第6讲一元二次方程的整数根
精巧的论证常常不是一蹴而就的，而是人们长期切磋积累
的成果。 我也是慢慢学来的，而且还要继续不断的学习。
-----阿贝尔
知识方法扫描
1．当含有某个参数k 的一元二次方程的左边比较容易分解成两个一次因式的积时，我们可以先利用因式分解直接求方程的解，通常它们是关于k 的分式形式的解。然后利用其根是整数的要求来解不定方程。此时因参数k 的条件不同，常有两种处理方法。其一是k 为整数，这时只需注意分式形式的解中，分子是分母的倍数即可；其二是k 为实数，此时应该消去参数k ，得到关于两根的关系式，也就是关于两根的不定方程，再解此不定方程即可。
2．我们知道一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0在△＝b 2－4ac ≥0时有实数根x ＝a
b 2?±-。所以要使整系数的一元二次方程方程有整数根，必须△＝b 2－4a
c 为完全平方数，并且－b ±?为2a 的整数倍.故处理此类问题，常可用判别式来解决。又可细分为两类：
（1）先求参数范围。可利用题设参数的范围，直接求解；也可由不等式△≥0求出参数的范围.再求解。
（2）再设参数法，即设△＝k 2（k 是整数）。当△＝k 2为关于原参数的一次式时，用代入法来解；当△＝k 2为关于原参数的二次式时，用分解因式法来解.
此外，对有理系数的二次方程有有理根的问题，上述解法也是适用的。
3．韦达定理即根与系数的关系是一元二次方程的重要性质，我们也常用它来处理含参数的一元二次方程的整数解得问题，常用的方法有：
（1） 从根与系数的关系式中消去参数，得到关于两根的不定方程.
（2） 利用“当两根为整数时，其和、积必为整数”来解。
4．在含有参数的一元二次方程中，参数和未知数都是用字母表示的，通常是将未知数看作是主元必要时也可反过来将参数看成是主元，即将方程看成是以参数为未知数的方程，这种方法就是变更主元法。
（1）当方程中参数的次数为一次时，可将参数直接用未知数表示出来，再利用已知参数的范围或性质来求解。
（2）当方程中参数的次数为二次时，可考虑以参数为主元构造一个二次方程，再运用前述的方法（如利用判别式，韦达定理）来处理。
经典例题解读
例1．(1995年山东省初中数学竞赛试卷)k 为什么整数时，方程(6－k )(9
－k )x 2－(117－15k )x ＋54＝0的解都是整数？
分析 此方程的系数均为整数，而且方程的左边可以直接分解成两个整系数的一次因式，故可考虑直接求根来解答此题。另外此题的条件中并未说明方程是一元二次方程，故还应考虑二次项系数为0，原方程是一次方程的情况。
解若k=6, 则x=-2。 若k=9, 则x=3；
若k ≠6且k ≠9，原方程可化为 [(k-6)x-9][(k-9)x-6] = 0 ,故方程的二
根为 x 1＝69-k ，x 2＝9
6-k .为使x 1和x 2都是整数，则应有k -6 = ±1,±3,±9 ， k=-3,3,5,7,9,15。还应有k -9 = ±1,±2,±3,±6, k=3,6，7,8,10,11,12，
15. 所以k=3,7,15时，x 1和x 2都是整数，
综上所述，当k 值为3，6，7，9，15时方程的解都是整数。
例2(2000年全国初中数学联赛试卷)设关于x 的二次方程
(k 2－6k ＋8)﹒x 2＋(2k 2－6k －4)x ＋k 2＝4
的两根都是整数.求满足条件的所有实数k 的值.
分析 此题也可通过直接求根法求出二根，但是它的条件与例1不同，例1中的参数k 是整数，而本题中的参数k 是实数。因此求得二根后不能像例1那样讨论，因为使x 1（或x 2）为整数的实数k 有无穷多个，所以要先消去k ，得到关于x 1，x 2的不定方程，先求出这个不定方程的整数解，然后再反过来求k 的值。
解 将原方程变形得(k －2)(k －4)x 2＋(2k 2－6k －4)x ＋(k －2)(k ＋2)＝0.
分解因式得[(k －2)x ＋k ＋2][(k －4)x ＋k －2]＝0.
显然，k ≠2，k ≠4.解得
x 1＝－42--k k =421---k ； x 2＝－22-+k k =2
41---k . 于是有 1241+-=-x k ， 1
422+-=-x k （x 1≠-1,x 2≠-1） 两式相减消去k 整理得x 1x 2＋3x 1＋2＝0
即x 1(x 2＋3)＝－2.
于是有 ???=+-=;13,221x x 或???-=+=;13,221x x 或???-=+=.23,121x x 或???=+-=.
23,121x x 解得???-=-=;2,221x x 或???-==;4,221x x 或???-==;5,121x x 或???-=-=.1,12
1x x (舍去) 因为 1241+-
=-x k ,当 x 1 = -2 时， k=6。 当 x 1 = 2 时， k=3
10。当 x 1 = 1 时， k=3. 经检验，k =6，3，
3
10 都满足题意。. 例3．（2000年广东奥林匹克学校高中入学考试数学试卷）求当m 为何整数时，关于x 的一元二次方程mx 2-6x+9=0与x 2-4mx+4m 2-4m-5=0的根都是整数。
分析从此题的两个方程无法得到用有理式形式表示的二根，但方程有整数根的前提是有实数根，我们可以先求出两个方程有实根的条件，从而求出参数m
的取值范围，再由m 是整数的条件，确定其值。不过最后还得代入验证此时的方程是否根都是整数。
解依题意有??
???≥----≥--≠0)544(4)4(036)6(0222m m m m m 解得14
5≤≤-
m ，且m ≠0.又m 为整数，故m = ±1。 当m =1时，方程mx 2-6x+9=0的二根均为1，方程x 2-4mx+4m 2-4m-5=0的二根为-1和5，符合要求。
当m =-1时，方程mx 2-6x+9=0的二根均不是整数,不符合要求.
所以仅当m=1时，方程的两根都是整数。
例4．(1996年上海市初中数学竞赛试卷)若关于x 的方程
ax 2+2(a-3)x+(a-2)=0
至少有一个整数根，且a 为整数，求a.
分析 此题和上题不同在于：若利用判别式求出参数a 的取值范围，计算后会发现，满足此范围的整数a 有无数多个，无法一一验证。注意到要使整系数的一元二次方程方程有整数根，必须判别式为完全平方数。本题的判别式是关于参数a 的一次式，一般可以设其为t 2（t 为非负整数），再将方程的根用t 表示出来从而求得其整数解。
解 当a = 0时，方程为-6x-2=0，无整数解。
当a≠0时，方程为一元二次方程，要使方程至少有一个整数根，必须判别式为完全平方数。
∵△=4(a-3)2-4a(a-2)=4(9-4a), ∴9-4a 为完全平方数。 设9-4a = t 2
（t 为正奇数，且t≠3）, 则 a=492
t -. 此时，方程的二根为 x 1,2=a t a 2262±+- = -1+ a t ±3= -1 + 4
932t t -± = -1+29)3(4t
t -± x 1= -1+
t +34 , x 2= -1+t
-34 要使x 1为整数，而t 为正奇数，只能t=1，此时a=2。
要使x 2为整数，t 只能为1,5,7，此时a = 2,-4,-10.
综上所述，a 的值为2,-4,-10.
