加法原理与乘法原理
1．一个礼堂有4个门，若从一个门进，从任一门出，共有不同走法( ) A．8种B．12种C．16种D．24种答案 C
2．从集合A＝{0,1,2,3,4}中任取三个数作为二次函数y＝ax2＋bx＋c的系数a，b，c.则可构成不同的二次函数的个数是( )
A．48 B．59 C．60 D．100 答案 A
3．某电话局的电话号码为168～×××××，若后面的五位数字是由6或8组成的，则这样的电话号码一共有( )
A．20个B．25个C．32个D．60个答案 C
4．在2、3、5、7、11这五个数字中，任取两个数字组成分数，其中假分数的个数为( )
A．20 B．10 C．5 D．24 答案 B
5．将5名大学毕业生全部分配给3所不同的学校，不同的分配方式的种数有( )
A．8种B．15种C．125种D．243种答案 D
6．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有( ) A．24种B．18种C．12种D．6种答案 B
7．已知异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则经过这13个点可以确
定不同的平面个数为( )
A．40 B．13 C．10 D．16 答案 B
8．书架上原来并排放着5本不同的书，现要再插入3本不同的书，那么不同的插法共有( )
A．336种B．120种C．24种D．18种答案 A
9．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有( )
A．10种B．20种C．25种D．32种答案 D
10．有5个不同的棱柱、3个不同的棱锥、4个不同的圆台、2个不同的球，若从中取出2个几何体，使多面体和旋转体各一个，则不同的取法种数是( ) A．14 B．23 C．48 D．120 答案 C
11．甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有( )
A．6种B．12种C．24种D．30种答案 C
12．从数字1,2,3,4,5,6中取两个数相加，其和是偶数，共得________个偶数．
答案 4
13．从正方体的6个表面中取3个面，使其中两个面没有公共点，则共有________种不同的取法．
答案12
14．动物园的一个大笼子里，有4只老虎，3只羊，同一只羊不能被不同的老虎分食，问老虎将羊吃光的情况有多少种？
15．用五种不同的颜色给图中的四个区域涂色，每个区域涂一种颜色．
(1)共有多少种不同的涂色方法？
(2)若要求相邻(有公共边)的区域不同色，则共有多少种不同的涂色方法？
解析(1)由于1至4号区域各有5种不同的涂法，故依分步乘法计数原理知，不同的涂色方法有54＝625种．
(2)第一类，1号区域与3号区域同色时，有5×4×4＝80种涂法，第二类，1号区域与3号区域异色时，有5×4×3×3＝180种涂法．依据分类加法计数原理知，不同的涂色方法有80＋180＝260(种)．
16．用0,1，…，9这十个数字，可以组成多少个．
(1)三位整数？
(2)无重复数字的三位整数？
(3)小于500的无重复数字的三位整数？
(4)小于500，且末位数字是8或9的无重复数字的三位整数？
(5)小于100的无重复数字的自然数？
解析由于0不可在最高位，因此应对它进行单独考虑．
(1)百位的数字有9种选择，十位和个位的数字都各有10种选择，由分步乘
法计数原理知，符合题意的三位数共有9×10×10＝900(个)．
(2)由于数字不可重复，可知百位数字有9种选择，十位数字也有9种选择，但个位数字仅有8种选择，由分步乘法计数原理知，符合题意的三位数共有9×9×8＝648(个)．
(3)百位数字只有4种选择，十位数字可有9种选择，个位数字有8种选择，由分步乘法计数原理知，符合题意的三位数共有4×9×8＝288(个)．
(4)百位数字只有4种选择，个位数字只有2种选择，十位数字可有8种选择，由分步乘法计数原理知，符合题意的三位数共有4×2×8＝64(个)．
(5)小于100的自然数可以分为一位和两位自然数两类．
一位自然数：10个．
两位自然数：十位数字有9种选择，个位数字也有9种选择，由分步乘法计数原理知，符合题意的两位数共有9×9＝81(个)．
由分类加法计数原理知，符合题意的自然数共有10＋81＝91(个)．
17．已知集合M＝{1，－2,3}，N＝{－4,5,6，－7}，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则在直角坐标系第一、第二象限中的不同点的个数有( )
A．18个B．16个C．14个D．10个答案 C
18．如图，某电子器件是由三个电阻组成的回路，其中共有6个焊接点A、B、C、D、E、F，如果某个焊接点脱落，整个电路就会不通，现在电路不通了，那么焊接点脱落可能性共有( )
A ．6种
B ．36种
C ．63种
D ．64种 答案 C
19．已知互不相同的集合A 、B 满足A ∪B ＝{a ，b }，
则符合条件的A ，B 的组数共有________种． 答案 9
20．已知a ，b ∈{0,1,2，…，9}，若满足|a －b |≤1，则称a ，b “心有灵犀”．则a ，b “心有灵犀”的情形共有( )
A ．9种
B ．16种
C ．20种
D ．28种 答案 D
21．(2012·广东)从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是( )
A.49
B.13
C.29
D.19
答案 D 22．把10个苹果分成三堆，要求每堆至少有1个，最多5个，则不同的分法共有( )
A ．4种
B ．5种
C ．6种
D ．7种 答案 A
23．从集合{1,2,3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为( )
A ．3
B ．4
C ．6
D ．8 答案 D
24．若5名学生争夺3项比赛冠军(每一名学生参赛项目不限)，则冠军获得者有________种不同情况(没有并列冠军)? 答案 53
25．有1元、2元、5元、10元、50元、100元人民币各一张，则由这6
张人民币可组成________种不同的币值． 答案 63
26．三边长均为整数，且最大边长为11的三角形共有________个．答案 36
27．设椭圆x 2m ＋y 2n
＝1的焦点在y 轴上，m ∈{1,2,3,4,5}，
n ∈{1,2,3,4,5,6,7}，则这样的椭圆个数为
________． 答案 20
28.如图所示，在连接正八边形的三个顶点而成的三
角形中与正八边形有公共边的三角形有________
个． 答案 40
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教师姓名 学科 数学 上课时间 年 月 日 --- 学生姓名 年级 课题名称 加法原理和乘法原理 教学目标 1、理解加法原理和乘法原理；2、解决具体的加乘原理的题目 教学重点 加法原理和乘法原理 教学过程 加法原理和乘法原理 知识要点一：加法原理——分类计数原理 【知识导入1】 我们先来看这样一些问题： 问题1：从西安到北京，每天有3个航班的飞机，有4个班次的火车，有两个班次的汽车.那么，乘坐以上工具从西安到北京，在一天中一共有多少种选择呢？ 问题2：用一个大写英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能编出多少种不同的号码？ 问题3：一个学生从3本不同的物理资料、4本不同的英语资料、6本不同的课外书中任取一本来学习，不同的选法有多少种？ 【提炼特点】 （1）完成一件事有若干种方法，这些方法可以分成n 类； （2）每一类中的每一种方法都可以完成这件事； （3）把各类的方法数相加，就可以得到完成这件事的所有方法数。 【抽象概况】 分类加法计数原理：完成一件事情，可以有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有 2m 种不同的方法……在第n 类办法中有n m 种不同的方法.那么完成这件事共有 n m m m N +???++=21 种不同的方法. 注意：○ 1 这个原理也称为“加法原理”； ○ 2 分类加法计数原理针对的是“分类”问题，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事.
