分数乘法的巧算
例 1 先计算，再观察每组算式的得数，你能发现什么规律？
（ 1）1
－
1
=
(
) 1 × 1 =( ) 2 3 ( ) 2 3 ( )
（ 2）1
－
1
=
(
) 1 × 1 =( ) 4 5 ( ) 4 5 ( )
你能根据发现的规律再写几组这样的算式吗？
分析：先计算（1）、（2）题的答案，计算后可发现：1
－
1
= 1 ×1 = 1 ，1 － 1 = 1 ×1 = 1
解答：1
－
1
1 1 × 1 = 1
2 3 2 3 6 4 5 4 5 20
=
2 3 6 2 3 6
1 －
1
=
1
1 × 1 = 1
4 5 20 4 5 20
又如：1
—
1
=
1
1 × 1 = 1
5 6 30 5 6 30
1 — 1 = 1 1 × 1 = 1 19 20 380 19 20 380
结论：两个分数，分子是1，分母是非0 的相邻自然数，它们的差等于它们的积，在乘法的简便计算中，经常会遇到这种差与积的变形。
当堂练习：
1．1
－
1
=
(
) 1 — 1 =( ) 15 16 ( ) 99 100 ( )
2． 1 = (
) — ( ) = ( )
17 18 ( ) ( ) ( )
例 2 计算： 1×1
+ 1 ×
1
+ 1 ×
1
+ +
1
×
1 2 2 3 3 4 9 10
分析：受例 1 的启发，式中的每个积都可以裂项为两个分数的差，裂项后的一些分数有可以互相抵消，从而使计算简便。
解答： 1×1
+
1
×
1
+
1
×
1
+ +
1
×
1 2 2 3 3 4 9 10
=1
—
1
+
1
—
1
+
1
—
1
+ +
1
—
1 1
2 2
3 34910
=1—1
=
9 10 10
结论：进行分数计算时，常常将一个分数转化为两个或几个分数的差或积，使部分分数互相抵消，此种方法称为“裂项法” ，这种方法在分数计算中能使计算十分简便。
当堂练习：
×
1
×
1
× 1
+ +
1
×
1
．计算： 1
+
1 +
1 3
6 6
7 7 8
99
100
5
例 3：计算： 1 + 1 + 1 + 1
+ +
1
2 6
12 20
2450
分析：观察可发现：题中每一个分数的分子都是 1，分母依次可变为 1×2 ，2 ×3 ，3×4
49 ×50 ，即连续两个自然数的积，像这类形式的分数积可运用规律使每个分数裂项为两个分
数的差，即像例 2 那样使裂项后的一些分数互相抵消，使计算简便。
解答： 1 +
1 + 1 + 1
+ +
1 2 6
12 20
2450
= 1× 1 + 1 × 1 + 1 × 1 + 1 × 1 + + 1 × 1
2 2
3 3
4 4
5 49 50 = 1— 1 + 1 — 1 + 1
— 1 + 1
— 1
+ + 1
— 1
2 2
3 3
4 4
5
49
50
= 1— 1
=
49
50 50
当堂练习：
． 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1
4 20 30
56 72 90
12
42
例 4 计算： 1× 1 + 1 × 1 + 1
×
1
+ +
1
×
1
5 5
9 9 13
37 41
分析：本题与前几题不同，每个积中分母的差不是
1 ，但又都是 4，前面介绍的简便方
法不可套用，但前一个积的第二个因数是后一个积的第一个因数，
1 — 1 = 4 = 4 ×1
，即后
1 5 5 5
面的每一个积拆成对应两个分数的差后都是原积的 4 倍，要使每个积的大小不变，每个积必
须乘以 1
。
4
解答： 1× 1 + 1 × 1 +
1
× 1
+ +
1
×
1
5 5
9 9
13
37 41
= 1 ×（ 1— 1 ）+ 1
×（ 1
— 1
）+ + 1 ×（ 1 — 1
）
4 5 4
5 9 4 37 41
= 1
×（ 1— 1
）=
10
4
41 41
结论：像这种每个积中分子都是
1，分母的差都相等时，可利用下面的公式使计算简便。
1 1 = 1 ×（ 1
1 ）或
1
= 1 ×（
1
1 ）
n
n a an n a
n( n a) an n a
当堂练习：
．计算： ×
1
1 × 1 + 1 × 1
+ +
1
×
1
5
1 +
7 7 10
25
28
4 4
．计算：
1
+
1
+
1
+ +
1
6
1+
1 2 3 2 3 4 1 2 3 9 10
1 2 1