人教版九年级数学下二次函数最全的中考知识点总结
? 相关概念及定义
二次函数的概念:一般地,形如2y ax bx c =++(a b c ,,是常数,0a ≠)的函数,
叫做二次函数。这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数0a ≠,而b c ,可以为零.二次函数的定义域是全体实数. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征:
⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是2. ⑵ a b c ,,是常数,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项.
? 二次函数各种形式之间的变换
二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成:()k h x a y +-=2
的形式,其中
a
b a
c k a
b h 4422
-=
-
=,.
二次函数由特殊到一般,可分为以下几种形式:①2ax y =;②k ax y +=2;
③()2
h x a y -=;④()k h x a y +-=2
;⑤c bx ax y ++=2.
? 二次函数解析式的表示方法
一般式:2y ax bx c =++(a ,b ,c 为常数,0a ≠); 顶点式:2()y a x h k =-+(a ,h ,k 为常数,0a ≠);
两根式:12()()y a x x x x =--(0a ≠,1x ,2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标). 注意:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数
都可以写成交点式,只有抛物线与x 轴有交点,即240b ac -≥时,抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化.
? 二次函数2y ax bx c =++图象的画法
五点绘图法:利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+,
确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为:顶点、与y 轴的交点()0c ,、以及()0c ,关于对称轴对称的点()2h c ,、与x 轴的交点()10x ,,()20x ,(若与x 轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点).
画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与y 轴的交
点.
? 二次函数2
ax y =的性质
? 二次函数2y ax c =+的性质
? 二次函数()
y a x h =-的性质:
? 二次函数()2
y a x h k =-+的性质
? 抛物线2y ax bx c =++的三要素:开口方向、对称轴、顶点.
a 的符号决定抛物线的开口方向:当0>a 时,开口向上;当0 a 相等,抛物线的开口大小、形状相同. 对称轴:平行于y 轴(或重合)的直线记作2b x a =-.特别地,y 轴记作直线0=x . 顶点坐标:),(a b ac a b 4422 -- 顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数,如果二次项系数a 相同,那么抛物 线的开口方向、开口大小完全相同,只是顶点的位置不同. ? 抛物线c bx ax y ++=2 中,c b a ,,与函数图像的关系 二次项系数a 二次函数2y ax bx c =++中,a 作为二次项系数,显然0a ≠ . ⑴ 当0a >时,抛物线开口向上,a 越大,开口越小,反之a 的值越小,开口越大; ⑵ 当0a <时,抛物线开口向下,a 越小,开口越小,反之a 的值越大,开口越大. 总结起来,a 决定了抛物线开口的大小和方向,a 的正负决定开口方向,a 的大小决定开口的大小. 一次项系数b 在二次项系数a 确定的前提下,b 决定了抛物线的对称轴. ⑴ 在0a >的前提下, 当0b >时,02b a -<,即抛物线的对称轴在y 轴左侧; 当0b =时,02b a -=,即抛物线的对称轴就是y 轴; 当0b <时,0 2b a - >,即抛物线对称轴在y 轴的右侧. ⑵ 在0a <的前提下,结论刚好与上述相反,即 当0b >时,02b a ->,即抛物线的对称轴在y 轴右侧; 当0b =时,02b a -=,即抛物线的对称轴就是y 轴; 当0b <时,0 2b a - <,即抛物线对称轴在y 轴的左侧. 总结起来,在a 确定的前提下,b 决定了抛物线对称轴的位置. 