数阵图
知识要点
数阵图就是将一些数按照一定要求排列而成的某种图形，有时简称数阵．
常见的数阵图有以下三种：
1.有一种数阵图，它们的特点是从一个中心出发，向外作了一些射线，我们把这种数阵图叫做辐射型数阵图．填辐射型数阵图的关键是确定中心数以及每条线段上的几个数的和，然后通过对各数的分析，进行试验填数求解．
2.有一种数阵图，它的各边之间相互连接，形成封闭图形，我们称它们为“封闭型数阵图”．填这样的图形，主要是顶点数字，抓住条件提供的关系式，进行分析，用试验的方法确定顶点数以及各边上的数字之和，最后填出数阵图．
3.有的数阵图既有辐射型数阵图的特点，又有封闭型数阵图的要求，所以叫做“复合型数阵图”．我们在思考数阵图问题时，首先要确定所求的和与关键数间的关系，再用试验的方法，找到相等的和与关键数字．
数阵图的解题关键是找”重复数”。
解题步骤：
?的形式。
一.从整体考虑，将要求满足相等的几个数字和全部相加，一般为n S
二.从个体考虑，分别计算每一个位置数字相加的次数，将比较特殊的（多加或少加几次）位置数
字用未知数表示，全部相加，一般为题目所给全部数字和?一般位置数字相加次数±特殊位置数字和?多加或少加次数的形式。
三.根据整体与个体的关系，列出等式即
四.
放射型
老师带领同学们一起去参加数学灯谜会，同学们在里面玩的热火朝天，其中有个灯谜是这样的： 把5~1这五个数分别填在下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于9．那么应该怎么填呢？
【分析】1234515++++=，92153?-=，可见中间的重叠数为3。如此可得填法如右上图。
小猴丁丁和当当一起玩数阵游戏，他们在地上画了个如图所示的数阵，丁丁出题，它在最中间的圆圈中写了数字5，要求当当把4~1这四个数填入剩下的四个○里，使两条直线上的三个数之和相等．你能帮当当解决这道题吗？
14235+=+=，可得填法如右上图。
把5~1这五个数填入右图中的○里，使每条直线上的三个数之和相等．
方法
整除性
尝试
列出等式
个体考虑
整体考虑
数阵图
54
3215
【分析】根据题意可知15~这几个数的和再与中间的重叠数作和结果是2的倍数，而
1234515++++=为奇数，那么中间的重叠数只能是奇数：1、3、5，由此可推得结果
如右上图。
将7~1这七个自然数填入下图的七个○内，使得每条边上的三个数之和都等于10．你能做到吗？
【分析】123456728++++++=，(10328)21?-÷=，可见重叠数为1，那么可得填法如右上图。
把7~1这七个数分别填入下图的○内，使每条线段上三个○内数的和相等。
【分析】123456728++++++=，这几个数的和再与重叠数的两倍作和是3的倍数，那么重叠数
的取值有147、、，对应的每边三个数的和为101214、、，可得填法见右上图。
数学王国的大门有一把密码锁，它的形状如下，只有将 20~10填入其中的○内，其中15已填好，
使每条边上的三个数之和都相等才能把这把锁打开，顺利的进入数学王国，你也试试吧．
5
4
2
3
15
4
12
33
4
21
56
5
43
1277
5
42
1363
17
5
4
621
2
56
743
【分析】法一：每条边上的三个数之和等于 455]415)201110[(=÷?++++ΛΛ．剩下的十个数
中，两两之和等于301545=-的有16,14;17,13;18,12;19,11;20,10于是得到右上图的填
法。
法二：五条边上除重叠数之外的两个数的和都是相等的，(10112015)530+++-÷=K ，
也即是说另两个数之和等于30，同样可得填法如右上图。
（第六届“中环杯”复赛）将1到11这11个数分别填入图中是每条线上三个数的和相等.
【分析】因为661110321=+++++ΛΛ中间一个数（设为A ）再重复4次，则五条边的总和为A 466+，
A 466+应正好可以整除5，则ΛΛ1109070466、、=+A 经过验证，1611A =、、，对应的每
条边上三个数的和为141822、
、。可得填法如右上图。
将7~1这七个数分别填入左下图中的○里，使每条直线上的三个数之和都等于12．
【分析】?+++++++27654321中间数?+=228中间数312?=，中间数为4，填法如右上图． 将19~分别填入下图的○中，使得横、竖五个数相加的和都等于25。
15
16
1417
13
181219
1120
10
15
7
68
59
4
10
311
21
7
58
4
9
3
10
21116
6
57
4
83
9
2101
11
7
6
5
1
2
34
将9~1填入右图小方格里，使横行和竖列上五个数之和相等．
【分析】12345678945++++++++=，可见重叠数为奇数：13579、
、、、，那么可得答案如下图所示：
把1~6这6个数填入下图的○内，使每条直线上3个数的和为9，怎样填？
【分析】设中间三个数为a b c 、、，那么有 123627a b c +++++++=L L ，可见6a b c ++=
则a b c 、、 三个数分别为123、、.填法如右上图所示.
封闭型
6
5
12
3
4
周末小猪熊去小猴家里玩，过桥的时候遇到了狐狸，狐狸有意刁难它，就挡住了小猪熊的去路，狐狸狡猾的对它说：“只要你能把6,5,4,3,2,1六个数字分别填入下图的六个圆圈中，使每一边三个数相加的和都等于9．我就让你过桥．”小猪熊想了一下，不慌不忙的填了出来，你知道聪明的小猪熊是怎么解答的吗？
【分析】根据题意，要求每边三个数的和都是9，那么三边的和应为2739=?．但是6~1六个数
的和等于21，三行数的和比题中六个数的和多62127=-，也就是说三个顶点数之和是6：
1236++=，可得答案如右上图。
（2007“数学解题能力展示"三年级组初赛试题）将6~1这六个自然数分别填入右图的六个○中使得三角形每条边上的三个数之和都相等．
【分析】根据题意可知三个顶点中的数的和必为3的倍数，其中最小：1236++=，最大：
45615++=，可见三个顶点的和只能是12,9,6或15，对应的每条边上的三数之和就是
11,10,9或12．填法如下：
每边三数之和9= 每边三数之和10= 每边三数之和11= 每边三数之和12=.