【例1】用1角、2角和5角的三种人民币（每种的张数没有限制）组成1元钱，有多少种方法？ 【解析】运用加法原理，把组成方法分成三大类： ①只取一种人民币组成1元，有3种方法：10张1角；5张2角；2张5角。 ②取两种人民币组成1元，有5种方法：1张5角和5张1角；一张2角和8张1角；2张2角和6张1角；3张2角和4张1角；4张2角和2张1角。 ③取三种人民币组成1元，有2种方法：1张5角、1张2角和3张1角的；1张5角、2张2角和1张1角的。 所以共有组成方法：3+5+2=10（种）。 举一反三 1、书架上有10本故事书，3本历史书，12本科普读物。志远任意从书架上取一本书，有多少种不同的取法？ 2、一列火车从上海到南京，中途要经过6个站，这列火车要准备多少中不同的车票？ 3、已知往返于甲、乙两地的火车中途要停靠四个站，问：要有多少种不同车票票价（来回票价一样）？需准备多少种车票？ 4、各数位的数字之和是24的三位数共有多少个？
第十一讲 乘法原理与加法原理 知识提要 理解和初步掌握：加法原理、乘法原理、排列和组合的概念及计算方法。 加法原理： m 1＋m 2＋……＋。 乘法原理： m 1×m 2×……×。 经典例题 例1 小刚从家到学校要经过一座桥，从家到桥时有3条路可以走，过了桥再到学校时有4 条路可以走（如下图）。小刚从家到学校一共可以有多少种不同的走法？ 分析与解： 把从小刚家到学校的路分为两步。 第一步从家到桥，第二步从桥到学校。 这两步中每一步都不能单独走完从家到学校的路，只有两步合在一起，才能完成。 从图中看出从家到学校共有 12种不同的走法： 根据此题，得出如下结论： 乘法原理 要完成一项任务，由几个步骤实现，第一步有m 1种不同的方法；第二步有m 2种不同的方法；……第n 步有种不同的方法；那么要完成任务共有： m 1×m 2×……×。 例2 有四张数字卡片， 用这四张数字卡片组成三位数，可以组成多少个？ 分析与解： 用卡片组成三位数要分成三步，第一步选取百位上的数字，可以有4种选择；第二步选取十位上的数字，可以有3种选择；第三步选取个位上的数字，可以有2种选择。所以可以组成不同的三位数共有： 4×3×2=24（个） 例3：由数字1、2、3、4、5、6可以组成多少个没有重复数字的四位奇数？ 分析与解：要求奇数，所以个位数字只能取1、3、5中的一个，有3种取法；十位数字可以从余下的五个数字中任取一个，有5种不同取法；百位数字还有4种取法；千位数字只有3种取法。由乘法原理，共可组成： 3×5×4×3＝180（个）没有重复数字的四位奇数。 例4：下图为4×4的棋盘，要把A 、B 、C 、D 四个不同的棋子放在棋盘的方格中，并使每行
加法原理与乘法原理 教学内容: 思维训练内容《加法原理与乘法原理》。 教学目标： （1）知识教学目标：理解和掌握加法原理和乘法原理。 （2）能力训练目标：通过分析、探究将现实情景问题转化为加法原理与乘法原理的数学问题来解决。 （3）情感、态度、价值观目标：通过对问题的解决激发学生的学习兴趣，感受数学与生活的密切联系 教学过程： （一）加法原理 如果完成某件事共有几类不同的方法，而每类方法中，又有几种不同的方法，任选一种方法都可以完成此事，那么完成这件事的方法总数就等于各种方法的总和，这一原理称为加法原理。 例：从甲地到乙地，一天中火车有4班，汽车有2班，轮船有3班，那么，一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地，共有多少种不同的走法？ 解析：把乘坐不同班次的车、船称为不同的走法。要完成从甲地到乙地这件事，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船，一天中，乘火车有4种走法，乘汽车有2种走法，乘轮船有3种走法。而乘坐火车、汽车、轮船中的任何一班次，都可以从甲地到乙地，符合加法原理。所以从甲地到乙地的总的走法=乘火车的4种走法+乘汽车的2种走法+乘轮船的3种走法=9种不同的走法 （二）乘法原理 如果做某件事，需要分几个步骤才能完成，而每个步骤又有几种不同的方法，任选一种方法都不能完成这件事，那么完成这件事的方法总数，就等于完成各步骤方法的乘积。 例：用1、2、3、4这四个数字可以组成多少个不同的三位数？ 解析：要完成组成一个三位数这件事，要分三个步骤做，首先选百位上的数，再选十位上的数，最后选个位上的数。 选百位上的数这一步骤中，可选1、2、3、4任何一个，共4种方法 选十位上的数这一步骤中，可选除百位上已选好那个数字之外的三个数字，共3种方法 选个位上的数这一步骤中，可选除百、十位上已选好的两个数字之外的另两个数字，共2种方法 单独挑上面的任何一步中的任何一种方法，都不能组成一个三位数，符合乘法原理所以，可以组成：4×3×2=24（个）不同的三位数 二、加法原理和乘法原理的区别 什么时候使用加法原理，什么时候使用乘法原理，最关键是要把握住加法原理与乘法原理的区别。从上面两个例子我们容易发现，加法原理与乘法原理最大的区别就是：如果完成一件事有几类方法，不论哪一类方法，都能完成这件事时，运用加法原理，简称为“分类-----加法”；如果完成一件事要分几个步骤，而无论哪一个步骤，都只是完成这件事的一部分，只有每一步都完成了，这件事才得以完成，这里运用乘法原理，简称为“分步----乘法”。 三、加乘法原理的综合应用 有时候，做某件事有几类方法，而每一类方法又要分几个步骤完成。在计算做这件事的方法时，既要用到加法原理，也要用到乘法原理，这就是加乘法原理的综合应用。 例：从甲地到乙地有4条路可走，从乙地到丙地有2条路可走，从甲地到丙地有3
