高等数学期中考试试卷及答案
XXX2005-2006学年第一学期高等数学期中考试试卷
一、判断题（每题2分，共10分）
1、若数列{x_n}收敛，数列{y_n}发散，则数列{x_n+y_n}发散。（×）
2、limf(x)存在的充分必要条件是limf(x+)和limf(x-)都存在。（×）
3、limx→1 sin(πx/2) = limx→1 πx/2 = π/2.（√）
4、limx→∞ sinx/x = 0.（√）
5、若f(x)在闭区间[a,b]上有定义，在开区间(a,b)内连续，且f(a)·f(b)<0，则f(x)在(a,b)内有零点。（√）
二、填空题（每题2分，共10分）
1、已知f'(3)=2，则lim(h→0) [f(3-h)-f(3)]/h = 2.（答案为2）
2、y=π+xn+arctan(x)，则y'|x=1 = n+1.（答案为n+1）
3、曲线y=e^x在点(0,1)处的切线与连接曲线上两点
(0,1),(1,e)的弦平行。（答案为(1.e^1)）
4、函数y=ln[arctan(1-x)]，则dy/dx = -1/(x^2-2x+2)。（答案为-1/(x^2-2x+2)）
5、当x→0时，1-cosx是x的阶一无穷小。（答案为
x^2/2）
三、单项选择题（每题2分，共10分）
1、数列有界是数列收敛的(必要条件)。
2、f(x)在x=x处有定义是limx→x f(x)存在的(必要条件)。
3、若函数f(x)=(x-1)^2/2(x+1)，则limx→1 f(x)≠f(1)。(以
上等式都不成立)
4、下列命题中正确的是(无界变量必为无穷大)。
5、lim(n→∞) (1+1/n)^n+1000的值是(e^1000)。
四、计算下列极限（每题6分，共18分）
1、lim(x+1-x^-1) = 2.
2、lim(x→+∞) [sec(x)-cos(x)]/x = 0.
3、lim(x→0) ln(1+x^2)/x = 0.
五、计算下列各题（每题6分，共18分）
1、y=e^(sin^2x)。dy/dx = 2cos(x)sin(x)e^(sin^2x)。
2、y=tan^2x/(1+cosx)。dy/dx = (2tanxsec^2x(1+cosx)-tan^2xsinx)/(1+cosx)^2.
3、y=ln((x^2+1)/(x^2-1))。dy/dx = 4x/(x^2-1)^2.
5、极限$\lim\limits_{x\rightarrow
a}(1+x)^{\frac{1}{x}}$的值为()
A)1；（B)$\ln a$；(C)$e^a$；(D)不存在．
6、设在区间[a,b]上$f(x)>0,f'(x)0$，令
$S_1=\int_a^bf(x)dx,S_2=f(b)(b-a),S_3=[f(b)+f(a)](b-a)$，则有（）
A)$S_1 (C)$S_3 二、填空题（每题3分，共18分） 1、数列极限$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}[\ln(n-1)-\ln n]=$。 2、设函数$f(x)=\begin{cases}3\cos x,&x<5\\2x+b,&x\geq 5\end{cases}$在$(-\infty,+\infty)$内连续，则$b=$。 3、比较积分大小：$\int_1^1\ln xdx$______$\int_1^2\ln xdx$。 4、设函数$f(x)$在$x=0$的某邻域内有直到$n+1$阶的导数，则$f(x)$的$n$阶麦克劳林展开式： $f(x)=a+a_1x+L+a_nx^n+R_n(x)$中系数 $a_k=$（$k=1,2,\cdots,n$）。 5、不定积分$\int\frac{dx}{x\sqrt{1+\tan^2x}}=$。 6、曲线$y=\frac{1}{1+x}$在点$(2,2)$处的切线方程为_______________________。 三、解答题（每题6分，共36分） 1、求极限：$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{1}{x^2}\int_x^{2x}\ln(1-t)dt$； 2、设函数$y=\sin^3x+\cos x+\tan\frac{x}{2}$，求 $\frac{dy}{dx}$； 3、已知方程$xy=e^{x+y-1}$确定$y$是$x$的函数，求 $dy|_{x=1}$； 4、求函数$y=2x^3+x^2-4x+3$的单调区间； 5、求极限 $\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\int_x^{2x}\frac{\cos t^2}{t}dt$； 6、计算不定积分$\int x^4\ln xdx$。 四、（本题满分7分） 讨论函数$f(x)=\begin{cases}e^x,&x\geq 0\\x+1,&x<0\end{cases}$在$x=0$处的可导性。 五、（本题满分7分） 证明：当$x>0$时，$1+x\ln(x+1+x^2)>1+x^2$。 六、（本题满分7分） 设函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，证明存 在一点$\xi\in(a,b)$，使得$b f(b)-a f(a)=[f(\xi)+\xi f'(\xi)](b-a)$。 七、（本题满分7分） 求圆$x^2+y^2=R^2$内接矩形的最大面积。 1、设函数f(x)的定义域为[0,1]，则f(2x-1)的定义域为[0.5,1]。 2、设f(x)=sin(x-1)/2x-1，则x=1点是函数f(x)的可去间断点。 3、设函数f(x)在(-∞,∞)内连续，其导数的图形如下图所示，则f(x)有两个极小值点，两个极大值点。 4、设F(x)为f(x)的原函数，则有∫f(x)dx=F(x)+c。 5、∫xf''(x)dx=xf'(x)-f(x)+c。 二、填空题（每题3分，共15分） 1、a=1/3，b=1/3. 2、lim(h→0)(f(2-h)-f(2))/3h=3. 3、f(x)在x处可导是f(x)在x处连续的条件，f(x)在x处 连续是f(x)在x处可微的条件，f(x)在x处可微是f(x)在x处可 导的条件。 