足221=+x x ，021=+y y ，那 我们就可以在平面直角坐标系中把这两个点的对称关系画出来了。由图1我们可以很直观的看出来这两个点关于（1,0）中心对称，这两个点都在y=f(x)上，从而整个 函数关于（1,0）中心对称。 同样的，我们分析4），2121,2y y x x ==+，在图像上表示对称关系如下：A 、B 两点关于
函数的单调性及奇偶性 一、单选题(共10道，每道10分) 1.已知函数是上的增函数，若，则下列不一定正确的是( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：函数单调性的定义 2.已知定义在上的函数满足：对任意不同的x1，x2，都有．若 ，则实数a的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：函数单调性的定义 3.已知定义在上的函数满足：对任意不同的x1，x2，都有 ．若，则实数a的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：函数单调性的定义 4.函数的单调递减区间是( ) A. B. C. D.无减区间 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：含绝对值函数的单调性 5.函数的单调递减区间是( ) A.， B.， C.， D.， 答案：A 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：函数的单调性及单调区间 6.函数的单调递增区间是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：含绝对值函数的单调性 7.若是奇函数，则实数a的值为( ) A.1 B.-1
C.0 D.±1 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：函数奇偶性的性质 8.若是定义在上的偶函数，则a的值为( ) A.±1 B.1 C.-1 D.-3 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：函数奇偶性的性质 9.设是定义在[-2，2]上的奇函数，若在[-2，0]上单调递减，则使成立的实数a的取值范围是( ) A.[-1，2] B. C.(0，1) D.
函数的对称性、奇偶性和周期性的综合运用 一．函数的对称性 的图象自身对称 1、轴对称 对于函数f(x)的定义域内任意一个x， 称. . 推论1 . 推论2 . 2、中心对称 对于函数f(x)的定义域内任意一个x， . . . . 小结: 轴对称与中心对称的区别 轴对称：f(a+x)= f(b-x)中，自变量系数互为相反数（内反），函数值相等(差为零)；
中心对称：f(a+x)= - f(b-x)+2c中，自变量系数互为相反数（内反），函数值和为定值.（二）两个函数的图象相互对称 1； 特别地，函数y＝f(a＋x)与y＝f(a－x)关于直线x=0(y轴)轴对称； y轴对称； 求对称轴方法：令a+x=b-x,得 2、函数y＝f(a＋x)+c与y＝－f(b－x)+d 特别地，函数y＝f(a＋x)与y＝－f(a－x)关于点（0,0）（原点）中心对称. . 求对称中心方法：横坐标令a+x=b-x,得 二．函数的奇偶性 1. 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x) （f(x) －f(－x)＝0），那么 函数f(x)叫做偶函数．偶函数的图象关于y轴（x=0）对称． 推论：若y＝f(x＋a)为偶函数，则f(x＋a)＝f(－x＋a)，即y＝f(x)的图像关于直线x＝a轴对称. 2. 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x) （f(x) +f(－x)＝0），那么 函数f(x)叫做奇函数．奇函数的图象关于原点(0,0)对称. 推论：若y＝f(x＋a)为奇函数，则f(－x＋a)＝－f(a＋x)，即y＝f(x) 的图像关于点（a，0）中心对称. 三．函数的周期性 1. 定义：对于定义域内的任意一个，都存在非零常数，使得
1 函数单调性(一) (一)选择题 1．函数x x f 3 )(= 在下列区间上不是．．减函数的是( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，0) C ．(－∞，0)∪(0，＋∞) D ．(1，＋∞) 2．下列函数中，在区间(1，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝－3x ＋1 B ．x y 2 = C ．y ＝x 2－4x ＋5 D ．y ＝｜x －1｜＋2 3．设函数y ＝(2a －1)x 在R 上是减函数，则有 A ．2 1≥ a B ．2 1≤ a C ．2 1> a D ．2 1< a 4．若函数f (x )在区间[1，3)上是增函数，在区间[3，5]上也是增函数，则函数f (x )在区间[1，5]上( ) A ．必是增函数 B ．不一定是增函数 C ．必是减函数 D ．是增函数或减函数 (二)填空题 5．函数f (x )＝2x 2－mx ＋3在[－2，＋∞)上为增函数，在(－∞，－2)上为减函数，则m ＝______． 6．若函数x a x f = )(在(1，＋∞)上为增函数，则实数a 的取值范围是______． 7．函数f (x )＝1－｜2－x ｜的单调递减区间是______，单调递增区间是______． 