排列组合问题之—加法原理和乘法原理 华图教育梁维维 加法原理和乘法原理是排列组合问题的基本思想，绝大多数的排列组合问题都会应用到这两个原理，所以对加法、乘法原理广大考生要充分的了解和掌握。 1.加法原理 加法原理：做一件事情，完成它有N类方式，第一类方式有M1种方法，第二类方式有M2种方法，……，第N类方式有M(N)种方法，那么完成这件事情共有M1+M2+……+M(N)种方法。 例如：从长春到济南有乘火车、飞机、轮船3种交通方式可供选择，而火车、飞机、轮船分别有k1，k2，k3个班次，那么从武汉到上海共有N=k1+k2+k3种方式可以到达。加法原理指的是如果一件事情是分类完成的，那么总的情况数等于每类情况数的总和，比如如下的题目：【例1】利用数字1，2，3，4，5共可组成 ⑴多少个数字不重复的三位数？ ⑵多少个数字不重复的三位偶数？ 【解析】⑴百位数有5种选择；十位数不同于百位数有4种选择；个位数不同于百位数和十位数有3种选择．所以共有5×4×3=60个数字不重复的三位数。 【解析】⑵先选个位数，共有两种选择：2或4．在个位数选定后，十位数还有4种选择；百位数有3种选择．所以共有2×4×3=24个数字不重复的三位偶数。 在公务员考试当中，排列组合也是考察比较多的一个问题，国考和联考当中也对加法原理做了考察。例如如下的两道题： 【例2】某班同学要订A、B、C、D四种学习报，每人至少订一种，最多订四种，那么每个同学有多少种不同的订报方式?( ) A.7种 B.12种 C.15种 D.21种 【解析】不同的订报方式对于同学可以选择订一种、两种、三种、四种这样四类，第一类，选择一种有4种订报方式，第二类选订两种有6种订报方式，第三类选定三种有4种订报方式，第四类四种都订有1种订报方式。所以每个同学有4+6+4+1=15种订报方式。
加法原理和乘法原理的应用 【教学目标】 1．进一步理解两个基本原理． 2．会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题 【教学重点】两个基本原理的进一步理解和体会． 【教学难点】正确判断是分类还是分步，分类计数原理的分类标准及其多样性． 【教学过程】 一、复习引入： 1．分类计数原理： 2．分步计数原理： 3．原理浅释 分类计数原理(加法原理)中，“完成一件事，有n类办法”，是说每种办法“互斥”，即每种方法都可以独立地完成这件事，同时他们之间没有重复也没有遗漏．进行分类时，要求各类办法彼此之间是相互排斥的，不论那一类办法中的哪一种方法，都能独立完成这件事．只有满足这个条件，才能直接用加法原理，否则不可以． 分步计数原理(乘法原理)中，“完成一件事，需要分成n个步骤”，是说每个步骤都不足以完成这件事，这些步骤，彼此间也不能有重复和遗漏． 如果完成一件事需要分成几个步骤，各步骤都不可缺少，需要依次完成所有步骤才能完成这件事，而各步要求相互独立，即相对于前一步的每一种方法，下一步都有m种不同的方法，那么完成这件事的方法数就可以直接用乘法原理． 可以看出“分”是它们共同的特征，但是，分法却大不相同． 这种变形还提醒人们，分类和分步，常是在一定的限制之下人为的，因此，在这里我们大有用武之地：可以根据解题需要合理、灵活而巧妙地分类或分步． 强调知识的综合是近年的一种可取的现象．两个原理，可以与物理中电路的串联、并联类比． 两个基本原理的作用：计算做一件事完成它的所有不同的方法种数 两个基本原理的区别：一个与分类有关，一个与分步有关；加法原理是“分类完成”，乘法原理是“分步完成” 二、范例分析： 例1．在1～20共20个整数中取两个数相加，使其和为偶数的不同取法共有多少种? 解：取b b+是同一种取法．分类标准为两加数的奇偶性，第一类，偶偶相加，a+与取a 由分步计数原理得(10×9)/2=45种取法，第二类，奇奇相加，也有(10×9)/2=45种取法．根据分类计数原理共有45+45=90种不同取法． 例2．在1～20共20个整数中取两个数相加，使其和大于20的不同取法共有多少种? 解：分类标准一：固定小加数．小加数为1时，大加数只有20这1种取法;小加数为2时，大加数有19或20两种取法;小加数为3时，大加数为18，19或20共3种取法…小加数为10时，大加数为11，12，…，20共10种取法;小加数为11时，大加数有9种取法…小加数取19时，大加数有1种取法．由分类计数原理，得不同取法共有1+2+…+9+10+9+…+2+1=100种． 分类标准二：固定和的值．有和为21，22，…，39这几类，依次有取法10，9，9，8，
第一讲加法原理和乘法原理（练习题） 1. 从武汉到上海，可以乘飞机·火车·轮船和汽车。一天中飞机有两班，火车有4班，轮船有2班，汽车有3班。那么一天从武汉到上海，一共有多少种不同的走法？ 2. 商店有铅笔5种，钢笔6种，圆珠笔3种。小红要从中任选一种，一共有多少种不同的选法？ 3. 4个好朋友在旅游景点拍照留念（不考虑站的顺序），共有多少种不同的照法？ 4. 有0、2、3三个不同的数字组成不同的三位数，一共可以组成多少种不同的三位数？ 5. 一列火车从甲地到乙地中途要经过5个站，这列火车从甲地到乙地共要准备多少种不同的车票？ 6. 五个人进行下棋比赛，每两个人之间都要赛一场，一共要赛多少场？ 7. 在5×5的方格中（如右图），共有多少个正方形？
8. 书架上有8本故事书和6本童话书，王刚要从书架上去一本故事书和一本童话书，一共有多少种不同的取法？ 9. 服装店里有5件不同的儿童上衣、4条不同的裙子。妈妈为小红买了一件上衣和一条裙子配成一套，一共有多少种不同的选法？ 10. 从1、3、5、7这四个数中每次取出两个数分别作为一个分数的分母和分子，一共可以组成多少个不同的分数？其中有多少个真分数？ 11．用1、2、3、4这四个数字可以组成多少个不同的三位数？ 12．（如图所示）：A、B、C、D四个区域分别用红、黄、蓝、绿四种颜色中的某一种涂色。如果要求相邻的区域涂不同的颜色，共有多少种不同的涂色方法？ 13. 从4名男生和2名女生中选出班干部3名，其中至少要有一名女生，一共有多少种不同的选法？ 14. 有红、黄、蓝、白四种颜色的旗各一面，从中选一面、两面、三面或者四面旗从上到下挂在旗杆上表示不同的信号（顺序不同时，表示的信号也不同），一共可以表示多少种不同的信号？
