一、等差数列选择题
1．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若936S S =，则6
12S
S =（ ） A ．
17
7
B ．
83 C ．
143
D ．
103
2．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，15a =，且满足
122527
n n
a a n n +-=--，若p ，*q ∈N ，p q >，则p q S S -的最小值为（ ）
A ．6-
B ．2-
C ．1-
D ．0
3．已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，若454a a +=，则8S =（ ） A ．16 B ．-16 C ．4 D ．-4 4．在等差数列{a n }中，a 3+a 7＝4，则必有（ ）
A ．a 5＝4
B ．a 6＝4
C ．a 5＝2
D ．a 6＝2
5．等差数列{},{}n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，若231
n n a n b n =+，则2121S T 的值为（ ）
A ．
13
15
B ．
2335
C ．
1117 D ．
49
6．已知数列{}n a 的前n 项和2
21n S n n =+-，则13525a a a a +++
+=（ ）
A ．350
B ．351
C ．674
D ．675
7．已知数列{}n a 为等差数列，2628a a +=，5943a a +=，则10a =（ ） A ．29
B ．38
C ．40
D ．58
8．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12a =，315S =，则8a =（ ） A ．11 B ．12
C ．23
D ．249．题目文件丢失！
10．已知等差数列{}n a ，其前n 项的和为n S ，3456720a a a a a ++++=，则9S =（ ） A ．24
B ．36
C ．48
D ．64
11．数学著作《孙子算经》中有这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二(除以3余2)，五五数之剩三(除以5余3)，问物几何？”现将1到2020共2020个整数中，同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{},n a 则该数列共有（ ） A ．132项
B ．133项
C ．134项
D ．135项
12．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2938a a a +=+，则15S =（ ） A ．60
B ．120
C ．160
D ．240
13．在数列{}n a 中，129a =-，()
*
13n n a a n +=+∈N ，则1220a a a ++
+=（ ）
A ．10
B ．145
C ．300
D ．320
14．冬春季节是流感多发期，某地医院近30天每天入院治疗流感的人数依次构成数列
{}n a ，已知11a =，2
2a
=，且满足()211+-=+-n
n n a a （n *∈N ），则该医院30天入
院治疗流感的共有（ ）人
A ．225
B ．255
C ．365
D ．465
15．设等差数列{}n a 的前n 项之和为n S ，已知10100S =，则47a a +=（ ） A ．12
B ．20
C ．40
D ．100
16．在等差数列{}n a 的中，若131,5a a ==，则5a 等于（ ） A ．25
B ．11
C ．10
D ．9
17．已知数列{}n a 中，12(2)n n a a n --=≥，且11a =，则这个数列的第10项为（ ） A ．18
B ．19
C ．20
D ．21
18．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若7916+=a a ，则15S =（ ） A ．60
B ．120
C ．160
D ．240
19．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等.问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）.这个问题中，戊所得为（ ） A ．
54
钱 B ．
43
钱 C ．
23
钱 D ．
53
钱 20．已知数列{}n a ，{}n b 都是等差数列，记n S ，n T 分别为{}n a ，{}n b 的前n 项和，且
713n n S n T n -=，则5
5
a b =（ ） A ．
34
15
B ．
2310
C ．
317
D ．
62
27
二、多选题
21．已知数列{}n a 是等差数列，前n 项和为,n S 且13522,a a S +=下列结论中正确的是（ ） A ．7S 最小
B ．130S =
C ．49S S =
D ．70a =
22．设数列{}n a 满足11
02
a <<，()1ln 2n n n a a a +=+-对任意的*n N ∈恒成立，则下列说法正确的是（ ） A ．
21
12
a << B ．{}n a 是递增数列
C ．2020312
a <<
D ．
20203
14
a << 23．若不等式1(1)(1)2n n
a n
+--<+对于任意正整数n 恒成立，则实数a 的可能取值为（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．2
24．著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记S n 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．68a = B ．733S =
C ．135********a a a a a +++
+=
D ．
222
122019
20202019
a a a a a +++= 25．已知数列{}n a 的前4项为2，0，2，0，则该数列的通项公式可能为（ ）
A ．0,2,n n a n ?=??