8．函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数，那么f (a 2－a ＋1)与)4 3(f 的大小关系是______。 *9．若函数f (x )＝｜x －a ｜＋2在x ∈[0，＋∞)上为增函数，则实数a 的取值范围是______． (三)解答题 10．函数f (x )，x ∈(a ，b )∪(b ，c )的图象如图所示，有三个同学对此函数的单调性作出如下的判断： 甲说f (x )在定义域上是增函数； 乙说f (x )在定义域上不是增函数，但有增区间， 丙说f (x )的增区间有两个，分别为(a ，b )和(b ，c ) 请你判断他们的说法是否正确，并说明理由。 11．已知函数.21 )(-= x x f (1)求f (x )的定义域； (2)证明函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数． 12．已知函数| |1)(x x f = ． (1)用分段函数的形式写出f (x )的解析式；
函数对称性、周期性和奇偶性规律 一、 同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身) 1、 周期性：对于函数 )(x f y =，如果存在一个不为零的常数 T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有 )()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周 期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。 2、 对称性定义（略），请用图形来理解。 3、 对称性： 我们知道：偶函数关于y （即x=0）轴对称，偶函数有关系式 )()(x f x f =- 奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式 0)()(=-+x f x f 上述关系式是否可以进行拓展？答案是肯定的 探讨：（1）函数)(x f y =关于a x =对称?)()(x a f x a f -=+ )()(x a f x a f -=+也可以写成)2()(x a f x f -= 或 )2()(x a f x f +=- 简证：设点),(11y x 在 )(x f y =上，通过)2()(x a f x f -=可知，)2()(111x a f x f y -==， 即点)(),2(11x f y y x a =-也在上，而点),(11y x 与点),2(11y x a -关于x=a 对称。得证。 若写成：)()(x b f x a f -=+，函数)(x f y =关于直线2 2)()(b a x b x a x +=-++= 对称 （2）函数 )(x f y =关于点),(b a 对称?b x a f x a f 2)()(=-++ b x f x a f 2)()2(=-++上述关系也可以写成 或 b x f x a f 2)()2(=+- 简证：设点),(11y x 在 )(x f y =上，即) (11x f y =，通过 b x f x a f 2)()2(=+-可知， b x f x a f 2)()2(11=+-，所以 1 112)(2)2(y b x f b x a f -=-=-，所以点 )2,2(11y b x a --也在)(x f y =上，而点)2,2(11y b x a --与),(11y x 关于),(b a 对称。得 证。 若写成：c x b f x a f =-++)()(，函数)(x f y =关于点)2 ,2( c b a + 对称 （3）函数 )(x f y =关于点b y =对称:假设函数关于b y =对称，即关于任一个x 值，都有两个 y 值与其对应，显然这不符合函数的定义，故函数自身不可能关于b y =对称。但在曲线c(x,y)=0，则 有可能会出现关于 b y =对称，比如圆04),(22=-+=y x y x c 它会关于y=0对称。 4、 周期性： （1）函数 )(x f y =满足如下关系系，则T x f 2)(的周期为 A 、 )()(x f T x f -=+ B 、) (1 )()(1)(x f T x f x f T x f - =+= +或 C 、 )(1)(1)2(x f x f T x f -+=+或) (1) (1)2(x f x f T x f +-=+（等式右边加负号亦成立）
一、选择题 1．下列判断正确的是（ ） A ．函数2 2)(2--=x x x x f 是奇函数 B ．函数1()(1)1x f x x x +=--是偶函数 C ．函数2()1f x x x =+ -是非奇非偶函数 D ．函数1)(=x f 既是奇函数又是偶函数 2．若函数2 ()48f x x kx =--在[5,8]上是单调函数，则k 的取值范围是（ ） A ．(],40-∞ B ．[40,64] C ．(][),4064,-∞+∞ D ．[)64,+∞ 3．函数11y x x = +--的值域为（ ） A ．( ]2,∞- B ．(] 2,0 C ．[ ) +∞,2 D ．[)+∞,0 4．已知函数()()2212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数， 则实数a 的取值范围是（ ） A ．3a ≤- B ．3a ≥- C ．