例5 (2004年全国初中数学联赛试卷)已知方程x 2-6x-4n 2-32n=0的根都是整数，求整数n 的值。
分析1 此题与上题的差别在于其判别式是关于参数的一次式，而是二次式，就不能用代入法了。此类问题一般采用因式分解的方法求解。
解法1因二次方程的根都是整数， 故△=4n 2+32n+9应为完全平方数。 设4n 2+32n+9=k 2(k>0,k 为整数)，即(2n+8)2-k 2=55，
所以 (2n+8+k)(2n+8-k)=55
因2n+8+k> 2n+8-k, 故可得如下4个方程组
???=-+=++1825582k n k n ，???=-+=++5821182k n k n ，???-=-+-=++5582182k n k n ，???-=-+-=++1182582k n k n 分别解得n=10,n=0,n=-18,n=-8.
分析2因4n 2+32n+9=k 2又可以看作是关于n 的一元二次方程，本题也可以再用判别式来求解。
解法2因二次方程的根都是整数，故△1=4n 2+32n+9应为完全平方数。 设4n 2+32n+9=k 2(k>0,k 为整数)，即4n 2+32n+9-k 2=0。将其看作关于n 的一元二次方程，其判别式也应为完全平方数，即△2=322-4×4×(9-k 2)=16(k 2+55)为完全平方数
设k 2+55=t 2,(t>0,t 为整数), 即(t +k)( t -k)=55
因t+k>t-k 故可得如下4个方程组
???=-=+155k t k t ,???=-=+511k t k t ，???-=--=+551k t k t , ?
??-=--=+115k t k t , 分别解得k=27,3, -27或-3，于是 4n 2+32n+9=272，或4n 2+32n+9=33，分别解得n=10, n=-18,n=-8,n=0.所以整数n 的值为-18,-8,0,10.
例6（1996年湖北省黄冈地区初中数学竞赛试卷）求使关于x 的方程 (a+1)x 2-(a 2+1)x+2a 3-6=0有整数根的所有整数a
解 当a=-1时，方程为 -2x-8=0,x=-4 为整数根；
当a≠-1时，Δ=-7a 4-8a 3+2a 2+24a+25
若a≥2，由于-a 4+2a 2<0,-6a 4+24a<0,-8a 3+25<0,所以Δ<0，原方程无实根； 若a≤-2，由于-4a 4-8a 3<0,-2a 4+25<0,-a 4+2a 2<0,24a<0,所以Δ<0，原方程无实根；
当a=0时，原方程变为x 2-x-6=0 ，二根为-2，3；
当a=1时，原方程变为2x 2-2x-4=0 ，二根为 -1，2。
综上所述，仅当a=-1,0,1,原方程才有可能有整数根
评注1本题条件中的有整数根，应该理解成至少有一个整数根。
2本题中的判别式是一个四次式，不易求出其取值范围。上面的解法是先对判别式的取值用分类讨论结合放缩的方法求出其范围来，再对这个范围中的整数逐一讨论。
例7( 1998年全国初中数学联赛试卷)求所有正实数a ,使得方程042=+-a ax x 仅有整数根.
分析 本题有许多方法去解，这里我们利用根与系数的关系式，将两根之和与两根之积都用参数表示出来，然后消去参数，得到关于两根的不定方程.通过解不定方程求出两根，再回头求出参数。
解设两整数根为x 1,x 2，则???>=>=+04,02
121a x x a x x 消去a ,得x 1x 2 -4( x 1+ x 2)=0
（x 1-4）（x 2-4）=16
x 1-4 = ±1, ±2,±4,±8,±16
x 2-4 = ±16,±8,±4,±2,±1
x 1+x 2 - 8 =±17, ±10, ±8
a – 8= ±17, ±10, ±8
a = 25, 18, 16, -9, -2, 0
因a 为正实数，于是25=a 或18或16均为所求.
例8(第十七届全俄数学奥林匹克十年级试卷)求使方程x 2-pqx+p+q=0有整数根的所有正整数p 和q ．
解 设原方程两根为x 1、x 2，则x 1x 2=p+q (1)
x 1+x 2=pq (2)
因此，这两根之和与两根之积均为正整数。若x 1是整数，由(2)知也是x 2整数，由(1)知二根均为正整数。
(1)-(2)得，x 1x 2-(x 1+x 2)= p+q-pq ，即(x 1-1)(x 2-1)+(p-1)(q-1)=2
将2表为两个非负整数之和，只有三种情况：0+2；1+1；2+0。
若(p-1)(q-1)=2，则p=3，q=2或p=2，q=3；
若(p-1)(q-1)=1，则p=q=2；
若(p-1)(q-1)=0，则p=1，q=5，或p=5，q=1．
评注 虽然都是用根与系数的关系解题，本题和上题在解法上又有一些差别。这里用到了整数根和参数间的和，差，积都是整数的性质。
例9(第三届“祖冲之杯”初中数学竞赛试卷)试求所有这样的正整数a ，使方程ax 2＋2(2a －1)x ＋4(a －3)＝0至少有一个整数解.
分析直接利用判别式不能求出的范围，由于两根不一定都是整数，利用韦达定理也不方便，这时我们可以考虑变更主元。在本题中参数a 的次数为一次，所以可考虑将a 用x 表示出来，然后利用a 是正整数的性质求出x 的范围再求解。
解 a (x +2)2＝2(x +6), 显然x ≠－2，所以
a ＝2
)2()6(2++x x . ① 又a 是正整数，则
2)2()6(2++x x ≥1.解得－4≤x ≤2且x ≠－2. 故x ＝－4,－3,－1,0,1,2. 分别代入①得a ＝1,6,10,3,9
14,1. 因a 为正整数，所以a 的值可为1,3,6,10.
例10．（1994年福州市初中数学竞赛试卷）当m 是什么整数时，关于x 的方程x 2-(m-1)x+m+1=0的两根都是整数？
解 原方程可化为(x-1)m=x 2+x+1。显然 x=1 不是原方程的解，即x≠1。所以 m =112-++x x x ,即m = x +2 + 1
3-x 。 因为m 是整数，所以整数x-1只能取±1,±3，即 x=2,0,4,2,相应地 m=7或m = -1。
所以当m=7或m = -1时方程的两根都是整数
评注 本题与上题相同的是参数都是一次式，不同的是m 的范围不是已知的，不宜用借不等式的方法求解。又将参数m 用x 表示后的分式中，分母比分子的次数高，于是可以采用分离整式的方法求整数解。
同步训练
1．(1993年天津市初二数学竞赛题)m 是什么整数时,方程(m 2-1)x 2-6(3m-1)x+72=0有两个不相等的正整数根?
2． (2000年“鲁中杯”绍兴四市县数学联赛试卷)已知关于x 的方程 (4-k)(8-k)x 2-(80-12k)x+32=0
的解都是整数，求整数k 的值。
3． (1993年天津市初中数学竞赛试卷)设m 为整数，且4＜m ＜40，又方程x 2－2(2m －3)x ＋4m 2－14m ＋8＝0有两个整数根.求m 的值及方程的根.
4．(2001年山东省初中数学竞赛试卷）关于x 的方程 kx 2–(k-1)x+1=0有有理根，求整数k 的值。
5．（2005年“卡西欧杯”全国初中数学竞赛试卷）已知p ，q 都是质数，且使得关于x 的二次方程()281050x p q x pq --+=至少有一个正整数根，求所有的质数对（p ，q ）.
6．(1999年全国初中数学联赛试卷)设a 是大于零的实数，已知存在惟一的实数k ，使得关于x 的二次方程
x 2＋(k 2＋ak )x ＋1999＋k 2＋ak ＝0
的两个根均为质数. 求a 的值.
7．设方程a 2x 2＋ax ＋1-7a 2＝0的两根都是整数，求所有的正数a 。
8．（1998年全国初中数学联合竞赛试卷）求所有正实数a ,使得方程042=+-a ax x 仅有整数根.
