第14章整式的乘法与因式分解
一、教材内容
人教版《义务教育教科书?数学》八年级上册第14章是“整式的乘法与因式分解”。本章主要包括整式的乘法、乘法公式以及因式分解等知识。整式的乘法运算和因式分解是基本而重要的代数初步知识，这些知识是以后进一步学习分式和根式运算、函数等知识的基础，在后续的数学学习中具有重要意义。同时，这些知识也是学习物理、化学等学科及其他科学技术不可缺少的数学基础知识.本章共包括4节
14.1 整式的乘法：整式的乘法是整式四则运算的重要组成部分。本节分为四个小节，主要内容是整式的乘法，这些内容是在学生掌握了有理数运算、整式加减运算等知识的基础上学习的。教学中应适当复习幂、指数、底数等概念，特别要弄清正整数指数幂的意义。
14.2 乘法公式：本节分为两个小节，分别介绍平方差公式与完全平方公式。
乘法公式是整式乘法的特殊情形，是在学习了一般的整式乘法知识的基础上学习的，运用乘法公式能简化一些特定类型的整式相乘的运算问题，教科书在本节开始首先指出了这一点。教科书安排了3个题目，让学生通过计算，总结三个题目结果的共同点，发现其中的规律。
14.3 因式分解：因式分解是解析式的一种恒等变形，因式分解不但在解方程等问题中极其重要，在数学科学其他问题和一般科学研究中也具有广泛应用，是重要的数学基础知识。因式分解的方法一般包括提公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法、待定系数法等。
二、教学目标
1、知识与技能www. 12999. com
（1）掌握正整数幂的乘、除运算性质，能用代数式和文字语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行运算。掌握单项式乘（或除以）单项式、多项式乘（或除以）单项式以及多项式乘多项式的法则，并运用它们进行运算。
（2）会推导乘法公式（平方差公式和完全平方公式），了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算。
（3）掌握整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算。
（4）理解因式分解的意义，并感受分解因式与整式乘法是相反方向的运算，掌握提公因式法和公式法（直接运用公式不超过两次）这两种分解因式的基本方法，了解因式分解的一般步骤；能够熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解
2、过程与方法
（1）在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展学生的合情推理能力，逐步养成数学推理的习惯；
（2）在灵活运用知识解决有关问题的过程中，体验并掌握探索、归纳运算法则，进一步培说理和进行简单推理的能力。
3、情感、态度与价值观
（1）体会数学与现实生活的联系，增强克服困难的勇气和信心；
（2）会应用数学知识解决一些简单的实际问题，增强应用意识；
（3）使学生进一步形成数学来源于实践，反过来又服务于实践的辩证唯物主义观点。
三、重点难点及关键
本章的教学重点之一是整式的乘法，包括乘法公式。在整式的乘除中，单项式的乘除是关键。乘法公式的结构特征以及公式中字母的广泛含义学生不易掌握，运用时容易混淆，因此乘法公式的灵活运用是本部分的难点。添括号时，括号内符号的确定是本部分的另一个难点。因式分解一直是初中数学教学的一个难点，教学中要注意把握教学要求，因式分解这部分内容要求仅限于因式分解的两种基本方法，即提公因式法和公式法，教学中则应让学生牢固地掌握。
四、课时分配
本章共安排了3个小节，教学时间约需22课时（供参考）：
14.1 整式的乘法6课时
14.2 乘法公式3课时
14.3 因式分解3课时
数学活动
小结4课时
检测及试卷分析 4课时
第1课时§14.1.1《同底数幂的乘法》教学案
课题:同底数幂的乘法
备课时间：第周， 2014年月日，周。
上课时间：第周， 2014年月日，周。
教学目标：
1．知识与技能：能归纳同底数幂的乘法法则，并正确理解其意义
2．过程与方法：会运用同底数幂的乘法公式进行计算，对公式中字母所表示“数”的各种可能情形应有充分的认识，并能与加减运算加以区分；了解公式的逆向运用。
3．情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣和代数思想．
教学重点：同底数幂的乘法法则
教学难点：底数的不同情形，尤其是底数为多项式时的变号过程
教学方法：自主、合作
教学过程：
一、创设情景，激发求知欲
课本第95页的引例
二、复习提问
1．乘方的意义：求n个相同因数a的积的运算叫乘方
2．指出下列各式的底数与指数：
(1)34；(2)a3；(3)(a+b)2；(4)(-2)3；(5)-23．
其中，(-2)3与-23的含义是否相同？结果是否相等？(-2)4与-24呢？
三、合作探究
1．（课本95页问题）利用乘方概念计算：1014×103．
2．计算观察，探索规律：
完成课本第95页的“探索”，学生“概括”a m×a n=…=a m+n；
3.观察上式，找出其中包含的特征：
左边的底数相同，进行乘法运算；
右边的底数与左边相同，指数相加
4.归纳法则：同底数的幂相乘，底数不变，指数相加。
四、实践应用，巩固创新
例1．计算：
(1)x2·x5 (2)a·a6 (3) 2×24×23 (4) x m·x3m + 1
练习：课本第96页：(学生板演过程，写出中间步骤以体现应用法则）五、归纳小结
1．同底数幂相乘的法则；
2．法则适用于三个以上的同底数幂相乘的情形；
3．相同的底数可以是单项式，也可以是多项式；
4．要注意与加减运算的区别。
六、课后作业：
七、板书设计：
课题: 同底数幂的乘法
1. 同底数幂的乘法法则：a m×a n=…=a m+n
2.法则：同底数的幂相乘，底数不变，指数相加。
3. 例1.计算：
4.课后作业：
八、课后反思
第2课时 §14.1.2《幂的乘方》教学案
课 题: 幂的乘方
备课时间：第 周， 2014年 月 日，周 。 上课时间：第 周， 2014年 月 日，周 。
教学目标：
1．知识与技能：了解幂的乘方的运算性质
2．过程与方法：经历探索幂的乘方的运算性质的过程。解决一些实际问题。 3．情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的代数思想．
教学重点：幂的乘方的运算性质及其应用. 教学难点：幂的运算性质的灵活运用 教学方法：自主、合作 教学过程：
一、复习提问
1．同底数幂的乘法公式
2．计算 34)()(a a a -?-?- (x+y)3 · (x+y)4 3．填空：（1） 8 = 2x ，则 x = ；
（2） 8× 4 = 2x ，则 x = ；（3） 3×27×9 = 3x ，则 x = . 同底数幂的乘法的应用的练习 二、合作探究
探究：根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空，看看计算的结果有什么规律： （1）（32）3= 32 × 32 × 32 = 3 ﹝ ﹞ （2）（a 2）3 = a 2·a 2·a 2 = a ﹝ ﹞ （3）（a m ）3 = a m ·a m ·a m = a ﹝ ﹞
（4）（a m ）n =
m
a n m
m
m
a a a 个?????? = m
n m
m m a 个+???++ = a mn ．
观察结果，发现幂在进行乘方运算时，可以转化为指数的乘法运算． 引导学生归纳同底数幂的乘法法则： 幂的乘方，底数不变，指数相乘． 即：（a m ）n ＝a mn （m 、n 都是正整数）．
三、知识应用
例2.（1）（103）5； （2）（a 4）4； （3）（a m ）2；（4）－（x 4）3； 说明：－（x 4）3表示（x 4）3的相反数 练习：课本第97页
幂的乘方法则的逆用 m n n m m n a a a )()(==．
1．已知3×9n =37，求n 的值．2．已知a 3n =5，b 2n =3，求a 6n b 4n 的值． 3．设n 为正整数，且x 2n =2，求9（x 3n ）2的值． 四、课堂小结：幂的乘方法则 五、课后作业： 六、板书设计：
七、教学反思：
课 题: 幂的乘方
1．幂的乘方，底数不变，指数相乘．
即：（a m ）n ＝a mn （m 、n 都是正整数）． 2．例2. 3．课后作业：
第3课时 §14.1.3《积的乘方》教学案
课 题: 积的乘方
备课时间：第 周， 2014年 月 日，周 。 上课时间：第 周， 2014年 月 日，周 。
教学目标：
1．知识与技能：了解积的乘方的运算性质 2．过程与方法：能解决一些实际问题
3．情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的代数思想．
教学重点：积的乘方的运算性质及其应用 教学难点：积的运算性质的灵活运用 教学方法：自主、合作 教学过程：
一、创设情境，复习导入
前面我们学习了同底数幂的乘法、幂的乘方这两个运算性质，请同学们通过完成一组练习，来回顾一下这两个性质：
（1） （2）
（3） （4）
二、合作探究
（1）(3×5)7
——积的乘方 =
)
53(7)53()53()53(???????个 ——幂的意义
= 3
7)333(
个???×
5
7)555(个??? ——乘法交换律、结合律 =37×57；
——乘方的意义
（2）（ab ）2 = (ab) · (ab) = (a ·a) ·(b ·b) = a ( ) b ( )