5a ≤ D ．3a ≥ 5．下列四个命题：(1)函数f x ()在0x >时是增函数，0x <也是增函数，所以)(x f 是增函数；(2)若函数2 ()2f x ax bx =++与x 轴没有交点，则2 80b a -<且0a >；(3) 223y x x =--的 递增区间为[)1,+∞；(4) 1y x =+和2(1)y x = +表示相等函数。 其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 6．某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程. 在下图中纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下图中的四个图形中较符合该学生走法的是（ ） 二、填空题 1．函数x x x f -=2 )(的单调递减区间是____________________。 2．已知定义在R 上的奇函数()f x ，当0x >时，1||)(2 -+=x x x f ， 那么0x <时，()f x = . d d 0 t 0 t O A ． d d 0 t 0 t O B ． d d 0 t 0 t O C ． d d 0 t 0 t O D ．
函数对称性、周期性和奇偶性规律总结
注：换种说法：)(x f y =与()()y g x f x ==-若满足)()(x g x f -=，即它们关于0=y 对称。 2、()y f x =与()y f x =-关于Y 轴对称。 证明：设()y f x =上任一点为11(,)x y 则11()y f x =，所以()y f x =-经过点11(,)x y - ∵11(,)x y 与11(,)x y -关于Y 轴对称，∴()y f x =与()y f x =-关于Y 轴对称。 注：因为11(,)x y -代入()y f x =-得111(())()y f x f x =--=所以()y f x =-经过点11(,)x y - 换种说法：)(x f y =与()()y g x f x ==-若满足)()(x g x f -=，即它们关于0=x 对称。 ()(())()g x f x f x -=--= 3、()y f x =与(2)y f a x =-关于直线x a = 对称。 证明：设()y f x =上任一点为11(,)x y 则11()y f x =，所以(2)y f a x =-经过点11(2,)a x y - ∵11(,)x y 与11(2,)a x y -关于x a =轴对称，∴()y f x =与(2)y f a x =-关 于直线x a = 对称。 注：换种说法：)(x f y =与()(2)y g x f a x ==-若满足)2()(x a g x f -=，即它们关于a x =对称。 4、)(x f y =与)(2x f a y -=关于直线a y =对称。 证明：设()y f x =上任一点为11(,)x y 则11()y f x =，所以)(2x f a y -=经过点11(,2)x a y - ∵11(,)x y 与11(,2)x a y -关于y a =轴对称，∴)(x f y =与)(2x f a y -=关于直线a y =对称. 注：换种说法：)(x f y =与()2()y g x a f x ==-若满足a x g x f 2)()(=+，即它们关于a y =对称。 5、)2(2)(x a f b y x f y --==与关于点(a,b)对称。 证明：设()y f x =上任一点为11(,)x y 则11()y f x =，所以2(2)y b f a x =--经过点11(2,2)a x b y --
一:有关周期性的讨论 在已知条件()()f a x f b x +=-或 ()()f x a f x b +=-中， (1) 等式两端的两自变量部分相加得常数，如()()a x b x a b ++-=+，说明f x ()的图像具有对称性，其对称轴为2 b a x +=。 (2)等式两端的两自变量部分相减得常数，如()()x a x b a b +--=+，说明 f （x ）的图像具有周期性，其周期T=a +b 。 设a 为非零常数,若对于)(x f 定义域内的任意x 恒有下列条件之一成立 周期性规律 对称性规律 (1))()(a x f a x f +=- a T 2=? (1))()(x a f x a f -=+ a x =? (2))()(a x f x f += a T =? (2))()(x b f x a f -=+ 2 b a x += ? (3))()(x f a x f -=+ a T 2=? (3) )()(x b f x a f +=- 2b a x +=? (4))(1)(x f a x f =+ a T 2=? (4) )()(x b f x a f --=+ 中心点)0,2 (b a +? (5))(1)(x f a x f - =+ a T 2=? (5) )()(x a f x a f --=+ 为对称中心点)0,(a ? (6)1 )(1)()(-+=+x f x f a x f a T 2=? (7) 1()()1() f x f x a f x -+=+ a T 2=? (8) 1()()1()f x f x a f x -+=- + a T 4=? (9) ) (1)(1)(x f x f a x f -+=+ a T 4=? (10) )()()(a x f a x f x f ++-=, 0>a a T 6=?
