【关键字】情况、方法、问题、发现、位置、关键、需要、标准、分析
数出某种图形的个数是一类有趣的图形问题。由于图形千变万化，错综复杂，所以要想准确地数出其中包含的某种图形的个数，还真需要动点脑筋。要想有条理、不重复、不遗漏地数出所要图形的个数，最常用的方法就是分类数。
例1数出下图中共有多少条线段。
分析与解：我们可以按照线段的左端点的位置分为A，B，C三类。如下图所示，以A为左端点的线段有3条，以B为左端点的线段有2条，以C为左端点的线段有1条。所以共有3＋2＋1＝6(条)。
我们也可以按照一条线段是由几条小线段构成的来分类。如下图所示，AB，BC，CD是最基本的小线段，由一条线段构成的线段有3条，由两条小线段构成的线段有2条，由三条小线段构成的线段有1条。
所以，共有3＋2＋1＝6(条)。
由例1看出，数图形的分类方法可以不同，关键是分类要科学，所分的类型要包含所有的情况，并且相互不重叠，这样才能做到不重复、不遗漏。
例2 下列各图形中，三角形的个数各是多少？
分析与解：因为底边上的任何一条线段都对应一个三角形(以顶点及这条线段的两个端点为顶点的三角形)，所以各图中最大的三角形的底边所包含的线段的条数就是三角形的总个数。由前面数线段的方法知，
图(1)中有三角形1＋2＝3(个)。
图(2)中有三角形1＋2＋3=6(个)。
图(3)中有三角形1＋2＋3＋4＝10(个)。
图(4)中有三角形1＋2＋3＋4＋5＝15(个)。
图(5)中有三角形
1＋2＋3＋4＋5＋6=21(个)。
例3下列图形中各有多少个三角形？
分析与解：(1)只需分别求出以AB，ED为底边的三角形中各有多少个三角形。
以AB为底边的三角形ABC中，有三角形
1＋2＋3＝6(个)。
以ED为底边的三角形CDE中，有三角形
1＋2＋3＝6(个)。
所以共有三角形6＋6=12(个)。
这是以底边为标准来分类计算的方法。它的好处是可以借助“求底边线段数”而得出三角形的个数。我们也可以以小块个数作为分类的标准来计算：图中共有6个小块。
由1个小块组成的三角形有3个；
由2个小块组成的三角形有5个；
由3个小块组成的三角形有1个；
由4个小块组成的三角形有2个；
由6个小块组成的三角形有1个。
所以，共有三角形
3＋5＋1＋2＋1＝12(个)。
(2)如果以底边来分类计算，各种情况较复杂，因此我们采用以“小块个数”为分类标准来计算：由1个小块组成的三角形有4个；
由2个小块组成的三角形有6个；
由3个小块组成的三角形有2个；
由4个小块组成的三角形有2个；
由6个小块组成的三角形有1个。
所以，共有三角形
4＋6＋2＋2＋1＝15(个)。
例4右图中有多少个三角形？
解：假设每一个最小三角
形的边长为1。按边的长度来分
类计算三角形的个数。
边长为1的三角形，从上到下一层一层地数，有
1＋3＋5＋7=16(个)；
边长为2的三角形(注意，有一个尖朝下的三角形)有1＋2＋3＋1=7(个)；
边长为3的三角形有1＋2＝3(个)；
边长为4的三角形有1个。
所以，共有三角形
16＋7＋3＋1＝27(个)。
例5数出下页左上图中锐角的个数。
分析与解：在图中加一条虚线，如下页右上图。容
易发现，所要数的每个角都对应一个三角形(这个角与它所截的虚线段构成的三角形)，这就回到例2，从而回到例1的问题，即所求锐角的个数，就等于从O点引出的6条射线将虚线截得的线段的条数。虚线上线段的条数有
1+2+3+4+5=15(条)。
所以图中共有15个锐角。
例6在下图中，包含“*”号的长方形和正方形共有多少个？
解：按包含的小块分类计数。
包含1小块的有1个；包含2小块的有4个；
包含3小块的有4个；包含4小块的有7个；
包含5小块的有2个；包含6小块的有6个；
包含8小块的有4个；包含9小块的有3个；
包含10小块的有2个；包含12小块的有4个；
包含15小块的有2个。
所以共有
1＋4＋4＋7＋2＋6＋4＋3＋2＋4＋2=39(个)。
练习11
1.下列图形中各有多少条线段？
2.下列图形中各有多少个三角形？
3.下列图形中，各有多少个小于180°的角？
4.下列图形中各有多少个三角形？
5.下列图形中各有多少个长方形？
6.下列图形中，包含“*”号的三角形或长方形各有多少？
7.下列图形中，不含“*”号的三角形或长方形各有几个？
