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高二数学-南通中学2015-2016学年高二上学期周练数学(理科)试题

江苏省南通中学2015-2016学年高二上学期周练

(90分钟)

1.若存在a∈[1,3],使得不等式ax2+(a-2)x-2>0成立,则实数x 的取值范围是________.

2.某几何体的三视图如图所示,其中侧视图为半圆,则该几何体的体积V=________.

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3.已知m、n是不同的直线,α、β、γ是不同的平面.给出下列命题:

①若α⊥β,α∩β=m,n⊥m,则n⊥α,或n⊥β;

②若α∥β,α∩γ=m,β∩γ=n,则m∥n;

③若m不垂直于α,则m不可能垂直于α内的无数条直线;

④若α∩β=m,n∥m,且n?α,n?β,则n∥α,且n∥β;

⑤若m、n为异面直线,则存在平面α过m且使n⊥α.

其中正确的命题序号是________.

4.如图,一个简单凸多面体的三视图的外轮廓是三个边长为1的正方形,则此多面体的体积为________.

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5.如图,四面体ABCD 中,AB =1,AD =23,BC =3,CD =2,∠ABC

=∠DCB =π2,则二面角A -BC -D 的大小为________.

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6.直线x cos θ+3y -2=0的倾斜角的范围是________.

7.“a =-1”是“直线ax +y +1=0与直线x +ay +2=0平行”的________(填“充分不必要条件”,或”充要条件”,或”必要不充分条件”,或”既不充分又不必要条件”)

8.双曲线x 2a 2-y 2

b 2=1的左焦点为F 1,顶点为A 1、A 2,P 是双曲线右支上任意一点,则分别以线段PF 1、A 1A 2为直径的两圆的位置关系为________. 9.

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10.设直线x -3y +m =0(m ≠0)与双曲线x 2a 2-y 2

b 2=1(a >0,b >0)的两条

渐近线分别交于点A ,B .若点P (m ,0)满足|P A |=|PB |,则该双曲线的离心率是________.

11.已知x ,y 满足约束条件?????x -y ≥0,x +y ≤2,y ≥0,

若z =ax +y 的最大值为4,则a =________

12.在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界),若目

标函数z =x +ay 取得最小值的最优解有无数个,则y x -a

的最大值是

_______

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13.设关于x ,y 的不等式组?????2x -y +1>0,x -m <0,y +m >0

表示的平面区域内存在点P (x 0,y 0)满足x 0-2y 0=2,则m 的取值范围是________.

14.已知命题p :方程2220x ax a +-=在[-1,1]上有解,命题q :只有一

个实数x 0满足不等式02202

0≤++a ax x ,若命题“q p ∨”是假命题,

求实数a 的取值范围。

15.设命题错误!未找到引用源。:函数错误!未找到引用源。在错误!未找到引用源。上是增函数,命题错误!未找到引用源。:错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。,如果错误!未找到引用源。

是假命题,错误!未找到引用源。是真命题,求错误!未找到引用源。的取值范围.

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答案及解析

1.若存在a ∈[1,3],使得不等式ax 2+(a -2)x -2>0成立,则实数x 的取值范围是________.

1.(-∞,-1)∪? ??

??23,+∞ [原命题化为,存在a ∈[1,3]时,使(x 2

+x )a -2x -2>0成立.设f (a )=(x 2+x )a -2x -2,a ∈[1,3].

若f (a )≤0恒成立,则?

????f (1)≤0,f (3)≤0,解之得-1≤x ≤23,因此存在a ∈[1,3]时,f (a )>0时,x 的取值范围为(-∞,-1)∪? ??

??23,+∞.] 2.(2015·北京东城区模拟)某几何体的三视图如图所示,其中侧视图为半圆,则该几何体的体积V =________.

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2.2π3 [由三视图知,该几何体为半个圆锥.∵S 底=12·π·12=π2, 半圆锥的高h =32-12=22,

因此几何体的体积V =13×22×π2=2π3.]