为奇数为偶数
B ．1(1)1n n a -=-+
C ．2sin
2
n n a π
= D ．cos(1)1n a n π=-+
26．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件
11a >，66771
1,
01
a a a a -><-，则下列结论正确的是（ ） A ．01q <<
B ．681a a >
C ．n S 的最大值为7S
D ．n T 的最大值为6T
27．已知数列{}n a 满足112a =-，111n n
a a +=-，则下列各数是{}n a 的项的有（ ）
A ．2-
B ．
2
3
C ．
32
D ．3
28．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，且35a =，73a =，则（ ） A ．12
d =
B ．12
d =-
C ．918S =
D ．936S =
29．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10a >，公差0d ≠，则（ ） A ．若59S >S ，则150S > B ．若59S =S ，则7S 是n S 中最大的项 C ．若67S S >， 则78S S > D ．若67S S >则56S S >.
30．定义11222n n
n a a a H n
-++
+=
为数列{}n a 的“优值”.已知某数列{}n a 的“优
值”2n
n H =，前n 项和为n S ，则（ ）
A ．数列{}n a 为等差数列
B ．数列{}n a 为等比数列
C ．
20202023
20202
S = D ．2S ，4S ，6S 成等差数列
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一、等差数列选择题 1．D 【分析】
由等差数列前n 项和性质得3S ，63S S -，96S S -，129S S -构成等差数列，结合已知条件得633S S =和31210S S =计算得结果. 【详解】
已知等差数列{}n a 的前项和为n S ，∴3S ，63S S -，96S S -，129S S -构成等差数列，
所以()()633962S S S S S ?-=+-，且9
3
6S S =，化简解得633S S =. 又
()()()96631292S S S S S S ?-=-+-，∴31210S S =，从而
126103
S S =. 故选：D 【点睛】 思路点睛：
（1）利用等差数列前n 项和性质得3S ，63S S -，96S S -，129S S -构成等差数列，
（2）()()633962S S S S S ?-=+-，且9
3
6S S =，化简解得633S S =， （3）()()()96631292S S S S S S ?-=-+-，化简解得31210S S =. 2．A 【分析】 转化条件为
122527
n n
a a n n +-=--，由等差数列的定义及通项公式可得()()2327n a n n =--，求得满足0n a ≤的项后即可得解.
【详解】 因为
122527
n n a a n n +-=--，所以122527n n
a a n n +-
=--，
又
1127a =--，所以数列27n a n ??
??-??是以1-为首项，公差为2的等差数列， 所以
()1212327
n
a n n n =-+-=--，所以()()2327n a n n =--， 令()()23270n a n n =--≤，解得
3722
n ≤≤， 所以230,0a a <<，其余各项均大于0， 所以()
()()3123min
13316p q S S a a S S =-=+=?-+--?=-.
故选：A. 【点睛】
解决本题的关键是构造新数列求数列通项，再将问题转化为求数列中满足0n a ≤的项，即可得解. 3．A 【详解】 由()()184588848162
2
2
a a a a S +?+??====.故选A.
4．C 【分析】
利用等差数列的性质直接计算求解 【详解】
因为a 3+a 7＝2a 5＝4，所以a 5＝2. 故选：C 5．C 【分析】
利用等差数列的求和公式，化简求解即可 【详解】
2121S T ＝12112121()21()22
a a
b b ++÷＝121121a a b b ++＝1111a b ＝211
3111??+＝1117.
故选C 6．A 【分析】
先利用公式11,1
,2n n
n S n a S S n -=?=?-≥?求出数列{}n a 的通项公式，再利用通项公式求出
13525a a a a +++
+的值.
【详解】
当1n =时，2
1112112a S ==+?-=；
当2n ≥时，()
()()2
2
121121121n n n a S S n n n n n -??=-=+---+--=+??
.
12a =不适合上式，
2,121,2
n n a n n =?∴=?+≥?.
因此，()()
3251352512127512235022
a a a a a a ?+?+++++=+
=+=；
故选：A. 【点睛】
易错点睛：利用前n 项和n S 求通项n a ，一般利用公式11,1
,2n n
n S n a S S n -=?=?-≥?，但需要验证
1a 是否满足()2n a n ≥.
