A卷
2015—2016学年第一学期
《线性代数》期末试卷答案
（32学时必修）
专业班级
姓名
学号
开课系室应用数学系
考试日期 2016年1月15日
注意事项：
1．请用黑色或蓝色笔在试卷正面答题（请勿用铅笔答题），反面及附页可作草稿纸；
2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；
3．本试卷共七道大题，满分100分；试卷本请勿撕开，否则作废；
4. 本试卷正文共7页。
说明：试卷中的字母E 表示单位矩阵；*A 表示矩阵A 的伴随矩阵；
)(A R 表示矩阵A 的秩；1-A 表示可逆矩阵A 的逆矩阵.
一、填空题（请从下面6个题目中任选5个小题，每小题3分；若6个题目都做，按
照前面5个题目给分）
1．5阶行列式中，项4513523124a a a a a 前面的符号为【 负 】.
2.设1
3
5
2
4
1312010131
1--=
D ，)4,3,2,1(4=i A i 是D 的第4行元素的代数余子式，则
4443424122A A A A +-+ 等于【 0 】.
3．设102020103B ?? ?
= ? ?-??
，A 为34?矩阵，且()2A =R ，则()AB =R 【 2 】.
4．若向量组123(1,1,0),(1,3,1),(5,3,)t ==-=ααα线性相关，则=t 【 1 】.
5．设A 是3阶实的对称矩阵，????? ??-=1m m α是线性方程组0=Ax 的解，???
?
?
??-=m m 11β是线
性方程组0)(=+x E A 的解，则常数=m 【 1 】.
6．设A 和B 是3阶方阵，A 的3个特征值分别为0,3,3-，若AB B E =+，则行列式
=+-|2|1E B 【 -8 】.
二、选择题（共5个小题，每小题3分）
1. 设A 为3阶矩阵，且2
1
||=A ，则行列式|2|*-A 等于【 A 】.
(A) 2-； (B) 2
1
-； (C) 1-； (D) 2.
2. 矩阵110120001?? ?
? ???
的逆矩阵为【 A 】．
(A) 210110001-?? ?- ? ???； (B) 210110001?? ? ? ???； (C) 110120001-?? ?- ? ???； (D) 110110001??
?
? ?
??.
3．设A 是n 阶非零矩阵，满足2A A =，若A E ≠，则【 A 】．
(A) ||0A =； (B) ||1A =； (C) A 可逆； (D) A 满秩.
4. 设300300026,110,
001342A B ????
? ?==- ? ? ? ?--????
1-=AB C ，则1C -的第3行第1列的元素为【 D 】．
(A) 4； (B) 8； (C) 0； (D) 1-.
5．设3231212
322
21321222222),,(x ax x ax x ax x x x x x x f +++++=，a 是使二次型),,(321x x x f 正定的正整数，则必有【 B 】．
(A) 2=a ； (B) 1=a ； (C) 3=a ； (D) 以上选项都不对.
三、求解下列各题(共3小题，每小题7分)
1. 若,,αβγ线性无关，2,αβ+2k βγ+，3βγ+线性相关，求k . 解：因为2,αβ+2k βγ+与3βγ+线性相关，所以必定存在不全为
零的数321，，λλλ，使得
0=3+++2+2+321）（）（）（γβλγβλβαλk ----------2分 整理得：0=3+++2+2+
323211γλλβλλλαλ）（）（k 由于,,αβγ线性无关，因此可得
=3+0=+2+20
=323211λλλλλλk 由于321，，λλλ不全为零，即上述齐次线性方程组有非零解，因此
0=3
01220
01k ，由此得k = 6. ----------7分 2. 设()011201-????? ??=A ，???
?? ??--=03112211a B ，若2)(=+B AB R ，求a .
解：由2)(=+B AB R 可知0=+B AB ，
由此可得 0=+B E A
又 0
2=1220100
12
=+≠--E A
----------2分
因此 0=B
因此可得 5=-a . ----------7分
3. 设矩阵2001000240021603,A a B t -???? ? ?
==- ? ? ? ?????
，且,A B 相似，求a 与t 的值．
解：由,A B 相似可知,A B 的特征值相同，
而易知B 的特征值为 -1,t ,3，因此A 的特征值也为 -1,t ,3 利用特征值的性质可得
2113
2(4)3t a t a ++=-++??
