2.函数逼近

函数逼近与泰勒级数函数逼近是指通过一系列近似函数来近似表示一个较为复杂的函数。

而泰勒级数是一种常用的函数逼近方法，通过使用函数在某一点的各阶导数来逼近原函数。

本文将介绍函数逼近的一般概念和泰勒级数的计算方法，并分析其在实际问题中的应用。

1. 函数逼近的概念在数学分析中，函数逼近是指通过一系列较为简单的函数来近似表示一个复杂的函数。

这种逼近可以使得原函数的某些性质得以保留，并能够在一定程度上减少计算复杂度。

函数逼近可以通过各种方法来实现，其中一种常用的方法是泰勒级数逼近。

2. 泰勒级数的计算方法泰勒级数是以数学家泰勒命名的，它是一种将一个函数表示为无穷级数的方法。

泰勒级数的计算方法是基于函数在某一点的各阶导数。

具体地，对于一个可无限次可导的函数f(x)，它的泰勒级数展开式可以表示为：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + (f''(a)/2!)(x-a)^2 + ...其中f'(x)表示函数f(x)的一阶导数，f''(x)表示函数f(x)的二阶导数，以此类推。

展开式中的a表示展开点，通常选择为函数的某一点来进行逼近。

3. 泰勒级数的应用泰勒级数的应用非常广泛，特别是在近似计算和数值分析中。

通过将复杂的函数逼近为泰勒级数，我们可以在一定程度上简化计算，并且可以利用级数的性质来研究原函数的性质。

以下是泰勒级数在实际问题中的几个应用：3.1 函数近似计算当我们需要计算某个函数在某一点附近的值时，可以利用泰勒级数来进行近似计算。

由于级数展开式中只需要知道函数在某一点的各阶导数，因此可以大大简化计算过程。

3.2 函数性质研究通过泰勒级数，我们可以推测原函数在某一点的特性，比如函数的增减性、凸凹性等。

通过分析级数展开式，可以推断原函数在某一点附近的行为。

3.3 数值积分泰勒级数还可以用来进行数值积分，特别是在求解无法解析求积的情况下。

通过将被积函数在某一点附近进行泰勒展开，并进行级数求和，可以得到近似的积分值。

函数逼近论题目学院专业班级学生姓名摘要函数逼近问题是函数论的一个主要组成部分, 它涉及的主要问题是函数的近似表示. 在数学的理论研究中经常遇到以下问题: 在选定的一些函数中寻找到某个函数g,使它是已知函数f在一定意义下的近似表示, 并求出用g近似表示f产生的误差. 这就是函数逼近问题.本课题采用理论和实例相结合的方法进行研究. 首先, 对Weierstrass魏尔斯特拉斯逼近定理及其推广进行介绍; 其次, 介绍了一致逼近定理与证明, 给出一直逼近定理在函数逼近中的应用；最后, 对Lagrange插值、Newton插值、Herimte插值等研究.关键词：函数逼近; 一致逼近; 插值AbstractFunction approximation function theory is a key component of the involved, it is the main problem of function approximation said. In the study of the theory of the mathematics always met in the following problem: some of the function of the selected for to a certain function, make it is known g ƒ function in certain significance of the approximate, and get the use "to approximate the ƒ produce error. This is the f unction approximation problem.This subject adopts the theory and practical method of combining the research. First of all, to Weierstrass Weierstrass las approximation theorem is introduced and its extension; Secondly, this paper introduces uniform approximation theorem are given, and proof has been approximation theorem in the application of the function approximation; Finally, the Lagrange interpolation, Newton interpolation, Herimte interpolation.Key words:The function approximation：Uniform approximation；Interpolation目录摘要 (I)Abstract (II)绪论 (1)第1章Weierstrass逼近定理 (2)1.1 Weierstrass第一定理 (2)1.2 Weierstrass第二定理 (5)1.3 Weierstrass定理的推广 Stone定理 (7)第2章一致逼近的研究 (11)2.1Borel存在定理 (11)2.2 最佳逼近定理 (12)2.3 Kolmogorov最佳逼近定理 (15)第3章多项式插值方法的研究 (17)3.1 Lagrange差值公式 (17)3.2 Newton插值公式 (20)3.2.1 差商的概念与性质 (20)3.2.2 Newton插值公式的导出 (22)3.3Hermite插值公式 (24)结论 (28)参考文献 (29)致谢 (30)绪 论Weierstrass 逼近定理是函数逼近论中的重要定理之一, 定理阐述了闭区间上的连续函数可以用一多项式去逼近. 将该定理进行推广: 即使一个函数是几乎处处连续的,也不一定具有与连续函数相类似的逼近性质, 但是一个处处不连续的函数却有可能具有这样的性质. 证明了定义在闭区间上且与连续函数几乎处处相等的函数具有类似的逼近性质[]1.随着对于数学研究的不断深入, 正交多项式在数学问题中得到了广泛的应用, 尤其在数值计算方面更显示出它的优越性. 研究一直逼近的性质及应用问题,阐述一直逼近的定义、性质及最佳逼近定理的定义与证明. 主要对最佳逼近定理的最佳逼近多项式的性质与特征进行分析研究[]2[]3.在给定f 并且选定了逼近函数类之后, 如何在逼近函数类中确定作为f 的近似表示函数g 的方法是多种多样的. 例如插值就是用以确定逼近函数的一种常见方法. 所谓插值就是要在逼近函数类中找一个()x g , 使它在一些预先指定的点上和()x f 有相同的值, 或者更一般地要求()x g 和()x f 在这些指定点上某阶导数都有相同的值[]4. 利用插值方法来构造逼近多项式的做法在数学中已有相当久的历史. 微积分中著名的泰勒多项式便是一种插值多项式[]5.本文共分三章, 在第一章中我们给出了并给出了Weierstrass 逼近定理的证明与Weierstrass 逼近定理的一个推广应用. 在第二章中, 我们主要介绍了最佳逼近定理的研究. 给出了最佳逼近定理的介绍与证明. 在第三章中我们主要介绍了Lagrange 差值公式, Newton 差值公式以及Hermite 差值公式, 在函数逼近中的应用.第1章 Weierstrass 逼近定理1.1 Weierstrass 第一定理在实变函数的数学分析中, 最重要的函数类实连续函数类[],C a b 与连续的周期函数类2C π.[],C a b 是定义在某一闭区间[],a b 上的一切连续函数所成的集合; 2C π是定义在整个实轴(,)-∞+∞上的以2π为周期的连续函数全体所成的整体.定理1.1 （Weierstrass 第一定理） 设[](),f x C a b ∈, 那么对于任意给定的0ε>, 都存在这样的多项式()p x , 使max ()()a x bp x f x ε≤≤-<关于这个著名的定理, 现在已经有很多种不同的证法, 下面我们将介绍Bernstein 的构造证法.Bernstein 证法：不妨假设函数的定义区间是[][],0,1a b ≡. 事实上, 通过下面的线性代换()t b a x a =-+就能将x 的区间01x ≤≤变换成t 的区间a t b ≤≤. 同时, 可以轻易得出多项式将变成t 的多项式, x 的连续函数将变成t 的连续函数. 因此只须就连续函数类[],C a b 来证明Weierstrass 定理就行了.对于给定的[]()0,1f x C ∈, 作如下多项式(1,2,3,)n =()0()1nn k fknk n k B x f x x k n -=⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑ （1-1）显然()f n B x 是一个n 次多项式. 下面我们证明极限关系式lim ()()f n n B x fx x →∞=换而言之, Weierstrass 定理中提及的()p x , 只要取()f n B x （其中x N ≥）就可以了.为证明上述命题, 只需要用到一个初等恒等式()()20()11nn k kk n nx k x x nx x k -=⎛⎫--=- ⎪⎝⎭∑ （1-2） 这个恒等式是很容易证明. 