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2018年度5-2018年度6-1线性代数期末试卷(A)问题详解及评分实用标准

A卷

2015—2016学年第一学期

《线性代数》期末试卷答案

(32学时必修)

专业班级

姓名

学号

开课系室应用数学系

考试日期 2016年1月15日

2018年度5-2018年度6-1线性代数期末试卷(A)问题详解及评分实用标准

注意事项:

1.请用黑色或蓝色笔在试卷正面答题(请勿用铅笔答题),反面及附页可作草稿纸;

2.答题时请注意书写清楚,保持卷面清洁;

3.本试卷共七道大题,满分100分;试卷本请勿撕开,否则作废;

4. 本试卷正文共7页。

说明:试卷中的字母E 表示单位矩阵;*A 表示矩阵A 的伴随矩阵;

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)(A R 表示矩阵A 的秩;1-A 表示可逆矩阵A 的逆矩阵.

一、填空题(请从下面6个题目中任选5个小题,每小题3分;若6个题目都做,按

照前面5个题目给分)

1.5阶行列式中,项4513523124a a a a a 前面的符号为【 负 】.

2.设1

3

5

2

4

1312010131

1--=

D ,)4,3,2,1(4=i A i 是D 的第4行元素的代数余子式,则

4443424122A A A A +-+ 等于【 0 】.

3.设102020103B ?? ?

= ? ?-??

,A 为34?矩阵,且()2A =R ,则()AB =R 【 2 】.

4.若向量组123(1,1,0),(1,3,1),(5,3,)t ==-=ααα线性相关,则=t 【 1 】.

5.设A 是3阶实的对称矩阵,????? ??-=1m m α是线性方程组0=Ax 的解,???

?

?

??-=m m 11β是线

性方程组0)(=+x E A 的解,则常数=m 【 1 】.

6.设A 和B 是3阶方阵,A 的3个特征值分别为0,3,3-,若AB B E =+,则行列式

=+-|2|1E B 【 -8 】.

二、选择题(共5个小题,每小题3分)

1. 设A 为3阶矩阵,且2

1

||=A ,则行列式|2|*-A 等于【 A 】.

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(A) 2-; (B) 2

1

-; (C) 1-; (D) 2.

2. 矩阵110120001?? ?

? ???

的逆矩阵为【 A 】.

(A) 210110001-?? ?- ? ???; (B) 210110001?? ? ? ???; (C) 110120001-?? ?- ? ???; (D) 110110001??

?

? ?

??.

3.设A 是n 阶非零矩阵,满足2A A =,若A E ≠,则【 A 】.

(A) ||0A =; (B) ||1A =; (C) A 可逆; (D) A 满秩.

4. 设300300026,110,

001342A B ????

? ?==- ? ? ? ?--????

1-=AB C ,则1C -的第3行第1列的元素为【 D 】.

(A) 4; (B) 8; (C) 0; (D) 1-.

5.设3231212

322

21321222222),,(x ax x ax x ax x x x x x x f +++++=,a 是使二次型),,(321x x x f 正定的正整数,则必有【 B 】.

(A) 2=a ; (B) 1=a ; (C) 3=a ; (D) 以上选项都不对.

三、求解下列各题(共3小题,每小题7分)

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1. 若,,αβγ线性无关,2,αβ+2k βγ+,3βγ+线性相关,求k . 解:因为2,αβ+2k βγ+与3βγ+线性相关,所以必定存在不全为

零的数321,,λλλ,使得

0=3+++2+2+321)()()(γβλγβλβαλk ----------2分 整理得:0=3+++2+2+

323211γλλβλλλαλ)()(k 由于,,αβγ线性无关,因此可得

=3+0=+2+20

=323211λλλλλλk 由于321,,λλλ不全为零,即上述齐次线性方程组有非零解,因此

0=3

01220

01k ,由此得k = 6. ----------7分 2. 设()011201-????? ??=A ,???

?? ??--=03112211a B ,若2)(=+B AB R ,求a .

解:由2)(=+B AB R 可知0=+B AB ,

由此可得 0=+B E A

又 0

2=1220100

12

=+≠--E A

----------2分

因此 0=B

因此可得 5=-a . ----------7分

3. 设矩阵2001000240021603,A a B t -???? ? ?

==- ? ? ? ?????

,且,A B 相似,求a 与t 的值.

解:由,A B 相似可知,A B 的特征值相同,

而易知B 的特征值为 -1,t ,3,因此A 的特征值也为 -1,t ,3 利用特征值的性质可得

2113

2(4)3t a t a ++=-++??

