第2讲概率与统计(大题)
热点一以二项分布为背景的期望与方差
利用二项分布解题的一般步骤：
(1)根据题意设出随机变量.
(2)分析随机变量服从二项分布.
(3)找到参数n，p.
(4)写出二项分布的概率表达式.
(5)求解相关概率.
例1(2019·怀化模拟)在全国第五个“扶贫日”到来之际，某省开展“精准脱贫，携手同行”的主题活动，某贫困县调查基层干部走访贫困户数量.A镇有基层干部60人，B镇有基层干部60人，C镇有基层干部80人，每人走访了不少贫困户.按照分层抽样，从A，B，C三镇共选40名基层干部，统计他们走访贫困户的数量，并将走访数量分成5组，[5，15)，[15，25)，[25，35)，[35，45)，[45，55]，绘制成如下频率分布直方图.
(1)求这40人中有多少人来自C 镇，并估计三镇基层干部平均每人走访多少贫困户.(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(2)如果把走访贫困户达到或超过25户视为工作出色，以频率估计概率，从三镇的所有基层干部中随机选取3人，记这3人中工作出色的人数为X ，求X 的分布列及期望. 解 (1)因为A ，B ，C 三镇分别有基层干部60人，60人，80人，共200人， 利用分层抽样的方法选40人， 则C 镇应选取80×40
200＝16(人)，
所以这40人中有16人来自C 镇，
因为x ＝10×0.15＋20×0.25＋30×0.3＋40×0.2＋50×0.1＝28.5， 所以三镇基层干部平均每人走访贫困户28.5户.
(2)由直方图得，从三镇的所有基层干部中随机选出1人，其工作出色的概率为3
5，
显然X 可取0，1，2，3，且X ～B ????3，3
5，则 P (X ＝0)＝????253＝8
125，
P (X ＝1)＝C 13
????351????252＝36125， P (X ＝2)＝C 23
????352????251＝54125
， P (X ＝3)＝????353＝27
125. 所以X 的分布列为
所以期望E (X )＝0×8125＋1×36125＋2×54125＋3×27125＝9
5
.
跟踪演练1 (2019·河北省五个一名校联盟联考)《山东省高考改革试点方案》规定：从2017年秋季高中入学的新生开始，不分文理科；2020年开始，高考总成绩由语数外3门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成.将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A ，B ＋，B ，C ＋，C ，D ＋，D ，E 共8个等级.参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%，7%，16%，24%，24%，16%，7%，3%.选考科目成绩计入考生总成绩时，将A 至E 等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到[91，100]，[81，90]，[71，80]，[61，70]，[51，60]，[41，50]，[31，40]，[21，30]八个分数区间，得到考生的等级成绩. 某校高一年级共2 000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布N (60，169). (1)求物理原始成绩在区间(47，86]的人数；
(2)按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取3人，记X 表示这3人中等级成绩在区间[61，80]的人数，求X 的分布列和期望.
(附：若随机变量ξ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<ξ≤μ＋σ)≈0.682 7，P (μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)≈0.954 5，P (μ－3σ<ξ≤μ＋3σ)≈0.997 3)
解 (1)因为物理原始成绩ξ～N (60，132)， 所以P (47<ξ≤86)＝P (47<ξ≤60)＋P (60<ξ≤86)
＝12P (60－13<ξ≤60＋13)＋12P (60－2×13<ξ≤60＋2×13)≈0.682 72＋0.954 5
2≈0.818 6. 所以物理原始成绩在(47，86]的人数为2 000×0.818 6≈1 637. (2)由题意得，随机抽取1人，其成绩在区间[61，80]内的概率为25
.
所以随机抽取三人，则X 的所有可能取值为0，1，2，3，且X ～B ????3，25， 所以P (X ＝0)＝????353＝27
125， P (X ＝1)＝C 13·25·????352＝54125， P (X ＝2)＝C 23
·????252·35＝36125， P (X ＝3)＝????253＝8
125. 所以X 的分布列为
所以期望E (X )＝3×25＝6
5
.
热点二 以超几何分布为背景的期望与方差 求超几何分布的分布列的一般步骤： (1)确定参数N ，M ，n 的值.
(2)明确随机变量的所有可能取值，并求出随机变量取每一个值时对应的概率. (3)列出分布列.
例2 (2019·茂名质检)2018年茂名市举办“好心杯”少年美术书法作品比赛，某赛区收到200件参赛作品，为了解作品质量，现从这些作品中随机抽取12件作品进行试评.成绩如下：67，82，78，86，96，81，73，84，76，59，85，93. (1)求该样本的中位数和方差；
(2)若把成绩不低于85分(含85分)的作品认为是优秀作品，现在从这12件作品中任意抽取3件，求抽到优秀作品的件数的分布列和期望.
解 (1)样本数据按从小到大的顺序排列为59，67，73，76，78，81，82，84，85，86，93，96. 数据的中位数为81＋822＝81.5，
平均数为x ＝
59＋67＋73＋76＋78＋81＋82＋84＋85＋86＋93＋96
12
＝80，
方差为s 2＝112×(212＋132＋72＋42＋22＋12＋22＋42＋52＋62＋132＋162)＝1 186
12≈98.83.
(2)设抽到优秀作品的个数为X ， 则X 的可能取值为0，1，2，3， P (X ＝0)＝C 38
C 312＝56220＝1455
，
P (X ＝1)＝C 28C 14C 312＝28×4
220＝2855，
P (X ＝2)＝C 18C 24C 312＝8×6
220＝1255
，
P (X ＝3)＝C 34
C 312＝4220＝155，
所以X 的分布列为
期望为E (X )＝0×1455＋1×2855＋2×1255＋3×1
55
＝1.
跟踪演练2 (2019·天津市十二重点中学联考)某大学在一次公益活动中聘用了10名志愿者，他们分别来自于A ，B ，C 三个不同的专业，其中A 专业2人，B 专业3人，C 专业5人，现从这10人中任意选取3人参加一个访谈节目. (1)求3个人来自两个不同专业的概率；
(2)设X 表示取到B 专业的人数，求X 的分布列与期望. 解 (1)令事件A 表示“3个人来自于两个不同专业”， A 1表示“3个人来自于同一个专业”， A 2表示“3个人来自于三个不同专业”，
P (A 1)＝C 33＋C 3
5
C 310＝11120，
P (A 2)＝C 12C 13C 15
C 310＝30120＝14
，
∴3个人来自两个不同专业的概率 P (A )＝1－P (A 1)－P (A 2)＝1－
11120－30120＝79
120
. (2)随机变量X 的取值为0，1，2，3，
P (X ＝0)＝C 03C 37
C 310＝35120＝724，
P (X ＝1)＝C 13C 27
C 310＝63120＝2140，
P (X ＝2)＝C 23C 17
C 310＝21120＝740，
P (X ＝3)＝C 33C 07
C 310＝1120
，
∴X 的分布列为
E (X )＝0×724＋1×2140＋2×740＋3×1120＝9
10.
热点三 统计与统计案例的交汇问题 1.解决回归分析问题要注意：
(1)回归直线恒过样本点的中心(x ，y ).
(2)利用回归直线方程只能进行预测与估计，而得不到准确数值. 2.解决统计案例问题关键是过好三关：
(1)假设关，即假设两个分类变量无关.
