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2012年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）
数学（理科）
一.填空题：本大题共10小题，每小题5分，共计50分。在每小题给出的四个备选选
项中，只有一个是符合题目要求的( )
1.在等差数列}{n a 中，5,142==a a ,则}{n a 的前5项和5S = A.7 B.15 C.20 D.25 【解析】选B
15242451,55515
22
a a a a
a a S ++==?=
?=?= 2.不等式
01
21
≤+-x x 的解集为 【解析】选A
(21)(1)01101210212x x x x x x +-≤?-≤??-<≤?+≠+?
A.??? ??-
1,21 B.??????-1,21 C.[)+∞???? ??-∞-,121. D.[)+∞???? ?
?
-∞-,121,
3.对任意的实数k ，直线y=kx+1与圆22
2
=+y x 的位置关系一定是
A.相离
B.相切
C.相交但直线不过圆心
D.相交且直线过圆心
【解析】选C 直线1y kx =+过圆内内一定点(0,1)
4.8
的展开式中常数项为
A.
1635 B.835 C.4
35 D.105 【解析】选B
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,
2x x
取得次数为1:1(4:4)，展开式中常数项为448135()28
C ?=
5、设tan ,tan αβ是方程2320x x -+=的两个根，则tan()αβ+的值为 （A ）-3 （B ）-1 （C ）1 （D ）3 【解析】选A
tan tan tan tan 3,tan tan 2,tan()31tan tan αβ
αβαβαβαβ
++==+=
=--
6、设,x y ∈R ，向量()()()4,2,,1,1,-===c y b x a ，且c b c a //,⊥，则_______=+b a （A ）5 （B ）10 （C ）25 （D ）10 【解析】选B
2402
,//(3,1)10
242
x x a c b c a b y y -==??⊥???+=-=??=-=-?? 7、已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且以2为周期，则“()f x 为[0，1]上的增函数”是“()f x 为[3，4]上的减函数”的
（A ）既不充分也不必要的条件 （B ）充分而不必要的条件 （C ）必要而不充分的条件 （D ）充要条件 【解析】选D
由()f x 是定义在R 上的偶函数及[0,1]双抗的增函数可知在[-1,0]减函数，又2为周期， 所以【3,4】上的减函数
8、设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数
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(1)()y x f x '=-的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是
（A ）函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(1)f （B ）函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(1)f （C ）函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(2)f - （D ）函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(2)f 【解析】选D
1x >时，()012,()02f x x f x x ''?> 1x <时，()021,()02f x x f x x ''?<-
得：()022,()02f x x f x x ''?<-或2x > 函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(2)f
9、设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1
和a ，且长为a
的棱异面，则a 的取值范围是
（A
） （B
） （C
） （D
）(1 【解析】选A
的棱的中点与长为a 的端点,B C
；则AB AC a BC ==
?=<10、设平面点集{}
221(,)()()0,(,)(1)(1)1A x y y x y B x y x y x
??=--≥=-+-≤???
?
，则
A B 所表示的平面图形的面积为
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（A ）34π （B ）35π （C ）47π （D ）2
π 【解析】选D 由对称性：
221,,(1)(1)1y x y x y x ≥≥-+-≤围成的面积与221
,,(1)(1)1y x y x y x
≤≥-+-≤
围成的面积相等 得：A B 所表示的平面图形的面积为22,(1)(1)1y x x y ≤-+-≤
围成的面积既212
2
R π
π?=
二 填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案分别填写在答题卡相应位置上
11、若()()12i i ++=a+bi ，其中,,a b R i ∈为虚数单位，则a b += ； 【解析】____4a b +=
(1)(2)131,34i i i a bi a b a b ++=+=+?==?+=
12
、n = 。
【解析】_____
n =2
5
2
5n n n →∞→∞===
13、设ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且3
5
cos ,cos ,3,513
A B b ===则c = 【解析】14_____
5
c = 3556
cos ,cos ,3sin sin()51365
sin 14
sin sin sin 5
A B b C A B b c b C c B C B ===?=+=
=?==
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14、过抛物线22y x =的焦点F 作直线交抛物线于,A B 两点，若25
,,12
AB AF BF =<则
AF = 。
【解析】5_____
6
AF = 设
25,,12
5cos ,cos (1)6
AF m BF n AFx m n m p m n p n p m θθθ==∠=?+=
=+=-=?=
15、某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课个1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为 （用数字作答）.