3.已知m 、n 是不同的直线,α、β、γ是不同的平面.给出下列命题:

①若α⊥β,α∩β=m,n⊥m,则n⊥α,或n⊥β;

②若α∥β,α∩γ=m,β∩γ=n,则m∥n;

③若m不垂直于α,则m不可能垂直于α内的无数条直线;

④若α∩β=m,n∥m,且n?α,n?β,则n∥α,且n∥β;

⑤若m、n为异面直线,则存在平面α过m且使n⊥α.

其中正确的命题序号是________.

3.②④[①是错误的.如正方体中面ABB′A′⊥面ADD′A′,交线为AA′.直线AC⊥AA′,但AC不垂直面ABB′A′,同时AC也不垂直面ADD′A′.

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②正确.实质上是两平面平行的性质定理.

③是错误的.在如图的正方体中,A′C不垂直于平面A′B′C′D′,但与B′D′垂直.这样A′C就垂直于平面A′B′C′D′内与直线B′D′平行的无数条直线.

④正确.利用线面平行的判定定理即可.

⑤错误,当m与n异面且垂直时存在过m且与n垂直的平面α,当m 与n不垂直时,过m的任何平面与n都不垂直.]

4.如图,一个简单凸多面体的三视图的外轮廓是三个边长为1的正方形,则此多面体的体积为________.

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4.23 [由三视图可知,几何体为正方体截去两个三棱锥后的部分,因

为V 正方体=1,V 三棱锥=13×13×12=16,因此,该多面体的体积V =1-16×2

=23.]

5.如图,四面体ABCD 中,AB =1,AD =23,BC =3,CD =2,∠ABC

=∠DCB =π2,则二面角A -BC -D 的大小为________.

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5.π3 [由∠ABC =∠DCB =π2知,

BA

→与CD →的夹角θ就是二面角A -BC -D 的平面角. 又AD

→=AB →+BC →+CD →,∴AD →2=(AB →+BC →+CD →)2 =AB →2+BC →2+CD →2+2AB →·CD

→. 因此2AB →·CD

→=(23)2-12-32-22=-2, ∴cos(π-θ)=-12,且0<π-θ<π,

则π-θ=23π,故θ=π3.]

6.直线x cos θ+3y -2=0的倾斜角的范围是________.

6.??????0,π6∪??????5π6,π [tan α=k =-cos θ3

,知-33≤k ≤33, ∴0≤α≤π6或5π6≤α<π.]

7.“a =-1”是“直线ax +y +1=0与直线x +ay +2=0平行”的________(填“充分不必要条件”,或”充要条件”,或”必要不充分条件”,或”既不充分又不必要条件”)

7.充分不必要条件 [由ax +y +1=0与x +ay +2=0平行,得a ·a -1×1=0,得a =±1.故“a =-1”是两条直线平行的充分不必要条件.] 8.双曲线x 2a 2-y 2

b 2=1的左焦点为F 1,顶点为A 1、A 2,P 是双曲线右支上任意一点,则分别以线段PF 1、A 1A 2为直径的两圆的位置关系为________.

8.内切 [设双曲线的右焦点为F 2,且线段PF 1的中点为O ′,由双曲线定义,|PF 1|-|PF 2|=2a ,

∴|OO ′|=12|PF 2|=-a +12|PF 1|.

又12|A 1A 2|=a ,则|OO ′|=12()|PF 1|-|A 1A 2|,因此|OO ′|=R -r ,两圆相内切.]

9

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10.设直线x -3y +m =0(m ≠0)与双曲线x 2a 2-y 2

b 2=1(a >0,b >0)的两条渐近线分别交于点A ,B .若点P (m ,0)满足|P A |=|PB |,则该双曲线的离心率是________. 10.52 [双曲线x 2a 2-y 2b 2=1的渐近线方程为y =±b a x .