总结: 常数项c ⑴ 当0c >时,抛物线与y 轴的交点在x 轴上方,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正; ⑵ 当0c =时,抛物线与y 轴的交点为坐标原点,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0; ⑶ 当0c <时,抛物线与y 轴的交点在x 轴下方,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负. 总结起来,c 决定了抛物线与y 轴交点的位置. 总之,只要a b c ,,都确定,那么这条抛物线就是唯一确定的. ? 求抛物线的顶点、对称轴的方法 公式法: a b ac a b x a c bx ax y 4422 2 2 -+ ??? ? ? +=++=,∴顶点是 ) ,(a b ac a b 4422 --,对称轴是直线a b x 2-=. 配方法:运用配方的方法,将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2 的形式,得 到顶点为(h ,k ),对称轴是直线h x =. 运用抛物线的对称性:由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以对称轴的 连线的垂直平分线是抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点. 用配方法求得的顶点,再用公式法或对称性进行验证,才能做到万无一失. ? 用待定系数法求二次函数的解析式 一般式:c bx ax y ++=2 .已知图像上三点或三对x 、y 的值,通常选择一般式. 顶点式:()k h x a y +-=2 .已知图像的顶点或对称轴,通常选择顶点式. 交点式:已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ,通常选用交点式: ()()21x x x x a y --=. ? 直线与抛物线的交点 y 轴与抛物线c bx ax y ++=2 得交点为(0, c ). 与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点 (h ,c bh ah ++2 ). 抛物线与x 轴的交点:二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐 标1x 、2x ,是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定: ①有两个交点?0>??抛物线与x 轴相交; ②有一个交点(顶点在x 轴上)?0=??抛物线与x 轴相切; ③没有交点?0?抛物线与x 轴相离. 平行于x 轴的直线与抛物线的交点 可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时,两交点的纵坐标相等,设纵 坐标为k ,则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根. 一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像 G 的交点,由方程组 2 y kx n y ax bx c =+??=++? 的解的数目来确定:①方程组有两组不同的解时?l 与G 有两个交点; ②方程组只有一组解时?l 与G 只有一个交点;③方程组无解时?l 与G 没有交点. 抛物线与x 轴两交点之间的距离:若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为 ()()0021,,,x B x A ,由于1x 、2x 是方程02 =++c bx ax 的两个根,故 a c x x a b x x = ?- =+2121,()()a a ac b a c a b x x x x x x x x AB ?= -=-? ? ? ??-= --=-= -=4442 2 212 212 2121 ? 二次函数图象的对称:二次函数图象的对称一般有五种情况,可以用一般式或顶点式表 达 关于x 轴对称 2y ax bx c =++关于x 轴对称后,得到的解析式是2y ax bx c =---; ()2 y a x h k =-+关于x 轴对称后,得到的解析式是()2 y a x h k =---; 关于y 轴对称 2y ax bx c =++关于y 轴对称后,得到的解析式是2y ax bx c =-+; ()2 y a x h k =-+关于y 轴对称后,得到的解析式是()2 y a x h k =++; 关于原点对称 2y ax bx c =++关于原点对称后,得到的解析式是2y ax bx c =-+-; ()2 y a x h k =-+关于原点对称后,得到的解析式是()2 y a x h k =-+-; 关于顶点对称 2y ax bx c =++关于顶点对称后,得到的解析式是2 2 2b y ax bx c a =--+- ; ()2 y a x h k =-+关于顶点对称后,得到的解析式是()2 y a x h k =--+. 