【解析】概率为3
____
5
语文、数学、英语三门文化课间隔一节艺术课，排列有种排法，语文、数学、英语三门文化课相邻有3
34
4A A 种排法，语文、数学、英语三门文化课两门相邻有3
31
21
22
22
3A C C A C 种
排法。
故所有的排法种数有在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为35
三 解答题：本大题共6小题，共75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16、（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分.）
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设13
()ln 1,22
f x a x x x =+++其中a R ∈，
曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线垂直于y 轴.
（Ⅰ） 求a 的值； （Ⅱ） 求函数()f x 的极值.
17、（本小题满分13分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分.）
甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，.约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为1
3
，乙每次投篮投中的概率为
1
2
，且各次投篮互不影响. （Ⅰ） 求甲获胜的概率；
（Ⅱ） 求投篮结束时甲的投篮次数ξ的分布列与期望
18、（本小题满分13分（Ⅰ）小问8分（Ⅱ）小问5分） 设()4cos()sin cos(2)6
f x x x x π
ωωωπ=-
-+，其中.0>ω
（Ⅰ）求函数()y f x = 的值域 （Ⅱ）若()f x 在区间3,22ππ??
-
????
上为增函数，求 ω的最大值。 19、（本小题满分12分（Ⅰ）小问4分（Ⅱ）小问8分） 如图，在直三棱柱111C B A ABC - 中，AB=4，AC=BC=3，D 为AB 的中点
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（Ⅰ）求点C 到平面11A ABB 的距离;
（Ⅱ）若11AB A C ⊥,求二面角 11A CD C --的平面角的余弦值。
20、（本小题满分12分（Ⅰ）小问5分（Ⅱ）小问7分）
如图，设椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左右焦点分别为21,F F ，线段12,OF OF 的中点分别为21,B B ，且△21B AB 是面积为4的直角三角形。 （Ⅰ）求该椭圆的离心率和标准方程；
（Ⅱ）过1B 做直线l 交椭圆于P ，Q 两点，使22QB PB ⊥，求直线l 的方程
21、（本小题满分12分，（I ）小问5分，（II ）小问7分。） 设数列{}n a 的前n 项和n S 满足121n n S a S a +=+，其中20a ≠。 （I ）求证：{}n a 是首项为1的等比数列；
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（II ）若21a >-，求证：1()2
n n n
S a a ≤
+，并给出等号成立的充要条件。
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2012年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）
数学（理）试题答案 (试题与答案全word 版，全面校对)
参考答案
一、选择题
二、填空题 11、4 12、
25 13、145
14、56 15、3
5 三、解答题： 16：解：（1）因()13ln 122f x a x x x =+
++，故()213
22
a f x x x '=-+ 由于曲线()y f x =在点()()
1,1f 处的切线垂直于y 轴，故该切线斜率为0，即
()10f '=，
从而13
022
a -
+=，解得1a =- （2）由（1）知()()13
ln 1022
f x x x x x =-+
++>， ()222
113321
222x x f x x x x
--'=--+= ()2
(31)(1)
2x x f x x
+-'∴=
令()0f x '=，解得1211,3
x x ==-（因21
3
x =-不在定义域内，舍去），
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当()0,1x ∈时，()0f x '<，故()f x 在()0,1上为减函数； 当()1,x ∈+∞时，()0f x '>，故()f x 在()1,+∞上为增函数； 故()f x 在1x =处取得极小值()13f =。
17、解：设,k k A B 分别表示甲、乙在第k 次投篮投中，则
()13k P A =，()1
2
k P B =， ()1,2,3k ∈
（1）记“甲获胜”为事件C ，由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知，()()()()
111211223P C P A P A B A P A B A B A =++
()()()
()()()()()
()111211223P A P A P B P A P A P B P A P B P A =++
2
2
1211211
3323323
????=+??+?? ? ?????
11113
392727
=
++=
（2）ξ的所有可能为：1,2,3
由独立性知：()()()
111121213323
P P A P A B ξ==+=
+?= ()()()
2
2
1121122211212
2323329
P P A B A P A B A B ξ????==+=??+= ? ?????
()(
)
22
1122211
3329
P P A B A B ξ????==== ? ?????
综上知，ξ有分布列
从而，22113
1233999
E ξ=?+?+?=（次）
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18、解：（1）()31
4cos sin sin cos 222f x x x x x ωωωω??=++
? ???
2
2
2
23sin cos 2sin cos sin x x x x x ωωωωω=++- 3sin 21x ω=+
因1sin 21x ω-≤≤，所以函数()y f x =的值域为13,13??-+??
（2）因sin y x =在每个闭区间()2,22
2k k k Z π
πππ?