乘法原理与加法原理 在日常生活中常常会遇到这样一些问题，就是在做一件事时，要分几步才能完成，而在完成每一步时，又有几种不同的方法，要知道完成这件事一共有多少种方法，就用我们将讨论的乘法原理来解决． 例如某人要从北京到大连拿一份资料，之后再到天津开会．其中，他从北京到大连可以乘长途汽车、火车或飞机，而他从大连到天津却只想乘船．那么，他从北京经大连到天津共有多少种不同的走法？ 分析这个问题发现，某人从北京到天津要分两步走．第一步是从北京到大连，可以有三种走法，即： 第二步是从大连到天津，只选择乘船这一种走法，所以他从北京到天津共有下面的三种走法： 3×1=3． 如果此人到大连后，可以乘船或飞机到天津，那么他从北京到天津则有以下的走法： 共有六种走法，注意到3×2=6． 在上面讨论问题的过程中，我们把所有可能的办法一一列举出来．这种方法叫穷举法．穷举法对于讨论方法数不太多的问题是很有效的． 在上面的例子中，完成一件事要分两个步骤．由穷举法得到的结论看到，用第一步所有的可能方法数乘以第二步所有的可能方法数，就是完成这件事所有的方法数． 一般地，如果完成一件事需要个步骤，其中，做第一步有种不同的方法，做第二步有种
不同的方法，…，做第步有种不同的方法，那么，完成这件事一共有 种不同的方法． 这就是乘法原理． 例1.某人到食堂去买饭，主食有三种，副食有五种，他主食和副食各买一种，共有多少种不同的买法？ 补充说明：由例题可以看出，乘法原理运用的范围是：①这件事要分几个彼此互不影响的独立步骤来完成；②每个步骤各有若干种不同的方法来完成．这样的问题就可以使用乘法原理解决问题．例2.右图中有7个点和十条线段，一只甲虫要从A点沿着线段爬到B点，要求任何线段和点不得重复经过．问：这只甲虫最多有几种不同的走法？ 例3.书架上有6本不同的外语书，4本不同的语文书，从中任取外语、语文书各一本，有多少种不同的取法？ 例4.王英、赵明、李刚三人约好每人报名参加学校运动会的跳远、跳高、100米跑、200米跑四项中的一项比赛，问：报名的结果会出现多少种不同的情形？ 例5.由数字0、1、2、3组成三位数，问： ①可组成多少个不相等的三位数？ ②可组成多少个没有重复数字的三位数？ 分析在确定由0、1、2、3组成的三位数的过程中，应该一位一位地去确定．所以，每个问题都可以看成是分三个步骤来完成． ①要求组成不相等的三位数．所以，数字可以重复使用，百位上，不能取0，故有3种不同的取法；十位上，可以在四个数字中任取一个，有4种不同的取法；个位上，也有4种不同的取法.
二讲加法与乘法原理 知识导航 加法原理：做一件事情，完成 ．．它有n类办法，在第一类办法中有M1种不 同的方法，在第二类办法中有m 2种不同的方法，……，在第n类办法中有m n 种不同的方法，那么完成这件事情共有m 1+m 2 +……+m n 种不同的方法。 运用加法原理计数，关键在于合理分类，不重不漏。要求每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏)。合理分类也是运用加法原理解决问题的难点，不同的问题，分类的标准往往不同，需要积累一定的解题经验。 乘法原理：完成一件工作共需N个步骤：完成第一个步骤有m 1 种方法，完 成第二个步骤有m 2种方法，…，完成第N个步骤有m n 种方法，那么，完成这件 工作共有m 1×m 2 ×…×m n 种方法。 运用乘法原理计数，关键在于合理分步。完成这件工作的N个步骤，各个步骤之间是相互联系的，任何一步的一种方法都不能完成此工作，必须连续完成这N步才能完成此工作；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此工作的方法也不同。 精典例题 例1：一个口袋内装有3个小球，另一个口袋内装有8个小球，所有这些小球颜色各不相同。问： ①从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？ ②从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？
思路点拨 ①：从两个口袋中只需取一个小球,则这个小球要么从第一个口袋中取，要么从第二个口袋中取，共有两大类方法。所以是加法原理的问题。 ②：要从两个口袋中各取一个小球，则可看成先从第一个口袋中取一个，再从第二个口袋中取一个，分两步完成，是乘法原理的问题。 模仿练习 孙老师的一个口袋内装有60个小球，另一个口袋内装有80个小球，所有这些小球颜色各不相同。问： （1）从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？ （2）从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？ 例2：一把钥匙只能开一把锁，淘气有7把钥匙和7把锁全部都搞乱了，最多要试验多少次才能全部配好锁和相应的钥匙？ 思路点拨 要求“最多”多少次配好锁和钥匙，就要从最糟糕的情况开始考虑：第1把钥匙要配到锁，最多要试6次（如果6次配对失败，第7把锁就一定是这把钥匙，不用再试）；同理，第2把钥匙最多要试5次；……第6把锁最多试1次，最好一把锁不用试。
乘法原理和加法原理 加法原理:完成一件工作有几种不同的方法，每种方法又有很多种不同的方法，而且这些方法彼此互斥，那么完成这件方法的总数就是等于各类完成这件工作的综合。这类方法称为加法原理，也叫分类计数原理。 乘法原理:如果完成一件工作需要很多步骤，每个步骤又有很多种方法，那么完成这件工作的方法就是把每一步骤中的不同方法乘起来，这类方法称为乘法原理，也叫分步计数原理。 例题: 例1. 小军、小兰和小红三个小朋友排成一排照相，有多少种不同的排法, 例2. 书架上有5本不同的科技书，6本不同的故事书，8本不同的英语书。如果从中各取 一本科技书、一本故事书、一本英语书，那么共有多少种取法, 例3.一个盒子里装有5个小球，另一个盒子里装有9个小球，所有的这些小球的颜色各不相同。 (1)从两个盒子任取一个球，有多少种不同的取法, (2)从两个盒子里各取一个球，有多少种不同的取法, 例4.四个数字3、5、6、8可以组成多个没有重复数字的四位数, 例5.用四种不同的颜色给下面的图形涂色，使相邻的长方形颜色不相同，有多少种不同的涂法, B A C D