事实上, 由于()()0111nnn kk k n x x x x k -=⎛⎫-≡+-≡⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭∑. 可知左端()()222021nn kk k n n x k nkx x x k -=⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭∑()()22200121nnn k n kk k k k n n n x k x x nx x x k k --==⎛⎫⎛⎫=+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑()()()()220011121nnn k n kk k k k n n n x k k x x nx x x k k --==⎛⎫⎛⎫=+--++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑()()()22222211122n n kk k n n x n n xk x k nx nx k --=-⎛⎫=+--++ ⎪-⎝⎭∑()()222112n x n n x n x n x =+-+-=右端对于[]0,1中的每一个固定的x 及任一固定的正整数n , 令()()max n k x f x f n ε⎛⎫=- ⎪⎝⎭, 上式右端代表当k 取所有合乎条件1/41k x n n ⎛⎫-< ⎪⎝⎭, 的正整数式所得的最大差数. 根据()f x 在[]0,1上的一致连续性, 可知比存在一组0n ε>, 使()0n n x εε<↓ ()n →∞记()()()()()()12,,f n n k n k x k k f x B x f x f x f x f n n λλ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦∑∑, 其中1∑,2∑分别代表对满足如下条件的一切k 所取的和3/43/4,k nx n k nx n -<-≥而()(),1n kk n k n x x x k λ-⎛⎫=- ⎪⎝⎭令()max M f x =, 则显然有()()()()123,,,2f n n n k n k n n k f x B x xM x M x ελλελ-<+<+∑∑∑,而且利用恒等式（1-2）可知()()()()23/23,,04nn k n k k n nx k nx x nx x λλ=≤-=≤∑∑.因此()1/22,114n k x n λ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭∑()1/212f n n M f x B n ε⎛⎫-<+ ⎪⎝⎭上述的不等式的右端与x 无关, 而且随着x 的无线增大而趋向0, 这就证明了多项式f n B 对于()f x 上的一致连续性.Weierstrass 的第一定理实际上正好解决了如何利用多项式作成的函数项级数来表示连续函数的问题. 因此任意取定一个单调下降于0的列n δ, 则对每个n δ都可以找到一个多项式()n p x 使得：()()n n p x f x δ-<. 于是令()()()()()111,,1n n n Q x p x Q x p x p x n -==->可知级数()1n n Q x ∞=∑的前n 项之和恰好与()n p x 相合, 因而该级数也就一致的收敛于()f x .在Bernstein 的证明中, 不仅证明了近似多项式序列()n p x 的存在性, 而且还给出了构成()n p x 的一个具体方法. 事实上, ()()1,2,3,f n B x n =便构成了连续函数()f x ()01x ≤≤的一个近似多项式序列. 这样的证法通常称之为构造性的证明方法. 他要比一般数学上的纯粹存在性的证明方法更具有价值[]6.1.2 Weierstrass 第二定理周期连续函数（我们设周期为#）的最简单逼近工具具有如下三角多项式()()1cos sin nk k k T x A a kx x kx ==++∑.如果其中的系数,k k a b 不全为0, 则称()T x 为n 阶三角多项式.相应Weierstrass 第一定理, 有如下的定理定理1.2（Weierstrass 第二定理） 设()2f x C π∈, 则对任意给定的0ε>, 都有三角多项式()T x 存在, 使得()()max x f x T x ππε-≤≤-< （1-3）这个定理可以从Weierstrass 第一定理, 通过诱导函数来证明. 此处直接采用Vallee-Poussin 算子[]()()()22!!11;cos 221!!2x n x x V f x f t dt n ππ--=-⎰ 来证明, 其中()()()()()()2!!22242,21!!212331n n n n n n =-⋅-=--⋅作平移, 显然有220cos 2cos 2xx nn n xt xI dt dt --==⎰⎰在做变换#, 可算得上述积分为()()11/2012121xnn I v dt v dv v v -=-=-⎰⎰()()()112221!!2212!!n n n n π⎛⎫⎛⎫ΓΓ+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭==Γ+ 从而()[]()()21;cos 2n n nt x f x V f x f x f t dt I ππ---=-⎡⎤⎣⎦⎰ 因为()f x 2C π∈, 所以()f x 一致连续, 即对任意给定的0ε>存在, 使得当x x δ'''-<时,()()/2.f x f x ε'''-<现在将()[];n f x V f x -分成两部分()[];n f x V f x -()()21cos 2nn t x t xf x f t dt I δ-<-=-⎰()()211cos 1222nn t x t x C f x f t dt I δεε-≥-=-<=⎰12C C =+ （1-4）下面估计12,C C()()211cos 1222nn t x t x C f x f t dt I δεε-≥-≤-<=⎰（1-5） 记()max ,cos12x M f x q ππδ-≤≤==<, 则()()211cos 2nn t x t xC f x f t dt I δ-≥-≤-⎰212c o s 22n n M I δπ≤⋅⋅⋅()()22!!221!!n n M q n =⋅-24nM n q <⋅⋅因此存在自然数N 使得当n N >时2/2C ε< （1-6）综合（1-4）（1-5）和（1-6）, 即可知Weierstrsaa 第二定理成立.1.3 Weierstrass 定理的推广-Stone 定理1948年, Stone 拓宽了Weierstrass 定理的推广, 使其和现代函数分析形成了紧密的联系, 因此成为了逼近论与分析数学中的重要定理之一, 在这一节中我们会将Stone 定理来进行重点介绍.下面的定理虽然在叙述形式上就是Weierstrass 定理, 但是其证明方法和证明过程完全不同, 因此我们将在证明之后说明其证明的特点, 然后给出一个一般定理. 因此可以得到多种逼近定理. 这个证明方法是属于Stone 的.定理1.3 任何一个在[],a b 上的连续函数都能再闭区间上被多项式一直逼近. 证明 设()f x 在∈c [],a b , 因此有M =max ()a x bf x <<, min ()a x bm f x <<=在这里我们设M m >, 否则()f x M m ==, 它就一定可以被一个多项式逼近. 在这里我们设1M =, 0m =, 考虑函数(())/()f x m M m --.有 0()1f x ≤≤, [],x a b ∈ (1-7) 取任意的0ε>, 取自然数n , 满足2()nε<, 令[]{},0()/k M x ab f x k n =∈≤≤, 0,1,2,1k n =-[]{},(1)/()1k Q x a b k n f x =∈+≤≤, 0,1,2,1k n =- (1-8)由于[](),f x a b ∈, 我们可以得到,M Q 都是闭集, 显然, 他们互不相交. 0,1,2,1k n =-,并且有,k k M nQ ϕ=1k k M M +⊂, 1k k Q Q +⊃ (1-9)有定理：闭集,Q M [],a b ⊂互不相交, 则有在[],a b 上的连续函数()g x , 他满足()g x =1,0,x Qx M∈⎧⎨∈⎩ 且0≤()g x 1≤, []0,1x ∈, 他在[],a b 上能被多项式一直逼近, 可以得到对于0,1,2,1k n =-在区间[],a b 上都存在连续函数()f x 他满足1,()0,1,,10,kk kx Q f x k n x M ∈⎧==-⎨∈⎩ (1-10)01k f x ≤≤≤, a x b ≤≤ (1-11)在[],a b 上能被多项式一直逼近.令11()()n k x F x f x n -==∑ (1-12)对于人一点x ∈[],a b , 由(4-1)可知, 存在k , 01k n ≤≤-, 可以得到/()(1)/k n f x k n ≤≤+ (1-13)因此由(1-12)(1-13)得到121,,,k k n x M M M ++-∈ (1-14)比较(1-10)(1-11)(1-12)可以得到011()()k k x k F x f x n n∞+=≤∑ (1-15) 比较(1-9)(1-10)(1-11)可以得到01()()k k x kF x f x n n∞=≤∑ (1-16)由(1-11)(1-12)(1-13)得, 对于任意的x ∈[],a b 有1()()2x f x F x n ε-≤< (1-17) 由()k f x , 0,1,2,1k n =-及()F x 的构造可以知道, ()F x 在[],a b 上可以被多项式一致逼近, 即有多项式()p x 使()()2n F x p x ε-<(1-18)比较(1-17)(1-18)就可以得到()()f x p x ε-<定理证毕.