一道高考数学试题的高数背景
廖运章 朱亚丽
(广州大学 数学与信息科学学院 510006)
2009年湖南高考数学理科第21题是这样的： 对于数列
{}
n u ，若存在常数M ＞0,对任意的*
∈N
n ，恒有
1121...n n n n u u u u u u M +--+-++-≤，则称数列{}n u 为B-数列.
（I ）首项为1，公比为(1)q q <的等比数列是否为B-数列？请说明理由; （II ）设n S 是数列{}n x 的前n 项和，给出下列两组论断： A 组：①数列{}n x 是B-数列，②数列{}n x 不是B-数列； B 组：③数列{}n S 是B-数列；④数列{}n S 不是B-数列.
请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题.判断所给命题的真假，并证明你的结论；
（III ）若数列{}{},n n a b 都是B -数列，证明：数列{}n n a b 也是B -数列. [注]令（I ）的2
1-
=q 、（III ）中的n n a b =，其他不变，即为2009年湖南高考数学文科第21题，以下只讨论理科题，并简称为本试题.
不难发现，这道文理压轴题以开放题的形式，用数列、不等式知识作载体，考查归纳猜想、逻辑推理等重要数学思想方法，具有深刻的高等数学背景，来源于数学分析中的有界变差数列，与实变函数中的有界变差函数一脉相承. 1．命题渊源 1．1命题背景
事实上，本试题直接来源于吉米多维奇的《数学分析习题集》的第86题，原题及解答如下：
[NO.86]若存在数C,使得21321,(2,3,)n n x x x x x x C n --+-++-<=L L ，则称叙列(1,2,3,)n x n =L 有有界变差.证明凡有有界变差的叙列是收敛的.举出一个收敛叙列而无有界变差的例子.
[证] 令21324311,(2,3,)n n n n n y x x x x x x x x x x n -+=-+-+-+-+-=L L ，则叙列{}n y 是单调增加且有界，所以它是收敛的.根据哥西收敛准则，对于任给0ε>，存在数N ，使当
m n N >>时，m n y y ε-<，即1121m m m m n n x x x x x x ε---+-+-++- 列{}n x 有，1121m n m m m m n n x x x x x x x x ---+-=-+-++-L 1121||||||m m m m n n x x x x x x ε---+≤-+-++- 11111 1,1,,,,,,,(1)2233n n ----L L ，它是以0为极限的收敛叙列.但它不是有界变差的.事实上， 213243221214322111 121,23 n n n n x x x x x x x x x x x x x x n --??-+-+-+->-+-+-=+++ ???L L L 而 序列 11 1 123n n ω=+++L 是发散的，又是递增的，故n ω→+∞.于是2132221 n n x x x x x x --+-+-L 不是有界的.因而收敛叙列 {} n x ： 111111 1,1,,,,,,,(1)2233n n ----L L 无有界变差[1]. 另例：若令()() 1111111 11123n n k n k x n k --==-+++-=-∑L ，则因 ?? ????+-+++++-+-=--+p n n n n x x p n n p n 1)1(312111)1(1Λ??? ??+-+-+=3121 11n n n 114131 +< -?? ? ??+-+-n n n Λ. 故由柯西判别法知lim n x x →∞ 存在，然而111 123n S n =+ +++→+∞L ，即{}n x 并非有界变差叙列[2]. 随后，我国许多数学分析教科书、参考书先后将之稍作修改变形收入其中，如武汉大学数学系主编的《数学分析》（人民教育出版社，1978年）P 237的NO.3，裴礼文的《数学分析中的典型问题与方法》（高教出版社，2006年），刘玉琏的《数学分析辅导讲义》（高教出版社， 2001年）P57第20题，孙涛的《数学分析经典习题解析》（高教出版社，2003年） ，刘名生、冯伟贞、韩彦昌的《数学分析》（一）（科学出版社，2009年）P34的NO.13等等，有的还冠以“有界变差数列收敛定理”的名称.比较典型的问题形式有华东师范大学数学系的《数学分析》 [3]，其P40 的第6题为： 若数列{}n a 满足：存在正数M ，对一切n 有21321n n n A a a a a a a M -=-+-++-≤L . 证明：数列{}n a 与{}n A 都收敛. 1．2命题技术 从高考数学命题技术看，一是通过语言转换，将高中生不熟悉的高等数学术语“有界变差数列”用其英文简写“B -数列”（ bounded variation sequence ）这一新定义替代，高数语言初等化，保持原题条件不变，改变其结论（原题第2问的否定即是本试题的（I ）），以考查有界变差数列性质的目的，避开考生不能为之的收敛数列证明，试题的信息形态有一定新意；二是在解题思想方法上，本试题的解法与原题一样，都要求正确把握新定义“B -数列”的内涵并灵活运用绝对值不等式的插值法（添减项），更是高等数学中的常用估值技巧，涉及压缩映射原理的2006年广东高考数学理20题(Ⅲ)的证明就曾用到该估值技巧. 近年来，依托高等数学背景，通过高等数学语言初等化等形式，将高等数学问题的提法转化为中学生可接受的语言来编拟高考数学试题是一种常见的命题方法，而中学数学和大学数学的衔接点则往往成为命题的焦点. 如单调有界定理是数学分析中判定数列收敛的一个奠基性定理，与中学的数列、不等式等知识联系紧密，以此背景编拟本试题就不出意料. 2．解法探究 2．1（I ）的解法 本试题（I ）比较简单，只要现场认真阅读有关条件并仿照新定义进行验证即可.设满 足题设的等比数列为{}n a ,则1 n n a q -=；于是 2 1211,2n n n n n a a q q q q n -----=-=-≥， 因此｜1n a +- n a ｜+｜n a -1n a -｜+…+｜2a -1a ｜=21 1(1...).n q q q q --++++Θ1,q < ∴ 21111 (11) n q q q q q q --++++=< --即 11211...1n n n n q a a a a a a q +--+-++-<-，故首项为1，公比为q (1)q <的等比数列是B-数列. 2．2（II ）的解法 （II ）是一个开放性问题，给考生思考的空间大，A 、B 两组可以组成八个命题：⑴①?③，⑵③?①，⑶②?③，⑷③?②，⑸①?④，⑹④?①，⑺②?④，⑻④?②.由原命题与逆否命题的等价性可知：⑴与⑻、⑵和⑺、⑶与⑹、⑷与⑸是互为逆否命题，所以本试题的八个命题可以归结为⑴、⑵、⑶、⑷这四个命题，但命题（2）真则命题（4）假，反之亦可，故问题（II ）实质上是要判断下列命题的真假： 命题1：若数列{}n x 是B-数列，则数列{}n S 是B-数列. 命题2：若数列{}n S 是B-数列，则数列{}n x 是B-数列. 命题3：若数列{}n x 不是B-数列，则数列{}n S 是B-数列. 命题1为假命题.事实上，设1,n x n N ? =∈，易知数列{}n x 是B-数列，但n S n =，且 1121n n n n S S S S S S +--+-+-L =12n n x x x n +++=L , 由n 的任意性知，数列{}n S 不是B-数列. 