（进士）春季备课教员：××× 第三讲分类数图形 一、教学目标：1、学会分类数图形的方法。 2、遵循不重复、不遗漏的原则，就能使数数的结果准确。 3、根据数的过程发现规律，培养有序思考问题的能力。 二、教学重点：学会分类数图形的方法。遵循不重复、不遗漏的原则，就能 使数数的结果准确。 三、教学难点：能够根据数的过程发现规律。 四、教学准备：PPT 五、教学过程： 第一课时（50分钟） 一、导入（8分) 师：同学们，你们看老师手上拿的是什么？ 生：扑克牌。 师：老师今天要用这其中的十张牌来玩一个游戏，想玩吗？ 生：非常想。 师：看，这里的A代表1，另外的是2到10。大家都认识吗？ 生：认识。 师：那我们就来玩一下“我抽你猜”的游戏。也就是老师任意从这十张牌中抽一张，你们来说我抽的是几，好吗？ 生：好。 （游戏开始，开始按一定的顺序抽，然后故意打乱顺序，也可以重复地抽相同的牌。） 师：同学们，太厉害了，这些牌都认识了。现在老师要考考大家，谁能说说老师刚才抽牌的顺序？第一张抽的是几？第二张抽的是几？…… 生：（学生试着说。） 师：同学们都觉得说出来会比较吃力，并且很容易出错，是吗？ 生：是的。 师：老师也记不住，因为抽的牌太多了，太乱了是吗？ 生：是的。 师：现在我们重新玩一次，准备好了吗？ （游戏开始，按从左往右的顺序抽，1-10的顺序。） 师：现在谁能告诉老师刚才的抽牌顺序？ 生：1-10。 师：太棒了！为什么两次都是玩抽牌游戏，第二次比第一次的顺序好记呢？生：因为老师第二次是按1-10的顺序来抽牌的。 师：对，我们按照一定的顺序来抽牌，就不会重复，也不会遗漏，并且能准确
第 4讲找规律（图形规律） 数学故事/游戏 有一个立方体,每个面上分别写上数字1、2、3、4、5、6、,有3个人从不同的角度观察的结果如下图所示,这个立方体的每一个数字的对面各是什么数字? 6 2 5 1 4 3 1 4 3 例题 1. 观察图 5-4 中各组图形的规律，填出问号处的图形 . （1） （2） 2.下图表示“宝塔”，它们的层数不同，但都是由一样大的小三角形摆成的.仔细观察后，请回 答：（1）五层的“宝塔”的最下层包含多少个小三角形？ （2）整个五层“宝塔”一共包含多少个小三角形？ 3.下图是由9个小人排列的方阵，但有一个小人没有到位，请你从下面图10—2中的6个小人中，选一位小 人放到问号的位置，你认为最合适的人选是几号? 4. 图 5-3所示的两组图形中的数各自都有规律，请先把规律找到，再添上空缺的数. (1) 5．根据下面的图和字母的关系，将 ad 的图补上. 6．左下图中共有 12 个小图形，每一个不同的小图形表示 1～9 中的一个数码，每行的三个图形表示一个三位数，四行表示四个三位数：146，521，658和692.问第二行表示哪个三位数？ 课堂练习 练习 1.下图是按照一定规律排列起来的,请按这一规律在“?”处画出适当的图形. ？ 练习 2.按规律填图. 如果变成那么应变为 练习 3.在图中找出与众不同的那个图形(). (1)(2)(3)(4)(5)(6) 练习 4.观察下图中各图形的规律，填出“？”处的图形.
(2) 练习5．下面的每一个图形都是由△，□，○中的两个构成的.观察各图形与它下面的数之间的关系， 则“？”应当是几？ 课后练习得分__________________ 1．下图中已经画出了三个图，请将第四个图补全. 2. 请找一找图形的变化规律,在空格处画出恰当的图形. 5.图8-1中的3个图形都是由A、B、C、D（线段或圆）中的两个组合而成，记为A*B，C*D，A*D.请你 画出表示A*C的图形. 6．右上图中，每个圆代表一个数码，每横行的三个圆从左到右看做一个三位数，四行表示的四个三位数是 890， 784，361，256. 那么，代表的五位数是几？ 3. 观察图 5-9 中各组图形中数的规律，填出“？”处的数. 个性化补充练习 (1) 【思考题】如图，请按照已有图形的规律画出下一个图形. ——————— (2) 4. 按规律填画图. 如果变成那么应变成
第3讲.有趣的数阵图 数阵图，就是把一些数按照一定的规则，填在某一特定图形的规定位置上，这种图形，我们称它为数阵图。数阵图的种类繁多、绚丽多彩，这里我们将主要介绍两种数阵图，即封闭型数阵图和开放型数阵图。 解答这类问题时，常用以下知识： 1.等差数列的求和公式： 总和=（首项+末项）x项数/2 2.计算中的奇偶问题： 奇数+奇数=偶数 偶数+偶数=偶数 奇数+偶数=奇数 3.10以内数字有如下关系： （1）1+9=2+8=3+7=4+6 （2）1+8=2+7=3+6=4+5 （3）2+9=3+8=4+7=5+6 在解答这类问题时，要善于确定所求的和与关键数字间的关系式，用试验的方法，找到相等的和与关键数字；要会对基本解中的数进行适当调整，得到其他的解，从而培养自己的观察能力、思维的灵活性和严密性。 例1．把1,2,3,4,5,6这六个数填在如下图的6个圆圈中，使每条边上的三个数之和都等于9. 例2．把1,2,3,4,5,6填在如下图的6个圆圈中，使每条边上的三个数之和相等，有几个基本解？ 随堂练习1 （1）将1~4这四个数分别填入图中内数的和相等。 (1) (2) （2）把数字1,3,4,5,6分别填在上图三角形3条边上的5个圆圈内，使每条边上3个圆圈内数的和等于9。 例3.把1~12这十二个数，分别填在如右图中正方形四条边上的十二个圆圈内，使每条边上四个圆圈内数的和都等于22，试求出一个基本解。
