量子力学例题
第二章一．求解一位定态薛定谔方程试求在不对称势井中的粒子能级和波函数1．
:] 薛定谔方程[解
故有当 ,
处的连续条件利用波函数在 : 由处连续条件
处连续条件 : 由
供参考．
. 值,可解一个, 为分离能级给定一个n
．2粒子在一维势井中的运动
求粒子的束缚定态能级与相应的归一化定态波函数体系的定态薛定谔方程为][解
时当
对束缚态
解为
处连续性要求在
将代入得
供参考．
又
:相应归一化波函数为
:归一化波函数为
分子间的范得瓦耳斯力所产生的势能可近似地表示为3
求束缚态的能级所满足的方程
束缚态下粒子能量的取值范围为][解
供参考．当时时当薛定谔方程为
令
解为
时当
令
解为
当时
薛定谔方程为
供参考．令薛定谔方程为
解为
由
有, 波函数满足的连续性要求
供参考．
不能同时为零有非零解要使
则其系数组成的行列式必须为零
得方程计算行列式,
例题
主要类型: 1.算符运算; 2.力学量的平均值; 3.力学量几率分布.
一. 有关算符的运算
1.证明如下对易关系 (1)
(2)(3)(4) 供参考．
(5)] [证 (1)
(2)
(3)
若算符是任一标量算符,有 ,一般地
(4)
供参考．
可证明有若算符,是任一矢量算符, 一般地
(5)
=0。同理：
2.证明哈密顿算符为厄密算符
考虑一维情况解][
供参考．
为实数为厄密算符, ,为厄密算符