第六节模态判断及其推理
研究“必然”、“可能”模态词及其推理的逻辑理论被称为模态逻辑。
（1）这位疑似病人患“非典”的可能性非常大。
（2）抗“非典”后，我国旅游业的强劲“反弹”是必然的。
（3）“非典”的再次引发是可能的，因为我们至今没有掌握其发病的机率，不引发“非典”不具有必然性。
一、模态与模态逻辑
1、模态的概念与分类
（1）模态的概念
逻辑学所用的“模态”—词，是英语“modal”的音译，源于拉丁语“modalis”，含有形态、样式或形式的意思。
模态，具体指客观事物或主观认识的存在或发展的样式、情态、趋势等。反映人们模态认识的结果，就形成模态概念。对不同的模态，人们会形成不同的模态概念，构造不同的模态理论。
（2）模态的分类
①狭义模态与广义模态
狭义模态是指事物存在方式或发展趋势及命题的真假程度之类性质的模态，包括命题的必然性、实然性和或然性（可能性）。由于这类模态涉及一个命题的真假程度（必然真或者可能真）。因此被称为真值模态。这样的模态就是狭义模态。
除狭义模态以外的模态是广义模态。
广义模态涉及命题本身所具有的种种非外延的性质。
包括道义或规范模态（应当、允许）、
时间模态（将要永远、将来、过去一直、过去）、
认知模态（知道、相信）、
价值模态（好、坏）等等。例如：
（4）应当允许大学生在校学习期间进行自主创业。（规范模态）
（5）他过去一直是从事青少年智力开发研究的。（时间模态）
（6）我们相信“非典”过后，我国的GPD依然可以达到7％以上。（认知模态）
（7）大学毕业生到西部创业开发非常好。（价值模态）
②客观模态与主观模态
所谓客观模态是表示客观事物本身存在的样式、情状和趋势的模态。例如：
（8）人的手必然没有视觉功能。
（9）生物体必然要进行新陈代谢。
（10）人类社会总体必然走向进步，但局部出现曲折也是可能的。
它们断定的都是客观事物本身存在的必然性或可能性，这种必然性或可能性是不受认识主体的意志而转移的。
所谓主观模态则是表示人们认识的某种确定性与不确定性的模态。如
（11）果子狸可能是引发SARS的元凶。
（12）果子狸不可能是引发SARS的元凶。
果子狸是不是引发2003年中国SASR的元凶？这本身是客观存在的，而（11）、（12）命题的断定仅仅表示人们对此关联认识的确定性程度，或者说是表示断定者对该命题的确信程度，所以它们所表示的都是主观模态。
③逻辑模态与非逻辑模态。
所谓逻辑模态是指逻辑上的必然性和可能性。例如，
（13）不可能：今年是2006年，今年又不是2006年。
不论这一命题中的“今年”指的是哪一年，仅仅通过其中的逻辑关系我们就可以看出，“今年是2004年或者今年不是2004年”必然是真的，这种必然性就是逻辑上的必然性。
如果否定一个具有逻辑必然性的命题，其结果必定会引起逻辑上的矛盾。如否定“今年是2003年或者今年不是2003年”得到的是“今年不是2003年并且今年是2003年”，这是一个矛盾式（p∧? p）。所谓逻辑上的可能性指的是逻辑上的不矛盾性，即一切逻辑上不矛盾的都是逻辑上可能的。
（14）3＋7不可能不等于10
（15）单身汉必然是未婚男子
所谓非逻辑模态是指表示逻辑以外的必然性或可能性的模态，即依据其他非逻辑事实来判定的必然性与可能性的各种模态。
这类非逻辑的模态，可以是物理的、化学的、生物的、历史的，乃至哲学的等等，这些模态统称为非逻辑模态，有时也统称物理模态或现实模态。例如：
（16）在地球上，自由落体下落的方向必然朝下。
