高三数学第一轮总复习讲义
讲义12 函数的综合应用
一、基本知识体系：
1、函数的单调性、值域、最值；函数的奇偶性、周期性等性质要能熟练掌握和灵活加以运用。处理函数问题，要能把握好其中参数的分离、集中、转换、分类等解法技巧；要特别重视函数图象的作用；注意函数最值的配方法和均值不等式法的应用。
2、函数y ＝f(x)可以看作是一个关于x 、y 的方程，一个关于x 、y 的方程在某些时候可以确定一个函数；确定方程f(x)=0的根，实质是确定函数y ＝f(x)的图象与x 轴的交点。因此，函数知识与方程知识有着较为密切的联系，函数思想与方程思想可以互相转化运用。如可以采用函数图象的方法，数形结合讨论方程的根的个数以及方程的根的分布状况，；采用求解方程的方法确定函数式中的待定系数等。
3、不等式的问题通过转化为函数之后，则可以结合函数的图象，通过研究函数的单调性、最值等，从而解决所求之问题。
4、导数法可以解决一切函数的最值、值域问题，从而使方法更具可行性和灵活性。 二、典例剖析：
★ 【题1】凸函数的性质定理为：如果函数f(x)在区间Ｄ上是凸函数，则对于区间Ｄ内的
任意x 1，x 2，……，x n ，有
n x f x f x f n )(.......)()(21+++≤f(n
x x x n
+++......21)若函
数y ＝sinx 在区间（０，π）上是凸函数，则在△ABC 中，sinA ＋sin Ｂ＋sin Ｃ的最大值为_______答案为 3 3
2
★【题2】对于任意的两个实数对（a,b ）和(c,d),规定（a,b ）＝(c,d)当且仅当a ＝c,b ＝d;运算“?”为：),(),(),(ad bc bd ac d c b a +-=?，运算“⊕
”为：
),(),(),(d b c a d c b a ++=⊕，设R q p ∈,，若)0,5(),()2,1(=?q p 则=
⊕),()2,1(q p （ ）A. )0,4( B. )0,2( C.)2,0( D.)4,0(-
●解、由
)
0,5(),()2,1(=?q p 得
???-==???
?=+=-2
1
0252q p q p q p ,则
)0,2()2,1()2,1(),()2,1(=-⊕=⊕q p ,故选B.
★【题3】在x y x y x y y x
2cos ,,log ,22
2====这四个函数中，当1021<< 使2 ) ()()2(2121x f x f x x f +> +恒成立的函数的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 ●解：∵当1021<< 121222log log 22 x x x x ++>∴>,即当1021<< 2 ) ()()2( 2121x f x f x x f +>+恒成立,其它3个函数都可以举出反例当1021<< ) ()()2( 2121x f x f x x f +>+不成立(这里略),选(B) ★【题4】设k>1，f(x)=k(x-1)(x ∈R) . 在平面直角坐标系xOy 中，函数y=f(x)的图象与 x 轴交于A 点，它的反函数y=f -1 (x)的图象与y 轴交于B 点，并且这两个函数的图象交于P 点. 已知四边形OAPB 的面积是3，则k 等于 （ B ） A ． 3 B ．32 C ．4 3 D ．6 5 ★【题5】已知函数()f x 和()g x 的图象关于原点对称，且()22f x x x =+． (Ⅰ)求函数()g x 的解析式； (Ⅱ)解不等式()()1g x f x x ≥--； (Ⅲ)若()()()1h x g x f x λ=-+在[]1,1-上是增函数，求实数λ的取值范围． ●解：(Ⅰ)设函数y=f(x)的图象上任一点Q(x q λ,y q 关于原点的对称点(x,y), 则02 0,2 q q x x y y +?=???+?=??即,.q q x x y y =-???=-??∵点Qx q ,y q )在函数f(x)的图象上,∴-y=-x 2+2x.,故g(x)=-x 2+2x (Ⅱ)由g(x)≥f(x)－|x －1|可得2x 2-|x-1|≤0,当x ≥1时,2x 2-x+1≤0,此时不等式无解, 当x<1时,2x 2+x-1≤0,∴-1≤x ≤ 12,因此,原不等式的解集为[-1,1 2 ] (Ⅲ)h(x)=-(1+λ)x 2+2(1-λ)x+1 ① 当λ=-1时,h(x)=4x+1在[-1,1]上是增函数,∴λ=-1 ② 当λ≠-1时,对称轴的方程为x= 11λλ-+.（1）、当λ<-1时, 11λ λ -+≤-1,解得λ<-1.（2）、当λ>-1时, 11λ λ -+≥-1,解得-1<λ≤0；综上,λ≤0 ★【题6】已知()f x 是周期为2的奇函数，当01x <<时，()lg .f x x =设 63(),(),52a f b f == 5 (),2c f =则（ ）（A ）a b c << （B ）b a c << （C ）c b a << （D ） c a b << ●解：已知()f x 是周期为2的奇函数，当01x <<时，()lg .f x x =设 644()()()555a f f f ==-=-，311()()()222b f f f ==-=-，51 ()()22c f f ==<0，∴ c a b <<，选D. ★【题8】函数y ＝f(x)的图像与函数g(x)＝log 2x(x ＞0)的图像关于原点对称，则f(x)的表达式为（ D ） (A) f(x)＝1 log 2x (x ＞0) (B) f(x)＝log 2(－x)(x ＜0) (C) f(x)＝－log 2x(x ＞0) (D) f(x)＝－log 2(－x)(x ＜0) ★【题9】已知定义域为R 的函数12()2x x b f x a +-+=+是奇函数。（Ⅰ）求,a b 的值；（Ⅱ）若对 任意的t R ∈，不等式2 2 (2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求k 的取值范围； ●解：（Ⅰ）因为()f x 是奇函数，所以(0)f =0，即1 11201()22 x x b b f x a a +--=?=∴=++ 又由f （1）= -f （-1）知1 112 2 2.41 a a a - -=-?=++ （Ⅱ）由（Ⅰ）知11211 ()22221 x x x f x +-==-+++，易知()f x 在(,)-∞+∞上 为减函数。又因()f x 是奇函数，从而不等式： 2 2 (2)(2)0f t t f t k -+-<；等价于 222(2)(2)(2)f t t f t k f k t -<--=-，因()f x 为减函数，由上式推得： 2222t t k t ->-．即对一切t R ∈有：2320t t k -->，从而判别式 1 4120.3 k k ?=+ ★【题4】有一种密英文的明文(真实文)按字母分解,其中英文的a,b,c,…,z 的26个字母(不分大小写),依次对应1,2,3,…,26这26个自然数,见如下表格: x ′= x+1 2 (x ∈N,1≤x ≤26,x 不能被2整除) x 2+13(x ∈N,1≤x ≤26,x 能被2整除) 将明文转换成密文,如8→8 2 +13=17,即h 变成q ；5→5+1 2=3，即e 变成c 。①按上述规定，将明文good 译成的密文是什么？②按上述规定， 若将某明文译成的密文是shxc ，那么原来的明文是什么？ ●解：①g →7→7+12=4→d;o →15→15+1 2=8→h;d →o;则明文good 的密文为dhho ②逆变换公式为x= 2x′-1 (x′∈N, 1≤x′≤13) 2x′-26 (x′∈N,14≤x′≤26),则有s →19→2×19-26=12→l;h →8→2×8-1=15→o,x →24→2×24-26=22→v;c →3→2×3-1=5→e;故密文shxc 的明文为love. ?