对于命题2，因为数列{}n S 是B-数列，所以存在正数M ，对任意的* ∈N n ，有 1121...n n n n S S S S S S M +--+-++-≤，即12...n n x x x M ++++≤；于是 1121...n n n n x x x x x x +--+-++-1121122...222n n n x x x x x M x +-≤+++++≤+， 所以数列{}n x 是B-数列，命题为真. 命题3为假命题. 考虑其逆否命题⑹④?①：若数列{}n S 不是B-数列，则数列{}n x 是 B-数列.其实，举一反例如令2 n S n =，即知⑹为假命题. 2．3 (Ⅲ) 的证法 若数列{}n a ，{n b }都是B -数列，则存在正数1M ，2M ，对任意的,n N ? ∈有 11211....n n n n a a a a a a M +--+-++-≤ ，11212....n n n n b b b a b b M +--+-++-≤. 注意到112211...n n n n n a a a a a a a a ---=-++++-+ 11221111...n n n n a a a a a a a M a ---≤-+-++-+≤+ ， 同理 21n b M b ≤+. 记111K M b =+，则有222K M b =+111111n n n n n n n n n n n n a b a b a b a b a b a b ++++++-=-+- 1111111n n n n n n n n n n b a a a b b K a a k b b ++-+++≤+-≤-+-， 故111212112(......)n n n n K b b b b a a k M k M +--+-+-≤+，数列{} n n a b 是B -数列。. 。。3．试题拓展 综上讨论，本试题主要探究有界变差数列的定义与个别性质，属于初等数学研究范畴，高中生是完全可以接受的；而吉米多维奇的原题侧重于研究有界变差数列的敛散性，是大学数学的教学内容.其实，有界变差数列与有界变差函数密切相关，有界变差函数是通过有界变差数列定义的，它们有许多相似性质.以下从纵向深入探究有界变差数列的若干性质，并从横向拓展、举例说明有界变差函数，所有讨论均限制在初等数学范围内. 3．1有界变差数列的性质 一般地，设有数列 {} n a ，若存在正数M ，对任意的* ∈N n ，有 +-+n n a a 11--n n a a ++ΛM a a ≤-12，则称数列{}n a 为有界变差数列. 有界变差数列又称囿变数列，在分析学中有广泛应用，以下是一些高中生能理解的有界变差数列的性质[4]. [性质1] 若数列{}n a 为有界变差数列，则{}n a 必是有界数列. 证明：设数列{}n a 为有界变差数列，则存在一个正常数M ，对于任意的n N + ∈都有 M a a n i i i ≤-∑=+1 1 .而11211a a a a a a a n n n n -+--+-=--Λ+-≤-1n n a a +Λ12a a - 11a M a +≤+.取1a M C +=，存在一个常数C ，对于任何一个n N +∈，都有C a n ≤. 所以，{}n a 是有界数列. [性质2] 若数列{}n a 为单调递增（递减）有界数列，则{}n a 必为有界变差数列. 证明：不妨设{}n a 单调递增有界M a n ≤，因为 1111 1 a M a a a a n n i i i -≤-=-+=+∑，取 1a M C -=，即C a a n i i i ≤-∑=+1 1，{}n a 为有界变差数列. 注意：性质2的逆命题不成立，如数列Λ,21 ,21,0,12 ，易验证它是有界变差数列，显然不是单调数列. [性质3] 设数列{}n a ，若存在M ,对任何n N + ∈，有 M a n i i ≤∑=1 ，则数列{}n a 必为有 界变差数列. 证明：对任何n N + ∈， M a a a a n i i n i i n i i i 21 1 11 1 ≤+≤-∑∑∑==+=+. [性质4] 设数列{}n a ，{n b }都是有界变差数列，λ为常数，则⑴{}n a λ；⑵{}n n b a ±； ⑶{}n n b a ?；⑷? ?? ???n n b a ，0>≥λn b ；⑸{}n a ；⑹{}n n b a ,m ax ，{}n n b a ,min 均是有界变差数列. 证明：仅证⑷，其余请读者一试.此时，只需证? ?? ?? ?n b 1为有界变差数列，再据⑶即可. Θ 211111111λi i i i i i i i i i i i b b b b b b b b b b b b -≤-=-=-++++++，∴2 11211 111λλM b b b b n i i i n i i i ≤-≤-∑∑=+=+， 从而? ?? ?? ?n b 1为有界变差数列. [性质5] 数列{}n a 为有界变差数列?{}n a 可以表示为两个单调有界数列之差. 证明：（?）显然. （?）设 {}n a 是有界变差数列，令 ??????+-=+=++∑111121n n i i i n a a a x ，?? ????--=+=++∑111121n n i i i n a a a y ，显然{}n x ，{}n y 均为有界 变差. 又 []0)(2 1)(211111 11111≥-+-=??????-+---=-+++-=+=++∑∑n n n n n n n i i i n i i i n n a a a a a a a a a a x x ， 同理可得 01≥-+n n y y . 故{}n x ，{}n y 都是单调有界数列. [性质6] 若数列{}n a 满足条件)10;,3,2(11<<=-≤--+r n a a r a a n n n n Λ，称数列 {}n a 为压缩变差数列，则压缩变差数列必为有界变差数列. 证明：Θ11-+-≤-n n n n a a r a a ，∴≤≤-≤-≤----+Λ212 11n n n n n n a a r a a r a a 121a a r n --.从而，++-+--+Λ11n n n n a a a a ()122112+++++≤---r r r r a a n n Λ M a a r r a a n ≤---=-?121211，其中r a a M --=112.故数列{}n a 为有界变差数列. 3．2有界变差函数举例 有界变差函数是分析中较重要的函数类，它起源于求曲线的长度，在微分与积分的研究中起重要作用.下面通过数学问题解决的方式，举例说明. [问题1]设)(x f 是定义在],[b a 上的函数，用分点 b x x x x x a T n i i =<<<<<<=-ΛΛ110: 将区间],[b a 任意划分成n 个小区间，如果存在一个常数0>M ，使得和式 M x f x f n i i i ≤-∑=-1 1 )()(（n i ,,2,1Λ=）恒成立，则称)(x f 为],[b a 上的有界变差函数， 记作],[b a BV f ∈，这里],[b a BV 表示在],[b a 上的全体有界变差函数的集合（若无特别约 定，以下讨论都基于此记号）. （I ）函数2 )(x x f =在]1,0[上是否为有界变差函数？请说明理由； （II ）设函数)(x f 是],[b a 上的单调函数，证明：],[b a BV f ∈； （III ）若定义在],[b a 上的函数)(x f 满足：存在常数k ，使得对于任意的1x 、 ],[2b a x ∈时，2121)()(x x k x f x f -?