关于点()m n ,对称 ()2 y a x h k =-+关于点()m n ,对称后,得到的解析式是()2 22y a x h m n k =-+-+- 总结:根据对称的性质,显然无论作何种对称变换,抛物线的形状一定不会发生变 化,因此a 永远不变.求抛物线的对称抛物线的表达式时,可以依据题意或方便运算的原则,选择合适的形式,习惯上是先确定原抛物线(或表达式已知的抛物线)的顶点坐标及开口方向,再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向,然后再写出其对称抛物线的表达式. ? 二次函数图象的平移 平移步骤: ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+,确定其顶点坐标()h k ,; ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k ,处,具体平移方法如下: 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”. 概括成八个字“左加右减,上加下减”. ? 根据条件确定二次函数表达式的几种基本思路。 三点式。 1,已知抛物线y=ax 2+bx+c 经过A (3,0),B (32,0),C (0,-3)三点,求抛物线的解析式。 2,已知抛物线y=a(x-1)2+4 , 经过点A (2,3),求抛物线的解析式。 顶点式。 1,已知抛物线y=x 2-2ax+a 2+b 顶点为A (2,1),求抛物线的解析式。 2,已知抛物线 y=4(x+a)2-2a 的顶点为(3,1),求抛物线的解析式。 交点式。 1,已知抛物线与 x 轴两个交点分别为(3,0),(5,0),求抛物线y=(x-a)(x-b)的解析式。 2,已知抛物线线与 x 轴两个交点(4,0),(1,0)求抛物线y=2 1a(x-2a)(x-b)的解析式。 定点式。 1,在直角坐标系中,不论a 取何值,抛物线222 5212 -+-+ - =a x a x y 经过x 轴上一 定点Q ,直线2)2(+-=x a y 经过点Q,求抛物线的解析式。 2,抛物线y= x 2 +(2m-1)x-2m 与x 轴的一定交点经过直线y=mx+m+4,求抛物线的解析式。 3,抛物线y=ax 2+ax-2过直线y=mx-2m+2上的定点A ,求抛物线的解析式。 平移式。 1, 把抛物线y= -2x 2 向左平移2个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到抛物线 y=a( x-h)2 +k,求此抛物线解析式。 2, 抛物线32-+-=x x y 向上平移,使抛物线经过点C(0,2),求抛物线的解析式. 距离式。 1,抛物线y=ax 2+4ax+1(a ﹥0)与x 轴的两个交点间的距离为2,求抛物线的解析式。 2,已知抛物线y=m x 2+3mx-4m(m ﹥0)与 x 轴交于A 、B 两点,与 轴交于C 点,且AB=BC,求此抛物线的解析式。 对称轴式。 1、抛物线y=x 2-2x+(m 2-4m+4)与x 轴有两个交点,这两点间的距离等于抛物线顶点到y 轴距离的2倍,求抛物线的解析式。 2、 已知抛物线y=-x 2 +ax+4, 交x 轴于A,B (点A 在点B 左边)两点,交 y 轴于点C,且 OB-OA= 4 3OC ,求此抛物线的解析式。 对称式。 1, 平行四边形ABCD 对角线AC 在x 轴上,且A (-10,0),AC=16,D (2,6)。AD 交y 轴于 E ,将三角形ABC 沿x 轴折叠,点B 到B 1的位置,求经过A,B,E 三点的抛物线的解析式。 2, 求与抛物线y=x 2+4x+3关于y 轴(或x 轴)对称的抛物线的解析式。 切点式。 1,已知直线y=ax-a 2(a ≠0) 与抛物线y=mx 2 有唯一公共点,求抛物线的解析式。 2, 直线y=x+a 与抛物线y=ax 2 +k 的唯一公共点A (2,1),求抛物线的解析式。 判别式式。 1、已知关于X 的一元二次方程(m+1)x 2+2(m+1)x+2=0有两个相等的实数根,求抛物线y=-x 2+(m+1)x+3解析式。 2、 已知抛物线y=(a+2)x 2-(a+1)x+2a 的顶点在x 轴上,求抛物线的解析式。 3、已知抛物线y=(m+1)x 2+(m+2)x+1与x 轴有唯一公共点,求抛物线的解析式。 第八章 1、向量在轴上的投影: 性质:?cos )(a a u =(即Prj u ?cos a a =),其中?为向量a 与u 轴的夹角; u u u b a b a )()()( +=+(即Prj u =+)(b a Prj u a + Prj u b ); u u a a )()( λλ=(即Prj u λλ=)(a Prj u a ). 