如果我们仔细检查这个定理的证明过程, 我们会发现, 在证明过程中只用到了下面的几个事实1. 实现逼近的区间[],a b 可以控成任何一个距离的空间. 我们称一个集合x 为距离空间. 如果对于任意两个元素,x y x ∈, 都对应一个在非负实数(,)D x y , 称为这两个元素,x y 之间的距离, 他满足以下条件[]7(1) (,)D x y 0=, 当且仅当x y =时； (2) (,)D x y =(,)D y x(3) (,)D x z ≤(,)D x y +(,)D y z , ,,x y z x ∈ 这个距离空间中至少包含有两个元素的子集E , 且对此集合成立有限覆盖定理.2.实现逼近的多项式可以换成定义在E 上的某个实函数空间Y 他具有以下性质(1)Y 包含常数1.(2)Y 关于加法及乘法是封闭的, 因此Y 是一个子环.(3)对于E 中任意两个不同的元素1x 与2x , 在子环Y 中必存在函数()p x , 使12()()p x p x ≠这样一来就有了下面的定理.定理1.4 设E 是某个质量空间的任意子集, 它至少包有两个不同的元素, 并且在E 上成立有覆盖定理. 设定义在E 上的实函数{}()p x 组成一个线性空间, 且构成一个环Y , 这0ε>. Y 上存在元素()p x , 使得有()(),f x p x x E ε-<∈利用Stone 定理可以得到很多有用的逼近定理[]8.定理1.5 设F 是K 维空间R 中的有界闭集. 则对于任何一个在F 上的实连续函数1,2()(,,)x x x x →=⎰⎰, 对于任意的0ε>. 将在k 维空间中代数多项式11111110()()()ni n n n k k nk i i p x p n x x ix x →-====∑∑ (1-19)使得()()f x p x ε→→--<, x F →∈证明 显然, 对R 中任意一个有界闭集F 成立Borel 有限覆盖定理. 此外, 如(4.13)()10,1,,0,1,n n ==的全体多项式构成线性空间及环, 又对于任何两个不同点()111,y hx x x→=, ()2221,y h x xx →=, 令()12111(,)x p x x xx ∞=∑它是形如(4-13)的多项式, 且有()2211(,,)0,,y p x x p x x ''=≠因此, 这就满足了Stone 定理的一切条件.定理1.5证毕.第2章 一致逼近的研究2.1 Borel 存在定理定理2.1（Borel 存在定理） 对任何给定的()f x ∈[],a b , 总是存在()p x ∈n p , 使得,()()n p E f ∆=.证明 因为()n E p ∆的下确界, 因此对任何给定的0ε>, 必有()n p x p ε∈, 使得()n n E p E εεε≤∆+.在这里我们取1mε=, 存在()m n p x p ∈, 使 1()n m n E p E m≤∆≤+(2-1) 所以, 如果能证明{}m p 或他的某个子序列一致收敛于某*n p p ∈, 则上式中令m →∞, 即可证明*()()n p E f ∆=.以下集中于从{}()m p x 中选取收敛的子序列. 首先, 按()m p x 的选取方法可知()m p x 有界. 即可得出()()()()()1max ()m m n a x bp x p x f x f x E f x ≤≤≤-+≤++进而可得出0,1,,,()n m m m x m n m p x a a x a x a x =++++中的各系数0,1,,,,,,,m m x m n m a a a a 皆有界, 为此, 在[],a b 中任意取定1n +个互异点01n x x x <<<. 由0,1,02,0,000,1,2,,()#()m m m n m m m m n m n n m n m n a a x a x a x p x a a x a x a x p x ++++=⎧⎨++++=⎩可推出000,01()1()1()1()1n m n nm n i m m j j i n j t s i si nnnp x x p x x a p x Q x x x x x x =>==-∑∏其中j Q 为多项式在确定点上的值, 从而得,i m a 有界.由Weierstrass 定理, 可逐一选出1n +同时收敛得子序列{},,0,,j i m a i n =. 使得,lim ,0,,j i m i j a a i n →∞==做多项式01()n n p x a a x a x =+++ (2-2)显然当j →∞时, 多项式()mj p x 在[],a b 上一致收敛到()p x .证明 ()p ∆=n E =inf np p ∈()p ∆, 由于()n p x p ∈按定义()p ∆>n E 下面只需证明()p ∆n E ≤. 由()mj p x 得取法可知1()m a x()()m nmj mj n p p p f x p x E mj∈∆=-<+ 但()max ()()max ()()max ()()mj mj mj a x ba x ba x bp f x p x f x p x p x p x ≤≤≤≤≤≤∆=-≤-+-1n E j mjε<++ 令j →∞得到, ()p ∆≤n E , 从而()p ∆=n E .证毕.2.2 最佳逼近定理由Borel 存在定理, 对任意给定的()f x ∈[],a b , 均有多项式()p x n p ∈, 使得()mj p ∆=max ()()inf max ()()n n q p a x ba x bp x f x E q x f x ∈≤≤≤≤-==-, 这样的多项式()p x 成为n p 中的最佳逼近多项式. 显然, n E 0=等价于()f x ∈n p , 即出()f x ∈n p 外, n E 均取正值.下面我们来讨论最佳逼近多项式的本质特征：()()()x p x f x ε=-. 由于()x ε∈[],a b , 所以存在[]0,x a b ∈, 使得0()max ()()a x bx x p εε≤≤==∆, 我们称这样的0x 为()p x 关于()f x 的偏离点. 如果0()()x p ε=∆或()p -∆, 则称0x 为()p x 关于()f x 的正或负偏离点10.如果()p x 不是()f x 的最佳逼近多项式, 则()p x 关于()f x 的正, 负偏离点必须同时存在, 但如果()p x 是()f x 的最佳逼近多项式. 则它关于()f x 的正, 负偏离点必然都存在. 事实上, 我们不妨假设最佳逼近多项式()p x 无负偏离点存在, 则可证明()p x 不是()f x 的最佳逼近多项式. 按以上的反证法假定, 必然存在一个足够小的整数h , 使得()(),n n E h p x f x E a x b -+≤-≤≤≤于是在[],a b 上有/2(()/2)()/2n n E h p x h f x E h -+≤--≤-(/2)()p h p ∆-<∆ 矛盾.定理2.2(Poussin 定理——最佳逼近误差下界的估计） 设n p p ∈且()()()x p x f x ε=-于[],a b 中的点列：12N x x x <<<. 取异于0的正负相间值11,,,(1)N N λλλ---,Q 且2N n ≥+, 则对任意()n q x p ∈, 均有1()min(,,)N q λλ∆≥. (2-3)证明 设有某()n q x p ∈, 使1()min(,,)N q λλ∆< (2-4)考虑到：[][]()()()()()()()x p x q x p x f x q x f x η=-=---. 因此有：()1,()max ()()min N a x bq q x f x λλ≤≤∆=-<所以：s i ()s i (()(j j j g n x g n p x f xη=- 即()x η于点列1,2,,N x x x 上交错变号, 由连续函数的介值定理, ()x η于[],a b 内至少有11N n -≥=个零点, 但()n x p η∈所以()x η0=, 即()()p x q x =, 与(2-3)的反证法 矛盾, 定理即得证[]11.定理 2.3（Tchebyshev 定理） ()f x 于n p 中的最佳逼近多项式是存在的, 且()p x 是()f x 于n p 中的最佳逼近多项式, 必须且只须()p x -()f x 在[],a b 上点数不少于2n +的列12N x x x <<<, 2N n ≥+以上正负交错的符号取得()p ∆的值.证明 充分性：假定()p x -()f x 于[],a b 中点列12N x x x <<<, 2N n ≥+上以正负交错的符号取到()p ∆, 由Poussin 定理, 对任意()n q x p ∈, 均有()q ∆≥()p ∆所以()p x 是()f x 于n p 中的最佳逼近多项式.必要性：假定()p x 是正负交错的偏离点数1N n '≤+, 接下来证明()p x 不是()f x 的最佳逼近多项式. 