第一章算法初步
§1.3 算法案例——辗转相除法和更相减损术
制作人：计琳
【我们的任务】
1、阅读并体会辗转相除法和更相减损术的操作原理；
2、会用辗转相除法和更相减损术求两个数的最大公约数；
3、能根据辗转相除法和更相减损术设计完整的程序框图并写出算法程序。
【重点】自然语言、程序框图和算法语句表达辗转相除法和更相减损术。
【难点】辗转相除法和更相减损术的原理。
【自主导学与探究】
阅读教材P34～P37的有关内容，自主完成教材例1，思考并回答下列问题：
（一）辗转相除法
（1）辗转相除法，又叫欧几里得法，是一种求两个正整数的的古老而有效的算法。（2）辗转相除法是指对于给定的两个数，用除以，若余数不为零，则将余数和构成新的一对数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽，则这时就是原来两个数的最大公约数。
试一试：用辗转相除法求225和135的最大公约数．
问题一：辗转相除法的关键步骤是做带余除法：被除数＝除数×商＋余数。其中被除数，除数和除数、余数有相同的最大公约数，即gcd（被除数，除数）＝gcd（除数，余数）（gcd是greatest common divisor 即最大公约数的缩写），为什么呢？（可以通过多媒体技术查询资料）
问题二：辗转相除法中，这样的带余除法进行到什么时候为止呢？为什么？
（3）辗转相除法的算法步骤：
第一步，给定；
第二步,计算；
第三步, ；
第四步,若r=0,则m,n的最大公约数等于；否则返回。
(4)程序框图： 程序：
问题三：如果使用当型循环结构该如何制作程序框图及相应的程序？
（二）更相减损术
（1）更相减损术是我国古代数学专著《九章算术》中介绍的一种求 的算法.
（2）其基本过程是:第一步，任意给定两个正整数,判定它们是否都是 ，若是， ；若不是，执行 ．第二步,以 的数减去 的数，接着把所得的差与 的数比较，并以大数减小数，继续这个操作，直到所得的数 为止，则这个数（等数）或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数。
试一试②：用更相减损术求80和36的最大公约数．
（三）辗转相除法与更相减损术的区别
（1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以 为主，更相减损术以 为主，计算次INPUT , DO MOD LOOP UNTIL 0
PRTNT END
m n r m n
m n
n r
r m
====
数上辗转相除法计算次数相对，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。
（2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是则得到，而更相减损术则以相等而得到。
问题四：你能根据更相减损术设计程序，求两个正整数的最大公约数吗？
算法步骤：
第一步，给定两个正整数m,n，不妨设m>n
第二步，若m,n都是，则，使，后的两个数仍记为m,n 第三部，d=m-n
第四步，判断是否成立，若是，则将n,d中的较大者记为m，较小者记为n，返回第三步；否则，为所求的最大公约数。
程序：
【自主测评】
分别用辗转相除法和更相减损术求两个正整数282和470的最大公约数.
第4课时 选择结构 【学习目标】 1．理解流程图的选择结构这种基本逻辑结构． 2．能识别和理解简单的框图的功能． 3. 能运用三种基本逻辑结构设计流程图以解决简单的问题． 【问题情境】 某铁路客运部门规定甲、乙两地之间旅客托运行李的费用为 0.53, 50,500.53(50)0.85,50, c ωωωω?≤?=??+-?>?其中ω（单位：kg ）为行李的重量． 试给出计算费用c （单位：元）的一个算法，并画出流程图． 【合作探究】 学生讨论，教师引导学生进行表达． 解 算法为： 1S 输入行李的重量ω； 2S 如果50ω≤，那么0.53c ω←?， 否则500.53(50)0.85c ω←?+-?； 3S 输出行李的重量ω和运费c ． 上述算法可以用流程图表示为： 教师边讲解边画出第10页图1-2-6． 在上述计费过程中，第二步进行了判断． 知识建构 1．选择结构的概念： 先根据条件作出判断，再决定执行哪一种 操作的结构称为选择结构． 如图：虚线框内是一个选择结构，它包含一个判断框，当条件p 成立（或称条件p 为“真”）时执行A ，否则执行B ． 2．说明：（1）有些问题需要按给定的条件进行分析、比较和判断，并按判断的不同情 况进行不同的操作，这类问题的实现就要用到选择结构的设计； （2）选择结构也称为分支结构或选取结构，它要先根据指定的条件进行判断，再由判断的结果决定执行两条分支路径中的某一条； （3）在上图的选择结构中，只能执行A 和B 之一，不可能既执行A ，又执行B ，但A 或B 两个框中可以有一个是空的，即不执行任何操作；
（4）流程图图框的形状要规范，判断框必须画成菱形，它有一个进入点和两个退出点． 3．思考：教材第7页图121--所示的算法中，哪一步进行了判断？ 【展示点拨】 例1 设计求解一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的一个算法，并画出流程图． 分析 由于一元二次方程未必总有实数根，因此，求解时，要先计算判别式△24b ac =-，然后比较△与0的大小，再决定能否用求根公式求解．所以，在算法中应含有选择结构． 思考：如果要输出根的详细信息（区分是两个相等的实数根还是不等的实数根），如何修改上述算法和流程图？ 例 2 设计一个求任意数的绝对值的算法，并画出流程 图． 解 1S 输入任意实数x ； 2S 若0≥x ，则y x ←；否则y x ←-； 3S 输出y ． 算法流程图如右． 例3执行如右流程图，如果输入的x ，y ∈R ，那么输出的S 的最大 值为( )