≤-.证明：],[b a BV f ∈. 解：（I ）Θ函数2 )(x x f =在]1,0[上是增函数，∴对任意划分T ， 1)0()1()()()()()()(10111=-=-++-=--=-∑f f x f x f x f x f x f x f n n n i i i Λ ， 取常数1≥M ，则和式 M x f x f n i i i ≤-∑=-1 1 )()(（n i ,,2,1Λ=）恒成立，所以函数 2)(x x f =在]1,0[上是有界变差函数. （II ）不妨设函数)(x f 是],[b a 上的单调增加，Θ对任意划分T ， )()()()()()()()(1011 1a f b f x f x f x f x f x f x f n n n i i i -=-++-=--=-∑ Λ， ∴一定存在一个常数0>M ，使M a f b f ≤-)()(，故],[b a BV f ∈. （III ）Θ对任意划分T ， )()()(1 11 1a b k x x k x f x f n i i i n i i i -=-≤-∑∑ =-=-，取常数 )(a b k M -=，∴由有界变差函数定义知],[b a BV f ∈. [问题2]（1）设],[b a BV f ∈，求证：)(x f 是],[b a 上的有界函数. （2）设],[,b a BV g f ∈，求证：],[b a BV g f ∈±，],[b a BV g f ∈?， )0)((],[/>≥∈σx g b a BV g f ； （3）设],[,b a BV g f ∈，且βα,是任意两个常数，求证：],[b a BV g f ∈+βα. 注：此问题类似于性质1和性质4的证法，请读者给不妨一试，此略. [问题3] 若)(x f 为],[b a 上的有界变差函数，试证：)(x f 也是],[b a 上的有界变差函数.反之，若)(x f 为],[b a 上的有界变差函数，)(x f 是否为],[b a 上的有界变差函数？请说明理由. 解：对],[b a 的任意划分T ，存在常数0>M ，使和式 M x f x f n i i i ≤-∑=-1 1 )()( （n i ,,2,1Λ=）. ΘM x f x f x f x f n i i i n i i i ≤-≤-∑∑ =-=-1 11 1)()()()(，∴)(x f 是],[b a 上 的有界变差函数. 反之，就不一定成立，如函数? ??-=.]10[1]10[,1)(中的有理数，为，中的无理数；， 为x x x f 作]1,0[的划分T ： 122 214241222122011<<<<<<<< < --Λn n n ，则和式n n x f x f n i i i 42)2()()(1 1=?=-∑=-.显然，不存在一个常数0>M ，使对任意的n N + ∈，M n ≤4恒成立，故)(x f 不是]1,0[上是有界变差函数.但若函数1)(≡x f ，]1,0[∈x ，显然)(x f 是有界变差函数[5]. 总之，借用或包装高等数学概念、用初数语言叙述高等数学原理、保持数学解题思想方法一致等，高等数学语言初数化以编拟高考数学试题，是当前高考数学命题惯用的重要手法之一，在于考查学生数学现场阅读理解等学习潜能以及数学创新意识，不容忽视. 参考文献： [1] 吉米多维奇著，费定辉，周学圣编演.数学分析习题集题解[M].济南：山东科学技术出版社.1980. [2] 吉米多维奇著，曹敏谦译.数学分析习题集题解[M]. 上海：上海交通大学应用数学系编印，1979. [3] 华东师范大学数学系.数学分析（第3版）[M].北京：高等教育出版社，2001. [4] 胡玲.关于囿变数列及其特征的若干主注记[J].安徽广播电视大学学报(自然科学版)，2007，（01）. [5] 上海师范大学数学系.实变函数与泛函分析（上册）[M]. 上海：上海科技教育出版社，1978. 2014年四川省高考数学试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分） 1．（5分）（2014?四川）已知集合A={x|（x+1）（x﹣2）≤0}，集合B为整数集，则A∩B=（） A．{﹣1，0} B．{0，1} C．{﹣2，﹣1，0，1} D．{﹣1，0，1，2} 考点：交集及其运算． 专题：集合． 分析：由题意，可先化简集合A，再求两集合的交集． 解答：解：A={x|（x+1）（x﹣2）≤0}={x|﹣1≤x≤2}，又集合B为整数集，故A∩B={﹣1，0，1，2} 故选D． 点评：本题考查求交，掌握理解交的运算的意义是解答的关键． 2．（5分）（2014?四川）在“世界读书日”前夕，为了了解某地5000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析，在这个问题中，5000名居民的阅读时间的全体是（） A．总体B．个体 C．样本的容量D．从总体中抽取的一个样本 考点：用样本的频率分布估计总体分布． 专题：概率与统计． 分析：根据题意，结合总体、个体、样本、样本容量的定义可得结论． 解答：解：根据题意，结合总体、个体、样本、样本容量的定义可得，5000名居民的阅读时间的全体是总体， 故选：A． 点评：本题主要考查总体、个体、样本、样本容量的定义，属于基础题． 3．（5分）（2014?四川）为了得到函数y=sin（x+1）的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点（） A．向左平行移动1个单位长度B．向右平行移动1个单位长度 C．向左平行移动π个单位长度D．向右平行移动π个单位长度 考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 专题：三角函数的图像与性质． 分析：直接利用函数图象的平移法则逐一核对四个选项得答案． 解答：解：∵由y=sinx到y=sin（x+1），只是横坐标由x变为x+1， ∴要得到函数y=sin（x+1）的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点向左平行移动1个单位长度． 故选：A． 点评：本题主要考查三角函数的平移．三角函数的平移原则为左加右减上加下减．是基础题． 2013----2017年高考全国卷2、3试卷分析 从2012年云南进入新课标高考至今，已有六年时间，数学因为容易拉分，加上难度变幻不定，可以说是我省考生最为害怕的一个学科，第一天下午开考的数学考得如何直接决定着考生第二天的考试情绪。近5年全国卷数学试题从试卷的结构和试卷的难度上逐渐趋于平稳，稳中有新，难度都属于较为稳定的状态。选择、填空题会以基础题呈现，属于中等难度。选择题在前六题的位置，填空题在前二题的位置;解答题属于中等难度，且基本定位在前三题和最后一题的位置。 一、近五年高考数学考点分布统计表： 从近五年数学试题知识点分布及分值分布统计表不难看出，试题坚持对基础知识、数学思想方法进行考查，重点考查了高中数学的主体内容，兼顾考查新课标的新增内容，在此基础上，突出了对考生数学思维能力和数学应用意识的考查，体现了新课程改革的理念。具体 来说几个方面： 1．整体稳定，覆盖面广 高考数学全国卷2、3全面考查了新课标考试说明中各部分的内容，可以说教材中各章的内容都有所涉及，如复数、旋转体、简易逻辑、概率等教学课时较少的内容，在试卷中也都有所考查。有些内容这几年轮换考查，如统计图、线性回归、直线与圆、线性规划，理科的计数原理、二项式定理、正态分布、条件概率等。 2．重视基础，难度适中 试题以考查高中基础知识为主线，在基础中考查能力。