将自然数7~1填入右图的七个○中，使得横、竖、斜的每条直线上的三个数之和都相等．
65
4
3
2
165
4
3
2
165
4
3
216
5
4
32
1
6
5
4321
7
26
431
5
【分析】三角形顶上的数重叠3次，其他数都重叠2次．所以有：+?+++2)721(ΛΛ顶上的数=
每条线上的三个数之和5?，+56顶上的数=每条线上的三个数之和5?．由上式等号左端
是5的倍数，推知“顶上的数”4=．所以每条线上的三个数之和为125)456(=÷+．经试验可得如上填法(填法不唯一)。
（第七届小机灵杯复赛第6题）将1，4，7，10，13，16，19，22，25这9个数分别填入下图的9个○中，使三条边上○中的四个数的和都相等，每条边上四个数的和最大是 。
【分析】这些数的和为147101316192225117++++++++=，而三条边上数的和的和等于这些数
的和再加上三个顶点上的数的和，那么若要每条边上的四个数的和最大，则只需保证三个顶点上的数最大，那么三个顶点上的数应该为25，22，19，由此可知最大的和为(117252219)361+++÷=。
用1~9这九个数字填入下图中，使得每条边上的四个数的和都等于A ，问A 可以等于哪些数?给出你的填法．
【分析】9~1这九个数的和是45，于是顶点上的数之和应为453-?A ，这个和是3的倍数，它最
小是6321=++，最大是78924++=，从而A 可以取23,22,21,20,19,18,17．但是，当A
为18或22时，都得不出一个合乎题目要求的解答，所以A 只能为23,21,20,19,17这五个数．图(1)、(2)、(3)、(4)、(5)给出了这五种填法．
将1~8这八个数分别填入下图的○中，使两个大圆上的五个数之和都等于21．
【分析】1234567836+++++++=，212366?-=，可见两个重叠数之和为6：156+=、
246+=，可得填法如右上图：
班上进行民主选举，谁能在图中Z Y X ,,三个小圆圈内各填上一个数，使得每条直线上三个数的和都等于大三角形三个顶点上三个数的和，谁就是数学课代表，你也来试一试吧．
【分析】如图，我们把三条直线上的三个和相加，相当于把4算了三遍，6,5,1算了一遍，三个顶点
上的数各算了一遍．根据题意，这三个和应该是相等的，并且和三个顶点上的和也相等．那么+++?51346+三个顶点和=三个顶点和3?。那么很明显，这个4315624?+++=就是我们最关心的这个和的两倍，那么这个和就是12．所以，图中x 处
的数是35412=--；图中y 处的数是71412=--；图中z 处的数是26412=--．答案如右上图所示。
如图 “学、而、思、未、来、命、运”这7个汉字分别代表1至7这7个数字。已知3条直线上的3个数相加、2个圆周上的3个数相加，所得的5个和相同。那么，“学”字代表多少？
（1）
A=17659
87
4
3
2
1（2）
A=196
5
9
87432
1（3）
A=206
59
8
7
4
3
21（4）
A=2165
9
8
74
321
（5）
A=23
6
5
9
8
743217
28
6
4
3
1
5
7
2
8
6
4
3
1
5
z
y
x 6541
7
654
32
1
【分析】计算5个和的和，这个和一定是5的倍数，其中“学”字计算了三遍，其它数只是被计算了
2遍，因此这个和等于()12345672++++++?+ “学”56=+ “学”，这个“学”只能是4才
能保证这个和能被5整除。
9~2这八个数分别填入下图的○里，使每条边上的三个数之和都等于18．
【分析】四个角上的数是重叠数，重叠次数为1．所以四个重叠数之和等于
28)932(418=+++-?ΛΛ．而在已知的八个数中，四数之和为28的只有：
289874=+++或289865=+++．又由于18918=--，1不是已知的八个数之一，所
以，8和9只能填对角处．由此得到上面中间两图所示的重叠数的两种填法：“试填”的结果，只有右上图的填法符合题意
把1，2，3，4，5，6，7，8，这8个数分别填入下图的8个空格中，使正方形每条边上三个数的和都等于13。
【分析】因为每边上的和为13，那么四条边上的数字之和为13452?=，而12836+++=L ，所
以四个角上的四个数之和等于523616-=。在18~中选四个数，四数之和等于16，且其
中任意三个的和不等于13的只有：16126712581456=+++=+++=+++。经试验，只有右上图的两种填法。
运
命
来
未
思
而学9
874
9
86
5
987
6
5432
2
3
8645
7
1
6
253
7
4
8
1
20以内共有10个奇数，去掉9和15还剩八个奇数，将这八个奇数填入下图的八个○中(其
中3已经填好)，使得图中用箭头连接起来的四个数之和都相等．
【分析】题中所给的数有1、5、7、11、13、17、19，这八个数的和为76，这个和再加上两个重
叠数的两倍应该为3的倍数，设另一个重叠数为A ,那么有8223A +=的倍数，A 的取值
有171319、
、、，对应的每条线上四个数的和为28323640、、、，其中当A 取713、的时候不合题意，那么可得填法见右上图。
已知3a b +=，5b c +=，7c d +=，9d e +=，11e f +=，13f g +=，15g h +=，9h a +=，
那么这个圆上所有的数字之和是多少？
【分析】每个数都被加了两次，所以圆上所有数字的和(35791113159)236=+++++++÷=。
在下图中的10个○内填入09~这10个数字，使得循环式成立：
h g
f
e
d
c
b
a
【分析】五个等式中有五个和式，其中两式的和大于另外三式的和，设较大的和为a，较小的和为
L，由上式知b必为奇数，又由b最小为5，最大为
+=+++=
a b
b，则有：2301945
7，可得如右上图两解。
~中选择六个数填入□内，使得按顺时针方向计算的各关系式成立：
在下列各图中，分别从18
【分析】能被2和4整除的数有4与8，左上角的数为4或8，如果为8，为一种情况，如果是4是另一种情况，答案见右上图。
将1，2，3，4，5，6，7，8，这8个数分别填入下图的8个空格中，使四边正好组成加、减、乘、除4个正确的等式。
【分析】小于10且能表示成两个不同的数的乘积的数只有6和8，如此可确定左下角的数为2，左上角和右下角的数可以是6或8,左边和下边对应填上3和6，剩下1、5、7，如此即可试
出结果。
19
~分别填入小三角形内(每个小三角形内只填一个数)，要求靠近大三角形三条边的每五个数相加和相等。想一想，怎样填这些数才能使五个数的和尽可能大一些？（只需填写一种）
【分析】12345678945++++++++=用s 表示靠近大三角形三条边的五个数的和。因为有三个
小三角形所填的数在求和时只用了一次(用a ，b ，c 来表示这三个数)，其余均用了两
次。于是()4523a b c s
?-++=。要使s 尽可能大，只要a b c ++尽可能小。所以，
1236a b c ++=++=。于是9063s -=，28s =。剩下的六个数分成三组，并且每组中两
数的和是三个连续自然数，那么：4812+=；6713+=；5914+=。经过调配可得到几十种填法，右上图是填法之一。
请在图中的每个圆圈内填入不同的自然数，使得图中每个圆圈中所填的数都是上一行与它相邻的两个圆圈中所填数的和，最下面的数是20。
【分析】如果第一行填入的是x 、y 、z 、w ，则203()x w y z =+++，所以y z +不超过6 且最
小为3，如果3y z +=时，1147x w +==+，（x 、w 不能取1、2、3），第一行有两
种情况：7，1，2，4与4，1，2，7，分别对应不同的第二行；当413y z +==+时，826x w +==+，其中2不能与1相邻，所以第一行只有一种情况，即2，3，1，6；当51423y z +==+=+时，5x w +=，不论怎样排列，都有重复，所以只有三种填法，如
右上图。
能否将数09~分别填入下图的各个圆圈内，使得各阴影三角形的3个顶点上的数之和相等？
b
c
a
7
1
26
59
3
4
8
20
11
209867
4
321
12209857
4
321
112096
574
321
【分析】012945++++=L ，45-中心数3=个阴影三角形的3个顶点上的数字之和，所以中心
数必须是3的倍数，只能是0，3，6，9。枚举法试验，中心数只能是3，6，答案如
图。
下图包括6个加法算式，将18~填入除最右边圆圈以外的8个圆圈中，使6个算式都成立。那么最右边的圆圈中的数是多少？应该怎么填？
【分析】最右边的数等于最左边三个数以及中间的数的和，即()128312
+++÷=L 。当这四个数
分别取1、3、6、2时可以不出现重复数字，填法如右上图。
图中有大、中、小三个正方形，组成了8个三角形。现在先把1、2、3、4分别填在大正方形的4个顶点上，再把1、2、3、4分别填在中正方形的4个顶点上，最后把1、2、3、4分别填在小正方形的4个顶点上。 ⑴能否使8个三角形顶点上数字之和都相等？如果能，给出填数方法；如果不能，请说明理由。⑵能否使8个三角形顶点上数字之和各不相同？如果能，给出填数方法；如果不能，请说明理由。
【分析】（1）不能，如果能，则8个三角形顶点和的总和应该是8的倍数，但是这个总和有三组1、
2、3
、4组成，其中一组被计算三次，一组被计算两次，一组被计算一次，因此该总和
的值为
()6123460
?+++=，不是8的倍数，产生矛盾，因此没有任何填法使8个三角形
顶点上数字之和都相等。
（2）能，如上图。
34
4
34
12
2
2
3
1
1
一课一练
【练习1】 老师在一节课上出了一道智力题，题目是这样的，有
一个图形（如下图），要求将6—10这五个数分别填在下图中的方格里，使得使得横行三数之和与竖列三数之和都等于24．那么应该怎么填呢？
【分析】6+7+8+9+10=40，24×2-40=8，可见中间的重叠数为8。如此可得填法如右上图。
【练习2】 将8--14这七个自然数填入下图的七个○内，使得每
条边上的三个数之和都等于33．你能做到吗？
【分析】8+9+10+11+12+13+14=77，（33×3-77）÷2=11，可见重叠数为11，那么可得填法如右上图。
【练习3】
将1～7的数填入圆圈中，使每边上的3个数字之和都
相等。
%【分析】
此图是辐射型33—图，中间○内的4是重叠数，并且重叠了2次，所以每条边上
的3个数之
10
9
87
61413
121110
9
84
6
5
4
32
17
和等于()12742312++?++?÷=???