高中数学必修三算法案例知识点 算法案例: 主要有辗转相除法、更相减损术、秦九韶算法、k进制化十进制的算法。 辗转相除的定义： 所谓辗转相除法，就是对于给定的两个数，用较大的数除以较小的数。若余数不为零，则将余数和较小的数构成新的一对数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽，则这时较 小的数就是原来两个数的最大公约数。 更相减损术的定义： 就是对于给定的两个数，用较大的数减去较小的数，然后将差和较小的数构成新的一 对数，再用较大的数减去较小的数，反复执行此步骤直到差数和较小的数相等，此时相等 的两数便为原来两个数的最大公约数。 比较辗转相除法与更相减损术的区别： 1都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区 别较明显。 2从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为0则得到，而更相减损 术则以减数与差相等而得到。 辗转相除法的一个程序算法的步骤： 第一步：输入两个正整数m,nm>n. 第二步：计算m除以n所得的余数r. 第三步：m=n,n=r. 第四步：若r=0,则m,n的最大公约数等于m;否则转到第二步.第五步：输出最大公约 数m. 更相减勋术的一个程序算法步骤： 第一步：输入两个正整数a,ba>b; 第二步：若a不等于b,则执行第三步;否则转到第五步; 第三步：把a-b的差赋予r;
第四步：如果b>r,那么把b赋给a,把r赋给b;否则把r赋给a，执行第二步; 第五步：输出最大公约数b. 1、算法概念： 在数学中，算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤.现在，算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题. 2、算法的特征 ①有限性：算法中的步骤序列是有限的，必须在有限操作之后停止，不能是无限的。 ②确定性：算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果，而不应当是模棱两可。 ③顺序性与正确性：算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，每一个步骤只能有一个确定的后续步骤，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行下一步，并且每一步都准确无误，才能完成问题。 ④不唯一性：求解某一个问题的解法不一定是唯一的，对于一个问题可以有不同的算法。 ⑤普通性：很多具体的问题，都可以设计合理的算法去解决，如心算、计算其计算都要经过有限、事先设计好的步骤加以解决。 <>的人还： 感谢您的阅读，祝您生活愉快。
【最新】2019年高中数学第1章算法初步1-4算法案例教材 梳理导学案 庖丁巧解牛 知识·巧学 1．几个常用函数符号 求余函数Mod(m,n)：Mod(m,n)表示取m除以n的余数. 如：m被3除余2，可表示为Mod(m,3)=2. 取整函数Int(x) :表示取不大于x的最大整数. 如：Int(2)=2,Int(2.3)=2,Int(2.6)=2. 误区警示不要与四舍五入相混淆Int(-2.3)=-3. 可用mInt(m/n)*n表示m除以n的余数，如m被3除余2，可表示为mInt(m/3)*3=2. 2．算法典型案例 案例1：韩信点兵——孙子问题 《孙子算经》中载有“物不知数”这个问题:今有物不知其数,三三数之剩二；五五数之剩三；七七数之剩二，问物几何？答曰“二十三”.这就是著名的孙子问题(记载于中国古代约公元3世纪成书的《孙子算经》,是原书卷下第26题).
这个问题可以简单地用一句话描述，即“一个正整数，被3，5，7除，余数分别为2，3，2”.设这个数为m，则可列关于x,y,z的方程 联想发散这一类问题的解法可以推广成解一次同余式组的一般方法．秦九韶给出了理论上的证明，并将它定名为“大衍求一术”.这个问题的通用解法称为“中国剩余定理”.秦九韶（公元1202—1261年），南宋数学家，著《数书九章》十八卷．全书共81道题，分为九大类：大衍类、天时类、田域类、测望类、赋役类、钱谷类、营建类、军旅类、市易类.其中对“大衍求一术”（一次同余组解法）和“正负开方术”（高次方程的数值解法）等有十分深入的研究.“大衍求一术”，在世界数学史上占有崇高的地位. 计算机解决：从2开始，让m依次去除，直到满足要求为止.这样，只要使用循环，由小到大依次搜索，直到找出满足条件的数即可.流程图如图1-4-1： 图1-4-1 案例2：辗转相除法求最大公约数 辗转相除法又称欧几里得算法，就是对于给定的两个数，用较大的数除以较小的数，若余数不为零，则将余数和较小的数构成一对新数，继续上面的除法，直到余数为零，此时的除数就是所求两数的最大公
八年级数学下册公式法（二）的概念导学案 （2）会用完全平方公式进行因式分解； （3） 清楚优先提取公因式，然后考虑用公式 本节重难点：1、用完全平方公式进行因式分解 2、 综合应用提公因式法和公式法分解因式 中考考点：正向、逆向运用公式，特别是配方法是必考点。 预习作业：请同学们预习教材内容： 1. 完全平方公式字母表示: . 2、形如222a ab b ++或222a ab b -+的式子称为 3. 结构特征：项数、次数、系数、符号 一、创设情境 导入新课 填空： （1）（a+b ）（a-b ） = ；（2）（a +b ）2= ； （3）（a –b ）2= ； 根据上面式子填空： （1）a 2–b 2= ；（2）a 2–2ab +b 2= ； （3）a 2+2ab +b 2= ； 二、归纳 结 论：形如a 2+2ab +b 2 与a 2–2ab +b 2的式子称为完全平方式． a 2–2ab+ b 2=（a –b ）2 a 2+2ab+b 2=（a+b ）2 完全平方公式特点：首平方，尾平方，积的2倍在中央，符号看前方。 三、合作探究 探究一、： 把下列各式因式分解： （1）x 2–4x +4 （2）9a 2+6ab +b 2 （3）m 2– 9 132+m （4）()()1682++++n m n m 探究二、将下列各式因式分解： （1）3ax 2+6axy +3ay 2 （2）–x 2–4y 2+4xy