【题5】 定义在D 上的函数?(x),如果满足:存在常数M>0,对任意的x ∈D,都有|?(x)|≤M 成立,则称?(x)是D 上的有界函数,试判断函数?(x)=2sin(x+π6)+3在实数集R 上,函数g(x)=x 3-3 x 在[1,3]上是否为有界函数?若是,给出证明;若不是,请说明理由. ● 解:| ?(x)|= |2sin(x+ π 6 )+3|≤5,显然是R 上的有界函数；对g(x)通过求导可知,g(x)在[1,3}上为↗,则-2≤g(x)≤26,则|g(x)|≤26在[1,3]内恒成立,故为[1,3]上的有界函数。 ★ 【题6?】设x 1,x 2∈R,常数a>0,规定运算“#”:x 1 # x 2=(x 1+x 2)2-(x 1-x 2)2 ；①若x ≥0, 求动点P(x,x#a )的轨迹C ；②设P(x,y)是平面上任一点,定义d 1(P)= 1 2 (x#x)+(y#y) ,d 2(P)=1 2(x-a) #(x-a) , 计算d 1(P)和 d 2(P),并说明d 1(P)和 d 2(P)的 几何意义. ●解:①y 2=4ax(y ≥0); ②d 1(P)=x 2 +y 2 和 d 2(P)=|x-a| ★【题7】（1）、对于在区间[m,n](m x-a ) (a>0,且a ≠1)，试讨论?(x)与g(x)在区间[a+2,a+3]上是否为 邻近函数，并证明。 ●解：当a ∈(0, 9-57 12 ]时，?(x)与g(x)为邻近函数。 （2）、对于定义于区间[2，4]上的函数?(x),若对任意的x ∈[1,2]，都有?(2x)∈(1,2)，且存在常数k ∈(0,1)，使得对于任意的x 1,x 2∈[1,2]都有|?(2x 1)-?(2x 2)|≤k|x 1-x 2|成立，则称函数?(x)为“凯森函数”；证明：①函数?(x)=3 1+x x ∈[2,4]为“凯森函数”；②若?(x)为“凯森函数”，且存在x 0∈(1,2)，使得x 0=?(2x 0)，则这样的x 0是惟一的。 （4）如果定义在集合A 上的函数?（x)满足：对任意的x 1、x 2∈A ，都有?(x 1+x 22)≤12 [?(x 1)+?(x 2)]成立，则称函数?（x)是A 上的凹函数，①试判断函数?(x)=3x 2+x 是否是R 上 的凹函数；②若函数?(x)=log a x 是R +上的凹函数，求不等式?(x 2+2x-2)≥0的解集。 ●解：①是；②x ∈[-3,-1-3)∪(-1+3,1] ； ★【题8】（2）、已知定义于R 上的函数y=?(x)满足下列三个条件：①对任意的x ∈R,都有?(x)= ?(x+4)；②对于任意的0≤x 1≤x 2≤2,都有?(x 1)< ?(x 2)；③y=?(x)的图像关于y 轴对称。则下列结论中，正确的是（ A ） A ?(6.5)> ?(5) >?(15.5) B ?(5)> ?(6.5)> ?(15.5) C ?(5) >?(15.5)> ?(6.5) D ?(15.5)> ?(6.5)> ?(5) （5）、给出下列四组函数：?y=x 与y=x x-1；?y=(x-1)3 与y=lgx ；?y=cosx 与y=tanx ； ?y=x|x|与y=2x -2-x ；其图像存在有相同的对称中心的序号为_____（答案：???） ★【题9】（1）、已知关于x 的方程x 2-2cosx+a=0有且只有一个实根,则a 的值为_____ ●解、方程化为x 2+a=2cosx, 再考查函数y=x 2+a 的图象与函数y=2cosx 的图象有且只有一个公共点；∴a=2； （2）、若函数?（x ）是定义域为R 的偶函数,在(-∞,0]上是减函数,且?（2）=0,则使得?（x ）<0的x 的取值范围为( D ) A(-∞,2) B (2,+∞) C (-∞,-2) D(-2,2) （3）、关于x 的方程cos 2x-sinx+a=0在(0, 2 π )上有解,则实数a 的取值范围为_____(-1,1) ； （4）、已知定义在R 上的偶函数?(x)在x ∈[0,+∞)上是增函数,且?(31)=0,则满足?(log 8 1 x)>0 的x 的取值范围是________ (0,2 1 )∪(2,+∞) （6）、已知lgx 1=3-x 1,210x = 3-x 2 ,则x 1+x 2=_______3。 （9）、由方程x|x|+y|y|=0确定的函数y=?(x)在（-∞，+∞）是（ ） A 奇函数 B 偶函数 C 增函数 D 减函数 ●解：对x,y 分x>0,x<0,与y>0,y<0四种情况进行讨论，选（D) ★【题6】设函数)(x f 在),(+∞-∞上满足)2()2(x f x f +=-，)7()7(x f x f +=-，且在闭区间［0，7］上，只有0)3()1(==f f ．（Ⅰ）试判断函数)(x f y =的奇偶性；（Ⅱ）试求方程0)(=x f 在闭区间]2005,2005[-上的根的个数，并证明你的结论． ●【答案】解：（Ⅰ）∵)2()2(x f x f +=-， ∴ ) 52()32(+=-f f ；即 )5()1(f f =-， ∵在［0，7］上，只有0)3()1(==f f ，∴0)5(≠f ，∴)1()1(f f ≠-，∴)(x f 是非奇非偶函数． （Ⅱ）由)2()2(x f x f +=-，令2-=x x ，得 )4()(x f x f -=，由)7()7(x f x f +=-，令3+=x x ，得 )10()4(x f x f +=-,∴)10()(x f x f +=，∴)(x f 是以10为周期的周期函数，由)7()7(x f x f +=-得，)(x f 的图象关于7=x 对称，∴在［0，11］上，只有0)3()1(==f f ， ∴10是)(x f 的最小正周期，∵在［0，10］上，只有0)3()1(==f f ，∴在每一个最小正周期内0)(=x f 只有两个根，∴在闭区间]2005,2005[-上的根的个数是802． ★【题1】定义在D 上的函数?（x)，如果满足：当x ∈D 时，存在常数M >0，恒有|?（x)| ≤M 恒成立，则称?（x)为D 上的有界函数，其中M 称为函数?（x)的上界。 （1）试判断函数?（x)= 13 x 3-1 x 在[1，3]上是否为有界函数，请给出证明。 （2）若已知质点的运动方程为s(t ）=2t+1 -at ，要使在t ∈[0,+∞)上的每一时刻的瞬时 速度是以m=1为上界的函数，求出实数a 的取值范围。 ●解：（1）?′（x)= x 2+1x 2，∵当x ∈[1，3]时，?′（x)>0，则?（x)为↗，则有-2 3≤?（x)≤ 263，故可使M=263，则满足|?（x)|≤M 成立，故?（x)=13 x 3-1 x 在[1，3]上是有界函数。 （2）∵s′(t ）= 1 2t+1 – a,由| s′(t ）|≤1，得| 1 2t+1 – a|≤1，∴ 1 2t+1 – a ≤1且 1 2t+1 – a ≥-1；可得a ≥ 1 2t+1 -1且a ≤ 1 2t+1 +1， 令g(t)= 1 2t+1 ,则g′ (t)= -1 (2t+1) 2 ,当t ∈时，有g′ (t)<0,∴g(t)= 1 2t+1 在[0,+∞)上为↗， 故当t=0时，g(t)min = g(0)=1,又g (t)= 1 2t+1 >0，且当t → +∞时，g (t)= 1 2t+1 → 0，则 g (t)∈（0，1]，从而有 1 2t+1 -1≤0且 1 2t+1 +1>1，故0≤a ≤1 ※■★【题3】、已知函数f （x ）的定义域D ，且f （x ）同时满足以下条件： ①f （x ）在D 上单调递增或单调递减；②存在区间[a ，b ]?D （其中a ＜b ），使得f （x ）在区间[a ，b ]的值域是[a ，b ]，那么我们把函数f （x ）（x ∈D ）叫做闭函数. （1）求闭函数y =－x 3 符合条件②的区间[a ，b ]；（2）判断函数y = 2x －lg x 是不是闭函数，若是，请说明理由，并找出区间[a ，b ]；若不是，请说明理由；（3）若y = k +2+x 是闭函数，求实数k 的取值范围. ●解：（1）由于函数y =－x 3为↘，依题意知－a 3 = b ，－b 3 = a ，相加得； －（a + b ）（a 2－ab + b 2）= a + b 0=+?b a ，或a 2－ab －b 2 =－1（舍） 即a =－b ，代入－a 3 = b ，得b 3 = b ?b = 0或b = 1，因为a ＜b ，故所求区间为[－1，1]. （2）可分别令x 1 = 100 ,10 1 ,100132==x x ，显然x 1＜x 2＜x 3但y 1＞y 2，y 2＜y 3，所以函数y = 2x －lg x 在定义域上不是单调函数，因此不是闭函数.