9．（2003年湖南省高中理科实验班招生考试数学试卷）设函数f (x )=x 3+(2+2a -a 2)x -2a (a +1), a 为实数。
（1）证明：f (a )=0
（2）如果关于的方程f (x )=0有三个整数根，试求实数a 的所有值。
10. （第17届江苏省初中数学竞赛试卷）当m 为整数时，关于x 的方程(2m-1)x 2-(2m+1)x+1=0是否有有理数根？如果有，求出m 的值；如果没有，请说明理由。
同步训练题参考答案
1．原方程可分解为[(m-1)x-6)][(m+1)x-12]=0.因为m≠±1,所以x 1=16-m ,x 2=1
12+m 。 ∵x 1,x 2为正整数,∴m-1=1,2,3,6,且m+1=1,2,3,4,6,12,解得m=2或m=3.但m=3时,x 1=x 2,故舍去,从而m=2为所求.
2． 当k=4时, x=1 。 当k=8时, x=-2 。
当k ≠4且k ≠8时，原方程可变形为 [(4-k)x-8] [(8-k)x-4] = 0,所以x 1=k -84,x 2=k
-48。 因x 1是整数，故8-k=±1，±2，±4。从而 k=4（舍），6，7，9，10，12。而 k=7，9，10 时，x 2不是整数，故k=6或12。
综上所述，k=4，6，8或12。
3．考察判别式△＝4(2m ＋1)，由已知4＜m ＜40，可知 9＜2m ＋1＜81.为使判别式为完全平方数，只有2m ＋1＝25或2m ＋1＝49.
当2m ＋1＝25时，m ＝12，方程两根分别为16，26；
当2m ＋1＝49时，m ＝24，方程两根分别为38，52.
4．当k=0时, x=-1方程有有理根。
当k≠0时,∵方程有有理根，∴判别式△1=(k-1)2-4k=k 2-6k+1为完全平方数. 设k 2-6k+1=m 2(m 为非负整数)，即 k 2-6k+1-m 2=0 ①
将①式看作关于k 的二次方程，由题设知有整数根，故①式的判别式△2=36-4(1-m 2)=4(m 2+8)应为完全平方数，从而m 2+8是完全平方数。令m 2+8=n 2(n 为正整数，且m ∴42n m n m +=??-=?解得31n m =??=? 将n=3代入①式得k=6或k=0(舍去)。 综上所述，方程 kx 2–(k-1)x+1=0有有理根时有k=0或k=6。 5．设方程的两根为x 1，x 2 ( x 1≤x 2 ),则有 x 1+x 2 = 8p-10q ① x 1x 2= 5pq ② 由①知，方程的另一根为整数，由②知，方程的另一根为正整数。 又由②知，x 1，x 2有如下几种可能的情况： ???==pq x x 5121???==pq x x 215???==q x p x 521???==p x q x 521???==q x p x 215???==p x q x 215 将x 1+x 2=1+5pq, 5+pq,p+5q,q+5p 分别代入①： 当x 1+x 2=1+5pq 时， 1+5pq = 8p-10q ， 而 1+5pq>10p>8p-10q ，此时无解； 当x 1+x 2=5+pq 时，5+pq= 8p-10q ，从而(p+10)(q-8)=-85 因p ，q 都是质数，只可能有 ???=+-=-17 1058p q 所以 （p ，q ）=（7，3）； 当x 1+x 2=p+5q 时， p+5q= 8p-10q ，7p=15q ，不可能成立，此时无解； 当x 1+x 2=q +5p 时，q +5p = 8p-10q ，3p=11q ，所以（p ，q ）=（11，3） 综上所述，满足条件的质数对（p ，q ）=（7，3）或（11，3）。 6．设方程的两个质数根为p ﹑q . 由根与系数的关系，有 p ＋q ＝－(k 2＋ak )， ① pq ＝1 999＋k 2＋ak . ② ①＋②，得p ＋q ＋pq ＝1999 则(p ＋1)(q ＋1)＝24×53. ③ 由③知，p 、q 显然均不为2，所以必为奇数.故21+p 和2 1+q 均为整数，且2 121+?+q p ＝22×53. 若 21+p 为奇数，则必2 1+p ＝5r (r ＝1，2，3)，从而p ＝2×5r －1为合数，矛盾. 因此，21+p 必为偶数.同理，21+q 也为偶数.所以，21+p 和2 1+q 均为整数，且4 141+?+q p ＝53. 不妨设p≤q ，则4 1+p ＝1或5. 当41+p ＝1时，4 1+q ＝53，得p ＝3，q ＝499，均为质数. 当41+p ＝5时，4 1+q ＝52，得p ＝19，q ＝99，q 为合数，不合题意. 综上可知，p ＝3，q ＝499. 代入①得k 2＋ak ＋502＝0. ④ 依题意，方程④有惟一的实数解.故△＝a 2－4×502＝0.有a ＝2502 7．将原方程整理成关于a 的方程，得(x 2-7)a 2+xa+1=0。 因x 是整数，△= x 2-4(x 2-7) = 28 -3x 2≥ 0, 即 x 2≤283 .从而 x 2 = 0, 1,4,9. x=0, ±1,±2,±3. 当x=0时，代入方程解得a=； 当x = 1时，代入方程解得a =12或a=13 -； 当x = -1时，代入方程解得a =12-或a=13 ； 当x = 2时，代入方程解得a = 1或a=13 -； 当x = -2时，代入方程解得a =13 或a = -1； 当x = 3时，代入方程解得a =12 -或a = -1； 当x = -3时，代入方程解得a = 12 或a = 1。 于是 a=13,12,1. 当a=13 时，原方程两根为 -2, -1。 当a=12 时，原方程两根为 1, -3。 当时，原方程两根为 当a = 1时，原方程两根为2, -3. 综上所述，a = 13, 12 , 1. 8．设两整数根为x 1,x 2，则x 1+x 2=a 为整数。 a(x-4)=x 2 , 显然x≠4, ∴ 42-=x x a >0, a=x+4+164x -，于是 x-4=1，2，4，8，16，从而x=5,6,8,12,20。于是 a=16,18或25。 9. （1）f (a ) = a 3+(2+2a -a 2)a -2a (a +1)=0. （2）f (x )=(x-a )(x 2+ax +2a +2) 因关于的方程f (x )=0有三个整数根，故x=a 为整数，且x 2+ax +2a +2=0 二根为整数，其△=a 2-8a -8为完全平方数。 设a 2-8a -8 = t 2 (t≥0, 且为整数), 即 (a-4+t)(a-4-t)=24 (*) 因a-4+t 与a-4-t 的奇偶性相同，由(*)知a-4+t 与a-4-t 必同为偶数， 注意到a-4+t ≥a-4-t ， 故???=--=+-24124t a t a ，或???-=---=+-12424t a t a ，或???=--=+-4464t a t a ，或???=--=+-6 444t a t a 解得 a=11,-3,9或-1，即a 的所有值为-3，-1，9，11。 10．当m 为整数时，原方程为二次方程，△＝(2m+1) 2- 4(2m-1) = 4m 2-4m+5 =(2m-1) 2 +4。 若方程有有理数根，则△应为完全平方数，设 (2m-1) 2 +4= k 2( k 为整数)，即[k+(2m-1)] [k-(2m-1)] = 4。注意到k+(2m-1)与k-(2m-1)有相同的奇偶性，故有 k+(2m-1) = 2，k-(2m-1) = 2 或k+(2m-1) = -2，k- (2m-1)=-2。二式都得到 m =2 1, 此时m 不是整数。所以方程没有有理数根。 一元二次方程公共根问题 若已知若干个一元二次方程有公共根，求方程系数的问题，叫一元二次方程的公共根问题， 两个一元二次方程只有一个公共根的解题步骤： 1.设公共根为α，则α同时满足这两个一元二次方程； 2.用加减法消去α2的项，求出公共根或公共根的有关表达式； 3.把共公根代入原方程中的任何一个方程，就可以求出字母系数的值或字母系数之间的关系式． 一、公共根问题 二次方程的公共根问题的一般解法：设公共根，代入原方程(两个或以上)，然后通过恒等变形求出参数的值和公共根． 二、整数根问题 对于一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的实根情况，可以用判别式24b ac ?=-来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质． 