高二数学-南通中学2015-2016学年高二上学期周练数学(理科)试题

江苏省南通中学2015-2016学年高二上学期周练
(90分钟）
1.若存在a∈[1，3]，使得不等式ax2＋(a－2)x－2＞0成立，则实数x 的取值范围是________．
2.某几何体的三视图如图所示，其中侧视图为半圆，则该几何体的体积V＝________．
3.已知m、n是不同的直线，α、β、γ是不同的平面．给出下列命题：
①若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥α，或n⊥β；
②若α∥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n，则m∥n；
③若m不垂直于α，则m不可能垂直于α内的无数条直线；
④若α∩β＝m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则n∥α，且n∥β；
⑤若m、n为异面直线，则存在平面α过m且使n⊥α.
其中正确的命题序号是________．
4.如图，一个简单凸多面体的三视图的外轮廓是三个边长为1的正方形，则此多面体的体积为________．
5.如图，四面体ABCD 中，AB ＝1，AD ＝23，BC ＝3，CD ＝2，∠ABC
＝∠DCB ＝π2，则二面角A －BC －D 的大小为________．
6.直线x cos θ＋3y －2＝0的倾斜角的范围是________．
7.“a ＝－1”是“直线ax ＋y ＋1＝0与直线x ＋ay ＋2＝0平行”的________(填“充分不必要条件”,或”充要条件”,或”必要不充分条件”,或”既不充分又不必要条件”)
8.双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1的左焦点为F 1，顶点为A 1、A 2，P 是双曲线右支上任意一点，则分别以线段PF 1、A 1A 2为直径的两圆的位置关系为________． 9.
10.设直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)与双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条
渐近线分别交于点A ，B .若点P (m ，0)满足|P A |＝|PB |，则该双曲线的离心率是________．
11．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0，
若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a ＝________
12．在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界)，若目
标函数z ＝x ＋ay 取得最小值的最优解有无数个，则y x －a
的最大值是
_______
13．设关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1>0，x －m <0，y ＋m >0
表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)满足x 0－2y 0＝2，则m 的取值范围是________．
14.已知命题p ：方程2220x ax a +-=在[-1，1]上有解，命题q ：只有一
个实数x 0满足不等式02202
0≤++a ax x ，若命题“q p ∨”是假命题，
求实数a 的取值范围。

