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一次函数（一）
一、知识点：
1、变量：在一个变化过程中，可以发生变化的量。 常量：在一个变化过程中，始终不变的量。 2． 函数的概念
一般地，在一个 过程中，如果有两个变量x 和y ，并且对于 的 _____________________________，那么我们就说x 是自变量，y 是 ． *判断A 是否为B 的函数，只要看B 取值确定的时候，A 是否有唯一确定的值与之对应
3．定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。 4．函数的三种表示方法
（1）用数学式子表示函数关系的方法叫做 ；
（2）通过列出自变量的值与对应的函数的表格来表示函数关系的方法叫做 ； （3）一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的 作为点的 ，在平面直角坐标系内 ，由这些点 ，叫做这个函数的图象．这种表示函数关系的方法叫做 ． 二、例题讲解： 例1 .如果代数式ab
a 1+
有意义．那么直角坐标系中点A(a 、b)的位置在( )．(A)
第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 例2、函数1-=
x y 中，自变量x 的取值范围是___________________；
例3、长方形的周长为20cm ，它的长为a cm ，宽为b cm. （1）上述的哪些是常量？哪些是变量？ （2）写出a 与b 满足的关系式；
（3）试求宽b 的值分别为2，3.5时，相应的长a 是多少？ （4）宽为多少时，长为8cm ？
例4、画出函数3+-=x y 的图象
一次函数与几何综合（一）（讲义） ? 课前预习 1. 若一次函数经过点 A (2，-1)和点 B (4，3)，则该一次函数的表达式为 ． 2. 若直线 l 平行于直线 y =-2x -1，且过点(1，4)，则直线 l 的表 达式为 ． 3. 如图，一次函数的图象经过点 A ，且与正比例函数 y =-x 的图象交于点 B ，则该一次函数的表达式为 ． 第 3 题图 第 4 题图 4. 如图，点 A 在直线 l 1：y =3x 上，且点 A 在第一象限，过点 A 作 y 轴的平行线交直线 l 2：y =x 于点 B ． （1） 设点 A 的横坐标为 t ，则点 A 的坐标为 ，点 B 的坐标为 ，线段 AB 的长为 ；（用含 t 的式子表示） （2） 若 AB =4，则点 A 的坐标是 ． ? 知识点睛 1. 一次函数与几何综合的处理思路： 从已知的表达式、坐标或几何图形入手，分析特征，通过坐标与横平竖直线段长、函数表达式相互转化解决问题． 2. 函数与几何综合问题中常见转化方式： （1） 借助表达式设出点坐标，将点坐标转化为横平竖直线段 长，结合几何特征利用线段长列方程； （2） 研究几何特征，考虑线段间关系，通过设线段长进而表 达点坐标，将点坐标代入函数表达式列方程． 表达线段长： 横平线段长，横坐标相减，右减左； 竖直线段长，纵坐标相减，上减下．
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? 精讲精练 1. 如图，直线 y = - 3 x + 3 与 x 轴、y 轴交于 A ，B 两点，点 C 4 是 y 轴负半轴上一点，若 BA =BC ，则直线 AC 的表达式为 ． 第 1 题图 第 2 题图 2. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y =kx +b 的图象经过点A (-2，6)，且与 x 轴相交于点 B ，与正比例函数 y =3x 的图象交于点 C ，点 C 的横坐标为 1，则△OBC 的面积为 ． 3. 如图，直线l ：y = 3 x + 6 与 y 轴相交于点 N ，直线l ：y = kx -3 1 4 2 与直线l 1 相交于点 P ，与 y 轴相交于点 M ，若△PMN 的面积为 18，则直线l 2的表达式为 ． 4. 如图，一次函数 y = 1 x + 2 的图象与 y 轴交于点 A ，与正比例 3 函数 y =kx 的图象交于第二象限内的点 B ，若 AB =OB ，则 k 的值为 ．
一次函数讲义优质讲义 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】
④．该记者在出发后5h 到达采访地 A 、①②④ B 、②③④ C 、①②③ D 、①②③④ 8. 平面直角坐标系中，已知A （8，0），△AOP 为等腰三角形且面积为16，满足条件的P 点有( ) A ．4个 B ．8个 C ．10个 D ．12个 二．填空题（每小题2分，共20分） 9. 计算：3 －64 ＝ ▲ ． 10. 若等腰三角形的两边长分别为4和8，则这个三角形的周长为 . 11. 若032=++-y x ，则() 2013 y x +的值为 ． 12. 在平面直角坐标系中，若点M （-1，3）与点N （x ，3）之间的距离是5，则x 的值是 ． 13. 如图，已知函数y ＝2x ＋1和y ＝－x －2的图像交于点P ，根据图像， 可得方程组???2x －y ＋1＝0 x ＋y ＋2＝0 的解为 . 14. 将一次函数y ＝2x -1的图像向上平移3个单位长度后，其对应的函数关系式为 ． 15. 如图，在△ABC 中，AB ＝，BC ＝，∠B ＝60°，将△ ABC 绕点A 按顺时针旋转一定角度得到△ADE ，当点B 的对应点D 恰好落在BC 边上时，则CD 的长为 . 16. 如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，沿CD 折叠△CBD ， 使点B 恰好落在AC 边上的点E 处.若 ∠A ＝26°，则∠ADE ＝ °. 17. 如图所示的图形中,所有的四边形都是正方形,所有的三角形 -1-1 y= -x-2 y=2x+1 x y P （第13题图） D E C A B （第16题图） x y 1 234–1–2 –3–4 1 2 3 4–1–2–3–4C D B A o （第18题图） （第15题图） D E A C B