（本题也可用求导的方法证明函数不具有单调性） （3）y ′=221 +x ＞0，故函数y = k +2+x 在区间[－2，+∞]上单调递增； 故?????=-++-=-++-??????=++=++02)12(02)12(222 222k b k b k a k a b b k a a k （a ≥k ），故a ，b 为方程f （x ）= x 2 －(2k + 1)x + k 2－2 = 0的两个根；则?（k)≥0,且△=(2k + 1)2-4×k 2 －2 ≥0 ，且 －(2k + 1)-2>k,?? ? ??--∈?2 ,49k (难)★【题2】定义：若存在常数k ，使得对定义域D 内的任意两个不同的实数x 1、x 2，均 有|?（x 1)- ?（x 1)|≤k|x 1-x 2|成立，则称?（x)在D 上满足利普希茨（Lipschitz)条件。 （1）若函数?（x)=x+1 在[0，+∞）上满足利普希茨（Lipschitz)条件，求常数k 的最小值。 （2）现有函数?（x)=sinx,请找出所有的一次函数g(x)，使得下列条件同时成立：①函数g(x)满足利普希茨（Lipschitz)条件，②方程g(x)=0的根t 也是方程?（x)=0的根，且g(f(t))=f(g(t));③方程f(g(x))=g(f(x))在区间[0，2π]上仅有一解。 ●解：（1）?（x 1)= x+1 在[0，+∞）为↗，∴对任意的x 1、x 2，有| 1212 ()() f x f x x x --|= | x 1+1 -x 2+1 (x 1+1)-(x 2+1) |= 1 x 1+1 +x 2+1 <12,(当x 1=0,x 2→0时取到）∴k min =1 2 。 （2）由于所有的一次函数均满足(1),则可设g(x)=kx+b(k ≠0),∵t 是g(x)=0的根，则t=-b k ,又 g(f(t))=f(g(t))，∴?（0）=g(0),∴b=0,则g(x)=kx ； 若k 符合要求，则-k 也符合要求，故下面仅考查k>0的情况： 设h(x)= f(g(x))-g(f(x))=sinkx-ksinx ，①若k ≥1，则由h(πk )=sin π-ksin π k <0,且 h(3π2)=sin 3k π2-ksin 3π2=sin 3k π2+k ≥0,∴在[πk ,3π 2 ]中另有一根，矛盾。 ② 若1 2 根，矛盾。∴0 以下证明对任意的k ∈(0,1 2 ],g(x)=kx 符合题意： 当x ∈(0,π 2]时，由y=sinx 图象在连接两点（0，0），（x,sinx)的线段上方知sinkx>ksinx,∴h(x)>0； 当x ∈(π2,π2k ]时，sinkx>sin k π2≥ksin π 2≥ksinx ，∴h(x)>0； 当x ∈(π 2k ,2π)时，sinkx>0,sinx<0,∴h(x)>0； 综上，h(x)=0有且仅有一个解x=0，∴g(x)=kx 在k ∈（0，1 2]上满足题意。 综上所述：g(x)=kx,k ∈[-12,0)∪(0,1 2]. 一次函数应用题（讲义） ?课前预习 1. 一条公路旁依次有A，B，C三个村庄，甲、乙两人骑自行车 分别从A村、B村同时出发前往C村，甲、乙之间的距离s（km）与骑行时间t（h）之间的函数关系如图所示，下列结论： ①A，B 两村相距10 km；②出发1.25 h 后两人相遇；③出发 2 h 后甲到达C 村庄；④甲每小时比乙多骑行8 km．其中正确的个数是（） A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个 ?知识点睛 一次函数应用题的处理思路： 1.理解题意，梳理信息 结合图象、文字信息理解题意，将实际场景与图象中轴、点、线对应起来理解分析． ①看轴，明确横轴和纵轴表示的实际意义． ②看点，明确起点、终点、状态转折点表示的具体意义，还 原实际情景，提取每个点对应的数据． ③看线，观察每段线的变化趋势（增长或下降等），分析每 段数据的变化情况． 2.辨识类型，建立模型 ①将所求目标转化为函数元素，借助图象特征，利用表达式 进行求解； ②将图象中的点坐标还原成实际场景中的数据，借助实际场 景中的等量关系列方程求解． 3.求解验证，回归实际 1 ?精讲精练 1.甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀 速步行2 400 米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4 分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，下列结论： ①甲步行的速度为60 米/分； ②甲走完全程用了40 分钟； ③乙用16 分钟追上甲； ④乙走完全程用了30 分钟； ⑤乙到达终点时，甲离终点还有300 米． 其中正确的结论是．（填序号） 2.一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地，两车 同时出发，匀速行驶．设行驶的时间为x（小时），两车之间的距离为y（千米），图中的折线表示从两车出发至快车到达乙地的过程中y 与x 之间的函数关系，结合图象解答下列问题： （1）求线段AB 所在直线的函数解析式以及甲、乙两地之间的距离； （2）求a 的值； （3）出发多长时间，两车相距140 千米？ 高一数学必修1 函数模型及其应用(1) 【学习导航】 知识网络 学习要求 1．了解解实际应用题的一般步骤； 2．初步学会根据已知条件建立函数关系式的方法； 3．渗透建模思想，初步具有建模的能力. 自学评价 1．数学模型就是把 实际问题 用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题，得出关于实际问题的数学描述． 2. 数学建模就是把实际问题加以 抽象概括 建立相应的 数学模型 的过程，是数学地解决问题的关键． 3. 实际应用问题建立函数关系式后一般都要考察 定义域 ． 【精典范例】 例1．写出等腰三角形顶角y （单位：度）与底角x 的函数关系． 【解】1802y x =- ()090x << 点评: 函数的定义域是函数关系的重要组成部分．实际问题中的函数的定义域，不仅要使函数表达式有意义，而且要使实际问题有意义． 例2．某计算机集团公司生产某种型号计算机的固定成本为200万元,生产每台计算机的可变成本为3000元,每台计算机的售价为5000元.分别写出总成本C (万元)、单位成本P （万元）、销售收入R （万元）以及利润L （万元）关于总产量x （台）的函数关系式. 分析：销售利润()L x =销售收入()R x -成本()C x ,其中成本()C x = (固定成本+可变成本). 【解】总成本与总产量的关系为 2000.3,C x x N *=+∈. 