2.1合情推理与演绎推理(4课时)

OA1 OB 1 OC 1 + + = 1 （1）求证： A A1 BB 1 CC 1
f (x 0 + 2Vx ) - f (x 0 ) = 2f ¢ (x 0 ) Vx ® 0 Vx lim
（2）类比上述性质，试猜测 空间四面体的类似结论， C1 并判断结论是否正确.
B
A1
A B1 O
C
A C1 O B
3.推理必须是“合乎情理”的，并遵 循一定的逻辑规律.因此，研究、总结推 理中合乎情理的逻辑规律，是一个需要 我们探讨的课题.
探究（一）：归纳推理
思考1：我们知道，三角形的内角和为 180°，四边形的内角和为360°，五边 形的内角和为540°，„，由此归纳猜想， n边形的内角和为多少度？
4 3 pr 3
思考4：归纳推理的思维过程大致分哪几 个步骤？
实验、观察→概括、推广
→猜测一般结论. 思考5：一个口袋里装有许多球，每次从 中取出一个球，先后取20次均为白球， 由此能肯定袋中剩余的球都是白球吗？
思考6：对于等式：1·2＋2·3＋3·4 ＋„＋n(n＋1)＝3n2－3n＋2，当n=1， 2，3时等式成立吗？能否由此断定这个 等式对所有正整数n都成立？ 思考7：应用归纳推理可以发现一般结 论，其不足之处是什么？ 由归纳推理得出的结论不一定正确，其 真实性有待进一步证明.
B 具有性质P A
集合A中的元素具有性质P，集合B是A 的子集，则集合B中的元素也具有性质P.
思考4：考察下列推理：导数为0的点是 极值点，函数y＝x3在x＝0处的导数为0， 所以x＝0是函数y＝x3的极值点.这个推 理的形式是三段论吗？推理的结论正确 吗？为什么？
推理形式是三段论，推理的结论不正 确，因为大前提是错误的.
探究（一）：演绎推理的含义
思考1：所有的金属都能够导电，铀是金 属，由此可得什么结论？
铀能够导电. 思考2：太阳系的行星都以椭圆形轨道绕 太阳运行，天王星是太阳系的行星，由 此可得什么结论？ 天王星以椭圆形轨道绕太阳运行.
4 3 pr 3
V (r ) =
思考3：一切奇数都不能被2整除， （2100＋1）是奇数，由此可得什么结论？ （2100＋1）不能被2整除. 思考4：“由于tanx是三角函数，则tanx 是周期函数”是基于哪个一般判断而得 到的？ 三角函数都是周期函数.
思考5：“若∠A与∠B是两条平行直线的 同旁内角，则∠A＋∠B＝180°”是基于 哪个一般判断而得到的？ 两条直线平行，同旁内角互补.
思考6：“函数y＝2x＋2－x的图象关于y 轴对称”是基于哪个一般判断而得到的？
偶函数的图象关于y轴对称.
思考7：上述推理称为演绎推理，你能 说明演绎推理的含义吗？
思考4：类比圆的特征，下表中球的相关 特征分别是什么？
圆的概念和性质 球的类似概念和性质 球的面积 球的体积
圆的周长 圆的面积
圆心与弦（非直径）中点 球心与截面（非大圆）圆心的 的连线垂直于弦 连线垂直于截面 与圆心距离相等的两弦相 等，与圆心距离不等的两 弦不等，距圆心较近的弦 较长.
圆的方程为(x－x0)2＋ (y－y0)2＝r2 与球心距离相等的两截面积相 等，与球心距离不等的两截面 积不等，距球心较近的截面积 较大. 球的方程(x－x0)2＋(y－y0)2 ＋(z－z0)2＝r2
c x 1x 2 + x 2x 3 + x 3x 1 = a d x 1x 2x 3 = a
b x1 + x 2 + x 3 = a
例3 在等差数列{an}中，已知a10＝0， 则有 a1 = a1 + a2 + L + a18
a1 + a2 = a1 + a2 + L + a17 a1 + a2 + a 3 = a1 + a2 + L + a16
B B C
A
P
C
定理：若AC⊥BC，则AC2＋BC2＝AB2；
类比：若PA⊥PB，PA⊥PC，PB⊥PC，则
S
2 D PA B
+S
2 D PBC
+S
2 D PA C
= S
2 D A BC
小结作业 1.归纳推理是由部分到整体，由个别 到一般的推理，应用归纳推理可以发现 某类事物的一般规律，获得新结论，但 它不能作为数学证明的方法.