一次函数 复习讲义 温故而知新： 题型一、点的坐标 方法： x 轴上的点纵坐标为0，y 轴上的点横坐标为0； 若两个点关于x 轴对称，则他们的横坐标相同，纵坐标互为相反数； 若两个点关于y 轴对称，则它们的纵坐标相同，横坐标互为相反数； 若两个点关于原点对称，则它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数； 1、若点A （m,n ）在第二象限，则点（|m|,-n ）在第____象限； 2、若点P （2a-1,2-3b ）是第二象限的点，则a,b 的范围为______________________； 3、已知A （4，b ），B （a,-2），若A ，B 关于x 轴对称，则a=_______,b=_________; 若A,B 关于y 轴对称，则a=_______,b=__________; 若A ，B 关于原点对称，则a=_______,b=_________； 4、若点M （1-x,1-y ）在第二象限，那么点N （1-x,y-1）关于原点的对称点在第______象限。 题型二、关于点的距离的问题 方法：点到x 轴的距离用纵坐标的绝对值表示，点到y 轴的距离用横坐标的绝对值表示； 任意两点(,),(,)A A B B A x y B x y ； 若AB ∥x 轴，则(,0),(,0)A B A x B x 的距离为A B x x -； 若AB ∥y 轴，则(0,),(0,)A B A y B y 的距离为A B y y -； 点(,)A A A x y 1、点B （2，-2）到x 轴的距离是_________；到y 轴的距离是____________；
2、点C （0，-5）到x 轴的距离是_________；到y 轴的距离是____________；到原点的距离是 ____________； 3、点D （a,b ）到x 轴的距离是_________；到y 轴的距离是____________；到原点的距离是 ____________； 4、已知点P （3,0），Q(-2,0),则PQ=__________,已知点110,,0,22M N ??? ?- ? ???? ?,则MQ=________; ()()2,1,2,8E F --,则EF 两点之间的距离是__________;已知点G （2，-3）、H （3,4），则G 、H 两点之间的距离是_________； 5、两点（3，-4）、（5，a ）间的距离是2，则a 的值为__________； 6、已知点A （0,2）、B （-3，-2）、C （a,b ），若C 点在x 轴上，且∠ACB=90°，则C 点坐标为 ___________. 题型三、一次函数与正比例函数的识别 方法：若y=kx+b(k,b 是常数，k ≠0)，那么y 叫做x 的一次函数，特别的，当b=0时，一次函 数就成为y=kx(k 是常数，k ≠0)，这时，y 叫做x 的正比例函数，当k=0时，一次函数就成为若y=b ，这时，y 叫做常函数。 ☆A 与B 成正比例 A=kB(k ≠0) 1、当k_____________时，()2323y k x x =-++-是一次函数； 2、当m_____________时，()21345m y m x x +=-+-是一次函数； 3、当m_____________时，()21445m y m x x +=-+-是一次函数； 4、2y-3与3x+1成正比例，且x=2,y=12,则函数解析式为________________； 题型四、函数图像及其性质 方法：
一次函数讲义-适用于新课复习非常全面 内容提示： 1.变量及函数 课堂学习检测 课后综合训练 2.函数的图像 课堂学习检测 课后综合训练 3.正比咧函数 课堂学习检测 课后综合训练 4.一次函数 课堂学习检测 课后综合训练 5.一次函数与一次方程（组）及一元一次不等式 课堂学习检测 课后综合训练 6.一次函数综合过关 变量及函数 知识点： 1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。 常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。 2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一 确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为是x的函数。 ※判断A是否为B的函数，只要看B取值确定的时候，A是否有唯一确定的值与之对应 3、自变量取值范围：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围。 4、函数值：对于自变量x与函数y，在自变量x取值范围内，当x=a时，y=b，则称b为当x=a时的函数值。 5、确定函数自变量取值范围的方法： （1）必须使关系式成立。 ①当关系式为整式时，自变量取值范围为全体实数； ②当关系式含有分式时，自变量取值范围要使分式的分母的值不等于零； ③关系式含有二次根式时，自变量取值范围必须使被开方的式子不小于零； ④当关系式中含有指数为零或负数的式子时，自变量取值范围要使底数不等于零； （2）当函数关系表示实际问题时，自变量的取值范围还要符合实际情况，使之有意义。 （3）当函数关系表示一个图形的变化关系时，自变量的取值范围必须使图形存在。 课堂学习检测 一、填空题 1．设在某个变化过程中有两个变量x和y，如果对于变量x取值范围内的______，另一个变量y都有______ 的值与它对应，那么就说______是自变量，______是的函数．