单位成本与总产量的关系为 200 0.3,P x N x *= +∈. 销售收入与总产量的关系为 0.5,R x x N *=∈. 利润与总产量的关系为 0.2200,L R C x x N *=-=-∈ ． 例3．大气温度()y C 随着离开地面的高度()x km 增大而降低，到上空11km 为止，大约每上升1km ，气温降低6C ，而在更高的上空气温却几乎没变（设地面温度为22C ）． 求：（1）y 与x 的函数关系式； （2） 3.5x km =以及12x km =处的气温． 【解】（1）由题意， 当011x ≤≤时，226y x =-， ∴当11x =时，2261144y =-?=-， 从而当11x >时，44y =-． 综上，所求函数关系为 []226,0,1144,(11,) x x y x ?-∈? =? -∈+∞??； （2）由（1）知， 3.5x km =处的气温为 226 3.51y =-?=C ， 12x km =处的气温为44C -． 点评:由于自变量在不同的范围中函数的表达式不同，因此本例第1小题得到的是关于自变量的分段函数；第2小题是已知自变量的值，求函数值的问题． 追踪训练一 1．生产一定数量的商品时的全部支出称为生产成本，可表示为商品数量的函数，现知道一企 一、一次函数 二、二次函数 （1）二次函数解析式的三种形式 ①一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠ ②顶点式：2()()(0)f x a x h k a =-+≠ ③两根式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠ （2）求二次函数解析式的方法 ①已知三个点坐标时，宜用一般式． ②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式． ③若已知抛物线与x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求()f x 更方便． （3）二次函数图象的性质 图像 定义域 (),-∞+∞ 对称轴 2b x a =- 顶点坐标 24,24b ac b a a ??-- ??? 值域 24,4ac b a ??-+∞ ??? 24,4ac b a ?? --∞ ?? ? 单调区间 ,2b a ??-∞- ??? 递减 ,2b a ?? -+∞ ??? 递增 ,2b a ? ?-∞- ??? 递增 ,2b a ?? -+∞ ??? 递减 ①.二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线，对称轴方程为 ,2b x a =-顶点坐标是24(, )24b ac b a a -- ②当0a >时，抛物线开口向上，函数在(,]2b a -∞- 上递减， 在[,)2b a -+∞上递增，当2b x a =-时，2min 4()4ac b f x a -=；当0a <时，抛物线开口向下，函数在(,] 2b a -∞-上递增，在[,)2 b a -+∞上递减，当2b x a =-时，2max 4()4ac b f x a -=． 三、幂函数 （1）幂函数的定义 一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数． （2）幂函数的图象 2b x a =- 2b x a =- 函数性质综合运用（讲义） ?课前预习 1.填空： ①如果我们将方程组中的两个方程看作是两个函数，则方程组的解恰好对应 两个函数图象的__________________；方程x2+3x-1=2x+1的根对应两个函数图象交点的__________． 特别地，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根是二次函数______________的图象与______交点的横坐标．当?＞0时，二次函数图象与x轴有_____个交点；当?=0时，与x轴有_____个交点；当?＜0时，与x轴______交点． ②y=2x+1与y=x2+3x+1的交点个数为__________． 2.借助二次函数图象，数形结合回答下列问题： ①当a＞0时，抛物线开口_____，图象以对称轴为界，当x_____时，y随x 的增大而增大；该二次函数有最____值，是_______； ②当a＜0时，抛物线开口____，图象以对称轴为界，当x_____时，y随x的 增大而增大；该二次函数有最___值，是______． ③已知二次函数y=x2+2x-3．当-5＜x＜3时，y的取值范围为__________；当 1＜x≤5时，y的取值范围为__________． 注：二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标为 2 4 () 24 b a c b a a --，． ?知识点睛 a b c k ???? ?? ????? ?????? ???????①坐标代入表达式，得方程或不等式表达式与坐标②借助表达式设坐标①判断，，，等字母符号函数图象与性质②借助图象比大小、找范围 ③图象平移：左加右减，上加下减 将方程、不等式转化为函数，函数与方程、不等式数形结合，借助图象分析 ?????????????????? ??????????????? ?? 第一步：设坐标 利用所在函数表达式或坐标间关系横平竖直第二步：坐标相减竖直线段：纵坐标相减，上减下水平线段：横坐标相减，右减左表达线段长①倾斜程度不变借助相似，利用竖直线段长表达斜放置②倾斜程度变化 ? 精讲精练 1. 抛物线y =ax 2+bx +c 上部分点的横坐标x 、纵坐标y 的对应值如表所示． y 轴的右侧；③抛物线一定经过点(3，0)； ④在对称轴左侧，y 随x 增大而减小；⑤一元二次方程ax 2+bx +c =4的解为x =-1或x =2．由表可知，正确的说法有______个． 2. 已知二次函数y =(x -h )2+1（h 为常数），在自变量x 的值满足1≤x ≤3的情况 下，与其对应的函数值y 的最小值为5，则h 的值为（ ） A ．5或1 B ．-1或5 C ．1或-3 D ．1或3 3. 已知二次函数y =ax 2-bx -2（a ≠0）的图象的顶点在第四象限，且过点(-1，0)， 当a -b 为整数时，ab 的值为（ ） A ．34或1 B ．14或1 C ．34或12 D ． 14或34 4. 二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的部分图象如图所示，图象过点(-1，0)，对称 轴为直线x =2．给出下列结论：①4a +b =0；②9a +c ＞3b ；③8a +7b +2c ＞0；④ 一次函数与几何综合（一）（讲义） ? 课前预习 1. 若一次函数经过点 A (2，-1)和点 B (4，3)，则该一次函数的表达式为 ． 2. 若直线 l 平行于直线 y =-2x -1，且过点(1，4)，则直线 l 的表 达式为 ． 3. 如图，一次函数的图象经过点 A ，且与正比例函数 y =-x 的图象交于点 B ，则该一次函数的表达式为 ． 第 3 题图 第 4 题图 4. 如图，点 A 在直线 l 1：y =3x 上，且点 A 在第一象限，过点 A 作 y 轴的平行线交直线 l 2：y =x 于点 B ． （1） 设点 A 的横坐标为 t ，则点 A 的坐标为 ，点 B 的坐标为 ，线段 AB 的长为 ；（用含 t 的式子表示） （2） 若 AB =4，则点 A 的坐标是 ． ? 知识点睛 1. 一次函数与几何综合的处理思路： 从已知的表达式、坐标或几何图形入手，分析特征，通过坐标与横平竖直线段长、函数表达式相互转化解决问题． 2. 