4、ex的带有Lagrange型余项的n阶麦克劳林公式为 ex=∑k=0n(xk/k!)+Rn(x)，其中Rn(x)=exi(x-x)n+1/(n+1)。 i∈(0,1)。 5、x=-1. 三、解答题（每题6分，共36分） 1、使用洛必达法则，得到limx→∞sin(sinx2)/x=0，因此limx→∞sin(sinx2)dx=0. 2、首先，sinx>0，因此lnsinx>0，e>1，所以xy>0.然后，sinx<1，因此sinsinx2 据夹逼定理，得到limx→∞sin(sinx2)/x=0，因此 limx→∞xylnsin x=0. 3、将方程y=xy+ex+y改写为y-ex=xy+y，对两边同时求 导得到dy/dx=y+xy'+e+y'，移项得到dy/dx=(1+x)y'+(1+y)e，解 得y'=(dy/dx-e)/(1+x-y)。 4、y=x+1的单调区间为(-∞,-1)和(-1,∞)，凹区间为(-∞,- 1/3)，凸区间为(-1/3,∞)。 5、∫e3x/x dx=1/3(e3x/x)'+2/3∫e3x/x2 dx=1/3(e3x/x)'+2/9(e3x/x2)'+4/27∫e3x/x3 dx=1/3(e3x/x)'+2/9(e3x/x2)'+4/81(e3x/x3)'+8/243∫e3x/x4 dx+。 =∑n=0∞(2/3)n(e3x/xn)+(2/3)n+1∫e3x/xn+1 dx。 6、将1-sinx的分母有理化，得到∫(1-sinx)/(1+cosx) dx=∫(1+cosx)/(1+cosx) dx-∫(sinx-cosx)/(1+cosx) dx=x-∫(sinx-cosx)/(1+cosx) dx，令u=1+cosx，得到∫(sinx-cosx)/(1+cosx) dx=∫(1-u)/u du=ln|1+cosx|-x。 四、（本题满分7分） 在x=0处，f(x)=0.在x≠0处，f(x)=xsin(1/x)，因为 limx→0f(x)=0，所以f(x)在x=0处连续。当x≠0时， f'(x)=sin(1/x)-cos(1/x)/x，因为limx→0f'(x)不存在，所以f(x)在 x=0处不可导。 五、（本题满分7分） 对于x>0，将右边的e/x展开成幂级数，得到 e/x=1/x+1/x2+1/(2x3)+。因此e>1+x+1/2x2.对于x1+x+x2/2， 因此当x>0时，e>1+x+1/2x2. 1、x→0，1-cosx与x是等价无穷小；ln(1+4x)与4x是同 阶但非等价无穷小。因此，x→0时，x(1-cosx)ln(1+4x)的极限 为0. 2、根据链式法则，dy/dt=dy/dx*dx/dt=23a(1+t^2)^(-2)。 3、使用分部积分法，令u=x，dv=e^x*dx，则du/dx=1， v=e^x，因此原式为xe^x-∫e^x*dx=xe^x-e^x+C。 4、使用代换法，令u=x^2+1，du/dx=2x，则原式变为 ∫e^udu=e^u+C=e^(x^2+1)+C。 5、使用分部积分法，令u=1+lnx，dv=dx/x，则du/dx=1/x，v=lnx，因此原式为(1+lnx)lnx-∫(1/x)*lnx*dx=(1+lnx)lnx-x+C。 6、y''=(x^2-2x+3)e^-x。 7、根据隐函数求导公式，dy/dx=-[e^(y- sinxy)cosx+x*e^(y-sinxy)cosxy]/[e^(y-sinxy)cosy+y*e^(y- sinxy)cosxy]。因此在点(π/2,0)处，dy/dx=-π/2. 8、将ex-(1+x)展开为幂级数，得到ex-(1+x)=Σ(x^n/n!)-(Σx^n/n!+1)，因此ex-(1+x)>x^2/2，又因为cosxx^2/2，即ex-(1+x)>1-cosx，证毕。 9、设f(x)=ln(1+sinx)/(1+cosx)，则f'(x)=(cosx- ln(1+sinx)+sinx-ln(1+cosx))/(1+sinx+cosx+sinxcosx)>0，因此 f(x)单调递增，f(0)=0，因此f(x)>0，即ln(1+sinx)/(1+cosx)>0，即ln(1+sinx)>ln(1+cosx)，即sinx>cosx，因此x>π/4. 10、由于f'(x)=g(x)，因此f(x)=∫g(x)dx=∫(1+cosx)^(- 1)dx=arctan(tan(x/2)-1)+C。 一、选择题（每题2分，共30分） 1.设函数f(x) = x^3 - 3x，则f(x)的单调区间为（B）。 A。(-∞。0)。B。(-∞。-1)∪(1.+∞)。C。(-1.1)。D。(0.+∞) 2.设函数f(x) = sin(x-1)/(x^2-1)，则点x=1是f(x)的（C）。 A。连续点。B。可去间断点。C。跳跃间断点。D。第二 类间断点 3.若函数f(x)在区间(a,b)内满足f'(x)>0，f''(x)<0，则f(x) 在(a,b)内（B）。 A。单调减、凹曲线。B。单调减、凸曲线。C。单调增、凸曲线。D。单调增、凹曲线 4.设F(x)为f(x)的原函数，则有（A）。 A。∫f(x)dx=F(x)。B。d[∫f(x)dx]=f(x)dx。C。∫dF(x)=F(x)。D。d∫F'(x)dx=F(x)+c 5.不定积分∫x*f''(x)dx=（C）。 A。x*f(x)-f(x)+C。B。x*f'(x)-f'(x)+C。C。x*f'(x)-f(x)+C。D。x*f(x)-f'(x)+C 二、填空题（每题3分，共15分） 1.已知lim(1-a)x^4+bx^3+2/x^3+x-2=2，则a=（1/2），b=（-1/2）。 2.设y=ex+sin3x，则y'=（e+3cos3x）。 3.f(x)在x处连续是f(x)在点x可微的（必要）条件。 4.不定积分∫(2+3x)^3dx=(1/3)*(2+3x)^4+C。 5.函数y=x^3+2x+1在区间[-∞,+∞]内单调增加。 三．解答题（每题6分，共42分） 1.求极限lim(1+2+…+n)/n=(n+1)/ 2. 2.求极限limx→0 (x-sin(x))/x^3=1/6. 3.设函数y=y(x)由方程ey+xy=e所确定，求y'(-1)=1/e。 4.设函数y=3-2x^2+sinx，则y''(-π/2)=2. 5.求不定积分∫(1+x)/(1+x+x^2)dx=ln|1+x+x^2|+C，求dy/dx。 6.