一次函数应用题（讲义） ?课前预习 1. 一条公路旁依次有A，B，C三个村庄，甲、乙两人骑自行车 分别从A村、B村同时出发前往C村，甲、乙之间的距离s（km）与骑行时间t（h）之间的函数关系如图所示，下列结论： ①A，B 两村相距10 km；②出发1.25 h 后两人相遇；③出发 2 h 后甲到达C 村庄；④甲每小时比乙多骑行8 km．其中正确的个数是（） A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个 ?知识点睛 一次函数应用题的处理思路： 1.理解题意，梳理信息 结合图象、文字信息理解题意，将实际场景与图象中轴、点、线对应起来理解分析． ①看轴，明确横轴和纵轴表示的实际意义． ②看点，明确起点、终点、状态转折点表示的具体意义，还 原实际情景，提取每个点对应的数据． ③看线，观察每段线的变化趋势（增长或下降等），分析每 段数据的变化情况． 2.辨识类型，建立模型 ①将所求目标转化为函数元素，借助图象特征，利用表达式 进行求解； ②将图象中的点坐标还原成实际场景中的数据，借助实际场 景中的等量关系列方程求解． 3.求解验证，回归实际
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?精讲精练 1.甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀 速步行2 400 米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4 分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，下列结论： ①甲步行的速度为60 米/分； ②甲走完全程用了40 分钟； ③乙用16 分钟追上甲； ④乙走完全程用了30 分钟； ⑤乙到达终点时，甲离终点还有300 米． 其中正确的结论是．（填序号） 2.一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地，两车 同时出发，匀速行驶．设行驶的时间为x（小时），两车之间的距离为y（千米），图中的折线表示从两车出发至快车到达乙地的过程中y 与x 之间的函数关系，结合图象解答下列问题： （1）求线段AB 所在直线的函数解析式以及甲、乙两地之间的距离； （2）求a 的值； （3）出发多长时间，两车相距140 千米？
百度文库- 让每个人平等地提升自我 2016 年春季某某校区 精品小班培优精讲 学科年级学生姓名授课教师上课时间课次数学初二唐老师第讲 一次函数 【教学目标】 掌握函数的基本性质 掌握一次函数的概念、性质、图像、平移等相关概念及常考题型 【教学重点】 根据一次函数的图像确定k，b 的范围 求函数的解析式 【教学内容】 （一）函数 1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。 常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。 2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x 和 y，并且对于x 的每一个确定 的值， y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把 x 称为自变量，把 y 称为因变量，y是 x 的函数。 *判断 Y 是否为 X 的函数，只要看 X 取值确定的时候， Y 是否有唯一确定的值与之对应 3、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。 4、确定函数定义域的方法： （1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数； （2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零； （3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零； （4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零； （5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。 5、函数的解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做函数的解析式 6、函数的图像 一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐 标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象． 7、描点法画函数图形的一般步骤 第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；
教学目标1．通过复习进一步掌握如下概念：函数的概念；一次函数的概念；一次函数与正比例函数的关系；确定一次函数表达式。 2、经历函数、一次函数（正比例函数）概念的抽象概括过程，进一步发展学生的抽象思维能力。 重点、难点使学生进一步理解一次函数的概念，会熟练地运用待定系数法求一次函数的解析式。 考点及考试要求考点1：确定自变量的取值范围 考点2：函数图象 考点3：图象与坐标轴围成的面积问题 考点4：求一次函数的表达式，确定函数值 考点5：利用一次函数解决实际问题 教学内容 第一课时一次函数知识盘点 一、主要知识点： 一次函数的性质 1的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k 即：（k≠0)（k为任意不为零的实数b取任何实数） 2.当0时，b为函数在y轴上的截距。 3为一次函数的斜率角1(角1为一次函数图象与x轴正方向夹角) 一次函数的图像及性质 1．作法与图形：通过如下３个步骤 （1）列表[一般取两个点,根据两点确定一条直线]； （2）描点； （3）连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道２点， 并连成直线即可。（通常找函数图像与x轴和y轴的交点） 2．性质：（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：(k≠0)。 （2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（，0） 正比例函数的图像总是过原点。 3．函数不是数，它是指某一变量过程中两个变量之间的关系。 4．k，b与函数图像所在象限： 时 当k＞0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大； 当k＜0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。 当b＞0时，直线必通过一、二象限； 当0时，直线必通过原点,经过一、三象限 当b＜0时，直线必通过三、四象限。