由???y =b a x ,x -3y +m =0得A ?

????am 3b -a ,bm 3b -a , 由???y =-b a x ,x -3y +m =0得B ?

????-am a +3b ,bm a +3b , 所以AB 的中点C 坐标为? ????a 2m 9b 2-a 2,3b 2

m 9b 2-a 2. 设直线l :x -3y +m =0(m ≠0),因为|P A |=|PB |,所以PC ⊥l ,所以k PC =-3,化简得a 2=4b 2,在双曲线中,即a 2=4(c 2-a 2),所以4c 2=

5a 2,所以离心率e =c a =52.]

11.已知x ,y 满足约束条件?????x -y ≥0,x +y ≤2,y ≥0,

若z =ax +y 的最大值为4,则a =________

11.2 [不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示,易知A(2,0),

由?

????x -y =0,x +y =2,得B (1,1).由z =ax +y ,得y =-ax +z .∴a =2,

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]

12.(2015·东北三省四市联考)在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界),若目标函数z =x +ay 取得最小值的最优解有无

数个,则y x -a

的最大值是

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________

12. 25 [目标函数可化为y =-1a x +1a z .要使目标函数z =x +ay 取得

最小值的最优解有无数个,则-1a =k AC =1.

则a =-1,故y x -a =y x +1

, 其几何意义为可行域内的点(x ,y )与点M (-1,0)的连线的斜率,可

知? ??

??y x +1max =k MC =25.] 13.(2015·保定联考)设关于x ,y 的不等式组?????2x -y +1>0,x -m <0,y +m >0

表示的平面区域内存在点P (x 0,y 0)满足x 0-2y 0=2,则m 的取值范围是________.

13.? ??

??23,+∞ [作不等式组表示的平面区域(如图),依题意,直线x -2y =2与平面区域有公共点.

如图,直线x =m 与y =-m 交于(m ,-m ),把(m ,-m )代入x -2y

=2得m =23,结合图形得m >23

.]

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14.(本小题满分12分)

已知命题p :方程2220x ax a +-=在[-1,1]上有解,命题q :只有一个实数x 0满足

不等式

022020≤++a ax x ,若命题“q p ∨”是假命题,求实数a 的取值范围。

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14.

∴当命题p 为真命题时

122a a a ≤-≤∴≤1或. ………………………………………4分

又“只有一个实数0x 满足200220x ax a ++≤”,即抛物线2

22y x ax a =++与x 轴只有一个交点,∴2480a a ?=-=,∴0a =或2a =.

∴当命题q 为真命题时,0a =或2a =. ………………………………………8分

∴命题“p ∨q ”为真命题时,2a ≤.∵命题“p ∨q ”为假命题,∴2a >或2a <-.

即a 的取值范围为(,2)(2,)-∞-+∞ . (12)

15.(本题满分12分)

设命题错误!未找到引用源。:函数错误!未找到引用源。在错误!未找到引用源。上是增函数,命题错误!未找到引用源。:错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。,如果错误!未找到引用源。是假命题,错误!未找到引用源。是真命题,求错误!未找到引用源。的取值范围.

15.解:∵函数错误!未找到引用源。在错误!未找到引用源。上是增函数,∴错误!未找到引用源。,…………………………2分

由错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。得方程错误!未找到引用源。有解,………………4分

∴错误!未找到引用源。,解得错误!未找到引用源。或错误!未找到引用源。…………………………5分

∵错误!未找到引用源。是假命题,错误!未找到引用源。是真命题,∴命题错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。一真一假,…………………………6分

①若错误!未找到引用源。真错误!未找到引用源。假,则错误!未找到引用源。∴错误!未找到引用源。;…………………………8分

②若错误!未找到引用源。假错误!未找到引用源。真,则错误!未找到引用源。解得错误!未找到引用源。,…………………………10分

综上可得错误!未找到引用源。的取值范围为错误!未找到引用源。…………………………12分