随堂练习2 将数字1，2，3，4，5，6填入图中的小圆圈内，使每个大圆上4个数字的和都是16. 例4.把1~7这七个数分别填入如图中的各个圆圈内，使每条线段上三个圆圈内的数的和相等。 例5 .将1~9这九个数，分别填入如图中的各个圆圈内，使每条线段上三个圆圈内的和相等。 例6.把1~11这十一个数分别填入如图中的各个圆圈内，使每条线段上三个圆圈内的数的和都等于22. 随堂练习3. （1）将1~5这五个数分别填入如果中的圆圈内，使每条线段上三个圆圈内的和相等。 (1) (2) （2）将6~10这五个数分别填入如图中的圆圈内，使每条线段上三个圆圈内的数的和相等。
第三讲数数与计数（二） 例1 数一数，图3－1中共有多少点？ 解：（1）方法1：如图3－2所示从上往下一层一层数： 第一层 1个 第二层 2个 第三层 3个 第四层 4个 第五层 5个 第六层 6个 第七层 7个 第八层 8个 第九层 9个 第十层 10个
第十二层 8个 第十三层 7个 第十四层 6个 第十五层 5个 第十六层 4个 第十七层 3个 第十八层 2个 第十九层 1个 总数1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1 =（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）+（9+8+7+6+5+4+3+2+1）=55+45=100（利用已学过的知识计算）. （2）方法2：如图3－3所示：从上往下，沿折线数 第一层 1个 第二层 3个 第三层 5个 第四层 7个 第五层 9个
第七层 13个 第八层 15个 第九层 17个 第十层 19个 总数：1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=100（利用已学过的知识计算）. （3）方法3：把点群的整体转个角度，成为如图3－4所示的样子，变成为10行10列的点阵.显然点的总数为10×10=100（个）. 想一想： ①数数与计数，有时有不同的方法，需要多动脑筋. ②由方法1和方法3得出下式： 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=10×10 即等号左边这样的一串数之和等于中间数的自乘积.由此我们猜想： 1=1×1 1+2+1=2×2 1+2+3+2+1=3×3 1+2+3+4+3+2+1=4×4 1+2+3+4+5+4+3+2+1=5×5
第三讲数图形的规律 【专题导引】 我们已经认识了线段、角、三角形、长方形等基本图形，当这些图形重重叠 叠地交错在一起时就构成了复杂的几何图形。要正确数出图形的个数，就必须有次序、有条理地数，关键是要从基本图形入手。首先要弄清图形中包含的基本图形是什么，有多少个，然后再数出由基本图形组成的新的图形，并求出它们的和。 【典型例题】 【例1】数出下面图中有多少条线段。 【思路导航】从图中可以看出，从A点出发的不同线段有3条：AB、AC、AD；从B点出发的不同线段有2条：BC、BD；从C点出发的不同线段有1条：CD。简单来说，就是要数有几个间隔，有三个间隔。因此，图中共有3+2+1=6条线段。【试一试】 1.数出下图中有多少条线段 2.数出下图中有几个锐角 【例2】数一数下图中共有多少个三角形。 A B C D E E A B C D O D C B A
【思路导航】图中BE边上的每一条线段与顶点A构成一个三角形，也就是说，BE边上有几条线段，就构成了几个三角形，因为BE上有4个点，共有1+2+3=6条线段，所以图中有6个三角形。 【试一试】 1.数出下图中分别有多少个三角形 2. 数出图中共有多少个平行四边形 【例3】数出下图中有多少个长方形 【思路导航】数图形中有多少个长方形和数三角形的方法一样，长方形是由长宽两对线段围成，线段CD上有3＋2＋1=6条线段，其中每一条与AC中一条线段对应，分别作为长方形的长和宽，这里共有6×1=6个长方形；而AC上共2＋1=3条线段也就有6×3=18个长方形。它的计算公式为： 长方形的总数=长边线段的总数×宽边线段的总数 【试一试】数一数，下面各图中分别有几个长方形 【例4】数一数，下图中有多少个正方形（每个小方格是边长为1的正方形） F E D C B A K G I H G F E D C B A D B C A