一次函数综合应用（讲义） ?课前预习 1.如图，直线l1的表达式为y=-3x+3，且l1与x轴相交于点D，直线l2经过A，B两 点，直线l1，l2相交于点C． （1）点D的坐标为_____________； （2）直线l2的表达式为_____________； （3）点C的坐标为_____________． 2.如图，在平面直角坐标系中，点A(2，0)，点B(0，4)． （1）△AOB的面积为_____________； （2）点P是y轴上一点，若 1 2 AOP AOB S S △△ ，则点P的坐标为_____________． ?知识点睛 一次函数综合题，往往涉及到多个函数及坐标间的相互转化，梳理信息，理解题
意是其关键： 理解题意： ①确定坐标与表达式间的对应关系； ②函数图象不确定时，考虑分类讨论． 具体操作： 从完整表达式或坐标入手，利用代入或联立的方式进行相互转化． ? 精讲精练 1. 已知直线l 1与l 2相交于点P ，直线l 1的表达式y =2x +3，点P 的横坐标为-1，且l 2交y 轴于点A (0，-1)．则直线l 2的表达式为_________________． 2. 已知函数1 3 y x b =-+的图象与x 轴、y 轴分别交与点A ，B ，与函数y =x 的图象交于 点M ，点M 的横坐标为3，则点A 的坐标为___________． 3. 已知一次函数y =kx +b 的图象经过点(-2，5)，且与y 轴相交于点P ，直线 1 32 y x =-+与y 轴相交于点Q ，点Q 恰与点P 关于x 轴对称，则这个一次函数的 表达式为___________． 4. 如图，已知直线l 1：y =2x +3，直线l 2：y =-x +5，直线l 1，l 2与x 轴分别交于点B ， C ，l 1，l 2相交于点A ．则S △ABC =________． 5. 如图，直线y =2x +m （m >0）与x y =-x +n （n >0）与x 轴、y 轴分别交于点B ，C 两点，并与直线y =2x +m （m >0）相交于点D ，若AB =4． （1）求点D 的坐标； （2）求出四边形AOCD 的面积．
第四章一次函数知识点总结 4.1.1 变量和函数 1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。 常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。 2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定 的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y 是x的函数。例如：y=±x，当x=1时，y有两个对应值，所以y=±x不是函数关系。 对于不同的自变量x的取值，y的值可以相同，例如，函数：y=|x|，当x=±1时，y的对应值都是1 3、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的围，叫做这个函数的定义域。 4、确定函数取值围的方法： （1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数； （2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零； （3）关系式含有二次根式时，被开方数大于等于零； （4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零； （5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义 4.1.2 函数的表示法 1、三种表示方法 列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。 公式法：即函数解析式，简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。 图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。 2、列表法：列一表，第一行表示自变量取的各个值，第二行表示相应的函数值（即应变量 的对应值） 3、公式法：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。一般情况下， 等号右边的变量是自变量，等号左边的变量是因变量。用函数解析式表示函数关系的方法就是公式法。 4、函数的图像 一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面由这些点组成的图形，就是这个函数的图象． 5、描点法画函数图形的一般步骤（通常选五点法） 第一步：列表（根据自变量的取值围从小到大或从中间向两边取值）； 第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）； 第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。 4. 2 一次函数及其图像 1、一次函数及性质 一般地，形如y=kx＋b(k,b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数.当b=0时，y=kx ＋b即y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.