(2)应用公式关，把相关数据代入独立性检测公式求出K2的观测值k.
(3)对比关，将k与临界值进行对比，进而作出判断.
例3(2018·全国Ⅲ)某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人.第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间(单位：min)绘制了如下茎叶图：
(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；
(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表；
(3)根据(2)中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？
附：K2＝n(ad－bc)2
(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)
，
解(1)第二种生产方式的效率更高.
理由如下：
(ⅰ)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少
80 min ；用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79 min.因此第二种生产方式的效率更高.
(ⅱ)由茎叶图可知，用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5 min ；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5 min.因此第二种生产方式的效率更高.
(ⅲ)由茎叶图可知，用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80 min ；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80 min.因此第二种生产方式的效率更高. (ⅳ)由茎叶图可知，用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布.又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少.因此第二种生产方式的效率更高. (2)由茎叶图知m ＝79＋812＝80.
列联表如下：
(3)因为K 2＝
40(15×15－5×5)2
20×20×20×20
＝10＞6.635，所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异.
跟踪演练3 (2019·德州模拟)某数学小组从医院和气象局获得今年1月至6月份每月20日的昼夜温差(x ℃，x ≥3)和患感冒人数(y /人)的数据，画出折线图.
(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，请用相关系数加以说明； (2)建立y 关于x 的线性回归方程(精确到0.01)，预测昼夜温差为4℃时患感冒的人数(精确到整数).
参考数据：∑i ＝1
6
x i ＝54.9，∑i ＝1
6
(x i －x )(y i －y )＝94，
∑i ＝1
6
(x i －x )2＝6，7≈2.646.
参考公式：相关系数r ＝
∑i ＝1
n
(x i －x )(y i －y )
∑i ＝1
n
(x i －x )2∑i ＝1
n
(y i －y )2
，回归直线方程是y ^＝a ^＋b ^
x ，
b ^
＝
∑i ＝1
n
(x i －x )(y i －y )
∑i ＝1
n
(x i －x )2
，a ^＝y －b ^
x ，
解 (1)y ＝1
6
(8＋11＋14＋20＋23＋26)＝17，
∴∑i ＝16
(y i －y )2＝(8－17)2＋(11－17)2＋(14－17)2＋(20－17)2＋(23－17)2＋(26－17)2＝252，
∴r ＝
∑i ＝1
6
(x i －x )(y i －y )
∑i ＝1
6
(x i －x
)2∑i ＝1
6
(y i －y )2
＝946×67≈9436×2.646
≈0.987. ∴可用线性回归模型拟合y 与x 的关系. (2)x ＝16×∑i ＝16x i ＝54.9
6
＝9.15，
b ^
＝
∑i ＝1
6
(x i －x )(y i －y )
∑i ＝1
6
(x i －x )2
＝94
36
≈2.611， a ^
＝17－2.611×9.15≈－6.89，
∴y 关于x 的回归方程为y ^
＝2.61x －6.89， 当x ＝4时，y ^
＝2.61×4－6.89≈4. 预测昼夜温差为4℃时患感冒的人数为4.
真题体验
(2019·全国Ⅰ，理，21)为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验.试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得－1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得－1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X.
(1)求X的分布列；
(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，p i(i＝0，1，…，8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0＝0，p8＝1，p i＝ap i－1＋bp i＋cp i＋1(i＝1，2，…，7)，其中a＝P(X＝－1)，b＝P(X＝0)，c＝P(X＝1).假设α＝0.5，β＝0.8.
(ⅰ)证明：{p i＋1－p i}(i＝0，1，2，…，7)为等比数列；
(ⅱ)求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性.
(1)解X的所有可能取值为－1，0，1.
P(X＝－1)＝(1－α)β，
P(X＝0)＝αβ＋(1－α)(1－β)，
P(X＝1)＝α(1－β).
所以X的分布列为
(2)(ⅰ)证明由(1)得a＝0.4，b＝0.5，c＝0.1.
因此p i ＝0.4p i －1＋0.5p i ＋0.1p i ＋1，故0.1(p i ＋1－p i )＝0.4(p i －p i －1)，即p i ＋1－p i ＝4(p i －p i －1). 又因为p 1－p 0＝p 1≠0，所以{p i ＋1－p i }(i ＝0，1，2，…，7)为公比为4，首项为p 1的等比数列. (ⅱ)解 由(ⅰ)可得
p 8＝p 8－p 7＋p 7－p 6＋…＋p 1－p 0＋p 0 ＝(p 8－p 7)＋(p 7－p 6)＋…＋(p 1－p 0)＝48－1
3p 1.
由于p 8＝1，故p 1＝3
48－1
，
所以p 4＝(p 4－p 3)＋(p 3－p 2)＋(p 2－p 1)＋(p 1－p 0)＝44－13p 1＝1
257
.
p 4表示题干中的实验方案最终认为甲药更有效的概率.由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为p 4＝1
257≈0.003 9，此时得出错误结论
的概率非常小，说明这种试验方案合理.
押题预测
某学校为了了解全校学生的体重情况，从全校学生中随机抽取了100人的体重数据，结果这100人的体重全部介于45公斤到75公斤之间，现将结果按如下方式分为6组：第一组[45，50)，第二组[50，55)，…，第六组[70，75]，得到如图(1)所示的频率分布直方图，并发现这100人中，其体重低于55公斤的有15人，这15人体重数据的茎叶图如图(2)所示，以样本的频率作为总体的概率.
(1)求频率分布直方图中a，b，c的值；
(2)从全校学生中随机抽取3名学生，记X为体重在[55，65)的人数，求X的分布列和期望；
(3)由频率分布直方图可以认为，该校学生的体重ξ近似服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ＝60，σ2＝25.若P(μ－2σ≤ξ<μ＋2σ)>0.954 5，则认为该校学生的体重是正常的.试判断该校学生的体重是否正常，并说明理由.
解(1)由图(2)知，100名样本中体重低于50公斤的有2人，
可得体重低于50公斤的频率为2
100＝0.02，
则a ＝0.025
＝0.004，
在[50，55)上有13人，该组的频率为0.13， 则b ＝0.135
＝0.026，
所以2c ＝1－2×0.02－2×0.13
5
＝0.14，即c ＝0.07.
(2)用样本的频率估计总体的概率，可知从全体学生中随机抽取一人，体重在[55，65)的概率为0.07×10＝0.7，随机抽取3人，相当于三次独立重复试验，随机变量X 服从二项分布B (3，0.7)，X 的所有可能取值为0，1，2，3.
则P (X ＝0)＝C 030.700.33＝0.027， P (X ＝1)＝C 130.710.32
＝0.189， P (X ＝2)＝C 230.720.31＝0.441， P (X ＝3)＝C 330.730.30＝0.343，
所以X 的分布列为
E (X )＝3×0.7＝2.1. (3)由N (60，25)得σ＝5，
由图(2)知P (μ－2σ≤ξ<μ＋2σ)＝P (50≤ξ<70)＝0.96>0.954 5. 所以可以认为该校学生的体重是正常的.
A 组 专题通关
1.(2019·全国Ⅱ)11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10∶10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时
甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10∶10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束.
(1)求P(X＝2)；
(2)求事件“X＝4且甲获胜”的概率.
