八年级初二数学下学期勾股定理单元达标提高题学能测试试卷
一、选择题
1．如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为15cm ，在容器内壁离容器底部3cm 的点B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上沿3cm 的点A 处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为25cm ，则该圆柱底面周长为（ ）
A ．20cm
B ．18cm
C ．25cm
D ．40cm
2．如图，已知ABC 中，10,86,AB AC BC AB ===,的垂直平分线分别交,AC AB 于
,,D E 连接BD ，则CD 的长为（ ）
A ．1
B ．
54
C ．
74
D ．
254
3．如图，AB ＝AC ，∠CAB ＝90°，∠ADC=45°，AD ＝1，CD ＝3，则BD 的长为（ ）
A ．3
B ．11
C ．23
D ．4
4．如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠ABC =60°，BC =5,AC =53，CB 的反向延长线上有一动点D ，以AD 为边在右侧作等边三角形，连CE ，CE 最短长为（ ）
A ．5
B ．53
C 53
D ．
53
4
5．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边6cm AC =，8cm BC =．现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 等于（ ）
A ．2cm
B ．3cm
C ．4cm
D ．5cm
6．ABC 三边长为a 、b 、c ，则下列条件能判断ABC 是直角三角形的是（ ） A ．a ＝7，b ＝8，c ＝10 B ．a ＝41，b ＝4，c ＝5 C ．a ＝3，b ＝2，c ＝5
D ．a ＝3，b ＝4，c ＝6
7．在Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则点C 到AB 的距离是（ ） A ．
34
B ．
35
C ．
45
D ．
125
8．在下列以线段a 、b 、c 的长为边，能构成直角三角形的是（ ） A ．a =3，b =4，c =6 B ．a =5，b =6，c =7 C ．a =6，b =8，c =9 D ．a =7，b =24，c =25 9．已知一个直角三角形的两边长分别为3和5，则第三边长是( )
A ．5
B ．4
C ．34
D ．4或34
10．如图，在矩形ABCD 中，AB =8，BC =4，将矩形沿AC 折叠，点B 落在点B ′处，则重叠部分△AFC 的面积为（ ）
A ．12
B ．10
C ．8
D ．6
二、填空题
11．如图，在△中，
，∠
90°，是
边的中点，是
边上一动
点，则
的最小值是__________．
12．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=?，4AC =，2BC =，以AB 为边向外作等腰直角三角形ABD ，则CD 的长可以是__________．
13．如图，在△ABC 中，OA ＝4，OB ＝3，C 点与A 点关于直线OB 对称，动点P 、Q 分别在线段AC 、AB 上(点P 不与点A 、C 重合)，满足∠BPQ ＝∠BAO.当△PQB 为等腰三角形时，OP 的长度是_____．
14．如图，在四边形ABCD 中，22AD =，3CD =，
45ABC ACB ADC ∠=∠=∠=?，则BD 的长为__________．
15．如图，四边形ABDC 中，∠ABD ＝120°，AB ⊥AC ，BD ⊥CD ，AB ＝4，CD ＝43，则该四边形的面积是______．
16．已知，如图：在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为A （10，0）、C （0，4），点D 是OA 的中点，点P 在BC 边上运动，当△ODP 是腰长为5的等腰三角形时，点P 的坐标为_____．