一次函数综合应用（讲义） 课前预习 1. 如图，直线l 1的表达式为y =-3x +3，且l 1与x 轴相交于 点D ，直线l 2经过A ，B 两点，直线l 1，l 2相交于点C ． （1）点D 的坐标为_____________； （2）直线l 2的表达式为_____________； （3）点C 的坐标为_____________． 2. 如图，在平面直角坐标系中，点A (2，0)，点B (0，4)． （1）△AOB 的面积为_____________； （2）点P 是y 轴上一点，若1 2AOP AOB S S =△△，则点P 精讲精练 1. 已知直线l 1与l 2相交于点P ，直线l 1的表达式y =2 x +3，点P 的横坐标为-1，且l 2交y 轴于点 A (0，-1)．则直线l 2的表达式为_________________． 2. 已知函数13y x b =-+的图象与x 轴、y 轴分别交与点A ，B ，与函数y =x 的图象交于点M ，点M 的横坐标为3，则点A 的坐标为___________． 3. 已知一次函数y =kx +b 的图象经过点(-2，5)，且与y 轴相交于点P ，直线1 3 2y x =-+与y 轴相交 于点Q ，点Q 恰与点P 关于x 轴对称，则这个一次函数的表达式为 ___________． 4. 如图，已知直线l 1：y =2x +3，直线l 2：y =-x +5，直线l 1，l 2与x 轴分别交于点 B ， C ，l 1，l 2相交于点A ．则S △ABC =________． 5. 如图，直线y =2x +m （m >0）与x 轴交于点A (-2，0)，直线y =-x +n （n >0） 与x 轴、y 轴分别交于点B ，C 两点，并与直线y =2x +m （m >0）相交于点D ，若AB =4．（1）求点D 的坐标；（2）求出四边形AOCD 的面积． 6. 已知直线3y mx =-中，y 随x 的增大而减小，且与直线x =1，x =3和x 轴围成的四边形的面积为 8，则m =________． 7. 已知直线6y kx =-经过第一、三、四象限，且与直线x =-1，x =-3和x 轴围成的四边形的面积为 16，则k =________．
第四章：一次函数 ◆4.1函数 1．函数的概念 一般地，在一个变化过程中有两个变量x 和y ，如果给定一个x 值，相应地就确定了一个y 值，那么我们称y 是x 的函数．其中x 是自变量，当自变量取一个值时，另一个变量就有唯一确定的值与它对应，这也是我们判断两个变量是否构成函数关系的依据． 辨误区 自变量与另一个变量的对应关系 若y 是x 的函数，当x 取不同的值时，y 的值不一定不同．如：y ＝x 2中，当x ＝2，或x ＝－2时，y 的值都是4. 【例1－1】 下列关于变量x ，y 的关系式：①x －3y ＝1；②y ＝|x |；③2x －y 2＝9.其中y 是x 的函数的是( )． A ．①②③ B ．①② C．②③ D ．①② 【例1－2】 已知y ＝2x 2＋4， (1)求x 取12和－12 时的函数值；(2)求y 取10时x 的值． . 谈重点 函数中变量的对应关系 当自变量取一个值时，另一个变量就会有唯一的值与之相对应；当另一个变量取某一数值，则自变量并不一定有唯一的值与之相对应，所以另一个变量与自变量并不是一一对应的关系． 2．函数关系式 用来表示函数关系的等式叫做函数关系式，也称为函数解析式或关系表达式． 谈重点 函数关系式中的学问 ①函数关系式是等式．②函数关系式中指明了哪个是自变量，哪个是函数．通常等式右边的代数式中的变量是自变量，等式左边的一个字母表示函数．③函数的解析式在书写时有顺序性．例如，y ＝x ＋1是表示y 是x 的函数．若写成x ＝y －1就表示x 是y 的函数．也就是说：求y 与x 的函数关系式，必须是用只含变量x 的代数式表示y ，即得到的等式(解析式)左边只含一个变量y ，右边是含x 的代数式． 【例2】 已知等腰三角形的周长为36，腰长为x ，底边上的高为6，若把面积y 看做腰长x
一次函数完美讲义 Document serial number【LGGKGB-LGG98YT-LGGT8CB-LGUT-
一次函数 （一）函数 1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。 常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。 例题：在匀速运动公式vt s=中,v表示速度,t表示时间,s表示在时间t内所走的路程,则变量是________,常量是_______. 在圆的周长公式C=2πr中，变量是________，常量是_________. 2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个 确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。 *判断Y是否为X的函数，只要看X取值确定的时候，Y是否有唯一确定的值与之对应 例题：下列函数（1）y=πx (2)y=2x-1 (3)y=1 x (4)y=2-1-3x (5)y=x2-1中， 是一次函数的有 （A）4个（B）3个（C）2个（D）1个 3、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。 