-=-? ----------5分 解得12a t ==,. ----------7分
四、（共2小题，每小题8分） 1．求向量组
123410311301,,,217242140???????? ? ? ? ?-- ? ? ? ?==== ? ? ? ? ? ? ? ?????????
αααα 的一个最大无关组，并将其余向量用这一最大无关组表示出来.
解：令()123410
3
11
301,,,21724
2140A αααα?? ?
--
?
== ? ?
??, 把A 进行行变换，化为行最简形， ()1
23
410300110~00010000A C ββββ??
?
?
== ?
?
??
----------6分
则421，，βββ是C 的列向量组的一个最大无关组，且421303ββββ++=， 故421，，ααα是A 的列向量组的一个最大无关组，且421303αααα++=.
----------8分
2. 问a 满足什么条件，才能使得21403003A a ?? ?
= ? ???
共有两个线性无关的特征向量？
解：由0=30030
4
12=
λ
λλλ----a E A ，得A 的特征值：3==2=321λλλ， 要使A 有两个线性无关的特征向量，则特征值3对应一个线性无关的特征向量， 即0=)3(x E A -的解空间的维数为1，则2=)3(E A R -， ----------6分
而114300000A E a -??
?
-= ? ???
，因此可知0≠a . ----------8分
五、问λ为何值时，线性方程组1
3123123,4226423
x x x x x x x x +=??
++=+??++=+?λλλ无解，有无穷多解，
并在有无穷多解时求出其通解．
解：记方程组的增广矩阵为，则101
412261423B ?? ?
=+ ? ?+??
λλλ，
对其进行行变换，化为行阶梯形：101
012320001B λλλ?? ?
→--+ ? ?-+??，
易知，当1≠λ时，3)(2)(=≠=B R A R ，方程组无解；
当1=λ时，2)()(==B R A R ，方程组有无穷多解； ----------6分
当1=λ时，101101210000B ??
?
→-- ? ?
??，与原方程组同解的方程组为1323121x x x x =-+??=-?，
由此可得原方程组的通解为()123112110x x k k R x -??????
? ? ?
=+-∈ ? ? ?
? ? ???????
. ----------12分
六、求实二次型3231212322
2132184444),,(x x x x x x x x x x x x f -+-++=的秩，并求正交变换Py x =，化二次型为标准形．
解：记二次型的矩阵为????
? ??----=442442221A ,122~000,000A -??
? ? ?
?? 故二次型f 的秩为1. ----------4分
由044
2
442
221=-------=-λ
λλ
λE A ，可得：0，9321===λλλ，
当，91=λ求解0)9(=-x E A 的一个基础解系：??????? ??=11-211ξ，单位化：?
???
????
?
??=3232
-311p ,当，032==λλ求解0=Ax 的一个基础解系：???
?? ??=????? ??=102-，01232ξξ，
正交化：[][]?
??????
?
? ??==????? ??==15452--，01222232
3322ηηηξηξηξη，
单位化：?
???????
? ??=?????
?
?
?? ??=????? ??=3515541552-15452-35，0125132p p ， ----------12分
令()321p p p P =，则可得正交变换Py x =，
二次型的标准形为：2322
21321009),,(y y y y y y f ++=. ----------14分
七、（请从下面2个题目中任选1个，若2个题目都做，按照第1题给分）
1. “设A 是n 阶实的反对称矩阵，则对于任何n 维实的列向量α，α和αA 正交，且E A -可逆”．您认为该结论成立吗？请说明理由. 解：该结论成立。
由于A 为反对称阵，则A A T -=，对于任意n 维实的列向量α，有：
[][][]ααααααααααααA A A A A A T T T T -=-=-===)(-
所以[]0=ααA ，即α和αA 正交； ----------3分
考虑0=)x E A -（，即x Ax =，等式两边同时左乘T x ，得
0==x x Ax x T T ，由此得：0=x ，即0=)x E A -（只有零解，
所以0≠-E A ，E A -可逆. ----------7分
2. 设矩阵A 满足122A B B E -=+，10021
1022300
2B ?
?- ? ?
?=- ? ? ?- ??
?
，试求出A E -的第2行的元素. 解：等式122A B B E -=+两边同时左乘A 得：A AB B +2=2，
整理得：)+2=2E B A B （，
B 已知，由此可求出11010
03002A ?
? ?-
?
= ?
? ??
?
, ----------5分 从而可求出A E -的第2行的元素为：1，-1, 0. ----------7分