学法指导：优先提取公因式，然后考虑用公式 探究三： 分解因式 （1） （2） （3） （4） 学法指导：把 分解因式时： 1、如果常数项q 是正数，那么把它分解成两个同号因数，它们的符号与一次项系数P 的符号相同 2、如果常数项q 是负数，那么把它分解成两个异号因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数P 的符号相同 3、对于分解的两个因数，还要看它们的和是不是等于一次项的系数P 探究四、当x 为何值时，多项式221x x ++取得最小值，其最小值为多少？ 四、当堂检测：1、因式分解 （1） （2） （3） 借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法， 叫做十字相乘法 口诀：首尾拆，交叉乘，凑中间。 2、选做： （1）若把代数式223x x --化为2()x m k -+的形式，其中m,k 为常数，求m+k 的值 （2）已知2246130x y x y +-++=，求x,y 的值 五、布置作业 六、教后反思 232++x x 6 72+-x x 21 42--x x 15 22-+x x q px x ++28 624++x x 2 223y xy x +-2 34283x x x --
2010年高考数学一轮复习精品学案(人教版 A 版) 算法案例 一.【课标要求】 通过阅读中国古代数学中的算法案例，体会中国古代数学对世界数学发展的贡献。 二.【命题走向】 算法是高中数学新课程中的新增内容，本讲的重点是几种重要的算法案例思想，复习时重算法的思想轻算法和程序的构造。 预测2010年高考队本讲的考察是：以选择题或填空题的形式出现，分值在5分左右， 考察的热点是算法实例和传统数学知识的结合题目 三.【要点精讲】 1 ?求最大公约数 (1)短除法 求两个正整数的最大公约数的步骤：先用两个数公有的质因数连续去除，一直除到所得 的商是两个互质数为止，然后把所有的除数连乘起来 (2)穷举法(也叫枚举法) 穷举法求两个正整数的最大公约数的解题步骤：从两个数中较小数开始由大到小列举，直到找到公约数立即中断列举，得到的公约数便是最大公约数 (3)辗转相除法 辗转相除法求两个数的最大公约数，其算法可以描述如下： ①输入两个正整数m和n; ②求余数r：计算m除以n,将所得余数存放到变量r中； ③更新被除数和余数：m=n, n=r; ④判断余数r是否为0。若余数为0,则输出结果；否则转向第②步继续循环执行. 如此循环，直到得到结果为止。 (4)更相减损术 我国早期也有解决求最大公约数问题的算法，就是更相减损术。在《九章算术》中记载了更相减损术求最大公约数的步骤：可半者半之，不可半者，副置分母？子之数，以少减多， 更相减损，求其等也，以等数约之 步骤： 1. 任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数。若是，用2约简；若不是，执行第二 步。 n.以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。继续这操作，直到所得的数相等为止，则这个数(等数)就是所求的最大公约数。 2. 秦九韶算法 秦九韶算法的一般规则： 秦九韶算法适用一般的多项式f(x)=a n x n+a n-1x n1+….-Bnx+a0的求值问题。用秦九韶算法求一般多项式f(x)= a n x n+a n-1x n-1 +….a1X+a0当x=x0时的函数值，可把n次多项式的求值问题转化成求n个一次多项式的值的问题，即求 V 0=a n V1=a n X+a n-1 V2=V1X+a n —2
2019-2020学年八年级数学下册 2.3运用公式法（一）导学案北师大 版 学习目标： （1）了解运用公式法分解因式的意义； （2）会用平方差公式进行因式分解； 本节重难点： 用平方差公式进行因式分解 中考考点：正向、逆向运用平方差公式。 预习作业： 请同学们预习作业教材P54~P55的内容： 1. 平方差公式字母表示: . 2. 结构特征：项数、次数、系数、符号 活动内容：填空： （1）（x+3）（x –3） = ； （2）（4x+y ）（4x –y ）= ； （3）（1+2x ）（1–2x ）= ； （4）（3m +2n ）（3m –2n ）= ． 根据上面式子填空： （1）9m 2–4n 2= ； （2）16x 2–y 2= ； （3）x 2–9= ； （4）1–4x 2= ． 结论：a 2–b 2=（a+b ）（a –b ） 平方差公式特点：系数能平方，指数要成双，减号在中央 例1： 把下列各式因式分解： （1）25–16x 2 （2）9a 2– 241b
变式训练： （1）24420.1649a b m n - （2）2219 a b -+ 例2、将下列各式因式分解： （1）9（x –y ）2–（x +y ）2 （2）2x 3–8x 变式训练： （1）22()()x m n y n m -+- （2）5a a - 注意：1、平方差公式运用的条件：（1）二项式（2）两项的符号相反（3）每项都能化成平方的形式 2、公式中的a 和b 可以是单项式，也可以是多项式 3、各项都有公因式，一般先提公因式。 例3：已知n 是整数，证明：2 (21)1n +-能被8整除。 拓展训练： 1、计算： )1)......(1)(1)(1(22221001413121----