(3)（a 2b 3）3 = (a 2b 3) · ( a 2b 3) ·( a 2b 3) = （a 2 ·a 2· a 2 ) ·(b 3·b 3·b 3) = a ( ) b ( ) (4) (ab )n
=
ab
n ab ab ab 个)()()( ——幂的意义
= a
n a a a a 个)( ·
b
n b b b b 个)( ——乘法交换律、结合律
=a n b n ．
——乘方的意义
由上面三个式子可以发现积的乘方的运算性质：
积的乘方，等于把每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘． 即：(ab )n =a n ·b n 三、知识应用，巩固提高
例题3 计算：
（1）(2a )3； （2）(－5b )3； （3）( xy 2 )2； （4）(-3
2
x 3)4． （5）(－2xy )4 （6）（2×103 ）2
说明： （5）意在将(ab )n =a n b n 推广，得到了(abc )n =a n b n c n 判断对错：下面的计算对不对？如果不对，应怎样改正？ ①
②
③
四、课堂练习：课本第98页
逆用公式：b
a a
b n
n
n
=）（，即）
（ab b a n
n n = 预备题：（1）
（2）
（3）已知2m =3，2n =5，求23m +2n 的值．
（注解）：23m +2n =23m ·22n =(2m )3·(2n )2=33·52=27×25=675． 五、课堂小结：乘方的运算性质。 六、课后作业： 七、板书设计：
六、课后反思：
课 题: 积的乘方 1. 积的乘方的运算性质：
积的乘方，等于把每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘． 即：(ab )n =a n ·b n 2. 例题3 计算：
3. 课后作业：
第4课时§14.1.4《整式的乘法》教学案1
课题:整式的乘法
备课时间：第周， 2014年月日，周。
上课时间：第周， 2014年月日，周。
教学目标：
1．知识与技能：经历探索单项式与单项式相乘的运算法则的过程，会进行整式相乘的运算
2．过程与方法：会进行单项式与单项式相乘的运算
3．情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的代数思想．
教学重点：单项式与单项式相乘的运算法则的探索
教学难点：灵活运用法则进行计算和化简
教学方法：自主、合作
教学过程：
一、复习提问
同底数幂，幂的乘方，积的乘方三个法则的区分。
二、合作探究（课本引例）：
光的速度约为3×105千米／秒，太阳光照射到地球上需要的时间大约是5×102秒，你知道地球与太阳的距离约是多少千米吗？
（1）怎样计算（3×105）×（5×102）?计算过程中用到哪些运算律及运算性质？
（2）如果将上式中的数字改为字母，比如ac5?bc2怎样计算这个式子？
说明：（3×105）×（5×102），它们相乘是单项式与单项式相乘．
ac5?bc2是两个单项式ac5与bc2相乘，我们可以利用乘法交换律，结合律及同底数幂的运算性质来计算：ac5?bc2＝（a?b）?（c5?c2）=abc5+2=abc7．
单项式乘以单项式的运算法则及应用
单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
例4 （课本例题）计算：
（1）（－5a2b）（－3a）；（2）（2x）3（－5xy2）．
三、课堂练习、巩固提高
练习1（课本）计算：
（1）3x25x3；（2）4y（－2xy2）；
（3）（3x2y）3?（－4x）；（4）（－2a）3（－3a）2．
练习2（课本）下面计算的对不对？如果不对，应当怎样改正？
（1）3a3?2a2= 6a6；（2）2x2?3x2= 6x4；
（3）3x2?4x2= 12x2；（4）5y3?y5 = 15y15．
四、课堂小结
（1）积的系数等于各系数的积，应先确定符号。
（2）相同字母相乘，是同底数幂的乘法。
（3）只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里，注意不要把该因式丢掉
（4）单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。
（5）单项式乘单项式的结果仍然是单项式。
五、课后作业：课本104页 3
七、板书设计：
六、课后反思课题: 整式的乘法
1. 单项式与单项式相乘
2. 例4 （课本例题）计算：
3. 课堂练习：1、2
4. 课后作业：P104 习题14.3 第3题
第5课时§14.1.5《整式的乘法》教学案2
课题:积的乘方
备课时间：第周， 2014年月日，周。
上课时间：第周， 2014年月日，周。
教学目标：
1．知识与技能：会进行单项式与多项式相乘的运算
2．过程与方法：经历探索单项式与多项式相乘的运算法则的过程，会进行整式相乘的运算
3．情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的代数思想．
教学重点：单项式与多项式相乘的运算法则的探索
教学难点：灵活运用法则进行计算和化简
教学方法：自主、合作
教学过程：
一、复习提问
1．单项式乘单项式的运算法则
2．练习：9x2y3·(-2xy2) (-3ab)3·(1/3abz)
3．合并同类项的知识
二、合作探究（探究单项式与多项式相乘的法则）
（课本内容）：三家连锁店以相同的价格m（单位：元/瓶）销售某种商品，它们在一个月内的销售量（单位：瓶）分别是a、b、c．你能用不同的方法计算它们在这个月内销售这种商品的总收入吗？
学生独立思考，然后讨论交流．经过思考可以发现一种方法是先求出三家连锁店的总销量，再求总收入，为：_________________．
另一种计算方法是先分别求出三家连锁店的收入，再求它们的和，即：___________．由于上述两种计算结果表示的是同一个量，因此
m（a＋b＋c）＝ma＋mb＋mc．
就可以归纳得到：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．
引导学生体会：单项式与多项式相乘，就是利用乘法分配律转化为单项式与单项式
相乘
三、尝试练习，巩固提高
1．例题5（课本） 计算：
（1）（－4x 2）（3x +1）； （2）ab ab ab 2
1
)232(2?-
2．练习：课本146页 1、2 四、课堂小结
五、布置作业：课本第104页 4 六、板书设计：
七、课后反思
课 题: 整式的乘法
1. 单项式与多项式相乘
2. 例5 （课本例题） 计算：
3. 课堂练习：P100 练习1、2
4. 课后作业：P104 习题14.3 第3题
第6课时 §14.1.6《整式的乘法》教学案（3）
课 题: 整式的乘法（3）
备课时间：第 周， 2014年 月 日，周 。 上课时间：第 周， 2014年 月 日，周 。
教学目标：
1．知识与技能：经历探索单项式与单项式相乘的运算法则的过程，会进行整式相乘的运算。
2．过程与方法：会进行单项式与单项式相乘的运算
3．情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的代数思想．
教学重点：单项式与单项式相乘的运算法则的探索 教学难点：灵活运用法则进行计算和化简 教学方法：自主、合作 教学过程：
一．复习提问
单项式乘以单项式的乘法法则 单项式乘以多项式的乘法法则 二．创设情景，引入新课
（课本）如图，为了扩大街心花园的绿地面积，把一块原长a 米、宽m 米的长方形绿地，增长了b 米，加宽了n 米．你能用几种方法求出扩大后的绿地面积？
一种计算方法是先分别求出四个长方形的面积，再求它们的和，即（_______）米2． 另一种计算方法是先计算大长方形的长和宽，然后利用长乘以宽得出大长方形的面积，即_____________米2．
由于上述两种计算结果表示的是同一个量，因此
（a +b ）（m ＋n ）= am+an+bm+bn ．
对结果进行分析，可以把m ＋n 看做一个整体，运用单项式与多项式相乘的法则，得
（a +b ）（m ＋n ）＝a （m ＋n ）＋b （m ＋n ），
= am+an+bm+bn ．
归纳：多项式与多项式相乘，就是先用一个多项式中的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
m
n
a
b
ｂｎ
ｂｍ
a ｍ
a ｎ
三、应用提高、拓展创新
例6（课本P101）：计算
（1）（3x+1）(x+2) ; (2) (x －8y)(x－y) ; (3) (x+y)(x2－xy+y2) 强调：进行运算时应注意，不漏不重，符号问题，合并同类项
补充例题：
1.(a+b)(a－b)－(a+2b)(a－b)
2.(3x4－3x2+1)(x4+x2－2)
3.(x－1)(x+1)(x2+1)
4.当a=-1/2时，求代数式 (2a－b)(2a+b)+(2a－b)(b－4a)+2b(b－3a)的值
四、课堂小结：多项式与多项式相乘法则
五、课后作业课本P105页 5
六、板书设计：
课题: 整式的乘法
1. 多项式与多项式相乘法则
2. 例6（课本）：计算
3. 练习：P102页 1、 2
4. 课后作业：课本P105页第5题
七、课后反思
第7课时§14.1.7整式的除法（1）
课题:同底数幂的除法（1）
备课时间：第周， 2014年月日，周。
上课时间：第周， 2014年月日，周。
教学目标：
1．知识与技能：熟练掌握同底数幂的除法运算法则；会用同底数幂的除法性质进行计算；知道任何不等于0的数的0次方都等于1.