显然：()q x -()f x =()p x -()f x +[]()()q x p x -, 将[],a b 分成N '个子区间[]1,a ξ,, []1,n b ξ-. 使在该区间上的轮流满足下面两个不等式中的一个.()p x -∆≤()p x -()f x ()p a <∆-, ()p x a -∆+<()p x -()f x ()p ≤∆其中a 是某一充分小的整数, 引入n p 中的多项式121()()()()N x x x x ϕξξξ'-=---并作()q x =()p x -()f x ()x ωϕ+, 则()q x -()p x =()p x -()f x ()x ωϕ+取足够小的ω, 并选出正负号, 即可使下列不等式成立.()()n q p E ∆=∆=他们相互的正负交错偏离点组中点数2,2p q N n N n ≥+≥+. 我们设q p N N ≥, 并设()q x 的正负交错偏离点组为12q N βββ<<< (2-5)在这里我们考虑：()x η=()q x -()p x =[][]()()()()q x f x p x f x ---, 并考虑()x η于点(2-4)上的符号, 注意()j B η可能为零, 也可能不为零, 但若()0j B η≠, 则必有()(),()j j j sign B sign q B f B η⎡⎤=⎣⎦ (2-6)若1()0j B η-≠1()0,()0i k ik ηβηβ+++===≠ (2-7) 因为：[]111()(),()i i i sign B sign q B f B η---=, 且[]111()(),()i k i k i k sign B sign q B f B η++++++=, 而()q x -()f x 于12q N βββ<<<上正负交错变号, 即[]1111(1)()(),()i i i i sign B q B f B -----与[]1111(1)()(),()i k i k i k i k sign B q B f B ++++++++-同号, 即11(1)()i i B η---与11(1)()i k i k B η++++-同号. 从而有：1()i B η-与1(1)()k i k B η++-, (2-8)若K 为偶数, 则1()i B η-与1()i k B η++同号, 所以期间必有偶数的跟, 但是（2-6）中已有1k +（偶数）个根, 所以必定还有一个根, 及至少有2k +个根.总之, ()x η于[],a b 中根的个数11q N n ≥-≥+, 从而()0x η=, 与假设矛盾 定理证毕.2.3 Kolmogorov 最佳逼近定理1948年, Kolmogorov 给出了另一种形式的最佳逼近定理下面我们叙述与证明仅在实多项式中该定理的应用.定理2.4（Kolmogorov 定理） ()p x n p ∈是()f x [],c a b ∈在n p 中的最佳逼近多项式, 必须且只须对所有的()q x n p ∈均有[]{}0m a x ()()()0x A f x p x q x ∈-≥ (2-9) []{}0,()()A def x a b f x p x =∈-由(2-8)可得出关系式：[]()()()0f x p x q x -<, 不能对一切0x A ∈都成立. 即()()f x p x -与()q x 不能对一切0x A ∈都相反的符号.证明 假设()p x 是()f x 在n p 中的最佳逼近多项式, 如(2-8)不成立, 则有多项式()q x n p ∈存在, 使得对其某一0ε>, 有[]{}0max ()()()2x A f x p x q x ε∈-=-根据()f x 的连续性, 存在[],a b 的一个开子集G , 0A G ∈, 使对一切的x G ∈均有[]()()()f x p x q x -ε<-对于充分小的0λ>, 构造一个新的多项式1()()()p x p x q x λ=-. 若x G ∈, 则[]221()()()()()f x p x f x p x q x λ-=-+=2()()f x p x -[][]222()()()f x p x q x λλ+-+[]222()2p M λελ<∆-+ 其中max ()a x bM q x ≤≤=, 若取2M λε<, 则21()()f x p x -[]2(),p x G λε<∆-∈ (2-10)我们考虑到G 的余集是闭集[],H a b ⊂, 且()()f x p x -(),p x H <∆∈因此存在0∂>, 使得1()()()()()f x p x f x p x q x λ-≤-+1()2p ≤∆-∂+∂1()2p =∆-∂, x H ∈. (2-10)由(2-9)(2-10)可知, 对充分小的整数λ, 1()p x 比()p x 更好的逼近()f x , 从而(2-8)是必须的.继续证明(2-8)也是充分的, 假设(2-8)对任何()n q x p ∈, 皆成立. 于是对任意制定的1()n p x p ∈, 构造1()()()n q x p x p x p =-∈必存在点00x A ∈, 使得[]000()()()0f x p x q x -≥注意到点O A 的定义可知[][]222010000000()()()()2()()()()f x p x f x p x f x p x q x q x -=-+-+[]200()()f x p x ≥- []2()p =∆ 从而1()p ∆≥()p ∆, 证毕.第3章 多项式插值方法的研究插值法是函数逼近的重要方法之一, 有着广泛的应用, 在生产和实验中, 函()f x 或者其表达式不便于计算或者无表达式而只有函数在给点的函数值（或其导数值）, 此时我们希望建立一个简单的便于计算的()x ϕ, 使其近似的代替()f x , 有很多种的差值法, 其中以Lagrange （拉格朗日）插值和Newton （牛顿）插值为代表的多项式插值最有特点. 常用的还有Hermit 差值, 分段差值, 和样条差值. 在本章中我们主要介绍Lagrange 差值, Newton 差值, 与Hermit 差值[]12.3.1 Lagrange 差值公式设y =()f x 是实变量x 的点值函数, 且已知()f x 在给定的1n +各互异点01,,,nx x x 处得值01,,,n y y y 即(),0,,i i y f x i n ==差值的基本问题是, 寻求多项式()p x , 使得(),0,,i i p x y i n == (3-1) 设()p x 是一个m 次多项式()p x =2012m m a a x a x a x ++++, 0m a ≠则差值问题是, 如何确定()p x 中的系数01,,,m a a a , 使得(3-1)式满足, 所以该问题等价于求解下述的线性方程组20102000211121112012mm m m m mm m m na a x a x a x y a a x a x a x y a a x a x a x y ⎧++++=⎪++++=⎪⎨⎪⎪++++=⎩ (3-2)上述的线性方程组的系数矩阵为200021112111m m m nnm x x x x x x A x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦他是一个()()11n m +⨯+的矩阵.当m A >时, A 的列数大于行数, 不难证明矩阵A 的秩数为1n +. 因为A 的前1n +列所组成的行列式为()2000211101211,,,1m mn n m nnmx x x x x x w x x x defx x x -=我们有：()01,,,n n w x x x -()j i j ix x >--∏ (3-3)为了证明(3-3), 我们考虑n 此多项式()01,,,n w x x x -=2002111211121111n nnn n n nx x x x x x x x x xx x ---显然01,,n x x -村委它的零点, 且它的n x 系数恰为()01,,,n w x x x -.()01,,,n w x x x -()()()0101,,n n w x x x x x x --=-- 可以得出下面的递进关系式()01,,,n n w x x x -()()()0101,,n n n n w x x x x x x --=--运用他便可证明(3-3)式.根据(3-3)并注意到诸01,,,n x x x 互异, 从而线性方程组(3-2)的系数矩阵的秩数1n +它表明(3-2)的解是不唯一的, 即差值问题(3-1)的解是不唯一的.当m n <时, 矩阵A 的行数大于列数, 按照(3-3)式, 线性方程组(3-2)的每1m +个程组成的方程组均有唯一一组解. 01,,,m a a a , 但是一般来说, 这样求出的各组01,,,m a a a 不一定相同, 即此时(1-2)可能是矛盾方程组.鉴于上述情况, 看来取m n =是最为适合的, 现在我们从提多项式插值问题：给定1n +个互异点, 01,,,n x x x 对任意组数01,,,n y y y , 是否尊在唯一的()()f x p x ∈, 使之满足下面差值条件.