函数与几何综合问题中常见转化方式： （1） 借助表达式设出点坐标，将点坐标转化为横平竖直线段 长，结合几何特征利用线段长列方程； （2） 研究几何特征，考虑线段间关系，通过设线段长进而表 达点坐标，将点坐标代入函数表达式列方程． 表达线段长： 横平线段长，横坐标相减，右减左； 竖直线段长，纵坐标相减，上减下． 1 ? 精讲精练 1. 如图，直线 y = - 3 x + 3 与 x 轴、y 轴交于 A ，B 两点，点 C 4 是 y 轴负半轴上一点，若 BA =BC ，则直线 AC 的表达式为 ． 第 1 题图 第 2 题图 2. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y =kx +b 的图象经过点A (-2，6)，且与 x 轴相交于点 B ，与正比例函数 y =3x 的图象交于点 C ，点 C 的横坐标为 1，则△OBC 的面积为 ． 3. 如图，直线l ：y = 3 x + 6 与 y 轴相交于点 N ，直线l ：y = kx -3 1 4 2 与直线l 1 相交于点 P ，与 y 轴相交于点 M ，若△PMN 的面积为 18，则直线l 2的表达式为 ． 4. 如图，一次函数 y = 1 x + 2 的图象与 y 轴交于点 A ，与正比例 3 函数 y =kx 的图象交于第二象限内的点 B ，若 AB =OB ，则 k 的值为 ． 一、一次函数 一次 函数 k kx b k0 k0k0 k， b 符号b0b0b0b0b0b0 y y y y y y 图象 O x O O x x O x O x O x 性质y随x的增大而增大y随x的增大而减小 二、二次函数 （1）二次函数解析式的三种形式 ①一般式：2 f(x)ax bx c(a0) ②顶点式：2 f(x)a(x h)k(a0) ③两根式：f(x)a(x x1)(x x2)(a0) （2）求二次函数解析式的方法 ①已知三个点坐标时，宜用一般式． ②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式． ③若已知抛物线与x轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求f(x)更方便． （3）二次函数图象的性质 20 f x ax bx c a a0a0 图像 x b 2a x b 2a 定义域, 对称轴x b 2a 顶点坐标 2 b4ac b , 2a4a 文档 值域 2 4ac b 4a ,, 2 4ac b 4a , b 2a 递减, b 2a 递增 单调区间 b 2a , 递增 b 2a ,递减 ①.二次函数 b 2 f(x)ax bx c(a0)的图象是一条抛物线，对称轴方程为x, 2a 顶 点坐标是 2 b4ac b (,) 2a4a b ②当a0时，抛物线开口向上，函数在(,] 2a b 上递减，在[,) 2a 上递增，当 x b 2a 时，f(x) min 2 4ac b 4a b ；当a0时，抛物线开口向下，函数在(,] 2a 上递b 增，在[,) 2a 上递减，当x b 2a 时，f(x) max 2 4ac b 4a ． 三、幂函数 （1）幂函数的定义 一般地，函数y x叫做幂函数，其中x为自变量，是常数． （2）幂函数的图象 过定点：所有的幂函数在(0,)都有定义，并且图象都通过点(1,1)．文档 指数函数讲义经典整理（含答案） 一、同步知识梳理 知识点1：指数函数 函数 (01)x y a a a =>≠且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R 知识点2：指数函数的图像和性质 知识点3：指数函数的底数与图像的关系 指数函数在同一直角坐标系中的图像的相对位置与底数大小的关系 如 图所示，则01c d a b <<<<<， 在y 轴右侧，图像从下到上相应的底数也由小变大， 在y 轴左侧，图像从上到下相应的底数也由小变大 即无论在y 轴左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大 在第一象限内，“底大图高” 知识点4：指数式、指数函数的理解 ① 分数指数幂与根式或以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算 ② 根式的运算、变形、求值、化简及等式证明在数学中占有重要的地位，是研究方程、不等式和函数的基础，应引起重视 ③ 在有关根式、分数指数幂的变形、求值过程中，要注意运用方程的观点处理问题，通过解方程或方程组来求值 ④ 在理解指数函数的概念时，应抓住定义的“形式”，像 1 2 2 23,,3,21x x x y y x y y -=?===- 等 函数均不符合形式 () 01x y a a a =>≠且，因此，它们都不是指数函数 ⑤ 画指数函数x y a =的图像，应抓住三个关键点： ()()11,,0,1,1, a a ?? - ?? ? 二、同步题型分析 题型1：指数函数的定义、解析式、定义域和值域 例1：已知函数 ，且 ． （1）求m 的值； （2）判定f （x ）的奇偶性； （3）判断f （x ）在（0，+∞）上的单调性，并给予证明． 考点： 指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数单调性的判断与证明． 专题： 计算题． 分析： （1）欲求m 的值，只须根据f （4）=的值，当x=4时代入f （x ）解一个指数方程即可； （2）求出函数的定义域x|x≠0}，利用奇偶性的定义判断f （x ）与f （﹣x ）的关系，即可得到答案； （3）利用单调性的定义证明即可．任取0＜x1＜x2，只要证明f （x1）＞f （x2），即可． 解答： 解：（1）因为 ，所以 ，所以m=1． （2）因为f （x ）的定义域为{x|x≠0}，又， 所以f （x ）是奇函数． （3）任 取 x1 ＞ x2 ＞ ， 则 ， 因为x1＞x2＞0，所以，所以f （x1）＞f （x2）， 函数模型及其应用测试题 一、选择题 1．某工厂的产值月平均增长率为P，则年平均增长率是（） A．11 +-D．12 (1)1 P P +- (1)P +B．12 (1)P +C．11 (1)1 答案：Ｄ 2．某人2000年7月1日存入一年期款a元（年利率为r，且到期自动转存），则到2007年7月1日本利全部取出可得（） A．7 a r +元 (1) (1) a r +元B．6 C．7 (1)(1)(1) +++++++ …元 a a r a r a r (1) a a r ++元D．26 答案：Ａ 3．如图1所示，阴影部分的面积S是h的函数(0) ≤≤，则该函数的图象可 h H 能是（） 答案：Ｃ 4．甲、乙两个经营小商品的商店，为了促销某一商品（两店的零售价相同），分别采取了以下措施：甲店把价格中的零头去掉，乙店打八折，结果一天时间两店都卖出了100件，且两店的销售额相同，那么这种商品的价格不可能是（）A．4.1元B．2.5元C．3.75元D．1.25元 答案：Ａ 5．某厂工人收入由工资性收入和其他收入两部分构成．2003年该工厂工人收入3150元（其中工资性收入1800元，其他收入1350元）．预计该地区自2004年开始的5年内，工人的工资性收入将以每年6％的年增长率．其他收入每年增加160元．据此分析，2008年该厂工人人均收入将介于（） A．42004400 元 元B．44004600 C．46004800 元D．48005000 元 答案：Ｂ 二、填空题 6．兴修水利开渠，其横断面为等腰梯形，如图2，腰与水平线夹角为60 ，要求浸水周长（即断面与水接触的边界长）为定值l，同渠深h=，可使水渠量最大． 