2．过程与方法：经历探究同底数幂的除法运算法则的过程。
3．情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的代数思想．
教学重点：同底数幂的除法运算.
教学难点：任何不等于0的数的0次方都等于1。
教学方法：自主、合作
教学过程：
一、复习提问：根据除法的意义填空，并探索其规律
（1）5 5÷5 3＝5（）（2）107÷105＝10（）（3）a6÷a3＝a（）
二、自主合作探究
1．通过下面的练习，就可以探索出同底数幂的除法法则
推导公式：a m ÷a n ＝ a m － n（a≠0，m、n为正整数，且m＞n）
归纳：同底数幂相除，底数不变，指数相减。
2．比较公式
a m·a n＝a m + n（a m）n＝ a M N（ab）m ＝ a m
b m a m ÷a n ＝a m - n
比较其异同，强调其适用条件
3．探究a0的意义
根据除法的意义填空，你能得什么结论？
（1）32÷32＝（2）103÷103＝（3）a m÷a m＝（a≠0）
由除法意义得：a m÷a n＝1 （a≠0）
如果依照a m÷a m＝a m - m＝a0
于是规定：a0＝1 （a≠0）
即任何不等于0的数的0次幂都等于1
三、尝试练习
例1：计算（1）x 8÷x 2 （2）a 4÷a （3）（ab ）5÷（ab ）2
练习：P 104 1、2、3 四、课堂小结
同底数幂的除法法则a m ÷a n ＝ a m － n （a ≠0，m 、n 为正整数，且m ＞n ） 同底数幂相除，底数不变，指数相减
规定：a 0＝1 （a ≠0）即任何不等于0的数的0次幂都等于1 五、课后作业：P 112 习题14.1 1、4、5、7 六、板书设计：
七、教学反思
课 题: 同底数幂的除法
1. 同底数幂的除法法则
公式：a m ÷a n ＝ a m － n （a ≠0，m 、n 为正整数，且m ＞n ） 归纳：同底数幂相除，底数不变，指数相减
2．比较公式（比较其异同，强调其适用条件） a m ·a n ＝a m + n （a m ）n ＝ a M N （ab ）m ＝ a m b m a m ÷a n ＝a m - n 3. P103 例7：计算
4. 课后作业：P 112 习题14.1 1、4、5、7
第8课时§14.1.8《同底数幂的除法》教学案2
课题:单项式除以单项式
备课时间：第周， 2014年月日，周。
上课时间：第周， 2014年月日，周。
教学目标：
1．知识与技能：掌握单项式除以单项式运算法则。
2．过程与方法：经历探究单项式除以单项式运算法则，能熟练进行单项式与单项式的除法运算的过程。
3．情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的代数思想．
教学重点：单项式除以单项式的运算法则的探索过程及其应用．
教学难点：法则的探索过程以及能够灵活地运用法则进行计算和化简
教学方法：自主、合作
教学过程：
一、复习回顾，巩固旧知
单项式乘以单项式的法则:
单项式相除，（1）系数相除，作为商的系数；（2）同底数幂相除，作为商的因式；（3）只在被除式中出现的字母,则连同它的指数作为商的一个因式.
二、例题分析：
例8. P103
（1）28x4y2÷7x3y（2）-5a5b3c÷15a4b
（3）（2x2y）3·（-7xy2）÷14x4y3 （4）5（2a+b）4÷（2a+b）2
解：（1）28x4y2÷7x3y=（28÷7）·x4-3·y2-1=4xy．
（2）-5a5b3c÷15a4b=（-5÷15）a5-4b3-1c=-1
3
ab2c．
（3）（2x2y）3·（-7xy2）÷14x4y3 =8x6y3·（-7xy2）÷14x4y3 =[8×（-7）]·x6+1y3+2÷14x4y3 =（-56÷14）·x7-4·y5-3
=-4x3y2．
（4）5（2a+b）4÷（2a+b）2
=（5÷1）（2a+b）4-2
=5（2a+b）2
=5（4a2+4ab+b2）
=20a2+20ab+5b2
解题心得：（1）、（2）直接运用单项式除法的运算法则；（3）要注意运算顺序：先乘方，?再乘除，再加减；（4）鼓励学生悟出：将（2a+b）视为一个整体来进行单项式除以单项式的运算．
三、当堂训练 P104
四、课堂小结
1．单项式的除法法则
2．应用单项式除法法则应注意
五、课后作业：P
105
2、4、5、6
六、板书设计：
七、课后反思课题: 单项式除以单项式
1. 单项式的除法法则
2. 例8
3. 应用单项式除法法则应注意
4.课后作业：P
105
2、4、5、6
第9课时§14.1.9《同底数幂的除法》教学案3
课题:多项式除以单项式
备课时间：第周， 2014年月日，周。
上课时间：第周， 2014年月日，周。
教学目标：
1．知识与技能：掌握多项式除以单项式运算法则，能熟练进行多项式与单项式的除法运算。
2．过程与方法：经历探索多项式除以单项式法则的过程，会进行多项式除以单项
式的运算。
3．情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的代数思想．
教学重点：运用法则计算多项式除以单项式
教学难点：（1）法则的探索；（2）法则的逆应用；
教学方法：自主、主备
教学过程：
一、复习提问:
计算:（1）am÷m＋bm÷m;（2）a2÷a＋ab÷a;（3）4x2y÷2xy＋2xy2÷2xy
二、合作探究，探索多项式除以单项式法则
计算：（am＋bm）÷m，并说明计算的依据
∵（a＋b）m = am＋bm ∴（am＋bm）÷m=a＋b
又am÷m＋bm÷m＝a＋b
故（am＋bm）÷m＝am÷m＋bm÷m
用语言描述上式，得到多项式除以单项式法则：
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。
根据法则：（a2＋ab）÷a＝＋
三、实践应用
例1．计算
（1）（4x2y＋2xy2）÷2xy （2）（21x4y3－35x3y2＋7x2y2）÷（－7x2y）
解：（小组讨论完成）
（3）（12a3－6a2＋3a）÷3a （4）［（x＋y）2－y（2x＋y）－8x］÷2x
解：（小组讨论完成）
例2．计算
（1）（2/5a3x4－0.9ax3）÷3/5ax3 （2）（2/5x3y2－7xy2＋2/3y3）÷2/3y2
解：（小组讨论完成）
例3：化简求值：（x5＋3x3）÷x3－（x＋1）2其中x＝－1/2
解：（小组讨论完成）
四、课堂小结
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。
五、课后作业:P
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3 8
六、板书设计：
七、教学反思课题: 多项式除以单项式
1. 探索多项式除以单项式法则
2. 例1 例2 例3
3. 课后作业：课后作业:P
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整式的乘除与因式分解 一、选择题 1．下列计算中，运算正确的有几个（） (1) a5+a5=a10(2) (a+b)3=a3+b3 (3) (-a+b)(-a-b)=a2-b2 (4) (a-b)3= -(b-a)3 A、0个 B、1个 C、2个 D、3个 2．计算（-2a3）5÷(-2a5)3的结果是（） A、— 2 B、 2 C、4 D、—4 3．若，则的值为（） A． B．5 C． D．2 4．若x2+mx+1是完全平方式，则m=（）。 A、2 B、-2 C、±2 D、±4 5．如图，在长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a>b）把余下的部分剪拼成一个矩形，通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（） A．a2-b2=(a+b)(a-b) B．(a+b)2=a2+2ab+b2 C．(a-b)2=a2-2ab+b2D．(a+2b)(a-b)=a2+ab-2b2 6．已知()= b -2 a3,则与的值分别 +2 a7, ()= b 是（）
A. 4,1 B. 2,32 C.5,1 D. 10, 32 二、填空题 1．若2,3=-=+ab b a ，则=+22b a ，()=-2b a 2．已知a －1a =3，则a 2＋21a 的值等于 · 3．如果x 2－kx ＋9y 2是一个完全平方式，则常数k ＝________________； 4．若???-=-=+3 1b a b a ，则a 2－b 2＝ ； 5．已知2m ＝x ，43m ＝y ，用含有字母x 的代数式表示y ，则y ＝________________； 6、如果一个单项式与的积为-34 a 2bc,则这个单项式为________________； 7、（－2a 2 b 3）3 （3ab+2a 2）=________________； 8、()()()()=++++12121212242n K ________________； 9、如图，要给这个长、宽、高分别为x 、y 、z 的箱子打包， 其打包方式如下图所示，则打包带的长至少要____________ （单位：mm ）。（用含x 、y 、z 的代数式表示） 10、因式分解：3a 2x 2y 2－27a 2 (x －2y ＋z)(－x ＋2y ＋z) （a+2b －3c ）（a －2b+3c ）