求曲线x=acos(t)。y=bsin(t)在t=π/4处的切线方程，其 中a=1.b=2. 7.求不定积分∫x^4lnxdx=(1/5)*x^5*lnx-(1/25)*x^5+C。 四、（本题满分10分）求函数y=2x^3-3x^2的极值与函 数曲线的拐点。 解：y'=6x(1-x)，令y'=0得x=0或x=1，y(0)=0，y(1)=-1，y''=6-12x，当x=1/2时，y''<0，所以x=1/2是函数y=2x^3-3x^2 的极大值点，x=0是函数y=2x^3-3x^2的极小值点。当x=2/3时，y''<0，所以函数y=2x^3-3x^2在x=2/3处有拐点。 五、（本题满分10分）要造一圆柱形油罐，体积为V， 问底半径r和高h等于多少时，才能使表面积最小？这时底半 径r与高h的比是多少？ 解：设圆柱底半径为r，高为h，则圆柱表面积为 S=2πr^2+2πrh，体积为V=πr^2h，由V=πr^2h得h=V/(πr^2)， 代入S=2πr^2+2πrh中得S=2πr^2+2V/r，令S' = 4πr-2V/r^2=0 得r^3=V/(2π)，所以r=(V/(2π))^(1/3)，代入h=V/(πr^2)中得 h=2r，所以底半径r与高h的比为1:2^(1/3)。 六、（本题满分8分）设函数f(x)在[a,b]上连续且满足 a 证明：在区间[a,b]上，由于ab，故f(x)-x在区间[a,b]上的符号与f(a)-a和f(b)-b的符号相反。又因为f(x)在(a,b)内可导 且满足f'(x)<1，所以f(x)-x在(a,b)内单调递减，因此f(x)-x=0在(a,b)内有且仅有一个根。 一、单项选择题 1.当x→0时，xsin(1/x)为无穷小量。 2.方程x3-3x+1=0在(0,1)内有唯一实根。 3.若f'(x)=sin(x)，则f(x)的一个原函数是1-cos(x)。 4.已知f(x)=x3+ax2+bx在x=1处有极值-2，则常数a,b的值为a=-2，b=1. 5.极限lim((1/x)5+x^-a)(x→0)(a≠0,b≠0)的值为 bbbe^(ln(b/a))。 二、填空题 1.当a=1时，limf(x)(x→∞)存在。 2.不定积分∫(1/x)(1+ln(x))dx=ln(x)+xln(x)-x+C。 3.已知f'(3)=3，则lim(f(3+2h)-f(3))/h(h→0)=6. 4.曲线y=x4-6x2+3x的凸区间为(-∞,-1]∪[1,∞)。 5.函数y=x+2cos(x)在区间[0,π/2]上的最大值为2+2√2. 三、解答题 1.lim(-x)/(xe^-1+1)=lim(-x)/(xe^-1)+lim(-x)/1=-1/e。 2.当x≠2时，y=(x-2)/(x-2)=1，间断点为x=2，是可去间断点。 3.y=xlim(t→∞)(t+x)/t^2，dy/dx=lim(t→∞)(1/x)(t/(t+x)- 1/t^2)=-1/x。 4.y'=cos(x)+xsin(x)+4. 5.e+y+xy'=e，y'=(e-e^(x+1))/x。 6.∫e^xdx=e^x+C。 四、求曲线y=xt^2,x=2(1-t),y=1-t在t=1处的曲率。 由公式k=|y''|/(1+y'^2)^(3/2)，可得y''=2x，y'=-2/(1-t)， x'=2，x''=0，代入公式可得k=2/(1-t)^(3/2)。 五、设f'(sin(x))=cos(2x)+tan(x)，求f(x)。 由复合函数求导法则可得 f'(x)=cos(2arcsin(x))+tan(arcsin(x))，令u=arcsin(x)，则 f'(x)=cos(2u)+tan(u)，代入x=sin(x)可得 f'(sin(x))=cos(2x)+tan(x)，因此 f(x)=∫(cos(2arcsin(x))+tan(arcsin(x)))dx=∫(2x^2-1)/(1-x^2)dx=-x-2ln|1-x^2|+C。 六、在曲线y=ln(x)(2≤x≤4)上求一点P，使过点P的切线与直线x=2,x=4及ox轴所围成的梯形的面积最小。 设点P为(x,ln(x))，则过点P的切线斜率为1/x，与 x=2,x=4及ox轴交点分别为(2,ln(2))，(4,ln(4))和(0,0)。设梯形的高为h，底边长为b，则由面积公式可得 S=h(b1+b2)/2=h(2+4+2x)=2h+4hx，由于点P在曲线上，因此满足y=ln(x)，即h=ln(x)-x，代入S可得S=2ln(x)-2x+4ln(x)-4x+2ln(x)-2x=8ln(x)-8x。对S求导可得S'=8/x-8=8(1/x-1)，令S'=0可得x=1，因此点P为(1,0)。 七、证明当x>0时，e+sin(x)<1+x。 由XXX展开可得e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+。因此 e+sin(x)0，sin(x)>-1，因此e+sin(x)0时)，证毕。 八、（本题满分5分） 设$f(x)=g(x)h(x)$，其中$h(x)$在$a$的某邻域内连续，$g(x)$在点$a$处可导。 且$g'(a)=A,g(a)=0$。试求$f'(a)$。 答案： 根据乘积法则，有$f'(a)=g'(a)h(a)+g(a)h'(a)=Ah(a)$。因为$g(a)=0$，所以$f'(a)=0$。 1.原式 $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n}{n+12}=1$。 2.法一：$y=ex\ln x$，所以$\frac{dy}{dx}=ex\ln x(\ln x+1)=x(\ln x+1)$。法二：$\ln y=x\ln x$，两边求导得 $\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=\ln x+1$，即$\frac{dy}{dx}=y(\ln x+1)=x(\ln x+1)$。因此，$\frac{dy}{dx}=x(\ln x+1)$。 3.$F(x)=\int \cos x\,dx=\sin x+C$，$F(0)=0$，代入得 $C=0$，即$F(x)=\sin x$。$\int xF(x)\,dx=\int x\sin x\,dx=-\int x\,d\cos x=-x\cos x+\int \cos x\,dx=-x\cos x+\sin x+C$。 