当堂练: 1. 五一前夕，学校举行亲子活动，玲玲有红、白、黄、花四件上衣和蓝、黄、青共三种颜 色的裙子，找出来搭配着穿，一共有多少种不同的搭配方法, 2.甲、乙、丙三个组，甲组6人，乙组5人，丙组4人，如果从三组中选出一个代表，有多少种不同的选法, 3.有7、3、6三个数字卡片，能组成几个不同的三位数, 课堂作业: 1. 春节期间，有四个小朋友，如果他们互相寄一张贺卡，一共寄了多少张, 2. 有8,0,2,4,6五个数字可以组成几个不同的五位数, 3. 一个袋子里装有6个白色乒乓球，另一个袋子里装有8个黄色乒乓球。 (1).从两个袋子里任取一个乒乓球，共有多少种不同取法? (2).从两个袋子里各取一个乒乓球，有多少种不同取法, 4. 南京到上海的动车组特快列车，中途只停靠常州、无锡、苏州三个火车站， 共要准备多少种不同的车票,有多少种不同的票价,(考虑往返) 5.在A、B、C、D四个长方形区域中涂上红、黄、蓝、黑这四种颜色，使任何相邻两个长方形颜色不同，一共有多少种不同的涂法, A B C D 6.有6个不同的文具盒，4支不同的铅笔，4支不同的钢笔，2把不同的尺子。若从中各取一个，配成一套学习用具，最多可以有多少种不同的配法,
四年级数学思维训练：加法原理与乘法原 理 1、如果两个四位数的差等于8921，那么就说这两个四位数组成一个数对，问这样的数对共有多少个？ 分析：从两个极端来考虑这个问题：最大为9999-1078=8921，最小为9921-1000=8921，所以共有9999-9921+1=79个，或1078-1000+1=79个 2、一本书从第1页开始编排页码，共用数字2355个，那么这本书共有多少页？ 分析：按数位分类：一位数：1～9共用数字1*9=9个；二位数：10～99共用数字2*90=180个；
三位数：100～999共用数字3*900=2700个，所以所求页数不超过999页，三位数共有：2355-9-180=2166，2166 3=722个，所以本书有722+99=821页。 3、上、下两册书的页码共有687个数字，且上册比下册多5页，问上册有多少页？ 分析：一位数有9个数位，二位数有180个数位，所以上、下均过三位数，利用和差问题解决：和为687，差为3*5=15，大数为：（687+15）2=351个（351- 189）3=54，54+99=153页。 4、从1、2、3、4、 5、 6、 7、 8、 9、10这10个数中，任取5个数相加的和与其余5个数相加的和相乘，能得到多少个不同的乘积。 分析：从整体考虑分两组和不变：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55 从极端考虑分成最小和最大的两组为（1+2+3+4+5）+（6+7+8+9+10）=15+40=55 最接近的
两组为27+28 所以共有27-15+1=13个不同的积。 另从15到27的任意一数是可以组合的。 5、将所有自然数，自1开始依次写下去得到：12345678910111213 ，试确定第206788个位置上出现的数字。 分析：与前面的题目相似，同一个知识点：一位数9个位置，二位数180个位置，三位数2700个位置，四位数36000个位置，还剩：206788-9-180-2700-36000=167899，167899 5=33579 4 所以答案为33579+100=33679的第4个数字7. 6、用1分、2分、5分的硬币凑成1元，共有多少种不同的凑法？ 分析：分类再相加：只有一种硬币的组合有3种方法；1分和2分的组合：其中2分的从1枚到49枚均可，有49种方法；1分和5
第20讲加法原理（一） 例1从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船。一天中火车有4班，汽车有3班，轮船有2班。问：一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地，共有多少种不同走法 分析与解：一天中乘坐火车有4种走法，乘坐汽车有3种走法，乘坐轮船有2种走法，所以一天中从甲地到乙地共有：4＋3＋2=9（种）不同走法。 例2旗杆上最多可以挂两面信号旗，现有红色、蓝色和黄色的信号旗各一面，如果用挂信号旗表示信号，最多能表示出多少种不同的信号 分析与解：根据挂信号旗的面数可以将信号分为两类。第一类是只挂一面信号旗，有红、黄、蓝3种；第二类是挂两面信号旗，有红黄、红蓝、黄蓝、黄红、蓝红、蓝黄6种。所以一共可以表示出不同的信号 3＋6=9（种）。 以上两例利用的数学思想就是加法原理。 加法原理：如果完成一件任务有n类方法，在第一类方法中有m1种不同方法，在第二类方法中有m2种不同方法……在第n类方法中有m n种不同方法，那么完成这件任务共有 N=m1+m2+…+m n 种不同的方法。 乘法原理和加法原理是两个重要而常用的计数法则，在应用时一定要注意它们的区别。乘法原理是把一件事分几步完成，这几步缺一不可，所以完成任务的不同方法数等于各步方法数的乘积；加法原理是把完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，所以完成任务的不同方法数等于各类方法数之和。 例3两次掷一枚骰子，两次出现的数字之和为偶数的情况有多少种 分析与解：两次的数字之和是偶数可以分为两类，即两数都是奇数，或者两数都是偶数。 因为骰子上有三个奇数，所以两数都是奇数的有3×3=9（种）情况；同理，两数都是偶数的也有9种情况。根据加法原理，两次出现的数字之和为偶数的情况有9＋9＝18（种）。 例4用五种颜色给右图的五个区域染色，每个区域染一种颜色，相邻的区域染不同的颜色。问：共有多少种不同的染色方法