方程有整数根的条件： 如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠有整数根，那么必然同时满足以下条件： ⑴ 2?= ⑵ 2b ak -=或2b ak --，其中k 为整数． 以上两个条件必须同时满足，缺一不可． 另外，如果只满足判别式为完全平方数，则只能保证方程有有理根(其中a 、b 、c 均为有理数) 三、方程根的取值范围问题 先使用因式分解法或求根公式法求出两根，然后根据题中根的取值范围来确定参数的范围 1 已知一元二次方程x 2-4x +k =0有两个不相等的实数根， (1)求k 的取值范围． (2)如果k 是符合条件的最大整数，且一元二次方程x 2-4x +k =0与x 2+mx -1=0有一个相同的根，求此时m 的值． 2 若两个关于x 的方程x 2+x +a =0与x 2+ax +1=0只有一个公共的实数根，求a 的值 3 已知a ＞2，b ＞2，试判断关于x 的方程x 2-（a +b ）x +ab =0与x 2-abx +（a +b ）=0有没有公共根，请说明理由． 4求k 的值，使得一元二次方程210x kx +-=，2(2)0x x k ++-=有相同的根，并求两个方程的根． 5二次项系数不相等的两个二次方程222(1)(2)(2)0a x a x a a --+++=和 222(1)(2)(2)0b x b x b b --+++=(其中a ，b 为正整数)有一个公共根，求a b b a b a a a --++的值 数学思维的教育 第二十六讲含参数的一元二次方程的整数根问 题 1 对于一元二次方程ax2+ bx+ c=O(a ≠0)的实根情况，可以用判别式Δ =b2-4ac来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质. 本讲 结合例题来讲解一些主要的方法. 例1 m是什么整数时，方程 2 2 (m-1)χ -6(3m-1)x + 72= 0 有两个不相等的正整数根. 2 2 解法1首先，m-1 ≠ 0, m≠± 1. Δ =36(m-3) > 0 ,所以m≠ 3 .用求根公式可得 6 12 Xl = ----------- 7J X i W -------------- 7- m —1 IIl + 1 由于X1, X2是正整数，所以 m1=1, 2, 3, 6, m+1=1, 2, 3, 4, 6, 12, 解得m=2 这时X1=6, X2=4. 2 解法2首先，m-1 ≠ 0, m≠± 1.设两个不相等的正整数根为χ1, χ2,则由根与系数的 关系知 6(3m T) 72 m - I m - 1 所以m-1=2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72,即卩 2 m=3, 4, 5, 7, 9, 10, 13, 19, 25, 37, 73, 只有m=4, 9, 25才有可能，即m=±2, ± 3 , ± 5. 经检验，只有m=2时方程才有两个不同的正整数根. 说明一般来说，可以先把方程的根求出来(如果比较容易求的话),然后利用整数的性质以及整除性理论，就比较容易求解问题，解法1就是这样做的.有时候也可以利用韦达定理，得到两个整数，再利用整除性质求解，解法2就是如此，这些都是最自然的做法. 例2已知关于X的方程 2 2 2 2 a X -(3a -8a)X + 2 a -13a +15=0 2 一元二次方程及根的定 义 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】 一元二次方程及根的定义 1.已知关于的方程的一个根为2，求另一个根及 的值. 思路点拨：从一元二次方程的解的概念入手，将根代入原方程解的值，再代回原方程，解方程求出另一个根即可. 解：将代入原方程，得 即 解方程，得 当时，原方程都可化为 解方程，得. 所以方程的另一个根为4，或-1. 总结升华：以方程的根为载点.综合考查解方程的问题是一个常考问题，解这类问题关键是要抓住“根”的概念，并以此为突破口. 举一反三： 【变式1】已知一元二次方程的一个根是，求代数式 的值. 思路点拨：抓住为方程的一个根这一关键，运用根的概念解题. 解：因为是方程的一个根, 所以, 故, , 所以. . 总结升华：“方程”即是一个“等式”，在“等式”中，根据题目的需要，合理地变形，是一种对代数运算综合要求较高的能力，在这一方面注意丰富自己的经验. 类型二、一元二次方程的解法 2.用直接开平方法解下列方程： (1)3-27x2=0； (2)4(1-x)2-9=0. 解：(1)27x2=3 . (2)4(1-x)2=9 3.用配方法解下列方程： (1)；(2). 解：(1)由， 得， ， ， 所以， 故. (2)由， 得， ， ， 所以 故 4.用公式法解下列方程： (1)；(2)；(3). 解：(1)这里 并且 所以， 所以，. (2)将原方程变形为， 则 ， 所以， 所以. (3)将原方程展开并整理得， 这里， 并且， 所以. 所以. 总结升华：公式法解一元二次方程是解一元二次方程的一个重点，要求熟练掌握，它对我们的运算能力有较高要求，也是提高我们运算能力训练的好素材. 5.用因式分解法解下列方程： (1)；(2)； (3). 解：(1)将原方程变形为， 提取公因式，得， 因为，所以 所以或， 故 (2)直接提取公因式，得 所以或，(即 故. (3)直接用平方差公式因式分解得 一元二次方程根的情况练习题（含答案） 一．选择题 1．一元二次方程2x2﹣5x﹣2=0的根的情况是（） A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根D．没有实数根 2．一元二次方程3x2﹣4x+1=0的根的情况为（） A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．两个相等的实数根D．两个不相等的实数根 3．一元二次方程x2﹣7x﹣2=0的实数根的情况是（） A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能确定 4．一元二次方程x2﹣4x+4=0的根的情况是（） A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根 C．无实数根D．无法确定 5．a，b，c为常数，且（a﹣c）2＞a2+c2，则关于x的方程ax2+bx+c=0根的情况是（） A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根 C．无实数根D．有一根为0 6．一元二次方程2x2﹣3x+1=0的根的情况是（） A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根D．没有实数根 7．一元二次方程2x2﹣3x+1=0根的情况是（） C．只有一个实数根D．没有实数根 8．y=x+1是关于x的一次函数，则一元二次方程kx2+2x+1=0的根的情况为（） A．没有实数根 B．有一个实数根 C．有两个不相等的实数根D．有两个相等的实数根 9．一元二次方程x2+2x+1=0的根的情况（） A．有一个实数根B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根D．没有实数根 10．一元二次方程x2﹣x﹣1=0的根的情况为（） A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根D．没有实数根 11．一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的根的情况为（） A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根D．没有实数根 12．一元二次方程4x2+1=4x的根的情况是（） A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根 13．方程x2﹣2x+3=0的根的情况是（） A．有两个相等的实数根B．只有一个实数根 C．没有实数根 D．有两个不相等的实数根 14．已知一元二次方程2x2﹣5x+3=0，则该方程根的情况是（） 学科：数学 专题：一元二次方程整数根 主讲教师：黄炜 北京四中数学教师 重难点易错点辨析 在解决整数根问题时，还是不要忽略了对二次项系数的讨论。 题一 题面：关于x 的方程()21210a x x a -+--=的根都是整数，求符合条件的a 的整数值. 