4.令$1-x=t$，则$x=1-t$，$dx=-dt$，$\int \frac{2-x}{1- x^2}\,dx=\int \frac{2-(1-t)}{t^2}\cdot(-dt)=\int \frac{1- t}{t^2+1}\,dt=-2\arctan t+C=-2\arctan (1-x)+C$。 5.函数的定义域为$(-\infty,+\infty)$。$y'=3x-3=3(x- 1)(x+1)$，令$y'=0$得$x=-1,1$，$y''=6x$，令$y''=0$得$x=0$。 因此，$x=-1,0,1$是关键点。法一：列出增减表。 x。| $(-\infty,-1)$ | $-1$ | $(-1,0)$ | $0$ | $(0,1)$ | $1$ | $(1,+\infty)$ | y'$。| $-$。| $0$。| $+$。| $0$ | $-$。| $0$ | $+$。| y''$。| $+$。| $-$。| $-$。| $0$ | $+$。| $+$ | $+$。| y$。| $\nearrow$。| $2$。| $\searrow$ | $0$ | $\searrow$ | $- 2$ | $\nearrow$。| 因此，极大值$y(-1)=2$，极小值$y(1)=-2$，拐点$(0,0)$。 法二：$y''(-1)=-60$，所以极小值$y(1)=-2$；$y'''=6\neq 0$，所以$(0,0)$为拐点。 6.盒子的高为$h=x\tan 30^\circ=\frac{3}{\sqrt{3}}x=x\sqrt{3}$，底面边长为$a-2x$， 三角形的高为$(a-2x)\sin 60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}(a-2x)$。因此，盒子的容积为$V=x(a-2x)^2$，$0 $V'=2x(a-2x)(-2)+x(2a-4x)\cdot 2=2x(3a-10x)$，令$V'=0$得 $x=\frac{3a}{10}$，$V''(x)=6a-20x$，$V''(\frac{3a}{10})=- 6a<0$，所以$x=\frac{3a}{10}$时容积最大，最大值为 $V(\frac{3a}{10})=\frac{27}{1000}a^3$。 7.(1) 当$\alpha>0$时，$\lim\limits_{x\to\alpha}|\frac{\sin x}{x-\alpha}|\leq 1$，因此 $\lim\limits_{x\to\alpha}f(x)=\lim\limits_{x\to\alpha}\sin\frac{1} {x-\alpha}=\sin\frac{1}{\alpha}$，即$f(x)$在$x=\alpha$处连续。当$\alpha\leq 0$时，$\lim\limits_{x\to\alpha}\sin\frac{1}{x- \alpha}$不存在，因此$f(x)$在$x=\alpha$处不连续。 2) $f'(x)=\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(x+h)- f(x)}{h}=\lim\limits_{h\to 0}\frac{\sin\frac{1}{x+h}- \sin\frac{1}{x}}{h}=\lim\limits_{h\to 0}\frac{2\cos\frac{1}{x+h}\sin\frac{1}{2(x+h)}\sin\frac{1}{2x}} {h}$。当$\alpha>1$时，$\lim\limits_{x\to\alpha}\frac{1}{x- \alpha}=0$，因此$\lim\limits_{h\to 0}\cos\frac{1}{x+h}=\cos\frac{1}{\alpha}$，$\lim\limits_{h\to 0}\sin\frac{1}{2(x+h)}=\sin\frac{1}{2\alpha}$， $\lim\limits_{h\to 0}\sin\frac{1}{2x}=\sin\frac{1}{2\alpha}$，因 此$f'(\alpha)=\lim\limits_{h\to 0}\frac{2\cos\frac{1}{x+h}\sin\frac{1}{2(x+h)}\sin\frac{1}{2x}} {h}=\cos\frac{1}{\alpha}$。当$\alpha\leq 1$时，$f'(x)$不存在。因此，当$\alpha>1$时，$f(x)$在$x=\alpha$处可导。 七、证明：对于函数$f(x)=\tan x$，在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导。根据拉格朗日中值定理，存在$\xi\in(a,b)$，使 得$$\tan b-\tan a=\sec^2\xi\cdot(b-a)$$ 由于 $\frac{1}{2}\pi\cos\xi>\cos b$，于是有$$\frac{b-a}{2\cos a\cos b}<\tan b-\tan a<\frac{b-a}{2\cos a\cos b}$$ 八、证明：对于函数$f(x)$，当$x\to x_0$时， $\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)}{x}=l$，则有$$\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{x^2}=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{x}\cdot\frac{1}{x}=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)- f(x_0)}{x-x_0}\cdot\frac{x_0}{x^2}=\frac{l}{x_0}$$ 根据题意，有$$\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}=1$$ 