函数单调性、奇偶性、周期性和对称性的综合应用 例1、设f (x )是定义在R 上的奇函数，且()x f y =的图象关于直线2 1=x 对称，则f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)+ f (5)=_0_______________. 【考点分析】本题考查函数的周期性 解析：()()00f f -=-得()00f =，假设()0f n = 因为点（n -，0）和点（1,0n +）关于12x =对称，所以()()()10f n f n f n +=-=-= 因此，对一切正整数n 都有：()0f n = 从而：()()()()()123450f f f f f ++++=。本题答案填写：0 例2、（2006福建卷）已知()f x 是周期为2的奇函数，当01x <<时，()lg .f x x = 设63(),(),52a f b f ==5(),2 c f =则 （A ）a b c << （B ）b a c << （C ）c b a << （D ）c a b << 解：已知()f x 是周期为2的奇函数，当01x <<时，()lg .f x x = 设644()()()555a f f f ==-=-，311()()()222b f f f ==-=-，51()()22 c f f ==<0，∴c a b <<，选D. 例3、（安徽卷理）函数()f x 对于任意实数x 满足条件()() 12f x f x +=，若()15,f =-则()()5f f =__________。 【考点分析】本题考查函数的周期性与求函数值，中档题。 解析：由()()12f x f x +=得()() 14()2f x f x f x +==+，所以(5)(1)5f f ==-，则()()115(5)(1)(12)5 f f f f f =-=-==--+。 【窥管之见】函数的周期性在高考考查中除了在三角函数中较为直接考查外，一 般都比较灵活。本题应直观理解()() 12f x f x += “只要加2，则变倒数，加两次则回原位” 则一通尽通也。 例4、设()f x 是()+∞∞-,上的奇函数，()()x f x f -=+2，当0≤x ≤1时，()x x f =，则f （）等于（ ） A.0.5 B.－0.5 D.－
（一）函数)(x f y =图象本身的对称性（自身对称） 若()()f x a f x b +=±+，则()f x 具有周期性；若()()f a x f b x +=±-，则()f x 具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。 推论1：)()(x a f x a f -=+ ?)(x f y =的图象关于直线a x =对称 推论2、)2()(x a f x f -= ?)(x f y =的图象关于直线a x =对称 推论3、)2()(x a f x f +=- ?)(x f y =的图象关于直线a x =对称 推论1、b x a f x a f 2)()(=-++ ?)(x f y =的图象关于点),(b a 对称 推论2、b x a f x f 2)2()(=-+ ?)(x f y =的图象关于点),(b a 对称 推论3、b x a f x f 2)2()(=++- ?)(x f y =的图象关于点),(b a 对称 （二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解） 1、偶函数)(x f y =与)(x f y -=图象关于Y 轴对称 2、奇函数)(x f y =与)(x f y --=图象关于原点对称函数 3、函数)(x f y =与()y f x =-图象关于X 轴对称 4、互为反函数)(x f y =与函数1()y f x -=图象关于直线y x =对称 推论1:函数)(x a f y +=与)(x a f y -=图象关于直线0=x 对称 推论2:函数)(x f y =与)2(x a f y -= 图象关于直线a x =对称 推论3:函数)(x f y -=与)2(x a f y +=图象关于直线a x -=对称
专项5函数单调性、奇偶性、周期性、对称性综合 有关函数的奇偶性、单调性、周期性和图像的综合问题，历来都是一个难点，并且几乎是必考的重点内容，它考察的 内容应该说是非常多的，综合性也是非常强的，而且不易想，因而，对很多同学來说，十分头疼，在这一章节内容上, 我们绝对要摒弃大量做题不顾总结的复习思路，基于此，我们从以下几个方面讲这部分内容。 第一个问题，就是对于“已知奇/偶函数一段定义域上的解析式，求另一段的解析式”这样的问题，最为基础题，同学 们一定要知道怎么解决这种问题，但是对于求确切的/(G )的问题，这里的。代指一个确切的常数，我们可以不求出另 一 ?段上的解析式，我们采取“进/退周期”的方式，什么意思呢？就是如果讣我们求的于(G )中的。