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第二章自动控制系统的数学模型教学目的：（1）建立动态模拟的概念，能编写系统的微分方程。
（2）掌握传递函数的概念及求法。
（3）通过本课学习掌握电路或系统动态结构图的求法，并能应用各环节的传递函数，求系统的动态结构图。
（4）通过本课学习掌握电路或自动控制系统动态结构图的求法，并对系统结构图进行变换。
（5）掌握信号流图的概念，会用梅逊公式求系统闭环传递函数。
（6）通过本次课学习，使学生加深对以前所学的知识的理解，培养学生分析问题的能力教学要求：（1）正确理解数学模型的特点；（2）了解动态微分方程建立的一般步骤和方法；（3）牢固掌握传递函数的定义和性质，掌握典型环节及传递函数；（4）掌握系统结构图的建立、等效变换及其系统开环、闭环传递函数的求取，并对重要的传递函数如：控制输入下的闭环传递函数、扰动输入下的闭环传递函数、误差传递函数，能够熟练的掌握；（5）掌握运用梅逊公式求闭环传递函数的方法；（6）掌握结构图和信号流图的定义和组成方法，熟练掌握等效变换代数法则，简化图形结构，掌握从其它不同形式的数学模型求取系统传递函数的方法。
教学重点：有源网络和无源网络微分方程的编写；有源网络和无源网络求传递函数；传递函数的概念及求法；由各环节的传递函数，求系统的动态结构图；由各环节的传递函数对系统的动态结构图进行变换；梅逊增益公式的应用。
教学难点：举典型例题说明微分方程建立的方法；求高阶系统响应；求复杂系统的动态结构图；对复杂系统的动态结构图进行变换；求第K条前向通道特记式。
的余子式k教学方法：讲授本章学时：10学时主要内容：2.0 引言2.1 动态微分方程的建立2.2 线性系统的传递函数2.3 典型环节及其传递函数2.4系统的结构图2.5 信号流图及梅逊公式2.0引言：什么是数学模型？为什么要建立系统的数学模型？1. 系统的数学模型：描述系统输入输出变量以及各变量之间关系的数学表达式。
１） 动态模型：描述系统处于暂态过程中个变量之间关系的表达式，他一般是时间函数。
第二章 自动控制系统的数学描述一、控制系统的数学模型控制系统的数学模型是描述自动控制系统输入、输出以及内部各变量的静态和动态关系的数学表达式。
控制系统的数学模型有多种形式：代数方程、微分方程、传递函数、差分方程、脉冲传递函数、状态方程、方框图、结构图、信号流图和静态/动态关系表等。
控制系统的数学模型的求取，可采用解析法或实验法。
系统的数学模型关系到整个系统地分析和研究，建立合理的数学模型是分析和研究自动控制系统最重要的基础。
1．微分方程用解析法建立系统的微分方程的步骤：1) 确定系统的输入、输出变量； 2) 根据系统的物理、化学等机理，依据列出各元件的输入、输出运动规律的动态方程； 3) 消去中间变量，写出输入、输出变量的关系的微分方程。
2．传递函数 1) 定义：传递函数是在零初始条件下，系统（或环节）输出量的拉氏变换与输出量的拉氏变换之比。
2) 性质：a) 传递函数是线性系统在复频域里的数学模型；b) 传递函数只与系统本身的结构与参数有关，与输入量的大小和性质无关； c) 传递函数与微分方程有相通性，两者可以相互转换。
3） 表达形式设系统的动态方程为一个n 阶微分方程)......'1)1(1)(0'1)1(1)(0m n r b r b r b r b y a y a y a y a m m m m n n n n >++++=++++----其中：（则系统的传递函数为:nn n mm m a s a s a b s b s b s R s Y s G ++++++==--......)()()(110110 传递函数也可写成分子、分母多项式因式分解的形式，即)()()())(()())(()()()(112121jn j i mi n m p s z s k p s p s p s z s z s z s k s R s Y s G +∏+∏=++++++====图1.2—1)式中：为系统的极点分母多项式的根，又称为系统的零点分子多项式的根，又称称为传递系数，------=--j i p z a b k k 04） 典型环节的传递函数一个自动控制系统，可以认为是由一些典型环节（一些元件和部件）所组成。