一、选择题 1．用辗转相除法求35与134的最大公约数，第一步是（ ） A ．134－35＝99 B ．134＝3×35＋29 C ．先除以2，得到18 与67 D ．35＝25×1＋10 2．用更相减损术求60与75的最大公约数时，需要做的减法次数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3．用辗转相除法求60与48的最大公约数时，需要做的除法次数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4．运行下面的程序，当输入 84，36 时，输出的结果是（ ） A ．168 B ．3 C ．24 D ．12 5．用秦九韶算法求多项式2357)(2 345+++++=x x x x x x f 在 x = 2 时的值时，令2,,5,450150+=+==x v v x v v a v Λ ，则3v 的值为（ ） A ．82 B ．83 C ．166 D ．167 6．用秦九韶算法求多项式1876543)(2 3456++++++=x x x x x x x f 在 x = 0.4 时的值时，需要做乘法和加法的次数分别是（ ） A. 6，6 B. 5，6 C. 5，5 D. 6，5 7．下列各数中不可能是六进制数的为（ ） A ．123 B ．234 C ．345 D ．456 8．下列各数中最小的是（ ） A. 111111 (2) B. 1000(4) C. 85(9) D. 210 (6) 9．若十进制数 26 等于k 进制数 32，则k 等于（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．8 二、填空题 10．阅读如图所示的程序，若输入160，72，则输出的结果为_____________．
基于导学案的课堂教学案例研究报告 一、核心概念界定 1?导学案 导学案是在教学过程中，教师为了引导学生学习教学内容而编写的纸质文案。导学案包括：教学目标、教学重点、教学难点、课前预习、课中研讨、课堂与反馈练习、课堂小结、作业布置等环节。导学案的编写是教师精心指导学生进行自主学习，自主探究，自主创新的材料依据，从教师备课的角度来看，编写导学案是一种创造性劳动。 2?教学案例 教学案例是真实而又典型且含有问题的事件。简单地说，一个教学案例就是一个包含有疑难问题的实际情境的描述，是一个教学实践过程中的故事，描述的是教学过程中“意料之外，情理之中的事”。 二、研究目标 1 ?探究基于导学案下课堂教学案例的特征和研究方法 2.通过案例研究，改进和完善导学案教学的方法 3.提高教师的反思能力，促进教师专业成长。 三、研究内容 1.导学案下的教学案例的特征 2.导学案下的教学案例的行动研究方法 3.提高教师的反思能力，促进教师专业成长。 四、研究过程与方法 1.准备阶段：通过参考、阅读、借鉴相关文献书籍，研究设计更符合本学科课堂教学特点的教学案例。 2.实施阶段：结合教学实际，各教研组为单位，开展课堂观察，确立主题，开展案例分析研究，整理教学案例资料，撰写论文，并把好的经验进行推广，完善“导学案”的教学设计和方法，提高教学的有效性。 3.总结成果，成果形式为论文。收集和整理研究资料，分析实验情况，总结导学案使用过程中的成功经验以及存在的问题，提炼研究成果。 研究方法：文献研究法和行动研究法 五、预期研究成果 成果名称 成果 形式完成 时间 负责人
基于导学案的课堂教学案例研究 论文 子课题六：基于以学定教理念的导学案设计的研究 一、核心概念及其界定 1 .以学定教 以学定教是依据学情确定教学的起点、方法和策略。这里的学情包括学生的知识、能力基础，学生的年段认知水准，学生课前的预习程度，学生对新知的情绪状态等学习主体的基本情况。而“定教”，就是确定教学的起点不过低或过高，在恰当的起点上选择最优的教学方法，运用高超的教学艺术，让每一位学生达到最优化的发展。 “以学定教”是以学生为本，以科学高效的学法作为确定教法的根本依据，面向每个学生，让学生生动活泼的学习，让学生主动活泼的发展。 2.导学案 导学案是在教学过程中，教师为了引导学生学习而编写的纸质文案。导学案包括：教学目标、教学重点、教学难点、课前预习、课中研讨、课堂与反馈练习、课堂小结、作业布置等环节。导学案的编写是教师精心指导学生进行自主学习，自主探究，自主创新的材料依据，从教师备课的角度来看，编写导学案是一种创造性劳动。 二、研究目标 1.提高教师导学案的设计水平； 2.促进教师工作中的创新、提高教育教学质量。 三、研究内容 1.导学案设计的基本要素和结构 基本要素：问题设计、情景设计、教法设计及多媒体使用设计 基本结构：教师寄语、学习目标、学习过程、学习评价 2.导学案设计常见流程和方法 3.依据学情确定教学的起点、方法和策略 4.课堂评价方式的转变 四、研究过程、方法 1.调查阶段。2012年1月-2月
1页/共2页 专题：算法语句及算法案 例 ※知识要点 1．输入、输出语句 输入语句的格式为____________________． 输出语句的格式为____________________． 2．赋值语句的格式为______________||，赋值语句中“＝”叫做 赋值号||，计算机执行赋值语句时||，先计算“＝”右边表达式的 值|| ，然后把这个值赋给“＝”左边的变量．一个赋值语句只能 给一个变量赋值. 3．条件语句表达算法中的条件结构． 条件语句的一般格式是 IF条件THEN 语句体1 ELSE 语句体2 END IF 或IF—THEN语句的一般格式是 IF条件THEN 语句体 END IF 4．算法中的循环结构是由循环语句来实现的||，包括WHILE 语句和UNTIL语句两种语句结构． WHILE语句的一般格式是 WHILE条件 循环体 WEND ||， UNTIL语句的一般格式是 DO 循环体 LOOP UNTIL条件 5．算法案例 (1)辗转相除法与更相减损术：用来求两个数的； (2)秦九韶算法：用来通过一次式的反复计算求一个n次多项 式的值||，只需做次乘法和次加法； (3)进位制：是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统.“满 十进一”就是进制||，“满二进一”就是进制． ※题型讲练 【例1】判断下列给出的输入语句、输出语句和赋值语句是否 正确？为什么？ (1)输入语句INPUT a；b；c(2)输出语句A＝4 (3)赋值语句3＝B (4)赋值语句A＝B＝－2 变式训练1： 1．