高二数学-南通中学2015-2016学年高二上学期周练数学(理科)试题

1 江苏省南通中学2015-2016学年高二上学期周练

(90分钟）

1.若存在a∈[1，3]，使得不等式ax2＋(a－2)x－2＞0成立，则实数x的取值范围是________．

2.某几何体的三视图如图所示，其中侧视图为半圆，则该几何体的体积V＝________．

3.已知m、n是不同的直线，α、β、γ是不同的平面．给出下列命题：

①若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥α，或n⊥β；

②若α∥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n，则m∥n；

③若m不垂直于α，则m不可能垂直于α内的无数条直线；

④若α∩β＝m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则n∥α，且n∥β；

⑤若m、n为异面直线，则存在平面α过m且使n⊥α.

其中正确的命题序号是________．

4.如图，一个简单凸多面体的三视图的外轮廓是三个边长为1的正方形，则此多面体的体积为________．

2

5.如图，四面体ABCD中，AB＝1，AD＝23，BC＝3，CD＝2，∠ABC＝∠DCB＝π2，则二面角A－BC－D的大小为________．

6.直线xcos θ＋3y－2＝0的倾斜角的范围是________．

7.“a＝－1”是“直线ax＋y＋1＝0与直线x＋ay＋2＝0平行”的________(填“充分不必要条件”,或”充要条件”,或”必要不充分条件”,或”既不充分又不必要条件”)

8.双曲线x2a2－y2b2＝1的左焦点为F1，顶点为A1、A2，P是双曲线右支上任意一点，则分别以线段PF1、A1A2为直径的两圆的位置关系为________．

9.

10.设直线x－3y＋m＝0(m≠0)与双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的两条

3 渐近线分别交于点A，B.若点P(m，0)满足|PA|＝|PB|，则该双曲线的离心率是________．

11．已知x，y满足约束条件x－y≥0，x＋y≤2，y≥0，若z＝ax＋y的最大值为4，则a＝________

12．在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界)，若目标函数z＝x＋ay取得最小值的最优解有无数个，则yx－a的最大值是_______

13．设关于x，y的不等式组2x－y＋1>0，x－m<0，y＋m>0表示的平面区域内存在点P(x0，y0)满足x0－2y0＝2，则m的取值范围是________．

14.已知命题p：方程2220xaxa在[-1，1]上有解，命题q：只有一个实数x0满足不等式022020aaxx，若命题“qp”是假命题，求实数a的取值范围。

15．设命题错误！未找到引用源。：函数错误！未找到引用源。在错误！未找到引用源。上是增函数，命题错误！未找到引用源。：错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。，如果错误！未找到引用源。

4 是假命题，错误！未找到引用源。是真命题，求错误！未找到引用源。的取值范围．

江苏省南通中学2015-2016学年高二上学期周练

答案及解析

1.若存在a∈[1，3]，使得不等式ax2＋(a－2)x－2＞0成立，则实数x的取值范围是________．

1．(－∞，－1)∪23，＋∞ [原命题化为，存在a∈[1，3]时，使(x2＋x)a－2x－2＞0成立．设f(a)＝(x2＋x)a－2x－2，a∈[1，3]．

若f(a)≤0恒成立，则f（1）≤0，f（3）≤0，解之得－1≤x≤23，因此存在a∈[1，3]时，f(a)＞0时，x的取值范围为(－∞，－1)∪23，＋∞.]

2.(2015·北京东城区模拟)某几何体的三视图如图所示，其中侧视图为半圆，则该几何体的体积V＝________．

2.2π3 [由三视图知，该几何体为半个圆锥．∵S底＝12·π·12＝π2，

半圆锥的高h＝32－12＝22，

因此几何体的体积V＝13×22×π2＝2π3.]

3.已知m、n是不同的直线，α、β、γ是不同的平面．给出下列命题：

5 ①若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥α，或n⊥β；

②若α∥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n，则m∥n；

③若m不垂直于α，则m不可能垂直于α内的无数条直线；

④若α∩β＝m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则n∥α，且n∥β；

⑤若m、n为异面直线，则存在平面α过m且使n⊥α.

其中正确的命题序号是________．

3．②④ [①是错误的．如正方体中面ABB′A′⊥面ADD′A′，交线为AA′.直线AC⊥AA′，但AC不垂直面ABB′A′，同时AC也不垂直面ADD′A′.

②正确．实质上是两平面平行的性质定理．

③是错误的．在如图的正方体中，A′C不垂直于平面A′B′C′D′，但与B′D′垂直．这样A′C就垂直于平面A′B′C′D′内与直线B′D′平行的无数条直线．

④正确．利用线面平行的判定定理即可．

⑤错误，当m与n异面且垂直时存在过m且与n垂直的平面α，当m与n不垂直时，过m的任何平面与n都不垂直．]

4.如图，一个简单凸多面体的三视图的外轮廓是三个边长为1的正方形，则此多面体的体积为________．

6

4.23 [由三视图可知，几何体为正方体截去两个三棱锥后的部分，因为V正方体＝1，V三棱锥＝13×13×12＝16，因此，该多面体的体积V＝1－16×2＝23.]