初三数学因式分解的应用教案【】初三数学因式分解的应用教案教案让学生学会运用因式分解进行简单的多项式除法并且学会运用因式分解解简单的方程。 教学目标1、会运用因式分解进行简单的多项式除法。2、会运用因式分解解简单的方程。 二、教学重点与难点教学重点：因式分解在多项式除法和解方程两方面的应用。 教学难点：应用因式分解解方程涉及较多的推理过程。三、教学过程（一）引入新课1、知识回顾(1) 因式分解的几种方法: ①提取公因式法: ma+mb=m(a+b) ②应用平方差公式: = (a+b) (a-b)③应用完全平方公式:a 2ab+b =(ab) (2) 课前热身：①分解因式:(x +4) y - 16x y （二）师生互动，讲授新课1、运用因式分解进行多项式除法例1 计算: (1) (2ab -8a b) (4a-b)(2)(4x -9) (3-2x)解:(1) (2ab -8a b)(4a-b) =-2ab(4a-b) (4a-b) =-2ab (2) (4x -9) (3-2x) =(2x+3)(2x-3) [-(2x-3)] =-(2x+3) =-2x-3 一个小问题:这里的x能等于3/2吗?为什么? 想一想:那么(4x -9) (3-2x) 呢?练习：课本P162课内练习12、合作学习 想一想:如果已知( )( )=0 ，那么这两个括号内应填入怎样的数或代数式子才能够满足条件呢? (让学生自己思考、相互之
间讨论!)事实上，若AB=0 ，则有下面的结论：(1)A和B同时都为零，即A=0，且B=0(2)A和B中有一个为零，即A=0，或B=0 试一试:你能运用上面的结论解方程(2x+1)(3x-2)=0 吗?3、 运用因式分解解简单的方程例2 解下列方程：(1) 2x +x=0 (2) (2x-1) =(x+2) 解：x(x+1)=0 解：(2x-1) -(x+2) =0则x=0，或2x+1=0 (3x+1)(x-3)=0原方程的根是x1=0，x2= 则3x+1=0，或x-3=0 原方程的根是x1= ，x2=3注：只含有一个未知数的方程的解也叫做根，当方程的根多于一个时，常用带足标的字母表示，比如：x1 ，x2 等练习：课本P162课内练习2 做一做！对于方程:x+2=(x+2) ，你是如何解该方程的，方程左右两边能同时除以(x+2)吗?为什么? 教师总结：运用因式分解解方程的基本步骤(1)如果方程的右边是零，那么把左边分解因式，转化为解若干个一元一次方程;(2)如果方程的两边都不是零，那么应该先移项，把方程的右边化为零以后再进行解方程;遇到方程两边有公因式，同样需要先进行移项使右边化为零，切忌两边同时除以公因式!4、知识延伸解方程：(x +4) -16x =0解：将原方程左边分解因式，得(x +4) -(4x) =0(x +4+4x)(x +4-4x)=0(x +4x+4)(x -4x+4)=0 (x+2) (x-2) =0接着继续解方程，5、练一练①已知a、b、c为三角形的三边，试判断a -2ab+b -c 大于零?小于零?等于
《因式分解》(说课稿) 尊敬的各位领导、各位评委： 大家好！ 我今天说课的课题是人教版义务教育课程标准实验教科书八年级数学上册第十五章第五节《因式分解》第一课时“因式分解的意义”。下面我从：教材的分析、教法与学法及教学手段、教学过程、板书设计四部分来说这一节课，其中，教学过程分为：导入新课、新课讲解、小结作业三部分；整个过程是先由实际问题引入新课，然后再回到实际问题中，解决实际问题。 一、教材分析 1、教材地位与作用。 因式分解是代数式的一种重要恒等变形。.它是学习分式的基础,又在代数式的运算、解方程、函数中有广泛的应用,.就本节课而言，着重阐述了两个方面，一是因式分解的概念，二是与整式乘法的互逆关系。它是继整式乘法的基础上来讨论因式分解概念，继而，通过探究与整式乘法的关系，来寻求因式分解的原理。这一思想实质贯穿后继学习的各种因式分解方法。通过本节课的学习，不仅使学生掌握因式分解的概念和原理，而且又为后面学习因式分解作好了充分的准备。因此，它起到了承上启下作用。 2、教学目标。 根据因式分解这一节课的内容，对于掌握各种因式分解的方法，乃至整个代数教学中的地位和作用，我制定了以下教学目标： （一）知识目标： ①理解因式分解的概念； ②掌握从整式乘法得出因式分解的方法。 （二）能力目标： ①培养分工协作及合作能力，锻炼学生的语言表达及用数学语言的能力。 ②培养学生观察、分析、归纳的能力，并向学生渗透对比、类比的数学思想方法。（三）情感目标： ①培养学生积极主动参与的意识，使学生形成自主学习、合作学习的良好的学习习惯。 ②体会事物之间互相转化的辨证思想，从而初步接受对立统一观点。 3、教学重点与难点。 本节课理解因式分解的概念及意义是学习本节因式分解的关键，而学生由乘法到因分解的变形是一个逆向思维。在前一节整式乘法的较长时间的学习，造成思维定势，学生容易产生“倒摄抑制”作用，阻碍学生新概念的形成。因此我将本课的学习重点、难点确定为： 重点：因式分解的概念 难点：认识因式分解与整式乘法的关系，并能灵活运用因式分解的各种问题。 4、教法与学法及教学手段。
整式的乘除因式分解精选 一．解答题（共12小题） 1．计算：①；②[（﹣y5）2]3÷[（﹣y）3]5?y2 ③④（a﹣b）6?[﹣4（b﹣a）3]?（b﹣a）2÷（a ﹣b） 2．计算： ①（2x﹣3y）2﹣8y2；②（m+3n）（m﹣3n）﹣（m﹣3n）2； ③（a﹣b+c）（a﹣b﹣c）；④（x+2y﹣3）（x﹣2y+3）； ⑤（a﹣2b+c）2；⑥[（x﹣2y）2+（x﹣2y）（2y﹣x）﹣2x（2x﹣y）]÷2x． ⑦（m+2n）2（m﹣2n）2 ⑧． 3．计算： （1）6a5b6c4÷（﹣3a2b3c）÷（2a3b3c3）．（2）（x﹣4y）（2x+3y）﹣（x+2y）（x﹣y）．
4．计算： （1）（x2）8?x4÷x10﹣2x5?（x3）2÷x．（2）3a3b2÷a2+b?（a2b﹣3ab﹣5a2b）． （3）（x﹣3）（x+3）﹣（x+1）（x+3）．（4）（2x+y）（2x﹣y）+（x+y）2﹣2（2x2﹣xy）． 5．因式分解： ①6ab3﹣24a3b；②﹣2a2+4a﹣2；③4n2（m﹣2）﹣6（2﹣m）； ④2x2y﹣8xy+8y；⑤a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）；⑥4m2n2﹣（m2+n2）2； ⑦；⑧（a2+1）2﹣4a2；⑨3x n+1﹣6x n+3x n﹣1 ⑩x2﹣y2+2y﹣1；4a2﹣b2﹣4a+1；4（x﹣y）2﹣4x+4y+1； 3ax2﹣6ax﹣9a；x4﹣6x2﹣27；（a2﹣2a）2﹣2（a2﹣2a）﹣3．
6．因式分解： （1）4x3﹣4x2y+xy2．（2）a2（a﹣1）﹣4（1﹣a）2． 7．给出三个多项式：x2+2x﹣1，x2+4x+1，x2﹣2x．请选择你最喜欢的两个多项式进行加法运算，并把结果因式分解． 8．先化简，再求值：（2a+b）（2a﹣b）+b（2a+b）﹣4a2b÷b，其中a=﹣，b=2． 9．当x=﹣1，y=﹣2时，求代数式[2x2﹣（x+y）（x﹣y）][（﹣x﹣y）（﹣x+y）+2y2]的值． 10．解下列方程或不等式组： ①（x+2）（x﹣3）﹣（x﹣6）（x﹣1）=0；②2（x﹣3）（x+5）﹣（2x﹣1）（x+7）≤4． 11．先化简，再求值： （1）（x+2y）（2x+y）﹣（x+2y）（2y﹣x），其中，．
《因式分解》教案 教学目标： (一)教学知识点 使学生了解因式分解的意义，知道它与整式乘法在整式变形过程中的相反关系． (二)能力训练要求 通过观察，发现因式分解与整式乘法的关系，培养学生的观察能力和语言概括能力． (三)情感与价值观要求 通过观察，推导因式分解与整式乘法的关系，让学生了解事物间的因果联系． 教学重、难点： 教学重点： 1．理解因式分解的意义． 2．识别因式分解与整式乘法的关系． 教学难点： 通过观察，归纳因式分解与整式乘法的关系． 教学过程： 一、创设情境，导入新课 [师]大家会计算(a+b)(a-b)吗？ [生]会．(a+b)(a-b)=a2-b2． [师]对，这是大家学过的平方差公式，我们是在整式乘法中学习的．从式子(a+b)(a-b)= a2-b2中看，由等号左边可以推出等号右边，那么从等号右边能否推出等号左边呢？即a2-b2 =(a+b)(a-b)是否成立呢？ [生]能从等号右边推出等号左边，因为多项式a2-b2与(a+b)(a-b)既然相等，那么两个式子交换一下位置还成立． [师]很好，a2-b2=(a+b)(a-b)是成立的，那么如何去推导呢？这就是我们即将学习的内容：因式分解的问题． 二、明确目标，互助探究： 1?想一想 由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是什么运算？由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形与这种运算有什么不同？你还能举一些类似的例子加以说明吗？ [生]由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是整式乘法，由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形是因式分解，这两种过程正好相反． [生]由(a+b)(a-b)=a2-b2可知，左边是整式乘法，右边是一个多项式；由a2-b2=(a+b)(a-b)