分别请写出下面运算输出的结果||。 (1) (2) (3) 【例2】阅读下列两个算法语句： (1) 出的结果为； (2)如图2||，当输入a||，b分别为2||，3时||，程序运行后输出 的结果为； 变式训练2： 1．阅读下面两个算法语句： 变式训练3： 1．用秦九韶算法求多项式f (x)=2x5+x4+3x3+5x2+2x+1当x=2 时的值||，并统计总共需要进行多少次乘法运算和加法运算． 2．按要求完成下列进位制的转化． (1)把二进制数101(2)化成十进制数； (2)把十进制数12化成二进制数； (3)把1201(3)化成五进制数； ※课后练习 1．下列给出的赋值语句中正确的是( ) A．3=A B．M=－M C．B=A=2 D．x+y=0 2．已知变量a||，b已被赋值||，要交换a、b的值||，采用的算 法是() A．a＝b||，b＝a B．a＝c||，b＝a||，c＝b C．a＝c||，b＝a||，c＝a D．c＝a||，a＝b||，b＝c 3．把89化成五进制的末尾数是() A．1 B．2 C．3 D．4 4．如图1||，程序运行的输出结果为( ) A．3||，4 B．7||，7 C．7||，8 D．7||， 11 5＝3时||，执行 ||) A C．4 6 f (x)=2x4+3x3－5x2+2x－6时||，要用到的乘法和加法的次数分别 为() A．4||，3 B．6||，4 C．4||，4 D．3||，4 7．如图3||，程序运行的结果是() ||，A．5 050 B．5 049 C．3 D．2
SX-13-11-041 《14.3.2 公式法（2）》导学案 编写人：王朝龙编写时间： 2014.10.18 班级：组名：姓名：等级： 【学习目标】: 1、会用完全平方公式分解因式。 2、会综合运用提取公因式法、公式法分解因式。 3、通过对完全平方公式的逆向变形及将一个整式看做“元”进行分解，发展观察、类比、归纳、预见等能力，体会换元思想，提高处理数学问题的技能。 【学习重点】：用完全平方公式因式分解。 【学习难点】：1、准确判断一个多项式是否为完全平方式2、用换元的思想来因式分解 【知识链接】：1、分解因式学了哪些方法？ 2、分解因式：①ax4-ax2②x4-16 3、除了平方差公式外你还学过什么公式？ 【学习过程】： 探究一、 1、完全平方式指的是 2、整式乘法的完全平方公式是 分解因式的完全平方公式是 3、填空 （1）a2+ +b2=(a+b)2 （2）a2-2ab+ =(a-b) 2 （3）m2+2m+ =( ) 2 （4）n2-2n+ =( ) 2（5）x2-x+0.25=( ) 2（6）4x2+4xy+( ) 2=( ) 2 4、分解因式 ①16x2＋24x＋9 ②-x2＋4xy -4y2③25x2＋10x＋1 ④ 9a2-6ab+b2⑤49a2+b2+14ab ⑥y2+y+ 4 1 ⑦ 3ax2＋6axy＋3ay2⑧ 探究二、分解因式 ①-a3b3+2a2b3-ab3② 9 - 12(a-b) + 4 (a-b )2③16a4+24a2b2+9b4探究三、1. 已知22是一个完全平方式，求的值 2、已知x2+4x+y2-2y+5=0, 求x-y的值 【课堂小结】:本节课你有什么收获？ 【当堂检测】： 1、下列多项式能用完全平方公式分解因式的是（） A X2-6X-9 B a2-16a+32 C x2-2xy+4y2 D 4a2-4a+1 2、若9x2－12x+k是一个完全平方式，则K的值是 若9x2－12x+k2是一个完全平方式，则K的值是 若m2－km+ 4 1 是一个完全平方式，则m的值是 3、分解因式 ①–x2-8x-16 ②2x4+4x3+2x3③ ma2-4ma+4m ④ a4-8a2b2+16b4⑤9(a-b)2-6(a-b)+1 ⑥–x4+x2y2 ⑦-2xy-x2-y2⑧x2+3x+ 4 9 ⑨（x+2）(x+3)-x2- 2 7 4、已知x2-4x+y2-10y+29=0，求x2y2+2x3y2+x4y2的值。 36 ) ( 12 ) (2+ + - +b a b a
1．1.1 算法的概念 学习目标 1.了解算法的含义.2.了解算法的思想.3.会用自然语言描述一些具体问题的算法． 知识点一算法的概念 思考1 有一碗酱油，一碗醋和一个空碗．现要把两碗盛的物品交换过来，试用自然语言表述你的操作办法． 思考2 某笑话有这样一个问题：把大象装进冰箱总共分几步？答案是分三步．第一步：把冰箱门打开；第二步：把大象装进去；第三步：把冰箱门关上．这是一个算法吗？ 梳理算法概念 知识点二算法的特征 思考1 设想一下电脑程序需要计算无限多步，会怎么样？ 思考2 算法与一般意义上具体问题的解法的区别与联系是什么？
梳理算法的五个特征 (1)有限性：一个算法的步骤是________的，它应在有限步操作之后停止． (2)确定性：算法中的每一步应该是________的，并且能有效地执行且得到确定的结果，而不是模棱两可的． (3)逻辑性：算法从初始步骤开始，分为若干个明确的步骤，前一步是后一步的前提，只有完成前一步，才能进行下一步，而且每一步都是正确无误的，从而组成具有很强逻辑性的____________． (4)普遍性：一个确定的算法，应该能够解决一类问题． (5)不唯一性：求解某一个问题的算法不一定只有唯一的一个，也可以有不同的算法． 特别提醒：判断一个问题是不是算法，关键是明确算法的含义及算法的特征． 知识点三算法的设计要求及描述 思考1 求解某一个问题的算法是不是唯一的？ 思考2 任何问题都可以设计算法解决吗？ 梳理 1．算法的设计要求 (1)写出的算法，必须能解决一类问题，并且能够重复使用． (2)要使算法尽量简单、通俗易懂． (3)要保证算法正确，且计算机能够执行． 2．算法的描述 描述算法可以有不同的方式，常用的有自然语言、框图(流程图)、程序设计语言等．(1)自然语言 自然语言就是人们日常使用的语言，可以是汉语、英语或数学语言等，用自然语言描述算法的优点是________________，当算法中的操作步骤按顺序执行时比较容易理解，缺点是如果算法中包含判断和转向，并且操作步骤较多时，就不那么直观清晰了． (2)框图(流程图) 所谓框图，就是指用规定的__________________来描述算法(这在下一节中将学习)．用框图描述算法，具有直观、结构清晰、条理分明、通俗易懂、便于检查、修改及交流等优点．