MATLAB/Simulink与控制系统仿真实验报告姓名：喻彬彬学号：K031541725实验1、MATLAB/Simulink 仿真基础及控制系统模型的建立一、实验目的1、掌握MATLAB/Simulink 仿真的基本知识；2、熟练应用MATLAB 软件建立控制系统模型。
二、实验设备电脑一台；MATLAB 仿真软件一个三、实验内容1、熟悉MATLAB/Smulink 仿真软件。
2、一个单位负反馈二阶系统，其开环传递函数为210()3G s s s =+。
用Simulink 建立该控制系统模型，用示波器观察模型的阶跃响应曲线，并将阶跃响应曲线导入到MATLAB 的工作空间中，在命令窗口绘制该模型的阶跃响应曲线。
3、某控制系统的传递函数为()()()1()Y s G s X s G s =+，其中250()23s G s s s+=+。
用Simulink 建立该控制系统模型，用示波器观察模型的阶跃响应曲线，并将阶跃响应曲线导入到MATLAB 的工作空间中，在命令窗口绘制该模型的阶跃响应曲线。
4、一闭环系统结构如图所示，其中系统前向通道的传递函数为320.520()0.11220s G s s s s s+=+++，而且前向通道有一个[-0.2，0.5]的限幅环节，图中用N 表示，反馈通道的增益为1.5，系统为负反馈，阶跃输入经1.5倍的增益作用到系统。
用Simulink 建立该控制系统模型，用示波器观察模型的阶跃响应曲线，并将阶跃响应曲线导入到MATLAB 的工作空间中，在命令窗口绘制该模型的阶跃响应曲线。
四、实验报告要求实验报告撰写应包括实验名称、实验内容、实验要求、实验步骤、实验结果及分析和实验体会。
五、实验思考题总结仿真模型构建及调试过程中的心得体会。
题1、（1）利用Simulink的Library窗口中的【File】→【New】，打开一个新的模型窗口。
（2）分别从信号源库（Sourse）、输出方式库（Sink）、数学运算库（Math）、连续系统库（Continuous）中，用鼠标把阶跃信号发生器（Step）、示波器（Scope）、传递函数（Transfern Fcn）和相加器（Sum）4个标准功能模块选中，并将其拖至模型窗口。
实验一 控制系统的数学模型
一 实验目的
1、学习用MATLAB创建各种控制系统模型。
2、掌握传递函数模型、零-极点增益模型以及连续系统模型与离散系统模型之间的转
化，模型的简化。
二 相关理论
1传递函数描述
(1)连续系统的传递函数模型
连续系统的传递函数如下：
• 对线性定常系统，式中s的系数均为常数，且a1不等于零，这时系统在MATLAB中
可以方便地由分子和分母系数构成的两个向量唯一地确定出来，这两个向量分别用
num和den表示。
num=[b1,b2,…,bm,bm+1]
den=[a1,a2,…,an,an+1]
注意：它们都是按s的降幂进行排列的。
tf（）函数可以表示传递函数模型：G=tf(num, den)
举例：
num=[12,24,0,20];den=[2 4 6 2 2];
G=tf(num, den)
(2)零极点增益模型
• 零极点模型实际上是传递函数模型的另一种表现形式，其原理是分别对原系统传递
函数的分子、分母进行分解因式处理，以获得系统的零点和极点的表示形式。
K为系统增益，zi为零点，pj为极点
在MATLAB中零极点增益模型用[z,p,K]矢量组表示。即：
z=[z1,z2,…,zm]
p=[p1,p2,...,pn]
K=[k]
zpk（）函数可以表示零极点增益模型：G=zpk(z,p,k)
(3)部分分式展开
• 控制系统常用到并联系统，这时就要对系统函数进行分解，使其表现为一些基本控
制单元的和的形式。
• 函数[r,p,k]=residue(b,a)对两个多项式的比进行部分展开，以及把传函分解为微
11211121......)()()(nn
nn
mn