同底数幂的乘法：m n a a ?= 同底数幂相乘，底数不变，指数相加 幂的乘方：()n m a = 幂的乘方，底数不变，指数相乘 积的乘方：a n n b = 积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相 乘 同底数幂的除法： a m n a ÷= （a 0≠,m,n 都是 正整数，并且m>n ） 同底数幂相除，底数不变，指数相减 0a = a 0≠（） 任何不等于0的数的0次幂都等于 整式的乘法 单项式与单项式相乘，把它们的系数、字母 ，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积 的 。如：52 ac bc =g 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘 多项式的 ，再把所的积 如：22132(2)ab ab ab -=g 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的 ，再把所得的积相加 如：(8)()x y x y --= 乘法 公式 平方差公式： (a+b)(a-b)= 两个数的 与这两个数的 的积，等于这两个数的 完全平方公式： 2 a+b =（） 2a b -=（） 添括号的法则： 添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都 ；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都 。 如：a b c ++= a b c --= 单项式相除，把系数与同底数幂 作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的 。 如：42328x y 7x y ÷= 整式 的除法 多项式除以单项式，先把这个多项式的 除以这个单项式，再把所得的 如：3212a 63)3a a a -+÷=（ 把一个多项式化成几个整式的 ，这样的式子的变形叫做把这个多项式 。也叫做把这个多项式 。 因式分 解 整式乘除 与 因式分解 提公因式法： 2a()3()b c b c +-+= 公式法： 22a b -= 22 a +2ab+ b = 22a -2ab+b = 22()()x p x q +-+=
14．3因式分解 第1课时提公因式法 教学目标 1．了解因式分解公因式等相关的概念及与整式乘法的关系． 2．能找出多项式的公因式，会用提公因式法分解简单的多项式． 教学重点 会用提公因式法分解因式． 教学难点 正确理解因式分解的概念，准确找出公因式． 教学设计一师一优课一课一名师(设计者：) 教学过程设计 一、创设情景，明确目标 同学们，我们先来看下面两个问题： 1．630能被哪些数整除，说说你是怎么想的？ (2，3，5，7，9，10等) 2．当a＝101，b＝99时，求a2－b2的值． 对于问题1我们必须对630进行质因数分解，对于问题2，虽然可以直接代值进行计算，但有没有简单的方法使计算变得简单呢？这就是我们这节课要解决的问题． 二、自主学习，指向目标 自学教材第114页至115页，思考下列问题： 1．把一个多项式化成几个整式积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解 2．因式分解与整式的乘法之间的关系是互逆变形的关系． 3．公因式确定的方法是：①系数是各项系数的最大公约数，②因式的字母取各项都含有的字母；③因式的指数取最低次数． 三、合作探究，达成目标 探究点一因式分解的定义 活动一：填空并观察： (1)计算： x(x＋1)＝________； (x＋1)(x－1)＝________. (2)请你将下列各式写成乘积的形式： ①x2＋x＝________； ②x2－1＝________； ③am＋bm＋cm＝________. 展示点评：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫
做把这个多项式分解因式． 小组讨论：因式分解与整式乘法有什么关系？ 反思小结：因式分解是由一个多项式到几个整式积的变形，整式乘法是几个整式的积到一个多项式的变形，它们之间是互逆变形． 针对训练：见《学生用书》相应部分 探究点二公因式 活动二：填空： ①6与9的最大公约数是________； ②多项式ma＋mb＋mc的公因式是________． 展示点评：公因式的定义：组成多项式的各项都有一个公共的因式，叫做这个多项式各项的公因式． 小组讨论：归纳确定公因式的方法 【反思小结】确定公因式的方法：(1)公因式的系数应取各项系数的最大公约数；(2)因式取各项相同的因式；(3)因式的指数取次数最低的 针对训练：见《学生用书》相应部分 探究点三提取公因式法分解因式 活动三：1.把多项式ma＋mb＋mc写成两个整式积的形式是： ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)，其中m是组成多项式各项的公因式，另一个因式a＋b＋c是ma＋mb＋mc除以m所得的商2．一般的，如果多项式的各项都有公因式，可以先把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式积的形式，这种分解因式的方法叫做提取公因式法．3．分解因式： (1)8a3b2＋12ab3c； (2) 2a(b＋c)－3(b＋c) 小组讨论：应用提取公因式法分解因式时，其关键是什么？另一个因式如何确定？ 展示点评：关键是确定公因式；另一个因式就是所要分解的多项式除以公因式所得的商解答过程见课本P115例1，例2 【反思小结】(1)应特别强调确定公因式的三个条件，以免漏取，即系数、所有相同的字母、指数；(2)当多项式的某一项恰好是公因式时，这项应看成它与1的乘积，提取公因式后剩下的应是1，1作为项的系数时可以省略，但如果单独成一项时不能漏掉．提取公因式后的项数应与原多项式的项数相等，这样可以检查是否漏项．(3)提取公因式时应先观察第一项系数的符号，或是负号时应用添括号法则提出负号，此时一定要把每一项都变号，然后再提取公因式． 针对训练：见《学生用书》相应部分 四、总结梳理，内化目标 1．因式分解与整式乘法之间的关系：整式乘法互逆变形因式分解； 2．确定公因式的方法． 3．提取公因式法分解因式应注意：①找公因式，提公因式，注意符号及不要漏项；②分解结果到每个因式不能再分解为止． 五、达标检测，反思目标 1．下列各式从左到右的变形为因式分解的是( C ) A．(a－2)(a＋2)＝a2－4 B．m2－1＋n2＝(m＋1)(n－1) C．8x－8＝8(x－1) D．x2－2x＋1＝x(x－2)＋1 2．多项式8a3b2－12ab3c＋16ab的公因式是__4ab__．
整式乘除与因式分解计算题 一、计算： ；2、[（﹣y5）2]3÷[（﹣y）3]5?y2 1、 3、4、（a﹣b）6?[﹣4（b﹣a）3]?（b﹣a）2÷（a﹣b）5、（2x﹣3y）2﹣8y2；6、（m+3n）（m﹣3n）﹣（m﹣3n）2； 7、（a﹣b+c）（a﹣b﹣c）；8、（x+2y﹣3）（x﹣2y+3）； 9、（a﹣2b+c）2；10、[（x﹣2y）2+（x﹣2y）（2y﹣x）﹣2x（2x﹣y）]÷2x．11、（m+2n）2（m﹣2n）2 12、．13、6a5b6c4÷（﹣3a2b3c）÷（2a3b3c3）．14、（x﹣4y）（2x+3y）﹣（x+2y）（x﹣y）． 15、[（﹣2x2y）2]3?3xy4．16、（m﹣n）（m+n）+（m+n）2﹣2m2．
