二次函数与相似三角形问题(含答案)
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综合题讲解 函数中因动点产生的相似三角形问题
例题 如图1,已知抛物线的顶点为A (2,1),且经过原点O ,与x 轴的另一个交点为B 。 ⑴求抛物线的解析式;(用顶点式...
求得抛物线的解析式为x x 4
1y 2
+-=) ⑵若点C 在抛物线的对称轴上,点D 在抛物线上,且以O 、C 、D 、B 四点为顶点的四边形为平行四边形,求D 点的坐标;
⑶连接OA 、AB ,如图2,在x 轴下方的抛物线上是否存在点P ,使得△OBP 与△OAB 相似?若存在,求出P 点的坐标;若不存在,说明理由。
分析:1.当给出四边形的两个顶点时应以两个顶点的连线.......
为四边形的边和对角线来考虑问题以O 、C 、D 、B 四点为顶点的四边形为平行四边形要分类讨论:按OB 为边和对角线两种情况
2. 函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径
① 求相似三角形的第三个顶点时,先要分析已知三角形的边.和角.的特点,进而得出已知三角形是否为特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。
②或利用已知三角形中对应角,在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。
③若两个三角形的各边均未给出,则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度,之后利用相似来列方程求解。
例1题
图
O A
B
y
x
O
A
B
y
x
图
y
x
E
Q P
C B O
A 例题2:如图,已知抛物线y=ax 2+4ax+t (a >0)交x 轴于A 、
B 两点,交y 轴于点
C ,抛物线的对称轴交x 轴于点E ,点B 的坐标为(-1,0). (1)求抛物线的对称轴及点A 的坐标;
(2)过点C 作x 轴的平行线交抛物线的对称轴于点P ,你能判断四边形ABCP 是什么四边形?并证明你的结论;
(3)连接CA 与抛物线的对称轴交于点D ,当∠APD=∠ACP 时,求抛物线的解析式.
练习1、已知抛物线2
y ax bx c =++经过53(33)02P E ??
? ???
,,
,及原点(00)O ,.
(1)求抛物线的解析式.(由一般式...
得抛物线的解析式为2253
33
y x x =-+) (2)过P 点作平行于x 轴的直线PC 交y 轴于C 点,在抛物线对称轴右侧且位于直线PC 下方的抛物线上,任取一点Q ,过点Q 作直线QA 平行于y 轴交x 轴于A 点,交直线PC 于B 点,直线QA 与直线PC 及两坐标轴围成矩形OABC .是否存在点Q ,使得OPC △与PQB △相似?若存在,求出Q 点的坐标;若不存在,说明理由.
(3)如果符合(2)中的Q 点在x 轴的上方,连结OQ ,矩形OABC 内的四个三角形
OPC PQB OQP OQA ,,,△△△△之间存在怎样的关系?为什么?
练习2、如图,四边形OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片,点A 在x 轴上,点C 在y 轴上,将边BC 折叠,使点B 落在边OA 的点D 处。已知折叠55CE =,且3
tan 4
EDA ∠=。 (1)判断OCD △与ADE △是否相似?请说明理由; (2)求直线CE 与x 轴交点P 的坐标;
(3)是否存在过点D 的直线l ,使直线l 、直线CE 与x 轴所围成的三角形和直线l 、直线CE 与y 轴所围成的三角形相似?如果存在,请直接写出其解析式并画出相应的直线;如果不存在,请说明理由。
练习3、在平面直角坐标系xOy 中,已知二次函数2
(0)y ax bx c a =++≠的图象与x 轴交于A B ,两点(点
A 在点
B 的左边)
,与y 轴交于点C ,其顶点的横坐标为1,且过点(23),和(312)--,. (1)求此二次函数的表达式;(由一般式...
得抛物线的解析式为2
23y x x =-++) (2)若直线:(0)l y kx k =≠与线段BC 交于点D (不与点B C ,重合),则是否存在这样的直线l ,使得以B O D ,,为顶点的三角形与BAC △相似?若存在,求出该直线的函数表达式及点D 的坐标;若不存在,请说明理由;(10)(30),(03)A B C -,,,,
(3)若点P 是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点,试比较锐角PCO ∠与ACO ∠的大小(不必证明),并写出此时点P 的横坐标p x 的取值范围.
O
x
y 练习
C B E
D A
O
y C l
x
B A 1
x =
o
C B A x 练习
P
y
练习4 、如图所示,已知抛物线2
1y x =-与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C . (1)求A 、B 、C 三点的坐标.
(2)过点A 作AP ∥CB 交抛物线于点P ,求四边形ACBP 的面积.
(3)在x 轴上方的抛物线上是否存在一点M ,过M 作MG ⊥x 轴于点G ,使以A 、M 、G 三点为顶点的三角形与?PCA 相似.若存在,请求出M 点的坐标;否则,请说明理由.
