2018年度5-2018年度6-1线性代数期末试卷(A)问题详解及评分实用标准

2015—2016学年第一学期

《线性代数》期末试卷答案

（32学时必修）

专业班级

姓 名

学 号

开课系室 应用数学系

考试日期 2016年1月15日

题 号 一 二 三 四 五 六 七

总分

本题满分 15 15 21 16 12 14 7

本题得分

阅卷人

注意事项：

1．请用黑色或蓝色笔在试卷正面答题（请勿用铅笔答题），反面及附页可作草稿纸；

2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；

3．本试卷共七道大题，满分100分；试卷本请勿撕开，否则作废；

4. 本试卷正文共7页。

本题满分15分 A卷 实用标准文案

精彩文档 说明：试卷中的字母E表示单位矩阵；*A表示矩阵A的伴随矩阵；

)(AR表示矩阵A的秩；1A表示可逆矩阵A的逆矩阵.

一、填空题（请从下面6个题目中任选5个小题，每小题3分；若6个题目都做，按照前面5个题目给分）

1．5阶行列式中，项4513523124aaaaa前面的符号为【 负 】.

2.设1352413120101311D，)4,3,2,1(4iAi是D的第4行元素的代数余子式，则4443424122AAAA 等于【 0 】.

3．设102020103B，A为34矩阵，且()2AR，则()ABR【 2 】.

4．若向量组123(1,1,0),(1,3,1),(5,3,)t线性相关，则t【 1 】.

5．设A是3阶实的对称矩阵，1mm是线性方程组0Ax的解，mm11是线性方程组0)(xEA的解，则常数m【 1 】.

6．设A和B是3阶方阵，A的3个特征值分别为0,3,3，若ABBE，则行列式|2|1EB【 -8 】.

本题得分 实用标准文案

精彩文档 二、选择题（共5个小题，每小题3分）

1. 设A为3阶矩阵，且21||A，则行列式|2|A等于【 A 】.

(A) 2； (B) 21； (C) 1； (D) 2.

2. 矩阵110120001的逆矩阵为【 A 】．

(A) 210110001； (B) 210110001； (C) 110120001； (D) 110110001.

3．设A是n阶非零矩阵，满足2AA，若AE，则【 A 】．

(A) ||0A； (B) ||1A； (C) A可逆； (D) A满秩.

4. 设300300026,110,001342AB1ABC，则1C的第3行第1列的元素为【 D 】．

(A) 4； (B) 8； (C) 0； (D) 1.

5．设323121232221321222222),,(xaxxaxxaxxxxxxxf，a是使二次型),,(321xxxf正定的正整数，则必有【 B 】．

(A) 2=a； (B) 1=a； (C) 3=a； (D) 以上选项都不对.

本题满分15分

本题得分 实用标准文案

精彩文档 三、求解下列各题(共3小题，每小题7分)

1. 若,,线性无关，2,2k，3线性相关，求k.

解：因为2,2k与3线性相关，所以必定存在不全为

零的数321，，，使得

0=3+++2+2+321）（）（）（k ----------2分

整理得：0=3+++2+2+323211）（）（k

由于,,线性无关，因此可得

0=3+0=+2+20=323211k

由于321，，不全为零，即上述齐次线性方程组有非零解，因此

0=30122001k，由此得k = 6. ----------7分

2. 设011201A，03112211aB，若2)(BABR，求a.

解：由2)(BABR可知0=+BAB，

由此可得 0=+BEA

又 02=122010012=+≠--EA ----------2分

因此 0=B

因此可得 5=-a. ----------7分

本题满分21分

本题得分 实用标准文案

精彩文档 3. 设矩阵2001000240021603,AaBt，且,AB相似，求a与t的值．

解：由,AB相似可知,AB的特征值相同，

而易知B的特征值为 -1,t,3，因此A的特征值也为 -1,t,3

利用特征值的性质可得

21132(4)3tata ----------5分

解得12at,. ----------7分

四、（共2小题，每小题8分）

1．求向量组

123410311301,,,217242140

的一个最大无关组，并将其余向量用这一最大无关组表示出来.

解：令123410311301,,,217242140A, 把A进行行变换，化为行最简形，

123410300110~00010000AC ----------6分

则421，，是C的列向量组的一个最大无关组，且421303，

故421，，是A的列向量组的一个最大无关组，且421303.

----------8分

本题满分16分

本题得分 实用标准文案

精彩文档 2. 问a满足什么条件，才能使得21403003Aa共有两个线性无关的特征向量？

解：由0=30030412=----aEA，得A的特征值：3==2=321，

要使A有两个线性无关的特征向量，则特征值3对应一个线性无关的特征向量，

即0=)3(xEA-的解空间的维数为1，则2=)3(EAR-， ----------6分

而114300000AEa，因此可知0≠a. ----------8分

五、问为何值时，线性方程组13123123,4226423xxxxxxxx无解，有无穷多解，并在有无穷多解时求出其通解．

解：记方程组的增广矩阵为，则101412261423B，

对其进行行变换，化为行阶梯形：101012320001B，

易知，当1≠时，3)(2)(BRAR，方程组无解；

当1=时，2)()(BRAR，方程组有无穷多解； ----------6分

当1=时，101101210000B，与原方程组同解的方程组为1323121xxxx，

由此可得原方程组的通解为123112110xxkkRx. ----------12分

本题满分12分

本题

得分 实用标准文案

精彩文档 六、求实二次型32312123222132184444),,(xxxxxxxxxxxxf的秩，并求正交变换Pyx=，化二次型为标准形．

解：记二次型的矩阵为442442221A,122~000,000A

故二次型f的秩为1. ----------4分

由0442442221EA，可得：0，9321，

当，91求解0)9(xEA的一个基础解系：11-211，单位化：3232-311p,当，032求解0Ax的一个基础解系：102-，01232，

正交化：15452--，012222323322，

单位化：3515541552-15452-35，0125132pp， ----------12分

令321pppP，则可得正交变换Pyx，

二次型的标准形为：232221321009),,(yyyyyyf. ----------14分

本题满分14分

本题

得分 实用标准文案

精彩文档 七、（请从下面2个题目中任选1个，若2个题目都做，按照第1题给分）

1. “设A是n阶实的反对称矩阵，则对于任何n维实的列向量，和A正交，且EA-可逆”．您认为该结论成立吗？请说明理由.

解：该结论成立。

由于A为反对称阵，则AAT-=，对于任意n维实的列向量，有：

AAAAAATTTT)(-

所以0A，即和A正交； ----------3分

考虑0=)xEA-（，即xAx=，等式两边同时左乘Tx，得

0==xxAxxTT，由此得：0=x，即0=)xEA-（只有零解，

所以0≠-EA，EA-可逆. ----------7分

2. 设矩阵A满足122ABBE，1002110223002B，试求出AE的第2行的元素.

解：等式122ABBE两边同时左乘A得：AABB+2=2，

整理得：)+2=2EBAB（，

B已知，由此可求出1101003002A, ----------5分

从而可求出AE的第2行的元素为：1，-1, 0. ----------7分

本题满分7分

本题

得分