mm
asasasabsbsbsbsR
sC
sG
))...()(())...()(()(2121nmpspspszszszsKsG
22642202412)(23423ssss
ss
sG
分单元的形式。
• 向量b和a是按s的降幂排列的多项式系数。部分分式展开后，余数返回到向量r，
极点返回到列向量p，常数项返回到k。
• [b,a]=residue(r,p,k)可以将部分分式转化为多项式比p(s)/q(s)。
举例：
部分分式展开：
》num=[2,0,9,1];
》den=[1,1,4,4]; [r,p,k]=residue(num,den)
》r=
0.0000-0.2500i
0.0000+0.2500i
-2.0000
p=
0.0000+2.0000i
0.0000-2.0000i
-1.0000
k=
2
结果表达式
2模型的转换与连接
(1)模型的转换
• 在一些场合下需要用到某种模型，而在另外一些场合下可能需要另外的模型，这就
需要进行模型的转换。
• 模型转换的函数包括：
residue：传递函数模型与部分分式模型互换
tf2zp： 传递函数模型转换为零极点增益模型
zp2tf： 零极点增益模型转换为传递函数模型
连续系统转化为离散系统：
相当于在连续系统中加入采样开关，),,(2methodTsysdcdsys
其中：dsys表示离散系统；sys表示连续系统；T表示采样时间；method
表示逼近方式；
离散系统转化为连续系统：)(2dsyscdsys
用法举例：
1）系统的零极点增益模型转换为传递函数：
》z=[-3];p=[-1,-2,-5];k=6;
》[num,den]=zp2tf(z,p,k)
》num= 0 0 6 18 den= 1 8 17 10
2）已知部分分式：
转换为传递函数
44192)(233sss
ss
sG
12225.0225.02)(sisiis
i
sG
)5)(2)(1()3(6)(sss
s
sG
12225.0225.02)(sisiis
i
sG
》r=[-0.25i,0.25i,-2];
》p=[2i,-2i,-1];k=2;
》[num,den]=residue(r,p,k)
》num=
2 0 9 1
》den=
1 1 4 4
注意余式一定要与极点相对应。
(2)模型的连接
a并联：parallel
格式：
[num,den]=parallel(num1,den1,num2,den2)
• ％将并联连接的传递函数进行相加。
b串联：series
格式：
[num,den]=series(num1,den1,num2,den2)
％将串联连接的传递函数进行相乘。
c反馈：feedback
格式：
[num,den]=feedback(num1,den1,num2,den2,sign)
• ％将两个系统按反馈方式连接，一般而言，系统1为对象，系统2为反馈控制器。
sign缺省时，默认为负，即sign= -1，表示负反馈，sign= 1，表示正反馈。
d闭环：cloop（单位反馈）
格式：
[numc,denc]=cloop(num,den,sign)
• ％表示由传递函数表示的开环系统构成闭环系统，sign意义与上述相同。
三 实验内容
1． 系统的传递函数为：1551315sssssG
1) 写出零极点模型，并转换为多项式传递函数模型；
2) 写出多项式模型。
2．系统结构图如下所示，求其多项式传递函数模型
3．系统结构图如下所示，求其多项式传递函数模型
210ss
5247523sss
s
u(t)
y(t)
ss2102
5247523sss
s
u(t)
y(t)
4．系统结构图如下所示，求其多项式传递函数模型
5.假设连续系统的数学模型为sessG23)2(1)(，选择采样周期为T=0.1秒，用Matlab
产生下列系统的传递函数.（注：延迟用ioDelay，如系统G的延迟为2，那么代码为：
G.ioDelay=2;）
四 实验报告要求
（1） 完成上述各题
（2） 记录与显示给定系统数学模型
s
s12
110ss
u(t)
y(t)