不在己经解析式的 定义域上，对于比定义域右端点值大的，要根据周期定义每次减一个周期，逐步将其转化到已知解析式的定义域之上, 比如，题目让我们求/(13),我们通过分析发现该函数的周期为2,而我们只知道XG (0,2).上的解析式，那么我们就 可以“退周期”，即/(13) = /(2x6+l) = /(l),即只需要求出这个/(I)就是了，同理，对于比定义域小的，我们用 同样方法，可以“进周期”，求解相关问题。 第二个问题，我们必须要说这个周期的问题，周期其实在高中教材中只是在必修四三角函数中学了，但是函数中却经 常出现，而且不算是超纲内容，这一点需要大家知道，不能因为函数教材屮没有讲就认为不需要掌握，但是有一点需 要大家知道，那就是对于周期性，我们更多的是记住一些结论，推到这些结论是不要求的，因此，我们在这里总结这 些结论，希望大家都记住。 如果一个函数满足= + 则这个函数就是以。为一个周期的函数，这里要强调“一个周期”，事实上，弦/都 是这个函数的周期，也就是说/(x) = f(ka + x), /(x) = f(ka-x), /(x) = f(x-a),还有一?些有关周期的拓展定义: 第三个问题，是有关于图像的问题，特别是图像的做法，有很多是需要掌握对称性规律的，相关的对称性规律结论请 回顾复习专项4,专项4屮有比较基础的对称性总结函数关于兀轴、y 轴、坐标原点对称的规律；特别强调下列三种函 数l.f(x)l,/(lg(x)l),/(g(lxl))，这三种绝对值加到不同地方的函数图像本身的对称性规律要掌握好。 奇函数、偶函数、反函数和一些常见的函数，如对号函数等的对称性 对于耍求函数有几个零点或者两个函数有几个交点的问题，作图是最主耍的方法，作图的吋候，一定要按照我们学过 的函数图像的三种变换进行画图，从授基本的图形开始画，通过平移、对称一步一步的得到我们想要的函数图像，做 图的过程小，如果有带有绝对值，一定要想着使丿IJ 相应带有绝对值的作图规律，坚决不允许通过描点连线的方式进行 作图。 下面开启做题Z 旅，下面的这些题，淘汰、更换历经了很长时间，不论简单还是难度稍微大些，都是非常好的试题， 一定要认认真真完成，对于错题，还要进行总结分析。 1. /⑴为奇函数,g ⑴= /(x) + 9,g(2) = 3,则/(2)= _______________ 2. .f(x)为定义在/?上的奇函数，当xhO 时，/(Q = 2" + 2x + b ，则/(-1)= _____________ ①弘+沪_卍)；②弘+沪命；③弘+沪 1 /(x ) ,则函数/(兀)的周期为2a 。
奇偶性与单调性及典型例题 函数的单调性、奇偶性是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样.本节主要帮助考生深刻理解奇偶性、单调性的定义，掌握判定方法，正确认识单调函数与奇偶函数的图象. 难点磁场 (★★★★)设a>0,f(x)=是R上的偶函数，(1)求a的值；(2)证明： f(x)在(0，+∞)上是增函数. 案例探究 ［例1］已知函数f(x)在(－1，1)上有定义，f()=－1,当且仅当00,1－x1x2>0，∴>0, 又(x2－x1)－(1－x2x1)=(x2－1)(x1+1)<0 ∴x2－x1<1－x2x1, ∴0<<1,由题意知f()<0， 即f(x2)3a2－2a+1.解之，得0课次教学计划（教案）课题函数的单调性和奇偶性 教学目标1.通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；学会运用函数图像理解和研究函数的性质. 理解增区间、减区间等概念，掌握增（减）函数的证明和判别2. 结合具体函数，了解奇偶性的含义；学会运用函数图像理解和研究函数的性质. 理解奇函数、偶函数的几何意义，能熟练判别函数的奇偶性 教学策略 重点难点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数 教学策略：讲练结合，查漏补缺 函数的单调性 1.例1：观察y=x2的图象，回答下列问题 问题1：函数y=x2的图象在y轴右侧的部分是上升的，说明什么？?随 着x的增加，y值在增加。 问题2：怎样用数学语言表示呢？ ?设x 1 、x2∈[0，+∞]，得y1=f(x1), y2=f(x2).当x1f(x2). 那么就是f(x)在这个区间上是减函数(decreasing function)。 如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么就说函说y=f(x)在这一区间具有 （严格的）单调性，这一区间叫做y=f(x)的单调区间，在单调区间上增函数的图象是上升 的，减函数的图象是下降的。 12 （3）函数的单调性是对某个区间而言的，它是一个局部概念。 3.例2.己知函数f（x）＝－x2＋2x＋3,⑴画出函数的图象;⑵根据图象写出函数f(x)的单调区间;⑶利用定义证明函数f（x）＝－x2＋2x＋3在区间(-∞,1］上是增函数;⑷当函数f(x)在区间(一∞,m］上是增函数时,数m的取值围.