17、（－3xy 2）3·（61x 3y ）2； 18、4a 2x 2·（－52a 4x 3y 3）÷（－21 a 5xy 2）； 19、22 2)(4)(2)x y x y x y --+（； 20、22 1(2)(2))x x x x x -+-+－（． 21、（x 2）8?x 4÷x 10﹣2x 5?（x 3）2÷x ． 22、3a 3b 2÷a 2+b ?（a 2b ﹣3ab ﹣5a 2b ）． 23、（x ﹣3）（x+3）﹣（x+1）（x+3）． 24、（2x+y ）（2x ﹣y ）+（x+y ）2﹣2（2x 2﹣xy ）． 二、因式分解： 25、6ab 3﹣24a 3b ； 26、﹣2a 2+4a ﹣2； 27、4n 2（m ﹣2）﹣6（2﹣m ）； 28、2x 2y ﹣8xy+8y ； 29、a 2（x ﹣y ）+4b 2（y ﹣x ）； 30、4m 2n 2﹣（m 2+n 2）2； 31、； 32、（a 2+1）2﹣4a 2； 33、3x n+1﹣6x n +3x n ﹣1
案例研习：因式分解 一、案例背景 设计者：尹振强，衢州学院教师教育学院数学与应用数学 学生：衢州市新星初中八年级一班 45人 教材：人教版八年级上册因式分解 二、学情分析 教学对象是八年级学生，在学习本节前，学生已经掌握了整式乘法运算，对乘法分配律有了一定的认识；虽然对整式的运算比较熟悉，对互逆过程也有一定的感知,但因式分解一直是初中数学教学的一个难点，原因在于分解因式的方法很多，变化技巧较高，且没有一种一般有效的方法。教学中要注意把握教学要求，防止随意拓宽内容和加深题目的难度。教科书对于因式分解这部分内容要求仅限于因式分解的两种基本方法，即提公因式法和公式法，教学中则应让学生牢固地掌握。 三、知识分析 。提公因式法因式分解是义务教育课程标准实验教科书（人教版）《数学》八年级上册第十五章第四单元第一节内容，是在学生已经学习了整式乘法运算的基础上引入的，本教科书安排了多项式因式分解比较基本的知识和方法，它包括因式分解的有关概念，整式乘法与因式分解的区别与联系，因式分解的两种基本方法，即提公因式法和公式法，共3课时，其中提公因式法1课时，公式法2课时。因式分解是解析式的一种恒等变形，学习分解因式一是为解高次方程作准备，二是学习对于代数式变形的能力，从中体会分解的思想、逆向思考的作用。它不仅是现阶段学生学习的重点内容，而且也是学生后续学习的重要基础。本教材是在学生学习了整式运算的基础上提出来的，事实上，它是整式乘法的逆向运用，与整式乘法运算有密切的联系．分解因式的变形不仅体现了一种“化归”的思想，而且也是解决后续——分式化简、解方程、恒等变形等学习的基础，为数学交流提供了有效的途径．分解因式在整个教材中起到了承上启下的作用综上所述，本节课无论是在知识传承，还是在对学生数学思维训练、能力培养上都有举足轻重的作用。 四、学习目标 知识与技能：理解因式分解与整式乘法的区别；懂得寻找公因式，正确运用提公因式法因式分解 过程与方法：（1）由学生自主探索解题途径，在此过程中，通过观察、对比等手段，发现因式分解与整式乘法的区别，确定多项式各项的公因式的方法，加强学生的直觉思维，渗透化归的思想方法，培养学生的观察能力； （ 2）由乘法分配律的逆运算过渡到因数分解，再由单项式与多项式的乘法运算过渡到因式分解，进一步发展学生的类比思想； （3）寻找出确定多项式各项的公因式的一般方法，培养学生的初步归纳能力。 情感态度与价值观：通过引例问题情境的创设，诱发学生的求知欲，进一步认识数学与生活的密切联系；通过观察、对比等手段，培养学生善于类比归纳，发展学生的数学探究能力，通过有一定梯次的变式训练，锻炼其克服困难的意志，发展学生合作交流的良好品质。 教学重点：因式分解的概念及用提公因式法提公因式。
整式的乘除及因式分解 知识点归纳： 1、单项式的概念：由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。单项式的数字因数叫做单项式的系数，字母指数和叫单项式的次数。 如：-2a2be的系数为_2,次数为4,单独的一个非零数的次数是0。 2、多项式：几个单项式的和叫做多项式。多项式中每个单项式叫多项式的项，次数最高项的次数叫多项式的次数。 如：a2 - 2cib + x + \ 9项有 /、— 2ab > x > 1,二次项为a，、— 2ab ,—次项为「常数项为1,各项次数分别为2, 2, 1, 0,系数分别为1,?2, 1, 1,叫二次四项式。 3、整式：单项式和多项式统称整式。 注意：凡分母含有字母代数式都不是整式。也不是单项式和多项式。 5、同底数幕的乘法法则: m严”(〃“都是正整数) 同底数幕相乘，底数不变，指数相加。注意底数可以是多项式或单项式。如I ：- a = _________ :a ?/?/= _______________ (a + b)2^(a + b)3 =(a + b)5,逆运算为：___________________ 6、幕的乘方法则: (屮)”-严(如都是正整数) 幕的乘方，底数不变，指数相乘。女(-3丁=3” 幕的乘方法则可以逆用：即a mn =(a m)n =(a n)m 如：46 =(42)3 =(43)2 例如：(")3= ___________ :(厂)2= ____________ ； (")3 =(/)() 7、积的乘方法则：伽)”=心”(〃是正整数)
2x? 3y(-2x2y)(5xy2) (3审? (一2号2) (-a2b)3 - (a2b)2 12、单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所 得的积相加, 即rn{a + b + c) = ma + mb + me (m,a,b,c都是单项式) 注意: ①积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。 ②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。 ③在混合运算时，要注意运算顺序，结果有同类项的要合并同类项。］ 女口：2x(2x - 3y) - 3y(x + y) 2x(-2x - 3y + 5) - 3ab(5a -ab +2b2) 13、多项式与多项式相乘的法则; 多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的的积相加。 女口：(x + 2)(x - 6) (2x — 3y)(x —2y + 1) (a + b\a ~ -ab + b~) 14、平方差公式：《+〃)(。")= /_戸注意平方差公式展开只有两项公式特征：左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。右边是相同项的平方减去相反项的平方。
1 整式的乘除与因式分解（1） 一、基础知识点点点过关： 1.同底数幂相乘，底数 指数 ． x m ·x n = (m 、n 都是正整数). 2.幂的乘方，底数 ，指数 ． (a n )m = (m 、n 都是正整数). 3.积的乘方，等于把积的每一个因式分别 ，再把所得的幂相乘。 (ab)n = (n 是正整数). 4.单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别 ．对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个 ． 5.单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘 的每一项，再把所得的积 ． 6.同底数幂相除，底数 ，指数 。 a m ÷a n = (a ≠0,m 、n 都是正整数且 m ＞n). 7.任何不等于0的数的0次幂都等于 。 a 0= (a ≠0) 8.单项式相除，把系数与同底数幂分别 作为商的因式。对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个 。 9.多 项 式 除 以单项式，先把这个多项式的每一项 这个单项式，再把所得的商相加。 练一练 1.填空： （1）m 3·m= ________ ； （2）(－2x 2 )·3x 4 =________ ； （3）(x 3)2 ·x 4＝________； （4） (－12ab 2)3 = . (5)2m(m+n)＝ ； (6)(x+2)(3x-5)= ． （7）2x 3÷x= ． （8）(12a 2b 3 c)÷(6ab 2 )= . （9）(x 2 －4x) ÷x = . 二、基础典型题题题突破 1．选择题： （1）2(4)x -=（ ） A.28x - B.28x C.216x - D.216x （2）下列各式计算结果正确的是( ) A ．(a ＋1)(a-1)＝(a ＋1)2 B ．(3a)2 ＝6a 2 C ．(a ＋1)2 ＝a 2 ＋1 D ．a 2 ·a ＝a 3 2.计算： （1）(x ＋2)(x －2)＋x(3－x). （2）? ?? ??132017×(－3)2018 （3）（15x 2 y-10xy 2 ）÷(-5xy) 3．化简：(m －n)(m ＋n)＋(m ＋n)2 －2m 2 . 4．先化简，再求值： （x+3）（x ﹣3）﹣x （x ﹣2），其中x=4．