穷举法算法案例《用穷举法解决问题》教学设计 教学分析 1.教学目标知识与技能：了解什么是穷举法及其特点，以及用穷举法设计算法的基本过程；能够根据具体问题的要求，使用穷举法设计算法。 过程和方法：运用观察、发现、归纳、应用的方法，发展学生的归纳思维；培养学生独立探究与自主发现的学习能力。 情感态度与价值观：了解算法和程序设计在计算机解决问题过程中的重要性；体验将算法转变为程序的过程，享受计算机解决问题的快乐。 2.教学重点和难点 重点：用穷举算法解决问题的一般步骤；能根据具体问题的要求，提高运用穷举算法解决问题的能力。 难点：通过观察、类比多种方式培养学生归纳思维。
教学过程 1.创设情境激趣引入 教师活动：某同学用自己的QQ号登录，可他记不清密码了，你能帮他找回密码吗？他的密码是一个5位数，67□□8，其中百位和十位上的数字他不记得了，但他还记得该数能够被78整除，也能被67整除。你能帮他设计一个算法求出该密码吗？希望大家能在学习完下面这个例子后就可以解决这个问题。 设计意图：成功的教学不是强制，而是激发学生的学习兴趣，该导入正是从学生感兴趣的事情着手的。 2.观察―发现―归纳―应用 (1)观察。
教师活动：逐语句调试以下程序，分析程序的执行过程，让学生填写下表，指出此程序功能。 For i=100 to 999 a=int(i /100) b=int(i /10) mod 10 C=i mod 10 If a^3+b^3+c^3=ithen Printi Endif Next i (2)发现。 教师引导：在分析上一程序过程中，你能发现什么？
第3课时案例3 进位制 导入新课 情境导入 在日常生活中，我们最熟悉、最常用的是十进制，据说这与古人曾以手指计数有关，爱好天文学的古人也曾经采用七进制、十二进制、六十进制，至今我们仍然使用一周七天、一年十二个月、一小时六十分的历法.今天我们来学习一下进位制. 推进新课 新知探究 提出问题 （1）你都了解哪些进位制？ （2）举出常见的进位制. （3）思考非十进制数转换为十进制数的转化方法. （4）思考十进制数转换成非十进制数及非十进制之间的转换方法. 活动：先让学生思考或讨论后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路． 讨论结果： （1）进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统，约定满二进一，就是二进制；满十进一，就是十进制；满十二进一，就是十二进制；满六十进一，就是六十进制等等.也就是说：“满几进一”就是几进制，几进制的基数（都是大于1的整数）就是几. （2）在日常生活中，我们最熟悉、最常用的是十进制，据说这与古人曾以手指计数有关，爱好天文学的古人也曾经采用七进制、十二进制、六十进制，至今我们仍然使用一周七天、一年十二个月、一小时六十分的历法. （3）十进制使用0~9十个数字.计数时，几个数字排成一行，从右起，第一位是个位，个位上的数字是几，就表示几个一；第二位是十位，十位上的数字是几，就表示几个十；接着依次是百位、千位、万位…… 例如：十进制数3 721中的3表示3个千，7表示7个百，2表示2个十，1表示1个一.于是，我们得到下面的式子： 3 721=3×103+7×102+2×101+1×100. 与十进制类似，其他的进位制也可以按照位置原则计数.由于每一种进位制的基数不同，所用的数字个数也不同.如二进制用0和1两个数字，七进制用0~6七个数字. 一般地，若k是一个大于1的整数，那么以k为基数的k进制数可以表示为一串数字连写在一起的形式 a n a n-1…a1a0（k）（0＜a n＜k，0≤a n-1，…，a1，a0＜k). 其他进位制的数也可以表示成不同位上数字与基数的幂的乘积之和的形式，如 110 011（2）=1×25+1×24+0×23+0×22+1×21+1×20， 7 342（8）=7×83+3×82+4×81+2×80. 非十进制数转换为十进制数比较简单，只要计算下面的式子值即可： a n a n-1…a1a0(k)=a n×k n+a n-1×k n-1+…+a1×k+a0. 第一步：从左到右依次取出k进制数a n a n-1…a1a0(k)各位上的数字，乘以相应的k的幂，k的幂从n开始取值，每次递减1，递减到0，即a n×k n,a n-1×k n-1,…,a1×k,a0×k0； 第二步：把所得到的乘积加起来，所得的结果就是相应的十进制数. （4）关于进位制的转换，教科书上以十进制和二进制之间的转换为例讲解，并推广到十进制和其他进制之间的转换.这样做的原因是，计算机是以二进制的形式进行存储和计算数据的，而一般我们传输给计算机的数据是十进制数据，因此计算机必须先将十进制数转换为二
八年级数学下册 2.3运用公式法（二）导学案 北师大版 3、运用公式法 （二）学习目标：（1）了解运用公式法分解因式的意义；（2）会用完全平方公式进行因式分解；（3）清楚优先提取公因式，然后考虑用公式本节重难点： 1、用完全平方公式进行因式分解 2、综合应用提公因式法和公式法分解因式中考考点：正向、逆向运用公式，特别是配方法是必考点。预习作业：请同学们预习作业教材P57~P58的内容： 1、完全平方公式字母表示: 、 2、形如或的式子称为 3、结构特征：项数、次数、系数、符号填空： （1）（a+b）（a-b） = ；（2）（a+b）2= ；（3）（a–b）2= ；根据上面式子填空：（1）a2–b2= ；（2）a2– 2ab+b2= ；（3）a2+2ab+b2= ；结论：形如a2+2ab+b2 与a2–2ab+b2的式子称为完全平方式、a2–2ab+b2=（a–b）2 a2+2ab+b2=（a+b）2完全平方公式特点：首平方，尾平方，积的2倍在中央，符号看前方。例1： 把下列各式因式分解： （1）x2–4x+4 （2）9a2+6ab+b2（3）m2–（4）例