7．A 【分析】
根据等差中项的性质，求出414a =，再求10a ; 【详解】
因为{}n a 为等差数列，所以264228a a a +==, ∴414a =.由59410a a a a +=+43=,得1029a =, 故选：A. 8．C 【分析】
由题设求得等差数列{}n a 的公差d ，即可求得结果. 【详解】
32153S a ==，25a ∴=， 12a =，∴公差213d a a =-=， 81727323a a d ∴=+=+?=，
故选：C.
9．无
10．B 【分析】
利用等差数列的性质进行化简，由此求得9S 的值. 【详解】
由等差数列的性质，可得345675520a a a a a a ++++==，则54a =
19592993622
a a a
S +=
?=?=
11．D 【分析】
由题意抽象出数列是等差数列，再根据通项公式计算项数. 【详解】
被3除余2且被5除余3的数构成首项为8，公差为15的等差数列，记为{}n a ，则
()8151157n a n n =+-=-，令1572020n a n =-≤，解得：2135
15
n ≤， 所以该数列的项数共有135项. 故选：D 【点睛】
关键点点睛：本题以数学文化为背景，考查等差数列，本题的关键是读懂题意，并能抽象出等差数列. 12．B 【分析】
根据等差数列的性质可知2938a a a a +=+，结合题意，可得出88a =，最后根据等差数列的前n 项和公式和等差数列的性质，得出()
11515815152
a a S a +==，从而可得出结果.
【详解】
解：由题可知，2938a a a +=+，
由等差数列的性质可知2938a a a a +=+，则88a =，
故()1158
158151521515812022
a a a S a +?=
===?=. 故选：B. 13．C 【分析】
由等差数列的性质可得332n a n =-，结合分组求和法即可得解。 【详解】
因为129a =-，()
*
13n n a a n N +=+∈，
所以数列{}n a 是以29-为首项，公差为3的等差数列， 所以()11332n a a n d n =+-=-，
所以当10n ≤时，0n a <；当11n ≥时，0n a >； 所以()()12201210111220a a a a a a a a a ++
+=-++???++++???+
1101120292128
101010103002222a a a a ++--+=-
?+?=-?+?=. 故选：C.
【分析】
直接利用分类讨论思想的应用求出数列的通项公式，进一步利用分组法求出数列的和 【详解】
解：当n 为奇数时，2n n a a +=， 当n 为偶数时，22n n a a +-=， 所以13291a a a ==???==，
2430,,,a a a ???是以2为首项，2为公差的等差数列，
所以30132924301514
()()1515222552
S a a a a a a ?=++???++++???+=+?+?=， 故选：B 15．B 【分析】
由等差数列的通项公式可得47129a a a d +=+，再由1011045100S a d =+=，从而可得结果. 【详解】 解：
1011045100S a d =+=，
12920a d ∴+=， 4712920a a a d ∴+=+=.
故选：B. 16．D 【分析】
利用等差数列的性质直接求解． 【详解】 因为131,5a a ==，315529a a a a =+∴=，
故选：D ． 17．B 【分析】
由已知判断出数列{}n a 是以1为首项，以2为公差的等差数列，求出通项公式后即可求得
10a .
【详解】
()122n n a a n --=≥，且11a =，
∴数列{}n a 是以1为首项，以2为公差的等差数列，
通项公式为()12121n a n n =+-=-，
10210119a ∴=?-=，
18．B 【分析】
利用等差数列的性质，由7916+=a a ，得到88a =，然后由15815S a =求解. 【详解】
因为7916+=a a ，
所以由等差数列的性质得978216a a a +==， 解得88a =， 所以()
11515815151581202
a a S a +===?=． 故选：B 19．C 【分析】
根据甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为
2a d -，a d -，a ，a d +，2a d +，然后再由五人钱之和为5，甲、乙的钱与与丙、丁、戊的钱相同求解. 【详解】
设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为2a d -，a d -，a ，a d +，2a d +， 则根据题意有(2)()()(2)5
(2)()()(2)a d a d a a d a d a d a d a a d a d -+-+++++=??-+-=++++?
，
解得1
16a d =???=-??