17．在ABC ?中，10AB cm =，17AC cm =，BC 边上的高为8cm ，则ABC ?的面积为
______2cm ．
18．如图，P 是等边三角形ABC 内的一点，且PA=3，PB=4，PC=5，以BC 为边在△ABC 外作△BQC ≌△BPA ，连接PQ ，则以下结论中正确有_____________ (填序号) ①△BPQ 是等边三角形 ②△PCQ 是直角三角形 ③∠APB=150° ④∠APC=135°
19．已知a 、b 、c 是△ABC 三边的长，且满足关系式2
2
22
()0c a b a b --+-=，则
△ABC 的形状为___________
20．如图，E 为等腰直角△ABC 的边AB 上的一点，要使AE ＝3，BE ＝1，P 为AC 上的动点，则PB ＋PE 的最小值为____________．
三、解答题
21．如图，一架长25米的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端离墙7米． （1）此时梯子顶端离地面多少米？
（2）若梯子顶端下滑4米，那么梯子底端将向左滑动多少米？
22．如图，在△ABC 中，AB ＝30 cm ，BC ＝35 cm ，∠B ＝60°，有一动点M 自A 向B 以1 cm/s 的速度运动，动点N 自B 向C 以2 cm/s 的速度运动，若M ，N 同时分别从A ，B 出发．
(1)经过多少秒，△BMN 为等边三角形； (2)经过多少秒，△BMN 为直角三角形．
23．如图，在矩形ABCD 中，AB=8，BC=10，E 为CD 边上一点，将△ADE 沿AE 折叠，使点D 落在BC 边上的点F 处． （1）求BF 的长； （2）求CE 的长．
24．在等腰Rt △ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°
（1）如图1，D ，E 是等腰Rt △ABC 斜边BC 上两动点，且∠DAE ＝45°，将△ABE 绕点A 逆时针旋转90后，得到△AFC ，连接DF ①求证：△AED ≌△AFD ；
②当BE ＝3，CE ＝7时，求DE 的长；
（2）如图2，点D 是等腰Rt △ABC 斜边BC 所在直线上的一动点，连接AD ，以点A 为直角顶点作等腰Rt △ADE ，当BD ＝3，BC ＝9时，求DE 的长．
25．如图，将一长方形纸片OABC 放在平面直角坐标系中，(0,0)O ，(6,0)A ，(0,3)C ，动点F 从点O 出发以每秒1个单位长度的速度沿OC 向终点C 运动，运动
2
3
秒时，动点E 从点A 出发以相同的速度沿AO 向终点O 运动，当点E 、F 其中一点到达终点时，另一点也停止运动．
设点E 的运动时间为t :（秒）
（1）OE =_________，OF =___________（用含t 的代数式表示）
（2）当1t =时，将OEF ?沿EF 翻折，点O 恰好落在CB 边上的点D 处，求点D 的坐标及直线DE 的解析式；
（3）在（2）的条件下，点M 是射线DB 上的任意一点，过点M 作直线DE 的平行线，与x 轴交于N 点，设直线MN 的解析式为y kx b =+，当点M 与点B 不重合时，设
MBN ?的面积为S ，求S 与b 之间的函数关系式． 26．已知ABC ?中，AB AC =.
（1）如图1，在ADE ?中，AD AE =，连接BD 、CE ，若DAE BAC ∠=∠，求证：
BD CE =
（2）如图2，在ADE ?中，AD AE =，连接BE 、CE ，若60DAE BAC ∠=∠=，
CE AD ⊥于点F ，4AE =，5EC =，求BE 的长；
（3）如图3，在BCD ?中，45CBD CDB ∠=∠=，连接AD ，若45CAB ∠=，求
AD
AB
的值.
27．如图，在边长为2正方形ABCD 中，点O 是对角线AC 的中点，E 是线段OA 上一动点（不包括两个端点），连接BE .
（1）如图1，过点E 作EF BE ⊥交CD 于点F ，连接BF 交AC 于点G . ①求证：BE EF =;
②设AE x =，CG y =，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围. （2）在如图2中，请用无刻度的直尺作出一个以BE 为边的菱形.