2、两个向量的向量积:设k a j a i a a z y x ++=,k b j b i b b z y x ++=,则 =?b a x x b a i y y b a j z z b a k =1 1) 1(+-y y b a z z b a i +21)1(+-x x b a z z b a j +3 1) 1(+- x x b a y y b a k =k b a b a j b a b a i b a b a x y y x z x x z y z z y )()()(-+-+- 注:a b b a ?-=? 3、二次曲面 (1) 椭圆锥面:222 22z b y a x =+; (2) 椭圆抛物面:z b y a x =+22 22; (旋转抛物面:z a y x =+2 22(把把xOz 面上的抛物线z a x =22 绕z 轴旋转)) (3) 椭球面:1222222=++c z b y a x ; (旋转椭球面:122 2 22=++c z a y x (把xOz 面上的椭圆122 22=+c z a x 绕z 轴旋转)) (4) 单叶双曲面:1222222=-+c z b y a x ; (旋转单叶双曲面:122 222=-+c z a y x (把 xOz 面上的双曲线122 22=-c z a x 绕z 轴旋转)) 二次函数知识点总结 二次函数知识点: 1.二次函数的概念:一般地,形如2y ax bx c =++(a b c , ,是常数,0a ≠)的函数,叫做二次函数。 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项 系数0a ≠,而b c , 可以为零.二次函数的定义域是全体实数. 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征: ⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是2. ⑵ a b c , ,是常数,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项. 二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式:2y ax =的性质: 结论:a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 总结: 2. 2 =+的性质: y ax c 结论:上加下减。 总结: 3. ()2 =-的性质: y a x h 结论:左加右减。 总结: 4. ()2 =-+的性质: y a x h k 总结: 1. 平移步骤: ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+,确定其顶点坐标()h k ,; ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k ,处,具体平移方法 如下: 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”. 概括成八个字“左加右减,上加下减”. 三、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 请将2245y x x =++利用配方的形式配成顶点式。请将2y ax bx c =++配成 ()2 y a x h k =-+。 总结: 从解析式上看,()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式,后者 通过配方可以得到前者,即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?,其中2424b ac b h k a a -=-= ,. 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法:利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式 2()y a x h k =-+,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧, 左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为:顶点、与y 轴的交点()0c , 、以及()0c , 关于对称轴对称的点()2h c ,、与x 轴的交点()10x ,,()20x ,(若与x 轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点). 画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与y 轴的交点. 、100 以内的笔算加法和减法 1、用竖式计算两位数加法时: ①相同数位对齐,加号写在高位下行之前。 ②从个位加起。 ③如果个位满10,向十位进 2、用竖式计算两位数减法时: ①相同数位对齐,减号写在高位下行之前。 ②从个位减起。 ③如果个位不够减,从十位退1,个位作10 再减,计算时十位要记得减去退掉的1。 3、求“一个已知数”比“另一个已知数”多多少、少多少? 用减法计算,用“比”字两边的较大数减去较小数。 4、多几、少几已知的问题。比谁少几,就用谁减去几;未知数比谁多几,就用谁加上几。例题 二、米和厘米、角和直角 1、常用的长度单位:米、厘米。 2、测量较短物体通常用厘米作单位,测量较长物体通常用米作单位。 3、测量时:把尺的“ 0”刻度对准物体的左端,再看纸条的右端对这几,对着几就是几厘米。 4、1米=100厘米100 厘米=1米。 5、线段的特点: ①线段是直的 ②线段有两个端点。 ③线段可以测量出长度。 6、角有一个顶点,两条边。它的两条边是射线不是线段。射线就是只有一个端点,不能测量出长度。 7、角的画法:从一个点起,用尺子向不同的方向画两条边,就画 成一个角。用三角板可以画出直角。 8、三角板上的3个角中,有1 个是直角。正方形、长方形都有4 个角,都是直角。 9、要知道一个角是不是直角,可以用三角板上的直角比一比。 10、角的大小与两条边的长短无关,只和两条边张开的宽度有关。 三、表内乘法 1、乘法的初步认识 (1)结合数一数、摆一摆的具体活动,经历相同加数连加算式的抽象过程,感受这种运算与日常生活的联系,体会学习乘法的必要性。 (2)结合具体情境,经历把相同加数的连加算式抽象为乘法算式的过程,初步体会乘法运算的意义,体会乘法和加法之间的联系与区别。 (3)会把相同加数的连加算式改写为乘法算式,知道写法、读法,并能应用加法计算简单的乘法算式的结果。2、乘法的初步认识 1、几个相同数连加除了用加法表示外,还可以用乘法表示。用乘法表示更加简捷。 2、相同加数相加写成乘法时,用相同加数×相同加数的个数或相同加数的个数×相同加数。如:5+5+5+5表示: 5×4 或4×5 3、加法写成乘法时,加法的和与乘法的积相同 九年级数学《二次函数》综合练习题 一、基础练习 1把抛物线y=2x 2向上平移1个单位,得到抛物线 _____________ ,把抛物线y=-2x 2?向下平移3个单位,得到 抛物线 _________ . 2 ?抛物线y=3x 2-1的对称轴是 ______ ,顶点坐标为 ________ ,它是由抛物线 y=3x 2?向 _________ 平移 _____ 个单位得到的. 3 .把抛物线y=J 2x 2向左平移1个单位,得到抛物线 _____________ ,把抛物线y=-J2x 2?向右平移3个单位, 得到抛物线 __________ . 4. _____________________________________ 抛物线y=j 3 ( x-1 ) 2的开口向 _____________ ,对称轴为 ,顶点坐标为 __________________________________ , ?它是由抛物线 y=乔x 2向 _______ 平移 _______ 个单位得到的. 1 1 1 5 .把抛物线y=- 1 (X+1) 2向 __________ 平移 _______ 个单位,就得到抛物线 y=-」x 2. 3 2 3 6. _____________________________ 把抛物线y=4 (x-2 ) 2向 平移 个单位,就得到函数 y=4 (x+2) 2的图象. 1 2 1 7. ____________________________________ 函数y=- (x- 1) 2的最大值为 ________ ,函数y=-x 2- 1的最大值为 _________________________________________ . 3 3 &若抛物线y=a (x+m ) 2的对称轴为x=-3,且它与抛物线y=-2 x 2的形状相同,?开口方向相同,则点(a , m )关于原点的对称点为 __________________ . 9. ___________________________________________________________________ 已知抛物线y=a (x-3 ) 2过点(2, -5 ),则该函数y=a (x-3 ) 2当x= _______________________________________?时,?有最 __ 值 _______ . 10. ________________________________________________________________________________________ 若二次函数y=ax 2+b ,当x 取X 1, X 2 (X 1^x)时,函数值相等,则x 取x 什X 2时,函数的值为 ___________________ . 11. 一台机器原价50万元.如果每年的折旧率是 x ,两年后这台机器的价格为 y?万元,则y 与x 的函数 关系式为( ) A . y=50 (1-x ) 2 B . y=50 (1-x ) 2 C . y=50-x 2 D . y=50 (1+x ) 2 12. 下列命题中,错误的是( ) 13 .