金题精讲 题一 题面：已知关于x 的一元二次方程x 2+2x +2k -4=0有两个不相等的实数根. (1)求k 的取值范围； (2)若k 为正整数，且该方程的根都是整数，求k 的值. 判别式，考虑参数范围 满分冲刺 题一 题面：已知，关于x 的一元二次方程222(23)41480x m x m m --+-+= ⑴若0m >，求证：方程有两个不相等的实数根； ⑵若1240m <<的整数，且方程有两个整数根，求m 的值． 判别式，整数根 题二 题面：已知关于x 的一元二次方程x 2+(m +3)x +m +1=0. （1）求证：无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根； （2）当m 为何整数时，原方程的根也是整数. 判别式，整数根 讲义参考答案 重难点易错点辨析 题一 答案：当1a =时，1x =； 当1a ≠时，122111 x x a ==-- -，（分离常数）， a ∵为整数 1023a =-∴，，， 综上，a 的整数值为10123-，，，，. 金题精讲 题一 答案：(1)52 k <；(2)k =2. 满分冲刺 题一 答案：⑴证明：[]2 2=2(23)4(4148)84m m m m ?----+=+ ∵0m >， ∴840m +>. ∴方程有两个不相等的实数根． ⑵(23)x m - 且m 为整数． 又∵1240m <<， ∴252181.m <+< ∴5． 21m +∵为奇数， 7= ∴24m =． 一元二次方程02 =++c bx ax 根的分布情况 设方程()2 00ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=， 方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件） 表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况） 分 布情况 两个负根即两根都小于0 ()120,0x x << 两个正根即两根都大于0 ()120,0x x >> 一正根一负根即一个根小于0，一个大于0()120x x << 大致图象（ >a ） 得出的结论 ()00200b a f ?>??? -?? ()0 0200 b a f ?>??? ->??>?? ()00 分 布情况 两根都小于k 即 k x k x <<21, 两根都大于k 即 k x k x >>21, 一个根小于k ，一个大于k 即 21x k x << 大致图象（ >a ） 得出的结论 ()020b k a f k ?>??? -?? ()0 20 b k a f k ?>??? ->??>?? ()0 一元二次方程根的分布教学设计 大庆一中高中部孙庆夺 一、教学分析 （一）教学内容分析 本节课所讲的内容是高中数学必修一第三章第一节《函数与方程》之后的一个专题内容，是中学数学的重要内容之一。这段内容与一元二次不等式，二次函数等内容有着紧密的联系。它是在前面学习了函数与方程，二次方程，二次不等式基础上对函数与方程内容的深化和拓展，通过根的分布的不同情况，充分体现了由简单到复杂、特殊到一般的化归的数学思想。从而提升学生对数学知识的应用能力。通过学习一元二次方程根的分布，有助于学生进一步理解二次方程，二次函数，加深函数与方程思想，数形结合思想在数学学习中的应用的认识，同时也为以后数学的学习打下扎实的基础。 （二）教学对象分析 高中一年级的学生已经有了一定的观察识图能力及分析判断能力，有利用已有知识解决新问题的愿望。学生学习了函数与方程，二次方程，二次函数的知识， 已经具有用数学知识解决实际问题的能力。学生抽象逻辑思维很大程度上还属于经验型，需要感性经验的直接支持。通过学习，抽象逻辑思维逐步成熟，能够用理论作为指导来分析、综合各种事实材料，从而不断扩大自己的知识领域。 （三）教学环境分析 由于本节课涉及到根的分布情况较多，对老师的的作图提出了很高的要求。采用传统的板式教学，根本就无法向学生演示动态过程，很难满足学生的求知欲，达不到教学的最佳效果。多媒体网络教学，是现代高中数学教学全新的教育技术， 使传统的教学方式得到补充。在计算机的帮助下，利用制作好的几何画板课件，操作演示，感受根的分布的不同情况，加深学生的认识和理解，同时也符合学生认识事物从感性认识到理想认识的认知过程。 （四）教学手段 采用多媒体网络教学。《普通高中数学课程标准》指出：“现代信息技术的广泛应用真正对数学教学、数学学习方面产生深刻的影响，数学课程的设计应重视运用现代信息技术，大力开发并向学生提供更为丰富的学习资源，提倡实现信息技术与课程内容的有机结合。”本节课涉及到的图象信息较多，利用多媒体网络教学可以实现最大容量地向学生提供图象信息，并让学生整理归纳信息，增强学生的动手能力、思考能力和自主学习能力，也能实现数学课堂中学生的高参与度，从而实现资源、时间、效率的最优化。 （五）教学方式 自主式探究，学案式导学。自主探究，学案导学的教学方式，能够激发学生的学习兴趣、突出学生的主题地位，培养学生的数学应用意识、合作精神，这与《新课标》的要求是吻合的。 二、教学目标 １.知识与能力 加深对一元二次方程，二次函数图象与性质的认识；会利用函数知识，方法重新审视一元二次方程． ２.过程与方法 体验“观察-猜想-验证”探究问题的方法，领会由简单到复杂，由特殊到一般的化归思想，加深对函数与方程，数形结合思想的理解。 第二十六讲含参数的一元二次方程的整数根问 题 对于一元二次方程ax2+ bx + c=O(a丸)的实根情况，可以用判别式A=b 2-4ac来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性 质?本讲结合例题来讲解一些主要的方法? 例1 m是什么整数时，方程 (m2-1)x2-6(3m-1)x + 72 = 0 有两个不相等的正整数根. 解法1首先，m2-1丸,m工± . A=36(m-3) 2> 0,所以m工3.用求根公式可得 6 12 由于x i, X2是正整数，所以 m-仁1 , 2 , 3, 6, m+1=1 , 2, 3, 4, 6, 12, 解得m=2 .这时X1=6 , x2=4 . 解法2首先，m2-1丸,m工± .设两个不相等的正整数根为X1, X2,则由根与系数的关系知 m2= 3 , 4 , 5 , 7 , 9 ,10 ,13, 19,25 , 37 , 73 , 只有m2=4 , 9, 25才有可能，即m= ±2, ±3, ±5. 经检验，只有m=2时方程才有两个不同的正整数根 说明一般来说，可以先把方程的根求出来(如果比较容易求的话)，然后利用整数的性质以及整除性理论，就比较容易求解问题，解法1就是这样做的.有时候也可以利用韦达定理，得到两个整数，再利用整除性质求解，解法2就是如此，这些都是最自然的做法. 例2已知关于x的方程 a2x2-(3a 2-8a)x + 2a2-13a + 15=0 (其中a是非负整数)至少有一个整数根，求a的值. 分析至少有一个整数根”应分两种情况：一是两个都是整数根，另一种是一个是整数根，一个不是整数根.我们也可以像上题一样，把它的两个根解出来. 解因为a^O,所以 (3a2 - Sa) ±- 8a)2 - 4a2(2a r-13a + 15) B = 2? (3a2 -8a) ±(a2+ 2a) = 2? ， 所以 3a2 -Sa 4-(? 4-2a) 3 ”—W -------------- 弘'-亦+ 5 Sj=------ 否------ =l_； 所以只要a是3或5的约数即可，即a=1 , 3, 5 . 初三数学培优之一元二次方程的整数根 阅读与思考 解一元二次方程问题时，我们不但需熟练地解方程，准确判断根的个数、符号特征、存在范围，而且要能深入地探讨根的其他性质，这便是大量出现于各级数学竞赛中的一元二次方程的整数根问题。这类问题因涵盖了整数的性质、一元二次方程的相关理论，融合了丰富的数学思想方法而备受命题者的青睐.. 解整系数（即系数为整数）一元二次方程的整数根问题的基本方法有： 1．直接求解 若根可用有理式表示，则求出根，结合整除性求解. 2．利用判别式 在二次方程有根的前提下，通过判别式确定字母或根的范围，运用枚举讨论、不等分析求解 3．运用根与系数的关系 由根与系数的关系得到待定字母表示的两根和、积式，从中消去待定字母，再通过因式分解和整数性质求解. 4．巧选主元 若运用相关方法直接求解困难，可选取字母为主元，结合整除知识求解. 