4、确定函数定义域的方法： （1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数； （2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零； （3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零； （4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零； （5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。 例题：下列函数中，自变量x的取值范围是x≥2的是（） A．y=． ． D． 函数y=x的取值范围是___________. 5、函数的解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做函数的解析式 6、函数的图像 一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象． 7、描点法画函数图形的一般步骤 第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）； 第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。 8、函数的表示方法 列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。
考点一 象限内和坐标轴上点坐标特征 【例1】 如果点()12P m m -， 在第四象限，那么m 的取值范围是（ ） A ．2 10<
一次函数解析式的求法及面积求法讲义 一、【知识点拨】 （一）、用待定系数法求一次函数解析式 设y=kx+b 中的k ，b ，最终求得他们的值，叫做待定系数；用此方法求一次函数的解析式叫用待定系数法求一次函数的解析式。 （二）、一次函数图像与坐标轴围成的三角形的面积： 直线y=kx+b 与x 轴交点为（－b k ，0），与y 轴交点为（0，b ），且这两个交点与坐标原点构成的三角形面积为k b S 22 = 二、【典型例题剖析】 例1如图，一次函数的图象经过M 点，与x 轴交于A 点，与y 轴交于B 点，根据图中信息求：求这个函数的解析式 ． y x -16 4 B M A O 例2已知一次函数y kx b =+的图象与直线21y x =+平行并且过点P （-1，2），求这个一次函数的解析式． 例3.已知，直线y=2x+3与直线y=-2x-1. （1） 求两直线交点C 的坐标; （2） 求△ABC 的面积. 教师寄语： 成功并不是很复杂,热爱你所做的事,相信你的天分,每天你 都应振奋精神,抛开过去,勇往直前,虽然人生并不总是公平的,但却总是可以掌控的，关键在于态度和信心,遇到任何困难就应立刻想到:"这 个我能解决,这样的人总是能成功的！
三【分类型精讲】 （一）解析式的求法： 1.定义型 已知函数是一次函数，求其解析式。 （注意：利用定义求一次函数解析式时，要保证。如本例中应保证 ） 2. 点斜型 已知一次函数的图像过点（2，－1），求这个函数的解析式。 3. 两点型 一次函数经过A（2，4）、B（0，2）两点，与x轴相交于C点。 求这个一次函数的解析式；
一次函数与几何综合（一）（讲义） 课前预习 1. 若一次函数经过点A (2，-1)和点B (4，3)，则该一次函数的表达式为____________．2.如图，一次函数的图象经过点A ，且与正比例函数y =-x 的图 象交于点B ，则该一次函数的表达式为____________． 第2题图 第3题图3.如图，直线334y x =- +与x 轴、y 轴交于A ，B 两点，点C 是y 轴负半轴上一点，若BA =BC ，则直线AC 的表达式为__________． 4.如图，点A 在直线l 1：y =3x 上，且点A 在第一象限，过点A 作y 轴的平行线交直线l 2：y =x 于点B ． （1）设点A 的横坐标为t ，则点A 的坐标为_________，点B 的坐标为_________，线段AB 的长为__________；（用含t 的式子表示） （2）若AB =4，则点A 的坐标是__________．
知识点睛 1.一次函数与几何综合的处理思路： 从已知的表达式、坐标或几何图形入手，分析特征，通过坐标与横平竖直线段长、函数表达式相互转化解决问题．2.函数与几何综合问题中常见转化方式： （1）借助表达式设出点坐标，将点坐标转化为横平竖直线段长，结合几何特征利用线段长列方程； （2）研究几何特征，考虑线段间关系，通过设线段长进而表达点坐标，将点坐标代入函数表达式列方程． 精讲精练 1.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y =kx +b 的图象经过点A (-2，6)，且与x 轴相交于点B ，与正比例函数y =3x 的图象交于点C ，点C 的横坐标为1，则△OBC 的面积为_______ ． 第1题图 第2题图2.如图，直线l 1：364 y x =+与y 轴相交于点N ，直线l 2：y =kx -3与直线l 1相交于点P ，与y 轴相交于点M ，若△PMN 的面积 为18，则直线l 2的表达式为______________．3.如图，一次函数123 y x =+的图象与y 轴交于点A ，与正比例函数y =kx 的图象交于第二象限内的点B ，若AB =OB ，则k 的值为__________ ． 表达线段长：横平线段长，横坐标相减，右减左；竖直线段长，纵坐标相减，上减下．