-=-? ----------5分 解得12a t ==,. ----------7分

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四、(共2小题,每小题8分) 1.求向量组

123410311301,,,217242140???????? ? ? ? ?-- ? ? ? ?==== ? ? ? ? ? ? ? ?????????

αααα 的一个最大无关组,并将其余向量用这一最大无关组表示出来.

解:令()123410

3

11

301,,,21724

2140A αααα?? ?

--

?

== ? ?

??, 把A 进行行变换,化为行最简形, ()1

23

410300110~00010000A C ββββ??

?

?

== ?

?

??

----------6分

则421,,βββ是C 的列向量组的一个最大无关组,且421303ββββ++=, 故421,,ααα是A 的列向量组的一个最大无关组,且421303αααα++=.

----------8分

2. 问a 满足什么条件,才能使得21403003A a ?? ?

= ? ???

共有两个线性无关的特征向量?

解:由0=30030

4

12=

λ

λλλ----a E A ,得A 的特征值:3==2=321λλλ, 要使A 有两个线性无关的特征向量,则特征值3对应一个线性无关的特征向量, 即0=)3(x E A -的解空间的维数为1,则2=)3(E A R -, ----------6分

而114300000A E a -??

?

-= ? ???

,因此可知0≠a . ----------8分

五、问λ为何值时,线性方程组1

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3123123,4226423

x x x x x x x x +=??

++=+??++=+?λλλ无解,有无穷多解,

并在有无穷多解时求出其通解.

解:记方程组的增广矩阵为,则101

412261423B ?? ?

=+ ? ?+??

λλλ,

对其进行行变换,化为行阶梯形:101

012320001B λλλ?? ?

→--+ ? ?-+??,

易知,当1≠λ时,3)(2)(=≠=B R A R ,方程组无解;

当1=λ时,2)()(==B R A R ,方程组有无穷多解; ----------6分

当1=λ时,101101210000B ??

?

→-- ? ?

??,与原方程组同解的方程组为1323121x x x x =-+??=-?,

由此可得原方程组的通解为()123112110x x k k R x -??????

? ? ?

=+-∈ ? ? ?

? ? ???????

. ----------12分

六、求实二次型3231212322

2132184444),,(x x x x x x x x x x x x f -+-++=的秩,并求正交变换Py x =,化二次型为标准形.

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解:记二次型的矩阵为????

? ??----=442442221A ,122~000,000A -??

? ? ?

?? 故二次型f 的秩为1. ----------4分

由044

2

442

221=-------=-λ

λλ

λE A ,可得:0,9321===λλλ,

当,91=λ求解0)9(=-x E A 的一个基础解系:??????? ??=11-211ξ,单位化:?

???

????

?

??=3232

-311p ,当,032==λλ求解0=Ax 的一个基础解系:???

?? ??=????? ??=102-,01232ξξ,

正交化:[][]?

??????

?

? ??==????? ??==15452--,01222232

3322ηηηξηξηξη,

单位化:?

???????

? ??=?????

?

?

?? ??=????? ??=3515541552-15452-35,0125132p p , ----------12分

令()321p p p P =,则可得正交变换Py x =,

二次型的标准形为:2322

21321009),,(y y y y y y f ++=. ----------14分

七、(请从下面2个题目中任选1个,若2个题目都做,按照第1题给分)

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1. “设A 是n 阶实的反对称矩阵,则对于任何n 维实的列向量α,α和αA 正交,且E A -可逆”.您认为该结论成立吗?请说明理由. 解:该结论成立。

由于A 为反对称阵,则A A T -=,对于任意n 维实的列向量α,有:

[][][]ααααααααααααA A A A A A T T T T -=-=-===)(-

所以[]0=ααA ,即α和αA 正交; ----------3分

考虑0=)x E A -(,即x Ax =,等式两边同时左乘T x ,得

0==x x Ax x T T ,由此得:0=x ,即0=)x E A -(只有零解,

所以0≠-E A ,E A -可逆. ----------7分

2. 设矩阵A 满足122A B B E -=+,10021

1022300

2B ?

?- ? ?

?=- ? ? ?- ??

?

,试求出A E -的第2行的元素. 解:等式122A B B E -=+两边同时左乘A 得:A AB B +2=2,

整理得:)+2=2E B A B (,

B 已知,由此可求出11010

03002A ?

? ?-

?

= ?

? ??

?

, ----------5分 从而可求出A E -的第2行的元素为:1,-1, 0. ----------7分