理科前8道选择题都是考查基本概念和公式的题型，相当于课本习题的变式题型。填空题前三题的难度相对较低，均属常规题型。解答题的前三道题分别考查解三角形，分布列、数学期望，空间线面位置关系等基础知识，利用空间直角坐标系求二面角，属中低档难度题。 4．全面考查新增内容，体现新课改理念 如定积分、函数的零点、三视图、算法框图、直方图与茎叶图、条件概率、几何概型、全称命题与特称命题等。 5．突出通性通法、理性思维和思想方法的考查 数学思想方法是对数学知识的最高层次的概括与提炼，是适用于中学数学全部内容的通法，是高考考查的核心。数形结合的思想、方程的思想、分类讨论的思想等在高考中每年都会考查。尤其数形结合，每年还专门有一道“新函数”的大致图象问题 6．注重数学的应用和创新 绝密★启用前 全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） 一、选择题：本题共12小题, 每小题5分, 共60分。在每小题给出的四个选项中, 只 有一项是符合题目要求的。 1．已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，, 则M N I = A ．}{43x x -<< B ．}42{x x -<<- C ．}{22x x -<< D ．}{23x x << 2．设复数z 满足=1i z -, z 在复平面内对应的点为(x , y ), 则 A ．22 +11()x y += B ．221(1)x y +=- C ．22(1)1y x +-= D ．2 2(+1)1y x += 3．已知0.20.32 log 0.220.2a b c ===，，, 则 A ．a b c << B ．a c b << C ．c a b << D ．b c a << 4．古希腊时期, 人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 512-（ 51 2 -≈0.618, 称为黄金分割比例), 著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外, 最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 51 -．若某人满足上述两个黄金分割比例, 且腿长为105 cm, 头顶至脖子下端的长度为26 cm, 则其身高可能是 A ．165 cm B ．175 cm C ．185 cm D ．190 cm 5．函数f (x )= 2 sin cos ++x x x x 在[,]-ππ的图像大致为 A ． B ． C ． D ． 6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个 爻组成, 爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”, 如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦, 则该重卦恰有3个阳爻的概率是 A ． 516 B ． 1132 C ． 2132 D ． 1116 7．已知非零向量a , b 满足||2||=a b , 且()-a b ⊥b , 则a 与b 的夹角为 A ． π6 B ． π3 C ． 2π3 D ． 5π6 8．如图是求 112122 + +的程序框图, 图中空白框中应填入 2018年高考全国二卷理科数学真题（解析 版） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．作答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析：根据复数除法法则化简复数，即得结果. 详解：选D. 点睛：本题考查复数除法法则，考查学生基本运算能力. 2. 已知集合，则中元素的个数为 A. 9 B. 8 C. 5 D. 4 【答案】A 【解析】分析：根据枚举法，确定圆及其内部整点个数. 详解：， 当时，； 当时，； 当时，； 所以共有9个，选A. 点睛：本题考查集合与元素关系，点与圆位置关系，考查学生对概念理解与识别. 3. 函数的图像大致为 A. A B. B C. C D. D 【答案】B 【解析】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像. 详解：为奇函数，舍去A, 舍去D; ， 所以舍去C；因此选B. 点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势； ③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复． 4. 已知向量，满足，，则 A. 4 B. 3 C. 2 D. 0 【答案】B 【解析】分析：根据向量模的性质以及向量乘法得结果. 详解：因为 所以选B. 点睛：向量加减乘： 5. 双曲线的离心率为，则其渐近线方程为 A. B. C. D. 【答案】A 2014年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷） 数 学（理工类） 本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共4页。满分150分。考试时间120分钟。考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效。考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 （选择题 共50分） 注意事项： 必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。 第Ⅰ卷共10小题。 一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。 1．已知集合2 {|20}A x x x =--≤，集合B 为整数集，则A B ?= A ．{1,0,1,2}- B ．{2,1,0,1}-- C ．{0,1} D ．{1,0}- 2．在6 (1)x x +的展开式中，含3x 项的系数为 A ．30 B ．20 C ．15 D ．10 3．为了得到函数sin(21)y x =+的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点 A ．向左平行移动 12个单位长度 B ．向右平行移动1 2 个单位长度 C ．向左平行移动1个单位长度 D ．向右平行移动1个单位长度 4．若0a b >>，0c d <<，则一定有 A ．a b c d > B ．a b c d < C ．a b d c > D ．a b d c < 5． 执行如图1所示的程序框图，如果输入的,x y R ∈，则输出的S 的最大值为 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 6．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有 A ．192种 B ．216种 C ．240种 D ．288种 7．平面向量(1,2)a =，(4,2)b =， c ma b =+（m R ∈），且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m = A ．2- B ．1- C ．