整式的乘除因式分解习题精选 一．解答题（共12小题） 1．计算：①；②[（﹣y5）2]3÷[（﹣y）3]5?y2 ③④（a﹣b）6?[﹣4（b﹣a）3]?（b﹣a）2÷（a﹣b） 2．计算： ①（2x﹣3y）2﹣8y2；②（m+3n）（m﹣3n）﹣（m﹣3n）2； ③（a﹣b+c）（a﹣b﹣c）；④（x+2y﹣3）（x﹣2y+3）； ⑤（a﹣2b+c）2；⑥[（x﹣2y）2+（x﹣2y）（2y﹣x）﹣2x（2x﹣y）]÷2x． ⑦（m+2n）2（m﹣2n）2 ⑧． 3．计算： （1）6a5b6c4÷（﹣3a2b3c）÷（2a3b3c3）．（2）（x﹣4y）（2x+3y）﹣（x+2y）（x﹣y）．
4．计算： （1）（x2）8?x4÷x10﹣2x5?（x3）2÷x．（2）3a3b2÷a2+b?（a2b﹣3ab﹣5a2b）． （3）（x﹣3）（x+3）﹣（x+1）（x+3）．（4）（2x+y）（2x﹣y）+（x+y）2﹣2（2x2﹣xy）． 5．因式分解： ①6ab3﹣24a3b；②﹣2a2+4a﹣2；③4n2（m﹣2）﹣6（2﹣m）； ④2x2y﹣8xy+8y；⑤a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）；⑥4m2n2﹣（m2+n2）2； ⑦；⑧（a2+1）2﹣4a2；⑨3x n+1﹣6x n+3x n﹣1 ⑩x2﹣y2+2y﹣1； 4a2﹣b2﹣4a+1； 4（x﹣y）2﹣4x+4y+1； 3ax2﹣6ax﹣9a； x4﹣6x2﹣27；（a2﹣2a）2﹣2（a2﹣2a）﹣3．
6．因式分解： （1）4x3﹣4x2y+xy2．（2）a2（a﹣1）﹣4（1﹣a）2． 7．给出三个多项式：x2+2x﹣1，x2+4x+1，x2﹣2x．请选择你最喜欢的两个多项式进行加法运算，并把结果因式分解． 8．先化简，再求值：（2a+b）（2a﹣b）+b（2a+b）﹣4a2b÷b，其中a=﹣，b=2． 9．当x=﹣1，y=﹣2时，求代数式[2x2﹣（x+y）（x﹣y）][（﹣x﹣y）（﹣x+y）+2y2]的值． 10．解下列方程或不等式组： ①（x+2）（x﹣3）﹣（x﹣6）（x﹣1）=0；②2（x﹣3）（x+5）﹣（2x﹣1）（x+7）≤4． 11．先化简，再求值： （1）（x+2y）（2x+y）﹣（x+2y）（2y﹣x），其中，．
因式分解 多项式ma+mb+mc 中的每一项都含有一个相同的因式m ，我们称之为公因式，把公因式提出来，ma+mb+mc=m(a+b+c)，这种方法叫做提取公因式法。 2222 2 2 )b a (b ab 2a ) b a (b ab 2a -=+-+=++ )b a )(b a (b a 2 2 -+=- 它们实际上是利用乘法公式对多项式进行因式分解，这种因式分解的方法叫做公式法。 （二）典型例题 例1. 把下列多项式分解因式： ab 9a 3)2(a 25a 5)1(22 -+- 222 2 y 4xy 4x )4(y 16x 25)3(++- 解：)5a (a 5a 25a 5)1(2--=+- （2）)b 3a (a 3ab 9a 32 -=- )y 4x 5)(y 4x 5()y 4()x 5(y 16x 25)3(2 2 2 2 -+=-=- 22222)y 2x ()y 2(y 2x 2x y 4xy 4x )4(+=+??+=++
例2. 把下列多项式分解因式： 233 223xy 12x 3)2(xy y x 4y x 4)1(-++ 分析：这两个多项式都较为复杂，因为每个字母的指数都不为1，这种题目首先观察有无公因式，先提公因式，然后再利用公式分解因式。 解：)y xy 4x 4(xy xy y x 4y x 4)1(223223++=++ 2 22) y x 2(xy ]y y x 22)x 2[(xy +=+??+= )y 4x (x 3xy 12x 3)2(2223-=- ) y 2x )(y 2x (x 3] )y 2(x [x 322-+=-= 例3. 对下列多项式进行因式分解： 1m 9 4 )2()x y (b 2)y x (a 4)1(23 2---- 222y )x y (x 4)4(xy 8y 16x )3(--++ 分析：（1）题中(y-x)3 =[-(x-y)]3 =-(x-y)3 ，所以这两项中都有2(x-y)2 ，可先提取公因式。 （2）题观察“1”，1=12 ，故可用平方差公式分解。 （3）题利用加法交换律得x 2+8xy+16y 2 ，符合完全平方公式。 （4）题将多项式展开为4xy-4x 2-y 2=-4x 2+4xy-y 2=-（4x 2-4xy+y 2 ）符合完全平方公式，可用公式分解。 解：3 2 3 2 )y x (b 2)y x (a 4)x y (b 2)y x (a 4)1(-+-=--- ) by bx a 2()y x (2)]y x (b a 2[)y x (22 2-+-=-+-= )1m 3 2 )(1m 32(1)m 32(1m 94) 2(222-+=-=- 2 2 2 2 2 )y 4x (y 16xy 8x xy 8y 16x )3(+=++=++ 2 2 2 2 2 2 )y x 2()y xy 4x 4(y x 4xy 4y )x y (x 4)4(--=+--=--=-- 说明：（1）分解因式前一般不能直接分解的因式按某字母的降幂整理； （2）首项为“－”时可考虑用添括号法则使其变为“＋”； （3）运用公式时，应从项数、符号以及各项是否完全符合公式特征着手，不能滥用公式。 （4）在分解因式时，首先看是否有公因式。 例4. 将下列多项式进行因式分解：
初二数学因式分解辅导教案 因式分解的常用方法 第一部分：方法介绍
多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍． 一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c) 二、运用公式法. 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： (1 ) (a+b)(a-b) = a2-b2 ---------a2-b2=(a+b)(a-b)； (2 ) (a±b)2 = a2±2ab+b2 ———a2±2ab+b2=(a±b)2； (3 ) (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3------ a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； (4 ) (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 ------a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)． 下面再补充两个常用的公式： (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； (6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)； 例.已知 是 的三边，且
，则 的形状是（） A.直角三角形 B等腰三角形 C 等边三角形 D等腰直角三角形 解： 三、分组分解法. （一）分组后能直接提公因式 例1、分解因式： 分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。 解：原式= = 每组之间还有公因式！ = 例2、分解因式：
整式的乘除与因式分解 知识点全面 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
