{高中试卷}北京西城区高三期末数学(文)试题答案[仅供参考]

20XX年高中测试

高

中

试

题

试

卷

科目：

年级：

考点：

监考老师：

日期：

北京市西城区20XX — 20XX学年度第一学期期末

高三数学（文科）参考答案及评分标准

20XX.1

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.

1．D 2．D 3．A 4．C

5．B 6．C 7．A 8．C

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

9

10．

1

834

11

．．

1 3

-

13．2-(0,1]14．○1○3

注：第10、12、13题第一问2分，第二问3分.第14题若有错选、多选不得分，少选得2分.

三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：因为

π

()sin()(0)

3

g x x

ωω

=->

的最小正周期为π，

所以2

||

ω

π

=π

，解得2

ω=．………………3分

由

()

fα=

2α=

，

即

cos2

2

α=

，………………4分所以

π

22π

4

k

α=±

，k∈Z.

因为

[π,π]

α∈-，

所以

7πππ7π

{,,,}

8888

α∈--

. ………………6分

（Ⅱ）解：函数

π()()2sin(2)

3 y f x g x x x

=+=+-

ππ

2sin2cos cos2sin

33

x x x

=+-

………………8分

1

sin2cos2

22

x x

=+

π

sin(2)

3

x

=+

，………………10分

由

2

πππ

2π2π

232

k

k x

-++

≤≤

，………………11分

解得

5ππ

ππ

1212

k

k x

-+

≤≤

．………………12分

所以函数

()()

y f x g x

=+的单调增区间为

5ππ

[ππ]()

1212

k

k k

-+∈Z

,

.…………13分16．（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：依题意，得

11

(889292)[9091(90)]

33

a

++=+++

，………………3分

解得1

a=.………………4分

（Ⅱ）解：设“乙组平均成绩超过甲组平均成绩”为事件A，………………5分

依题意

0,1,2,,9

a =，共有10种可能. ………………6分

由（Ⅰ）可知，当1

a=时甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，

所以当

2,3,4,,9

a =时，乙组平均成绩超过甲组平均成绩，共有8种可能．…7分

所以乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率

84

()

105

P A==

．………………8分

（Ⅲ）解：设“这两名同学的数学成绩之差的绝对值不超过2分”为事件B，…………9分当2

a=时，分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，所有可能的成绩结果有

339

?=种，它们是：(88,90)，(88,91)，(88,92)，(92,90)，(92,91)，(92,92)，(92,90)，(92,91)，(92,92)，………………10分

所以事件B的结果有7种，它们是：(88,90)，(92,90)，(92,91)，(92,92)，(92,90)，(92,91)，(92,92). ……………… 11分

因此这两名同学的数学成绩之差的绝对值不超过2分的概率

7

()

9

P B=

.

………………13分

17．（本小题满分14分）

（Ⅰ）证明：因为四边形ABCD是正方形，

所以AC BD

⊥. ………………1分

又因为平面BDEF⊥平面ABCD，平面BDEF平面ABCD BD

=，且AC?平面ABCD，

所以AC⊥平面BDEF.………………4分

（Ⅱ）证明：在CEF ?中，因为,G H 分别是,CE CF 的中点，

所以//GH EF ，

又因为GH ?平面AEF ，EF ?平面AEF ， 所以//GH 平面AEF .……………… 6分 设AC

BD O =，连接OH ，

在ACF ?中，因为OA OC =，CH HF =， 所以//OH AF ，

又因为OH ?平面AEF ，AF ?平面AEF ， 所以//OH 平面AEF .……………… 8分 又因为OH

GH H

=，

,OH GH ?平面BDGH ， 所以平面//BDGH 平面AEF . ………………10分 （Ⅲ）解：由（Ⅰ），得AC ⊥平面BDEF ，

又因为AO =

BDEF

的面积3BDEF

S

=?=11分

所以四棱锥A BDEF -的体积1

1

43BDEF

V AO S =??=. ………………12分

同理，四棱锥C BDEF -的体积24V =.