例题与求解 【例1】 已知关于x 的方程032)1280()8)(4(2 =+----x k x k k 的解都是整数，求整数k 的值. （绍兴市竞赛试题） 解题思路：用因式分解法可得到根的表达式，因方程类型未指明，故须按一次方程、二次方程两种情形讨论，这样确定k 的值才能全面而准确. 【例2】 q p ,为质数且是方程0132 =+-m x x 的根，那么 q p p q +的值是（ ） A ．22121 B ．22123 C ．22125 D ．22 127 （黄冈市竞赛试题） 解题思路：设法求出q p ,的值，由题设条件自然想到根与系数的关系 【例3】 关于y x ,的方程2922 2=++y xy x 的整数解),(y x 的组数为（ ） A ．2组 B ．3组 C ．4组 D ．无穷多组 解题思路：把2922 2 =++y xy x 看作关于x 的二次方程，由x 为整数得出关于x 的二次方程的根的判别式是完全平方数，从而确定y 的取值范围，进而求出x 的值. 【例4】 试确定一切有理数r ，使得关于x 的方程01)2(2 =-+++r x r rx 有根且只有整数根. （全国初中数学联赛试题） 解题思路：因方程的类型未确定，故应分类讨论. 当0≠r 时，由根与系数的关系得到关于r 的两个不等式，消去r ，先求出两个整数根. 【例5】 试求出这样的四位数，它的前两位数字与后两位数字分别组成的两位数之和的平方，恰好等于这个四位数. （全国初中数学联赛试题） 解题思路：设前后两个两位数分别为y x ,，99,10≤≥y x ，则y x y x +=+100)(2 ，即 0)()50(222=-+-+y y x y x ，于是将问题转化为求一元二次方程有理根、整数根的问题. 【例6】 试求出所有这样的正整数解a ，使得二次方程0)3(4)12(22 =-+-+a x a ax 至少有一个整数根. （“祖冲之杯”竞赛试题） 解题思路：本题有两种解法. 由于a 的次数较低，可考虑“反客为主”，以a 为元，以x 为已知数整理成一个关于a 的一元一次方程来解答；或考虑因方程根为整数，故其判别式为平方式. 第五讲一元二次方程的整数整数解 从求根入手，求出根的有理表达式，利用整除求解； 从判别式手，运用判别式求出参数或解的取值范围，或引入参数(设厶= k2)，通过穷举， 逼近求解； 从韦达定理入手，从根与系数的关系式中消去参数，得到关于两根的不定方程，借助因 数分解、因式分解求解； 从变更主元入人，当方程中参数次数较低时，可考虑以参数为主元求解. 注：一元二次方程的整数根问题，既涉及方程的解法、判别式、韦达定理等与方程相关的知识，又与整除、奇数、偶数、质数、合数等整数知识密切相关. 【例题求解】 【例1】若关于x的方程(6_k)(9_k)x2 _(117_15k)x 54=0的解都是整数，则符合条件的整 数是的值有__________ 个. 注：系数含参数的方程问题，在没有指明是二次方程时，要注意有可能是一次方程，根据问 题的题设条件，看是否要分类讨论. 【例2】已知a、b为质数且是方程x2 -13x c =0的根，那么- -的值是() a b 127 A. - 22 125 B. 22 C. 123 22 121 D.—— 22 【例3】试确定切有理数r ,使得关于x的方程rx2 (r 2)x r 0有根且只有整数根 【例4】当m为整数时，关于x的方程(2m-1)x2 -(2m 1)x ^0是否有有理根？如果有，求 出m的值；如果没有，请说明理由. 注：一元二次方程ax2 bx 0 (a^ 0)而言，方程的根为整数必为有理数，而△=b2-4ac 为完全平方数是方程的根为有理数的充要条件. 【例5】若关于x的方程ax2 -2(a -3)x ? (a -13) =0至少有一个整数根，求非负整数a的值. 思路点拨因根的表示式复杂，从韦达定理得出的a的两个关系式中消去a也较困难，又因 一元二次方程求解 一、一周知识概述 1、一元二次方程的求根公式 将一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)进行配方，当b2－4ac≥0时的根为 ． 该式称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为求根公式法，简称公式法． 说明：(1)一元二次方程的公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)； (2)由求根公式可知，一元二次方程的根是由系数a、b、c的值决定的； (3)应用求根公式可解任何一个有解的一元二次方程，但应用时必须先将其化为一般形式. 2、一元二次方程的根的判别式 （1）当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根； （2）当b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根； （3）当b2－4ac＜0时，方程没有实数根． 二、重难点知识 1、对于一元二次方程的各种解法是重点，难点是对各种方法的选择，突破这一难点的关键是在对四种方法都会使用的基础上，熟悉各种方法的优缺点。 (1) “开平方法”一般解形如“”类型的题目，如果用“公式 法”就显得多余的了。 (2)“因式分解法”是一种常用的方法，一般是首先考虑的方法。 (3) “配方法”是一种非常重要的方法，一般不使用，但若能恰当地使用，往往能起到简化作用，思考于“因式分解法”之后，“公式法”之前。如方程；用因式分解，则6391这个数太大，不易分解；用公式法，也太繁；若配方，则方程化为，就易解，若一次项系数中有偶因数，一般也应考虑运用。 (4)“公式法”是一般方法，只要明确了二次项系数、一次项系数及常数项，若方 程有实根，就一定可以用求根公式求出根，但因为要代入(≥0)求值，所以对某些特殊方程，解法又显得复杂了。 2、在运用b2－4ac的符号判断方程的根的情况时，应注意以下三点： （1）b2－4ac是一元二次方程的判别式，即只有确认方程为一元二次方程时，才能确定a、b、c，求出b2－4ac； （2）在运用上述结论时，必须先将方程化为一般形式，以便确认a、b、c； （3）根的判别式是指b2－4ac，而不是 三、典型例题讲解 例1、解下列方程： (1)； (2)； (3). 分析：用求根公式法解一元二次方程的关键是找出a、b、c的值，再代入公式计算， 竞赛辅导 一元二次方程的整数整数解 在数学课外活动中，在各类数学竞赛中，一元二次方程的整数解问题一直是个热点，它将古老的整数理论与传统的一元二次方程知识相结合，涉及面广，解法灵活，综合性强，备受关注，解含参数的一元二次方程的整数解问题的基本策略有： 从求根入手，求出根的有理表达式，利用整除求解； 从判别式手，运用判别式求出参数或解的取值范围，或引入参数(设△=2k )，通过穷举，逼近求解； 从韦达定理入手，从根与系数的关系式中消去参数，得到关于两根的不定方程，借助因数分解、因式分解求解； 从变更主元入人，当方程中参数次数较低时，可考虑以参数为主元求解． 注：一元二次方程的整数根问题，既涉及方程的解法、判别式、韦达定理等与方程相关的知识，又与整除、奇数、偶数、质数、合数等整数知识密切相关． 【例题求解】 【例1】若关于x 的方程054)15117()9)(6(2=+----x k x k k 的解都是整数，则符合条件的整数是的值有个． 思路点拨用因式分解法可得到根的简单表达式，因方程的类型未指明，故须按一次方程、二次方程两种情形讨论，这样确定是的值才能全面而准确． 注：系数含参数的方程问题，在没有指明是二次方程时，要注意有可能是一次方程，根据问题的题设条件，看是否要分类讨论． 【例2】已知a 、b 为质数且是方程0132=+-c x x 的根，那么 b a a b +的值是( ) A ．22127 B ．22125 C ．22123 D ．22121 思路点拨由韦达定理a 、b 的关系式，结合整数性质求出a 、b 、 c 的值． 【例3】试确定一切有理数r ，使得关于x 的方程01)2(2=-+++r x r rx 有根且只有整数根． 思路点拨由于方程的类型未确定，所以应分类讨论．当0≠r 时，由根与系数关系得到关于r 的两个等式，消去r ，利用因式(数)分解先求出方程两整数根． 【例4】当m 为整数时，关于x 的方程01)12()12(2=++--x m x m 是否有有理根?如果有，求出m 的值；如果没有，请说明理由． 思路点拨整系数方程有有理根的条件是为完全平方数． 