整式的乘除与因式分解知识点 一、整式乘除法 同底数幂相乘,底数不变,指数相加. a m·a n=a m+n[m,n都是正整数] 同底数幂相除,底数不变,指数相减. a m÷a n=a m-n[a≠0,m,n都是正整数,且 任何不等于0的数或式子的0次幂都等于1. a0=1[a≠0]， 00无意义 (a m)n表示n个a m相乘，a 的(m n)幂表示m 幂的乘方,底数不变,指数相乘. (a m)n=a mn[m,n都是正整数] 积的乘方,等于把积的每一个因式分别乘方,再把所得幂相乘.(ab)n=a n b n[n为正整数]注：不要漏积中任何一个因式单项式与单项式相乘,把它们的系数,相同字母分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式.ac5·bc2=(a·b)·(c5·c2)=abc5+2=abc7 注：运算顺序先乘方，后乘除，最后加减 单项式相除,把系数与同底数幂分别相除作为商的因式,只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加,m(a+b+c)=ma+mb+mc 注：不重不漏，按照顺序，注意常数项、负号 .本质是乘法分配律。 多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加. 多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相乘 (a+b)(m+n)=am+an+bm+bn 乘法公式：平方差公式:两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差. (a+b)(a-b)=a2-b2完全平方公式:两数和[或差]的平方,等于它们的平方和,加[或减]它们积的2倍. (a±b)2=a2±2ab+b2 因式分解：把一个多项式化成几个整式积的形式,也叫做把这个多项式分解因式. 因式分解方法: 1、提公因式法.关键:找出公因式 公因式三部分：①系数(数字)一各项系数最大公约数；②字母--各项含有的相同字母；③指数--相同字母的最低次数；步骤：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并确定另一因式．需注意，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项． 注意：①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”；②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的． 2、公式法.①a2-b2=(a+b)(a-b)两个数的平方差,等于这两个数的和与这两个数的差的积a、b可以是数也可是式子②a2±2ab+b2=(a±b)2 完全平方两个数平方和加上或减去这两个数的积的2倍,等于这两个数的和[或差]的平方. ③x3-y3=(x-y)(x2+xy+y2)立方差公式 3、十字相乘(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq 因式分解三要素：（1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式（2）因式分解必须是恒等变形； （3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止． 弄清因式分解与整式乘法的内在的关系:互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差 添括号法则：如括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如括号前是负号各项都得改符号。用去括号法则验证
因式分解 教学目标： 知识与技能： （1）使学生了解因式分解的意义，理解因式分解的概念． （2）认识因式分解与整式乘法的相互关系——互逆关系，并能运用这种关系寻求因式分解的方法． 数学能力： （1）由学生自主探索解题途径，在此过程中，通过观察、类比等手段，寻求因式分解与因数分解之间的关系，培养学生的观察能力，进一步发展学生的类比思想． （2）由整式乘法的逆运算过渡到因式分解，发展学生的逆向思维能力． （3）通过对分解因式与整式的乘法的观察与比较，培养学生的分析问题能力与综合应用能力． 情感与态度： 初步培养学生的矛盾对立统一的哲学观点以及实事求是的科学态度. 教学过程： (一)激发兴趣，引入课题。 1、 看谁算得快：用简便方法计算： （1） 44985698?+? = （2）1992 -= ． 活动目的：如果说学生对因式分解还相当陌生的话，相信学生对用简便方法进行计算应该相当熟悉．引入这一步的目的旨在让学生通过回顾用简便方法计算——因数分解这一特殊算法，使学生通过类比很自然地过渡到正确理解因式分解的概念上，从而为因式分解的掌握扫清障碍，本环节设计1992-的计算的值是为了降低下一环节的难度，为下一环节的理解搭一个台阶． 实际教学效果：学生对于（1）小题利用乘法的分配律进行逆运算的方法是很熟悉，对
于第（2）小题的利用平方差公式的逆运算则有一定的困难，但有部分同学比较活跃，在他们的带领下，其他同学也能正确理解． 2、 看谁想得快 活动内容：99993 -能被哪些数整除？你是怎么得出来的？ 学生思考：从以上问题的解决中，你知道解决这些问题的关键是什么？ 活动目的：引导学生把这个数式分解成几个数的积的形式，继续强化学生对因数分解的理解，为学生类比因式分解提供必要的精神准备． 实际教学效果：由于有了第一环节的铺垫，学生对于本环节问题的理解则显得比较轻松，学生能回答出99993-能被100、99、98整除，有的同学还回答出能被33、50、200等整除，在教师的提示与启发下，学生们逐渐明白解决这些问题的关键是——把一个多项式化为积的形式． （二）合作学习，领悟新知 1、 看谁算得准 活动内容： 计算下列式子： （1）3x(x-1)= ； （2）m(a+b+c)= ； （3）（m+4）(m-4)= ； （4）（y-3）2 = ； (5) a(a+1)(a-1)= ． 根据上面的算式填空： （1）mc mb ma --= ； （2）x x 332-= ； (3)162-m = ； (4)a a -3 = ； (5)962+-y y = ． 活动目的：在第一组的整式乘法的计算上，学生通过对第一组式子的观察得出第二组式子的结果，然后通过对这两组式子的结果的比较，使学生对因式分解有一个初步的意识，由
人教版八年级上册整式的乘法与因式分解教案 文件编码（008-TTIG-UTITD-GKBTT-PUUTI-WYTUI-8256）
人教版八年级上册整式的乘法与因式分解教案 一、教学内容及授课目的 §教学内容：（1）整式的加减（2）整式的乘法（3）乘法公式与整式的除法 （4）因式分解 ◆教学目标：（1）掌握单项式与多项式的加减，并能够熟练对整式进行化简； （2）熟练运用整式的乘除法公式，掌握整式乘除法的运算步骤 （3）正确理解因式分解的意义，熟练十字相乘法的应用，能够将其应用在因式分解中。 ◆重难点：1.整式的乘除法与公式的应用 2．用十字相乘等方法将题目进行因式分解 二、授课提纲 整式的乘除： 1、合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项. 例如：_______3=-a a ；________22=+a a ；________8253=+-+b a b a 2、同底数幂的乘法法则：a m ·a n =a m+n (m ，n 是正整数). 同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 例如：________3=?a a ；________32=??a a a 3、幂的乘方法则：(a m )n =a mn (m ，n 是正整数).幂的乘方，底数不变，指数相乘. 例如：_________)(32=a ；_________)(25=x ；()334)()(a a = 4、积的乘方的法则：(a b)m =a m b m (m 是正整数).
积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 例如：________)(3=ab ；________)2(32=-b a ；________)5(223=-b a 5、同底数幂的除法法则：a m ÷a n =a m-n (a ≠0，m ，n 都是正整数，并且m ＞n). 同底数幂相除，底数不变，指数相减.规定：10=a 例如：________3=÷a a ；________210=÷a a ；________55=÷a a 6、单项式乘法法则 单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。 7、单项式除法法则 单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式. 8、单项式与多项式相乘的乘法法则： 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 9、多项式乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多 项式的每一项，再把所得的积相加. 10、多项式除以单项式的除法法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一 项除以这个单项式，再把所得的商相加. ()x x xy ÷+56；()()a ab a 4482-÷- 11、整式乘法的平方差公式：(a +b)(a -b)=a 2-b 2. 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 例如：（4a －1）（4a+1）=___________；（3a －2b ）（2b+3a ） =___________； ()()11-+mn mn =；=--+-)3)(3(x x ；