函 数 的 对 称 性 一个函数的自对称 定义1、定义域为R 的函数()f x ，若满足()()f a x f a x +=-或是(2)()f a x f x -=，图像特征函数自身关于x a =对称。就是该函数的对称轴是x a =。 定义2、定义域为R 的函数()f x ，若满足()()f a x f a x +=--或是(2)()f a x f x -=-，图像特征函数自身关于点(,0)a 对称。就是该函数的对称点是(,0)a 。 定义3、定义域为R 的函数()f x ，若满足()()f a x f b x +=-，图像特征函数自身关于2a b x += 对称。就是该函数的对称轴是2 a b x +=。 定义2、定义域为R 的函数()f x ，若满足()()f a x f b x +=--，图像特征函数自身关于点( ,0)2a b +对称。就是该函数的对称点是(,0)2 a b +。 还可以推广为()()f a x m f b x +=-- 含义：函数()f x 关于( ,)22a b m +这个点对称。 周期性:若()f x 对于定义域中的任意x 均有()()f x T f x +=,则()f x 是周期函数. 它的变形有: (1)f(x-1)=f(x+1) (2)f(x+2)=－f(x)；(3)f(x+2)=1() f x - (4)f(x+3) ＋f(x)=1 (5)f(x+1)=) (11)(x f x f -+ 特征是x 的符号相同。 习 题 1、已知()f x 是R 上的偶函数，且f(-x-1)=f(-x+1) 当[0,1]x ∈时，()1f x x =-+，求当[5,7]x ∈时,()f x 的解析式。 2、定义域为R 的()f x 既是奇函数又是周期函数,T 是它的一个周期.问:区间[,]T T -上它有几个根?（财富：奇函数的半周期也是0点） 3、定义在R 上的偶函数()f x 以3为周期,且(2)0f =,则方程()0f x =在区间(0,6) 上有几个根? 4、()f x 是R 上的偶函数,若将()f x 的图象向右平移一个单位又得到一个奇函数,且(2)1f =-,求(1)(2)(3)(2008)f f f f ++++L 的值. 5、定义在R 上的函数()f x 满足5()()02 f x f x ++=且5 ()4 f x +为奇函数,下列结论谁正确? ①函数()f x 的最小正周期是52;②函数()f x 的图象关于点（5,04）对称;③函数()f x 的图象关于52 x =对称;④函数()f x 的最大值为5()2f . 6、函数()f x 的定义域为R ，若(1)f x +与(1)f x -都是奇函数，则（ ）(A) ()f x 是偶函数； (B) ()f x 是奇函数 (C) ()(2)f x f x =+ ； (D) (3)f x +是奇函数 例4举例子，构造新函数，用定义，平移，伸缩处理四道抽象函数题。 （1）f(x)是奇函数，则有f(-x+a)= f(x+a)是奇函数，则f(-x+a)= （2）函数f(x-1)是偶函数，求y=f(x)的对称轴。
函数奇偶性与单调性的综合应用 专题 【寄语：亲爱的孩子，将来的你一定会感谢现在拼命努力的自己！】 教学目标：1.掌握函数的单调性与奇偶性的概念以及基本性质；. 2.能综合运用函数的单调性与奇偶性来分析函数的图像或性质； 3.能够根据函数的一些特点来判断其单调性或奇偶性. 教学重难点：函数单调性的证明；根据单调性或奇偶性分析函数的性质. 【复习旧识】 1.函数单调性的概念是什么？如何证明一个函数的单调性？ 2.函数奇偶性的概念是什么？如何证明一个函数的奇偶性？ 3.奇函数在关于原点对称的区间上，其单调性有何特点？偶函数呢？ 【新课讲解】 一、常考题型 1.根据奇偶性与单调性，比较两个或多个函数值的大小； 2.当题目中出现“ 2 121) ()(x x x f x f --＞0（或＜0）”或“)(x xf ＞0（或＜0）”时，往 往还是考察单调性； 3.证明或判断某一函数的单调性； 4.证明或判断某一函数的奇偶性； 5.根据奇偶性与单调性，解某一函数不等式（有时是“)(x f ＞0（或＜0）”时x 的取值范围）； 6.确定函数解析式或定义域中某一未知数（参数）的取值范围.