设△=22224)12(544)12(4)12(n m m m m m =+-=+-=--+(n 为整数)解不定方程，讨论m 的存在性． 注：一元二次方程02=++c bx ax (a ≠0)而言，方程的根为整数必为有理数，而△=ac b 42-为完全平方数是方程的根为有理数的充要条件． 典型例题一 例 求证：如果关于x 的方程922+=+m x x 没有实数根，那么，关于y 的方程0522=+-+m my y 一定有两个不相等的实数根. 分析：由已知，可根据一元二次方程的根的判别式证之. 证明 设方程922+=+m x x 即0922=--+m x x 的根的判别式为1?，方程 0522=+-+m my y 的根的判别式为2?，则 . 36)4( 208)25(4. 440)9(42222221-+=-+=--=?+=++=?m m m m m m m ∵方程922+=+m x x 无实数根， 01+∴m ，即036)4(2>-+m . 故方程0522=+-+m my y 有两个不相等的实数根. 说明：上述证明中，判定02>?用到了01 分析：运用根的判别式判定根的情况时，要首先把方程变形为一元二次方程的一般形式，然后从求出的判别式的值来判定根的判别式的符号，尤其是当方程系数中含有字母时，一般利用配方法将“?”化成完全平方式或完全平方式加上（或减去）一个常数，再根据完全平方式的非负性判断“?”的符号，从而判定方程的根的情况，有时还需要对字母进行讨论.这是不解方程判别根的情况的关键. 解：（1）),1(4,2,1-=-==k c k b a )1(414)2(422-??--=-=?∴k k ac b )2(4)44(416 16422 2≥-=+-=+-=k k k k k ∴方程有两个实数根. （2）0≠a ， ∴方程02=+bx ax 是一元二次方程，此方程是缺少常数项的不完全的一元二次方程，将常数项，将常数项看作零. ∴2204b a b =?-=?. ∴不论b 取任何实数，2b 均为非负数， 02≥=?b 恒成立. ∴方程有两个实数根. （3）0≠a ， ∴方程02=+c ax 是缺少一次项的不完全的一元二次方程，它的一次项系数0=b . ac a 40402-=?-=?， ∴需要讨论a 、c 的符号，才能确定?的符号. 当0=c 时，0=?，方程有两个相等的实数根； 当a 、c 异号时，0>?，方程有两个不相等的实数根； 当a 、c 同号时，0 一元二次方程的根的判别式 1、方程2x 2+3x －k=0根的判别式是 ；当k 时，方程有实根。 2、关于x 的方程kx 2+(2k+1)x －k+1=0的实根的情况是 。 3、方程x 2+2x+m=0有两个相等实数根，则m= 。 4、关于x 的方程(k 2+1)x 2－2kx+(k 2+4)=0的根的情况是 。 5、当m 时，关于x 的方程3x 2－2(3m+1)x+3m 2－1=0有两个不相等的实数根。 6、如果关于x 的一元二次方程2x(ax －4)－x 2+6=0没有实数根，那么a 的最小整数值是 。 7、关于x 的一元二次方程mx 2+(2m －1)x －2=0的根的判别式的值等于4，则m= 。 8、设方程(x －a)(x －b)－cx=0的两根是α、β，试求方程(x －α)(x －β)+cx=0的根。 9、不解方程，判断下列关于x 的方程根的情况： (1)(a+1)x 2－2a 2x+a 3=0(a>0) (2)(k 2+1)x 2－2kx+(k 2+4)=0 10、m 、n 为何值时，方程x 2+2(m+1)x+3m 2+4mn+4n 2+2=0有实根? 11、求证：关于x 的方程(m 2+1)x 2－2mx+(m 2+4)=0没有实数根。 12、已知关于x 的方程(m 2－1)x 2+2(m+1)x+1=0，试问：m 为何实数值时，方程有实数根? 13、 已知关于x 的方程x 2－2x －m=0无实根(m 为实数)，证明关于x 的方程x 2+2mx+1+2(m 2－1)(x 2+1)=0 也无实根。 14、已知：a>0,b>a+c,判断关于x 的方程ax 2+bx+c=0根的情况。 15、m 为何值时，方程2(m+1)x 2+4mx+2m －1=0。 (1)有两个不相等的实数根； (2)有两个实数根； (3)有两个相等的实数根； (4)无实数根。 16、当一元二次方程(2k －1)x 2－4x －6=0无实根时，k 应取何值? 17、已知：关于x 的方程x 2+bx+4b=0有两个相等实根，y 1、y 2是关于y 的方程y 2+(2－b)y+4=0的两实根，求以1y 、2y 为根的一元二次方程。 18、若x 1、x 2是方程x 2+ p x+q=0的两个实根，且23x x x x 222121=++，25x 1x 12221=+求p 和q 的值。 19、设x 1、x 2是关于x 的方程x 2+px+q=0(q ≠0)的两个根，且x 2 1+3x 1x 2+x 2 2=1， 0)x 1(x )x 1(x 2211=+++，求p 和q 的值。 20、已知x 1、x 2是关于x 的方程4x 2－(3m －5)x －6m 2=0的两个实数根，且23x x 21=，求常数m 的值。 21、已知α、β是关于x 的方程x 2+px+q=0的两个不相等的实数根，且α3－α2β－αβ2+ β3=0，求证：p=0,q<0 22、已知方程(x －1)(x －2)=m 2(m 为已知实数，且m ≠0)，不解方程证明： (1)这个方程有两个不相等的实数根； 一元二次方程根与系数的关系应用例析及训练 一、根据判别式，讨论一元二次方程的根。 例1：已知关于的方程（1）有两个不相等的实数根，且关于的方程（2）没有实数根，问取什么整数时，方程（1）有整数解？ 分析：在同时满足方程（1），（2）条件的的取值范围中筛选符合条件的的整数值。 解：∵方程（1）有两个不相等的实数根， ∴ 解得； ∵方程（2）没有实数根， ∴ 解得； 于是，同时满足方程（1），（2）条件的的取值范围是 其中，的整数值有或 当时，方程（1）为，无整数根； 当时，方程（1）为，有整数根。 解得： 所以，使方程（1）有整数根的的整数值是。 总结：熟悉一元二次方程实数根存在条件是解答此题的基础，正确确定的取值范围，并依靠熟练的解不等式的基本技能和一定的逻辑推理，从而筛选出 ，这也正是解答本题的基本技巧。 二、判别一元二次方程两根的符号。 例1：不解方程，判别方程两根的符号。 分析：对于来说，往往二次项系数，一次项系数，常数项皆为已知，可据此求出根的判别式△，但△只能用于判定根的存在与否，若 判定根的正负，则需要确定或的正负情况。因此解答此题的关键是：既要求出判别式的值，又要确定或的正负情况。 解：∵，∴△＝—4×2×(—7)＝65＞0 ∴方程有两个不相等的实数根。 设方程的两个根为， ∵＜0 ∴原方程有两个异号的实数根。 总结：判别根的符号，需要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合起来进行确定，另外由于本题中＜0，所以可判定方程的根为一正一负；倘若＞0，仍需考虑的正负，方可判别方程是两个正根还是两个负根。 三、已知一元二次方程的一个根，求出另一个根以及字母系数的值。 例2：已知方程的一个根为2，求另一个根及的值。 分析：此题通常有两种解法：一是根据方程根的定义，把代入原方程，先求出的值，再通过解方程办法求出另一个根；二是利用一元二次方程的根与系数的关系求出另一个根及的值。 解法一：把代入原方程，得： 即 解得 当时，原方程均可化为： ， 一元二次方程的整数解 方法1：求根公式，整除性质 1、 若关于x 的方程2(6)(9)(11715)540k k x k x ----+=的解都是整数，求符合条件的 整数k 的值。 解：当6k =时，2x =；当9k =时，3x =-； 当6k ≠且9k ≠时，[(6)9][(9)6]0k x k x ----=， ∴196x k = -，269x k =- ∵12,,k x x 都是整数 ∴k =3，6，7，9，15. 2、 设m 为整数，且440m <<，方程222(23)41480x m x m m --+-+=有两个整数根， 求m 的值及方程的根。 解： ∵222(23)41480x m x m m --+-+= ∴23x m = =-±∵方程有两个整数根，m 为整数，且440m <<，∴1224m =或， ∴当12m =时，116x =，226x =；当24m =时，138x =，252x =。 3、 已知方程2222 (38)213150a x a a x a a --+-+=(0a ≠)至少有一个整数根，求整数a 的值。 