?,剩下的6个数中，两两之和等于1248-=的有172635、； 、； 、,填法如右上图。
【练习4】
将6~1六个自然数分别填入下图的○内，使三角形
每边上的三数之和都等于10．
【分析】因为每边上的和为10，那么三条边上的数之和为30310=?，而21621=+++ΛΛ，所以
三个角的三个数之和等于92130=-，在6~1中选3个和为9的数，而且任意两个数的和
大于或等于4610=-，这样的组合有：4325319++=++=，经试验，填法如右上图． 【练习5】
唐僧师徒西天取经路过数字山，山中住着一个数学大
王告诉他们，只有他们能把6,5,4,3,2,1六个数字填入下图中的小圆圈内，使每个大圆上四个数字的和都是l6才允许他们 通过，这可急坏了师徒四人，你能解决这个问题吗？
【分析】12345621+++++=，1622111?-=，可见两个重叠数的和为11：5611+=，
56516=--，532=+，541=+，填法如右上图。
【练习6】
小老鼠打洞，撞到一面墙上有一个奇怪的问题挡住了
它的去路，问题是这样的：请分别将6,4,2,1这4个数填在下图的各空白区域内，使得每个圆圈里4个数的和都等于15，快点帮帮小老鼠吧．
%【分析】
1275=+，1073=+，853=+，三个圆中已有数的和与15的差分别是7,5,3，
只有1能和其他三个数的和分别是7,5,3，所以中间数一定是
1，由和为15，其它三个数即可得，见右上图
6
5
43
2
16
4
31
5
2
5
73
16
2
4
57
3
【练习7】
将1～8填入下图的八个○中，使得每条边上的三个
数之和都等于15．
【分析】四个顶点数之和为24)821(415=+++-?ΛΛ，四个顶点数有8,7,6,3和8,7,5,4两种可
能．经试验只有右上图一个解．
【练习8】
将1~9不重复地填入下面的圆圈内，使得三角形每
条边上的数字和均为17。
【分析】将三角形三个顶点处的数字设为a 、b 、c ，这三个数字分别计算了两次，根据题意，可
得：(129)317a b c ++++++=?L
解得6a b c ++=，而在1~9中，只有1236++=，符合要求。所以三个顶点上的数字分别是1、2、3，如图所示是其中一种符合要求的填法。
【练习9】
将1~10不重复地填入下面的圆圈内，使得五边形每
条边上的数字和均为19。
876
5
432
1
c b a
98457
6
1
23
【分析】将五边形五个顶点处的数字设为a 、b 、c 、d 、e ，这五个数字分别计算了两次，所以
有：
(1210)519a b c d e ++++++++=?L
解得40a b c d e ++++=，只有67891040++++=，符合要求。所以五个顶点上的数字分别是6、7、8、9、10，其中9和10不在同一条边上。如图为一种填法。
【练习10】 如果将111~这11个自然数填入下图的圆圈内使每个
菱形上的四个数之和都等于24，那么A 等于多少？
【分析】计算3个菱形上四个数的和，其中A 被重复计算了一次，1211243A ++++=?L ,即
6672A +=,6A =
【练习11】 如下图，五圆相连，每个位置的数字都是按一定规律
填写的，请找出规律，并求出x 所代表的数。
【分析】经观察，图中所填数的规律为两个圆相交部分的数等于与它相邻两部分里的数的和的一
半。比如：
()2618222+÷=，()3026228+÷=，()2430227+÷=。所以
18172x +=?，16x =。经检验，16和24相加除以2，也恰好等于20。
e d
c b
a 101
5
6
79
248
31718
22262830
2724
20x
【练习12】 将113-填入图中的13个方格中，是纵向的一，二，
三和横向的四这几个直线上的方格的和均相等。
%【分析】
123121391++++=L ，那么加数的和为9，每个数为2，3，4，
补充
【补充1】
将8~1填入下图的八个○中，使得每条直线上的四个数之和与每个圆周上的四个数之和都相等．
【分析】每条直线或每个圆周上的四个数之和都等于182)821(=÷+++ΛΛ，经试验可得填法如
右上图（答案不唯一）。
【补充2】
将7~1七个数字填入左下图的七个○内，使每个圆周和每条直线上的三个数之和都相等．
138411122
615379
10
【分析】设中心数为a ，各条直线和各个圆周上的三数之和均为k ．因为a 属于三条直线公有，其
余数各属于一条直线和一个圆周，于是得到k a 5)721(2=++++?ΛΛ，化简为
k a 556=+．因为71≤≤a ，56+a 又是5的倍数，所以4=a ，12=k ．填数方法见右上图．
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第16讲数阵图(一) 在神奇的数学王国中，有一类非常有趣的数学问题，它变化多端，引人入胜，奇妙无穷。它就是数阵，一座真正的数字迷宫，它对喜欢探究数字规律的人有着极大的吸引力，以至有些人留连其中，用毕生的精力来研究它的变化，就连大数学家欧拉对它都有着浓厚的兴趣。 那么，到底什么是数阵呢？我们先观察下面两个图： 左上图中有3个大圆，每个圆周上都有四个数字，有意思的是，每个圆周上的四个数字之和都等于13。右上图就更有意思了，1～9九个数字被排成三行三列，每行的三个数字之和与每列的三个数字之和，以及每条对角线上的三个数字之和都等于15，不信你就算算。 上面两个图就是数阵图。准确地说，数阵图是将一些数按照一定要求排列而成的某种图形，有时简称数阵。要排出这样巧妙的数阵图，可不是一件容易的事情。我们还是先从几个简单的例子开始。
例1把1～5这五个数分别填在左下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于9。 同学们可能会觉得这道题太容易了，七拼八凑就写出了右上图的答案，可是却搞不清其中的道理。下面我们就一起来分析其中的道理，只有弄懂其中的道理，才可能解出复杂巧妙的数阵问题。 分析与解：中间方格中的数很特殊，横行的三个数有它，竖列的三个数也有它，我们把它叫做“重叠数”。也就是说，横行的三个数之和加上竖列的三个数之和，只有重叠数被加了两次，即重叠了一次，其余各数均被加了一次。因为横行的三个数之和与竖列的三个数之和都等于9，所以 (1+2+3+4+5)+重叠数=9+9， 重叠数=(9+9)-(1+2+3+4+5)=3。 重叠数求出来了，其余各数就好填了(见右上图)。 例2把1～5这五个数填入下页左上图中的○里(已填入5)，使两条直线上的三个数之和相等。
1. 了解数阵图的种类 2. 学会一些解决数阵图的解题方法 3. 能够解决和数论相关的数阵图问题 . 一、数阵图定义及分类： 1. 定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图. 2. 数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图. 3. 二、解题方法： 解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手： 第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)； 第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围； 第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用． 模块一、封闭型数阵图 【例 1】 把1～8的数填到下图中，使每个四边形中顶点的数字和相等。 【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】学而思杯，3年级，第6题 【解析】 例题精讲 知识点拨 教学目标 5-1-3-1.数阵图
8 7 6 5 43 2 1 【答案】 8 7 6 5 43 2 1 【例 2】 将1～8这八个自然数分别填入下图中的八个○内，使四边形每条边上的三个数之和都等于14，且数 字1出现在四边形的一个顶点上.应如何填？ （1） 【考点】封闭型数阵图 【难度】2星 【题型】填空 【解析】 为了叙述方便，先在各圆圈内填上字母，如下图（2）.由条件得出以下四个算式： （2）h g f e d c b a a+b+c=14（1） c+d+e=14 （2） e+f+g=14 （3） a+h+g=14 （4）由（1）+（3），得：a+b+c+e+f+g=28，（a+b+c+d+e+f+g+h ）-（d+h ）=28， d+h=（1+2+3+4+5+6+7+8）-28=8，由（2）+（4），同样可得b+f=8， 又1，2，3，4，5，6，7，8中有1+7=2+6=3+5=8. 又1要出现在顶点上，d+h 与b+f 只能有2+6和3+5两种填法. 又由对称性，不妨设b=2，f=6，d=3，h=5. a ，c ，e ，g 可取到1，4，7，8 若a=1，则c=14-（1+2）=11，不在1， 4，7，8中，不行.