一次函数专项练习 例1 （1）已知直线y=kx+b 经过点（3，-1）和点（-6，5），则k=_______,b=______. （2）已知一次函数y=kx+5过点P(-1,2),则k=________. 例2（1）一次函数1-=x y 的图象不经过（ ） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 （2）如图，表示一次函数y ＝mx+n 与正比例函数y=mnx(m ，n 是常数，且 mn ≠0)图像的是( ). 例3．直线y=kx+b 与直线y=5-4x 平行，且与直线y=-3(x-6)相交，交点在y 轴上，求此直线解析式。 例4. 已知函数2 21 (43)3a a y a a x --=-++是一次函数，则a 的值为 （ ） 例5如图，一次函数y =kx +b （k ＜0）的图象经过点A ．当y ＜3时，x 的取值范围是 ． 例6一个y 关于x 的函数同时满足两个条件： ①图象过(2，1)点；②当0x >时．y 随x 的增大而减小，这个函数解析式为 _______________ (写出一个即可)
【知识点分类专练】 知识点1：一次函数的定义 :一次函数通常可以表示 的形式，其中k 、b 是 ，k 0．特别地，当 时，一次函数y ＝kx （常数k ≠0）也叫 ．正比例函数也是一次函数，它是一次函数的特例． 1、下列函数:①y=-8x;②y=8x ;③y=8x 2 ;④y=8x+1;⑤y=53++z x .其中是一次函数的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2、（1）若函数y=（m —2）x+5是一次函数，则m 满足的条件是 。 （2）当m= 时，函数y=3x 2m+1 +3是一次函数。 （3）已知函数y=（k-1）x+k 2 -1，当k________时，它是一次函数，当k=_______?时，它 是正比例函数． （4） (1)2m y m x =++，当m = ，y 是x 的一次函数． 3、下列说法不正确的是（ ） A 一次函数不一定是正比例函数。 B 不是一次函数就一定不是正比例函数。 C 正比例函数是特殊的一次函数 D 不是正比例函数就一定不是一次函数。 4、下列函数中一次函数的个数为（ ） ①y=2x ；②y=3+4x ；③y=1/2；④y=ax （a≠0的常数）；⑤xy=3；⑥2x+3y-1=0 A ．3个 B.4个 C.5个 D.6个 5、若一次函数1)1(2 -+-=m x m y 的图象经过原点，则m 的值为（ ） A.-1 B.1± C.1 D.任意实数 知识点2：一次函数图像 1、已知一次函数y=kx+1()0k ≠的函数解析式中k<0，则一次函数y=x+k 的图象大致是图中的（ ） 2、如图，函数y=kx+b ，其中k>0, kb<0，它的大致图象是（ ） A B
（一）变量和函数 1. 函数的概念 一般地，在一个 过程中，如果有两个变量x 和y ，并且对于 的 ，那么我们就说x 是自变量，y 是 ． 2. 函数的三种表示方法 （1）用数学式子表示函数关系的方法叫做 ； （2）通过列出自变量的值与对应的函数的表格来表示函数关系的方法叫做 ； （3）一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的 作为点的 ，在平面直角坐标系内 ，由这些点 ，叫做这个函数的图象．这种表示函数关系的方法叫做 ． 3. 判定一次函数的方法： 1) 从表达式角度考虑：有三条件：自变量x 为一次；因变量为一次，系数k ≠0. 例1 已知y-3与x 成正比例，且x=2时，y=7. （1）写出y 与x 之间的函数关系式； （2）当x=4时，求y 的值； （3）当y=4时，求x 的值． [分析] 由y-3与x 成正比例，则可设y-3=kx ，由x=2，y=7，可求出k ，则可以写出关系式． 解：（1）由于y-3与x 成正比例，所以设y-3=kx ．把x=2，y=7代入y-3=kx 中，得7-3＝2k ， ∴k ＝2． ∴y 与x 之间的函数关系式为y-3=2x ，即y=2x+3．（2）当x=4时，y=2×4+3=11． （3）当y ＝4时，4=2x+3，∴x= 2 1 . 引申：+1成正比例，当x=5时，y=12，则y 关于x 的函数关系式是 . 【注意】 y 与x+1成正比例，表示y=k(x+1)，不要误认为y=kx+1. 2) 从表格角度考虑：任从表格中组成二点的坐标，其纵坐标之差与横坐标差的比值不变。 3) 从图像角度考虑： 判断所形成的图像是否为直线。 4. 确定一次函数的方法（一般要备两条件），确定一次函数就是求k ，b （1）由于正比例函数y=kx （k ≠0）中只有一个待定系数k ，故只需一个条件（如一对x ，y 的值或一个点）就可求得k 的值． （2）由于一次函数y=kx+b （k ≠0）中有两个待定系数k ，b ，需要两个独立的条件确定两个关于k ，b 的方程，求得k ，b 的值，这两个条件通常是两个点或两对x ，y 的值． 一般从以下角度考虑求k 和b ： 1) 从表达式：已知两点坐标时可先设出所求表达式y=kx+b 再找两点的坐标分别代入表达式中，列出方程（或方程
一次函数的表达式、图象、性质（讲义） ?课前预习 1.在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为______，数值始终不变的量为 ______；变量分为______和________． 2.表示变量之间的关系通常有三种方法，它们是___________、_____________、 __________． 3.如图，在平面直角坐标系xOy中，描出下列点的坐标： A(1，2)，B(2，4)，C(-1，-2)，D(1，1)，E(-1，3)，F(1，-3)． （1）作出直线BC； （2）C，D，E，F四点中，在直线AB上的是___________．