，
所以戊所得为2
23
a d +=， 故选：C . 20．D 【分析】
利用等差数列的性质以及前n 项和公式即可求解. 【详解】
由713n n S n T n
-=， ()()1955199195519992791622923927
2
a a a a a a S
b b b b b b T ++?-======++?. 故选：D
二、多选题
21．BCD 【分析】
由{}n a 是等差数列及13522,a a S +=，求出1a 与d 的关系，结合等差数列的通项公式及求和公式即可进行判断. 【详解】
设等差数列数列{}n a 的公差为d .
由13522,a a S +=有()111254
2252
a a a d d ?+=++，即160a d += 所以70a =,则选项D 正确.
选项A. ()71176
773212S a d a d d ?=+
=+=-,无法判断其是否有最小值，故A 错误. 选项B. 1
13
137131302
a S a a +=?==,故B 正确. 选项C. 9876579450a a a a S a a S -=++++==,所以49S S =，故C 正确. 故选：BCD 【点睛】
关键点睛：本题考查等差数列的通项公式及求和公式的应用，解答本题的关键是由条件
13522,a a S +=得到160a d +=，即70a =，然后由等差数列的性质和前n 项和公式判断,
属于中档题. 22．ABD 【分析】
构造函数()()ln 2f x x x =+-，再利用导数判断出函数的单调性，利用单调性即可求解. 【详解】
由()1ln 2n n n a a a +=+-，1102
a << 设()()ln 2f x x x =+-， 则()11122x
f x x x
-'=-
=--， 所以当01x <<时，0f x
，
即()f x 在0,1上为单调递增函数，
所以函数在10,2??
???
为单调递增函数，
即()()102f f x f ??<<
???
，
即()131
ln 2ln ln 1222
f x <<<+<+=， 所以()1
12
f x << ， 即
1
1(2)2
n a n <<≥， 所以
2112a <<，20201
12
a <<，故A 正确；C 不正确； 由()f x 在0,1上为单调递增函数，
1
12
n a <<，所以{}n a 是递增数列，故B 正确； 2112a <<,所以 231
32131113ln(2)ln ln 222234
a a a e =+->+>+=+> 因此20202020333
144
a a a ∴<><>，故D 正确 故选：ABD 【点睛】
本题考查了数列性质的综合应用，属于难题. 23．ABC 【分析】
根据不等式1(1)(1)2n n
a n +--<+对于任意正整数n 恒成立，即当n 为奇数时有12+a n
-<恒成立，当n 为偶数时有1
2a n
<-恒成立，分别计算，即可得解. 【详解】
根据不等式1(1)(1)2n n
a n +--<+对于任意正整数n 恒成立， 当n 为奇数时有：1
2+a n
-<恒成立，
由12+n 递减，且1
223n <+≤，
所以2a -≤，即2a ≥-，
当n 为偶数时有：1
2a n
<-恒成立， 由12n -
第增，且31
222n ≤-<， 所以3
2
a <
， 综上可得：322
a -≤<， 故选：ABC .
【点睛】
本题考查了不等式的恒成立问题，考查了分类讨论思想，有一定的计算量，属于中当题. 24．ABD 【分析】
根据11a =，21a =，21n n n a a a ++=+，计算可知,A B 正确；根据12a a =，
342a a a =-，564a a a =-，786a a a =-，，201920202018a a a =-，累加可知C 不正
确；根据2121a a a =，222312312()a a a a a a a a =-=-，2
33423423()a a a a a a a a =-=-，244534534()a a a a a a a a =-=-，
，2
20192019202020182019202020182019()a a a a a a a a =-=-，
累加可知D 正确. 【详解】
依题意可知，11a =，21a =，21n n n a a a ++=+，
312112a a a =+=+=，423123a a a =+=+=，534235a a a =+=+=，645358a a a =+=+=，故A 正确； 7565813a a a =+=+=，所以
712345671123581333S a a a a a a a =++++++=++++++=，故B 正确；
由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，786a a a =-，，201920202018a a a =-，
可得
13572019a a a a a ++++
+=242648620202018a a a a a a a a a +-+-+-++-2020a =，
故C 不正确；
2121a a a =，222312312()a a a a a a a a =-=-，2
33423423()a a a a a a a a =-=-，
244534534()a a a a a a a a =-=-，，2
20192019202020182019202020182019()a a a a a a a a =-=-，
所以
2222
2
12342019
a a a a a ++++
+122312342345342019202020182019a a a a a a a a a a a a a a a a a a =+-+-+-+- 20192020a a =，
所以
222
122019
20202019
a a a a a +++=，故D 正确. 故选：ABD. 【点睛】
本题考查了数列的递推公式，考查了累加法，属于中档题. 25．BD 【分析】
根据选项求出数列的前4项，逐一判断即可. 【详解】
解：因为数列{}n a 的前4项为2，0，2，0，
选项A ：不符合题设；
选项B ：0
1(1)12,a =-+=1
2(1)10,a =-+=
23(1)12,a =-+=34(1)10a =-+=，符合题设；
选项C ：，12sin
2,2
a π
==22sin 0,a π==
332sin
22
a π
==-不符合题设； 选项D ：1cos 012,a =+=2cos 10,a π=+=
3cos 212,a π=+=4cos310a π=+=，符合题设.