4年级有趣的数阵图 相传，大禹治水时，洛水中出现了一个“神龟”,背上有美妙的图案，史称“洛书”。 这个图案用现在的数字翻译出来，就是三阶幻方，也就是将 1～9这九个数字填在方格中，使每横行、每竖列和对角线的3个 数的和都相等。 幻方经过演变就得到我们即将要学习的数阵图，他们的解题 思路基本一样，接下来我们就一起看看数阵图吧！ 例1：把1～5这五个自然数，分别填入下图中的五个圆圈内，使相交成十字的两条直线上三个数之和都等于9。 我发现一条直线上三个数相加时，端 点四个数只加一次，中间的数加了两 次。 不论那5个数填在哪里，从整体来看，5个数都加了1 次，其中有1个数还多加了一次，得到了2个和，也 就是6个数相加等于2×9=18。 说得对，我们把多加一次的那个数用括号或 者字母表示，就可以得到一个等式。 解答数阵图的关键是重叠数，所以填数阵时，一般优先考虑重叠数。可以把这个数位用括号或字母表示，列出等式，再根据条件解 答出来。
把1～7这七个数分别填入图中七个圆圈内，使每条直线上三个圆圈内各数之和都是12。 例2：将从1～10填入各○中，使每条线上的数字和相等，你有几种填法？ 我发现一条直线上四个数相加时，中间的数 加了三次，其他的三个数只加一次。而且， 和前面不一样的地方是：没有告诉我们直线 上的和是多少。 和上题一样，不论这10个数怎么填，所有的数都加了 一次，其中还有1个数多加了2次，它们的总和等 于3条直线上数字的和，我们同样可以列出一个等式。
例3：把1～9这九个数分别填入下图中九个圆圈内，使每条直线上三个圆圈内各数之和都相等，你有几种填法？ 将1～9这九个数分别填入下图的小方格里，使横行和竖列上五个数之和相等。(至少找出两种本质上不同的填法 ) 例4：把5～10这六个数，分别填入图中三角形三条边的六个○内，使每条边上三个○内数的和都是24。 中间的三个数只加一次，三个角上的数都加了二次，有三个数要设字母吗？ 按照前面学习的方法，先列出一个等式，再考虑三个未知的数吧。
简 单 数阵图 一、辐射型数阵图 从一个中心出发，向外作若干条射线，在每条射线上安放同样多个数，使其和是一个不变的数。突破关键：确定中心数，多算的次数，公共的和。先求重叠数。 数总和+中心数×重复次数＝公共的和×线数 重叠部分=线总和-数总和 / 线总和 = 公共的和×线数 数和：指所有要填的数字加起来的和 中心数：指中间那数字，即重复计算那数字（重叠数） 重复次数：中心数多算的次数，一般比线数少1 公共的和：指每条直线上几个数的和 线数：指算公共和的线条数 例 1、 把1-5 这五个数分别填在左下图中的方格中，使得横行三数与竖列三数之和都等于9。 例2、把1～5这五个数填入下页左上图中的○里(已填入5)，使两条直线上的三个数之和相等。 分析与解：中间方格中的数很特殊，横行的三个数有它，竖列的三个数也有它，我们把它叫做“重叠数”。也就是说，横行的三个数之和加上竖列的三个数之和，只有重叠数被加了两次，即重叠了一次，其余各数均被加了一次。因为横行的三个数之和与竖列的三个数之和都等于9，所以： 总和数=(1+2+3+4+5)+重叠数=9+9， 重叠数=(9+9)-(1+2+3+4+5)=3。 分析与解：与例1不同之处是已知“重叠数”为5，而不知道两条直线上的三个数之和都等于什么数。所以，必须先求出这个“和”。根据例1的分析知，两条直线上的三个数相加，只有重叠数被加了两遍，其余各数均被加了一遍，所以两条直线上的三个数之和都等于 [(1+2+3+4+5)+5]÷2=10。
例 3、 把1~5 这五个数填入右图中的○里，使每条直线上的三个数之和相等 例4、将1~7这七个自然数填入左下图的七个○内，使得每条边上的三个数之和都等于10。 分析与解：例1是知道每条直线上的三数之和，不知道重叠数；例2是知道重叠数，不知道两条直线上的三个数之和；本例是这两样什么都不知道。但由例1、例2的分析知道， (1+2+3+4+5)+重叠数=每条直线三数之和×2， 每条直线上三数之和=(15+重叠数)÷2。 因为每条直线上的三数之和是整数，所以重叠数只可能是1，3或5。 若“重叠数”=1，则两条直线上三数之和为8。 若“重叠数”=3，则两条直线上三数之和为9。 若“重叠数”=5，则两条直线上三数之和为10。 分析与解：与例1类似，知道每条边上的三数之和，但不知道重叠数。因为有3条边，所以中间的重叠数重叠了两次。于是得到 (1+2+…+7)+重叠数×2=10×3。 重叠数=[10×3-(1+2+…+7)]÷2=1。 剩下的六个数中，两两之和等于9的有2，7； 3，6；4，5。可得右上图的填法。 例5、将 10~20填入左下图的○内，其中15已填好，使得每条边上三个数字之和都相等。 总结：辐射型数阵图只有一个重叠数，重叠次数是“直线条数”-1，即m-1。对于辐射型数 阵图，有已知各数之和+重叠数×重叠次数 =直线上各数之和×直线条数。 (1)若已知每条直线上各数之和，则重叠数等于(直线上各数之和×直线条数-已知各数之 和)÷重叠次数。（如例1、例4） (2)若已知重叠数，则直线上各数之和等于(已 知各数之和+重叠数×重叠次数)÷直线条数。 如例2、例5。 (3)若重叠数与每条直线上的各数之和都不知 道，则要从重叠数的可能取值分析，如例3。 分析与解：与例2类似，中间○内的15是重 叠数，并且重叠了四次，所以每条边上的三个 数字之和等于[(10+11+…+20)+15×4]÷5=45。 剩下的十个数中，两两之和等于(45-15=)30的 有10，20；11，19；12，18；13，17；14，16。 于是得到右上图的填法。
第17讲数阵图（二） 例1在右图的九个方格中填入不大于12且互不相同的九个自然数（其中已填好一个数），使得任一行、任一列及两条对角线上的三个数之和都等于21。 解：由上一讲例4知中间方格中的数为7。再设右下角的数为x，然后根据任一行、任一列及每条对角线上的三个数之和都等于21，如下图所示填上各数（含x）。 因为九个数都不大于12，由16－x≤12知4≤x，由x+2≤12知x≤10，即4≤x≤10。考虑到5，7，9已填好，所以x只能取4，6，8或10。经验证，当x＝6或8时，九个数中均有两个数相同，不合题意；当x＝4 或10时可得两个解（见下图）。这两个解实际上一样，只是方向不同而已。
例2将九个数填入右图的空格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则一定有
证明：设中心数为d。由上讲例4知每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于3d。由此计算出第一行中间的数为2d——b，右下角的数为2d-c（见下图）。 根据第一行和第三列都可以求出上图中★处的数由此得到 3d-c-（2d-b）＝3d-a-（2d-c）， 3d-c-2d＋b＝3d-a-2d＋c， d——c＋b＝d——a＋c， 2c＝a＋b， a＋b
c＝2。 值得注意的是，这个结论对于a和b并没有什么限制，可以是自然数，也可以是分数、小数；可以相同，也可以不同。 例3在下页右上图的空格中填入七个自然数，使得每一行、每一列及每一条对角线上的三个数之和都等于90。 解：由上一讲例4知，中心数为90÷3＝30；由本讲例2知，右上角的数为（23＋57）÷2＝40（见左下图）。其它数依次可填（见右下图）。 例4在右图的每个空格中填入个自然数，使得每一行、每一列及每条对角线上的三个数之和都相等。
小学数学《数阵图》练习题（含答案） 课前复习 1.在下面的○里填上适当的数，使每条线上的三个数之和都是16. 【答案】 【答案】 2.在空格内填入适当的数，使得每行、每列和两条对角线上的三个数的和都为18. 【答案】 3. 在空格内填上适当的数，使得图中每行、每列及两对角线上四个数的和都是6 4. 【答案】 在神奇的数学王国里，有一类非常有趣的数学问题，它变化多端，引人入胜，奇妙无穷.它就是数阵.到底什么是数阵呢?我们先观察下面2个图： 在空格内填上适当的数，使得图中每行、每列及两条对角线上三个数的和都是15.