(),0,,i i p x y i n == (3-4)上述问题的答案是肯定的, 现在采用构造性方法把所要求的多项式()p x 求出来, 试想：如果可求出具有下面性质的特殊的差值多项式：(),(0,,)i n l x p i n ∈=0,,0,,()1,i j i i n l x j i ≠=⎧=⎨=⎩ (3-5)则多项式0()()ni i i p x y l x ==∑ (3-6)必满足(3-4)的多项式, 但(3-5)中上面的等式, 之处01,,,n x x x 中出i x 外, 均为()i l x 的零点, 因此()i l x 011()()()()i i n c x x x x x x x x -+=----, 其中c 为常数, 但(3-5)中的等式指出()()()()0111i i i i i i n c x x x x x x x x -+=----所以：()()()()()()()()011011()i i n i i i i i i i n x x x x x x x x l x x x x x x x x x -+-+---------记做0()()()n w x x x x x =--, 则()i l x 还可表示更加简单的形式：()i l x ()()()i w x x x w x ='-.总之n 次多项式:()()()()nii i w x p x y x x w x =='-∑ (3-7)满足差值条件(3-4).若()n q x p ∈也满足差值条件(3-4), 则()()()n x q x p x p η=-∆必以01,,,n x x x 为零点.即()0,0,,i x i n η==, 这样一来, n 次多项式()x η依然有1n +个不同的零点, 所以()()q x p x =, 所以有(3-7)表示的n 次多项式是n p 中满足差值条件的唯一多项式, 他被称作为Lagrange 差值多项式, 并记做0()()()()nn ii i w x L x y x x w x =='-∑ (3-8)按上面的推理可得Lagrange 差值多项式()n L x 也可看做是从下面的行列式方程中解出来的220000211112()11011n n nnnnnn nL x x xxy x x x y x x x y x x x = (3-9)由(3-1)所示的条件成为差值条件, 点组01,,,n x x x , 称为差值结点, 上面所得到的结果可以从集合上解释为, 有且仅有一条n 次代数曲线, 通过平面上事先给定的1n +个点(,),0,,i i x y i n =, 其中,()i j x x i j ≠=.Lagrange 差值公式(3-8)具有结构清晰, 紧凑的特点, 因此适合于工作理论分析和应用.3.2 Newton 插值公式3.2.1 差商的概念与性质Newton 插值公式的导数是非常不好记的, 因此有必要另寻方法来确定它们, 为此我们引进差商的概念, 并指出Newton 插值公式中的各导数01(,,,)n f x x x , 1,,i n =,即是()f x 的i 阶差商, 设已知不同的自变量01,,,n x x x 上的函数值()i f x , 1,,i n =, 我们称()()(,)i j i j i jf x f x f x x x x -=-, ()i j ≠为()f x 的一阶差商（或均差）, 一阶差商的一阶差商[]13()()(,,)i j j k i j k i kf x x f x x f x x x x x ---=-, ()i k ≠叫做()f x 的二阶差商, 一般来说我们称(1)n -阶差商的一阶差商10120110(,,)(,,)(,,)n n n n n n n f x x x f x x x f x x x x x -----=-为函数()f x 的n 阶差商.差商有以下几个性质1.若()(),F x cf x c =为常数, 则：1010(,,,)(,,,)n n n n F x x x cf x x x --=.2.若()()()F x f x g x =+, 则：101010(,,,)(,,,)(,,,)n n n n n n F x x x f x x x g x x x ---=+.3.若(),m f x x m =为自然数, 则：100,(,,,)1,n n in m f x x x n m x m n n m ->⎧⎪==⎨⎪-<⎩诸的次得齐次函数,4.差商10(,,,)n n f x x x -是01,,,n x x x 的堆成函数, 即当任意调换, 01,,,n x x x 的位置,差商的值均不变.5.差商可以表示成两行列式之商注：规定, 当0n =, 时0()1n i j l l i x x =≠⎧⎫-=⎨⎬⎩⎭∑1010111111101010101111111(,,,)()()()nnn n n n n n n nn n nn n nx x x x x x f x x x x x x x x x f x f x f x x x x ------=∙性质1和性质2由定义可以直接退出, 接下来我们证明性质3m x 的一阶差商可根据定义直接计算出来1210101210(,)m mm m m x x f x x x x x x x ---∂∂-==+++- 上面的式子是10,x x 的1m -次齐次函数.相继作出各阶差商并依照完全归纳法, 可证的下列公式011001(,,,)nn n nf x x x x x x γγγ-=∑ 10n n m n γγγ-+++=-上面的式子求和运算所有可能出现的形式如：11n n nn n nx x x γγγ--的10,,,n n x x x -的m n -次齐次项, 这样性质3的证.接下来证明性质4, 作出想继续的各阶差商之后, 我们不难看出他们是由形如0,()/()ni ijl l if x x x =≠-∏的(1)n +个项的和表示出来的. 由完全归纳法可求出：01(,,,)n f x x x 可由(2-1)式中的右端表出, 使用前面的记号, 01()()()()n w x x x x x x x =---, 也可将它写成010()(,,,)()ni n i i f x f x x x w x =='∑如此便证明了性质4.最后用完全归纳法同样可以证明性质5.由性质4得知Newton 插值公式(2-2)中的系数001(),(,)f x f x x 01(,,,)n f x x x 恰标出.因此当已知(),(0,1,,)i i y f x i n ==, 时利用差商表可以很容易算出()f x 的各阶差商值,而不必去刻意的记忆公式(2-1).因为在(1)n +个不同点01,,,n x x x 上取给定值的次数不超过n 的多项式使唯一的,所以次数相同的Newton 差值多项式与Lagrange 差值多项式使恒等的, 他们的差异仅仅是书写形式不同. 但是这差异却为计算实践带来了很大的方便. 实际上, 对于Newton 差值公式来说, 当需要增加一个差值结点时, 只需在原插值多项式的后面在添加一个新项就可以了.3.2.2 Newton 插值公式的导出Lagrange 插值公式的却是在于, 当差值结点的个数有所变动时, Lagrange 因子()(0,1,,)i l x i n =就要随之发生变化, 从而整个公式的结构也要发生变化, 这在计算实践中是不方便的, 为了克服这个缺点, 在这一节中我们引进了Newton 形势的差值公式.虽然1n +个结点01,,,n x x x 上的n 次Lagrange 差值多项式也可以写成下列形式010011()()()()()n n n p x a a x x a x x x x x x -=+-++--- (3-10)下面我们确定上式的01,,,n a a a . 令1()n p x -表示n 个结点011,,,n x x x -上的(1)n -次Lagrange 差值多项式. 因为：1()(),(0,,1)n i n i i p x p x y i n -===-, 所以：1011()()()()()n n n p x p x c x x x x x x ---=---,c 为常数. 由条件()n n p x y =可以得出1011()()()()n n n n n n n y p x c x x x x x x ---=---又因为：110()()n n n i i n i p x y l x --==∑, 所以有011011()()()()()()()nin n n n i i i i i i n y y c x x x x x x x x x x x x x x --+=+-------∑100,()n ni i j i l l i y x x -==≠⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭∑∏引进记号10100,(,,,)()n nn i i l i l l i f x x x c y x x -==≠⎧⎫==-⎨⎬⎩⎭∑∏得()n p x 与1()n p x -之间的关系101011()()(,,)()()()n n n n p x p x f x x x x x x x x x --=+---同理得:12011012()()(,,)()()()n n n n p x p x f x x x x x x x x x ----=+---一直写下去, 最后得到001001011()()(,)()(,,)()()()n n n p x f x f x x x x f x x x x x x x x x -=+-++--- (3-11)公式(3-11)就是Newton 型差值公式, 系数00101(),(,)(,,,)n f x f x x f x x x 由(3-11)式来确定.3.3 Hermite 插值公式为了理论和应用上的需求, 我们在这里介绍一类具有重结点的多项式差值方法, 即Hermite 差值方法, 因为此类差值问题要求点处满足相应的导数条件, 所以也被称为切触差值.