2014年高中数学 函数的单调性学案 新人教B 版必修1
一、三维目标：
知识与技能:
（1）理解函数单调性的定义、明确增函数、减函数的图象特征；
（2）能利用函数图象划分函数的单调区间，并能利用定义进行证明。
（3）理解函数的最值是在整个定义域上研究函数，体会求函数最值是函数单调性的应用之一。
过程与方法：
由一元一次函数、一元二次函数的图象，让学生从图象获得“上升”“下降”的整体认识；借助函数的单调性，结合函数图象，形成函数最值的概念，培养应用函数的单调性求解函数最值问题。
情感态度与价值观：
在形与数的结合中感知数学的内在美，在图形语言、自然语言、数学语言的转化中感知
数学的严谨美。
二、学习重、难点：
重点：理解增函数、减函数的概念。应用函数单调性求函数最值。
难点：单调性概念的形成与应用。理解函数最值可取性的意义。
三、学法指导：
阅读自学课本P44——P46，完成下面问题：
1． 观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：
2．1． f(x) = x ○1 在区间 ______2．f(x) = -2x+1
○1 从左至右图象上升还是下降 ______? ○
2 在区间 ______ 上，随着x 的增大，f(x)的值随着3．f(x) = x 2 ○
1在区间 ________ 上，f(x)的值随着x 的增大而 ________ ○
2 在区间 _______ 上，f(x)的值随着x 的增大而 ________ 。 4．画出下列函数的图象，标出图象的最高点或最低点及其坐标。
（1）32)(+-=x x f ，]2,1[-∈x （2）（3）2
)(x x f =-2x-15, ]2,1[-∈x
四、学习过程：
（一）函数单调性定义
1．增函数 一般地，设函数y=f(x)的定义域为A ，
如果对于定义域A 的某个子区间M 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1 思考：仿照增函数的定义说出减函数的定义：（学生活动） _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ 2．函数的单调性定义 如果函数y=f(x)在定义域的某个子区间M 上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有单调性，区间M 叫做y=f(x)的单调区间。 3．判断函数单调性的方法步骤： 利用定义证明函数f(x)在给定的区间D 上的单调性的一般步骤： ○ 1 任取x 1，x 2∈M ，且x 1 2 作差f(x 1)－f(x 2)；○ 3 变形（通常是因式分解和配方）； ○4 定号（即判断差f(x 1)－f(x 2)的正负）； ○5 下结论（即指出函数f(x)在给定的区间M 上的单调性）。 注意：○ 1 函数的单调性是对定义域的某个子区间而言的，是函数的局部性质； ○ 2 必须是对于区间M 内的任意两个自变量x 1，x 2；当x 1 ○ 3反映在图象上)(x f 是区间M 上的增（减）函数，则图象在M 上的部分从左到右是上升（下降）的。 4.函数最大（小）值定义 (1)．最大值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为A ，如果存在实数D 满足： ○ 1对于任意的x ∈A ，都有f(x)≤D ；○2存在x 0∈A ，使得f(x 0) = D 那么，称D 是函数y=f(x)的最大值（Maximum Value ）。 思考：仿照函数最大值的定义，给出函数y=f(x)的最小值（Minimum Value ）的定义。 (2). 最小值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为A ，如果存在实数D 满足： ____________________________________；○ 2_____________________________________. 那么，称D 是函数y=f(x)的最小值（Minimum Value ）。 注意： ○ 1函数最大（小）值,是对整个定义域而言的，是函数的整体性质，是某一个函数值，即存在x 0∈A ，使得f(x 0) = D ； ○ 2函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x ∈A ，都有f(x)≤D （f(x)≥D ）。 （二）典型例题 例1 如图是定义在区间[－5，5]上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？ 例2. 求证：函数y ＝1x －1 在区间(1，＋∞)上为单调减函数。 例3. 已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2，x ∈[－5,5]， (1)当a ＝－1时，求函数f (x )的最大值与最小值； (2)求实数a 的取值范围，使函数y ＝f (x )在区间[－5,5]上是单调函数。 五、课堂达标训练： 1. 写出f(x)=x 2－4x+5的单调递增区间，并证明。
相关主题
文本预览