28．如图1，已知△ABC 是等边三角形，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，且CD ＝AE ，AD 与BE 相交于点F ．
（1）求证：∠ABE ＝∠CAD ；
（2）如图2，以AD 为边向左作等边△ADG ，连接BG ． ⅰ）试判断四边形AGBE 的形状，并说明理由；
ⅱ）若设BD ＝1，DC ＝k （0＜k ＜1），求四边形AGBE 与△ABC 的周长比（用含k 的代数式表示）．
29．阅读下列材料，并解答其后的问题：
我国古代南宋数学家秦九韶在其所著书《数学九章》中，利用“三斜求积术”十分巧妙的解决了已知三角形三边求其面积的问题，这与西方著名的“海伦公式”是完全等价的．我们也称这个公式为“海伦?秦九韶公式”，该公式是：设△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ＝
()()()()
a b c a b c a c b b c a +++-+-+-．
（1）（举例应用）已知△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，且a ＝4，b ＝5，c ＝7，则△ABC 的面积为 ；
（2）（实际应用）有一块四边形的草地如图所示，现测得AB ＝（26+42）m ，BC ＝5m ，CD ＝7m ，AD ＝46m ，∠A ＝60°，求该块草地的面积．
30．在平面直角坐标系中，点A （0，4），B （m ，0）在坐标轴上，点C ，O 关于直线AB 对称，点D 在线段AB 上．
（1）如图1，若m ＝8，求AB 的长；
（2）如图2，若m ＝4，连接OD ，在y 轴上取一点E ，使OD ＝DE ，求证：CE 2DE ； （3）如图3，若m ＝3AO 上裁取AF ，使AF ＝BD ，当CD +CF 的值最小时，请在图中画出点D 的位置，并直接写出这个最小值．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．D 解析：D 【分析】
将容器侧面展开，建立A 关于EG 的对称点A ′，根据两点之间线段最短可知A ′B 的长度即为最短路径，由勾股定理求出A ′D 即圆柱底面周长的一半，由此即可解题． 【详解】
解：如图，将圆柱展开，EG 为上底面圆周长的一半，
作A 关于E 的对称点A '，连接A B '交EG 于F ， 则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为AF BF +的长， 即 25cm AF BF A B '+==， 延长BG ，过A '作A D BG '⊥于D ，
3cm AE A E '==，153315cm BD BG DG BG AE ∴=+=+=-+=， Rt A DB '∴△中，由勾股定理得：2222251520cm A D A B BD ''=--=，
∴该圆柱底面周长为：20240cm ?=，
故选D ． 【点睛】
本题考查了平面展开---最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．
2．C
解析：C
【分析】
先根据勾股定理的逆定理证明△ABC 是直角三角形，根据垂直平分线的性质证得AD=BD ，由此根据勾股定理求出CD. 【详解】
∵AB=10，AC=8，BC=6，
∴2222228610AC BC AB +=+==, ∴△ABC 是直角三角形，且∠C=90°， ∵DE 垂直平分AB ， ∴AD=BD ，
在Rt △BCD 中，222BD BC CD =+ ,
∴222
(8)6CD CD -=+,
解得CD=74
， 故选：C.
【点睛】
此题考查勾股定理及其逆定理，线段垂直平分线的性质，题中证得△ABC 是直角三角形，且∠C=90°是解题的关键，再利用勾股定理求解.
3．B
解析：B 【分析】
过点A 作AE ⊥AD 交CD 于E ，连接BE ，利用SAS 可证明△BAE ≌△CAD ，利用全等的性质证得∠BED=90°，最后根据勾股定理即可求出BD. 【详解】
解：如图，过点A 作AE ⊥AD 交CD 于E ，连接BE.
∵∠DAE=90°，∠ADE=45°， ∴∠ADE=∠AED=45°， ∴AE=AD=1，
∴在Rt △ADE 中，22112+=
∵∠DAE=∠BAC=90°，
∴∠DAE+∠EAC=∠BAC+∠EAC ，即∠CAD=∠BAE ， 又∵AB=AC,
∴△BAE≌△CAD(SAS)，
∴CD=BE=3，∠AEB=∠ADC=45°，
∴∠BED=90°，
∴在Rt△BED中，==
故选B.
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键.