认真观察，你发现每个图中的数字有什么特点？ 左上图有两条直线，每条直线上都有 3个数字，它们的和都分别等于15；而右上图，将l～9九个数字排成三行、三列，每一行、每一列、每一斜行上的3个数字的和都等于15. 数阵就是用数(一般指自然数)按一定的要求和规律，组成特定的形状或布成特定的阵势.它一般分为辐射型(左上图)和封闭型(右上图).要把一些数字按一定的规则填入图形中，有没有巧妙的方法来填呢?今天这节课我们就一起来学习. 辐射型数阵图 【例1】把1，2，3，4，5这5个数分别填入图中的圆圈内，使得横行3个数的和与竖列3个数的和都等于10. 【分析】横行的三个数之和加上竖列的三个数之和，只有重叠数a被加了两次，即重叠了一次，其余各数均被加了一次.因为横行的三个数之和与竖列的三个数之和都等于10，所以(1+2+3+4+5)+a= 10×2，a=5.剩下4个数中每两个数之和应该等于5，，1+4=2+3。 【例2】把4～8这五个数填入图中(已填入6)，使两条直线上的三个数之和相等. 【分析】方法一：把6除外，还剩4，5，7，8，这四个数，在这四个数中4+8=5+7，这样可以填出答案。方法二：与例1不同之处是已知“重叠数”为6，而不知道两条直线上的三个数之和都等于什么数.可以先求出这个“和k”.(4+5+6+7+8)+6=k×2.K=18。
第十七周数阵图 数阵的特点：每一条直线段或由若干线段组成的封闭线上的数字和相等。它的表达形式多为给出一定数量的数字，要求填入指定的图中，使其具备数阵的特点。解数阵问题的一般思路是： 1.求出条件中若干已知数字的和。 2.根据“和相等”，列出关系式，找出关键数——重复使用的数。
3.确定重复用数后，对照“和相等”的条件，用尝试的方法，求出其他各数。有时，因数字存在不同的组合方法，答案往往不是唯一的。 【铜牌例题】 将2、3、4、5、6、7、8、9、10填入下图中的 9个方格中，使每行、每列及对角线之和相等， 小明已经填了5个数，请将其余4个数填入。 【答案】 【解析】 先根据最左边一列求出幻和，然后根据这个和和给出的数字逐步推算。 3+8+7=18； 第二行中间的数是：18-8-4=6； 第三行中间的数是：18-7-9=2； 第一行第一个数是：18-4-9=5； 第一行中间的数是：18-3-5=10； 【举一反三1】 （第十届走美杯初赛）小华需要构造一个3×3的乘积魔方，使得每行、每列、每条对角线上三个正整数的乘积都相等；现在他已经填入了2，3，6三个数，那当小华的乘积魔方构造完毕后，x等于______。 【银牌例题】
（第十四届中环杯初赛真题）将0～9填入下图圆圈中，每个数字只能使用一次， 使得，每条线段上的数字和都是13。 【答案】 【解析】 如右图，a-h被算了3次，x被算了4次，y被算了2 次 则10×13=3×（0+1+2+……+9）+x-y→y-x=5 由于a+g+b=c+x+y=h+e+d=13→f=6 所以c+d=a+h=b+x=7→f=6 所以，a,b,c,d,x,h分别为0、2、3、4、5、7 所以e,g,y分别为1、8、9 又y-x=5，所以y=8或9
四年级数学数阵图讲解（一） 我们在三年级已经学习过辐射型和封闭型数阵.其解题的关键在于“重叠数”。本讲和下一讲.我们学习三阶方阵.就是将九个数按照某种要求排列成三行三列的数阵图.解题的关键仍然是“重叠数”。我们先从一道典型的例题开始。 例1把1～9这九个数字填写在右图正方形的九个方格中.使得每一横行、每一竖列和每条对角线上的三个数之和都相等。 分析与解：我们首先要弄清每行、每列以及每条对角线上三个数字之和是几。我们可以这样去想：因为1～9这九个数字之和是45.正好是三个横行数字之和.所以每一横行的数字之和等于45÷3=15。也就是说.每一横行、每一竖列以及每条对角线上三个数字之和都等于15。 在1～9这九个数字中.三个不同的数相加等于15的有： 9＋5＋1.9＋4＋2.8＋6＋1.8＋5＋2. 8＋4＋3.7＋6＋2.7＋5＋3.6＋5＋4。 因此每行、每列以及每条对角线上的三个数字可以是其中任一个算式中的三个数字。 因为中心方格中的数既在一个横行中.又在一个竖列中.还在两对角线上.所以它应同时出现在上述的四个算式中.只有5符合条件.因此应将5填在中心方格中。同理.四个角上的数既在一个横行中.又在一个竖列中.还在一条对角线上.所以它应同时出现在上述的三个算式中.符合条件的有2.4.6.8.因此应将2.4.6.8填在四个角的方格中.同时应保证对角线两数的和相等。经试验.有下面八种不同填法：
上面的八个图.都可以通过一个图的旋转和翻转得到。例如.第一行的后三个图.依次由第一个图顺时针旋转90°.180°.270°得到。又如.第二行的各图.都是由它上面的图沿竖轴翻转得到。所以.这八个图本质上是相同的.可以看作是一种填法。 例1中的数阵图.我国古代称为“纵横图”、“九宫算”。一般地.将九个不同的数填在3×3（三行三列）的方格中.如果满足每个横行、每个竖列和每条对角线上的三个数之和都相等.那么这样的图称为三阶幻方。 在例1中如果只要求任一横行及任一竖列的三数之和相等.而不要求两条对角线上的三数之和也相等.则解不唯一.这是因为在例1的解中.任意交换两行或两列的位置.不影响每行或每列的三数之和.故仍然是解。 例2用11.13.15.17.19.21.23.25.27编制成一个三阶幻方。 分析与解：给出的九个数形成一个等差数列.对照例1.1～9也是一个等差数列。不难发现：中间方格里的数字应填等差数列的第五个数.即应填19；填在四个角上方格中的数是位于偶数项的数.即13.17.21.25.而且对角 两数的和相等.即13＋25=17＋21；余下各数就不难填写了（见右图）。 与幻方相反的问题是反幻方。将九个数填入3×3（三行三列）的九个方格中.使得任一行、任一列以及两条对角线上的三个数之和互不相同.这样填好后的图称为三阶反幻方。 例3将前9个自然数填入右图的9个方格中.使得任一行、任一列以及两条对角线上的三个数之和互不相同.并且相邻的两个自然数在图中的位置也相邻。 分析与解：题目要求相邻的两个自然数在图中的位置也相邻.所以这9个自然数按照大小顺序在图中应能连成一条不相交的折线。经试验有下图所示的三种情况：
第十二讲巧填数阵图 数学乐园 晶晶和莹莹来到了雪精灵国，天空中到处飘着洁白剔透的雪花，就像下面图中的样子.一个雪精灵告诉她们：“你们只要能够把1～7这七个数填在雪花的七个花瓣上，使每三个位于同一直线上的花瓣上的数之和都相等，你们就能见到雪精灵国的女王了.”你能帮她们填一填吗?. 【教学思路】在开课的时候，老师可通过故事引入，激发学生对填数游戏的兴趣.让学生初步感知什么是数阵.因为填数阵有一定的难度，所以在这里我们不需要马上让孩子完成这个题，可以放在最后来解决这个问题. 小朋友们，你喜欢这样的填数字游戏吗？要想准确的填出图中的每一个数，可不 是一件容易的事，这就要我们小朋友们认真去观察图，观察数字的排列规律，这样才能找到填图的方法.下面我们就一起来学习吧！ 基础篇 使用数字0，1，2，3，4，5，6，7，8，9做加法.在每一道题中，同一个数字不能重复出现. 数阵图是小学奥数中比较重要的一个知识点，现在我们把它放在一年级开始学习似乎有些过难.但这节课我们只是希望通过一些简单的填数字游戏，使学生初步感知到什么样的是 数阵，让学生用自己喜欢的方法来巧填数字，培养他们的思维能力.在鼓励学生去研究方法 的同时，教师引导学生去发现数阵的简单规律，以及填数阵的基本方法，通过找数阵中的关 键数来找到解题的钥匙.在今后的不断学习中，能把这种方法灵活应用到实际中去.