一、一次函数 （1）二次函数解析式的三种形式 ①一般式：2 ()(0)f x ax bx c a =++≠ ②顶点式：2 ()()(0)f x a x h k a =-+≠ ③两根式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠ （2）求二次函数解析式的方法 ①已知三个点坐标时，宜用一般式． ②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式． ③若已知抛物线与x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求()f x 更方便． （3）二次函数图象的性质 ①.二次函数2 ()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线，对称轴方程为,2x a =- 顶点坐标是2 4(,)24b ac b a a -- ②当0a >时，抛物线开口向上，函数在(,]2b a -∞- 上递减，在[,)2b a -+∞上递增，当2b x a =-时，2min 4()4ac b f x a -=；当0a <时，抛物线开口向下，函数在(,]2b a -∞-上递 增，在[,)2b a -+∞上递减，当2b x a =- 时，2max 4()4ac b f x a -=． 三、幂函数 （1）幂函数的定义 一般地，函数y x α =叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数． （2）幂函数的图象 过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)． 四、指数函数 （1）根式的概念：如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根． （2）分数指数幂的概念 ①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,m n a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数 指数幂等于0． ②正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,m m n n a a m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． （3）运算性质 ①(0,,)r s r s a a a a r s R +?=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ 幂函数及函数应用（讲义） ? 知识点睛 一、幂函数 1. 定义：一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数． 2. 函数图象及图象性质 （1）在同一平面直角坐标系内作出幂函数y =x ，y =x 2，y =x 3 ，12 y x =，1y x -=的图象： （2）图象性质 （3）幂函数图象的画法 第一步：根据单调性判断函数y x α=的图象变化趋势． ①当1α>时，函数y x α=在第一象限内的图象呈快速上升趋势，比如y =x 2； ②当01α<<时，函数y x α=在第一象限内的图象呈缓慢上升趋势，比如 1 2 y x =； ③当0α<时，函数y x α=在第一象限内的图象呈下降趋势，比如1y x -=． 第二步：根据函数的奇偶性判断图象整体分布情况． ① 当m n α= （m ，n ∈N *，且互质）时： 若m ，n 均为奇数，则函数y x α=是奇函数，其图象关于原点对称； 若m 为偶数，n 为奇数，则函数y x α=是偶函数，其图象关于y 轴对称； 若m 为奇数，n 为偶数，则函数y x α=是非奇非偶函数，只在第一象限内有图象． ② 当m n α=- （m ，n ∈N *，且互质）时： 若m ，n 均为奇数，则函数y x α=是奇函数，其图象关于原点对称； 若m 为偶数，n 为奇数，则函数y x α=是偶函数，其图象关于y 轴对称； 若m 为奇数，n 为偶数，则函数y x α=是非奇非偶函数，只在第一象限内有图象． 3. 幂函数指数变化与图象分布规律 函数y x α=在第一象限的图象： ①a y x =；②b y x =；③c y x =；④d y x =；⑤e y x =；⑥f y x =， 则有a 反比例函数 知识整理 1、反比例函数的概念 一般地，函数x k y = （k 是常数，k ≠0）叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以写成1 -=kx y 的形式。自变量x 的取值范围是x ≠0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。 2、反比例函数的图像 反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量x ≠0，函数y ≠0，所以，它的图像与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。 3、反比例函数的性质 当k>0时，函数图像的两个分支分别在第一、三象限。在每个象限内，y 随x 的增大而减小。 当k<0时，函数图像的两个分支分别在第二、四象限。在每个象限内，随x 的增大而增大。 4、反比例函数解析式的确定 确定及诶是的方法仍是待定系数法。由于在反比例函数x k y = 中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k 的值，从而确定其解析式。 5、反比例函数中反比例系数的几何意义 如下图，过反比例函数)0(≠= k x k y 图像上任一点P 作x 轴、y 轴的垂线PM ，PN ，则所得的矩形PMON 的面积S=PM ?PN=xy x y =?。 k S k xy x k y ==∴= ,,Θ。 考点一、反比例函数的性质 【例1】已知反比例函数10 y x = ，当1 函数性质应用（讲义） ?知识点睛 一、函数的单调性 确定函数单调性的常用方法： （1）定义法：先求出函数的定义域，再根据取值、作差、变形、定号的顺序得结论． （2）图象法：若函数是以图象形式给出的，或可以作出函数图象，可由图象的升、降得出它的单调性或单调区间． （3）转化法：转化为已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，再根据“增+增得增”、“减-增得减”、“同增异减”等，求得函数的单调性或单调区间． 注： （1）确定函数单调性，优先确定定义域； （2）利用定义证明单调性，注意取值的任意性． 二、函数奇偶性判断的步骤 三、函数单调性与奇偶性的常用结论 1.若() f x是奇函数，且在原点处有定义，则f (0)=0． 2.奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y轴对称． 3.若() f x是奇函数，则() f x是 f x在关于原点对称的区间上单调性相同；若() 偶函数，则() f x在关于原点对称的区间上单调性相反． ?精讲精练 1. 函数|4||3| y x x =++-是（ ） A ． 奇函数 B ．偶函数 C ．非奇非偶函数 D ．既是奇函数又是偶函数 2. 已知函数(4)0()(4)0x x x f x x x x +?=?->， B ．240b ac -> 一次函数综合应用（讲义） 课前预习 1. 如图，直线l 1的表达式为y =-3x +3，且l 1与x 轴相交于 点D ，直线l 2经过A ，B 两点，直线l 1，l 2相交于点C ． （1）点D 的坐标为_____________； （2）直线l 2的表达式为_____________； （3）点C 的坐标为_____________． 