4．C
解析：C
【分析】
在CB的反向延长线上取一点B’，使得BC=B’C，连接AB’，易证△AB’D≌△ABE，可得∠ABE=∠B’=60°，因此点E的轨迹是一条直线，过点C作CH⊥BE，则点H即为使得BE最小时的E点的位置，然后根据直角三角形的性质和勾股定理即可得出答案．
【详解】
解：在CB的反向延长线上取一点B’，使得BC=B’C，连接AB’，
∵∠ACB=90°，∠ABC=60°，
∴△AB’B是等边三角形，
∴∠B’=∠B’AB=60°，AB’=AB，
∵△ADE是等边三角形，
∴∠DAE=60°，AD=AE，
∴∠B’AD+∠DAB=∠DAB+∠BAE，
∴∠B’AD=∠BAE，
∴△AB’D≌△ABE（SAS），
∴∠ABE=∠B’=60°，
∴点E在直线BE上运动，
过点C作CH⊥BE于点H，则点H即为使得BE最小时的E点的位置，
∠CBH=180°-∠ABC-∠ABE=60°，
∴∠BCH=30°，
∴BH=1
2
BC=
5
2
，
∴CH．
即BE．
故选C．
【点睛】
本题是一道动点问题，综合考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质和勾股定理等知识，将△ACB 构造成等边三角形，通过全等证出∠ABC 是定值，即点E 的运动轨迹是直线是解决此题的关键．
5．B
解析：B 【分析】
根据翻折的性质可知：AC ＝AE ＝6，CD ＝DE ，设CD ＝DE ＝x ，在Rt △DEB 中利用勾股定理解决． 【详解】
解：在Rt △ABC 中， ∵AC ＝6，BC ＝8， ∴AB 22AC BC +2268+＝10，
△ADE 是由△ACD 翻折，
∴AC ＝AE ＝6，EB ＝AB?AE ＝10?6＝4， 设CD ＝DE ＝x ， 在Rt △DEB 中， ∵222DE EB DB +=， ∴()2
2248x x +=-， ∴x ＝3， ∴CD ＝3． 故答案为：B ． 【点睛】
本题考查翻折的性质、勾股定理，利用翻折不变性是解决问题的关键，学会转化的思想去思考问题．
6．B
解析：B 【分析】
根据勾股定理逆定理对每个选项一一判断即可． 【详解】
A 、∵72+82≠102，∴△ABC 不是直角三角形；
B 、∵52+42＝)2，∴△AB
C 是直角三角形；
C 、∵2222，∴△ABC 不是直角三角形；
D 、∵32+42≠62，∴△ABC 不是直角三角形； 故选：B ． 【点睛】
本题主要考查勾股定理逆定理，熟记定理是解题关键．
7．D
解析：D 【解析】
在Rt △ABC 中 ∠C=90°，AC=3，BC=4，根据勾股定理求得AB=5，设点C 到AB 的距离为h ，即可得
12h×AB=12AC×BC ，即12h×5=1
2×3×4，解得h=125
，故选D. 8．D
解析：D 【解析】
A 选项：32+42≠62，故不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，故错误；
B 选项：52+62≠72，故不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，故错误；
C 选项：62+82≠92，故不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，故错误；
D 选项：72+242=252，故符合勾股定理的逆定理，能组成直角三角形，故正确． 故选D ．
9．D
解析：D 【详解】
解：∵一个直角三角形的两边长分别为3和5，
∴①当5是此直角三角形的斜边时，设另一直角边为x ，则由勾股定理得到：
x ；
②当5是此直角三角形的直角边时，设另一直角边为x ，则由勾股定理得到：
x 故选：D
10．B
解析：B 【分析】
已知AD 为CF 边上的高，要求AFC △的面积，求得FC 即可，求证AFD CFB '△≌△，
得B F DF '=，设DF x =，则在Rt AFD △中，根据勾股定理求x ，于是得到CF CD DF =-，即可得到答案．
【详解】
解：由翻折变换的性质可知，AFD CFB '△≌△，
'DF B F ∴=，
设DF x =，则8AF CF x ==-，
在Rt AFD △中，222AF DF AD =+，即2
2
2
(8)4x x -=+， 解得：3x =，
835CF CD FD ∴=-=-=，
1
102
AFC S AF BC ∴=??=△．
故选：B ． 【点睛】
本题考查矩形的性质、折叠的性质、勾股定理等内容，根据折叠的性质得到
AFD CFB '△≌△是解题的关键．
二、填空题
11．
【解析】如图，过点作⊥
于点，延长
到点
，使
，连接
，交
于点
，连接
，此时