2、将下列各式因式分解：（1）3ax2+6axy+3ay2 （2）– x2–4y2+4xy 注：优先提取公因式，然后考虑用公式例3：分解因式（1）（2）（3）（4）点拨：把分解因式时： 1、如果常数项q是正数，那么把它分解成两个同号因数，它们的符号与一次项系数P的符号相同 2、如果常数项q是负数，那么把它分解成两个异号因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数P的符号相同 3、对于分解的两个因数，还要看它们的和是不是等于一次项的系数P变式练习：（1）（2）（3）借助画字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，叫做字相乘法口诀：首尾拆，交叉乘，凑中间。拓展训练：１、若把代数式化为的形式，其中m,k为常数，求m+k的值２、已知，求x,y的值３、当x为何值时，多项式取得最小值，其最小值为多少？
第6课时 赋值语句和输入、输出语句 【学习目标】 1．通过实例，使学生理解三种基本的算法语句（输入语句、输出语句和赋值语句）的表示方法、结构和用法． 2．进一步体会算法的基本思想，学会有条理地、清晰地表达解决问题的步骤，提高逻辑思维能力． 【问题情境】 问题1 已知我班某学生上学期期末考试语文、数学和英语学科成绩分别为80，100，89，试设计适当的算法求出这名学生三科的平均分． 【合作探究】 1．学生讨论，教师引导学生写出算法并画出流程图． 流程图： 2．怎样将以上算法转换成计算机能理解的语言呢？ 知识建构 1．伪代码： 伪代码是介于自然语言和计算机语言之间的文字和符号，是表达算法的简单而实用的好方法．为了今后能学好计算机语言，我们在伪代码中将使用一种计算机语言“BASIC 语言”的关键词． 2．赋值语句： 赋值语句是将表达式所代表的值赋给变量的语句．例如：“x y ←”表示将y 的值赋给x ，其中x 是一个变量，y 是一个与x 同类型的变量或表达式． 说明： ①赋值语句中的赋值号“←”的左右两边不能对换，它将赋值号右边的表达式的值赋算法： S1 a ←80 S2 b ←100 S3 c ←89 S4 A ←(a ＋b ＋c )/3 S5 输出A
给赋值号左边的变量； ②赋值语句左边只能是变量名字，而不是表达式，右边表达式可以是一个数据、常量或表达式； ③对于一个变量可以多次赋值． 3．输入、输出语句： 输入、输出语句分别用“Input ”（或者“Read ”）和“Print ”来描述数据的输入和输出． （1）输入语句与赋值语句的区别在于：赋值语句可以将一个代数表达式的值赋于一个变量，而输入语句由于要求输入的值只能是具体的常数，不能是函数、变量或表达式，因此输入语句只能将读入的具体数据赋给变量． （2）输出语句的主要作用是：①输出常量、变量的值和系统信息；②输出数值计算的结果． 【展示点拨】 例1 写出求23x =时多项式3273511x x x +-+的值的算法． 算法1 3223 73511 x p x x ←←+-+ 算法2 23 ((73)5)11x p x x x ←←+-+ 例2 “鸡兔同笼”是我国隋朝时期的数学著作《孙子算经》中的一个有趣而具有深远影响的题目：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？” 请你先列出解决这个问题的方程组，并设计一个解二元一次方程组的通用算法，并画出流程图，写出伪代码． 例3 设计一个求任意三门功课的平均值的算法流程图,并写出相应伪代码． 【解】 流程图：
1．3 算法案例 1．问题导航 (1)什么叫辗转相除法？ (2)什么叫更相减损术？ (3)辗转相除法与更相减损术的区别是什么？ (4)什么是秦九韶算法？ (5)学习了十进制，知道十进制是使用0～9十个数字，那么二进制、五进制、七进制分别使用哪些数字？ 2．例题导读 通过对例1的学习，学会用更相减损术求最大公约数； 通过对例2的学习，学会用秦九韶算法求多项式的值； 通过对例3的学习，学会如何将二进制化为十进制； 通过对例4的学习，学会如何将k进制化为十进制； 通过对例5的学习，学会如何将十进制化为二进制； 通过对例6的学习，学会十进制化为k进制的方法：即“除k取余法”(k∈N，2≤k≤9)． 1．辗转相除法与更相减损术 (1)辗转相除法：又叫欧几里得算法，是一种求两个正整数的最大公约数的古老而有效的算法． (2)更相减损术：我国古代数学专著《九章算术》中介绍的一种求两个正整数的最大公约数的算法． 2．秦九韶算法 功能它是一种用于计算一元n次多项式的值的方 法 改写后的形式f(x)＝a n x n＋a n－1x n－1＋…＋a1x＋a0 ＝(a n x n－1＋a n－1x n－2＋…＋a1)x＋a0 ＝((a n x n－2＋a n－1x n－3＋…＋a2)x＋a1)x＋a0 ＝… ＝(…((a n x＋a n－1)x＋a n－2)x＋…＋a1)x＋a0 计算方法从括号最内层开始，由内向外逐层计算v1＝a n x＋a n－1， v2＝v1x＋a n－2， v3＝v2x＋a n－3， v n＝v n－1x＋a0，