1 D ．2 8．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为线段BD 的中点。设点P 在线段1CC 上，直线OP 与平面1A BD 所成的角为α，则sin α的取值范围是 2019年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1．已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，，则M N = A ．}{43x x -<< B ．}42{x x -<<- C ．}{22x x -<< D ．}{23x x << 2．设复数z 满足=1i z -，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则 A ．2 2 +11()x y += B ．221(1)x y +=- C ．22(1)1y x +-= D ．2 2(+1)1y x += 3．已知0.20.32 log 0.220.2a b c ===，，，则 A ．a b c << B ．a c b << C ．c a b << D ．b c a << 4．古希腊时期，≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚 ．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是 A ．165 cm B ．175 cm C ．185 cm D ．190 cm 5．函数f (x )= 2 sin cos ++x x x x 在[,]-ππ的图像大致为 A ． B ． C ． D ． 6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是 A ． 516 B ． 1132 C ． 2132 D ． 1116 7．已知非零向量a ，b 满足||2||=a b ，且()-a b ⊥b ，则a 与b 的夹角为 A ． π6 B ． π3 C ． 2π3 D ． 5π6 8．如图是求 112122 + +的程序框图，图中空白框中应填入 1978年普通高等学校招生全国统一考试 数学 （理科考生五，六两题选做一题文科考生五，六两题选做一题，不要 求做第七题） 一．（下列各题每题4分，五个题共20分） 1．分解因式：x 2-4xy+4y 2-4z 2. 解：原式=（x-2y)2-(2z)2=(x-2y-2z)(x-2y+2z) 2.已知正方形的边长为a ，求侧面积等于这个正方形的面积，高等于这个正方形边长的直圆柱体的体积 解：设底面半径为r ，则底面周长2πr=a 则.42,222 2 πππππa a a a r a r =?? ? ??=?==体积 3．求函数)2lg(x y +=的定义域 解： ∵lg(2+x)≥0,∴2+x ≥1.故x ≥-1为其定义域 4．不查表求cos800cos350+cos100cos550的值 解：原式=sin100cos350+cos100sin350=sin(100+350)=sin450= 2 2 5.化简： 二 .（本题满分14分） 已知方程kx 2+y 2=4，其中k 为实数对于不同范围的k 值，分别指 出方程所代表图形的内形，并画出显示其数量特征的草图 解：1）k>0时，方程的图形是椭圆，中心在坐标原点，此时又可分为：①k>1时,长轴在y 轴上，半长轴=2，半短轴= k 2; .254:.)()1.0()4(41 2 12 14323 12 1b b a ab = ??? ? ??----原式解 ②k=1时,为半径r=2的圆; ③k<1时,长轴在x 轴上，半长轴= k 2，半短轴=2 如图： 2)k=0时，方程为y 2=4图形是两条平行于x 轴的直线2±=y 如图 3）k<0时，方程为 这时图形是双曲线，中心在坐标原点，实轴在y 轴上如图： 三．（本题满分14分） （如图）AB 是半圆的直径，C 是半圆上一点，直线MN 切半圆于C 点，AM ⊥MN 于M 点，BN ⊥MN 于N 点，CD ⊥AB 于D 点， 求证：1)CD=CM=CN. 2)CD 2=AM ·BN Y Y Y k=2 A k=1 (0,2) k=1/4 O A X O B X O X Y Y y=2 k=-4 A O O X B X y=-2 1 442 2=+-y k x 2018年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 数学Ⅰ 1．已知集合{0,1,2,8}A =，{1,1,6,8}B =-，那么A B =I ▲ ． 2．若复数z 满足i 12i z ?=+，其中i 是虚数单位，则z 的实部为 ▲ ． 3．已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为 ▲ ． 4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为 ▲ ． 5．函数2 ()log 1f x x =-的定义域为 ▲ ． 6．某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为 ▲ ． 7．已知函数sin(2)()22y x ??ππ=+-<<的图象关于直线3x π=对称，则?的值是 ▲ ． 8．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点(c,0)F 到一条渐近线的距离为3，则其离心率的值是 ▲ ． 9．函数()f x 满足(4)()()f x f x x +=∈R ，且在区间(2,2]-上， cos ,02,2()1 ||,20,2x x f x x x π?成立的n 的最小值为 ▲ ． 15．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1111,AA AB AB B C =⊥． 求证：（1）11AB A B C 平面∥； （2）111ABB A A BC ⊥平面平面． 16．已知,αβ为锐角，4tan 3α=，5cos()5αβ+=-． （1）求cos2α的值； 2014年普通高等学校招生全国统一考试理科（四川卷） 参考答案 第I 卷（选择题 共50分） 一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。 1．已知集合2 {|20}A x x x =--≤，集合B 为整数集，则A B ?= A ．{1,0,1,2}- B ．{2,1,0,1}-- C ．{0,1} D ．{1,0}- 【答案】A 2．在6 (1)x x +的展开式中，含3x 项的系数为 A ．30 B ．20 C ．15 D ．10 【答案】C 3．为了得到函数sin(21)y x =+的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点 A ．向左平行移动 12个单位长度 B ．向右平行移动1 2 个单位长度 C ．向左平行移动1个单位长度 D ．向右平行移动1个单位长度 【答案】A 4．若0a b >>，0c d <<，则一定有 A ．a b c d > B ．a b c d < C ． a b d c > D ．a b d c < 【答案】D 5．执行如图1所示的程序框图，如果输入的,x y R ∈，则输出的S 的最大值为 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】C 6．