第二讲：找规律画图 哪吒智闯水晶宫—开门密码：哪吒闯过了巡海大将 “夜叉”这一关，刚想进入水晶宫，突然从宫门里射出 许多暗器，哪吒急忙后退几大步，灵活的躲过了暗器， 再想进入宫中时，却发现宫门已关上了，哪吒愤怒的责 问夜叉：“为什么关门？钥匙在哪里？不然我砸碎大 门！”夜叉冷笑道：“此宫门用最硬的钻石做成的，就 是用孙悟空的金箍棒、太上老君的金钢圈也休想击破此 门，唯一开启的方法就是做出宫门上的问题。”说完夜 叉带着他的虾兵蟹将走了。哪吒果真在宫门上发现了一个特殊的图案： 哪吒想了想，很有信心的在地上捡了块水晶，在最后一个方框里面画上了一个图案，哪吒刚画完，只见宫门缓缓的打开了。聪明的小朋友们，你们知道哪吒画的什么吗？ 例题精讲 例1观察下列图形的变化，想一想，按图形变化的规律，在空白处应画什么样的图形？（简单，数量的变化） 分析: 在方向上,图1图2画的是笑脸,只不过是数量上有增减;图2图4所画的虽不相同,但是数量和位置相同.从而我们确定,图3图4画的都是月亮,并且图3位置和数量都与图1相同. 答案:
例2 小强家小狗很喜欢啃骨头，下面是小强用小狗啃的骨头 摆出来的图形，观察下面图形的变化，请你帮小强接着再画出一幅图来。 （简单-数量的变化） 分析:观察上面的图发现，横着看最下面一排的骨头每次多一块，第二排的骨头也每次多一块，依次类推。从形状上看像楼梯，第一幅图是1块，第二幅图是按照1、2的顺序排列，第三幅图是按照1、2、3的顺序来排列。那么第四幅图就是按照1、2、3、4的顺序排列。 答案: 例3 小红在院子里采了许多花,把它们整整齐齐的排列着.接下来应该怎么放? （较简单-数量的变化） 分析:仔细观察两种花的变化规律，第一种花从1变到3，是单数递增变化，第二种花从2变到4，是双数递增变化，则接下来应该放
【专题导引】 我们已经认识了线段、角、三角形、长方形等基本图形，当这些图形重重叠叠地交错在一起时就构成了复杂的几何图形。要正确数出图形的个数，就必须有次序、有条理地数，关键是要从基本图形入手。首先要弄清图形中包含的基本图形是什么，有多少个，然后再数出由基本图形组成的新的图形，并求出它们的和。 【典型例题】 【例1】数出下面图中有多少条线段。 【思路导航】从图中可以看出，从A点出发的不同线段有3条：AB、AC、AD；从B点出发的不同线段有2条：BC、BD；从C点出发的不同线段有1条：CD。简单来说，就是要数有几个间隔，有三个间隔。因此，图中共有3+2+1=6条线段。【试一试】 1.数出下图中有多少条线段？ 2.数出下图中有几个锐角？ 【例2】数一数下图中共有多少个三角形。 A B C D E 【思路导航】图中BE边上的每一条线段与顶点A构成一个三角形，也就是说，
BE边上有几条线段，就构成了几个三角形，因为BE上有4个点，共有1+2+3=6条线段，所以图中有6个三角形。 【试一试】 1.数出下图中分别有多少个三角形？ 2. 数出图中共有多少个平行四边形？ 【例3】数出下图中有多少个长方形？ 【思路导航】数图形中有多少个长方形和数三角形的方法一样，长方形是由长宽两对线段围成，线段CD上有3＋2＋1=6条线段，其中每一条与AC中一条线段对应，分别作为长方形的长和宽，这里共有6×1=6个长方形；而AC上共2＋1=3条线段也就有6×3=18个长方形。它的计算公式为： 长方形的总数=长边线段的总数×宽边线段的总数 【试一试】数一数，下面各图中分别有几个长方形？ 【例4】数一数，下图中有多少个正方形？（每个小方格是边长为1的正方形）
第三讲 数阵图 一、知识点： 一些数按照一定的规则，填在某一特定图形的规定位置上，这种图形，我们称它为“数阵图”，数阵图的种类繁多，绚丽多彩，这里只向大家介绍三种数阵图，即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图。在解答这类问题时，要善于确定所求的和与关键数字间的关系式，用试验的方法，找到相等的和与关键数字：要会对基本解中的数进行适当调整，得到其他的解，从而培养自己的观察能力，思维的灵活性和严密性。 二、典例剖析： 例（1） 将1~6分别填在图中,使每条边上的三个○内的数的和都等于9. 分析： 因为 1＋2＋3＋4＋5＋6 = 21 ，而每条边上的三个数的和为9，则三条边上的和为 9×3 = 27 ， 27－21 = 6 ， 这个 6 就是由于三个顶点都被重复算了一次。所以三个顶点的和为 6 ，在 1-----6中，只能选1、2、3 填入三个顶点中，再将4、5、6填入另外的三个圈即可。 解： b . c . d . e . f . 练一练： 把1~8个数分别填入○中,使每条边上三个数的和相等 . 答案:
例（2 ）把1~7填入下图中,使每条线段上三个○内的数的和相等. 分析： 中心圆填入的数设为x ，x 参与3条线的连加，设每条线数字和都为S.由题意： 1+2+3+…+7+2x=3S 即28+2x=3S 或28+2x ≡0（mod 3） 借用同余工具，是在两个未知数的不定方程中先缩小x 应该取值的范围.在mod3情况下，只要试探x ≡0，1，2三个值，很轻松地解出：x ≡1（mod3），回复到x 取值范围为1，2，…，7.有x 1=1，x 2=4，x 3=7， 得到：x 1=1，S 1=10；x 2=4，S 2=12；x 3=7，S3=14； 由此看出关键在求S （公共和）及x （参与相加次数最多的圆中值）. 解： a . b 练一练： 把1~11填入图中,使每条线上三个数的和相等. 答案:
教学目标 立体图形，主要考点集中在不规则形体的表面积与体积计算。其中有自成一类的“染色问题” 见到的“几何奥数题”。 小学阶段，我们除了学习平面图形外， 还认识了一些简单的立体图形， 如长方体、 直圆柱体，直圆锥体、球体等，并且知道了它们的体积、表面积的计算公式，归纳如下。 ★★★ 正方体：我们也可以称其为立方体，它是一种特殊的长方体，它的六个面 都是正方形.如果它的棱长为 a ，那么可得： 2 正方体的表面积：S 正方形 6a 正方体的体积：V 正方形 a 3 （06年武汉明心数学挑战赛） 如右图，两个人正在为一个开口为正方形的长方体容器中是否 正好装了一半水而争吵.请你设计一种方案，不用其他任何工具与 设备，并且不能把水倒出来而判断出容器中的水是否正好装了一半. 第三讲 几何之立体图形 ，也是经常 正方体（立方体）、 ★★★ 长方体：若长方体的长、宽、高分别为 a,b,c ，那么可得: 长方体的表面积：S 长方形 2( ab be ac ) 长方体的体积：V 长方形 abc 圆柱体的底面是圆，其半径为 r ；圆柱体的侧面展开图是一个 ★★★ 圆柱体：如右图， 长方形，长方形的宽相当于圆柱体的高，长相当于圆柱体的底面周长; 圆柱体的表面积：S a 柱 侧面积2个底面积 2 rh 2 r 2 圆柱体的体积：V 圆柱 r 2h ★★★ 圆锥体：如右图, 个扇形； 圆锥体的底面是圆，其半径为 r ；圆锥体的侧面展开图是 圆锥体的体积: ★★★ 球体: 1 2. -r h 3 V 4 r 3 V 球体 3 r 有许多几何趣题，解答这些趣题的关键在于精巧的构思和恰当的设计, V 圆锥体 在数学竞赛中， 把形象思维和抽象思维结合起来。
第三讲 数图形的规律 【专题导引】 我们已经认识了线段、角、三角形、长方形等基本图形，当这些图形重重叠 叠地交错在一起时就构成了复杂的几何图形。要正确数出图形的个数，就必须有次序、有条理地数，关键是要从基本图形入手。首先要弄清图形中包含的基本图形是什么，有多少个，然后再数出由基本图形组成的新的图形，并求出它们的和。 【典型例题】 【例1】数出下面图中有多少条线段。 【思路导航】从图中可以看出，从A 点出发的不同线段有3条：AB 、AC 、AD ；从B 点出发的不同线段有2条：BC 、BD ；从C 点出发的不同线段有1条：CD 。简单来说，就是要数有几个间隔，有三个间隔。因此，图中共有3+2+1=6条线段。 【试一试】 1.数出下图中有多少条线段？ 2.数出下图中有几个锐角？ 【例2】数一数下图中共有多少个三角形。 E A B C D O D C B A
A B C D E 【思路导航】图中BE 边上的每一条线段与顶点A 构成一个三角形，也就是说， BE 边上有几条线段，就构成了几个三角形，因为BE 上有4个点，共有1+2+3=6 条线段，所以图中有6个三角形。 【试一试】 1.数出下图中分别有多少个三角形？ 2. 数出图中共有多少个平行四边形？ 【例3】数出下图中有多少个长方形？ 【思路导航】数图形中有多少个长方形和数三角形的方法一样，长方 形是由长宽两对线段围成，线段CD 上有 3＋2＋1=6条线段，其中每 一条与AC 中一条线段对应，分别作为长方形的长和宽，这里共有6 ×1=6个长方形；而AC 上共2＋1=3条线段也就有6×3=18个长方形。 它的计算公式为： 长方形的总数=长边线段的总数×宽边线段的总数 【试一试】数一数，下面各图中分别有几个长方形？ A K G I H G F E A D B C A