加法原理与乘法原理 例1 书架上有1 0本故事书、3本历史书、1 2本科普读物。志远任意从书架上取一本书，有多少种不同的取法？ 例2 一列火车从上海到南京，中途要经过6个站，这列火车要准备多少种不同的车票？ 例3 . 数数图中有多少正方形。 例 4 爸爸、妈妈和小明三人在公园照相，共有多少种不同的照法？ 例5 从甲地到乙地有2条路可走，从乙地到丙地有3条路可走。试问从甲地经乙地到丙地共有多少种不同的走法？ 例6 书架上有4本故事书，7本科普书，志远从书架上任 取1本故事书和1本科普书。共有多少种不同的取法？ 例7 用9、8、7、6这4个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数？这些三位数的和是多少？ 例8如图，A 、B 、C 、D 4个区域分别用红、黄、蓝、白4种颜色中的某一种染色。若要求相邻的区域染不同的颜色，那么共有多少种不同的染色方法？ 例9 如图，小明家到学校有3条东西向的马路和5条南北向的马路。他每天步行从家到学校只能向东或向南 思考与练习： 1．从甲城到乙城，可乘汽车、火车或飞机。已知一天中汽车有2班，火车有4班，飞机有3班，从甲城到乙城共有多少种不同的走法 2．书架上层放有7本不同的故事书，中层有6本不 同的科技书，下层有4本不同的历史书。如果从书架上任取一本书，有多少种不同的取法？ 3．平面上有8个点（其中没有任何三个点在一条直线上），经过每两点画一条直线，共可以画多少条直线？ 4．从2、3、5、7 、11、13这六个数中，每次取出两个数，分别作为一个分数的分子和分母，一共可以组成多少个真分数？ 5．十把钥匙开十把锁，但钥匙已经搞乱了，问：最多试多少次即可将钥匙和锁配起来？ 6.用1、2.3.4、5这五个数字可以组成多少个没有重复数字的四位数？将它们从小到大排列起来，5124是第几个？ 7．某人到食堂去买饭，主食有3种，副食有5种，他 主食和副食各买一种，共有多少种不同的买法？ 8．衣架上有2顶帽子、3件上衣、3条裤子。从中任取1顶帽子、1件上衣、1条裤子可以组成一套装束，最多可配成多少种不同的装束？ 9．甲、乙两个班级进行乒乓球比赛，每班选3人，每人都要和对方的每个选手赛一场，一共要赛多少场？ 10．从5、7、11、13这四个数中每次取2个数组成分数，一共可以组成多少个分数？
加法原理与乘法原理 1．一个礼堂有4个门，若从一个门进，从任一门出，共有不同走法( ) A．8种B．12种C．16种D．24种 2．从集合A＝{0,1,2,3,4}中任取三个数作为二次函数y＝ax2＋bx＋c的系数a，b，c.则可构成不同的二次函数的个数是( ) A．48 B．59 C．60 D．100 3．某电话局的电话号码为168～×××××，若后面的五位数字是由6或8组成的，则这样的电话号码一共有( ) A．20个B．25个C．32个D．60个 4．在2、3、5、7、11这五个数字中，任取两个数字组成分数，其中假分数的个数为( ) A．20 B．10 C．5 D．24 5．将5名大学毕业生全部分配给3所不同的学校，不同的分配方式的种数有( ) A．8种B．15种C．125种D．243种 6．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有( ) A．24种B．18种C．12种D．6种 7．已知异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则经过这13个点可以确定不同的平面个数为( ) A．40 B．13 C．10 D．16 8．书架上原来并排放着5本不同的书，现要再插入3本不同的书，那么不同的插法共有( )
A．336种B．120种C．24种D．18种 9．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有( ) A．10种B．20种C．25种D．32种 10．有5个不同的棱柱、3个不同的棱锥、4个不同的圆台、2个不同的球，若从中取出2个几何体，使多面体和旋转体各一个，则不同的取法种数是( ) A．14 B．23 C．48 D．120 11．甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有( ) A．6种B．12种C．24种D．30种 12．从数字1,2,3,4,5,6中取两个数相加，其和是偶数，共得________个偶数．13．从正方体的6个表面中取3个面，使其中两个面没有公共点，则共有________种不同的取法． 14．动物园的一个大笼子里，有4只老虎，3只羊，同一只羊不能被不同的老虎分食，问老虎将羊吃光的情况有多少种？ 15．用五种不同的颜色给图中的四个区域涂色，每个区域涂一种颜色． (1)共有多少种不同的涂色方法？ (2)若要求相邻(有公共边)的区域不同色，则共有多少种不同的涂色方法？ 16．用0,1，…，9这十个数字，可以组成多少个．Array (1)三位整数？ (2)无重复数字的三位整数？ (3)小于500的无重复数字的三位整数？ (4)小于500，且末位数字是8或9的无重复数字的三位整数？ (5)小于100的无重复数字的自然数？
第1讲 加法原理 一、学习目标 1.掌握加法原理的基本内容。 2.培养学生分类讨论问题的习惯，了解分类的主要方法和遵循的主要原则。 二、知识要点 1.加法原理的定义： 一般地，如果完成一件事有k 类方法，第一类方法中有1m 种不同做法，第二类方法中有2m 种不同做法，…，第k 类方法中有k m 种不同做法，则完成这件事共有12 k N m m m =+++……种不同方法，这就是加法原理． 2.加法原理的运用范围： 完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，这样的问题可以使用加法原理解决．我们可以简记为：“加法分类，类类独立”． 3.分类基本原则： ①完成这件事的任何一种方法必须属于某一类； ①分别属于不同两类的两种方法是不同的方法． 4.解题三部曲： 1、完成一件事分N 类； 2、每类找种数（每类的一种情况必须是能完成该件事）； 3、类类相加 三、例题精选 【例1】 小哈出去旅游，可以乘火车，也可以乘飞机，还可以乘轮船。一天中火 车有4班，飞机有3班，轮船有2班。问：小哈选择一种交通工具出去旅游，共有多少种不同走法？ 【①①①①①】