解(1)X＝2就是10∶10平后，两人又打了2个球该局比赛结束，则这2个球均由甲得分，或者均由乙得分.因此P(X＝2)＝0.5×0.4＋(1－0.5)×(1－0.4)＝0.5.
(2)X＝4且甲获胜，就是10∶10平后，两人又打了4个球该局比赛结束，且这4个球的得分情况为：前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分.
因此所求概率为P＝[0.5×(1－0.4)＋(1－0.5)×0.4]×0.5×0.4＝0.1.
2.(2019·衡水质检)2018年双11当天，某购物平台的销售业绩高达2 135亿人民币.与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系，现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.9，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为140次.
(1)请完成下表，并判断是否可以在犯错误概率不超过0.5%的前提下，认为商品好评与服务好评有关？
(2)若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的3次购物中，设对商品和服务全好评的次数为X.
①求随机变量X的分布列；
②求X的期望和方差.
附：K2＝n(ad－bc)2
(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)
，其中n＝a＋b＋c＋d.
解(1)由题意可得关于商品和服务评价的2×2列联表：
则K 2
的观测值k ＝200×(1 400－400)2
150×50×180×20
≈7.407.
由于7.407<7.879，则不可以在犯错误概率不超过0.5%的前提下，认为商品好评与服务好评有关.
(2)①每次购物时，对商品和服务都好评的概率为7
10，
且X 的取值可以是0，1，2，3， 则P (X ＝0)＝????3103＝27
1 000，
P (X ＝1)＝C 13
????3102710＝1891 000
， P (X ＝2)＝C 23
????310????7102＝4411 000， P (X ＝3)＝????7103＝343
1 000. 故X 的分布列为
②由于X ～B ???
?3，7
10， 则E (X )＝3×710＝2110，D (X )＝3×710×????1－710＝63
100
. 3.(2019·临川模拟)商场营销人员进行某商品市场营销调查时发现，每返还消费者一定的点数，该商品每天的销量就会发生一定的变化，经过试点统计得到下表：
(1)经分析发现，可用线性回归模型拟合当地该商品销量y (百件)与返还点数t 之间的相关关系.请用最小二乘法求y 关于t 的线性回归方程y ^
＝b ^
t ＋a ^
，并预测若返还6个点时该商品每天的销量；
(2)若节日期间营销部对商品进行新一轮调整.已知某地拟购买该商品的消费群体十分庞大，经营销调研机构对其中的200名消费者的返还点数额的心理预期值进行了一个抽样调查，得到如下一份频数表：
①求这200位拟购买该商品的消费者对返还点数的心理预期值的样本平均数及中位数的估计值(同一区间的预期值可用该区间的中点值代替；估计值精确到0.1)；
②将对返还点数的心理预期值在[1，3)和[11，13]的消费者分别定义为“欲望紧缩型”消费者和“欲望膨胀型”消费者，现采用分层抽样的方法从位于这两个区间的30名消费者中随机抽取6名，再从这6人中随机抽取3名进行跟踪调查，设抽出的3人中“欲望紧缩型”消费者的人数为随机变量X ，求X 的分布列及期望.
参考公式及数据：①b ^
＝
∑i ＝1
n
t i y i －n t y
∑i ＝1
n
t 2i －n t
2
，a ^＝y －b ^
t ；
②∑i ＝1
5
t i y i ＝18.8.
解 (1)由题意知t ＝1＋2＋3＋4＋5
5
＝3，
y ＝
0.5＋0.6＋1＋1.4＋1.7
5
＝1.04，
∑i ＝1
5
t 2i ＝12＋22＋32＋42＋52
＝55， b ^
＝
∑i ＝1
5
t i y i －5t y
∑i ＝1
5
t 2i －5t
2
＝18.8－5×3×1.04
55－5×32
＝0.32，
a ^
＝y －b ^
t ＝1.04－0.32×3＝0.08.
则y 关于t 的线性回归方程为y ^
＝0.32t ＋0.08， 当t ＝6时，y ^
＝2.00，
即返还6个点时该商品每天的销量约为2百件.
(2)①根据题意，这200位拟购买该商品的消费者对返还点数的心理预期值的平均数x ，及中位数的估计值分别为：x ＝2×0.1＋4×0.3＋6×0.3＋8×0.15＋10×0.1＋12×0.05＝6，中位数的估计值为5＋2×100－20－6060＝5＋2
3
≈5.7.
②抽取6名消费者中“欲望紧缩型”消费者人数为6×20
30＝4，“欲望膨胀型”消费者人数为6
×1030
＝2. 由题意知，X 的取值可以有1，2，3，
P (X ＝1)＝C 14C 22C 36＝1
5，
P (X ＝2)＝C 24C 12C 36＝3
5，
P (X ＝3)＝C 34C 02C 36＝1
5
，
故随机变量X 的分布列为
E (X )＝1×15＋2×35＋3×1
5
＝2.
B 组 能力提高
4.(2019·合肥质检)某公司生产的某种产品，如果年返修率不超过千分之一，则其生产部门当年考核优秀，现获得该公司2011～2018年的相关数据如下表所示：
部分计算结果：x ＝18∑i ＝18x i ＝6，y ＝18∑i ＝1
8
y i ＝4，
∑i ＝1
8
(x i －x
)2＝72，∑i ＝1
8
(y i －y )2＝18.045，
∑i ＝1
8
(x i －x )(y i －y )＝34.5.
注：年返修率＝年返修台数
年生产台数
(1)从该公司2011～2018年的相关数据中任意选取3年的数据，以ξ表示3年中生产部门获得考核优秀的次数，求ξ的分布列和期望；
(2)根据散点图发现2015年数据偏差较大，如果去掉该年的数据，试用剩下的数据求出年利
润y (百万元)关于年生产台数x (万台)的线性回归方程(精确到0.01). 附：线性回归方程y ^
＝b ^
x ＋a ^
中，
b ^
＝
∑i ＝1
n
(x i －x )(y i －y )
∑i ＝1
n
(x i －x
)2
＝∑i ＝1
n
x i y i －n x y
∑i ＝1
n
x 2i －n x
2
，a ^＝y －b ^
x .
解 (1)由数据可知，2012，2013，2016，2017，2018五个年份考核优秀， ∴ξ的所有可能取值为0，1，2，3，
P (ξ＝0)＝C 05C 33
C 38＝156，
P (ξ＝1)＝C 15C 23C 38＝15
56，
P (ξ＝2)＝C 25C 13C 38＝30
56＝1528，
P (ξ＝3)＝C 35C 03C 38＝10
56＝528
，
故ξ的分布列为
则期望E (ξ)＝0×156＋1×1556＋2×1528＋3×528＝15
8.
(2)方法一 ∑i ＝1
8
(x i －x
)2＝72?