所以多面体ABCDEF 的体积128V V V =+=. ………………14分

18.（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：因为()()e x

f x x a =+，x ∈R ，

所以()(1)e x f x x a '=++．………………2分

令()0f x '=，得1x a =--．………………3分

F B

C

G E

A

H

D O

当x 变化时，()f x 和()f x '的变化情况如下：

)

………………5分

故()f x 的单调减区间为

(,1)a -∞--；单调增区间为(1,)a --+∞．…………6分

（Ⅱ）解：由（Ⅰ），得()f x 的单调减区间为

(,1)a -∞--；单调增区间为(1,)a --+∞．

所以当1

0a --≤，即1a -≥时，()f x 在[0,4]上单调递增， 故()f x 在[0,4]上的最小值为min ()(0)f x f a

==；………………8分

当401a <--<，即51a -<<-时，

()f x 在(0,1)a --上单调递减，()f x 在(1,4)a --上单调递增，

故()f x 在[0,4]上的最小值为1min ()(1)e a f x f a --=--=-；………………10分

当41

a --≥，即5a -≤时，()f x 在[0,4]上单调递减， 故()f x 在[0,4]上的最小值为4min ()(4)(4)e f x f a ==+.………………12分

所以函数()f x 在[0,4]上的最小值为1min

4, 1,

()e , 51,(4)e , 5.a a a f x a a a ---??

=--<<-??+-?≥≤……13分

19．（本小题满分14分）

（Ⅰ）解：抛物线

2

y x =的焦点为1

(0,)

4. ………………1分

由题意，得直线AB 的方程为1(1)y k x -=-， ………………2分

令 0x =，得1y k =-，即直线AB 与y 轴相交于点(0,1)k -. ………………3分 因为抛物线W 的焦点在直线AB 的下方，

所以

114k ->

，

解得

34k <

.

因为0k >，

所以

3

04k <<

.………………5分

（Ⅱ）解：结论：四边形ABDC 不可能为梯形. ………………6分 理由如下：

假设四边形ABDC 为梯形. ………………7分 由题意，设

211(,)

B x x ，

222(,)

C x x ，

33(,)

D x y ，

联立方程21(1),,y k x y x -=-??=?

消去y ，得2

10x kx k -+-=，

由韦达定理，得

11x k

+=，所以

11

x k =-. ………………8分

同理，得211

x k =--. ………………9分

对函数2

y x =求导，得2y x '=，

所以抛物线2

y x =在点B 处的切线BD 的斜率为1222x k =-，………………10分

抛物线2

y x =在点C 处的切线CD 的斜率为2222

x k =--.………………11分

由四边形ABDC 为梯形，得//AB CD 或//AC BD .

若//AB CD ，则22k k =--，即2

220k k ++=，

因为方程2

220k k ++=无解，所以AB 与CD 不平行.………………12分

若//AC BD ，则1

22k k -

=-，即

2

2210k k -+=， 因为方程2

2210k k -+=无解，所以AC 与BD 不平行. ……………13分

所以四边形ABDC 不是梯形，与假设矛盾. 因此四边形ABDC 不可能为梯形.……………14分

20．（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：因为等比数列

{}n a 的

1

14a ，

12q

，

所以 114

a ，

27

a ，

3 3.5

a . ………………1分 所以

114

b ，

2

7

b ，

3

3

b . ………………2分

则

3123

24

T b b b . ………………3分

（Ⅱ）证明：（充分性）因为

n

a N

，

所以

[]n n n b a a 对一切正整数n 都成立.

因为 12n n

S a a a ，

12n n

T b b b ，

所以

n

n

S T . ………………5分

（必要性）因为对于任意的n N ，n

n

S T ，

当1n =时，由1111

,a S b T ，得

11

a b ； ……………… 6分 当2n ≥时，由

1n n n a S S -=-，

1n n n b T T -=-，得

n n

a b =.

所以对一切正整数n 都有n n

a b =. ……………… 7分

因为

[]n n b a Z

，

n a ，

所以对一切正整数n 都有n a N

.……………… 8分 （Ⅲ）证明：因为

201421()n T n n =+≤，

所以 113

b T ，

120142(2)

n n n b T T n -=-=≤≤. ………………9分

因为 []

n

n b a ， 所以

1[3,4)a ∈，2014[2,3)(2)

n a n ∈≤≤. ………………10分

由

2

1a q a =

，得 1q <. ………………11分

因为

201220142[2,3)

a a q =∈，

所以

20122223q a >

≥

，

所以 20122

1

3q <<，即 1

20122()13q <<. ………………13分