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有 A ．192种 B ．216种 C ．240种 D ．288种 【答案】B 7．平面向量a=(1,2)， b=(4,2), c=ma+b （m R ∈），且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m = A ．2- B ．1- C ．1 D ．2 2013----2017年高考全国卷2、3试卷分析从2012年云南进入新课标高考至今，已有六年时间，数学因为容易拉分，加上难度变幻不定，可以说是我省考生最为害怕的一个学科，第一天下午开考的数学考得如何直接决定着考生第二天的考试情绪。近5年全国卷数学试题从试卷的结构和试卷的难度上逐渐趋于平稳，稳中有新，难度都属于较为稳定的状态。选择、填空题会以基础题呈现，属于中等难度。选择题在前六题的位置，填空题在前二题的位置;解答题属于中等难度，且基本定位在前三题和最后一题的位置。 一、近五年高考数学考点分布统计表： 从近五年数学试题知识点分布及分值分布统计表不难看出，试题坚持对基础知识、数学思想方法进行考查，重点考查了高中数学的主体内容，兼顾考查新课标的新增内容，在此基础上，突出了对考生数学思维能力和数学应用意识的考查，体现了新课程改革的理念。具体 来说几个方面： 1．整体稳定，覆盖面广 高考数学全国卷2、3全面考查了新课标考试说明中各部分的内容，可以说教材中各章的内容都有所涉及，如复数、旋转体、简易逻辑、概率等教学课时较少的内容，在试卷中也都有所考查。有些内容这几年轮换考查，如统计图、线性回归、直线与圆、线性规划，理科的计数原理、二项式定理、正态分布、条件概率等。 2．重视基础，难度适中 试题以考查高中基础知识为主线，在基础中考查能力。理科前8道选择题都是考查基本概念和公式的题型，相当于课本习题的变式题型。填空题前三题的难度相对较低，均属常规题型。解答题的前三道题分别考查解三角形，分布列、数学期望，空间线面位置关系等基础知识，利用空间直角坐标系求二面角，属中低档难度题。 4．全面考查新增内容，体现新课改理念 如定积分、函数的零点、三视图、算法框图、直方图与茎叶图、条件概率、几何概型、全称命题与特称命题等。 5．突出通性通法、理性思维和思想方法的考查 数学思想方法是对数学知识的最高层次的概括与提炼，是适用于中学数学全部内容的通法，是高考考查的核心。数形结合的思想、方程的思想、分类讨论的思想等在高考中每年都会考查。尤其数形结合，每年还专门有一道“新函数”的大致图象问题 6．注重数学的应用和创新 2018年高考试题分析（理科数学） 清苑一中 韩 韬 2018年全国Ⅰ卷理科数学试题，整张试卷非常注重考试内容的基础性、全面性、综合性、应用性，坚持能力立意的原则，重点考查学生的逻辑思维能力、运算求解能力以及综合运用数学知识解决问题的能力，考查考生的数学素养和探究意识。 试卷结构跟往年高考试题相似，考查了复数的运算和模（第1题），集合的补集运算（第二题），等差等比的基本量的运算，n a 与n S 的关系（第4,14题），平面向量的加减法（第6题），三视图及几何体表面两点间最小距离（第7题），直线与抛物线的位置关系（第8题），双曲线的渐近线（第11题），线性规划问题（第13题），排列组合（第15题），函数的切线（第5题），分段函数与函数零点（第9题），几何概型（第10题），正方体截面面积（第12题），三角函数的最值问题（第16题），17题平面四边形中正余弦定理的应用，18题翻折型的立体几何问题，19题直线与椭圆的位置关系，20概率统计，21题函数与导数综合题，22题坐标系与参数方程，23题不等式选讲，与其年份不同的是圆锥曲线与概率统计位置互换了一下并且没有考查算法和程序框图，二项式定理，定积分。具体来说，今年全国I 卷理科试题有如下几个特点： 一是保持稳定，注重通性通法的考查。主要体现在全面考查基础，突出考查主干，如多数试题都是以学生最熟悉的知识和问题呈现，只要对所涉及的知识和方法有最基本的认知就可作答，这类试题有利于稳定考生的心态，有利于考生正常发挥。此外，试题注重对高中所学内容考查的全面性，如集合、复数、函数、数列、平面向量、概率、线性规划、排列组合、极坐标与参数方程、不等式等内容都得到了有效的考查。在此基础上，试卷还强调对主干内容的重点考查，如在解答题中考查了函数与导数、解三角形、概率统计、立体几何、圆锥曲线等主干内容，这体现了试卷对数学知识考查的基础性、全面性和综合性。试卷在强调通性通法的同时，还坚持能力立意，试卷往往以一道题为载体，呈现给考生的是解决一类问题的通用方法。如第8、11题考查了解析几何中求交点的基本方法----联立方程组，第18题考查了证明面面垂直和求线面角的一般方法，重点考查考 2011年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷) 数 学(理工类) 本试卷分第一部分(选择题)和第二部分(非选择题)。第一部分1至2页，第二部分3至4页，共4页．考生作答时，须将答案答在答题卡上及试题卷，草稿纸上答题无效，满分150分，考试时间120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式 P(A+B) =P(A)+P(B) 2 4s R π= 如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 P(A·B)=P(A)·P(B) 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 243 v R π= 在n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径 n ()(1)(0,1,2,...)k k n k n P k C p p k n -=-= 第一部分（选择题 共60分） 注意事项： 1.选择题必须使用2B 铅笔将答案标号填涂在答题卡上对应题目标号的位置上。 2.本部分共12小题，每小题5分，共60分。 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （11四川理1）有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下： [11.5，15.5) 2 [15.5,19.5) 4 [19.5，23．5) 9 [23.5,27.5) 18 [27.5，31.5) 1l [31.5，35.5) 12 [35.5．39.5) 7 [39.5,43.5) 3 根据样本的频率分布估计，数据落在[31.5，43.5)的概率约是 (A)16 (B)13 (C)12 （D ）2 3 （11四川理2）复数1 i i -+= (A)2i - （B ）1 2 i （C ）0 （D ）2i （11四川理3）1l ，2l ，3l 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是 (A)12l l ⊥，23l l ⊥13l l ? （B ）12l l ⊥，23l l ?13l l ⊥[来源:https://www.doczj.com/doc/e414707691.html,] (C)23 3l l l ? 1l ，2l ，3l 共面 （D ）1l ，2l ，3l 共点?1l ，2l ，3l 共面 （11四川理4）如图，正六边形ABCDEF 中，BA CD EF ++= (A)0 (B)BE (C)AD (D)CF （11四川理5）函数，()f x 在点0x x =处有定义是()f x 在点0x x =处连续的 (A)充分而不必要的条件 (B)必要而不充分的条件 (C)充要条件 (D)既不充分也 不必要的条件 （11四川理6）在ABC ?