顶点为(-5 , 0)且开口方向、形状与函数 1 1 A . y=- (x-5) 2 B . y=- x 2-5 C 3 3 .抛物线 y=- J 3X 2-1不与 x 轴相交; 2 .抛物线 尸孚2-1与 y= 3 (x-1 ) 2 2 形状相同,位置不同 .抛物线 .抛物线 1 y=-- 2 1 y= 2 (x- 1) 2 1 (x+ —) 2 2 的顶点坐标为 2 的对称轴是直线 1 , 0); 2 1 x=— 2 1 y=- =x 2的图象相同的抛物线是( ) 3 1 1 y=- (x+5) 2 D . y= (x+5) 2 3 3 高等数学(下)知识点 主要公式总结 第八章 空间解析几何与向量代数 1、 二次曲面 1) 椭圆锥面:2 2 222z b y a x =+ 2) 椭球面:122 222 2=++c z b y a x 旋转椭球面:1222222=++c z a y a x 3) 单叶双曲面:122 222 2=-+c z b y a x 双叶双曲面:1222222=--c z b y a x 4) 椭圆抛物面:z b y a x =+2222 双曲抛物面(马鞍面):z b y a x =-22 22 5) 椭圆柱面:1222 2=+b y a x 双曲柱面:122 22=-b y a x 6) 抛物柱面: ay x =2 (二) 平面及其方程 1、 点法式方程: 0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A 法向量:),,(C B A n =ρ ,过点),,(000z y x 2、 一般式方程: 0=+++D Cz By Ax 截距式方程: 1=++c z b y a x 3、 两平面的夹角:),,(1111 C B A n =ρ ,),,(2222C B A n =ρ , ?∏⊥∏21 0212121=++C C B B A A ;?∏∏21// 2 1 2121C C B B A A == 4、 点 ),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离: (三) 空间直线及其方程 1、 一般式方程:?????=+++=+++0 22221111D z C y B x A D z C y B x A 2、 对称式(点向式)方程: p z z n y y m x x 0 00-=-=- 方向向量:),,(p n m s =ρ ,过点),,(000z y x 3、 两直线的夹角:),,(1111 p n m s =ρ ,),,(2222p n m s =ρ , ?⊥21L L 0212121=++p p n n m m ;?21//L L 2 1 2121p p n n m m == 4、 直线与平面的夹角:直线与它在平面上的投影的夹角, ?∏//L 0=++Cp Bn Am ;?∏⊥L p C n B m A == 第九章 多元函数微分法及其应用 1、 连续: ),(),(lim 00) ,(),(00y x f y x f y x y x =→ 2、 偏导数: x y x f y x x f y x f x x ?-?+=→?), (), (lim ),(00000 00 ;y y x f y y x f y x f y y ?-?+=→?) ,(),(lim ),(0000000 3、 方向导数: βαcos cos y f x f l f ??+??=??其中 β α,为 l 的方向角。 4、 梯度:),(y x f z =,则j y x f i y x f y x gradf y x ρ ρ),(),(),(000000+=。 5、 全微分:设),(y x f z =,则d d d z z z x y x y ??= +?? (一) 性质 1、 函数可微,偏导连续,偏导存在,函数连续等概念之间的关系: 二次函数知识点归纳 一、二次函数概念 1.二次函数的概念:一般地,形如2y ax bx c =++(a b c ,,是常数,0a ≠)的函数,叫做二次函数。 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数0a ≠,而b c ,可以为零.二次函数的定义域是全体实数. 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征: ⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是2. ⑵ a b c ,,是常数,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项. 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式:2y ax =的性质: o o 结论:a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 总结: 2. 2y ax c =+的性质: 结论:上加下减。 