∑
i ＝18
x 2
i ＝∑i ＝1
8 (x i －x )2＋8×x 2＝360，
∑i ＝1
8
(x i －x )(y i －y )＝34.5?∑i ＝1
8
x i y i ＝∑i ＝1
8
(x i －x )(y i －y )＋8×x ×y ＝226.5，
故去掉2015年的数据之后：
x ′＝6×8－67＝6，y ′＝4×8－37＝29
7
，
∑i ≠5
(x i －x ′)2＝∑i ≠5
x 2i －7x ′2＝360－62－7×62
＝72， ∑i ≠5
(x i －x ′)(y i －y ′)＝∑i ≠5
x i y i －7x ′y ′＝226.5－6×3－7×6×29
7＝34.5，
所以b ^＝34.572
≈0.479，
a ^
＝y ′－b ^
x ′＝29
7
－0.479×6≈1.27，
所以线性回归方程为y ^
＝0.48x ＋1.27. 方法二 因为x 5＝x ＝6，
所以去掉2015年的数据后不影响b ^
的值，
所以b ^＝34.572
≈0.479，
而去掉2015年的数据之后x ′＝6×8－67＝6，y ′＝4×8－37＝29
7，
a ^
＝y ′－b ^
x ′＝29
7
－0.479×6≈1.27.
所以线性回归方程为y ^
＝0.48x ＋1.27.
5.(2019·黄冈模拟)某基地蔬菜大棚采用无土栽培方式种植各类蔬菜.根据过去50周的资料显示，该基地周光照量X (小时)都在30小时以上，其中不足50小时的有5周，不低于50小时且不超过70小时的有35周，超过70小时的有10周.根据统计，该基地的西红柿增加量y (千克)与使用某种液体肥料的质量x (千克)之间的关系如图所示.
(1)依据上图，是否可用线性回归模型拟合y 与x 的关系？请计算相关系数r 并加以说明(精确到0.01)；(若|r |>0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合)
(2)蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪运行台数受周光照量X 限制，并有如下关系：
若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪周利润为3 000元；若某台光照控制仪未运行，
则该台光照控制仪周亏损1 000元.以频率作为概率，商家欲使周总利润的期望达到最大，应安装光照控制仪多少台？
附：相关系数公式r ＝∑i ＝1
n
(x i －x )(y i －y )
∑i ＝1
n
(x i －x
)2∑i ＝1
n
(y i －y )2
，
参考数据：
11
26≈0.65，25
26
≈0.98. 解 (1)由已知数据可得x ＝2＋3＋5＋7＋85＝5，y ＝3＋3＋4＋5＋5
5＝4.
∵∑i ＝15
(x i －x )(y i －y )＝(－3)×(－1)＋(－2)×(－1)＋0＋2×1＋3×1＝10，
∑i ＝15
(x i －x )2＝(－3)2＋(－2)2＋02＋22＋32＝26，
∑i ＝1
5
(y i －y )2＝(－1)2＋(－1)2＋02＋12＋12＝2.
∴相关系数r ＝∑i ＝1
5
(x i －x )(y i －y )
∑i ＝1
5
(x i －x
)2∑i ＝1
5
(y i －y )2
＝
10
26×2
＝25
26
≈0.98. ∵r >0.75，∴可用线性回归模型拟合y 与x 的关系.
(2)记商家周总利润为Y 元，由条件可知至少安装1台，最多安装3台光照控制仪. ①安装1台光照控制仪可获得周总利润3 000元. ②安装2台光照控制仪的情形： 当X >70时，只有1台光照控制仪运行， 此时周总利润Y ＝3 000－1 000＝2 000(元)， P (Y ＝2 000)＝10
50
＝0.2，
当
30 50＝0.8， 故Y 的分布列为 第2讲 导数与函数的单调性、极值、最值问题 高考定位 高考对本内容的考查主要有：(1)导数的运算是导数应用的基础，要求是B 级，熟练掌握导数的四则运算法则、常用导数公式，一般不单独设置试题，是解决导数应用的第一步；(2)利用导数研究函数的单调性与极值是导数的核心内容，要求是B 级，对应用导数研究函数的单调性与极值要达到相等的高度. 真 题 感 悟 1.(2017·江苏卷)已知函数f (x )＝x 3－2x ＋e x －1 e x ，其中e 是自然对数的底数，若 f (a －1)＋f (2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是________. 解析 f ′(x )＝3x 2－2＋e x ＋1 e x ≥3x 2－2＋2e x ·1e x ＝3x 2 ≥0且f ′(x )不恒为0，所以f (x )为单调递增函数. 又f (－x )＝－x 3＋2x ＋e －x －e x ＝－(x 3－2x ＋e x －1 e x )＝－ f (x )， 故f (x )为奇函数， 由f (a －1)＋f (2a 2)≤0，得f (2a 2)≤f (1－a )， ∴2a 2≤1－a ，解之得－1≤a ≤1 2， 故实数a 的取值范围是??? ? ??－1，12. 答案 ??? ? ??－1，12 2.(2017·江苏卷)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1(a >0，b ∈R )有极值，且导函数f ′(x )的极值点是f (x )的零点.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值) (1)求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域； (2)证明：b 2>3a ； (3)若f (x )，f ′(x )这两个函数的所有极值之和不小于－7 2，求a 的取值范围. (1)解 由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1， 得f ′(x )＝3x 2 ＋2ax ＋b ＝3? ?? ??x ＋a 32 ＋b －a 23. 当x ＝－a 3时，f ′(x )有极小值b －a 2 3. 因为f ′(x )的极值点是f (x )的零点， 所以f ? ?? ?? －a 3＝－a 327＋a 39－ab 3＋1＝0， 又a >0，故b ＝2a 29＋3 a . 因为f (x )有极值，故f ′(x )＝0有实根， 从而b －a 23＝1 9a (27－a 3)≤0，即a ≥3. 当a ＝3时，f ′(x )>0(x ≠－1)， 故f (x )在R 上是增函数，f (x )没有极值； 当a >3时，f ′(x )＝0有两个相异的实根 x 1＝－a －a 2－3b 3，x 2＝－a ＋a 2－3b 3. 列表如下： X (－∞，x 1) x 1 (x 1，x 2) x 2 (x 2，＋∞) f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x ) 极大值 极小值 故f (x )的极值点是x 1，x 2.从而a >3. 因此b ＝2a 29＋3 a ，定义域为(3，＋∞). (2)证明 由(1)知， b a ＝2a a 9＋3a a . 设g (t )＝2t 9＋3t ，则g ′(t )＝29－3t 2＝2t 2－27 9t 2. 当t ∈? ?? ??362，＋∞时，g ′(t )>0， 1．若cos(3π－x )－3cos(x ＋π2)＝0，则tan(x ＋π 4 )等于( ) A ．－1 2 B ．－2 C.12 D ．2 解析：选D.由cos(3π－x )－3cos(x ＋π2)＝0，得tan x ＝13.所以tan(x ＋π4)＝tan x ＋11－tan x ＝13 ＋1 1－1 3 ＝2. 2．(2012·安徽淮北一模)已知cos2α2sin ??? ?α＋π4＝52，则tan α＋1 tan α＝( ) A ．－8 B ．8 C.18 D ．－18 解析：选A.∵cos2α 2sin ????α＋π4＝cos 2α－sin 2α2 ??? ?22sin α＋22cos α ＝cos α－sin α＝5 2， ∴1－2sin αcos α＝54，即sin αcos α＝－1 8 . 则tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝sin 2α＋cos 2 αsin αcos α＝1 －1 8 ＝－8. 故选A. 3．(2012·乌鲁木齐诊断性测验)已知α满足sin α＝12，那么sin(π4＋α)sin(π 4 －α)的值为( ) A.14 B ．－14 C.12 D ．－12 解析：选A.sin(π4＋α)sin(π4－α)＝sin 2π4cos 2α－cos 2π4sin 2α＝12sin(π2＋2α)＝12cos2α＝1 2 (1－2sin 2α) ＝1 4 ，选A. 4．(2012·河南省豫东、豫北十校阶段性测试)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ， b ， c ，若cos B ＝14，sin C sin A ＝2，且S △ABC ＝15 4 ，则b ＝( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 解析：选C.依题意得，c ＝2a ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋(2a )2－2×a ×2a ×1 4 ＝4a 2，所以b ＝c ＝2a ，sin B ＝1－cos 2B ＝154，又S △ABC ＝12ac sin B ＝12×b 2×b ×154＝15 4 ，所以b ＝2， 第2讲立足全局意识，分解内容要点概括题 “特定指向信息”是指“原因”“结果”“作用”“意义”“影响”“方式”“特点”“情感”等方面的信息，这类信息的概括是高考散文阅读的常考题型。 ?分析命题角度 熟知类题通法 特定指向信息概括“3步骤” 第一步：审题干，明指向 这一步的关键是明确概括对象是什么以及指向对象的哪一方面信息(原因、结果、作用、意义、影响、方式、特点、情感等)。 第二步：理思路，定区间 不论是概括哪类指向信息，要确保不遗漏要点，都必须要厘清全文思路，这样才能明确所要概括的信息在哪里。 第三步：巧提炼，组答案 在确定信息存在的区间后，要逐段(层)提炼，分类整合。分类整合的标准有两个： 一是看赋分，一般而言，若赋分为6分，应有3个要点；二是合并同类求同存异，就是说提炼出来的信息要点难免有同类信息，这个时候要将同类信息合并为一个要点，避免答案要点 交叉重复。 信息检索提炼“3方法” 解题思路示范 [典例1](2018·天津卷)阅读下面的文字，完成后面的题目。 虹关何处落徽墨 石红许 在冬天，在春天……为了寻找一截久违的徽墨，我孑然一人蹀躞在虹关①墨染了一样的旧弄堂里，闯进一栋又一栋装满了故事的深宅老院。我安慰自己，哪怕是能遇见寸许徽墨，也心满意足。行走在虹关，我一次又一次向墨的深处挺进，去追寻墨的风月身影。 婺源一文友善意地提醒我，虹关徽墨以及制作徽墨的人很难找了，你这样没有目的地寻找，不啻白费心神徒劳无功。我不甘心，相信在虹关的后人中一定还有人掌握了徽墨制作技艺，他们会告诉我很多关于徽墨的记忆。 欣慰的是，季节扯起的丹青屏风里，总有一棵需十余个大人合抱的千年古樟，华盖如伞，累了，就在树下坐一坐，仰望绵延浙岭，聆听“吴楚分源”的回声。穿村而过的浙源水、徽饶古道在炊烟袅袅里把日常琐碎的生活串成一幅恬谧幽静的水墨画，人在画中，画在人中，昔日贩夫走卒、野老道者的身影渐行渐远在徽墨涂抹的山水间，一丝淡淡的忧伤悄然在心里泛浮，随着雨滴从瓦片上、树叶间滚落下来，把人带进梦里故园。 一堵堵布满青苔的墙壁上还隐约留存着经年的墨迹，那是徽墨的遗韵吗？石板路上，不时与村人擦肩而过；老宅门内，不时与老人目光相撞。在虹关，我拾掇了一串烙上徽墨温度的词语：质朴、慈祥、安然，小桥、流水、人家……虹关，允许我拾取半截残墨，记下一串与徽墨有关联的大街小巷地名。 虹关伫立，徽墨式微。近百年来，科技的迅猛发展带来了五花八门的书写工具，使得人们迅速地移情别恋，墨与砚台的耳鬓厮磨，也早已被墨汁横插一杠，固态墨便黯然失色，近年来渐渐被人遗忘。到后来，实现了从纸张到数字化的华丽转身，书写也已成为少数人的事情了，墨块更是被束之高阁，制墨传习几乎无人问津。 墨，松烟的精灵，千百年来忠实地在纸上履行职责，一撇一捺站立成墨黑的姿势，氤氲香气里传承着中国文字的博大精深。徽墨，制作滥觞于南唐，兴盛于明清，享有“落纸如漆，万 第2讲立体几何中的空间角问题 高考定位以空间几何体为载体考查空间角(以线面角为主)是高考命题的重点，常与空间线面关系的证明相结合，热点为空间角的求解，常以解答题的形式进行考查，高考注重以传统方法解决空间角问题，但也可利用空间向量来求解. 真题感悟 (2017·浙江卷)如图，已知四棱锥P－ABCD，△P AD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC＝AD＝2DC＝2CB，E为PD的中点. (1)证明：CE∥平面P AB； (2)求直线CE与平面PBC所成角的正弦值. 法一(1)证明如图， 设P A中点为F，连接EF，FB. 因为E，F分别为PD，P A中点， 所以EF∥AD且EF＝1 2AD， 又因为BC∥AD，BC＝1 2AD， 所以EF∥BC且EF＝BC， 即四边形BCEF为平行四边形，所以CE∥BF. 又因为CE?平面P AB，BF?平面P AB， 因此CE∥平面P AB. (2)解分别取BC，AD的中点为M，N， 连接PN交EF于点Q，连接MQ. 因为E，F，N分别是PD，P A，AD的中点，所以Q为EF中点， 在平行四边形BCEF 中，MQ ∥CE . 由△P AD 为等腰直角三角形得PN ⊥AD . 由DC ⊥AD ，N 是AD 的中点得BN ⊥AD . 因为PN ∩BN ＝N ，所以AD ⊥平面PBN . 由BC ∥AD 得BC ⊥平面PBN ， 因为BC ?平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PBN . 过点Q 作PB 的垂线，垂足为H ，则QH ⊥平面PBC .连接MH ，则MH 是MQ 在平面PBC 上的射影，所以∠QMH 是直线CE 与平面PBC 所成的角.设CD ＝1. 在△PCD 中，由PC ＝2，CD ＝1，PD ＝2得CE ＝2， 在△PBN 中，由PN ＝BN ＝1，PB ＝3得QH ＝1 4， 在Rt △MQH 中，QH ＝1 4，MQ ＝2， 所以sin ∠QMH ＝2 8， 所以，直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值是2 8. 法二 过P 作PH ⊥CD ，交CD 的延长线于点H .不妨设AD ＝2，∵BC ∥AD ，CD ⊥AD ，则易求DH ＝1 2，过P 作底面的垂线，垂足为O ，连接OB ，OH ，易得OH ∥BC ，且OP ，OB ，OH 两两垂直.故可以O 为原点，以OH ，OB ，OP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示. (1)证明 由PC ＝AD ＝2DC ＝2CB ，E 为PD 的中点，则可得： D ? ????－1，12，0，C ? ????－1，32，0，P ? ????0，0，32，A ? ????1，12，0，B ? ????0，32，0， E ? ?? ??－12，14，34， 第2讲电磁感应及其应用 (45分钟) [基础题组专练] 1．(2020·高考全国卷Ⅲ)如图，水平放置的圆柱形光滑玻璃棒左边绕有一线圈，右边套有一金属圆环。圆环初始时静止。将图中开关S由断开状态拨至连接状态，电路接通的瞬间，可观察到( ) A．拨至M端或N端，圆环都向左运动 B．拨至M端或N端，圆环都向右运动 C．拨至M端时圆环向左运动，拨至N端时向右运动 D．拨至M端时圆环向右运动，拨至N端时向左运动 解析：开关S由断开状态拨至连接状态，不论拨至M端还是N端，通过圆环的磁通量均增加，根据楞次定律(增反减同)可得圆环会阻碍磁通量的增加，即向右运动。 答案：B 2．(2020·北京市通州区高三下学期5月检测)如图1所示，把一铜线圈水平固定在铁架台上，其两端连接在电流传感器上，能得到该铜线圈中的电流随时间变化的图线。利用该装置可探究条形磁铁在穿过铜线圈的过程中，产生的电磁感应现象。两次实验中分别得到了如图2、3所示的电流—时间图线(两次用同一条形磁铁，在距铜线圈上端不同高度处，由静止沿铜线圈轴线竖直下落，始终保持直立姿态，且所受空气阻力可忽略不计)。下列说法正确的是( ) A．条形磁铁的磁性越强，产生的感应电流峰值越大 B．条形磁铁距铜线圈上端的高度越小，产生的感应电流峰值越大 C ．条形磁铁穿过铜线圈的过程中损失的机械能越大，产生的感应电流峰值越大 D ．两次实验条形磁铁穿过铜线圈的过程中所受的磁场力都是先向上后向下 解析：如果在相同的高度处下落，则条形磁铁的磁性越强，产生的感应电动势的最大值也就越大，即感应的电流峰值越大，而现在是在不同高度处下落的，故选项A 错误；条形磁铁距铜线圈上端的高度越小，落到下端时的速度就越小，产生的感应电动势也就越小，即产生的感应电流峰值越小，选项B 错误；根据能量守恒，条形磁铁穿过铜线圈的过程中损失的机械能都转化成了焦耳热，而焦耳热越大，需要的电流就会越大，则产生的感应电流峰值也会越大，选项C 正确；根据楞次定律中的“来拒去留”的思路，两次实验条形磁铁穿过铜线圈的过程中所受的磁场力都是向上的，选项D 错误。 答案：C 3. (多选)(2020·河北唐山第一次模拟)如图所示，半径为2r 的弹性螺旋线圈内有垂直纸面向外的圆形匀强磁场区域，磁场区域的半径为r 。已知弹性螺旋线圈的电阻为R ，线圈与磁场区域共圆心，则以下说法正确的是( ) A ．保持磁场不变，线圈的半径由2r 变到3r 的过程中，有顺时针方向的电流 B ．保持磁场不变，线圈的半径由2r 变到0.5r 的过程中，有逆时针方向的电流 C ．保持半径不变，使磁场随时间按B ＝kt 变化，线圈中的电流为k πr 2 R D ．保持半径不变，使磁场随时间按B ＝kt 变化，线圈中的电流为2k πr 2 R 解析：由于磁场的面积不变，线圈的半径由2r 变到3r 的过程中，穿过线圈的磁通量不变，所以在线圈中没有感应电流产生，故A 错误；由于磁场的面积不变，线圈的半径由2r 变到0.5r 的过程中，线圈包含磁场的面积变小，磁通量变小，根据楞次定律可知，产生逆时针方向的电流，故B 正确；保持半径不变，使磁场随时间按B ＝kt 变化，根据法拉第电磁感应定律和闭合电路欧姆定律得I ＝E R ＝ΔΦ Δt R ＝ΔB ·S Δt ·R ＝k S R ＝k πr 2 R ，故C 正确，D 错误。 答案：BC 4．如图甲所示，一个圆形线圈的匝数n ＝100，线圈的面积S ＝200 cm 2 ，线圈的电阻r ＝1 Ω，线圈外接一个阻值R ＝4 Ω 的电阻，把线圈放入一方向垂直线圈平面向里的匀强磁场中，磁感应强度随时间变化规律如图乙所示。下列说法正确的是( ) 第2讲 三角恒等变换与解三角形 高考定位 1.三角函数的化简与求值是高考的命题热点，其中同角三角函数的基本关系、诱导公式是解决计算问题的工具，三角恒等变换是利用三角恒等式(两角和与差、二倍角的正弦、余弦、正切公式)进行变换，“角”的变换是三角恒等变换的核心；2.