中．2 2 2 sin sin sin sin sin B C B C ≤+-.则A 的取值范围是 (A)(0， 6π] (B)[ 6π，π) (c)(0，3π] (D) [ 3 π ，π) （11四川理7）已知()f x 是R 上的奇函数，且当0x >时，1 ()()12 x f x =+，则()f x 的反函数的图像大致是 （11四川理8）数列{}n a 的首项为3，{}n b 为等差数列且1(*)n n n b a a n N +=-∈ .若则 32b =-，1012b =，则8a = （A ）0 （B ）3 （C ）8 （D ）11 （11四川理9）某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车.某天需运往A 地至少72吨的货物，派用的每辆车虚满载且只运送一次.拍用的每吨甲型卡车虚配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车虚配1名工人，运送一次可得利润350元.该公司合理计划党团派用两类卡车的车辆数，可得最大利润 （A ）4650元 （B ）4700元 （C ）4900元 （D ）5000元 （11四川理10）在抛物线25(0)y x ax a =+-≠上取横坐标为14x =-，22x =的两点，过这两 点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆225536x y +=相切，则抛物线顶点的坐标为 （A ）(2,9)-- （B ）(0,5)- （C ）(2,9)- （D ）(1,6)- （11四川理11）已知定义在[)0,+∞上的函数()f x 满足()3(2)f x f x =+，当[)0,2x ∈时， 2()2f x x x =-+.设()f x 在[)22,2n n -上的最大值为(*)n a n N ∈，且{}n a 的前n 项和为 n S ，则lim n n S →∞ = （A ）3 （B ） 52 （C ）2 （D ）32 （11四川理12）在集合{}1,2,3,4,5中任取一个偶数a 和一个奇数b 构成以原点为起点的向量(,)a b α=.从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形.记所有 作成的平行四边形的个数为n ，其中面积不超过．．． 4的平行四边形的个数为m ，则m n = 绝密★启用前 2018年普通高等学校招生全国统一考试 (新课标Ⅰ卷) 理科数学 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．设，则（ ） A ．0 B ． C ． D ． 2．已知集合，则 （ ） A ． B ． C ． D ． 3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图： 此卷 只装 订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 则下面结论中不正确的是（） A．新农村建设后，种植收入减少 B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4．记为等差数列的前项和．若，，则（）A．B．C．D．12 5．设函数．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为（） A．B．C．D． 6．在中，为边上的中线，为的中点，则（） A．B． C．D． 7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图所示，圆柱表面上的点在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为， 则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为（） A．B．C．D．2 8．设抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与交于，两点，则（） A．5 B．6 C．7 D．8 9．已知函数，，若存在2个零点，则的取值范围是（） A．B．C．D． 10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边，直角边，，的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ，在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ， 绝密★启用前 2017年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷5页，23小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。 用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1．已知集合{}|1{|31}x A x x B x =<=<，，则 A ．{|0}A B x x =< B ．A B =R C ．{|1}A B x x => D ．A B =? 2．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A ． 1 4 B ． 8π C ．12 D ． 4 π 3．设有下面四个命题 1p ：若复数z 满足1 z ∈R ，则z ∈R ； 2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ； 3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =； 4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R . 其中的真命题为 A ．13,p p B ．14,p p C ．23,p p D ．24,p p xx2020高考理科数学试题评析 xx2018高考理科数学试题评析 2018年全国I卷理科数学试题，注重考试内容的基础性、全面性、综合性、应用性，坚持能力立意的原则，重点考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力以及综合运用数学知识解决问题的能力，考查考生的数学素养和探究意识。 具体来说，今年全国I卷理科试题有如下几个特点： 一是保持安定，主要体现在全面考查基础，突出考查主干，如多数试题都是以学生最熟悉的知识和问题呈现，只要对所涉及的知识和方法有基本的认知就可正确作答，这类试题有利于安定考生的心态，有利于考生正常发挥。此外，试题注重对高中所学内容的全面考查，如集合、复数、函数、数列、线性规划、平面向量、计数原理、极坐标与参数方程、不等式等内容都得到了有用的考查。在此基础上，试卷还强调对主干内容的重点考查，如在解答题中考查了函数与导数、解三角形、概率统计、立体几何、圆锥曲线等主干内容，这体现了试卷对数学知识考查的基础性、全面性和综合性。 试卷在强调通性通法的同时，还坚持能力立意，试卷往往以一道题为载体，呈现给考生的是解决一类问题的通用方法。