故选：BD. 【点睛】
本题考查数列的通项公式的问题，考查了基本运算求解能力，属于基础题. 26．AD 【分析】
分类讨论67,a a 大于1的情况，得出符合题意的一项. 【详解】
①671,1a a >>, 与题设
671
01
a a -<-矛盾. ②671,1,a a ><符合题意. ③671,1,a a <<与题设
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a a -<-矛盾. ④ 671,1,a a <>与题设11a >矛盾.
得671,1,01a a q ><<<，则n T 的最大值为6T .
∴B ，C ，错误.
故选：AD. 【点睛】
考查等比数列的性质及概念. 补充：等比数列的通项公式：()1
*
1n n a a q n N -=∈.
27．BD 【分析】
根据递推关系式找出规律，可得数列是周期为3的周期数列，从而可求解结论． 【详解】
因为数列{}n a 满足112a =-，111n n
a a +=-，
212131()
2
a ∴=
=--；
32
1
31a a =
=-； 41311
12
a a a =
=-=-； ∴数列{}n a 是周期为3的数列，且前3项为12-
，2
3
，3； 故选：BD ． 【点睛】
本题主要考查数列递推关系式的应用，考查数列的周期性，解题的关键在于求出数列的规律，属于基础题． 28．BD 【分析】
由等差数列下标和性质结合前n 项和公式，求出9S ，可判断C ，D ，由等差数列基本量运算，可得公差，判断出A ，B ． 【详解】
因为1937538a a a a +=+=+=， 所以()199998
3622
a a S +?=
==． 因为35a =，73a =，所以公差731
732
a a d -==--． 故选：BD 29．BC 【分析】
根据等差数列的前n 项和性质判断． 【详解】
A 错：67895911415000S a a a a a S a S ?+++<>?+
B 对：n S 对称轴为
n =7；
C 对：6770S S a >?<，又10a >，887700a S a d S ??<；
D 错：6770S S a >?<，但不能得出6a 是否为负，因此不一定有56S S >． 故选：BC ． 【点睛】
关键点点睛：本题考查等差数列的前n 项和性质，（1）n S 是关于n 的二次函数，可以利用二次函数性质得最值；（2）1n n n S S a -=+，可由n a 的正负确定n S 与1n S -的大小；（3）1()
2
n n n a a S +=，因此可由1n a a +的正负确定n S 的正负． 30．AC 【分析】
由题意可知112222n n n
n a a a H n
-++
+==，即112222n n n a a a n -+++=?，则2
n ≥时，()()1
112
21212n n n n n a n n n ---=?--?=+?，可求解出1n a n =+，易知{}n a 是等差数
列，则A 正确，然后利用等差数列的前n 项和公式求出n S ，判断C ，D 的正误. 【详解】 解：由112222n n n
n a a a H n
-++
+==，
得112222n n n a a a n -++
+=?，①
所以2n ≥时，()211212212n n n a a a n ---+++=-?，②
得2n ≥时，()()1
112
21212n n n n n a n n n ---=?--?=+?，
即2n ≥时，1n a n =+，
当1n =时，由①知12a =，满足1n a n =+．
所以数列{}n a 是首项为2，公差为1的等差数列，故A 正确，B 错， 所以()
32
n n n S +=
，所以2020202320202S =，故C 正确．
25S =，414S =，627S =，故D 错，
故选：AC ． 【点睛】
本题考查数列的新定义问题，考查数列通项公式的求解及前n 项和的求解，难度一般.