【教学思路】一般在解答这类填数问题时，把同一条边上出现两个数字的空格先填.之前我们已经有过这样的练习，学生有了一定的基础.这道题的答案不止一个，我们只要求学生能找到其中的一种就达到要求了. （1）右边两个圆的和应该是9，所以里可填（0，9）（2，7）（3，6）. （2）告诉我们中间的数字是2，剩下两边上两个数字的和应该是9-2=7.0+7=1+6=3+4，所以剩下两边上两个数可以填（0，7），（1，6），（3，4） （3）7+6=13，15-13=2，所以第2条线中间填2.左边第一条线：15-7=8，0+8=3+5，数字不重复共两种填法.第三条线15-6=9，0+9=4+5，数字不重复共两种填法 （4）6+4=10，13-10=3，所以第2条线最下是3，.左边第一条线：13-6=7，0+7=2+5，数字不重复共两种解法.第三条线：13-3=10，1+9=2+8，数字不重复共两种解法.
把8，9，10，11，12，14，16这7个数分别填入图中的圆圈中，使得每条直线上4个数的和都等于46． 把1，2，4，5，6，8，10这7个数分别填入图中的圆圈中，使得每条直线上4个数的和都等于20． 数阵图进阶 第九讲 第4级下·提高班·学生版
第4级下·提高班·学生版 把2，3，4，5，6，7，8这七个数分别填入图中的圆圈中，使两个正方形中四个数之和都等于19． 将5，9，13，14，17，21，25这7个数分别填入图中的圆圈中，使得每条直线上3个数的和都等于44．
第4级下·提高班·学生版 将5，6，9，11，14，15这6个数分别填入图中的圆圈里，使两个大圆上4个数的和都等于40． 把1，5，9，10，16，21这6个数分别填入图中的○里，使每一个大圆上的四个数之和都等于36．
第4级下·提高班·学生版 1． 把5，6，7，8，9这5个数分别填在下图的 内，使横行、竖列3个数的和都等于( )中的 数． 把1，3，4，5，6，8，11，15这8个数分别填入图中的圆圈里，使得每个大圆上5个数的和都等于33．
第4级下·提高班·学生版 2. 把3，5，7，9，11，13，15这7个数分别填入图中的圆圈内，使每条直线上的3个数的和都等于 27． 3. 把2，4，6，8，10，12，14，16，18这9个数分别填入下图的圆圈中，使得每条直线上的3个数 的和都等于24．
4.把2，3，4，5，6，7，8这七个数分别填入图中的圆圈内，使两个正方形中四个数之和都等于21． 5.把1，2，4，5，6，11这6个数分别填入图中的○里，使每个圆圈上的四个数之和都等于22． 第4级下·提高班·学生版
巧填数阵图 课前练习： 1、用0、 2、5、8、9可以组成多少个不同数字的三位数 2、大小两个正方形对应边的距离为4厘米，两个正方形之间的部分面积为160平方 厘米，求小正方形的面积 3、在420为的环形跑道上，甲、乙两人同时同地起跑，如果同向而行1分钟10秒相遇，如果背向而行30秒相遇，已知甲比乙快，求甲乙的速度 4、哥哥和弟弟在同一所学校读书,哥哥每分钟走80米,弟弟每分钟走50米,有一天,弟弟先走12分钟,哥哥才出发,当弟弟到达学校时哥哥正好追上弟弟也到达学校,问他们家离学校有多远 学习新知 例1、把1—7这七个数分别填入下图的圆圈中，使得每条边上的三个数的和都等于12。
例2、把数字1——8分别地填入下图中的小圆圈内，使每个圆上的五个数的和都等于20。 例3、将1—6这六个数填入图中的圆圈中，要求四条直线上的数字之和都等于10，那么a是多少 例4、下图中有5个圆，它们相交后分成9个区域，现在两个区域里已经填上了11与7，请在另外的七个区域里分别填入2、3、4、5、6、9、10这七个数，使每个圈内的和都等于17。 课堂练习
1、把1—7这七个数分别填入下图的圆圈中，使得每条边上的三个数的和都等于14。 2、把数字1—8分别填入下图中的小圆圈内，使得每个圆上五个数的和都等于22。 3、把5—14这十个自然数分别填入下图中的圆圈中，使每个大圆上的六个数的和等 于55，求a+b等于多少 例1、4、下图中有5个圆，它们相交后分成9个区域，现在两个区域里已经填上了10与6，请在另外的七个区域里分别填入2、3、4、5、6、 7、9这七个数，使每个圈内的和都等于15。
三年级奥数 --数阵图与幻方 知识框架 一、数阵图定义及分类： 定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图. 数阵：是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图. 二、解题方法： 解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手： 第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)； 第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围； 第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用． 三、幻方起源： 幻方也叫纵横图，也就是把数字纵横排列成正方形，因此纵横图又叫幻方．幻方起源于我国，古人还为它编撰了一些神话．传说在大禹治水的年代，陕西的洛水经常大肆泛滥，无论怎样祭祀河神都无济于事，每年人们摆好祭品之后，河中都会爬出一只大乌龟，乌龟壳有九大块，横着数是3行，竖着数是3列，每块乌龟壳上都有几个点点，正好凑成1至9的数字，可是谁也弄不清这些小点点是什么意思．一次，大乌龟又从河里爬上来，一个看热闹的小孩惊叫起来：“瞧多有趣啊，这些点点不论横着加、竖着加还是斜着加，结果都等于十五！”于是人们赶紧把十五份祭品献给河神，说来也怪，河水果然从此不再泛滥了．这个神奇的图案叫做“幻方”，由于它有3行3列，所以叫做“三阶幻方”，这个相等的和叫做“幻和”．“洛书”就是幻和为15的三阶幻方．如下图：
9 8 7 6 5 4 3 2 1 我国北周时期的数学家甄鸾在《算数记遗》里有一段注解：“九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央．”这段文字说明了九个数字的排列情况，可见幻方在我国历史悠久．三阶幻方又叫做九宫图，九宫图的幻方民间歌谣是这样的：“四海三山八仙洞，九龙五子一枝连；二七六郎赏月半，周围十五月团圆．”幻方的种类还很多，这节课我们将学习认识了解它们． 四、幻方定义： 幻方是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的33 ?的数阵称作三阶幻方，44 ?的数阵称作四阶幻方，55 ?的称作五阶幻方……如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样， 9 8 7 6 5 4 3 2 1 13 4 14 15 1 6 129 7 8105 11 3216 。 五、解决这幻方常用的方法： ⑴适用于所有奇数阶幻方的填法有罗伯法．口诀是：一居上行正中央，后数依次右上连．上出框时往 下填，右出框时往左填．排重便在下格填，右上排重一个样． ⑵适用于三阶幻方的三大法则有： ①求幻和：所有数的和÷行数（或列数） ②求中心数：我们把幻方中对角线交点的数叫“中心数”，中心数＝幻和÷3． ③角上的数=与它不同行、不同列、不同对角线的两数和÷2． 六、数独简介： 数独前身为“九宫格”，最早起源于中国。数千年前，我们的祖先就发明了洛书，其特点较之现在的数独更为复杂，要求纵向、横向、斜向上的三个数字之和等于15，而非简单的九个数字不能重复。 中国古籍《易经》中的“九宫图”也源于此，故称“洛书九宫图”。而“九宫”之名也因《易经》在中华文化发展史上的重要地位而保存、沿用至今。 1783年，瑞士数学家莱昂哈德·欧拉发明了一种当时称作“拉丁方块”（Latin Square）的游戏，这个