15．设命题错误！未找到引用源。

：函数错误！未找到引用源。

在错误！未找到引用源。

上是增函数，命题错误！未找到引用源。

：错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

，如果错误！未找到引用源。

是假命题，错误！未找到引用源。

是真命题，求错误！未找到引用源。

的取值范围．
江苏省南通中学2015-2016学年高二上学期周练
答案及解析
1.若存在a ∈[1，3]，使得不等式ax 2＋(a －2)x －2＞0成立，则实数x 的取值范围是________．
1．(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫23，＋∞ [原命题化为，存在a ∈[1，3]时，使(x 2
＋x )a －2x －2＞0成立．设f (a )＝(x 2＋x )a －2x －2，a ∈[1，3]．
若f (a )≤0恒成立，则⎩
⎪⎨⎪⎧f （1）≤0，f （3）≤0，解之得－1≤x ≤23，因此存在a ∈[1，3]时，f (a )＞0时，x 的取值范围为(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫23，＋∞.] 2.(2015·北京东城区模拟)某几何体的三视图如图所示，其中侧视图为半圆，则该几何体的体积V ＝________．
2.2π3 [由三视图知，该几何体为半个圆锥．∵S 底＝12·π·12＝π2， 半圆锥的高h ＝32－12＝22，
因此几何体的体积V ＝13×22×π2＝2π3.]
3.已知m 、n 是不同的直线，α、β、γ是不同的平面．给出下列命题：
①若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥α，或n⊥β；
②若α∥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n，则m∥n；
③若m不垂直于α，则m不可能垂直于α内的无数条直线；
④若α∩β＝m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则n∥α，且n∥β；
⑤若m、n为异面直线，则存在平面α过m且使n⊥α.
其中正确的命题序号是________．
3．②④[①是错误的．如正方体中面ABB′A′⊥面ADD′A′，交线为AA′.直线AC⊥AA′，但AC不垂直面ABB′A′，同时AC也不垂直面ADD′A′.
②正确．实质上是两平面平行的性质定理．
③是错误的．在如图的正方体中，A′C不垂直于平面A′B′C′D′，但与B′D′垂直．这样A′C就垂直于平面A′B′C′D′内与直线B′D′平行的无数条直线．
④正确．利用线面平行的判定定理即可．
⑤错误，当m与n异面且垂直时存在过m且与n垂直的平面α，当m 与n不垂直时，过m的任何平面与n都不垂直．]
4.如图，一个简单凸多面体的三视图的外轮廓是三个边长为1的正方形，则此多面体的体积为________．
4.23 [由三视图可知，几何体为正方体截去两个三棱锥后的部分，因
为V 正方体＝1，V 三棱锥＝13×13×12＝16，因此，该多面体的体积V ＝1－16×2
＝23.]
5.如图，四面体ABCD 中，AB ＝1，AD ＝23，BC ＝3，CD ＝2，∠ABC
＝∠DCB ＝π2，则二面角A －BC －D 的大小为________．
5.π3 [由∠ABC ＝∠DCB ＝π2知，
BA
→与CD →的夹角θ就是二面角A －BC －D 的平面角． 又AD
→＝AB →＋BC →＋CD →，∴AD →2＝(AB →＋BC →＋CD →)2 ＝AB →2＋BC →2＋CD →2＋2AB →·CD
→. 因此2AB →·CD
→＝(23)2－12－32－22＝－2， ∴cos(π－θ)＝－12，且0＜π－θ＜π，
则π－θ＝23π，故θ＝π3.]
6.直线x cos θ＋3y －2＝0的倾斜角的范围是________．
6.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π6，π [tan α＝k ＝－cos θ3
，知－33≤k ≤33， ∴0≤α≤π6或5π6≤α＜π.]
7.“a ＝－1”是“直线ax ＋y ＋1＝0与直线x ＋ay ＋2＝0平行”的________(填“充分不必要条件”,或”充要条件”,或”必要不充分条件”,或”既不充分又不必要条件”)
7．充分不必要条件 [由ax ＋y ＋1＝0与x ＋ay ＋2＝0平行，得a ·a －1×1＝0，得a ＝±1.故“a ＝－1”是两条直线平行的充分不必要条件．] 8.双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1的左焦点为F 1，顶点为A 1、A 2，P 是双曲线右支上任意一点，则分别以线段PF 1、A 1A 2为直径的两圆的位置关系为________．
8．内切 [设双曲线的右焦点为F 2，且线段PF 1的中点为O ′，由双曲线定义，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，
∴|OO ′|＝12|PF 2|＝－a ＋12|PF 1|.
又12|A 1A 2|＝a ，则|OO ′|＝12()|PF 1|－|A 1A 2|，因此|OO ′|＝R －r ，两圆相内切．]
9
10.设直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)与双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线分别交于点A ，B .若点P (m ，0)满足|P A |＝|PB |，则该双曲线的离心率是________． 10.52 [双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b a x .
由⎩⎨⎧y ＝b a x ，x －3y ＋m ＝0得A ⎝
⎛⎭⎪⎫am 3b －a ，bm 3b －a ， 由⎩⎨⎧y ＝－b a x ，x －3y ＋m ＝0得B ⎝
⎛⎭⎪⎫－am a ＋3b ，bm a ＋3b ， 所以AB 的中点C 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2m 9b 2－a 2，3b 2
m 9b 2－a 2. 设直线l ：x －3y ＋m ＝0(m ≠0)，因为|P A |＝|PB |，所以PC ⊥l ，所以k PC ＝－3，化简得a 2＝4b 2，在双曲线中，即a 2＝4(c 2－a 2)，所以4c 2＝
5a 2，所以离心率e ＝c a ＝52.]
11．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0，
若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a ＝________
11．2 [不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，易知A(2，0)，
由⎩
⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x ＋y ＝2，得B (1，1)．由z ＝ax ＋y ，得y ＝－ax ＋z .∴a ＝2，
]
12．(2015·东北三省四市联考)在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界)，若目标函数z ＝x ＋ay 取得最小值的最优解有无
数个，则y x －a
的最大值是
________
12． 25 [目标函数可化为y ＝－1a x ＋1a z .要使目标函数z ＝x ＋ay 取得
最小值的最优解有无数个，则－1a ＝k AC ＝1.
则a ＝－1，故y x －a ＝y x ＋1
， 其几何意义为可行域内的点(x ，y )与点M (－1，0)的连线的斜率，可
知⎝ ⎛⎭
⎪⎫y x ＋1max ＝k MC ＝25.] 13．(2015·保定联考)设关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1>0，x －m <0，y ＋m >0
表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)满足x 0－2y 0＝2，则m 的取值范围是________．
13.⎝ ⎛⎭
⎪⎫23，＋∞ [作不等式组表示的平面区域(如图)，依题意，直线x －2y ＝2与平面区域有公共点．
如图，直线x ＝m 与y ＝－m 交于(m ，－m )，把(m ，－m )代入x －2y
＝2得m ＝23，结合图形得m >23
.]
14.（本小题满分12分）
已知命题p ：方程2220x ax a +-=在[-1，1]上有解，命题q ：只有一个实数x 0满足
不等式
022020≤++a ax x ，若命题“q p ∨”是假命题，求实数a 的取值范围。

14.
∴当命题p 为真命题时
122a a a ≤-≤∴≤1或. ………………………………………4分
又“只有一个实数0x 满足200220x ax a ++≤”，即抛物线222y x ax a =++与x 轴只有一个交点，∴2480a a ∆=-=，∴0a =或2a =.
∴当命题q 为真命题时，0a =或2a =. ………………………………………8分
∴命题“p ∨q ”为真命题时，2a ≤.∵命题“p ∨q ”为假命题，∴2a >或2a <-.
11 即a 的取值范围为(,2)(2,)-∞-+∞ . (12)
15．（本题满分12分）
设命题错误！未找到引用源。

：函数错误！未找到引用源。

在错误！未找到引用源。

上是增函数，命题错误！未找到引用源。

：错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

，如果错误！未找到引用源。

是假命题，错误！未找到引用源。

是真命题，求错误！未找到引用源。

的取值范围．
15．解：∵函数错误！未找到引用源。

在错误！未找到引用源。

上是增函数，∴错误！未找到引用源。

，…………………………2分
由错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

得方程错误！未找到引用源。

有解，………………4分
∴错误！未找到引用源。

，解得错误！未找到引用源。

或错误！未找到引用源。

…………………………5分
∵错误！未找到引用源。

是假命题，错误！未找到引用源。

是真命题，∴命题错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

一真一假，…………………………6分
①若错误！未找到引用源。

真错误！未找到引用源。

假，则错误！未找到引用源。

∴错误！未找到引用源。

；…………………………8分
②若错误！未找到引用源。

假错误！未找到引用源。

真，则错误！未找到引用源。

解得错误！未找到引用源。

，…………………………10分
综上可得错误！未找到引用源。

的取值范围为错误！未找到引用源。

…………………………12分。