思考5：上述推理都是类比推理，一般地， 类比推理的含义是什么？ 由两类对象具有某些类似特征和其中一推理. 思考6：类比推理的思维过程大致分哪几 个步骤？
观察、比较→联想、类推→猜测类似结论.
思考7：归纳推理和类比推理统称为合情 推理，合情推理的过程大致是什么？
由两类对象具有某些类似特征和其中一 类对象的某些已知特征，推出另一类对 象也具有这些特征的推理，称为类比推理
2.归纳推理和类比推理统称为合情推 理，合情推理的基本思路是什么？ 从具体问题出发→观察、分析、比较、 联想→归纳、类比→提出猜想
3.合情推理能帮助我们从个别的，特 殊的事例出发，通过归纳、类比提出一 般猜想，发现新的结论.这是一种从特殊 到一般的推理，但对所得的一般结论， 我们必须要通过证明才能肯定其真实性. 相反，若从一般到特殊进行推理，就能 得出个别的、具体的判断，在逻辑上， 这就是演绎推理.
B1
C
OA1 OB 1 OC 1 + + = 1 A A1 BB 1 CC 1
A1
A
B
C1 O B1 D1 A 1
D
OA1 OB 1 OC 1 OD1 + + + = 1 A A1 BB 1 CC 1 DD1
C
例2 设x1，x2，x3为方程ax3＋bx2＋ cx＋d＝0(a≠0)的三个实根，类比一元 二次方程的根与系数关系，猜测一元三 次方程的根与系数关系.
an n 1 n
作业： P83～84习题2.1A组： 1，2，3，4.
演绎推理的应用（习题课）
知识回顾 1.类比推理的含义：
由两类对象具有某些类似特征和其中一 类对象的某些已知特征，推出另一类对 象也具有这些特征的推理. 2.类比推理的思维过程：
观察、比较→联想、类推 →猜测类似结论.
例1 已知点O为△ABC内一点，连结AO， BO，CO，并延长分别交对边于点A1，B1， C 1.
v= 0
第一段：已知的一般原理； 第二段：所研究的特殊情况； 第三段：根据一般原理，对特殊情况做 出判断.
v= 0
思考2：演绎推理的一般模式是“三段 论”，其中第一段称为“大前提”，第 二段称为“小前提”，第三段称为“结 论”，你能列举一个用“三段论”推理 的例子吗？
思考3：如何用集合的观点理解“三段 论”？ 具有性质P
从具体问题出发→观察、分析、比较、 联想→归纳、类比→提出猜想.
理论迁移 例1 且a n + 1 已知数列{an}满足：a1＝1，
an = （n∈N*），试推测数 1 + an
列{an}的通项公式，并判断其真实性.
1 归纳：an = n
.
例2 类比平面内直角三角形的勾股 定理，试给出空间中四面体性质的猜想， 并判断其真实性. A
2 n－1 次
例2 平面上有n（n∈N*，n≥2）条直 线，其中任意两条都相交，任意三条不 共点，试推测：这n条直线一共有多少个 交点.
n (n - 1) 2
例3
已知数列 {an } 满足:
1 a1 2, an 2 (n 2) ,试推测数 an 1
列 {an } 的通项公式.
n 1 an n
思考5：考察下列推理：两异面直线没有 公共点，直线l1∥l2，所以直线l1与l2没有 公共点. 这个推理的形式是三段论吗？ 为什么？
推理形式不是三段论，因为小前提不是 大前提的特殊情况.
思考6：合情推理与演绎推理的主要区别 是什么？ （1）推理形式：合情推理是从部分到 整体，个别到一般，特殊到特殊的推理； 演绎推理是从一般到特殊的推理. （2）推理结论：合情推理的结论是猜 想，不一定正确；演绎推理在大前提、 小前提和推理形式都正确时，得到的结 论一定正确. （3）推理作用：合情推理是发现结论 的推理；演绎推理是证明结论的推理.
从一般性的原理出发，推出某个特殊情 况下的结论，它是由一般到特殊的推理. 思考8：“所有金属都能导电，由于水 不是金属，所以水不能导电” ，这个 推理是演绎推理吗？
不是，因为“水不是金属”不是一般性 前提的特例.