2. 如图，在平面直角坐标系中，点A (2，0)，点B (0，4)． （1）△AOB 的面积为_____________； （2）点P 是y 轴上一点，若1 2AOP AOB S S =△△，则点P 精讲精练 1. 已知直线l 1与l 2相交于点P ，直线l 1的表达式y =2 x +3，点P 的横坐标为-1，且l 2交y 轴于点 A (0，-1)．则直线l 2的表达式为_________________． 2. 已知函数13y x b =-+的图象与x 轴、y 轴分别交与点A ，B ，与函数y =x 的图象交于点M ，点M 的横坐标为3，则点A 的坐标为___________． 3. 已知一次函数y =kx +b 的图象经过点(-2，5)，且与y 轴相交于点P ，直线1 3 2y x =-+与y 轴相交 于点Q ，点Q 恰与点P 关于x 轴对称，则这个一次函数的表达式为 ___________． 4. 如图，已知直线l 1：y =2x +3，直线l 2：y =-x +5，直线l 1，l 2与x 轴分别交于点 B ， C ，l 1，l 2相交于点A ．则S △ABC =________． 5. 如图，直线y =2x +m （m >0）与x 轴交于点A (-2，0)，直线y =-x +n （n >0） 与x 轴、y 轴分别交于点B ，C 两点，并与直线y =2x +m （m >0）相交于点D ，若AB =4．（1）求点D 的坐标；（2）求出四边形AOCD 的面积． 6. 已知直线3y mx =-中，y 随x 的增大而减小，且与直线x =1，x =3和x 轴围成的四边形的面积为 8，则m =________． 7. 已知直线6y kx =-经过第一、三、四象限，且与直线x =-1，x =-3和x 轴围成的四边形的面积为 16，则k =________． 适用学科 高中数学 态。 函数模型及其应用 要点梳理 1．几类函数模型及其增长差异 (2)三种增长型函数之间增长速度的比较 ①指数函数y＝a x (a>1)与幂函数y＝x n (n>0) 在区间(0，＋∞)，无论n比a大多少，尽管在x的一定范围内a x会小于x n，但由于y＝a x的增长速度快于y＝x n的增长速度，因而总存在一个x0，当x>x0时有____________． ②对数函数y＝log a x (a>1)与幂函数y＝x n (n>0) 对数函数y＝log a x (a>1)的增长速度，不论a与n值的大小如何总会慢于y＝x n的增长速度，因而在定义域内总存在一个实数x0，使x>x0时有____________．由①②可以看出三种增长型的函数尽管均为增函数，但它们的增长速度不同，且不在同一个档次上，因此在(0，＋∞)上，总会存在一个x0，使x>x0时有______________．2．解函数应用问题的步骤(四步八字) (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型； (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； (3)求模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义． 以上过程用框图表示如下： 注意： 解决函数应用问题重点解决以下问题 (1)阅读理解、整理数据：通过分析、画图、列表、归类等方法，快速弄清数据之间的关系，数据的单位等等； (2)建立函数模型：关键是正确选择自变量将问题的目标表示为这个变量的函数，建立函数的模型的过程主要是抓住某些量之间的相等关系列出函数式，注意不要忘记考察函数的定义域； (3)求解函数模型：主要是研究函数的单调性，求函数的值域、最大(小)值，计算函数的特殊值等，注意发挥函数图像的作用； (4)回答实际问题结果：将函数问题的结论还原成实际问题，结果明确表述出来． 基础自测 1．某物体一天中的温度T(单位：℃)是时间t(单位：h)的函数：T(t)＝t3－3t＋60，t＝0表示中午12∶00，其后t取正值，则下午3时的温度为________．2．某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加 10万元．又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)＝40Q－1 20 Q2，则总利润L(Q)的最大值是________万元． 3．(课本改编题)某种储蓄按复利计算利息，若本金为a元，每期利率为r，存期是x，本利和(本金加利息)为y元，则本利和y随存期x变化的函数关系式是______________． 4．某公司租地建仓库，已知仓库每月占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月车载货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比．据测算，如果在距离车站10千米处 几个初等函数的性质 一、基础知识 1．指数函数及其性质：形如y =a x (a >0, a ≠1)的函数叫做指数函数，其定义域为R ，值域为（0，+∞），当01时，y =a x 为增函数，它的图象恒过定点（0，1）。 2．分数指数幂：n m n m n n n m n m n n a a a a a a a a 1 ,1,,1 = ===--。 3．对数函数及其性质：形如y =log a x (a >0, a ≠1)的函数叫做对数函数，其定义域为（0，+∞）， 值域为R ，图象过定点（1，0）。当01时，y =log a x 为增函数。 4．对数的性质（M>0, N >0）； 1）a x =M ?x =log a M(a >0, a ≠1)； 2）log a (M N )= log a M+ log a N ； 3）log a （ N M ）= log a M- log a N ；4）log a M n =n log a M ；， 5）log a n M =n 1 log a M ；6）a loga M =M; 7) log a b =a b c c log log (a ,b ,c >0, a , c ≠1). 5. 函数y =x +x a （a >0）的单调递增区间是(]a -∞-,和[)+∞,a ，单调递减区间为[) ,a -和(] a ,0。（请读者自己用定义证明） 6．连续函数的性质：若a 0. 【证明】 设f (x )=(b +c )x +bc +1 (x ∈(-1, 1))，则f (x )是关于x 的一次函数。 所以要证原不等式成立，只需证f (-1)>0且f (1)>0（因为-10， f (1)=b +c +bc +a =(1+b )(1+c )>0， 所以f (a )>0，即ab +bc +ca +1>0. 例2 （柯西不等式）若a 1, a 2,…,a n 是不全为0的实数，b 1, b 2,…,b n ∈R ，则（∑=n i i a 1 2 ）·（ ∑=n i i b 1 2 ） ≥( ∑=n i i i b a 1)2，等号当且仅当存在∈μR ，使a i =i b μ, i =1, 2, …, n 时成立。 【证明】 令f (x )= （∑=n i i a 1 2）x 2 -2( ∑=n i i i b a 1 )x + ∑=n i i b 1 2=∑=-n i i i b x a 1 2)(, 因为 ∑=n i i a 1 2>0，且对任意x ∈R , f (x )≥0， 所以△=4(∑=n i i i b a 1)-4（ ∑=n i i a 1 2）( ∑=n i i b 12)≤0. 展开得（ ∑=n i i a 1 2）( ∑=n i i b 1 2)≥( ∑=n i i i b a 1 )2。 