1 2.2.2 抛物线的简单性质（一）
[A.基础达标]
1．以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆x2＋y2－2x＋6y＋9＝0的圆心的抛物线的方程是( )
A．y＝3x2或y＝－3x2
B．y＝3x2
C．y2＝－9x或y＝3x2
D．y＝－3x2或y2＝9x
解析：选D.圆的方程可化为(x－1)2＋(y＋3)2＝1，圆心为(1，－3)，由题意可设抛物线方程为y2＝2px(p>0)或x2＝－2py(p>0)．把(1，－3)代入得9＝2p或1＝6p，
所以p＝92或p＝16，所以y2＝9x或x2＝－13y.
2．设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心，|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是( )
A．(0，2) B．[0，2]
C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)
解析：选C.圆心到抛物线准线的距离为p＝4，根据题意只要|FM|>4即可，由抛物线定义，|FM|＝y0＋2，由y0＋2>4，解得y0>2，故y0的取值范围是(2，＋∞)．
3．已知抛物线y2＝2px(p>0)的经过焦点的弦AB的两端点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2x1x2的值一定等于( )
A．4 B．－4
C．p2 D．－p2
解析：选B.当AB的斜率为k时，AB所在的直线方程为y＝kx－p2，代入y2＝2px得：k2x2－(k2p＋2p)x＋k2p24＝0.根据根与系数的关系可得x1＋x2＝k2p＋2pk2，x1x2＝p24，
y1y2＝k2x1－p2x2－p2＝－p2，故y1y2x1x2＝－4.
当AB斜率不存在时，即AB⊥x轴，易得y1y2x1x2＝－4.
4．过抛物线y＝ax2(a>0)的焦点F的直线交抛物线于P，Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p，q，则1p＋1q等于( )
A．2a B.12a
C．4a D.4a
解析：选C.设直线方程为y＝kx＋14a，代入y＝ax2，得ax2－kx－14a＝0. 2 由根与系数的关系可得x1＋x2＝ka，x1x2＝1－4a2.p＝y1＋14a＝kx1＋12a，q＝y2＋14a＝kx2＋12a，所以1p＋1q＝1kx1＋12a＋1kx2＋12a＝k2＋1ak2＋14a2＝4a.
5．已知抛物线y＝x2上有一定点A(－1，1)和两动点P、Q，当PA⊥PQ时，点Q的横坐标的取值范围是( )
A．(－∞，－3] B．[1，＋∞)
C．[－3，1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)
解析：选D.设P(x0，x20)，Q(x，x2)，其中x0≠－1，x≠x0，
则PA→＝(－1－x0，1－x20)，PQ→＝(x－x0，x2－x20)，
因为PA⊥PQ，
所以PA→·PQ→＝0.
所以－(1＋x0)(x－x0)＋(1－x20)(x2－x20)＝0，
即－1＋(1－x0)(x＋x0)＝0，
所以x＝－x0＋11－x0
＝(1－x0)＋11－x0－1，
当x0<1时，1－x0＋11－x0≥2，当且仅当x0＝0时，等号成立．
所以x≥2－1＝1；
当x0>1时，1－x0＋11－x0
＝－[(x0－1)＋1x0－1]≤－2，当且仅当x0＝2时，等号成立，
所以x≤－2－1＝－3，
故点Q的横坐标的取值范围是(－∞，－3]∪[1，＋∞)．
6．将两个顶点在抛物线y2＝2px(p>0)上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形的个数记为n，则n＝________．
解析：根据抛物线对称性知正三角形的一边平行于y轴，又过焦点且与x轴的夹角为30°的直线有两条，故符合题意的正三角形有两个．
答案：2
7．已知点A、B是抛物线y2＝4x上的两点，O是坐标原点，OA→·OB→＝0，直线AB交x轴于点C，则|OC→|＝________．
解析：设A、B的坐标分别为y214，y1、y224，y2，
因为OA→·OB→＝0，所以y214·y224＋y1y2＝0，
即y1y2＝－16.AB所在的直线方程为y－y1＝y2－y1y224－y214(x－y214)＝4y1＋y2(x－y214)，
令y＝0，得x＝－y1y2－y214＋y214＝－y1y24＝4. 3 答案：4
8．已知直线y＝k(x－2)(k>0)与抛物线y2＝8x相交于A、B两点，F为抛物线的焦点，若|FA|＝3|FB|，则k的值为________．
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知x1>0，x2>0，y1>0，y2<0.
由y＝k（x－2），y2＝8x，
得k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0，
所以x1x2＝4.①
又|AF|＝x1＋2，
|BF|＝x2＋2且|AF|＝3|FB|，
所以x1＝3x2＋4，②
由①②解得x2＝23，
所以B(23，－433)，代入y＝k(x－2)得k＝3.
答案：3
9．已知M(3，y0)(y0>0)为抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点，F为抛物线C的焦点，且|MF|＝5.
(1)求抛物线C的方程；
(2)MF的延长线交抛物线于另一点N，求N的坐标．
解：(1)因为|MF|＝3＋p2＝5，所以p＝4，
所以抛物线方程为y2＝8x.