（17）没有氧气，哺乳动物不可能维持生命。
（18）生产力的持续发展是可能的。
（19）任何事物的运动都必然是有规律的。
它们依次表达的是物理上的必然性、生物学上的不可能性、经济学的可能性和哲学上的必然性。
·非逻辑模态不同于逻辑模态。
非逻辑模态依据的是非逻辑领域的具体知识，因此其所断定的“必然性”或“可能性”，会由于人们具体知识的变化而改变，而这种情况在逻辑模态方面是不会发生的。
例如：在古代生产“方的西瓜”是不可能的，但是在今天则不是不可能的；然而“圆的方”则无论古今中外都是不可能的。
同时，可以发现：非逻辑上的不可能（如“太阳明天从西方升起”）在逻辑上未必是不可能的，而逻辑上的必然在其他非逻辑方面却一定是必然的。
·否定逻辑模态的必然性模态必定导致逻辑矛盾，而否定非逻辑模态的必然性模态，虽然会与现有的相关理论不一致，却未必引起逻辑矛盾。
④命题模态与事物模态
在逻辑史上，欧洲中世纪的逻辑学家还常把模态区分为“命题模态”与“事物模态”。
所谓命题模态，指用于修饰或限制某一完整命题的模态，从语法上看，其模态词通常置于表达命题的语句的句首或句尾。例如：
（20）“正义的事业将最终取得胜利”是必然的，
（21）“可能本地8月上旬依然是高温天气”。
（20）表示“正义的事业将最终取得胜利“这一命题为真具有必然性，（21）表示“本地8月上旬仍然是高温天气”这一命题为真具有可能性。在这两个命题中，模态词所修饰或限制的都是—个完整的命题，故称之为命题模态。
所谓事物模态，是指其模态词所修饰或限制的仅仅是命题主项所表示的事物与命题谓项所表示的属性之间的联系方式。在语言表达上，其模态词居于主项与谓项之间。例如：
（22）淮河可能泛滥。
（22）断定的是淮河这一事物对象可能引发泛滥。
上述提及的多种模态或其分类，可以归纳如下：
逻辑
客观
狭义非逻辑（物理、生物、哲学…）
模态主观
广义（道义、认知、时间…）
其主要视点是模态的对象或性质。
从逻辑学的角度看，由于无论何种模态总是可以表现为一定的模态命题，具有一定的模态命题形式，因此本节后续的讨论，将只分析模态命题（必然命题与可能命题）形式，而不再强调其模态的上述种类区别。
2、模态逻辑
模态逻辑就是研究模态命题及其推理的逻辑理论。
对模态的研究，从亚里士多德就开始了。亚里士多德逻辑已经对必然、可能和偶然等模态概念作了初步的研究。他将命题划分为实然命题和模态命题，并依照实然三段论建立了模态三段论，现已证明其中许多形式都是有效的。在中世纪，欧洲经院哲学家在模态三段论方面取得了不少成果。他们区别了命题模态与事物模态，还研究了知道、怀疑、愿意等主观模态和应当、允许等道义模态的逻辑性质。
如果说亚里士多德与中世纪经院哲学家关于模态逻辑的研究属于古代传统模态逻辑理论的话，那么现代的模态逻辑则是从美国逻辑学家刘易斯（C.I.Lewis，1883－1964）开始的。1914年刘易斯因研究“严格蕴涵”而提出模态命题逻辑理论。以后（约20世纪30—40年代）中，卡尔纳普（R．Carnap）等人又建立了模态谓词演算。20世纪50年代则诞生了模态逻辑的语义理论，其中较为流行的是美国逻辑学家克里普克（S.Kripke）的可能世界语义理论。
因此，可以说模态逻辑理论从传统到现代已经形成了丰富的内容。
本节主要介绍传统模态逻辑中的狭义模态逻辑知识，即关于命题的必然性与可能性的真值模态理论。其后，再简要介绍广义模态逻辑中的道义模态逻辑的基本概念。
二、模态命题
