等差数列知识点总结-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
等差数列
1. 定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。
用递推公式表示为d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）；
2．等差数列通项公式：
（1）*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈（首项:1a ，公差:d ，末项:n a ）
（2）d m n a a m n )(-+=． 从而m n a a d m n --=
； 3．等差中项
（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2b
a A +=或
b a A +=2
（2）等差中项：数列{}n a 是等差数列
)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a
4．等差数列的前n 项和公式：1()2
n n n a a s += 1(1)2n n na d -=+ 211()22
d n a d n =+- 2An Bn =+
（其中A 、B 是常数） （当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0）
5．等差数列的证明方法
（1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差数列．
（2） 等差中项：数列{}n a 是等差数列
)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a ．
（3）数列{}n a 是等差数列?b kn a n +=（其中b k ,是常数）。
（4）数列{}n a 是等差数列?2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。 注：（1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…，2,,,,2a d a d a a d a d --++…（公差为d ）；偶数个数成等差，可设为…，3,,,3a d a d a d a d --++,…（公差为2d ）
7.等差数列的性质：
（1）当公差0d ≠时，等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n
的一次函数，且斜率为公差d ；前n 和
211(1)()222
n n n d d S na d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数且常数项为0. （2）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。
（3）当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=.
注： =+=+=+--23121n n n
a a a a a a ，图示：
n n a a n a a n n a a a a a a ++---112,,,,,,12321 (4) 若{n a }是等差数列，则232,,n n n n n S S S S S -- ，…也成等差数列
图示：
m m
m m m m S S S m m S S m m S m a a a a a a a a 323231221321-+-+++++++++++ （5）若等差数列{}n a 、{}n b 的前n 和分别为n A 、n B ，且
()n n
A f n
B =，则2121(21)(21)(21)n n n n n n a n a A f n b n b B ---===--. （6）若{}n a 、{}n b 为等差数列，则{}n n a b ±为等差数列
练习：
1.等差数列}{n a 中，33,1112==S a ，求}{n a 的通项公式。
2.等差数列}{n a 前n 项和记为n S ，已知3010=a ，.5020=a
（1）求通项n a ；（2）若242=n S ，求.n
3.若69121520a a a a +++=求20S
4.一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是多少？