找规律是解决数学问题的一种重要的手段，而规律的找寻既需要敏锐的观察力，又需要严密的逻辑推理能力.一般地说，在观察图形变化规律时，应抓住一下几点来考虑问题： ⑴图形数量的变化； ⑵图形形状的变化； ⑶图形大小的变化； ⑷图形颜色的变化； ⑸图形位置的变化； ⑹图形繁简的变化. 对于较复杂的图形，也可分为几部分来分别考虑，总而言之，只要全面观察，勤于思考就一定能抓住规律，解决问题. 模块一、图形规律——数量规律 【例 1】观察这几个图形的变化规律，在横线上画出适当的图形． 【考点】图形找规律【难度】1星【题型】填空 【解析】几个图形的边数依次增加，因此横线上应为一个七边形． 【答案】七边形 【例 2】请找出下面哪个图形与其他图形不一样. （1）（2）（3）（4）（5） 【考点】图形找规律【难度】1星【题型】填空 【解析】这组图形的共同特征是，连接各边上一点，组成一个复合图形.所不同的是，第四个图形是一个六边形，而其它几个都是四边形，这样，只有（4）与其它不一样 【答案】（4） 【例 3】观察图形变化规律，在右边补上一幅，使它成为一个完整系列。 【考点】图形找规律【难度】2星【题型】填空 【解析】观察发现，乌龟的顺序是：头、身→一只脚、背上一个点→两只脚、背上两个点→两只脚、一条尾、背上三个点→三只脚、一条尾、背上四个点，根据这个规律，最后一幅图应该是：→四只脚、一条尾、背上五个点.即： 【答案】 例题精讲 知识点拨 4-1-2.图形找规律
【例 4】 观察图形的变化，想一想，按图形的变化规律，在带 “？”的空格处应画什么样的图形？ 【考点】图形找规律 【难度】2星 【题型】填空 【解析】 横着看，每行圆形的个数一次减少，而三角形的个数依次增加，但每行图形的总个数不变.因为圆形 的个数是按4、3、？、1的顺序变化的，显然“？”处应填一个圆形。 【答案】圆形 【巩固】 观察图形的变化，想一想，按图形的变化规律，在带“？”的空格处应画什么样的图形？ 【考点】图形找规律 【难度】2星 【题型】填空 【解析】 （方法一）横着看，每行圆形的个数一次减少，而三角形的个数依次增加，但每行图形的总个数不 变.因为圆形的个数是按5、4、3、？、1的顺序变化的，显然“？”处应填一个圆形. (方法二)竖着看，圆形由左而右依次减少，而三角形由左而右依次增加，圆形按照5、4、？、2、1的顺序变化，也可以看出 “？”处应是圆形. 【答案】圆形 【巩固】 观察图形的变化，想一想，按图形的变化规律，在带“？”的空格处应画什么样的图形？ ？ 【考点】图形找规律 【难度】2星 【题型】填空 【解析】 （方法一）横着看，每行三角形的个数依次减少，而正方形的个数依次增加，但每行图形的总个数 不变.因为三角形的个数是按4、3、？、1的顺序变化的，显然“？”处应填一个三角形△. (方法二)竖着看，三角形由左而右依次减少，而正方形由左而右依次增加，三角形按照4、？、2、1的顺序变化，也可以看出 “？”处应是三角形△. 【答案】△ 【例 5】 观察下面的图形，按规律在“？”处填上适当的图形. （5） （4） （3） （2） （1） ？ 【考点】图形找规律 【难度】2星 【题型】填空 【解析】 本题中，几何图形的变化表现在数量关系上，图中黑三角形的个数从左到右依次增多，从（2）起， 每一个格比前面一个格多两个黑三角形，所以，第（4）个方框中应填七个黑三角形. 【答案】七个黑三角形 【例 6】 观察图形变化规律，在右边再补上一幅，使它们成为一个完整的系列. 【考点】图形找规律 【难度】2星 【题型】填空 【解析】 第一格有8个圆圈，第二格有4个圆圈，第三格有2个圆圈，第四格有1个圆圈，第五格有半个圆 圈.由此发现，前一格中的图减少一般，正好是后一格的图.所以第六格的图应该是第五格图的一半， 即：
第三讲 数表与图形规律（答案） 1． 下面的图形是按一定规律排列的，请仔细观察，并在“？”处填上适当的图形． ⑴ 第3组 第2组 第1组 ⑵ 第1组 第2组 第3组 ⑶ 第2组 第1组 第2组 第3组 【分析】 ○▲ 2． 根据前三幅图的规律，将第四幅图中相应的方格涂黑，涂黑的方格中所填数之和 为多少？ 25 24 2322 21 20191817161514 13 12111098 7 654321 【分析】 规律是从左到右，依次翻转90，所以第四幅图中应该涂黑的数分别为5、8、14、 17、21、25，和为581417212590+++++=． 3． 在下面图形中找出一个与众不同的． ［分析］ 很容易从图中看出，⑴、⑶、⑷的形状相同，只是位置和颜色不同．
⑴ ⑶，而且三角形与圆的颜色互换了一下． ⑴ ⑷，颜色没有发生变化． ⑵ ⑸，⑵和⑸是一组图形，图形的形状相同，位置和颜色发生了变 化，大小两个长方形的颜色互换了．根据上面的分析，⑵与⑸配对，⑴ 与⑶配对，因此与众不同的图形是图中的⑷． 4． 【杯赛真题】四个小动物排座位，一开始，小鼠坐在第1号位子上，小猴坐在第2号， 小兔坐在第3号，小猫坐在第4号.以后它们不停地交换位子，第一次上下两排交换.第二次是在第一次交换后左右两列交换，第三次再上下两排交换，第四次再左右两列交换…这样一直换下去.问：第十次交换位子后，小兔坐在第几号位子上？ ?? ?? 第十次 第二次 第一次开始 位子图 ［分析］ （法1）因为题目中问的只是第十次交换位子后，小兔的位子是几.