(2)由题意知MF不垂直于x轴，故设MF所在直线方程为y＝k(x－2)，
联立y＝k（x－2），y2＝8x，得k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0，
由根与系数的关系得xM·xN＝4k2k2＝4，
因为xM＝3，所以xN＝43.
因为N为MF的延长线与抛物线的交点，由图像可知yN<0.所以yN＝－2pxN＝－463，
所以N(43，－463)．
10．已知动点M到点(4，0)的距离比它到直线l：x＝－3的距离多1.
(1)求动点M的轨迹C的方程；
(2)求过点(4，0)且倾斜角为30°的直线被曲线C所截得线段的长度．
解：(1)由题意易知，动点M到点(4，0)的距离与到直线x＝－4的距离相等，故M点的轨迹为以(4，0)为焦点，x＝－4为准线的抛物线，此抛物线方程为y2＝16x.
(2)设直线与抛物线的交点为A，B，直线AB的方程为y－0＝33 (x－4)，
即y＝33x－433，
将直线方程与抛物线方程联立y＝33x－433，y2＝16x，得x2－56x＋16＝0，
故xA＋xB＝56，
|AB|＝xA＋xB＋p＝56＋8＝64. 4 [B.能力提升]
1．已知抛物线y＝2px2(p>0)的准线与圆x2＋y2－4y－5＝0相切，则p的值为( )
A．10 B．6
C.18 D.124
解析：选C.抛物线方程可化为x2＝12py(p>0)，由于圆x2＋(y－2)2＝9与抛物线的准线y＝－18p相切，所以3－2＝18p，所以p＝18.
2．如图，F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C在抛物线上，若FA→＋FB→＋FC→＝0，则|FA→|＋|FB→|＋|FC→|＝(
)
A．6 B．4
C．3 D．2
解析：选A.设A，B，C三点的横坐标分别为xA，xB，xC由FA→＋FB→＋FC→＝0得xA＋xB＋xC＝3，
所以|FA→|＋|FB→|＋|FC→|＝xA＋p2＋xB＋p2＋xC＋p2＝3＋3＝6.
3．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线与x轴的交点为M，N为抛物线上的一点，且满足|NF|＝32|MN|，则∠NMF＝____________．
解析：过点N作准线的垂线交准线于点N1，则
cos ∠NMF＝cos ∠N1NM＝|NN1||MN|＝|NF||MN|＝32，故∠NMF＝π6.
答案：π6
4．已知抛物线C：y2＝2x的焦点为F，抛物线C上的两点A，B满足AF→＝2FB→.若点T－12，0，则|TA||TB|的值为____________．
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，(y1>0，y2<0)，因为AF→＝2FB→，所以AB是过焦点F的直线，F(12，0)，故AB的直线方程为y＝k(x－12)，代入y2＝2x，整理得：k2x2－(k2＋2)x＋k24＝0，由根与系数的关系得x1＋x2＝k2＋2k2，x1x2＝14，由AF→＝2FB→得x1＋12x2＋12＝2，即x1＝2x2＋12， 5 得：A(1，2)，B(14，－22)，所以|TA||TB|＝（1＋12）2＋（2）2（14＋12）2＋（22）2＝2.
答案：2
5．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1，2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上．
(1)写出该抛物线的标准方程及其准线方程；
(2)当直线PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1＋y2的值及直线AB的斜率．
解：(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)．
因为点P(1，2)在抛物线上，所以22＝2p×1，解得p＝2.
所以所求抛物线的方程是y2＝4x，准线方程是x＝－1.
(2)设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB，则kPA＝y1－2x1－1，kPB＝y2－2x2－1，
因为PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，所以kPA＝－kPB.由A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，得y21＝4x1，①y22＝4x2，②
所以y1－214y21－1＝－y2－214y22－1，所以y1＋2＝－(y2＋2)，所以y1＋y2＝－4.
由①－②得直线AB的斜率为－1.
6．(选做题)已知直线l过坐标原点，抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上．若点A(－1，0)和点B(0，8)关于l的对称点都在C上，求直线l和抛物线C的方程．
解：依题设抛物线C的方程可写为y2＝2px(p>0)，
且x轴和y轴不是所求直线，又l过原点，因而可设l的方程为y＝kx(k≠0)，①
设A′，B′分别是A，B关于l的对称点，因而A′A⊥l，直线A′A的方程为y＝－1k(x＋1)，②
由①②联立解得AA′与l的交点M的坐标为－1k2＋1，－kk2＋1.
又M为AA′的中点，
从而点A′的横坐标为xA′＝
2－1k2＋1＋1＝k2－1k2＋1，
纵坐标为yA′＝2－kk2＋1＋0＝－2kk2＋1.③
同理得点B′的横、纵坐标分别为xB′＝16kk2＋1，yB′＝8（k2－1）k2＋1.④
又A′，B′均在抛物线y2＝2px(p>0)上，
由③得－2kk2＋12＝2p·k2－1k2＋1，