… 这样，求n次多项式f(x)的值就转化为求n 个一次多项式的值. 3.进位制 (1)进位制 进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，“满几进一”就是几进制，几进制的基数就是几． (2)其他进位制与十进制间的转化 ①其他进位制化成十进制 其他进位制的数化成十进制时，表示成不同位上数字与基数的幂的乘积之和的形式． ②十进制化成k进制的方法——“除k取余法”． 1．用更相减损术求294和84的最大公约数时，需做减法运算的次数是( ) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：选C.294－84＝210，210－84＝126，126－84＝42，84－42＝42，共做4次减法运算． 2．用秦九韶算法计算多项式f(x)＝3x6＋4x5＋5x4＋6x3＋7x2＋8x＋1当x＝0.4时的值时，需要做乘法和加法的次数分别是( ) A．6，6 B．5，6 C．5，5 D．6，5 答案：A 3．完成下列进位制之间的转化． (1)1 034(7)＝________(10)； (2)119(10)＝________(6)． 解析：(1)1 034(7)＝1×73＋0×72＋3×7＋4×70＝368. (2) ∴119(10)＝315(6)． 答案：(1)368 (2)315 4．当所给的多项式按x的降幂排列“缺项”时，用秦九韶算法改写多项式时，应注意什么？ 解：所缺的项写成系数为零的形式，即写成0·x n的形式． 1．对于任何一个数，我们可以用不同的进位制来表示． 2．表示各种进位制数一般在数字右下角加注来表示，如111 001(2)表示二进制数，34(5)表示5进制数． 3．电子计算机一般都使用二进制． 4．利用除k取余法，可以把任何一个十进制数化为k进制数，并且操作简单、实用．5．通过k进制数与十进制数的转化，我们也可以将一个k进制数转化为另一个不同基数的M进制数．
1.3《算法案例1——辗转相除法与更相减损术》导学案 【学习目标】 1、会用辗转相除法和更相减损术求最大公约数； 2、能根据辗转相除法和更相减损术设计完整的程序框图并写出算法程序。 【课前导学与探究】 （一）辗转相除法 （1）辗转相除法，又叫欧几里得法，是一种求两个正整数的的古老而有效的算法。 （2）辗转相除法是指对于给定的两个数，用除以，若余数不为零，则将余数和构成新的一对数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽，则这时就是原来两个数的最大公约数。 试一试①：用辗转相除法求288和123的最大公约数． （3）辗转相除法的算法步骤：第一步，给定；第二步,计算；第三步, ；第四步,若r=0,则m,n的最大公约数等于；否则返回。 (4)程序框图：程序： （二）更相减损术 （1）更相减损术是我国古代数学专著《九章算术》中介绍的一种求的算法. (2)其基本过程是: 第一步，任意给定两个正整数,判定它们是否都 是，若是，；若不是，执行．第二步,以的数减去的数，接着把所得的差与的数比较，并以大数减小数，继续这个操作，直到所得的数为止，则这个数（等数）或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数。 试一试②：用更相减损术求80和36的最大公约数． （三）辗转相除法与更相减损术的区别 （1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以为主，更相减损术以为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。 （2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是则得到，而更相减损术则以
相等而得到。 试一试③：分别用辗转相除法和更相减损术求两个正整数282和470的最大公约数. 【精讲点拨】 例1.用辗转相除法和更相减损术两种方法求1734和816的最大公约数． 变式：求1734和816的最小公倍数． 例2.求324,243和135的最大公约数． 【巩固练习】 1、用辗转相除法求295和85的最大公约数时,需要做出除法的次数是 ( ) A 1. B 2. C 3. D 4 2、下列各组关于最大公约数的说法中不正确的是（） A.16和12的最大公约数是4 B.78和36的最大公约数是6 C.85和357的最大公约数是34 D.105和315的最大公约数是105 3、求下列各组数的最大公约数（先用辗转相除法求，再用更相减损术验证） （1）225，135；（2）840，1785；（3）612，468；（4）36，54，90.
【学习重点与难点】：因式分解的方法和运用 【导学过程】 一、知识再现:（阅读教材，理解记忆） 1、因式分解： 2、用提公因式法分解因式 （1）基本方法，（2）找公因式的方法， 3、因式分解中运用的公式 （1）=-22b a ，（2）=+±222b ab a ， 4、因式分解的应用． 二、典例分析 1、提公因式法分解因式 例1 因式分解：b a ab 223+= 变式1、因式分解：x x 52- = 变式2、因式分解： 2263ab b a += 2、公式法分解因式 例2、因式分解：3212123a a a ++= 变式3、因式分解：296ab ab a +-= 变式4、因式分解：23ab a -=
3、因式分解的应用 例3 解方程的值求代数式224320042200452y x x y y x -?? ???=-=+ 变式5、若622=-n m 且2=-n m 则=+n m 三、巩固提高 1. 下列分解因式正确的是 （ ） A 、﹣a +a 3=﹣a （1+a 2） B 、2a ﹣4b +2=2（a ﹣2b ） C 、a 2﹣4=（a ﹣2）2 D 、a 2﹣2a +1=（a ﹣1）2 2．分解因式：321025=a a a -+ 3、因式分解：a 2 ﹣6a+9= 4、分解因式：3222b ab b a +-= 5、分解因式：8（x 2﹣2y 2）﹣x （7x+y ）+xy ．
【课堂反馈】 1、下列式子变形是因式分解的是【 】 A ．x 2－5x ＋6＝x (x －5)＋6 B ．x 2 －5x ＋6＝(x －2)(x －3) C ． (x －2)(x －3)＝x 2－5x ＋6 D ．x 2－5x ＋6＝(x ＋2)(x ＋3) 2、若实数x 、y 、z 满足2()4()()0x z x y y z ----=．则下列式子一定成立的是（ ） (A)0x y z ++= (B) 20x y z +-= (C) 20y z x +-= (D) 2=0x z y +- 3、分解因式：3269x x x -+= 4、分解因式：=+-+)(3)(2y x y x 5、已知1=-b a ，则b b a 222--的值