因此，我们只 需考虑小兔的位子变化规律，小兔刚开始时在3号位子，记为③，则变化过程为：③一次→①二次→②三次→④四次→③→…容易看出每一次交换座位，小兔的座位按顺时针方向转动一格，每四次交换座位后，小兔又回到原处，知道了这个规律，就不难得出答案.即10次后，小兔到了第2号位子. （法2）仔细观察示意图时会发现，开始的图沿顺时针方向旋转两格（即180°）时，恰得到第二次交换位子后的图，由此可以知道，每一次上下交换后再一次左右交换的结果就相当于把原图沿顺时针方向旋转180°，第十次交换位子后，相当于是这些小动物沿顺时针方向转了4圈半，这样，我们就得到了小兔的位子及它们的整体变化规律.但其中需注意一点的是：单独一次上下（或左右）的交换与旋转90°得到的结果是不同的.小猫、小鼠的位子变化规律是沿逆时针方向，而小猴的位子变化规律与小兔相似.所以，第十次交换位子后，小兔到了2号位子. 5． 下图中的点群，请回答： ⑴方框内的点群包含多少个点？ ⑵推测第10个点群中包含多少个点？ ⑶前10个点群中，所有点的总数是多少？
第三讲 找规律专题练习 10.23 1、你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条，如下面草图所示。这样捏合到第 次后可拉出64根细面条。 第一次捏合 第二次捏合 第三次捏合 2、如下图，将一张正方形纸片，剪成四个大小形状一样的小正方形，然后将其中的一个小正方形再按同样的方法剪成四个小正方形，再将其中的一个小正方形剪成四个小正方形，如此循环进行下去；（1）填表： （2 （3）如果剪了100次，共剪出多少个小正方形？ （4）观察图形，你还能得出什么规律？ 3、小明写作业时不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，判定墨迹盖住部分的整数的和是 ． （1）根据上表结果，描述所求得的一列数的变化规律 （2）当x 非常大时， 2100 x 的值接近于什么数？ 5、现有黑色三角形“▲”和“△”共200个，按照一定规律排列如下： ▲ ▲△△▲△▲▲△△▲△▲▲…… 则黑色三角形有 个，白色三角形有 个。 6、 仔细观察下列图形.当梯形的个数是n 时，图形的周长是 . 7、用火柴棒按如下方式搭三角形：
(1) 填写下表： (2) 照这样的规律搭下去，搭n 个这样的三角形需要______根火柴棒 8、把编号为1，2，3，4，…的若干盆花按右图所示摆放，花盆中的花按红、黄、蓝、紫的颜色 依次循环排列，则第8行从左边数第6盆花的颜色为___________色. 9、已知一列数：1，―2，3，―4，5，―6，7，… 将这列数排成下列形式： 第1行 1 第2行 －2 3 第3行 －4 5 －6 第4行 7 －8 9 －10 第5行 11 －12 13 －14 15 … … 按照上述规律排下去，那么第10行从左边数第5个数等于 ． 10、观察下列算式：23451=+? ，24462=+?，2 5473=+?，24846?+=，请你在察规律之后并用你得到的规律填空：2 50___________=+?, 第n 个式子呢? ___________________ 11、一张长方形桌子可坐6人，按下列方式讲桌子拼在一起。 ①张桌子拼在一起可坐______人。3张桌子拼在一起可坐____人，n 张桌子拼在一起可坐______人。 ②一家餐厅有40张这样的长方形桌子，按照上图方式每5张桌子拼成1张大桌子，则40张桌子可拼成8张大桌子，共可坐______人。 ③若在②中，改成每8张桌子拼成1张大桌子，则共可坐_________人。 12、用计算器计算下列各式，并将结果填写在横线上。 ① 1×7×15873= ② 2×7×15873= ③ 3×7×15873= ④ 4×7×15873= 你发现了什么规律？把你发现的规律用简练的语言写出来； 13、观察下列顺序排列的等式：9×0+1=1 9×1+2=11 9×2+3=21 9×3+4=31 9×4+5=41 …… 猜想：第n 个等式(n 为正整数)应为 . 14、 一个两位数的个位数是a ，十位数字是b ，请用代数式表示这个两位数是____________。 15、 观察下列各式：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729…你能从中发现底数为3