则$$\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x^2}=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}\cdot\frac{1}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)- f(0)}{x}\cdot\frac{1}{x}=\frac{1}{2}f''(0)$$ 又因为$$\lim_{x\to 0}\frac{1+f(x)}{1+x}=e^2$$ 所以$$\lim_{x\to 0}\frac{1+f(x)}{1+x}=e^2=\lim_{x\to 0}\frac{1+f(x)}{1+x}\cdot\frac{x}{f(x)}\cdot\frac{f(x)}{x^2}=2$ $ 即$$\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x^2}=2$$ 综上所述，有 $$\lim_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{x-x_0}=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)- f(x_0)}{x-x_0}\cdot\frac{1}{x-x_0}=f''(x_0)$$ 因此， $$\lim_{x\to 2}\frac{f'(x)}{x-2}=f''(2)=2$$ 1.lnxdx=∫4^5 xdx= [(5ln5-5)-(4ln4-4)]=5ln5-5- 4ln4+4=x(5lnx-1)+C，其中C为常数。 2.函数y=x^3-3x+1在(0,1)内有唯一实根。证明过程如下： y'=3x^2-3，令y'=0，得x=±1，其中x=1是极小值点，x=- 1是极大值点。 y''=6x，y''(1)=6>0，说明x=1是极小值点。 又因为y(0)=1>0，y(1)=-1<0，由介值定理可知在(0,1)内 至少存在一个实根。 由于y(x)在(0,1)内是连续函数，且y(0)>0，y(1)<0，因此 在(0,1)内只有一个实根。 3.若f'(x)=sinx，则f(x)的一个原函数是-cosx+C，其中C 为常数。 证明：当$x>0$时，考虑函数$f(x)=e^x-\frac{1}{2}x^2-1- \sin x$，则$f'(x)=e^x-x-\cos x$，$f''(x)=e^x+\sin x$。当 $x>0$时，$f''(x)>0$，所以$f'(x)$在$x>0$时单调递增，且 $f'(0)=0$。所以$f(x)$在$x>0$时单调递增，且$f(0)=0$。因此， 当$x>0$时，$f(x)>0$，即$e^x-\frac{1}{2}x^2-1>\sin x$。移项得$e^x+\sin x>1+\frac{1}{2}x^2$，即$e^x+\sin x0$时， $e^x+\sin x<1+\frac{1}{2}x^2$，即$e^x+\sin x<1+\frac{1}{2}x^2$。证毕。 大一第二学期高等数学期中考试试卷 一、填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分），请将合适的答案填在空中。 1、已知球面的一条直径的两个端点为()532，，-和()314-，，，则该球面的方程为______________________ 2、函数ln(u x =在点(1,0,1)A 处沿点A 指向点(3,2,2)B -方向的方向导数为 3、曲面22z x y =+与平面240x y z +-=平行的切平面方程为 4、 22 22222 (,)(0,0) (1cos())sin lim ()e x y x y x y xy x y +→-+=+ 5、设二元函数y x xy z 3 2 +=，则 =???y x z 2_______________ 二、选择填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）。以下每道题有四个答案，其中只有一个答案是正确的，请选出合适的答案填在空中，多选无效。 1、旋转曲面1222=--z y x 是（ ） （A ）．xOz 坐标面上的双曲线绕Ox 轴旋转而成； （B ）．xOy 坐标面上的双曲线绕Oz 轴旋转而成； （C ）．xOy 坐标面上的椭圆绕Oz 轴旋转而成； （D ）．xOz 坐标面上的椭圆绕Ox 轴旋转而成． 2、微分方程23cos 2x x x y y +=+''的一个特解应具有形式（ ） 其中3212211,,,,,,d d d b a b a 都是待定常数. (A).2 12211sin )(cos )(x d x b x a x x b x a x ++++; (B).322 12211sin )(cos )(d x d x d x b x a x x b x a x ++++++; (C).322 12211)sin cos )((d x d x d x b x a b x a x +++++; (D).322 111)sin )(cos (d x d x d x x b x a x +++++ 3、已知直线π 22122 : -= += -z y x L 与平面4 2:=-+z y x ππ,则 （ ） (A).L 在π内; (B).L 与π不相交; (C).L 与π正交; (D).L 与π斜交. 4、下列说法正确的是（ ） (A) 两向量a r 与b r 平行的充要条件是存在唯一的实数λ，使得b a λ=r r ； (B) 二元函数()y x f z ,=的两个二阶偏导数22x z ??,22y z ??在区域D 内连续，则在该区 域内两个二阶混合偏导必相等； 一．填空题（每小题4分，5题共20分）： 1． . 2． . 3．设函数由方程确定，则. 4. 设 可导，且， ，则. 5．微分方程 的通解为. 二．选择题（每小题4分，4题共16分）： 1．设常数，则函数 在 内零点的个数为（ B ）. (A) 3个; (B) 2个; (C) 1个; (D) 0个. 2． 微分方程 的特解形式为 （ C ） （A ） ； （B ） ； （C ） ； （D ） 3．下列结论不一定成立的是 （ A ） (A) 若,则必有; (B) 若在上可积,则; (C) 若 是周期为的连续函数,则对任意常数都有; (D) 若可积函数为奇函数,则也为奇函数. 