1、模态命题的定义与结构
表示事物或事物情况必然性或可能性真假情况或程度的命题，我们称为真值模态命题。
由模态词“必然”（□）和“可能”（◇）来表示的。
（“必然”模态词与“可能”模态词，也可以用“L”与“M”来表示。）
因此，我们也可以说，
包含“必然”和“可能”模态词的命题为真值模态命题。
（以下简称模态命题）例如：
（1）SARS由广东引发不是必然的。
（2）酒后驾车发生事故是可能的。◇p
模态命题由模态词“必然”（□）和“可能”（◇）与非模态命题组成。
其中，模态词为模态命题形式中的常项，非模态命题p为变项。
在自然语言中，模态命题中的模态词的表达是多种多样的。在汉语中，除“必然”外，“必定”、“一定”等也表达必然模态词；除“可能”外，“大概”、“也许”、“或然”等也表达可能模态词。
模态词在表达命题的语句中所处的位置，可以在句首，可以在句中，也可以在句末。
在命题逻辑中，求得简单模态命题的命题形式，应该先确定模态词，并将其置于表达式之首，然后用小写p、q、r等表示非模态命题。例如，上述（1）、（2）的结构形式分别为：□﹁p或◇q。
2、模态命题的种类
根据模态命题断定的是事物情况的必然性还是可能性，可以将其区分为必然命题与可能命题。
（1）必然命题
必然命题是断定事物情况必然性的命题。
按质又可分为肯定的与否定的两种：
▲必然肯定命题，就是断定事物情况必然存在的命题。例如：
今年过后必然是明年。
曹操的年龄比曹植大是必然的。
用公式可表示为：
必然p
“p”表示除“必然”模态词以外的非模态命题。如以“□”表示必然模态词，则上述公式可写为：
□p
▲必然否定命题，就是表示某种事物情况必然不存在的命题。例如：
老鼠必然没有老牛大。
谎言不能持久是必然的。
用公式可表示为：
必然非p
或表示为：
□﹁p
（2）可能命题
可能命题，也称或然命题，就是断定事物情况可能性的命题。按质，它也可以分为肯定的与否定的两种：
▲可能肯定命题，就是断定事物情况可能存在的命题。例如：
长期大量吸烟可能致癌。
2x大于5x是可能的。
用公式可表示为：
可能p
如以“◇”表示可能模态词，则上述公式可写为：
◇p
▲可能否定命题，就是断定事物情况可能不存在的命题。例如：
火星上可能没有生命存在。
这样直说可能不恰当。
用公式可表示为：
可能非p
或表示为：
◇﹁p
真值模态命题的真假判定，因为涉及“必然”与“可能”而有其复杂性。在模态命题形式中，诸如“必然p”或“可能p”的真假，并不仅仅由“p”的真假来确定，即“p”对于“必然p”之类模态命题形式不具有函项性。例如，人们不能仅仅根据“2003年引发SARS”的真假，就能确定“2003年必然引发SARS”或“2003年可能引发SARS”的真假。
模态命题真假，需要借助模态逻辑语义学对“必然”、“可能”的说明才能确定。
借助于可能世界的语义理论，我们可以对“必然”和“可能”加以定义：
□p为真，当且仅当p在所有可能世界中为真；
□p为假，当且仅当p在至少一个可能世界中为假；
◇p为真，当且仅当p在至少一个可能世界中为真；
◇p为假，当且仅当p在所有可能世界中为假。
不难看出，□p与◇p是可以相互定义的。例如：
□p＝df﹁◇﹁p
◇p＝df﹁□﹁p
同素材的真值模态命题必然p、必然非p、可能p、可能非p，有如下真假制约关系。
（1）必然p与必然非p之间的反对关系：即不同真、可同假，至少一假（必有一假）的关系。如“甲队必然战胜乙队”与“甲队必然不能战胜乙队”。