【解析】小哈乘坐火车有4种走法，乘坐飞机有3种走法，乘坐轮船有2种走法．所以小哈出去旅游有：4+3+2=9（种）不同走法． 【巩固1】海豚小学四年级有3个班，各班分别有男生18人、20人、16人．从中任意选一人当升旗手，有多少种选法？ 【①①①①①】 【解析】解决这个问题有3类办法：从一班、二班、三班男生中任选1人，从一班18名男生中任选1人有18种选法：同理，从二班20名男生中任选1 人有20种选法；从三班16名男生中任意选1人有16种选法；根据加法 原理，从四年级3个班中任选一名男生当升旗手的方法有：18201654 ++=种． 【例2】用若干张10元、20元、50元的硬币组成100元(不要求每种硬币都有)，共有多少种不同的方法？ 【①①①①①】 【解析】此题采用枚举法，具体如下： 所以共有10种情况。 【巩固2】一叠纸币全是20元和50元的，这叠一共有1000元，问这里可能有多少种不同的情况？ 【①①①①①】 【解析】按50元纸币的张数对纸币情况进行分类： 如果50元纸币有有奇数张，那么无论20元纸币有多少张都不能凑成1000
加法原理与乘法原理随堂练习含答案 集团文件发布号：（9816-UATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY-
加法原理与乘法原理 一、选择题 1. [2013·苏州联考]某电话局的电话号码为139××××××××，若最后五位数字是由6或8组成的，则这样的电话号码一共有( ) A. 20个 B. 25个 C. 32个 D. 60个 答案：C 解析：采用分步计数的方法，五位数字由6或8组成，可分五步完成，每一步有两种方法，根据分步乘法计数原理有25＝32个，故选C. 2. [2013·四川德阳第二次诊断]现有4名同学去听同时进行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是( ) A. 81 B. 64 C. 48 D. 24 答案：A 解析：每个同学都有3种选择，所以不同选法共有34＝81(种)，故选A. 3. [2013·抚顺模拟]只用1、2、3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数共有( ) A. 6个 B. 9个 C. 18个 D. 36个 答案：C 解析：对于1、2、3三个数组成一个四位数，其中必有一个数要重复，从三个中选一个有C1 3 种，这样重复的数有2个，利用插空法知共有 A3 3种，因此共有3A3 3 ＝18个这样的四位数． 4. [2013·福州质检]如图所示2×2方格，在每一个方格中填入一 个数字，数字可以是1、2、3、4中的任何一个，允许重复．若填入A方
格的数字大于B 方格的数字，则不同的填法共有( ) A. 192种 种 C. 96种 D. 12种 答案：C 解析：可分三步：第一步，填A 、B 方格的数字，填入A 方格的数字大于B 方格中的数字有6种方式(若方格A 填入2，则方格B 只能填入1；若方格A 填入3，则方格B 只能填入1或2；若方格A 填入4，则方格 B 只能填入1或2或3)；第二步，填方格 C 的数字，有4种不同的填 法；第三步，填方格D 的数字，有4种不同的填法．由分步计数原理得，不同的填法总数为6×4×4＝96. 5. 若从1,2,3，…，9这9个数中同时取4个不同的数，其和为奇数，则不同的取法共有( ) A. 66种 B. 63种 C. 61种 D. 60种 答案：D 解析：从1,2,3，…，9这9个数中同时取4个不同的数，其和为奇 数的取法分为两类：第一类取1个奇数，3个偶数，共有C 15C 3 4＝20种取法；第二类是取3个奇数，1个偶数，共有C 35C 14＝40种取法．故不同的取 法共有60种，选D. 6. [2013·西安调研]某种体育彩票规定：从01至36共36个号码中抽出7个号码为一注，每注2元，某人想从01至10中选3个连续的号码，从11至20中选2个连续的号码，从21至30中选1个号码，从31至36中选1个号码，组成一注，则要把这种特殊要求的号码买全，至少要花费( ) A. 3360元 B. 6720元 C. 4320元 D. 8640元 答案：D
一、加法原理和乘法原理讲座例题 1、从4个男生，5个女生中各选一人担任组长，有多少种 不同的选法? 2、5个文具盒，4支铅笔，3支钢笔，2把直尺，各取一件配成一套学习用具，最多能配多少套不同的学习用具？ 3、一天上午要上语文、数学、体育各一节课，这半天的三节课有几种不同的排法。 4、有不同的语文书6本，数学书8本，英语书5本，音乐书4本，从中任取一本，共有多少种取法？
5、两个木箱内装有不同颜色的球，第一个木箱里装有4个，第二个木箱里装有7个。 （1）从两个木箱里任了一个球，有多少种不同的取法？（2）从两个木箱里各取一个球，有多少种不同的取法？ 6、从1-9这九个数中，每次取2个数，这两个数的和必须大于10，能有多少种取法？ 7、在1-100的自然数中，一共有多少个数字？ 8、在1-100的自然数中,一共有多少个数字1？
9、用2、3、5、7四个数字可以组成 （1）多少个三位数 （2）多少个没有重复数字的三位数 10、用1、2、3、5、7这五个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数？ 11、用0、2、3、5、7这五个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数？ 12、用彩旗表示信号，不同面数，不同颜色，排列顺序不同都示不同的信号，如果一根旗杆上同时最多可以挂3面旗，现有足够的红色和黄色彩旗。可以表示多少种不同的信号？
13、用彩旗表示信号，不同面数，不同颜色，排列顺序不同都示不同的信号，现有红、黄、蓝色的彩旗各一面，可以表示出多少种不同的信号？ 14、用数字0、1、3、5可以组成多少个两位数？可以组成多少个没有重复数字的两位数？
三、最大与最小 1、从0、1、 2、4、6、8、9这七个数中，选出5个数字组成一个能被5整除，并且尽可能大的五位数，这个五位数是多少？ 2、小明看一本90页的故事书，每天看的页数不同，而且一天中最少看3次，那么看完这本收最多需要几天？ 3、把自然数1、2、3、 4、。。。。39、40依次排列，划去65个数，得到的多位数最大是多少？ 4、把17分成几个自然数的和，再求出这些数的积，要使得积尽可能地大，最大的积是多少？