4. 设, 则是的（ C ）. (A) 连续点; (B) 可去间断点; (C) 跳跃间断点; (D) 无穷间断点. 三．计算题（每小题6分，5题共30分）： 1．计算定积分. 解： -------2 -------2 1 lim()x x x e x →-= 2 1 e ()() 1 2005 1 1x x x x e e dx --+-= ?e 4 ()y y x =2 1 x y t e dt x +-=?0 x dy dx == 1-e ()x f 1 ()() x tf t dt f x =?1)0(=f ()=x f 22 1x e 044=+'+''y y y x e x C C y 221)(-+=0>k k e x x x f +- =ln )(),0(∞+x y y 2cos 34=+''cos2y A x *=cos2y Ax x *=cos2sin2y Ax x Bx x *=+x A y 2sin *=[][]b a d c ,,?()()??≤b a d c dx x f dx x f 0)(≥x f []b a ,()0b a f x dx ≥?()x f T a ()()??+=T T a a dx x f dx x f 0 ()x f ()0x t f t dt ?()x x e e x f 11 321++= 0=x ) (x f ?-2 032 dx e x x ?? ?----===2 02 020 322121,2 t t x tde dt te dx e x t x 则设? ????? --=?--200221dt e te t t 考生注意：所有答案（包括填空题）按试题序号写在答题纸上，写在试卷上不给分 一、 填空题(本题共8小题，每小题4分，满分32分) (1)已知{1,1,1},{0,2,1}a b ==-r r ，则a prj b =r r _________. (2) 原点O 关于平面3270x y z +-+=对称点P 的坐标为_________. (3) 曲面2 cos()0x xy yz x +++=在点(0,1,1)-处的切平面方程为 . (4) 函数?? ???=+≠++=0 ,00,),(22224 22 y x y x y x xy y x f 在点（0，0）处的连续性为______. (5) 设()y z f xy x = ，其中函数f 可微，则 x z z y x y ??+??= . (6) 设),(y x f 为连续函数，2 2 2 :t y x D ≤+，则=I ??=+ →D t d y x f t σπ),(1 lim 2 . (7) 设Ω为曲面0,12 2 =--=z y x z 所围成的立体，如果将三重积分???Ω =dv z y x f I ),,(化为先对z 再对y 最后对x 三次积分，则I= . (8) 设k D 是圆域{} 22(,)|1D x y x y =+≤位于第k 象限的部分，记 ()k k D I y x dxdy =-??(1,2,3,4)k =，若0k I >，则k =___________. 二、 计算题（本题共2小题，每小题6分，满分12分） (1) 求过点M(3, 1, -2)且通过直线1 2354z y x =+= -的平面方程. (2) 求曲线?????-==+2 22 2 y x z xy e z 在点)0,1,1(处的切线方程. 三 、计算题（本题共2小题，每小题7分，满分14分） (1) 求2 2 )(4),(y x y x y x f ---=的极值. (2) 设f (u , v )有一阶连续偏导数，()() xy ,y x f z cos 2 2 -=，??sin cos r y ,r x ==， 求 ?????z r z ,，并证明：()xy v z y u z x z r r z sin 2sin 1cos ??-??=??-?????. 四、计算题（本题共2小题，每小题7分，满分14分） (1) 计算 σd y x y D ??-22, 其中D 是由直线y =x 、x =1及y =0围成的闭区域. 高等数学期中考试试卷及答案 XXX2005-2006学年第一学期高等数学期中考试试卷 一、判断题（每题2分，共10分） 1、若数列{x_n}收敛，数列{y_n}发散，则数列{x_n+y_n}发散。（×） 2、limf(x)存在的充分必要条件是limf(x+)和limf(x-)都存在。（×） 3、limx→1 sin(πx/2) = limx→1 πx/2 = π/2.（√） 4、limx→∞ sinx/x = 0.（√） 5、若f(x)在闭区间[a,b]上有定义，在开区间(a,b)内连续，且f(a)·f(b)<0，则f(x)在(a,b)内有零点。（√） 二、填空题（每题2分，共10分） 1、已知f'(3)=2，则lim(h→0) [f(3-h)-f(3)]/h = 2.（答案为2） 2、y=π+xn+arctan(x)，则y'|x=1 = n+1.（答案为n+1） 3、曲线y=e^x在点(0,1)处的切线与连接曲线上两点 (0,1),(1,e)的弦平行。（答案为(1.e^1)） 4、函数y=ln[arctan(1-x)]，则dy/dx = -1/(x^2-2x+2)。（答案为-1/(x^2-2x+2)） 5、当x→0时，1-cosx是x的阶一无穷小。（答案为 x^2/2） 三、单项选择题（每题2分，共10分） 1、数列有界是数列收敛的(必要条件)。 2、f(x)在x=x处有定义是limx→x f(x)存在的(必要条件)。 3、若函数f(x)=(x-1)^2/2(x+1)，则limx→1 f(x)≠f(1)。(以 上等式都不成立) 4、下列命题中正确的是(无界变量必为无穷大)。 5、lim(n→∞) (1+1/n)^n+1000的值是(e^1000)。 四、计算下列极限（每题6分，共18分） 1、lim(x+1-x^-1) = 2. 2、lim(x→+∞) [sec(x)-cos(x)]/x = 0. 高等数学（上）期中考试试卷1 高等数学（上）期中考试试卷1 一、选择题（每题5分，共30分） 1. 设函数f(x) = 2x^3 + ax^2 + bx + 3，若f(x)的导函数为f'(x) = 6x^2 + 2ax + b，则a的值为（） A. 2 B. -2 C. 3 D. -3 2. 