（2）可能p与可能非p之间的下反对关系：即可同真、不同假，至少一真（必有一真）的关系。如“甲班可能获得团体第一名”与“甲班可能未获的团体第一名”。
（3）必然p与可能非p、必然非p与可能p之间的矛盾关系：即不同真、不同假，必有一真一假的关系。如“小张必然考上研究生”与“小张可能没考上研究生”。
（4）必然p与可能p、必然非p与可能非p之间的差等关系：即可同真、可同假的关系。如“中国队必然进入决赛”与“中国队可能进入决赛”，“中国队必然进不了决赛”与“中国队可能进不了决赛”。
如同直言命题同素材的SAP、SEP、SIP、SOP一样，
同素材的□p、□﹁p、◇p、◇﹁p之间也可以构成模态对当方阵，即：
反对
□p □﹁p
差差
等等
◇p ◇﹁p
对以上模态对当方阵所表示的模态命题间的真假关系，读者可以自证。
亚里士多德把表示事物必然性与可能性的命题（即含有“必然”与“可能”模态词的命题）称为模态命题，而把不含有“必然”与“可能”模态词的命题称为实然命题（也即非模态命题）。同素材的必然命题、可能命题与实然命题之间也存在真假制约关系。它们可以用如下图式表示：
□p □﹁p
p ﹁p
◇p ◇﹁p
它们的关系与同素材的SAP、SEP、SIP、SOP、SaP、SeP的真假关系相类似，读者也可以自证。
在上面关于模态命题的讨论中，我们并没有涉及其组成部分的非模态命题的种类及其构成。事实上，在模态命题中，除模态词以外的组成部分，其本身可以是多种多样的。
本节把由模态词与直言命题组成的模态命题称为“直言模态命题”。
这样的直言模态命题的基本形式有如下8种，具体是：
必然全称肯定命题（□SAP）
必然全称否定命题（□SEP）
必然特称肯定命题（□SIP）
必然特称否定命题（□SOP）
可能全称肯定命题（◇SAP）
可能全称否定命题（◇SEP）
可能特称肯定命题（◇SIP）
可能特称否定命题（◇SOP）
同素材的这8个直言模态命题判断之间也可以构成特定的真假制约关系，这些关系可以用下列图式来表示：
□SOP
◇SEP
不难发现，在上图中：
由双箭头连接的命题之间具有矛盾关系，如□SAP与◇SOP、□SEP与◇SIP、□SIP 与◇SEP、□SOP与◇SAP具有矛盾关系；
由双直线连接的命题间具有反对关系，如□SAP与□SEP、□SAP与□SOP、□SAP 与◇SEP、□SEP与□SIP、□SEP与◇SAP具有反对关系；
由双环线连接的命题间具有下反对关系，如◇SIP与◇SOP、◇SIP与◇SEP、◇SIP 与□SOP、◇SOP与◇SAP、◇SOP与□SIP具有下反对关系；
由单箭头连接的命题间具有差等关系，如□SAP分别与□SIP、◇SAP、◇SIP有差等关系等。
其真假关系的确认，读者可以结合实例，通过自证来实现。
5、复合模态命题
由模态词与复合命题构成的模态命题，我们称之为复合模态命题。例如：
不下苦功夫而要取得好成绩，这是不可能的。
必然地甲的出生地，或者是上海，或者不是上海。
其模态命题形式分别可表示为：
﹁◇（﹁p∧q）
□（p∨﹁p）
当然，还可以由模态词与关系命题构成的模态命题。例如：
所有展出的珍品必然都有专人看管。
不可能所有人都欣赏有的爵士音乐。
读者不难发现或构造其他模态关系命题的实例。
三、模态推理
所谓模态推理是以模态命题为前提或结论，并根据模态命题的性质及其相互间的逻辑关系而进行推演的推理。