a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()00, y 轴 0x >时,y 随x 的增大而增大;0x <时,y 随x 的增大而减小;0x =时,y 有最小值0. 0a < 向下 ()00, y 轴 0x >时,y 随x 的增大而减小;0x <时,y 随x 的增大而增大;0x =时,y 有最大值0. 总结: 3. ()2 y a x h =-的性质: 结论:左加右减。 总结: 4. ()2 y a x h k =-+的性质: 总结: a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0c , y 轴 0x >时,y 随x 的增大而增大;0x <时,y 随x 的增大而减小;0x =时,y 有最小值c . 0a < 向下 ()0c , y 轴 0x >时,y 随x 的增大而减小;0x <时,y 随x 的增大而增大;0x =时,y 有最大值c . a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0h , X=h x h >时,y 随x 的增大而增大;x h <时,y 随x 的增大而减小;x h =时,y 有最小值0. 0a < 向下 ()0h , X=h x h >时,y 随x 的增大而减小;x h <时,y 随x 的增大而增大;x h =时,y 有最大值0. a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 小学二年级数学下册知识点整理 数一数(认识新的计数单位) 知识点: 1、认识计数单位千”万”。 2、了解万以内计数单位间的关系:10个一是十;10个十是一百;10个一百是一千;10个一千是一万。 3、掌握万以内数的数位顺序。从右起第一位开始依次为个位,十位,百位,千位,万位。 4、结合具体情景,对』千”和』万”有具体的感受。 5、初步感受满十进一”的十进制计数法。 拨一拨(万以内数的读写) 知识点: 1、会数数:一个一个地数;十个十个地数;一百一百地数等。 2、会读万以内的数:从高位起,依次读出每个数位上的数,末尾有零都不读,中间有一个或两个零只读一个零。 3、会写万以内的数:从高位起,依次写出每个数位上的数,哪位上一个单位也没有,就在那位上写零。 4、初步感受满十进一”的十进制计数法。 xx (万以内数比较大小) 知识点: 1、会比较万以内数的大小。方法:先比较数位的多少,数位多的数比较 大,如果数位相同,先比位,位上的数相同,就比较下一位…… 2、能够用符号表示万以内数的大小。 3、能结合实际进行万以内数的估计。 【篇二】 除法 分苹果(竖式除法) 知识点: 1、掌握表内除法竖式的书写格式。 2、掌握除法竖式的写法和每一步所表示的含义。 分橘子(有余数的除法(一)) 知识点: 1、体会有余数除法的意义。 2、会用竖式表示有余数的除法,了解余数一定要比除数小。 分草莓(有余数的除法(二)) 知识点: 1、掌握正确的试商方法。利用乘法口诀,两数相乘的积最接近被除数,而又比被除数小。 2、能运用有余数除法的知识解决一些简单的实际问题。 租船(有余数除法的应用(一)) 知识点: 灵活运用有余数的除法的有关知识解决生活中的简单实际问题。 派车(有余数除法的应用(二)) 第八章 1、 向量在轴上的投影: 性质:?cos )(a a u =(即Prj u ?cos a a =),其中?为向量a 与u 轴的夹角; u u u b a b a )()()( +=+(即Prj u =+)(b a Prj u a + Prj u b ); u u a a )()( λλ=(即Prj u λλ=)(a Prj u a ). 2、 两个向量的向量积:设k a j a i a a z y x ++=,k b j b i b b z y x ++=,则 =?b a x x b a i y y b a j z z b a k =1 1) 1(+-y y b a z z b a i +21)1(+-x x b a z z b a j +3 1)1(+- x x b a y y b a k ) =k b a b a j b a b a i b a b a x y y x z x x z y z z y )()()(-+-+- 注:a b b a ?-=? 3、 二次曲面 (1) 椭圆锥面:222 22z b y a x =+; (2) 椭圆抛物面:z b y a x =+2222; (旋转抛物面: z a y x =+2 2 2(把把xOz 面上的抛物线z a x =22 绕z 轴旋转)) (3) 椭球面:1222222=++c z b y a x ; (旋转椭球面: 122 222=++c z a y x (把xOz 面上的椭圆122 22=+c z a x 绕z 轴旋转)) (4) 单叶双曲面:1222222=-+c z b y a x ; (旋转单叶双曲面:122 222=-+c z a y x (把 xOz 面上的双曲线122 22=-c z a x 绕z 轴旋转) ) 二次函数知识点总结及典型题目 一.