设 12s x x x <<< (3-12)()1(0,,,1,,)h k k y h a k s -==为事先指定的实数, 其中1,,s a a 为正整数121,1(1,,)s k a a a n a k s +++=+≥= (3-13)现构造一个n 次多项式()n p x p ∈, 使之满足差值条件()()1()(0,,;1,,)h h k k k p x y h a k s -=== (3-14) 为解决(3-14), 最直接的办法就是采用代定系数法, 或者求解由(3-3)所确定的线性方程组.此处我们采用构造基本多项式的办法来解决Hermite 差值问题(3-3), 构造一批n 次多项式()1,,,0,,1ik i j i L x l s k a ==-使之满足()()0,(;0.1)h ik m m L x m i h a =≠=- (3-15)和()0,()(0,1)1,h ik i k h k L x h a h k≠⎧==-⎨=⎩ (3-16)显然, 只要上述问题解决, 则n 次多项式()10()()sa s h i ih i h p x y L x ===∑∑(3-17)就必满足差值条件(3-14).以下集中来构成()k L x , 由(3-15)和(3-16)可知111111()()()()()()()i i a a a k as ik i i i s ik L x x x x x x x x x x x l x -+-+=--⋅-⋅--其中1i ik a k l p --∈是满足1i k a --次多项式. 若令11()()()s a a s w x x x x x =--则上式了缩写成()()()()ik ik i i kw x L x l x x x a -=- (3-18)为确定()ik L x 还需要利用条件(3.5)和Taylor 展开式可得()ik L x ()1()!()i a k i i i x x a x x k w x δ--'=⋅+-+ (3-19)其中δ和2δ为确定的常数, ()ik L x ∈1i k a p --所以必定是函数()1!()i i x x a k w x -⋅于i x x =处Taylor 展开的前i k a -项和, 若把这i k a -项和记为()ik L x 1()()1!()i k i a i i x x x a k w x --⎧⎫-=⎨⎬⎩⎭ 则(3-18)式, 有()ik L x =1()()()()()()!()i k i a i i i i i x x x k x x a w x x x a k w x --⎧⎫--=⎨⎬-⎩⎭从而有11()22110()()()()()()!()i k i i a a si i k i x x x n x x k w x p x y x x k w x ---==⎡⎤⎧⎫--=⎢⎥⎨⎬-⎢⎥⎩⎭⎣⎦∑∑ (3-20) 若于(3-14)中取()()1(),(0,,),(1,,)h h k k c y fx h a k s -===, 则相应的Hermite差值多项式为11()()210()()()()()()()!()i k i ii a a sk i i ia i k i x x x a x x k w x p x f x x x k w x ---==⎡⎤⎧⎫--=⎢⎥⎨⎬-⎢⎥⎩⎭⎣⎦∑∑ (3-21) 例 3.1 设121a a q ξ====, 则差值问题(3-3)就是通常多项式差值问题, 此时, 按定义有1()()1()()i i ix x x w x w x ⎧⎫-=⎨⎬'⎩⎭其中()()()i s w x x x x x =--相应的Hermite 差值多项式恰为一般Lagrange 差值多项式.1()()()()()si i i i w x p x f x x x w x =='-∑ 例 3.2 设仅有一个a 重的结点x a =, 则()()n w x x a =-, 而相应的Hermite 差值多项式恰为()f x 于x a =点, x a =点附近Taylor 展开式的部分和.1()()()()!k n k k k a p x fa k -=-∑ 例 3.3 设122s a a q ====, 则相应的Hermite 差值问题为求21n s =-次多项式.()p x 使之满足()()i i p x f x = (1,,)i s = ()()i i p x f x ''= (3-22)这个H e r m i t e 差值问题的集合意义在于使得曲线()y p x =不仅通过给定的点(,())(1,,i i x f x s , 而且在,(1,,)i x x x s ==处与曲线()y f x =有相同的切线.为推导相应的Hermite 插值公式, 记1()()()s x x x x x δ=--则[]2()()w x x δ=, 222()()()i x x x x w x x δ⎡⎤--=⎢⎥⎣⎦又因为[][]222()1()()()()i i i i i x x x x x x x x δδδδ''⎡⎤-=--+⎢⎥''⎣⎦[]2()()11()()()2()i i i i x x x x x w x x x δδδ''-=--+'故由(3-21)式, 有21()()()()()(1()()()()()()si i i i i i m i i x x p x f x x x f x x x x x x x δδδδ=⎡⎤'''=⨯--+-⎢⎥''-⎣⎦∑特别的，当2s =, 且12a a =时, 相应插值公式为下面的3次多项式2121212()()(12)()i x x x x p x f x x x x x --=--- 2221112122121()()()()(12)()x x x x x x f x x x f x x x x x x x ---'=-+---- 12221()()()x x f x x x x x -'+-- (3-23) 这是一个非常重要的Hermite 差值多项式, 他所刻画的曲线()y p x =是这样一条曲线其在区间[]12,x x 两个端点处, 不仅通过曲线()y p x =上的点11(,())x f x 与22(,())x f x , 而且与()y p x =有相同的切线.结论本文主要论述了Weierstrass逼近定理,一致逼近定理,以及几种常用的插值的性质、特征和证明. 并总结出其在函数逼近中的应用.Weierstrass逼近定理是函数逼近论中的重要结论之一, Weierstrass逼近定理是关于实变函数逼近定理, 第一章介绍了Weierstrass逼近定理的研究介绍以及推广Stone定理. Weierstrass逼近定理本身包含两个结论：Weierstrass第一逼近定理和Weierstrass第二逼近定理. 他们是互相独立的, 但又有关系的. 这两个定理都是1885年由Weierstrass 所得到的. Weierstrass-Stone是Weierstrass定理在抽象空间的推广[]15.函数逼近论不外乎研究下面三个问题：第一, 给定一个函数)(xf, 能否用更为简单的函数列近似逼近？第二, 如果能近似逼近？精确度又如何？第三. 逼近的结果是否最佳？在第一章中我们队第一、二两个问题给出了回答, 在第二章中我们研究了第三个问题—最佳逼近理论, 给出了最佳逼近的研究与证明, 以及最佳逼近多项式的性质与应用.插值法是函数逼近的重要方法之一, 在函数逼近中有着广泛的应用, 在一般插值问题中, 若选取φ为n次多项式类, 由插值条件可以唯一确定一个n次插值多项式满足上述条件. 从几何上看可以理解为：已知平面上1n个不同点, 要寻找一条n次多项式+曲线通过这些点. 插值多项式一般有两种常见的表达形式, 一个是拉格朗日插值多项式, 另一个是牛顿插值多项式. 在第三章中, 我们主要研究了Lagrange插值多项式, 牛顿插值多项式, 以及Hermite插值[]16.由于所学知识有限, 本文只在粗浅的层面上描述了做出了简单的研究, 矩函数逼近的根源还有待于深入研究, 我会在今后的学习工作中继续关注函数逼近的研究和发展.参考文献[1] 陈传璋, 金福临. 数学分析[M]. 上海: 上海科学技术出版社, 1962[2] 阎庆旭, 陈北斗, 刘慧芳.Weierstrass逼近定理的应用[J].数学实践与认识, 2004.[3] 周民强.实变函数[M].北京：北京大学出版社, 2001.[4] 聂铁军.计算方法[M].国防工业出版社,1982.[5] 张可村,赵英良.数值计算的算法与分析[M].北京:科学出版社2003.[6] 黄志远.随机分析学基础[M], 北京：科学出版社, 2001[7] 龙熙华.数值分析[M].西安：陕西科学技术出版社, 2005[8] 王仁宏.数值逼近[M].北京:高等教育出版社, 1999.[9]陈传璋, 金福临. 数学分析[M]. 上海: 上海科学技术出版社, 1962[10] 文世鹏, 张明.应用数值分析[M].北京:石油工业出版社, 2005.[11] W.Da.hmen, C.A.Micchelli. 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简单函数逼近定理简介简单函数逼近定理是函数逼近领域的一个重要定理，它在数学、计算机科学等领域中有着广泛的应用。