函数y = x^3 - 3x^2 + 2x + k的图像必经过的点为（） A. (-1, -1) B. (1, -1) C. (2, 2) D. (-2, 2) 3. 设函数y = e^x + a，若a = 1，求y在x = 0处的切线方程为（） A. y = x + 2 B. y = 2x + 1 C. y = x + 1 D. y = 2x + 2 4. 函数y = a^x在点(0, b)处的切线方程为y = x + 1，求a和b的值。 A. a = 1, b = 1 B. a = e, b = e C. a = 2, b = 2 D. a = e, b = 1 5. 函数y = ln(x)在点(1, 0)处的切线方程为y = 2x - 2，求曲线在x = 1处的切线方程。 A. y = x B. y = x - 1 C. y = 2x - 1 D. y = 2x 6. 函数y = cos(x)在区间[0, π/2]上的最小值为（） A. -1 B. -√2/2 C. -1/2 D. 0 二、计算题（共70分） 1. 求函数y = 2x^3 - 3x^2 + 4x在区间[0, 2]上的定积分。 2. 求曲线y = x^2 - 2x的长度。 3. 求函数y = 2x^3 - 3x^2 + 4x的最大值和最小值，并求出取得最大值和最小值的点。 4. 求函数y = ln(x)与y = x的交点坐标。 5. 已知函数y = e^x满足条件∫(1, a) y dx = 5，求a的值。 6. 求函数y = x^2 - 2在区间[-2, 2]上的平均值。 华南理工大学期中考试 2021-2021学年第二学期?高等数学?期中考试试卷 考前须知：1. 考试形式：闭卷； ．本试卷总分值100分，考试时间90分钟。 . 解答以下各题 (每题5分,共20分) 设函数(),z z x y =由方程,0y z F x x ⎛⎫ = ⎪⎝⎭ 确定，其中F 为可微函数，且20F '≠，求z z x y x y ∂∂+∂∂ (),z z x y =是由方程()2 2 x y z x y z ϕ+-=++所确定的函数，其中ϕ具有二阶导数，且 1'≠-.求dz . (),arctan x f x y y =在点()0,1处的梯度. 设P 为椭球面222:1S x y z yz ++-=上的一动点，假设S 在点P 处的切平面与xoy 面垂直，P 的轨迹C 。 . 解答以下各题 (每题10分,共30分) ()() 22 ,2ln f x y x y y y =++的极值 (),u f x y =具有二阶连续偏导数，且满足等式2222241250u u u x x y y ∂∂∂++=∂∂∂∂。确定的 ,b 值，使等式在变换,x ay x by ξη=+=+下简化为20u ξη ∂=∂∂ ．曲线22220 :35 x y z C x y z ⎧+-=⎨++=⎩，求C 上距离xOy 面最远的点和最近的点。 三. 解答以下各题 (每题8分，共32分) ８．设函数(),f x y 连续，交换二次积分的积分次序：()1 22 ,y dy f x y dx -⎰ ⎰. ９．设函数f 连续，假设() 22,uv D f x y F u v +=，其中区域D 为第一象限222 1x y u ≤+≤与0arctan y v x ≤≤的局部，求F u ∂∂ １０．计算二重积分 () 3 D x y dxdy +⎰⎰，其中 D 由曲线x = 与直线0x =及 0x = 围成。 11.计算二重积分2sin D I r θ= ⎰⎰，其中(),0sec ,04D r r πθθθ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭. 四. 解答以下各题 (每题9分,共18分) 12.求位于两球面()2 2224x y z ++-=和()2 22 11x y z ++-=之间的均匀物体的质心. 13. 计算由22 12,0,0x y x y z xy ≤+≤≥≤≤所确定的立体的体积. 《高等数学（Ⅰ）》试卷 学院：______ 班级：_____学号：________姓名：________任课教师：_____ 一、选择题（每题2分，共16分） 1、 下列极限存在的是…………………………………………………………( ) （A ） x x 21l i m ∞ →（B ） 1310 lim -→x x （C ） e x 1 l i m ∞→ （D ） x x 3lim ∞ → 2、0)(lim =→x f a x ，∞=→)(lim x g a x ，则下列不正确的是…………………………( ) （A ） ∞=+→)]()([lim x g x f a x （B ） ∞=→)]()([lim x g x f a x （C ） 0][lim )()(1=+→x g x f a x （D ） 0)](/)(lim[=→x g x f a x 3、,0)(lim >=→A x f a x ,0)(lim <=→B x g a x 则下列正确的是…………………………( ) （A ） f (x )>0, （B ） g(x )<0, （C ） f (x )>g (x ) （D ）存在a 的一个空心邻域，使f (x )g (x )<0。 4、已知， ,2lim ) (0 =→x x f x 则=→) 2x (sin3x 0 lim f x ………………………………………………( ) （A ） 2/3, （B ） 3/2 （C ） 3/4 （D ） 不能确定。 5、若函数在[1，2]上连续，则下列关于函数在此区间上的叙述，不正确的是……（ ） （A ） 有最大值 （B ） 有界 （C ） 有零点 （D ）有最小值 6、下列对于函数y =x cos x 的叙述，正确的一个是………………………………………( ) （A ）有界，且是当x 趋于无穷时的无穷大，（B ）有界，但不是当x 趋于无穷时的无穷大， （C ） 无界，且是当x 趋于无穷时的无穷大，（D ）无界，但不是当x 趋于无穷时的无穷大。 7、下列叙述正确的一个是……………………………………………………………（ ） （A ）函数在某点有极限，则函数必有界；（B ）若数列有界，则数列必有极限； （C ） 若,2lim ) 2()2(0 =--→h h f h f h 则函数在0处必有导数，（D ）函数在0x 可导，则在0x 必连续。 