模态推理是依据模态命题中模态的逻辑特性所进行的推理。这样的推理主要有：模态对当关系推理、模态六角关系推理、模态三段论推理和复合模态推理。
1、模态对当关系推理
模态对当关系推理就是根据模态对当方阵所示的反对关系、下反对关系、矛盾关系和差等关系的演绎推理。其有效式是：
（1）模态反对关系推理
①□p?﹁□﹁p
②□﹁p?﹁□p
（2）模态下反对关系推理
①﹁◇p?◇﹁p
②﹁◇﹁p?◇p
（3）模态矛盾关系推理
①□p?﹁◇﹁p
②□﹁p?﹁◇p
③﹁□p?◇﹁p
④﹁□﹁p?◇p
（4）模态差等关系推理
①□p?◇p
②□﹁p?◇﹁p
③﹁◇p?﹁□p
④﹁◇p?﹁□﹁p
上述推理的有效性及其实例，读者也可以自证。
2、模态六角关系推理
所谓模态六角关系，涉及必然、实然和或然（可能）三种命题，具体就是必然p、必然非p、p、非p、可能p、可能非p这样六种命题之间的真假制约关系。
它们的推理原则可以由下表概括。
在上表中，“－”表示所联结的是关联命题对；“1”表示真，“0”表示假，“？”表示不定；“上1（下1）”表示上真（下真），“下0（上0）”表示下假（上假）；“?”表示推出。
例如：□p与◇?p之间是矛盾关系，不同真、不同假，因此其推理原则是：可由其中一个的真推出另一个的假，也可由其中一个的假推出另一个的真，即: □p?﹁（◇﹁p），﹁（□p）?◇﹁p；
又如：□p与﹁p之间是反对关系，不同真、可同假，因此其推理原则是：可由其中一个的真推出另一个的假，但不能由一个的假推出另一个的真或假，即：□p?﹁（﹁p）和﹁p?﹁（□p）是有效的推理式，除此以外，关于它们的推理式都是无效的。
再如：□p与p、p与◇p有差等关系，它们可同真、可同假。当处于六角关系图上位的□p（p）命题真时，可推出其相应下位的p（◇p）命题真；而由处于六角关系图下位的◇p（p）命题假时，可推出其相应上位的p（□p）命题假，即：
□p ?p ?◇p
﹁（◇p）?﹁（p）?﹁（□p）
是有效推理式；除此以外关于它们的推理式都是无效的。
除上述以外的其他有关模态六角关系推理的有效式，读者可以依据上表六角关系推理原则，自己列出并且以实例佐证。
3、模态三段论
模态三段论是依据模态命题的模态性质所进行推演的三段论。例如：
哺乳动物必然要进行新陈代谢
海豚必然是哺乳动物
所以，海豚必然要进行新陈代谢
其结构形式是：
□MAP
□SAM
□SAP
由上例可知，在形式结构上，模态三段论有与直言三段论类似的格与式，但其前提或结论则是含有模态词的模态直言命题。因此，所谓模态三段论也就是在三段论系统中再引入模态词推理因素的三段论。
引入模态词的三段论推理的有效性判定，自然比直言三段论比较复杂。在遵守直言三段论规则的基础上，人们提出了“结论从弱原则”，即从模态较强的前提可以推出模态较弱的结论，但不能由模态较弱的前提推出模态较强的结论。
“结论从弱原则”依据的是必然、实然、可能三种模态之间的强弱关系。具体说，是基于同质同素材的必然直言命题、实然直言命题和可能直言命题之间模态断定的强弱顺序关系，即：
必然＞实然＞可能
这种模态断定的强弱关系，表现在相应命题间就是蕴涵关系，即：
必然→实然→可能
依据这种蕴涵关系，在推理上可构成有效推出关系，即：
必然?实然?可能
根据这种“结论从弱原则”，在模态三段论中，其结论的模态不得强于前提中任何一个前提的模态。例如：
动物必然会自行移动
那些生物可能是动物
所以，那些生物可能会自行移动
其形式是：
□MAP
◇SAM
◇SAP