如第18题考查了证明面面垂直和求线面角的大凡方法，重点考查考生的逻辑推理和空间想象能力;第19题考查了解决圆锥曲线定值问题的大凡方法，重点考查考生的运算求解能力;特别是第21题考查了化归与转化的思想方法，揭示了如何构造辅助函数证明不等式的方法，重点考查考生分析问题和解决问题的能力。 二是坚持创新，主要体现在注重题型设计创新，综合考查数学素养，试题设问新奇。如第10题以古希腊数学家研究的几何图形为情境，设计了一个几何概型及几何概率计算的问题;第16题关于三角函数的最值问题，体现导数工具在研究函数最值问题中的大凡性应用;第20题将函数与概率综合，设问新奇，体现了考生运用数学知识解决数学问题的能力和素养。 三是注重应用，试题贴近生产生活实际，体现数学应用价值。如第3题以新农村建设为背景，试题情境丰盛，贴近生活，具有深刻的时代气息，设计的 1/ 2 B C 2014年普通高等学校招生全国统一考试理科（四川卷） 参考答案 一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有 一个是符合题目要求的。 1．已知集合2 {|20} A x x x =--≤，集合B为整数集，则A B ?= A．{1,0,1,2} -B．{2,1,0,1} --C．{0,1}D．{1,0} - 2．在6 (1) x x +的展开式中，含3x项的系数为 A．30B．20C．15D．10 3．为了得到函数sin(21) y x =+的图象，只需把函数sin2 y x =的图象上 所有的点 A．向左平行移动 1 2 个单位长度B．向右平行移动 1 2 个单位长度 C．向左平行移动1个单位长度D．向右平行移动1个单位长度 4．若0 a b >>，0 c d <<，则一定有 A． a b c d >B． a b c d 绝密★启用前 2020年普通高等学校招生全国统一考试(全国Ⅰ卷) 理科数学(必修+选修II) 参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式 ()()()P A B P A P B +=+ 24S R π= 如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B = 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 33 4 V R π= n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径 ()(1)(0,1,2,)k k n k n n P k C p p k n -=-=… 一、选择题 (1)复数 3223i i +=- (A)i (B)i - (C)12-13i (D) 12+13i (2)记cos(80)k -?=,那么tan100?= A.21k k - B. -21k k - C. 21k k - D. -21k k - (3)若变量,x y 满足约束条件1, 0,20,y x y x y ≤?? +≥??--≤? 则2z x y =-的最大值为 (A)4 (B)3 (C)2 (D)1 （4）已知各项均为正数的等比数列{n a }，123a a a =5，789a a a =10，则 456a a a = (A) 52 (B) 7 (C) 6 (D) 42 (5)35 3(12)(1)x x +-的展开式中x 的系数是 (A) -4 (B) -2 (C) 2 (D) 4 (6)某校开设A 类选修课3门，B 类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 (A) 30种 (B)35种 (C)42种 (D)48种 （7）正方体ABCD-1111A B C D 中，B 1B 与平面AC 1D 所成角的余弦值为 A 23 B 33 C 23 D 63 （8）设a=3log 2,b=In2,c=1 2 5 -,则 A a 2017年普通高等学校招生全国统一考试（卷） 数学I 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． （1）【2017年，1，5分】已知集合}2{1A =，，23{},B a a =+．若{}1A B =I ，则实数a 的值为_______． 【答案】1 【解析】∵集合}2{1A =，，23{},B a a =+．{}1A B =I ，∴1a =或231a +=，解得1a =． 【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义及性质的合理运用． （2）【2017年，2，5分】已知复数()()1i 12i z =-+，其中i 是虚数单位，则z 的模是_______． 【答案】10 【解析】复数()()1i 12i 123i 13i z =-+=-+=-+，∴() 2 21310z = -+=． 【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． （3）【2017年，3，5分】某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100 件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取_______件． 【答案】18 【解析】产品总数为2004003001001000+++=件，而抽取60辆进行检验，抽样比例为606 1000100 = ，则应从丙 种型号的产品中抽取6 30018100 ?=件． 【点评】本题的考点是分层抽样．分层抽样即要抽样时保证样本的结构和总体的结构保持一致，按照一定的比例， 即样本容量和总体容量的比值，在各层中进行抽取． （4）【2017年，4，5分】如图是一个算法流程图：若输入x 的值为1 16 ，则输出y 的值是_______． 【答案】2- 【解析】初始值116 x =，不满足1x ≥，所以41 216 222log 2log 2y =+=-=-． 【点评】本题考查程序框图，模拟程序是解决此类问题的常用方法，注意解题方法的积累，属于 基础题． （5）【2017年，5，5分】若1tan 46πα? ?-= ?? ?．则tan α=_______． 【答案】7 5 【解析】tan tan tan 114tan 4tan 161tan tan 4 π απααπαα--??-= == ?+? ?+Q ，∴6tan 6tan 1αα-=+，解得7tan 5α=． 【点评】本题考查了两角差的正切公式，属于基础题． （6）【2017年，6，5分】如如图，在圆柱12O O 有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相 切。记圆柱12O O 的体积为1V ，球O 的体积为2V ，则12 V V 的值是________． 【答案】3 2 【解析】设球的半径为R ，则球的体积为：3 43 R π，圆柱的体积为：2322R R R ππ?=．则313223423 V R R V ππ==． 【点评】本题考查球的体积以及圆柱的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力． （7）【2017年，7，5分】记函数2()6f x x x =+- 的定义域为D ．在区间[45]-，上随机取一个数x ，则x ∈D2014年四川省高考数学试题(卷)(文科)答案与解析
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