的值最小．连接，由对称性可知∠
45°，
，∴ ∠
90°.根据勾股定理可得
．
12．21021332【分析】
在ABC 中计算AB ，情况一：作AE CE ⊥于E ，计算AE ，DE ，CE ，可得CD ；情况二：作BE CE ⊥于E ，计算BE ，CE ，DE ，可得CD ；情况三：作DE CE ''⊥，计算
,,DF DE CE ''，可得CD ．
【详解】
∵90ACB ?∠=，4,2AC BC ==， ∴5AB =
情况一：当25AD AB ==AE CE ⊥于E
∴
1122BC AC AB AE ?=?，即455AE =，1455
DE = ∴2285
5
CE AC AE =
-=
∴22213CD CE DE =+=
情况二：当25BD AB ==时，作BE CE ⊥于E ， ∴
1122BC AC AB BE ?=?，即455BE =，1455
DE = ∴2225
5
CE BC BE =
-=
∴22210CD CE DE =+=
情况三：当AD BD =时，作DE CE ''⊥，作BE CE ⊥于E
∴1122
BC AC AB BE ?=?， ∴45BE =35
5
CE ∴=
∵ABD △为等腰直角三角形
∴1
52
BF DF AB ==
= ∴95
DE DF E F DF BE ''=+=+=
2535
5CE EE CE BF CE ''=-=-=-
=
∴2232CD CE E D ''=+=
故答案为：1021332【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的探索，勾股定理的计算等，熟知以上知识是解题的关键．
13．1或
7
8
【分析】
分为三种情况：①PQ BP =，②BQ QP =，③BQ BP =，由等腰三角形的性质和勾股定理可求解． 【详解】
解：分为3种情况： ①当PB PQ =时，
4=OA ，3OB =，
∴22435BC AB ==+=，
C 点与A 点关于直线OB 对称， BAO BCO ∴∠=∠，
BPQ BAO ∠=∠， BPQ BCO ∴∠=∠，
APB APQ BPQ BCO CBP ∠=∠+∠=∠+∠， APQ CBP ∴∠=∠，
在APQ 和CBP 中，
BAO BCP APQ B PQ B P C P ∠=∠??
∠=∠?=??
， ()APQ CBP AAS ∴△≌△，
∴5AP BC ==， 1OP AP OA ∴=-=；
②当BQ BP =时，
BPQ BQP ∠=∠，
BPQ BAO ∠=∠， BAO BQP ∴∠=∠，
根据三角形外角性质得：BQP BAO ∠>∠，
∴这种情况不存在；
③当QB QP =时， QBP BPQ BAO ∠=∠=∠，
PB PA ∴=，
设OP x =，则4PB PA x ==- 在Rt OBP △中，222PB OP OB =+，
222(4)3x x ∴-=+， 解得：7
8
x =
； ∴当PQB △为等腰三角形时，1OP =或
78
； 【点睛】
本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，解题的关键是熟练掌握所学的性质进行解题，注意分类讨论． 14．5 【分析】
作AD′⊥AD ，AD′=AD 构建等腰直角三角形，根据SAS 求证△BAD ≌△CAD′，证得BD=CD′，∠DAD′=90°，然后在Rt △AD′D 和Rt △CD′D 应用勾股定理即可求解． 【详解】
作AD′⊥AD ，AD′=AD ，连接CD′，DD′，如图：
∵∠BAC+∠CAD=∠DAD′+∠CAD ， ∴∠BAD=∠CAD′， 在△BAD 与△CAD′中，
{BA CA
BAD CAD AD AD =∠=∠=''
， ∴△BAD ≌△CAD′（SAS ）， ∴BD=CD′，∠DAD′=90°， 由勾股定理得22()4AD AD +='，
∵∠D′DA+∠ADC=90°，
∴由勾股定理得22(')5DC DD +=， ∴BD=CD′=5 故答案为5． 【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形，正确引出辅助线构造等腰直角三角形是本题的关键． 15．163 【分析】
延长CA 、DB 交于点E ，则60C ∠=°，30E ∠=?，在Rt ABE ?中，利用含30角的直角三角形的性质求出28BE AB ==，根据勾股定理求出43AE =．同理，在Rt DEC ?中求出283CE CD ==2212DE CE CD =-=，然后根据CDE ABE ABDC S S S ??=-四边形，计算即可求解． 【详解】
解：如图，延长CA 、DB 交于点E ，