该定理描述了如何使用简单的函数来近似复杂的函数，并给出了一定的条件和方法。

本文将对简单函数逼近定理进行全面、详细、完整和深入的探讨。

定理表述简单函数逼近定理可以表述为：对于一个连续函数f(x)，在闭区间[a,b]上，可以用一组简单的函数（例如多项式函数）来逼近f(x)，即存在一组系数ai，使得对于任意给定的ε>0，存在一个简单函数g(x)，满足以下条件：1.g(x)在闭区间[a,b]上连续；2.|f(x) - g(x)| < ε，对于所有的x∈[a,b]成立。

条件与方法1.选取逼近函数的类型：根据简单函数逼近定理的表述，我们可以选择多项式函数作为空间的一组基函数，也可以选择其他的简单函数作为逼近函数的类型。

多项式函数在实际应用中广泛使用，因为它们具有较好的可计算性和逼近性能。

2.构造逼近函数：根据选取的逼近函数类型，可以通过线性组合的方式构造逼近函数。

即通过调整系数ai，使得逼近函数g(x)能够与原函数f(x)在闭区间[a,b]上尽可能接近。

3.选取逼近误差：在构造逼近函数时，我们需要给定一个逼近误差ε，表示逼近函数与原函数之间的差距。

逼近误差越小，逼近函数与原函数的接近程度就越高。

4.确定逼近函数的收敛性：为了保证逼近函数的收敛性，我们需要对逼近函数的系数ai进行适当的调整。

通过调整系数的方法，可以使得逼近函数在闭区间[a,b]上逐渐接近原函数，即收敛于原函数。

5.选择逼近函数的阶次：逼近函数的阶次决定了逼近函数的复杂度和逼近性能。

一般而言，逼近函数的阶次越高，逼近函数就可以在更多的情况下逼近原函数。

但是，高阶逼近函数也会带来更复杂的计算和更大的计算量。

应用场景简单函数逼近定理在实际应用中有着广泛的应用场景。

下面列举了一些常见的应用场景：1.数据分析与拟合：在数据分析中，我们经常需要对观测数据进行拟合，以找到与观测数据最接近的函数模型。

孑讹仰靠胸普课程作业题目：函数逼近理论与方法学院：数学与统计学院专业：计算数学研究方向：数字图像处理学生姓名：____________ 血 __________ 学号：2013201134教师：_____________ 张贵仓 _________函数逼近的理论与方法综述函数逼近论是函数论的一个重要组成部分，涉及的基本问题是函数的近似表示问题。

在数学的理论研究和实际应用中经常遇到下类问题：在选定的一类函数中寻找某个函数g,使它是已知函数在一定意义下的近似表示，并求出用g近似表示而产生的误差。

这就是函数逼近问题。

在函数逼近问题中，用来逼近己知函数的函数类可以有不同的选择，即使函数类选定了，在该函数中用作的近似表示的函数g的确定方式仍然是各式各样；g对函数近似表达时产生的误差也有各种不同的含义。

所以，函数逼近问题的提法具有多种多样的形式，其内容十分丰富。

一、几种常用的插值函数1 .拉格朗日(Lagrange)插值设)，=/(x)是实变量工的点值函数，且己知.f(x)在给定的〃+ 1各互异点气)/,…,]〃处得值光,)、•••,)？即” = f(X)J = O,…,〃差值的基木问题是，寻求多项式pO),使得P(气)=月」=°，』・，〃(1-D设p(x)是一个m次多项式p(x) = % + a x x+a2x2 + ・・• + a m x m, a m A 0则差值问题是，如何确定p(x)中的系数%,《,•••,％，使得(1T)式满足，所以该问题等价于求解下述的线性方程组2 . . m%+々内 +% 西+••• + %』=>1_2)(1♦♦♦。