练习5、已知:如图,在平面直角坐标系中,ABC △是直角三角形,90ACB ∠=o
,点A C ,的坐标分别
为(30)A -,
,(10)C ,,3
tan 4
BAC ∠=. (1)求过点A B ,的直线的函数表达式;点(30)A -,
,(10)C ,,B (13),,3944
y x =+ (2)在x 轴上找一点D ,连接DB ,使得ADB △与ABC △相似(不包括全等),并求点D 的坐标; (3)在(2)的条件下,如P Q ,分别是AB 和AD 上的动点,连接PQ ,设AP DQ m ==,问是否存在这样的m 使得APQ △与ADB △相似,如存在,请求出m 的值;如不存在,请说明理由.
A
C
O B
x
y
练习6、如图,已知抛物线与x 交于A(-1,0)、E(3,0)两点,与y 轴交于点B(0,3)。 (1) 求抛物线的解析式;
(2) 设抛物线顶点为D ,求四边形AEDB 的面积;
(3) △AOB 与△DBE 是否相似?如果相似,请给以证明;如果不相似,请说明理由。
练习7、如图,已知抛物线y =34
x 2
+bx +c 与坐标轴交于A 、B 、C 三点, A 点的坐标为(-1,0),过点C 的直线y =
3
4t
x -3与x 轴交于点Q ,点P 是线段BC 上的一个动点,过P 作PH ⊥OB 于点H .若PB =5t ,且0<t <1.
(1)填空:点C 的坐标是_ _,b =_ _,c =_ _; (2)求线段QH 的长(用含t 的式子表示);
(3)依点P 的变化,是否存在t 的值,使以P 、H 、Q 为顶点的三角形与△COQ 相似?若存在,求出所有t 的值;若不存在,说明理由.
A B x
y
O
Q
H P
C
练习8、如图,抛物线经过(40)(10)(02)A B C -,,,,,三点.
(1)求出抛物线的解析式;
(2)P 是抛物线上一动点,过P 作PM x ⊥轴,垂足为M ,是否存在P 点,使得以A ,P ,M 为顶点的三角形与OAC △相似?若存在,请求出符合条件的点P 的坐标;若不存在,请说明理由; (3)在直线AC 上方的抛物线上有一点D ,使得DCA △的面积最大,求出点D 的坐标.
练习9、已知,如图1,过点()01E -,作平行于x 轴的直线l ,抛物线2
14
y x =
上的两点A B 、的横坐标分别为-1和4,直线AB 交y 轴于点F ,过点A B 、分别作直线l 的垂线,垂足分别为点C 、D ,连接
CF DF 、.
(1)求点A B F 、、的坐标; (2)求证:CF DF ⊥;
(3)点P 是抛物线2
14
y x =
对称轴右侧图象上的一动点,过点P 作PQ PO ⊥交x 轴于点Q ,是否存在点P 使得OPQ △与CDF △相似?若存在,请求出所有符合条件的点P 的坐标;若不存在,请说明理由.
练习10、当x =2时,抛物线y =ax 2+bx +c 取得最小值-1,并且抛物线与y 轴交于点C (0,3),与x 轴交于点A 、B .
(1)求该抛物线的关系式;
(2)若点M (x ,y 1),N (x +1,y 2)都在该抛物线上,试比较y 1与y 2的大小;
(3)D 是线段AC 的中点,E 为线段AC 上一动点(A 、C 两端点除外),过点E 作y 轴的平行线EF 与抛物线交于点F .问:是否存在△DEF 与△AOC 相似?若存在,求出点E 的坐标;若不存在,则说明理由.
练习11、如图,一次函数y=-2x 的图象与二次函数y=-x 2+3x 图象的对称轴交于点B.
(1)写出点B 的坐标 ;
(2)已知点P 是二次函数y=-x 2+3x 图象在y 轴右侧..部分上的一个动点,将直线y=-2x 沿y 轴向上平移,分别交x 轴、y 轴于C 、D 两点. 若以CD 为直角边的△PCD 与△OCD 相似,则点P 的坐标为 .
O B C D
A B
C D O x
y E F 3 (第26题图)
练习12、如图,抛物线2
1y ax bx =++与x 轴交于两点A (-1,0),B (1,0),与y 轴交于点C . (1)求抛物线的解析式;
(2)过点B 作BD ∥CA 与抛物线交于点D ,求四边形ACBD 的面积;
(3)在x 轴下方的抛物线上是否存在一点M ,过M 作MN ⊥x 轴于点N ,使以A 、M 、N 为顶点的三角形与△BCD 相似?若存在,则求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由.
练习13、已知:函数y=ax 2+x+1的图象与x 轴只有一个公共点. (1)求这个函数关系式; (2)如图所示,设二次..函数y=ax 2+x+1图象的顶点为B ,与y 轴的交点为A ,P 为图象上的一点,若以线段PB 为直径的圆与直线AB 相切于点B ,求P 点的坐标;
(3)在(2)中,若圆与x 轴另一交点关于直线PB 的对称点为M ,试探索点M 是否在抛物线y=ax 2+x+1上,若在抛物线上,求出M 点的坐标;若不在,请说明理由. y