等号成立等价于f (x )=0有实根，即存在μ，使a i =i b μ, i =1, 2, …, n 。 第八讲 函数的应用 【知识引入】 一．基本初等函数的单调性： 1．反比例函数的单调性：)0(≠=k x k y ，由k 的符号确定； 2．分式函数的单调性：d cx b ax y ++=； 3．一次函数：)0(≠+=k b kx y ； 4．二次函数：)0(2≠++=a c bx ax y ；确定单调性要素?? ? ??-的大小②、对称轴的符号①、a b a 2 5．耐克函数：)0(＞c x c x y + =；双增函数：)0(-＞c x c x y =；双减函数：)0(-＞c x x c y =； 6．幂函数)21-3 1212-1-321(? ??? ?? ∈=、、、、、、、a x y a 7．指数函数)1,0(≠=a a a y x 且＞； 8．对数函数)1,0(log ≠=a a y x a 且＞； 9．三角函数：x y sin =、x y cos =、x y tan =； 10．其他函数：a x y -=、 b x a x y -+-=、 b x a x y --=-等。 二．复合函数的单调性：同增异减。 【知识拓展】 一．函数的迭代：一个函数的自复合，叫做迭代。我们用()k g x 表示()g x 的k 次迭代函数， 即01(),()(())k k g x x g x g g x +?=??=??。如果()(())()(1,2,,1) p k g x x g x x g x x k p ?=??≠=-??对一切使有定义的，则称()g x 有迭代周期p 。 迭代问题的解法通常是找它的迭代周期。一般说来，若()y g x =的图像关于直线y x =对称，则一定有(())g g x x =。它的迭代周期是2.下面是几个常见函数的迭代周期。 27()1x g x x -= +，迭代周期是3；1()1x g x x -=+，迭代周期是4；1()2x g x x +=-，迭代周期是6. 初三反比例函数讲义 第1节 反比例函数 本节内容： 反比例函数定义 反比例函数定义的应用（重点） 电流I 、电阻R 、电压U 之间满足关系式：U=IR 当U=220V 时，可以用含有R 的代数式表示I ：__________________ 舞台灯光的亮暗就是通过改变电阻来控制电流的变化实现的。当电流I 较小时，灯光较暗；当电流I 较大时，灯光较亮。 一般地，如果两个变量x 、y 之间的关系可以表示成x k y =k (为常数，)0≠k 的形式，那么称y 是x 的反比例函数。 反比例函数的自变量x 不能为零。 小注： （1）x k y = 也可以写成1-=kx y 或k xy =的形式； （2）x k y =若是反比例函数，则x 、y 、k 均不为零； （3）k xy =)0(>k 通常表示以原点及点()y x ,为对角线顶点的矩形的面积。 下列函数中是反比例关系的有___________________（填序号）。 ①3x y - = ②131+=x y ③x y 2-= ④221 1x y -= ⑤x y 23-= ⑥21=xy ⑦28x y = ⑧1-=x y ⑨2=x y ⑩x k y =k (为常数， )0≠k 确定解析式的方法仍是____________，由于在反比例函数x k y = 中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值，即可求出k 的值，从而确定其解析式。 由欧姆定律可知，电压不变时，电流强度I 与电阻R 成反比例，已知电压不变，电阻R=12.5欧姆，电流强度I=0.2安培。 （1） 求I 与R 的函数关系式； （2） 当R=5欧姆时，求电流强度。一次函数应用题(讲义及答案). (1)
高一数学必修1-函数模型及其应用
最新基本初等函数讲义(全)
函数性质综合运用(讲义)
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基本初等函数讲义
幂函数及函数应用(讲义)
反比例函数综合复习讲义全
函数性质应用(讲义)
一次函数综合应用(讲义及习题)
函数模型及其应用教案
适用年级
高一
适用区域 通用
课时时长（分钟）
2 课时
知识点 1.几类不同增长的函数模型的特点
2.用已知函数模型解决实际问题
3.建立函数模型解决实际问题
教学目标 1．利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体会直线上
升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义；
2．了解社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等）
的实例。
教学重点 了解函数模型的广泛应用。
教学难点 了解函数模型的广泛应用。
【教学建议】 本课内容是函数的应用，它的本质就是我们学习过的函数做为模型在现实问题刻画过程
中的基本操作过程和常见函数图象与性质在应用中的升华.本课内容是课本必修 1 中第三章 的重点内容之一，课本中还渗透了函数拟合的基本思想，这也为后面高中的学习做了铺垫。 通过本节的学习，要使学生从中体会函数模型刻画现实问题的基本过程并体会函数在数学及 其它地方的应用的广泛性，能初步运用函数的思想解决现实生活中的一些简单问题， 函数 模型本身就来源于现实，学生可以从理解知识升华到熟练应用知识，使他们能辩证地看待知 识理解与知识应用间的关系，与所学的函数知识前后紧紧相扣，相辅相成. 【知识导图】
教学过程
一、导入
【教学建议】 导入是一节课必备的一个环节，是为了激发学生的学习兴趣，帮助学生尽快进入学习状
第1页
导入的方法很多，仅举两种方法：
① 情境导入，比如讲一个和本讲内容有关的生活现象；
② 温故知新，在知识体系中，从学生已有知识入手，揭示本节知识与旧知识的关系，帮学
生建立知识网络。
提供一个教学设计供讲师参考：
环节
教学内容设计
材料：澳大利亚兔子数“爆炸”
在教科书第三章的章头图中，有一大群
喝水、嬉戏的兔子，但是这群兔子曾使澳
大利亚伤透了脑筋．1859 年，有人从欧洲
创
带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧
草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断
设
增加，不到 100 年，兔子们占领了整个澳
大利亚，数量达到 75 亿只．可爱的兔子变
情
得可恶起来，75 亿只兔子吃掉了相当于 75
亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降
境
低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口．这使
澳大利亚头痛不已，他们采用各种方法消
灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科
学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的
野兔，澳大利亚人才算松了一口气．
师生双边互动 师：指出：一般而言，在理想条件 （食物或养料充足，空间条件充裕， 气候适宜，没有敌害等）下，种群 在一定时期内的增长大致符合“J” 型曲线；在有限环境（空间有限， 食物有限，有捕食者存在等）中， 种群增长到一定程度后不增长，曲 线呈“S”型．可用指数函数描述一 个种群的前期增长，用对数函数描 述后期增长的
第2页函数模型及其应用复习讲义
高中数学竞赛讲义_几个初等函数的性质
第八讲 函数的应用自主招生讲义
反比例函数经典讲义,绝对经典!!
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