?
-
+
∈???
?
上为增函数，故
()3sin 21f x x ω=+()0ω>在每个闭区间(),44k k k Z ππππωωωω??-+∈????
上为增函数。
依题意知3,22ππ??
-
?????,44k k ππππωωωω??
-+????
对某个k Z ∈成立，此时必有0k =，于是 32424π
πωππ
ω
?-≥-???
?≤??，解得16ω≤，故ω的最大值为16。 19、解：（1）由AC BC =,D 为AB 的中点，得CD AB ⊥，又1CD AA ⊥，故
11CD A ABB ⊥面,所以点C 到平面11A ABB 的距离为225CD BC BD =-=
(2)如图，取1D 为11A B 的中点，连结1DD ,则111DD AA CC ∥∥,又由（1）知
11CD A ABB ⊥面，故1CD A D ⊥1CD DD ⊥，所以11A DD ∠为所求的二面角11
A CD C --的平面角。
因1A D 为1A C 在面11A ABB 上的射影，又已知11AB A C ⊥，由三垂线定理的逆定理得
11AB A D ⊥，从而111,A AB A DA ∠∠都与1B AB ∠互余，因此111A AB A DA ∠=∠，所以111Rt A AD
Rt B A A ，因此，
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111
1
AA A B AD AA =,即21118AA AD A B ==,
得1AA =
从而1A D =
=,所以，在11Rt A DD
中，111111cos 3
DD AA A DD A D A D =
==
20、解：设所求椭圆的标准方程为()22
2210x y a b a b
+=>>，右焦点为()2,0F c 。
因12AB B 是直角三角形，又12AB AB =,故12B AB ∠为直角，因此2OA OB =,得2
c
b =
。 结合222c a b =-得2224b a b =-，故22225,4a b c b ==
，所以离心率c e a ==。 在12Rt AB B 中，12OA B B ⊥，故
12
2122122
AB B c
S
B B OA OB OA b b =
=== 由题设条件12
4AB B S =，得24b =，从而22520a b ==。
因此所求椭圆的标准方程为：
22
1204
x y += （2）由（1）知1(2,0),(2,0)B B -，由题意知直线l 的倾斜角不为0，故可设直线l 的方程为：2x my =-，代入椭圆方程得()
2254160m y my +--=， 设()()1222,,,P x y Q x y ，则12,y y 是上面方程的两根，因此
12245m y y m +=
+,122
16
5
y y m =-+ 又()()2112222,,2,B P x y B Q x y =-=-，所以
()()22121222B P B Q x x y y =--+
()()121244my my y y =--+
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()
()212121416m y y m y y =+-++
()222216116165
5
m m m m +=-
-+++ 22
1664
5
m m -=-+ 由21PB QB ⊥,得220B P B Q =,即216640m -=，解得2m =±，
所以满足条件的直线有两条，其方程分别为：220x y ++=和220x y -+=
21、（1）证明：由2211S a S a =+，得12121a a a a a +=+，即221a a a =。
因20a ≠，故11a =，得
2
21
a a a =， 又由题设条件知2211n n S a S a ++=+，121n n S a S a +=+ 两式相减得()2121n n n n S S a S S +++-=-，即221n n a a a ++=， 由20a ≠，知10n a +≠，因此
2
21
n n a a a ++= 综上，
2
21
n n a a a ++=对所有*n N ∈成立，从而{}n a 是首项为1，公比为2a 的等比数列。
（2）当1n =或2时，显然1()2
n n n
S a a =
+，等号成立。 设3n ≥，21a >-且20a ≠，由（1）知，11a =，12n n a a -=，所以要证的不等式化为：
()()21122221132
n n n
a a a a n --++++≤
+≥ 即证：()()222221
1122
n n n a a a a n ++++
+≤+≥
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当21a =时，上面不等式的等号成立。
当211a -<<时，21r a -与21n r a --，（1,2,3,,1r n =-）同为负； 当21a >时， 21r a -与21n r a --，（1,2,3,
,1r n =-）同为正；
因此当21a >-且21a ≠时，总有 （21r a -）（21n r a --）>0,即
2221r n r n a a a -+<+，（1,2,3,
,1r n =-）
。 上面不等式对r 从1到1n -求和得，()222222()(1)1n r n a a a n a -+++<-+
由此得()222221
112
n n n a a a a ++++
+<
+ 综上，当21a >-且20a ≠时，有1()2
n n n
S a a ≤+，当且仅当1,2n =或21a =时等号成立。