探究（二）：演绎推理的一般模式
思考1：考察下列两个演绎推理： （1）指数函数是单调函数，因为y＝2x 是指数函数，所以y＝2x是单调函数； （2）负数的绝对值等于其相反数，因为 －3＜0，所以|－3|＝3. 一般地，演绎推理有几段内容？每段内 容分别阐述什么问题？
2.类比推理是由特殊到特殊的推理， 它可以由已经解决的问题和获得的结论 出发，通过类比而提出新问题和作出新 发现，但它也不能作为数学证明的方法. .
3.由归纳推理和类比推理得到的结论 只是一种猜想，所得的结论不一定正确， 但可以为我们的研究提供一种思路和方 向.
作业：
P77～78练习：1，2，3.
第二章 推理与证明 2.1 合情推理与演绎推理 合情推理
2.1.1
问题提出 1.推理是人们思维活动的过程，在日 常活动和科学研究中，我们必须要通过 推理来思考问题. 2.推理是根据一个或几个已知的判断 来确定一个新的判断的思维过程，在一 定的条件和背景下，我们常通过推理提 出问题，发现结论，引出性质.
归纳推理的应用（习题课）
知识回顾 1.归纳推理的含义： 由某类事物的部分对象具有某些特 征，推出该类事物的全部对象都具有这 些特征的推理，或者由个别事实概括出 一般结论的推理. 2.归纳推理的思维过程： 实验、观察→概括、推广 →猜测一般结论.
例1 如图所示，有三根针和套在一根针 上的若干金属片，按下列规则，把金属片 从一根针上全部移到另一根针上. （1）每次只能移动1个金属片； （2）较大的金属片不能放在较小的金属 片上面. 试推测：把n个金属片从1号针移到3号 针，最少需要移动多少次？
探究（二）：类比推理
思考1：据说我国古代工匠鲁班从带齿的 草叶和蝗虫的齿牙受到启发，发明了锯； 人们仿照鸟类的外形和它们在空中的飞 行原理，发明了飞机；仿照鱼类的外形 和它们在水中的沉浮原理，发明了潜水 艇；等等.这种在发明创造活动中运用的 方法，称为类比推理.你还能列举出这样 的实例吗？
v= 0
（1）由此可推测出什么一般等式？ （2）类比上述性质，在等比数列{bn} 中，若b9＝1，则有什么等式成立？
a1 + a2 + L + an = a1 + a2 + L + a19- n
bb 1 2 L bn = bb 1 2 L b17- n
2.1.2
演绎推理
问题提出 1.归纳推理和类比推理的基本含义分 别是什么？ 由某类事物的部分对象具有某些特征， 推出该类事物的全部对象都具有这些特 征的推理，或者由个别事实概括出一般 结论的推理，称为归纳推理.
v= 0
思考2：科学家们发现火星具有一些与地 球类似的特征，如火星也是围绕太阳运 行、绕轴自转的行星，也有大气层，在 一年中也有季节的变更，而且火星上大 部分时间的温度适合地球上某些已知生 物的生存，等等.运用类比推理，你有什 么猜想？其推理过程是怎样形成的？ 猜想：火星上也可能有生命存在.
思考3：球与圆在形状和概念上都有类似 的地方，如二者都具有完美的对称性， 都是到定点的距离等于定长的点的集合. 对于圆，圆有切线，切线与圆只有一个 公共点，圆心到切线的距离等于圆半径， 平面内不共线的三个点确定一个圆.运用 类比，你能推测球可能有哪些类似的性 质？ 球有切平面，切平面与球只有一个公共 点，球心到切平面的距离等于球半径， 空间中不共面的四个点确定一个球.
V (r ) =
(n－2)·180°
思考2：二百多年前，德国数学家哥德巴 赫在研究自然数时偶然发现： 6＝3＋3， 8＝3＋5， 10＝3＋7， 12＝5＋7，14＝7＋7, 16＝5＋11，„， 于是他提出了一个猜想，你认为他猜想 出一个什么结论？
任何一个不小于6的偶数 都等于两个奇质数之和.
思考3：在逻辑上，上述推理称为归纳推 理（简称归纳），那么归纳推理的含义 是什么？ 由某类事物的部分对象具有某些特 征，推出该类事物的全部对象都具有这 些特征的推理，或者由个别事实概括出 一般结论的推理.