解：∵2222 (38)213150a x a a x a a --+-+=(0a ≠) ∴[(5)][(23)]0ax a ax a ----= ∴1551a x a a -==-，2233 2a x a a -==-， ∵方程至少有一个整数根，a 为整数 ∴1a =，3，5，1-，3-，5-。 方法2：从△入手，引入参数 1、 当m 为整数时，关于x 的方程2 (21)(21)10m x m x --++=是否有有理根？如果有， 求出m 的值；如果没有，请说明理由。 解：∵方程有有理根，m 为整数，∴2 4b ac ?=-为完全平方数 可设2 2 2 (21)4(21)(21)4m m m n ?=+--=-+=（n 为整数） ∴(21)(21)4n m n m +--+=， ∵21n m +-与21n m -+奇偶性相同 ∴212212n m n m +-=?? -+=?，212212 n m n m +-=-??-+=-?， ∴1 2m =，这与m 为整数相矛盾， ∴方程没有有理根。 二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳 1、一元二次方程02 =++c bx ax 根的分布情况 设方程()200ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=， 方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件） 表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况） a 根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()n m ,外，即在区间两侧 12,x m x n <>，（图形分别如下）需满足的条件是 （1）0a >时，()()00f m f n ???>?? 对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明： （1）两根有且仅有一根在()n m ,内有以下特殊情况： 若()0f m =或()0f n =，则此时()()0f m f n 一元二次方程根与系数的关系（附答案） 评卷人得分 一．选择题（共6小题） 1．已知关于x的一元二次方程3x2+4x﹣5=0，下列说确的是（） A．方程有两个相等的实数根B．方程有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 2．关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有实数根，则m的取值围是（）A．m≥﹣1 B．m＞﹣1 C．m≤﹣1 D．m＜﹣1 3．关于x的一元二次方程x2+3x﹣1=0的根的情况是（） A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能确定 4．设x1、x2是一元二次方程2x2﹣4x﹣1=0的两实数根，则x12+x22的值是（）A．2 B．4 C．5 D．6 5．若α、β是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根，则α+β的值为（）A．﹣5 B．5 C．﹣2 D． 6．已知关于x的方程x2﹣4x+c+1=0有两个相等的实数根，则常数c的值为（） A．﹣1 B．0 C．1 D．3 评卷人得分 二．填空题（共1小题） 7．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0（a≠0）的两个不等实数根分别为p，q，且p2﹣pq+q2=18，则的值为． 评卷人得分 三．解答题（共8小题） 8．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+k2+1=0． （1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值围； （2）若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且k=2，求该矩形的对角线L 的长． 9．已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0． （1）若该方程的一个根为1，求a的值； （2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 10．已知关于x的一元二次方程（x﹣m）2﹣2（x﹣m）=0（m为常数）．（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程一个根为3，求m的值． 11．已知关于x的一元二次方程x2﹣x+a﹣1=0． （1）当a=﹣11时，解这个方程； （2）若这个方程有两个实数根x1，x2，求a的取值围； （3）若方程两个实数根x1，x2满足[2+x1（1﹣x1）][2+x2（1﹣x2）]=9，求a的值． 12．已知x1，x2是关于x的一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1=0的两个实数根． 一元二次方程整数根问题的几种思维策略 一、利用判别式 例1. 当m 是什么整数时，关于x 的一元二次方程2440mx x -+= 与2244450x mx m m -+--=的根都是整数。 解：∵方程2440mx x -+=有整数根， ∴⊿=16-16m ≥0，得m ≤1 又∵方程2244450x mx m m -+--=有整数根 ∴⊿=16m 2－4(4m 2－4m －5) ≥0 得54m ≥- . 综上所述，54 -≤m≤1 ∴x 可取的整数值是－1，0，1 当m=－1时，方程为－x 2-4x+4=0 没有整数解，舍去。 而m≠0 ∴ m=1 23.（东城） 已知关于x 的一元二次方程2220x ax b ++=，0,0>>b a . （1）若方程有实数根，试确定a ，b 之间的大小关系； （2）若a ∶b 1222x x -=，求a ，b 的值； （3）在（2）的条件下，二次函数222y x ax b =++的图象与x 轴的交点为A 、C （点A 在点C 的左 侧），与y 轴的交点为B ，顶点为D .若点P （x ，y ）是四边形ABCD 边上的点，试求3x －y 的最大值. 解：(1) ∵ 关于x 的一元二次方程2220x ax b ++=有实数根, ∴ Δ=,04)2(2 2≥-b a 有a 2－b 2≥0，（a+b ）（a-b ）≥0. ∵ 0,0>>b a , ∴ a+b ＞0,a －b ≥0. ∴ b a ≥. …………………………2分 （2） ∵ a ∶b ， ∴ 设2,a k b ==(k ＞0). 解关于x 的一元二次方程22430x kx k ++=， 得 -3x k k =-或. 当12,= -3x k x k =-时，由1222x x -=得2k =. 当123,= -x k x k =-时，由1222x x -=得25 k =- （不合题意，舍去）. ∴ 4,a b ==. …………………………5分 （3） 当4,a b ==2812y x x =++与x 轴的交点为、C 的交点坐标分别为A （－6，0）、（－2，0），与y 轴交点坐标为（0，12），顶点坐标D 为（－4，－4）. 设z ＝3x －y ，则3y x z =-. 画出函数2 812y x x =++和3y x =的图象，若直线3y x =平行移动时，可以发现当直线 经过点C 时符合题意，此时最大z 的值等于－6 ……………7分 二、利用求根公式 例2．设关于x 的二次方程2222 (68)(264)4k k x k k x k -++--+=的两根都是整数， 求满足条件的所有实数k 的值。 解：△=(2k 2-6k-4)2-4(k 2-4)(k 2-6k+8)=4(k-6)2 由求根公式得222642(6)2(68) k k k x k k -++±-=-+ 即 12241,142 x x k k =--=---- 只有当x≠－1时，则有12244,211k k x x -=- -=-++ 两式相减，得 1224211x x -=++, 去分母，整理得 12(3)2x x +=-一元二次方程公共根
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