二、常用解题方法 1.画简图（草图），利用数形结合； 2.运用奇偶性进行自变量正负之间的转化； 3.证明或判断函数的单调性时，有时需要分类讨论. 三、误区 1.函数的奇偶性是函数的整体性质，与区间无关； 2.判断函数奇偶性，应首先判断其定义域是否关于原点对称； 3.奇函数若在“0=x ”处有定义，必有“0)0(=f ”； 4.函数单调性可以是整体性质也可以是局部性质，因题而异； 5.运用单调性解不等式时，应注意自变量取值范围受函数自身定义域的限制. 四、函数单调性证明的步骤： （1） 根据题意在区间上设 ； （2） 比较大小 ； （3） 下结论 . 函数奇偶性证明的步骤： （1）考察函数的定义域 ； （2）计算 的解析式，并考察其与 的解析式的关系； （3）下结论 . 【典型例题】 增，若a ＝)3 1 (log 2 f ，b ＝)2 1 (log 3 f ，c ＝)2(-f ，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c b a ＞＞ B ．a c b ＞＞ C ．b a c ＞＞ D ．a b c ＞＞ 【考点】函数单调性；函数奇偶性，对数函数的性质.
高中数学：函数单调性和奇偶性的综合练习及答案 1.下列函数中，既是偶函数又在（0，＋∞）上单调递增的函数是（） A.y＝x3 B.y＝|x|＋1 C.y＝－x2＋1 D.y＝2－|x| 2.f（x）＝x2＋|x|（） A.是偶函数，在（－∞，＋∞）上是增函数 B.是偶函数，在（－∞，＋∞）上是减函数 C.不是偶函数，在（－∞，＋∞）上是增函数 D.是偶函数，且在（0，＋∞）是增函数 3.已知函数f（x）＝3x－（x≠0），则函数（） A.是奇函数，且在（0，＋∞）上是减函数 B.是偶函数，且在（0，＋∞）上是减函数 C.是奇函数，且在（0，＋∞）上是增函数 D.是偶函数，且在（0，＋∞）上是增函数 4.定义在R上偶函数f（x）在[1,2]上是增函数，且具有性质f（1＋x）＝f（1－x），则函数f（x）（） A.在[－1,0]上是增函数 B.在[－1，－]上增函数，在（－，0]上是减函数 C.在[1,0]上是减函数 D.在[－1，－]上是减函数，在（－，0]上是增函数 5.f（x）是定义在R上的增函数，则下列结论一定正确的是（） A.f（x）＋f（－x）是偶函数且是增函数 B.f（x）＋f（－x）是偶函数且是减函数 C.f（x）－f（－x）是奇函数且是增函数 D.f（x）－f（－x）是奇函数且是减函数 6.已知偶函数f（x）在区间[0，＋∞）上的解析式为f（x）＝x＋1，下列大小关系正确的是（） A.f（1）>f（2） B.f（1）>f（－2） C.f（－1）>f（－2） D.f（－1）7.已知f（x）是偶函数，对任意的x1，x2∈（－∞，－1]，都有（x2－x1）[f（x2）－f（x1）]<0，则下列关系式中成立的是（） A.fb>0，给出下列不等式 ①f（b）－f（－a）>g（a）－g（－b）；②f（b）－f（－a）g（b）－g（－a）；④f（a）－f（－b）