正弦定理与余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查边、角、面积的计算及有关的范围问题. 真 题 感 悟 1.(2017·全国Ⅲ卷)已知sin α－cos α＝43，则sin 2α＝( ) A.－79 B.－29 C.29 D.79 解析 sin 2α＝2sin αcos α＝（sin α－cos α）2－1－1＝－7 9. 答案 A 2.(2016·山东卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sin A )，则A ＝( ) A.34π B.π 3 C.π4 D.π6 解析 因为b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sin A )， 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝2b 2－2b 2（1－sin A ） 2b 2 ，则cos A ＝sin A . 在△ABC 中，A ＝π 4. 答案 C 3.(2017·全国Ⅰ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin B ＋ sin A (sin C －cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则C ＝( ) A.π12 B.π6 C.π4 D.π3 解析 由题意得sin(A ＋C )＋sin A (sin C －cos C )＝0， ∴sin A cos C ＋cos A sin C ＋sin A sin C －sin A cos C ＝0， 则sin C (sin A ＋cos A )＝2sin C sin ? ? ???A ＋π4＝0， 因为sin C ≠0，所以sin ? ? ? ??A ＋π4＝0， 又因为A ∈(0，π)，所以A ＋π4＝π，所以A ＝3π 4. 由正弦定理a sin A ＝c sin C ，得2sin 3π4 ＝2 sin C ， 则sin C ＝12，得C ＝π 6. 答案 B 4.(2017·全国Ⅰ卷)已知α∈? ????0，π2，tan α＝2，则cos ? ? ???α－π4＝________. 解析 由tan α＝2得sin α＝2 cos α， 又sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝1 5. 因为α∈? ? ? ??0，π2，所以cos α＝55，sin α＝255. 因为cos ? ? ???α－π4＝cos αcos π4＋sin αsin π4 ＝55×22＋255×22＝31010. 答案 31010 考 点 整 合 1.三角函数公式 (1)同角关系：sin 2α＋cos 2α＝1，sin α cos α＝tan α. (2)诱导公式：对于“k π 2±α，k ∈Z 的三角函数值”与“α角的三角函数值”的关系可按下面口诀记忆：奇变偶不变，符号看象限. (3)两角和与差的正弦、余弦、正切公式： sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； 考点一 I.全部倒装高考链接 1. At the meeting place the Yangtze River and the Jialing River_lies_(lie) Chong Qing, one of the ten largest cities in China. 2. John opened the door. There____stood_________ (stand) a girl he had never seen before. 3.—Is everyone here?—Not yet …Look, there___come__________ (come) the rest of our guests. 4. Hearing the dog barking fiercely, away___fled_______ (flee) the thief. 5, For a moment nothing happened. Then___came___ (come) the voice all shouting together. 6. Here___are___________ (be) two tickets for tonight’s concert. 7. South of the river____lies_________ (lie) a small factory. 8. Such__is_______ (be) Albert Einstein, a simple man and 20th century’s greatest scientist. 9. Just in front of the bus _lay__(lie) an injured man，all covered with blood. 10. Down__jumped( jump) the robber from the top of the building when the policeman pointed the gun at him. 11. Yesterday, present at the meeting ____are_____(be) some scientists from China.一些来自中国的科学家出席了会议。 12.There _is_(be) an experienced teacher and many lovely students in the classroom. II. 5. ---So carelessly did he drive that he almost killed himself._（转化为倒装句） 基础训练 1.I hardly think it possible to finish the job before dark. Hardly__do I think_ it possible to finish the job before dark. 2.We shall give up under no circumstances. _Under no circumstances_shall we give up. 3. He had no sooner taken office than he got down to carrying out reforms(改革)to the company. No sooner had he taken office than he got down to carrying out reforms to the company. 4. He not only makes the most of his time to study, but also take an active part in all kinds of after-class activities. Not only _does he make the most of his time to study, but also take an active part in all kinds of after-class activities. 5. ①He didn't stop working until he was tired out. ---Not until he was tired out did he_stop working. ②Not until the teacher came in did we stop talking. ---_We didn’t stop talking until the teacher came in._（还原为陈述语序） ---_It was not until the teacher came in that we stopped talking.（对not until结构强调） 6. He doesn't enjoy listening to pop music, I don’t enjoy listening to pop music, either. He doesn't enjoy listening to pop music, neither_do I enjoy listening to pop music__. 7. He realized his mistake only when he was eighteen. _Only when he was eighteen_did he realize his mistake. 8. Without your parents, you couldn't live a happy life; you couldn't have the chance to go abroad, either. Without your parents, neither_could you live a happy life_, nor_could you have the chance to go abroad__. 9. He likes surfing the Internet . So do I_(我也一样) 10. If you don't attend the party ,_neither/nor will I. (我也不参加) III.形式倒装 1. the more ,the more (more代表形容词和副词的比较级) 仿句：你学习越努力，取得的进步就越大The harder you study, the more progress you will make. 