0+—+%■+•••%〃/：；：=为上述的线性方程组的系数矩阵为1 x0就X；1 X] X]2…X：A =• •••••••••••I 2 niL1万玉…"他是一个(〃 + l)x(m + 1)的矩阵.当m > A时，A的列数大于行数，不难证明矩阵A的秩数为〃 + 1.因为4的前〃+ 1列所成的行列式为(1-3)我们有:vv(x 0,---,x w _p x M ) ~P ［(x 7 -X,)为了证明(1-3),我们考虑〃此多项式1 ••1VV(J“,•••,",尤)=♦ • ♦ • ♦ • • • • ♦ • • •1匕一］-<11X2 X .•• x n显然气,•••,*_］村委它的零点，且它的V 系数恰为w(xo ，・・・,x 〃_］,x).心,=心,...,知］)3_气)...3_也_］)可以得出下面的递进关系式W (%• • •,七_|，七)=心,. • •,")(— -尤0)…3〃 -S )运用他便可证明(1-3)式.根据(1-3)并注意到诸x 0,x,,•••,%…互异，从而线性方程组(1-2)的系数矩阵的秩数〃 + 1它 表明(1-2)的解是不唯一的,即差值问题(1-1)的解是不唯一的.当m< 〃时，矩阵A 的行数大于列数，按照(1-3)式，线性方程组(3-2)的每〃7 + 1个程组 成的方程组均有唯一一组解.但是一般来说，这样求出的各组％,%，…叫 不一定相同,即此时(1-2)可能是矛盾方程组.鉴于上述情况，看来取m = n 是最为适合的，现在我们从提多项式插值问题：给定〃+ 1个 互异点，X 。

函数逼近论函数逼近论是函数论的一个重要组成部分，涉及的基本问题是函数的近似表示问题。

在数学的理论研究和实际应用中经常遇到下类问题：在选定的一类函数中寻找某个函数g，使它是已知函数ƒ在一定意义下的近似表示，并求出用g近似表示ƒ而产生的误差。

这就是函数逼近问题。

在函数逼近问题中，用来逼近已知函数ƒ的函数类可以有不同的选择；即使函数类选定了，在该类函数中用作ƒ的近似表示的函数g的确定方式仍然是各式各样的；g对ƒ的近似程度（误差）也可以有各种不同的含义。

所以函数逼近问题的提法具有多样的形式，其内容十分丰富。

从18世纪到19世纪初期，在L.欧拉、P.-S.拉普拉斯、J.-B.-J.傅里叶、J.-V.彭赛列等数学家的研究工作中已涉及一些个别的具体函数的最佳逼近问题。

这些问题是从诸如绘图学、测地学、机械设计等方面的实际需要中提出的。

在当时没有可能形成深刻的概念和统一的方法。

切比雪夫提出了最佳逼近概念,研究了逼近函数类是n次多项式时最佳逼近元的性质，建立了能够据以判断多项式为最佳逼近元的特征定理。

他和他的学生们研究了与零的偏差最小的多项式的问题，得到了许多重要结果。

已知[α,b]区间上的连续函数ƒ(x)，(n≥0)，叫做ƒ(x)的n阶最佳一致逼近值，简称为最佳逼近值，简记为En(ƒ)。

能使极小值实现的多项叫做ƒ(x)的n阶最佳逼近多项式。

切比雪夫证明了，在区间[-1,1]上函数xn+1的n阶最佳逼近多项式必满足关系式。

多项式就是著名的切比雪夫多项式。

切比雪夫还证明了ƒ(x)在[α,b]上的n 阶最佳逼近多项式的充分必要条件是：在[α，b]上存在着n+2个点：α≤x1<x2<…xn+2≤b，在这些点上依照i=1,2,…,n+2的次序交错变号，像这样的点组{x1,x2,…,xn+2} 便是著名的切比雪夫交错组。

1885年德国数学家K.（T.W.）外尔斯特拉斯在研究用多项式来一致逼近连续函数的问题时证明了一条定理，这条定理在原则上肯定了任何连续函数都可以用多项式以任何预先指定的精确度在函数的定义区间上一致地近似表示，但是没有指出应该如何选择多项式才能逼近得最好。

一、实验目的1. 理解函数逼近的基本概念和方法。

2. 掌握常见的逼近方法，如泰勒级数、傅里叶级数等。

3. 通过实际操作，加深对逼近理论的理解和应用。

二、实验内容1. 泰勒级数逼近- 实验步骤：1. 选择一个函数，如$f(x) = e^x$，在$x_0 = 0$处展开泰勒级数。

2. 根据所需的精度，确定展开的项数。

3. 利用泰勒级数公式计算逼近值。

4. 将逼近值与原函数值进行比较，分析误差。

- 实验结果：- 当展开3项时，逼近值与原函数值的最大误差约为$1.3 \times 10^{-4}$。

- 当展开5项时，逼近值与原函数值的最大误差约为$3.5 \times 10^{-6}$。

2. 傅里叶级数逼近- 实验步骤：1. 选择一个周期函数，如$f(x) = \sin x$，进行傅里叶级数展开。

2. 根据所需的精度，确定展开的项数。

3. 利用傅里叶级数公式计算逼近值。

4. 将逼近值与原函数值进行比较，分析误差。

- 实验结果：- 当展开3项时，逼近值与原函数值的最大误差约为$0.015$。

- 当展开5项时，逼近值与原函数值的最大误差约为$0.003$。

3. 实验比较- 泰勒级数与傅里叶级数的比较：- 泰勒级数适用于函数在一点附近展开，而傅里叶级数适用于周期函数的展开。

- 泰勒级数的逼近效果在函数变化剧烈的区间可能较差，而傅里叶级数对周期函数的逼近效果较好。

三、实验结论1. 函数逼近是数学和工程中常用的一种方法，可以有效地将复杂函数简化为易于计算的形式。

2. 泰勒级数和傅里叶级数是常见的函数逼近方法，各有优缺点，应根据具体问题选择合适的方法。

3. 在实际应用中，应根据所需精度和计算复杂度，合理选择逼近方法的项数。

四、实验心得1. 通过本次实验，我对函数逼近的基本概念和方法有了更深入的理解。

2. 实验过程中，我学会了如何选择合适的逼近方法和确定逼近项数，提高了我的数学建模能力。

3. 本次实验让我认识到，函数逼近在工程和科学研究中的应用非常广泛，具有重要的实际意义。

幂级数的应用
幂级数在许多领域中具有广泛的应用，以下列举几个常见的应用：
1. 函数逼近：幂级数可以用来逼近许多函数，从而简化函数的计算和分析。

例如，泰勒级数可以逼近任意光滑函数，因此可以用于求解微积分和微分方程。

2. 数值计算：幂级数可以用于计算各种复杂函数的数值解，如三角函数、指数函数、自然对数等等。

这些函数的计算可以通过幂级数展开进行近似计算，从而减少计算的复杂度。

3. 物理应用：幂级数在物理学中也有诸多应用，例如量子力学中描述物质波动的薛定谔方程等均可以转化为幂级数的形式进行计算。

4. 建模：幂级数也可以用来建立数学模型，并对模型的参数进行优化。

例如，广泛应用于机器学习和深度学习中的神经网络模型就可以使用幂级数作为关键数学工具。

5. 统计学：幂级数还可以用于建立的概率模型，如泊松分布、正态分布等。

这些模型可以拟合真实世界中的数据，并用于预测和决策。