定义: 一般地,如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数,)0≠a ,那么y 叫做x 的二次函数. 二次函数的图象是抛物线,所以也叫抛物线y=ax2+bx+c ;抛物线关于对称轴对称且以对称轴为界,一半图象上坡,另一半图象下坡;其中c 叫二次函数在y 轴上的截距, 即二次函数图象必过(0,c )点. 二.二次函数2ax y =的性质 (1)抛物线2ax y =的顶点是坐标原点,对称轴是y 轴. (2)函数2ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点; ②当0 二年级数学各单元知识点归纳 第一单元长度单位 知识要点归纳: 1、常用的长度单位:米、厘米。 对着直尺上的刻度是几,这个物体的长度就是几厘米。 4、米和厘米的关系:1米=100厘米 100厘米=1米 5、线段 ⑴线段的特点:①线段是直的;②线段有两个端点;③线段有长有短,是可以量出长度的。 ⑵画线段的方法:先用笔对准尺子的’0”刻度,在它的上面点一个点,再对准要画到的长度的厘米刻度,在它的上面也点一个点,然后把这两个点连起来,写出线段的长度。 ⑶测量物体的长度时,当不是从“0”刻度量起时,要用终点的刻度数减去起点的刻度数。 6、填上合适的长度单位。 小明身高1(米)30(厘米)练习本宽13(厘米)铅笔长17(厘米)黑板长2(米)图钉长1(厘米)一张床长2(米) 一口井深3(米)学校进行100(米)赛跑教学楼高25(米) 宝宝身高80(厘米)跳绳长2(米)一棵树高3(米) 一把钥匙长5(厘米)一个文具盒长24(厘米)讲台高90(厘米)门高2(米)教室长12(米)筷子长20(厘米) 一棵小树苗高1(米)小朋友的头围 48厘米爸爸的身高 1米75厘 米或175厘米小朋友的身高 120厘米或1米20厘米 第二单元 100以内数的加法和减法 知识要点归纳: 一、两位数加两位数 1、两位数加两位数不进位加法的计算法则:把相同数位对齐列竖式,在把相同数位上的数相加。 2、两位数加两位数进位加法的计算法则:①相同数位对齐;②从个位加起;③个位满十向十位进1。 3、笔算两位数加两位数时,相同数位要对齐,从个位加起,个位满十要向十位进“1”,十位上的数相加时,不要遗漏进上来的“1”。 4、和 = 加数+加数一个加数 = 和-另一个加数 二、两位数减两位数 1、两位数减两位数不退位减的笔算:相同数位对齐列竖式,再把相同数位上的数相减。 2、两位数减两位数退位减的笔算法则:①相同数位对齐;②从个位减起;③个位不够减,从十位退1,在个位上加10再减。 3、笔算两位数减两位数时,相同数位要对齐,从个位减起,个位不够减,从十位退1,个位加10再减,十位计算时要先减去退走的1再算。 4、差=被减数-减数被减数=减数+差减数=被减数+差 三、连加、连减和加减混合 1、连加、连减 连加、连减的笔算顺序和连加、连减的口算顺序一样,都是从左往右依次计算。 ①连加计算可以分步计算,也可以写成一个竖式计算,计算方法与两个数相加一样,都要把相同数位对齐,从个位加起。 ②连减运算可以分步计算,也可以写成一个竖式计算,计算方法与两个数相减一样,都要把相同数位对齐,从个位减起。 2、加减混合 加、减混合算式,其运算顺序、竖式写法都与连加、连减相同。 3、加减混合运算写竖式时可以分步计算,方法与两个数相加(减)一样,要 把相同数位对齐,从个位算起;也可以用简便的写法,列成一个竖式,先完成第一步计算,再用第一步的结果加(减)第二个数。 四、解决问题(应用题) 人教版九年级数学二次函数实际问题(含答案) 一、单选题 2+2t,则当t=4t(米)与时间(秒)的关系式为s=5t时,该物体所经1.在一定条件下,若物体运动的路程s过的路程为][ A.28米 B.48米 C. 68米 米.88 D2 +bx+c的图象过点(1,0)……2.由于被墨水污染,一道数学题仅能见到如下文字:y=ax 求证这个二次函数的,题中的二次函数确定具有的性质是图象关于直线x=2对称.][ A.过点(3,0) B.顶点是(2,-1) C.在x轴上截得的线段的长是3 3)(0,D.与y轴的交点是3.某幢建筑物,从10 m高的窗口A用水管向外喷水,喷出的水流呈抛物线状(抛物线所在的平面与墙面 是离墙的距离OB1m,离地面m,则水流落地点BM垂直),如图,如果抛物线的最高点离墙 A.2m B.3m C .4 m m5 D. 之间的函数关系式是,则该运与水平距离4.如图,铅球运动员掷铅球的高度y(m)x(m)页9共,页1第 动员此次掷铅球的成绩是同济六版高等数学(下)知识点整理
初三.二次函数知识点总结
二年级数学知识点总结
九年级数学《二次函数》综合练习题及答案
高等数学下知识点总结
中考数学复习专题二次函数知识点归纳
小学二年级数学下册知识点整理
同济六版高等数学(下)知识点整理
二次函数知识点总结及典型题目
二年级数学概念知识点整理
人教版九年级数学二次函数应用题(含答案)