你登得越高，你就会看得越远。The higher you climb, the farther you will see._ 2. whatever或however引导让步状语 ①仿句：不管他回来多么晚，他母亲总是等他一道进餐_However late he comes back, his mother is always waiting him to have dinner together. ②仿句：不管她要什么礼物她的父母都会给她买_Whatever gift she wants, her parents will buy it for her. 3. as/ though引导让步状语 仿句：尽管他很努力，他考试不及格。_Try as he might, he failed the exam. 他虽然是我们班年龄最小的，但他的英语说的最好。Youngest as he is in our class, he speaks English best. 尽管他还是个孩子，他知道的很多。Child as he is, he knows much._ 3.感叹句: What+形容词+不可数名词+主语+谓语她是多么漂亮的一个女孩子！_What a beautiful girl she is! What a/an+形容词+名词单数+主+谓他学习多么努力！__How hard he studies! How+形/副+主+谓天气多好!__How fine it is! 实战演练 (单句语法填空) 1 Not until did 2.Not until did he realize 3. Never have 4. is 5. did 6. lies 7. stands 8. as/ though 9.so is 10. So tired was that 11. Not only will but also 12. Faced with 13. no sooner had 语法填空 真题题组 1 (2017·全国Ⅰ) There has been a recent trend in the food service industry toward lower fat content and less salt. This trend，which was started by the medical community(医学界) __1. as__ a method of fighting heart disease，has had some unintended side __2. effects__ (effect) such as overweight and heart disease—the very thing the medical community was trying to fight. Fat and salt are very important parts of a diet. They are required __3. to process__ (process) the food that we eat，to recover from injury and for several other bodily functions. When fat and salt __4. are removed__ (remove) from food，the food tastes as if it is missing something. As __5. a__ result，people will eat more food to try to make up for that something missing. Even __6. worse__ (bad)，the amount of fast food that people eat goes up. Fast food __7. is__ (be) full of fat and salt；by __8. eating__ (eat) more fast food people will get more salt and fat than they need in their diet. Having enough fat and salt in your meals will reduce the urge to snack(吃点心) between meals and will improve the taste of your food. However，be __9. careful__ (care) not to go to extremes. Like anything，it is possible to have too much of both，__10. which__ is not good for the health. 文章大意：本文是一篇说明文，主要讲述了一种低脂肪、低盐的饮食趋势及 [限时规范训练]练思维练规范练就考场满分 一、选择题 1．下列各组物质中全是内环境成分的是() A．O2、CO2、血红蛋白、H＋ B．过氧化氢酶、抗体、激素、H2O C．纤维蛋白原、Ca2＋、载体 D．Na＋、HPO2－4、葡萄糖、氨基酸 解析：血红蛋白位于红细胞内，不属于内环境的成分，A项错误；过氧化氢酶位于细胞内，不属于内环境的成分，B项错误；载体位于细胞膜上，不属于内环境的成分，C项错误；Na＋、HPO2－4、葡萄糖、氨基酸均属于内环境的成分，D项正确。 答案：D 2．下列有关动物激素的叙述中，正确的一组是() ①胰岛A细胞分泌的胰高血糖素能促进葡萄糖进入肝脏细胞合成肝糖原②生长激素和胰岛素均能与双缩脲试剂发生作用，产生紫色反应③人体细胞衰老时由于没有酪氨酸无法合成黑色素，继而出现白头发④当血液中缺碘时，甲状腺激素浓度降低，会引起下丘脑分泌促甲状腺激素释放激素增加 A．①②B．③④ C．①③D．②④ 解析：①胰岛A细胞分泌的胰高血糖素能促进肝糖原分解和非糖物质的转化，从而升高血糖，①错误；②生长激素和胰岛素的化学本质均为蛋白质，因此均能与双缩脲试剂发生作用，产生紫色反应，②正确；③人体细胞衰老时因为酪氨酸酶活性下降，无法合成黑色素，继而出现白头发，③错误；④当血液中缺碘时，甲状腺激素浓度降低，会引起下丘脑分泌促甲状腺激素释放激素增加，④正确。所以D选项是正确的。 答案：D 3．下面关于下丘脑功能的叙述中，正确的是() ①大量出汗后，下丘脑分泌的抗利尿激素增加 ②寒冷刺激使下丘脑分泌促甲状腺激素，促进甲状腺的活动来调节体温 ③下丘脑是体温调节的高级中枢，在下丘脑产生冷觉和热觉 ④血糖浓度低时，下丘脑通过有关神经的作用，促进胰岛A细胞的分泌活动 ⑤内环境渗透压的增高，使下丘脑某部位产生的神经冲动传至大脑皮层产生渴觉 A．①②③B．②③④ C．②④⑤D．①④⑤ 解析：抗利尿激素促进肾小管和集合管对水的重吸收，①正确；下丘脑分泌促甲状腺激素释放激素，垂体分泌促甲状腺激素，②错误；冷觉和热觉产生部位是大脑皮层，下丘脑中具有体温调节中枢，③错误；血糖浓度低时，下丘脑通过有关神经的作用，促进胰岛A细胞的分泌活动，分泌 2021年高考物理二轮复习 第一阶段专题二第2讲 专题特辑 课堂 针对考 点强化训练 1．(xx·福建高考)如图2－2－4所示，表面光滑的固定斜面顶端安装一定滑轮，小物块A 、B 用轻绳连接并跨过滑轮(不计滑轮的质量和摩擦)。初始时刻，A 、B 处于同一高度并恰好处于静止状态。剪断轻绳后A 下落、B 沿斜面下滑，则从剪断轻绳到物块着地，两物块( ) 图2－2－4 A ．速率的变化量不同 B ．机械能的变化量不同 C ．重力势能的变化量相同 D ．重力做功的平均功率相同 解析：选D 由题意根据力的平衡有m A g ＝m B g sin θ，所以m A ＝m B sin θ。根据机械能守 恒定律mgh ＝12 mv 2，得v ＝2gh ，所以两物块落地速率相等，选项A 错；因为两物块的机械能守恒，所以两物块的机械能变化量都为零，选项B 错误；根据重力做功与重力势能变化的关系，重力势能的变化为ΔE p ＝－W G ＝－mgh ，选项C 错误；因为A 、B 两物块都做匀变速运动， 所以A 重力的平均功率为P —A ＝m A g ·v 2，B 重力的平均功率P —B ＝m B g ·v 2cos ? ?? ??π2－θ，因为m A ＝m B sin θ，所以P —A ＝P —B ，选项D 正确。 2．(xx·莆田质检)如图2－2－5所示，轻质弹簧的一端与固定 的竖直板P 栓接，另一端与物体A 相连，物体A 置于光滑水平桌面上， A 右端连接一细线，细线绕过光滑的定滑轮与物体 B 相连。开始时托 住B ，让A 处于静止且细线恰好伸直，然后由静止释放B ，直至B 获 得最大速度。下列有关该过程的分析中正确的是( ) A ． B 物体受到细线的拉力保持不变 图2－2－5 B ．B 物体机械能的减少量小于弹簧弹性势能的增加量 C ．A 物体动能的增量等于B 物体重力对B 做的功与弹簧弹力对A 做的功之和 D ．A 物体与弹簧所组成的系统机械能的增加量等于细线拉力对A 做的功 解析：选D 设细线的张力为T ，弹簧的弹力为F ，B 的质量为M ，A 的质量为m 。静止释放B ，A 向右加速，B 向下加速。对B 、A 物体受力分析知，Mg －T ＝Ma ① T －F ＝ma ② 第2讲分类讨论思想、转化与化归思想 高考定位分类讨论思想、转化与化归思想近几年高考每年必考，一般体现在解析几何、函数与导数及数列解答题中，难度较大. 1.