海豚教育个性化简案 学生姓名：年级：科目： 授课日期：月日上课时间：时分------ 时分合计：小时 教学目标1. 培养学生的观察能力及逻辑思维能力。. 2. 初步了解“乘法原理”，“加法原理（一）”，“加法原理（二）”。 重难点导航1. 了解掌握奥数阶梯思维． 2. 把奥数思维带入解决应用题中． 教学简案： 一、个性化教案 二、错题汇编 三、个性化作业 授课教师评价：□ 准时上课：无迟到和早退现象 （今日学生课堂表□ 今天所学知识点全部掌握：教师任意抽查一知识点，学生能完全掌握现符合共项）□ 上课态度认真：上课期间认真听讲，无任何不配合老师的情况 （大写）□ 海豚作业完成达标：全部按时按量完成所布置的作业，无少做漏做现象审核人签字：学生签字：教师签字： 备注：请交至行政前台处登记、存档保留，隔日无效（可另附教案内页）大写：壹贰叁肆签章：
海豚教育个性化教案 奥数讲解八 题型一：乘法原理 【知识要点】 1. 乘法原理：如果完成一件任务需要分成n个步骤进行，做第1步有m1种方法，做第2步有m2种方法……做第n步有mn种方法，那么按照这样的步骤完成这件任务共有 N＝m1×m2×…×mn 种不同的方法。 2. 从乘法原理可以看出：将完成一件任务分成几步做，是解决问题的关键，而这几步是完成这件任务缺一不可的。 【典型例题】 例1：马戏团的小丑有红、黄、蓝三顶帽子和黑、白两双鞋，他每次出场演出都要戴一顶帽子、穿一双鞋。问：小丑的帽子和鞋共有几种不同搭配？ 例2：从甲地到乙地有2条路，从乙地到丙地有3条路，从丙地到丁地也有2条路。问：从甲地经乙、丙两地到丁地，共有多少种不同的走法？ 例3：用数字0，1，2，3，4，5可以组成多少个三位数（各位上的数字允许重复）？ 例4：如下图，A，B，C，D，E五个区域分别用红、黄、蓝、白、黑五种颜色中的某一种染色，要使相邻的区域染不同的颜色，共有多少种不同的染色方法？ 例5：有10块糖，每天至少吃一块，吃完为止。问：共有多少种不同的吃法？ 【同步训练】 1.有五顶不同的帽子，两件不同的上衣，三条不同的裤子。从中取出一顶帽子、一件上衣、一条裤子配成一套装束。问：有多少种不同的装束？
六年级奥数加法原理和乘法原理知识点讲解 【篇一】 加法原理：如果完成一件任务有n类方法，在第一类方法中有m1种不同方法，在第二类方法中有m2种不同方法……，在第n类方法中有mn种不同方法，那么完成这件任务共有：m1+m2.......+mn种不同的方法。 关键问题：确定工作的分类方法。 基本特征：每一种方法都可完成任务。 乘法原理：如果完成一件任务需要分成n个步骤进行，做第1步有m1种方法，不管第1步用哪一种方法，第2步总有m2种方法……不管前面n-1步用哪种方法，第n步总有mn种方法，那么完成这件任务共有：m1×m2.......×mn种不同的方法。 关键问题：确定工作的完成步骤。 基本特征：每一步只能完成任务的一部分。 直线：一点在直线或空间沿一定方向或相反方向运动，形成的轨迹。 直线特点：没有端点，没有长度。 线段：直线上任意两点间的距离。这两点叫端点。 线段特点：有两个端点，有长度。 射线：把直线的一端无限延长。 射线特点：只有一个端点;没有长度。 ①数线段规律：总数=1+2+3+…+(点数一1);
②数角规律=1+2+3+…+(射线数一1); ③数长方形规律：个数=长的线段数×宽的线段数： ④数长方形规律：个数=1×1+2×2+3×3+…+行数×列数 【篇二】 乘法原理：如果完成一件任务需要分成n个步骤进行，做第1步有m1种方法，不管第1步用哪一种方法，第2步总有m2种方法……不管前面n-1步用哪种方法，第n步总有mn种方法，那么完成这件任务共有：m1×m2.......×mn种不同的方法。 关键问题：确定工作的完成步骤。 基本特征：每一步只能完成任务的一部分。 直线：一点在直线或空间沿一定方向或相反方向运动，形成的轨迹。 直线特点：没有端点，没有长度。 线段：直线上任意两点间的距离。这两点叫端点。 线段特点：有两个端点，有长度。 射线：把直线的一端无限延长。 射线特点：只有一个端点;没有长度。 ①数线段规律：总数=1+2+3+…+(点数一1); ②数角规律=1+2+3+…+(射线数一1); ③数长方形规律：个数=长的线段数×宽的线段数： ④数长方形规律：个数=1×1+2×2+3×3+…+行数×列数
加法原理例题讲解（一） 例 1 从甲地到乙地, 可以乘火车, 也可以乘汽车, 还可以乘轮船。一天中火车有4班,汽车有3班,轮船有2班。问：一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地, 共有多少种不同走法？ 分析与解：一天中乘坐火车有4种走法, 乘坐汽车有3种走法,乘坐轮船有 2 种走法, 所以一天中从甲地到乙地共有：4＋3＋2=9（种）不同走法。 例 2 旗杆上最多可以挂两面信号旗, 现有红色、蓝色和黄色的信号旗各一面, 如果用挂信号旗表示信号, 最多能表示出多少种不同的信号？ 分析与解：根据挂信号旗的面数可以将信号分为两类。第一类是只挂一面信号旗,有红、黄、蓝3种；第二类是挂两面信号旗,有红黄、红蓝、黄蓝、黄红、蓝红、蓝黄 6 种。所以一共可以表示出不同的信号 3＋6=9（种）。 以上两例利用的数学思想就是加法原理。 加法原理：如果完成一件任务有n 类方法, 在第一类方法中有m1种不同方法,在第二类方法中有m2种不同方法……在第n类方法中有m n种不同方法, 那么完成这件任务共有 N=m i+m2+…+m n 种不同的方法。 乘法原理和加法原理是两个重要而常用的计数法则, 在应用时一定要注意它们的区别。乘法原理是把一件事分几步完成, 这几步缺一不可, 所以完成任务的不同方法数等于各步方法数的乘积；加法原理是把完成一件事的方法分成几类, 每一类中的任何一种方法都能完成任务, 所以完成任务的不同方法数等于各类方法数之和。 例 3 两次掷一枚骰子, 两次出现的数字之和为偶数的情况有多少种？分析与解：两次的数字之和是偶数可以分为两类, 即两数都是奇数, 或者两数都是偶数。 因为骰子上有三个奇数,所以两数都是奇数的有3X 3=9 （种）情况；同理, 两数都是偶数的也有9种情况。根据加法原理, 两次出现的数字之和为偶数的情况有9+ 9= 18 （种）。 例 4 用五种颜色给右图的五个区域染色, 每个区域染一种颜色, 相邻的区域染不同的颜色。问：共有多少种不同的染色方法？