A卷
2015—2016学年第一学期
《线性代数》期末试卷答案
（32学时必修）
专业班级
姓名
学号
开课系室应用数学系
考试日期 2016年1月15日
注意事项：
1．请用黑色或蓝色笔在试卷正面答题（请勿用铅笔答题），反面及附页可作草稿纸；
2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；
3．本试卷共七道大题，满分100分；试卷本请勿撕开，否则作废；
4. 本试卷正文共7页。
说明：试卷中的字母E 表示单位矩阵；*A 表示矩阵A 的伴随矩阵；
)(A R 表示矩阵A 的秩；1-A 表示可逆矩阵A 的逆矩阵.
一、填空题（请从下面6个题目中任选5个小题，每小题3分；若6个题目都做，按
照前面5个题目给分）
1．5阶行列式中，项4513523124a a a a a 前面的符号为【 负 】.
2.设1
3
5
2
4
1312010131
1--=
D ，)4,3,2,1(4=i A i 是D 的第4行元素的代数余子式，则
4443424122A A A A +-+ 等于【 0 】.
3．设102020103B ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪-⎝⎭
，A 为34⨯矩阵，且()2A =R ，则()AB =R 【 2 】.
4．若向量组123(1,1,0),(1,3,1),(5,3,)t ==-=ααα线性相关，则=t 【 1 】.
5．设A 是3阶实的对称矩阵，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1m m α是线性方程组0=Ax 的解，⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛-=m m 11β是线
性方程组0)(=+x E A 的解，则常数=m 【 1 】.
6．设A 和B 是3阶方阵，A 的3个特征值分别为0,3,3-，若AB B E =+，则行列式
=+-|2|1E B 【 -8 】.
二、选择题（共5个小题，每小题3分）
1. 设A 为3阶矩阵，且2
1
||=A ，则行列式|2|*-A 等于【 A 】.
(A) 2-； (B) 2
1
-； (C) 1-； (D) 2.
2. 矩阵110120001⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
的逆矩阵为【 A 】．
(A) 210110001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭； (B) 210110001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； (C) 110120001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭； (D) 110110001⎛⎫
⎪
⎪ ⎪
⎝⎭.
3．设A 是n 阶非零矩阵，满足2A A =，若A E ≠，则【 A 】．
(A) ||0A =； (B) ||1A =； (C) A 可逆； (D) A 满秩.
4. 设300300026,110,
001342A B ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭
1-=AB C ，则1C -的第3行第1列的元素为【 D 】．
(A) 4； (B) 8； (C) 0； (D) 1-.
5．设3231212
322
21321222222),,(x ax x ax x ax x x x x x x f +++++=，a 是使二次型),,(321x x x f 正定的正整数，则必有【 B 】．
(A) 2=a ； (B) 1=a ； (C) 3=a ； (D) 以上选项都不对.
三、求解下列各题(共3小题，每小题7分)
1. 若,,αβγ线性无关，2,αβ+2k βγ+，3βγ+线性相关，求k . 解：因为2,αβ+2k βγ+与3βγ+线性相关，所以必定存在不全为
零的数321，，λλλ，使得
0=3+++2+2+321）（）（）（γβλγβλβαλk ----------2分 整理得：0=3+++2+2+
323211γλλβλλλαλ）（）（k 由于,,αβγ线性无关，因此可得
=3+0=+2+20
=323211λλλλλλk 由于321，，λλλ不全为零，即上述齐次线性方程组有非零解，因此
0=3
01220
01k ，由此得k = 6. ----------7分 2. 设()011201-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A ，⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛--=03112211a B ，若2)(=+B AB R ，求a .
解：由2)(=+B AB R 可知0=+B AB ，
由此可得 0=+B E A
又 0
2=1220100
12
=+≠--E A
----------2分
因此 0=B
因此可得 5=-a . ----------7分
3. 设矩阵2001000240021603,A a B t -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，且,A B 相似，求a 与t 的值．
解：由,A B 相似可知,A B 的特征值相同，
而易知B 的特征值为 -1,t ,3，因此A 的特征值也为 -1,t ,3 利用特征值的性质可得
2113
2(4)3t a t a ++=-++⎧⎨
-=-⎩ ----------5分 解得12a t ==,. ----------7分
四、（共2小题，每小题8分） 1．求向量组
123410311301,,,217242140⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
αααα 的一个最大无关组，并将其余向量用这一最大无关组表示出来.
解：令()123410
3
11
301,,,21724
2140A αααα⎛⎫ ⎪
--
⎪
== ⎪ ⎪
⎝⎭, 把A 进行行变换，化为行最简形， ()1
23
410300110~00010000A C ββββ⎛⎫
⎪
⎪
== ⎪
⎪
⎝⎭
----------6分
则421，，βββ是C 的列向量组的一个最大无关组，且421303ββββ++=， 故421，，ααα是A 的列向量组的一个最大无关组，且421303αααα++=.
----------8分