1.10.5数阵图 1.10.5.1基础知识 数阵是由幻方演化出来的另一种数字图。幻方一般均为正方形。图中纵、横、对角线数字和相等。数阵则不仅有正方形、长方形，还有三角形、圆、多边形、星形、花瓣形、十字形，甚至多种图形的组合。变幻多姿，奇趣迷人。一般按数字的组合形式，将其分为三类，即辐射型数阵、封闭型数阵、复合型数阵。 数阵的特点是：每一条直线段或由若干线段组成的封闭线上的数字和相等。 它的表达形式多为给出一定数量的数字，要求填入指定的图中，使其具备数阵的特点。 解数阵问题的一般思路是： 1. 求出条件中若干已知数字的和。 2. 根据“和相等”，列出关系式，找出关键数一一重复使用的数。 3. 确定重复用数后，对照“和相等”的条件，用尝试的方法，求出其他各数。有时，因数字存在不同的组合方法，答案往往不是唯一的。 1.10.5.2辐射型数阵 例1将1?5五个数字，分别填入下图的五个O中，使横、竖线上的三个数字和都是10。 解：已给出的五个数字和是： 1 + 2 + 3 + 4+ 5= 15 题中要求横、竖每条线上数字和都是10,两条线合起来便是20 了。20- 15 = 5,怎样 才能增加5呢？因为中心的一个数是个重复使用数。只有5连加两次才能使五个数字的和增 加5,关键找到了，中心数必须填5。确定中心数后，按余下的1、2、3、4,分别填在横、竖线的两端，使每条线上数的和是10便可。
解：图中共有3条线，若每条线数字和相等，三条线的数字总和必为3的倍数。设中心 数为a,贝U a被重复使用了2次。即，1 + 2+ 3 + 4+ 5+ 6+ 7+ 2a= 28+ 2a, 28+ 2a应能被3 整除。 (28 + 2a)弓=28弓 + 2a弓 其中28完=9…余1,所以2a弓应余2。由此，便可推得a只能是1、4、7三数。 当a= 1时，28 + 2a= 30 30七=10,其他两数的和是10—1 = 9,只要把余下的2、3、4、5、6、乙按和为9分成三组填入两端即可。同理可求得a= 4、a= 7两端应填入的数。 例3将从1开始的连续自然数填入各O中，使每条线上的数字和相等。 解：图中共有三条线，若每条线数字和相等，三条线的数字总和必为3的倍数。设中心 数为a, a被重复使用了两次，即: 1 + 2+ 3+……+ 10+ 2a= 55 + 2a, 55 + 2a应能被3整除。 (55 + 2a)七=55^3 + 2a七 其中，55^3= 18余1，所以2a七应余2。由此，可推知a只能在1、4、7中挑选。在a =1时，55 + 2a= 57, 57+3= 19,即中心数若填1,各条线上的数字和应为19。但是除掉中 心数1,在其余九个数字中，只有两组可满足这一条件，即：9 + 7+ 2= 18, 8 + 6+ 4= 18, 7+ 5 + 3= 15所以，a不能填1。经试验，a= 7时，余下的数组合为12 ( 19 —7= 12),也不能满足条件。因此，确定a只能填4。 例4将1?9九个数字，填入下图各O中，使纵、横两条线上的数字和相等。
第十二讲数字谜与数阵图 所谓的数字谜问题是指在某种算式或者图形中，含有一些用空格、文字或字母等符号表示的待定数字，要求填上合适的数字，使算式或者图形成立的一类问题。 此类问题的知识基础就是根据运算的法则，加、减、乘、除的互逆关系及适当地运用有关整数性质的知识加以推理。 常用的基本技巧： （1）分析算式中隐含的数量关系及数的性质，选择有特征的部分作为突破口。 例如：两数相乘，如果知道积的尾数就可以列出两个乘数个位数的各种可能情况。如：积的尾数是5，其中一个乘数是5，那么另一个乘数的尾数一定为奇数1、3、5、7、9。若积的尾数是偶数，那么两乘数中至少有一个为偶数。此外在乘法算式中，不仅积是由被乘数和乘数决定的，反过来，积的位数也限定了被乘数的乘数的大小。 （2）在确定所求的数字时，可采取试验法，为了减少试验的次数，常借助估值的方法，对某些数位上的数字进行合理地估计，逐步排除一些取值的可能，缩小所求数字的取值范围，经过很少的几次试验，得到准确的答案。 解决这一类题常常要通过观察、判断、推理、尝试（凑）等手段来处理。关键在于确定从何处着手，即找到突破口。
例1:将2、3、4、5、6、8、11、12这8个数填在图1的□中，使它们组成图1中的4个等式。 分析： 这里有8个数字需要填入8个空格中，用多次试验的办法，虽然最终一定能找出答案，但很费时间。能不能开动脑筋，想出好办法，以减少试验的次数呢？题中有4个等式，含有4种运算，对于加、减运算，可填的情况很多，所以应先考虑乘、除运算。先将8个位置用字母标识出来。c既是a与b的乘积，作为被除数，它又是e与h的乘积。因此c应为可以写成两种不同乘积形式的数。只有12符合条件，因为：12=3×4=2×6，所以：a、b、e、h 为3、4、2、6，剩下的三个数为11、5、8。f既为被减数，又是和，则f为最大的11，d、g为5、8。可以先确定d、g的值，再写出a、b、e、h的值。由d=5，g=8或d=8，g=5，得到两种情况。 答案： 点评： 得到c的值后，不要急于确定a、b、e、h的值，虽然经过有限的几次尝试可以得到正确答案，但很容易丢掉一个解。应该开阔你的视野，注意到还有条件没被用到。所以第二步应确定f。 例2:将1~11填入图2内，使相邻两个或三个数字组成的横竖斜行的和为14。
1. 了解数阵图的种类 2. 学会一些解决数阵图的解题方法 3. 能够解决和数论相关的数阵图问题 知识点拨 、数阵图定义及分类： 1. 定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图. 2. 数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐 射型数阵图和复合型数阵图. 3. 二、解题方法： 解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手： 第一步：区分数阵图中的普通点（或方格）和关键点（或方格）； 第二步：在数阵图的少数关键点（一般是交叉点）上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用． 例题精讲 数阵图与数论 例1】把0—9 这十个数字填到右图的圆圈内，使得五条线上的数字和构成一个等差数列，而且这个等差关键词】迎春杯，三年级，初赛，第8 题 数列的各项之和为55，那么这个等差数列的公差有种可能的取值． 考点】数阵图与数论难度】 3 星题型】填空 解析】设顶点分别为A、B、C、D、E，有45+A+B+C+D+E=55，所以A+B+C+D+E=10，所以A、B、C、D、 E 分别只能是0-4 中的一个数字.则除之外的另外 5 个数（即边上的）为45-10=35. 设所形成的等差数 列的首项为a1，公差为 d.利用求和公式5（a1＋a1+4d）2=55，得a1+2d=11，故大于等于 0+1+5=6 ，且为奇数，只能取7、9或11，而对应的公差d分别为2、1和0.经试验都能填出来所以共有3中情况，公差分别为2、1、0. 答案】 2 种可能 例2】将1~ 9填入下图的○中，使得任意两个相邻的数之和都不是3，5，7的倍数．