中学数学中可能引起分类讨论的因素 (1)由数学概念而引起的分类讨论：如绝对值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、直线的倾斜角等. (2)由数学运算要求而引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根被开方数为非负数，对数运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式中两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域，等比数列{a n}的前n项和公式等. (3)由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论：如函数的单调性、基本不等式等. (4)由图形的不确定性而引起的分类讨论：如二次函数图象、指数函数图象、对数函数图象等. (5)由参数的变化而引起的分类讨论：如某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，或者由于对不同的参数值要运用不同的求解或证明方法等. 2.常见的转化与化归的方法 转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时，思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形，也就是转化到另一种情境使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是获取成功的思维方式.常见的转化方法有： (1)直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题. (2)换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题. (3)数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式(图形)关系，通过互相变换获得转化途径. (4)等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到化归的目的. (5)特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的问题、 专题训练 对应学生用书P102 [1] In our modern world, when something wears out, we throw it away and buy a new one. The __1__ is that countries around the world have growing mountains of __2__ because people are throwing out more rubbish than ever before. How did we __3__ a throwaway society? First of all, it is now easier to __4__ an object than to spend time and money to repair it. __5__ modern manufacturing (制造业) and technology, companies are able to produce products quickly and inexpensively.Products are plentiful and __6__. Another cause is our __7__ of disposable (一次性的) products. As __8__ people, we are always looking for __9__ to save time and make our lives easier. Companies __10__ thousands of different kinds of disposable products: paper plates, plastic cups，and cameras, to name a few. Our appetite for new products also __11__ to the problem.We are __12__ buying new things. Advertisements persuade us that __13__ is better and that we will be happier with the latest products. The result is that we __14__ useful possessions to make room for new ones. All around the world, we can see the __15__ of this throwaway lifestyle. Mountains of rubbish just keep getting bigger. To __16__ the amount of rubbish and to protect the __17__，more governments are requiring people to recycle materials. __18__，this is not enough to solve(解决) our problem. Maybe there is another way out. We need to repair our possessions __19__ throwing them away. We also need to rethink our attitudes about __20__. Repairing our possessions and changing our spending habits may be the best way to reduce the amount of rubbish and take care of our environment. 【语篇解读】本文是一篇议论文。现代社会中，人们扔掉的垃圾越来越多。文章讨论了产生这种问题的原因，并提出了改变消费方式、利用可再生原料、保护环境等解决对策。 1．A.key B．reason 第4讲 直线与圆的综合求解策略 例5 在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上． (1)求圆C 的方程； (2)若圆C 与直线x －y ＋a ＝0交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，求a 的值． 审题破题 (1)求出圆上三点，根据三点坐标灵活设出圆的方程；(2)将直线和圆的方程联立，根据根与系数的关系，转化已知条件求出a 的值． 解 (1)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)． 故可设圆C 的圆心为(3，t )， 则有32＋(t －1)2＝(22)2＋t 2， 解得t ＝1. 则圆C 的半径为32＋(t －1)2＝3. 所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其坐标满足方程组： ? ???? x －y ＋a ＝0，(x －3)2＋(y －1)2＝9. 消去y ，得到方程2x 2＋(2a －8)x ＋a 2－2a ＋1＝0. 由已知可得，判别式Δ＝56－16a －4a 2 >0. 设x 1，x 2是方程的两根， 从而x 1＋x 2＝4－a ，x 1x 2＝ a 2－2a ＋12.① 由于OA ⊥OB ， 可得x 1x 2＋y 1y 2＝0， 又y 1＝x 1＋a ，y 2＝x 2＋a ， 所以2x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋a 2 ＝0.② 由①②得a ＝－1，满足Δ>0，故a ＝－1. 构建答题模板 第一步：求出曲线与坐标轴的交点坐标(两条坐标轴)； 第二步：求出圆心和半径并且写出圆的方程； 第三步：将直线和圆的方程联立； 第四步：求出联立后方程的判别式以及根与系数的关系； 第五步：根据垂直的等价条件——数量积为零求出字母a 的值. 跟踪训练5 (2014·课标全国Ⅰ)已知点P (2,2)，圆C ：x 2＋y 2 －8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点． (1)求M 的轨迹方程； (2)当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积． 解 (1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16， 所以圆心为C (0,4)，半径为4. 设M (x ，y )，则CM →＝(x ，y －4)，MP →＝(2－x,2－y )． 由题设知CM →·MP →＝0， 故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0， 即(x －1)2＋(y －3)2＝2. 由于点P 在圆C 的内部， 所以M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2. (2)由(1)可知M 的轨迹是以点N (1,3)为圆心，2为半径的圆． 由于|OP |＝|OM |，故O 在线段PM 的垂直平分线上． 又P 在圆N 上，从而ON ⊥PM . 因为ON 的斜率为3，所以l 的斜率为－13 ， 故l 的方程为y ＝－13x ＋83 . 又|OM |＝|OP |＝22，专题四第2讲
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