∵四边形ABDC 中，120ABD ∠=?，AB AC ⊥，BD CD ⊥， ∴60C ∠=°， ∴30E ∠=?， 在Rt ABE ?中，
4AB =，30E ∠=?，
∴28BE AB ==，
2243AE BE AB ∴=-=． 在Rt DEC ?中，
30E ∠=?，43CD =，
283CE CD ∴==，
2212DE CE CD ∴=-=，
∴1
443832
ABE S ?=??=，
1
43122432
CDE S ?=??=，
24383=163CDE ABE ABDC S S S ??∴=-=-四边形． 故答案为：163．
【点睛】
本题考查了勾股定理，含30角的直角三角形的性质，图形的面积，准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
16．．（3，4）或（2，4）或（8，4）． 【分析】
题中没有指明△ODP 的腰长与底分别是哪个边，故应该分情况进行分析，从而求得点P 的坐标． 【详解】
解：（1）OD 是等腰三角形的底边时，P 就是OD 的垂直平分线与CB 的交点，此时OP ＝PD ≠5；
（2）OD 是等腰三角形的一条腰时：
①若点O 是顶角顶点时，P 点就是以点O 为圆心，以5为半径的弧与CB 的交点， 在直角△OPC 中，CP 22OP OC -2254-3，则P 的坐标是（3，4）． ②若D 是顶角顶点时，P 点就是以点D 为圆心，以5为半径的弧与CB 的交点， 过D 作DM ⊥BC 于点M ，
在直角△PDM 中，PM 22PD DM -3，
当P 在M 的左边时，CP ＝5﹣3＝2，则P 的坐标是（2，4）； 当P 在M 的右侧时，CP ＝5+3＝8，则P 的坐标是（8，4）．
故P的坐标为：（3，4）或（2，4）或（8，4）．
故答案为：（3，4）或（2，4）或（8，4）．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质和勾股定理的运用等知识,注意正确地进行分类，考虑到所有可能的情况并进行分析求解是解题的关键.
17．36或84
【分析】
过点A作AD⊥BC于点D，利用勾股定理列式求出BD、CD，再分点D在边BC上和在CB的延长线上两种情况分别求出BC的长度，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解．【详解】
解：过点A作AD⊥BC于点D，
∵BC边上的高为8cm，
∴AD=8cm，
∵AC=17cm，
由勾股定理得：
2222
1086
BD AB AD
=-=-=cm，
2222
17815
CD AC AD
=-=-=cm，
如图1，点D在边BC上时，
BC=BD+CD=6+15=21cm，
∴△ABC的面积=1
2
BC AD=
1
2
×21×8=84cm2，
如图2，点D在CB的延长线上时，BC= CD?BD=15?6=9cm，
∴△ABC的面积=1
2
BC AD=
1
2
×9×8=36 cm2，
综上所述，△ABC的面积为36 cm2或84 cm2，故答案为：36或84．
【点睛】
本题考查了勾股定理，作辅助线构造出直角三角形是解题的关键，难点是在于要分情况讨论． 18．①②③ 【解析】 【详解】
解：∵△ABC 是等边三角形，
60ABC ∴∠=，
∵△BQC ≌△BPA ，
∴∠BPA =∠BQC ，BP =BQ =4，QC =PA =3，∠ABP =∠QBC ，
60PBQ PBC CBQ PBC ABP ABC ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=，
∴△BPQ 是等边三角形，①正确. ∴PQ =BP =4，
2222224325,525PQ QC PC +=+===， 222PQ QC PC ∴+=，
90PQC ∴∠=，即△PQC 是直角三角形，②正确.
∵△BPQ 是等边三角形，
60PBQ BQP ∴∠=∠=，
∵△BQC ≌△BPA ， ∴∠APB =∠B QC ，
6090150BPA BQC ∴∠=∠=+=，③正确.
36015060150APC QPC QPC ∴∠=---∠=-∠， 90PQC PQ QC ∠=≠，， 45QPC ∴∠≠，
即135APC ∠≠，④错误. 故答案为①②③. 19．等腰直角三角形 【解析】
根据非负数的意义，由()
2
2220c a b a b --+-=，可知222c a b =+，a=b ，可知此三角
形是等腰直角三角形. 故答案为：等腰直角三角形.
点睛：此题主要考查了三角形形状的确定，根据非负数的性质，可分别得到关系式，然后结合勾股定理的逆定理知是直角三角形，然后由a-b=0得到等腰直角三角形，比较容易，关键是利用非负数的性质得到关系式. 20．5 【解析】