5.如图，四面体ABCD中，AB＝1，AD＝23，BC＝3，CD＝2，∠ABC＝∠DCB＝π2，则二面角A－BC－D的大小为________．

5.π3 [由∠ABC＝∠DCB＝π2知，

BA→与CD→的夹角θ就是二面角A－BC－D的平面角．

又AD→＝AB→＋BC→＋CD→，∴AD→2＝(AB→＋BC→＋CD→)2

＝AB→2＋BC→2＋CD→2＋2AB→·CD→.

因此2AB→·CD→＝(23)2－12－32－22＝－2，

∴cos(π－θ)＝－12，且0＜π－θ＜π，

7 则π－θ＝23π，故θ＝π3.]

6.直线xcos θ＋3y－2＝0的倾斜角的范围是________．

6.0，π6∪5π6，π [tan α＝k＝－cos θ3，知－33≤k≤33，

∴0≤α≤π6或5π6≤α＜π.]

7.“a＝－1”是“直线ax＋y＋1＝0与直线x＋ay＋2＝0平行”的________(填“充分不必要条件”,或”充要条件”,或”必要不充分条件”,或”既不充分又不必要条件”)

7．充分不必要条件 [由ax＋y＋1＝0与x＋ay＋2＝0平行，得a·a－1×1＝0，得a＝±1.故“a＝－1”是两条直线平行的充分不必要条件．]

8.双曲线x2a2－y2b2＝1的左焦点为F1，顶点为A1、A2，P是双曲线右支上任意一点，则分别以线段PF1、A1A2为直径的两圆的位置关系为________．

8．内切 [设双曲线的右焦点为F2，且线段PF1的中点为O′，由双曲线定义，|PF1|－|PF2|＝2a，

∴|OO′|＝12|PF2|＝－a＋12|PF1|.

又12|A1A2|＝a，则|OO′|＝12()|PF1|－|A1A2|，因此|OO′|＝R－r，两圆相内切．]

9

8

10.设直线x－3y＋m＝0(m≠0)与双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线分别交于点A，B.若点P(m，0)满足|PA|＝|PB|，则该双曲线的离心率是________．

10.52 [双曲线x2a2－y2b2＝1的渐近线方程为y＝±bax.

由y＝bax，x－3y＋m＝0得Aam3b－a，bm3b－a，

由y＝－bax，x－3y＋m＝0得B－ama＋3b，bma＋3b，

所以AB的中点C坐标为a2m9b2－a2，3b2m9b2－a2.

设直线l：x－3y＋m＝0(m≠0)，因为|PA|＝|PB|，所以PC⊥l，所以kPC＝－3，化简得a2＝4b2，在双曲线中，即a2＝4(c2－a2)，所以4c2＝5a2，所以离心率e＝ca＝52.]

9 11．已知x，y满足约束条件x－y≥0，x＋y≤2，y≥0，若z＝ax＋y的最大值为4，则a＝________

11．2 [不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，易知A(2，0)，由x－y＝0，x＋y＝2，得B(1，1)．由z＝ax＋y，得y＝－ax＋z.∴a＝2，]

12．(2015·东北三省四市联考)在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界)，若目标函数z＝x＋ay取得最小值的最优解有无数个，则yx－a的最大值是________

12． 25 [目标函数可化为y＝－1ax＋1az.要使目标函数z＝x＋ay取得最小值的最优解有无数个，则－1a＝kAC＝1.

则a＝－1，故yx－a＝yx＋1，

其几何意义为可行域内的点(x，y)与点M(－1，0)的连线的斜率，可

10 知yx＋1max＝kMC＝25.]

13．(2015·保定联考)设关于x，y的不等式组2x－y＋1>0，x－m<0，y＋m>0表示的平面区域内存在点P(x0，y0)满足x0－2y0＝2，则m的取值范围是________．

13.23，＋∞ [作不等式组表示的平面区域(如图)，依题意，直线x－2y＝2与平面区域有公共点．

如图，直线x＝m与y＝－m交于(m，－m)，把(m，－m)代入x－2y＝2得m＝23，结合图形得m>23.]

14.（本小题满分12分）

已知命题p：方程2220xaxa在[-1，1]上有解，命题q：只有一个实数x0满足不等式022020aaxx，若命题“qp”是假命题，求实数a的取值范围。

14.

∴当命题p为真命题时122aaa1或. „„„„„„„„„„„„„„„4分

又“只有一个实数0x满足200220xaxa”，即抛物线222yxaxa与x轴只有一个交点，∴2480aa，∴0a或2a.

∴当命题q为真命题时，0a或2a. „„„„„„„„„„„„„„„8分

∴命题“p∨q”为真命题时，2a.∵命题“p∨q”为假命题，∴2a或2a.