5-1-3-3.数阵图 教学目标 1.了解数阵图的种类 2.学会一些解决数阵图的解题方法 3.能够解决和数论相关的数阵图问题 知识点拨 . 一、数阵图定义及分类： 1.定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图. 2.数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵 图、辐射型数阵图和复合型数阵图. 3. 二、解题方法： 解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手： 第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)； 第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围； 第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用． 例题精讲 数阵图与数论 【例1】把0—9这十个数字填到右图的圆圈内，使得五条线上的数字和构成一个等差数列，而且这个等差数列的各项之和为55，那么这个等差数列的公差有种可能的取值． 【考点】数阵图与数论【难度】3星【题型】填空 【关键词】迎春杯，三年级，初赛，第8题 【解析】设顶点分别为A、B、C、D、E，有45+A+B+C+D+E=55，所以A+B+C+D+E=10，所以A、B、C、D、【解析】 E分别只能是0-4中的一个数字.则除之外的另外5个数（即边上的）为45-10=35.设所形成的等差数列的首项为a1，公差为d.利用求和公式5（a1＋a1+4d）2=55，得a1+2d=11，故大于等于0+1+5=6，且为奇数，只能取7、9或11，而对应的公差d分别为2、1和0.经试验都能填出来所以共有3中情况，公差分别为2、1、0. 【答案】2种可能 【例2】将1~9填入下图的○中，使得任意两个相邻的数之和都不是3，5，7的倍数．
小学奥数数阵图
第十七周数阵图 【解题技巧】 数阵的分类： 封闭型：封闭型数阵图的解题突破口，是确定各边顶点所应填的数。为确定这些数，采用的方法是建立有关的等式，通过以最小值到最大值的讨论，来确定每条边上的几个数之和，再将和数进行拆分以找到顶点应填入的数，其余的数再利用和与顶点的数就容易被填出。（1—6） 辐射型：辐射型数阵图，解法的关键是确定中心数。具体方法是：通过所给条件建立有关等式，通过整除性的讨论，确定出中心数的取值，然后求出各边上数的和，最后将和自然数分拆成中心数的若干个自然数之和，确定边上其他的数。 复合型：复合型数阵图，解题的关键是要以中心数和顶点数为突破口。
数阵的特点：每一条直线段或由若干线段组成的封闭线上的数字和相等。它的表达形式多为给出一定数量的数字，要求填入指定的图中，使其具备数阵的特点。 解数阵问题的一般思路是： 1.求出条件中若干已知数字的和。 2.根据“和相等”，列出关系式，找出关键数——重复使用的数。 3.确定重复用数后，对照“和相等”的条件，用尝试的方法，求出其他各数。有时，因数字存在不同的组合方法，答案往往不是唯一的。 【铜牌例题】 将2、3、4、5、6、7、8、9、10填入下图中 的9个方格中，使每行、每列及对角线之和相 等，小明已经填了5个数，请将其余4个数填 入。
【答案】 【解析】 先根据最左边一列求出幻和，然后根据这个和和给出的数字逐步推算。 3+8+7=18； 第二行中间的数是：18-8-4=6； 第三行中间的数是：18-7-9=2； 第一行第一个数是：18-4-9=5； 第一行中间的数是：18-3-5=10； 【举一反三1】 （第十届走美杯初赛）小华需要构造一个3×3的乘积魔方，使得每行、每列、每条对角线上三个正整数的乘积都相等；现在他已经填入
四年级数学上册数阵图（三）讲解 数阵问题是多种多样的，解题方法也是多种多样的，这就需要我们根据题目条件灵活解题. 例1把20以内的质数分别填入下图的一个○中，使得图中用箭头连接起来的四个数之和都相等. 分析与解：由上图看出，三组数都包括左.右两端的数，所以每组数的中间两数之和必然相等.20以内共有2，3，5，7，11，13，17，19八个质数，两两之和相等的有 5＋19＝7＋17＝11＋13， 于是得到下图的填法.
例2在右图的每个方格中填入一个数字，使得每行.每列以及每条对角线上的方格中的四个数字都是1，2，3，4. 分析与解：如左下图所示，受列及对角线的限制，a处只能填1，从而b 处填3；进而推知c处填4，d处填3，e处填4，……右下图为填好后的数阵图.
例3将1～8填入左下图的○内，要求按照自然数顺序相邻的两个数不能填入有直线连接的相邻的两个○内. 分析与解：因为中间的两个○各自只与一个○不相邻，而2～7中的任何一个数都与两个数相邻，所以这两个○内只能填1和8.2只能填在与1不相邻的○内，7只能填在与8不相邻的○内.其余数的填法见右上图. 例4在右图的六个○内各填入一个质数（可取相同的质数），使它们的和等于20，而且每个三角形（共5个）顶点上的数字之和都相等.
分析与解：因为大三角形的三个顶点与中间倒三角形的三个顶点正好是图中的六个○，又因为每个三角形顶点上的数字之和相等，所以每个三角形顶点上的数字之和为20÷2＝10.10分为三个质数之和只能是2＋3＋5，由此得到右图的填法. 例5在右图所示立方体的八个顶点上标出1～9中的八个，使得每个面上四个顶点所标数字之和都等于k，并且k不能被未标出的数整除.
. 5-1-3-3.数阵图 教学目标 1. 了解数阵图的种类 2. 学会一些解决数阵图的解题方法 3. 能够解决和数论相关的数阵图问题 知识点拨 . 一、数阵图定义及分类： 1. 定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图 2. 数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵 图、辐射型数阵图和复合型数阵图. 3. 二、解题方法： 解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手： 第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)； 第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关 键点上所填数的范围； 第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方 法的综合运用． 例题精讲 数阵图与数论 【例 1】 把 0—9 这十个数字填到右图的圆圈内，使得五条线上的数字和构成一个等差数列，而且这个等差 数列的各项之和为 55，那么这个等差数列的公差有 种可能的取值． 【考点】数阵图与数论 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，三年级，初赛，第 8 题 【解析】设顶点分别为 A 、B 、C 、D 、E ，有 45+A +B +C +D +E =55，所以 A +B +C +D +E =10，所以 A 、B 、C 、 D 、 E 分别只能是 0-4 中的一个数字.则除之外的另外 5 个数（即边上的）为 45-10=35.设所形成的等 差数列的首项为 a 1，公差为 d .利用求和公式 5（a 1＋a 1+4d ）2=55， 得 a 1+2d =11，故大于等 于 0+1+5=6，且为奇数，只能取 7、9 或 11，而对应的公差 d 分别为 2、1 和 0.经试验都能填出来 所以共有 3 中情况，公差分别为 2、1、0. 【答案】 2 种可能