由于其小前提是可能模态命题，因此依据“结论从弱原则”，其结论也只能是可能模态命题。而下列推理则是无效的：
SARS是传染病
2003年北京春夏爆发SARS
所以，2003年北京春夏必然爆发传染病
其形式是：
MAP
SAM
□SAP
其结论的模态断定强于其前提的模态断定。
但是需要指出，人们所概括的模态三段论“结论从弱原则”，虽然能够保证模态推理的有效性（即不出现真前提假结论的情况），但是这个原则也可能排除某些有效的模态三段论推理式。例如：
任何传染病必然有传染源
SARS是传染病
所以，SARS必然有传染源
其形式是：
□MAP
SAM
□SAP
显然，这个模态三段论在直观上是可以被人们接受的，但是它却不符合“结论从弱原则”，因为其大前提是必然模态命题，而小前提则是肯定实然命题，而结论则是必然模态命题。
这个例证说明，“结论从弱原则”的判定标准过强，需要作某些修正，以便将那些被“结论从弱原则”排斥的有效推理式纳入。
根据模态的类型（即必然命题、实然命题、可能命题），模态三段论两个前提的模态组合可以有五种情况：①两个必然前提；②一个必然前提，一个实然前提；③一个必然前提，一个可能前提；④一个实然前提，一个可能前提；⑤两个可能前提。
这五种情况可以分为三种类型：
第一类：前提有可能模态命题的组合（③、④、⑤）
第二类：前提都是必然模态命题的组合（①）
第三类：前提有必然模态命题与实然模态命题的组合（②）
在遵守直言三段论所有规则的基础上，模态三段论关于模态间的推理可提出如下规则：
（1）如果前提中有可能模态命题，那么其结论只能是可能模态命题。
（2）如果前提都是必然模态命题，那么其结论可以是任一模态命题。
（3）如果前提中一个是必然模态命题，另一个是实然命题命题，那么（3a）结论的模态不能强于否定前提的模态，（3b）结论的模态不能强于两肯定前提中大前提的模态。
显然，以上规则体现了“结论从弱原则”，但又不仅依据“结论从弱原则”。其有效性，读者可以自证。
4、模态复合命题推理
所谓模态复合命题推理，就是在复合命题推理中引入模态词的推理。这样的推理含有两类逻辑算子：并非（?）、并且（∧）、或者（∨）、如果…那么…（→）、等值（?）等复合命题逻辑联结词和必然（□）、可能（◇）模态命题模态词。因此，模态复合命题推理就要遵守相应的两套推理规则。下面是模态复合命题推理的一些基本形式：（1）□（p∧q）?□p∧□q
（2）□（p∧q）?□p∨□q
（3）□（p∧q）?◇p∧◇q
（4）□（p∧q）?◇p∨◇q
（5）◇（p∨q）?◇p∨◇q
（6）□（p∧q）?﹁◇（﹁p∨﹁q）
（7）◇（p∧q）?﹁□（﹁p∨﹁q）
（8）□（p∨q）?﹁◇（﹁p∧﹁q）
（9）◇（p∨q）?﹁□（﹁p∧﹁q）
（10）□（p→q）?﹁◇（p∧﹁q）
（11）◇（p→q）?﹁□（p∧﹁q）
（12）□p∨□q ?□（p∨q）
（13）◇（p∧q）?◇p∧◇q
（14）□（p?q）?□（p→q）∧□（﹁p→﹁q）
（15）□（p?q）?◇（p→q）∧◇（﹁p→﹁q）
上述模态复合命题推理式，就是既依据复合命题相应联结词的逻辑特性，又依据模态词逻辑特性的有效推理式。自然，这样的推理式还有许多，读者可以自己归纳。这样的推理实例也是不难找到，例如：
中国进入WTO后，机遇与挑战共存是必然的，所以中国进入WTO后，有机遇是必然的，有挑战也是必然的，反之亦然。
这就是上述推理式（1）的特例。读者可以尝试着寻找其他相应的推理实例，以验证上述推理式的有效性。