小学奥数——四年级 第三讲找规律填数 姓名： 例1：先找出下列数排列的规律，并根据规律在括号里填上适当的数。 2、6、10、14、（）、22、26 5、11、23、47、( )、（）、( ) 【试一试】 找出下列数排列的规律，并根据规律在括号里填上适当的数。（1）1、4、7、10、（）、16、19 （2）3、3、6、18、（）、360、( ) （3）200、193、179、158、( )、（）、53 （4）3、10、31、94、( )、（） 例2、先找出下列数排列的规律，并根据规律在括号里填上适当的数。 1、6、5、10、9、14、13、（）、（） 【试一试】 根据下面数列中的规律，直接填出括号内的数。 （1）23、4、20、6、17、8、（）、（）、11、12 （2）13、2、15、4、17、6、（）、（）。 （3）21、2、19、5、17、8、（）、（）。
（4） 3、2、5、2、7、2、（）、（）、11、2 例3、根据规律填空。 1 23 4 5 6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 【试一试】 1 34 6 7 12 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 7 5 11 7 15 9 ( )23 ( )( ) ( ) 例4、根据前面图形中各数之间的关系，想一想第三个图形的括号里应填什么 【试一试】 （1、24）、（2、12）、（3、8）、（4、□） 【试一试】 下面括号里的两个数使按一定规律组合，在□里填上适当的数。 （1）（8、5）、（9、4）、（3、10）、（2、□）
（2） （8、6）、（16、3）、（24、2）、（12、□） 【练一练】 1、先找出下列数排列的规律，并根据规律在括号里填上适当的数。 （1） 1、2、4、7、（ ）16、22。 （2） 28、1、26、1、24、1、（ ）、（ ）、20、1. （3） 1、1、2、3、5、8、13、（ ）、34、55。 （4） 1、 4、 9、 16、 （ ）、（ ）、（ ）。 （5） 3、 11、 35、 ( )、( )、（ ）。 （6） 8、 15、 29、 57、( )、（ ）、449 （7） 25 415 845 ( )( ) ( )( ) ( )( ) （8） 23 34 57 8( ) 18( ) ( )( ) 2、根据前面图形中各数之间的关系，想一想第三个图形的括号里应填什么数？ 3、下面括号里的两个数使按一定规律组合，在□里填上适当的数。 （1） （64、60）、（48、44）、（29、25）、（15、□） （2） （2、3）、（5、7）、（7、10）、（□、14）
第三讲：化简值绝对、定义新运算、找规律 一、【化简绝对值】 Ⅰ、根据题设条件 例1 设化简的结果是（）。 (Ａ)(B)（C）（D) 思路分析由可知可化去第一层绝对值符号，第二次绝对值符号待合并整理后再用同样方法化去. 解 ∴应选(B). 归纳点评只要知道绝对值将合内的代数式是正是负或是零,就能根据绝对值意义顺利去掉绝对值符号,这是解答这类问题的常规思路. Ⅱ、借助教轴 例2 实数a、ｂ、ｃ在数轴上的位置如图所示,则代数式的值等于( ). （A）（Ｂ）（Ｃ)（Ｄ) 思路分析由数轴上容易看出，这就为去掉绝对值符号扫清了障碍. 解原式 ∴应选（C). 归纳点评这类题型是把已知条件标在数轴上,借助数轴提供的信息让人去观察，一定弄清: 1.原点的左边都是负数,右边都是正数.
２．右边点表示的数总大于左边点表示的数. 3.离原点远的点的绝对值较大，牢记这几个要点就能从容自如地解决问题了. Ⅲ、采用零点分段讨论法 例3 化简 思路分析本类型的题既没有条件限制,又没有数轴信息，要对各种情况分类讨论,可采用零点分段讨论法,本例的难点在于的正负不能确定,由于x 是不断变化的，所以它们为正、为负、为零都有可能,应当对各种情况—一讨论. 解令 得零点:；令得零点：，把数轴上的数分为三个 部分（如图) ①当时, ∴原式 ②当时，， ∴原式 ③当时， , ∴原式 归纳点评虽然的正负不能确定，但在某个具体的区段内都是确定的，这正是零点分段讨论法的优点,采用此法的一般步骤是： 1．求零点:分别令各绝对值符号内的代数式为零，求出零点(不一定是两个). ∴
２.分段：根据第一步求出的零点,将数轴上的点划分为若干个区段,使在各区段内每个 绝对值符号内的部分的正负能够确定. 3．在各区段内分别考察问题． 4．将各区段内的情形综合起来，得到问题的答案． 二、【定义新运算】 1.在有理数集上定义运算“*”，其规则为a*b= b a b a 22+-，求(3*1)*(2*２） 2.在有理数上定义运算“?”，其规则为ａ?ｂ=2a+b ，若x ? (3?２)=４，求ｘ的值 3.“*”是一种新运算,定义为：ａ*b=2 2b a + 。解方程3＊|x ｜=4 ４.设a,b 是两个整数,定义运算“＊”,其规则为：当a ≥b 时,ａ*b ＝ b 2－1；当a<ｂ时,ａ*ｂ=a+ｂ。解方程2*x ＝8