? 知识点睛 1. 函数 （1）一般地，如果在一个变化过程中有_______x 和y ，并且对于任意一个x 都有______的一个y 和它对应，那么我们称y 是x 的函数，其中x 是______，y 是________． （2）表示函数的方法一般有_______、________和________． 2. 一次函数 （1）表达式（也称“解析式”或“关系式”） ______________________________________． 特别地，当b =0时，称y 是x 的正比例函数（y =kx ，k 为常数，k ≠0）． （2）图象 画函数图象的一般步骤：列表、描点、连线． ①一次函数图象是____________ ，因此画一次函数的图象时，只需确定___点即可，通常找________、________； ②正比例函数图象是一条经过__________的______，因此 画正比例函数的图象时，只需再确定___点即可，通常找______． （3）性质 ①k 反映图象的______________，______越大直线越陡峭． 当k >0时，图象过第_________象限； 当k <0时，图象过第_________象限． 若两条直线互相平行，则12k k ． ②b 是直线与y 轴交点的____坐标． （b >0，直线与y 轴的正半轴相交；b <0，直线与y 轴的负半轴相交．） 当k >0且b >0时，图象过第__________象限； 当k >0且b <0时，图象过第__________象限； 当k <0且b >0时，图象过第__________象限； 当k <0且b <0时，图象过第__________象限． ③增减性 当k >0时，y 的值随着x 值的增大而____（即y 与x _________）； 当k <0时，y 的值随着x 值的增大而____（即y 与x _________）． 示意图
【教学过程】 【知识点梳理】 1 一次函数和正比例函数的概念 若两个变量x ，y 间的关系式可以表示成y=kx+b （k ，b 为常数，k ≠0）的形式，则称y 是x 的一次函数（x 为自变量），特别地，当b=0时，称y 是x 的正比例函数.例如：y=2x+3，y=-x+2，y= 21x 等都是一次函数，y=2 1x ，y=-x 都是正比例函数. 【说明】 （1）一次函数的自变量的取值范围是一切实数，但在实际问题中要根据函数的实际意义来确定. （2）一次函数y=kx+b （k ，b 为常数，b ≠0）中的“一次”和一元一次方程、一元一次不等式中的“一次”意义相同，即自变量x 的次数为1，一次项系数k 必须是不为零的常数，b 可为任意常数. （3）当b=0，k ≠0时，y= kx 仍是一次函数. （4）当b=0，k=0时，它不是一次函数. 2 函数的图象 把一个函数的自变量x 与所对应的y 的值分别作为点的横坐标和纵坐标在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象．画函数图象一般分为三步：列表、描点、连线． 3一次函数的图象 由于一次函数y=kx+b （k ，b 为常数，k ≠0）的图象是一条直线，所以一次函数y=kx+b 的图象也称为直线y=kx+b ． 由于两点确定一条直线，因此在今后作一次函数图象时，只要描出适合关系式的两点，再连成直线即可，一般选取两个特殊点：直线与y 轴的交点（0，b ），直线与x 轴的交点（- k b ，0）.但也不必一定选取这两个特殊点.画正比例函数y=kx 的图象时，只要描出点（0，0），（1，k ）即可.
4 一次函数y=kx+b （k ，b 为常数，k ≠0）的性质 （1）k 的正负决定直线的倾斜方向； ①k ＞0时，y 的值随x 值的增大而增大； ②k ﹤O 时，y 的值随x 值的增大而减小． （2）|k|大小决定直线的倾斜程度，即|k|越大，直线与x 轴相交的锐角度数越大（直线陡），|k|越小，直线与x 轴相交的锐角度数越小（直线缓）； （3）b 的正、负决定直线与y 轴交点的位置； ①当b ＞0时，直线与y 轴交于正半轴上； ②当b ＜0时，直线与y 轴交于负半轴上； ③当b=0时，直线经过原点，是正比例函数． （4）由于k ，b 的符号不同，直线所经过的象限也不同； ①当k ＞0，b ＞0时，直线经过第一、二、三象限（直线不经过第四象限）； ②当k ＞0，b ﹥O 时，直线经过第一、三、四象限（直线不经过第二象限）； ③当k ﹤O ，b ＞0时，直线经过第一、二、四象限（直线不经过第三象限）； ④当k ﹤O ，b ﹤O 时，直线经过第二、三、四象限（直线不经过第一象限）． （5）由于|k|决定直线与x 轴相交的锐角的大小，k 相同，说明这两个锐角的大小相等，且它们是同位角，因此，它们是平行的．另外，从平移的角度也可以分析，例如：直线y=x ＋1可以看作是正比例函数y=x 向上平移一个单位得到的． 【例题解析】 例1 下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？ （1）y=- 21x ； （2）y=-x 2； （3）y=-3-5x ； （4）y=-5x 2； （5）y=6x-21 （6）y=x(x-4)-x 2. 例2 当m 为何值时，函数y=-（m-2）x 32 m +（m-4）是一次函数？ 【小结】某函数是一次函数应满足的条件是：一次项（或自变量）的指数为1，系数不为0．而某函数若是正比例函数，则还需添加一个条件：常数项为0． 例3 一根弹簧长15cm ，它所挂物体的质量不能超过18kg ，并且每挂1kg 的物体，弹簧就伸长0．5cm ，写出挂上物体后，弹簧的长度y （cm ）与所挂物体的质量x(kg ）之间的函数关系式，写出自变量x 的取值范围，并判断y 是否是x 的一次函数．