8、 当0→x 时，下列不与2 x 等价的无穷小量为…………………………………（ ） （A ）)1(cos -x （B ）2 arcsin x （C ）)1ln(2 x + (D) 12 -x e 《高等数学(A)II 》期中试卷及答案 一、选择和填空题（共10题，每题4分，共40分） 1. 函数22 22 220(,) 0 0xy x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩ 在O (0,0)处【 】. A. 极限存在 B. 连续 C. 偏导数存在 D. 可微 2. 设(,)0,cx az cy bz Φ--=Φ具连续偏导数，则z z a b x y ∂∂+=∂∂【 】. A. a B. b C. c D. a +b +c 3. 由2sin xy z e xy =+确定的(,)z z x y =在点(0,1)处梯度为【 】. A. (2,1) B. (1,2) C. (2,0) D. (0,2) 4.设D 是直线,0,y x y x π===所围成的闭区域，则sin d d D x x y x =⎰⎰【 】. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 设(,)()cos()xy f x y y y x y π=-++, 则(0,)x f π'=【 】 6．已知函数f(x,y)在点(0,0)连续，且lim x→0y→0 f (x,y )x 2+y 2=1，则f(0,0)【 】. A. 不是极值 B. 是极小值 C. 是极大值 D. 无法判断是否为极值 7. 设33124(4)(65)L I x xy dx x y y dy λ-=++-⎰与路径L 无关，则λ=【 】. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 8. 二次积分21 10x y e dx dy -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ ⎰⎰【 】. A. 11 (1)2e -- B. 1(1)2e - C. 11(1)2e -- D. 1(1)2 e - 9．曲面1(1)arctan x z e y y x +=+-上点(0,1,e )处的法线方程为【 】. A. 0ex ey z +-= B. (1)()0ex e y z e +---= 大一下学期高等数学期中考试试卷及答案 一、选择题（共40题，每题2分，共80分） 1. 计算∫(4x-3)dx的结果是： A. 2x^2 - 3x + C B. 2x^2 - 3x + 4 C. 2x^2 - 3x + 1 D. 2x^2 - 3x 答案：A 2. 曲线y = 2x^3 经过点(1, 2)，则函数y = 2x^3的导数为： A. 2x^2 B. 6x^2 C. 6x D. 2x 答案：D 3. 若a,b为实数，且a ≠ 0，则 |a|b 的值等于： A. a B. ab C. 1 D. b 答案：B 4. 设函数f(x) = x^2 + 2x + 1，g(x) = 2x - 1，则f(g(-2))的值为： A. 19 B. 17 C. 16 D. 15 答案：C 5. 已知√2是无理数，则2-√2是： A. 有理数 B. 无理数 C. 整数 D. 分数 答案：A 二、填空题（共5题，每题4分，共20分） 1. 设函数f(x) = 3x^2 - 2x + 1，则f'(1)的值为____。 答案：4 2. 已知函数f(x) = 4x^2 + ax + 3，若其图像与x轴有两个交点，则a 的取值范围是____。 答案：(-∞, 9/4) ∪ (9/4, +∞) 3. 三角形ABC中，AB = AC，角A的度数为α，则角B的度数为 ____。 答案：(180°-α)/2 4. 若函数y = f(x)在点x = 2处的导数存在，则f(x)在点x = 2处____。 答案：连续 5. 若直线y = kx + 2与曲线y = x^2交于两个点，则k的取值范围是 ____。 答案：(-∞, 1) ∪ (1, +∞) 三、解答题（共5题，每题20分，共100分） 1. 计算∫(e^x+1)/(e^x-1)dx。 解： 令u = e^x-1，则du = e^xdx。 原积分变为∫(1/u)du = ln|u| + C = ln|e^x-1| + C。 2. 求函数y = x^3 + 2x^2 - 5x的驻点和拐点。 解： XXX《高等数学(A)》期中试卷(含答案) 的区域为圆盘D，半径为t。根据题意，有： lim t x2y2t2 f(x2y2)dxdy t4 lim t Df(x2y2)dxdy t4 lim t 2 t(t2r2) f(r2) rdrd t4 lim t 2 t(t2r2) f(r2) rdr t4 lim t 2 t(1(r/t)2) f(r2) rdr t2 令u=r/t，则上式变为：lim t 2 t(1u2) f(t2u2) tdu t2 2 1(1u2) f(u2t2) du 2 2f(0)lim t0 1(1u2) du 2 f(0) 因此，所求极限为f(0)。 2、解： eydydx = ∫e^x [y]0^1 dx = ∫e^x (3x) dx = 3∫x e^x dx 3[xe^x - ∫e^x dx] = 3xe^x - 3e^x + C 因此，所求积分为3xe^x - 3e^x + C。 3、解： 根据题意，有： xyz + x^2 + y^2 + z^2 = 2 对两边同时求全微分，得： zdx + ydx + 2xdy + 2zdz = 0 因此，有： dz = -(zdx + ydx + 2xdy) / (2z) 在点(1.0.-1)处，有： z = f(x。y) = 1 - x^2 - y^2 y = 0，dx = 1，有： dz| (1,0,-1) = -dx / 2 = -1/2 因此，所求导数为-1/2. 4、解： 根据题意，有： D: y = 4 - x^2.y = 2x - x^2.x + y = 0 将y = 4 - x^2和y = 2x - x^2相减，得： 2x - 4 = 0 因此，x = 2，y = -2.将其带入原式，有： D (x^2 + y^2) dxdy = ∫0^2 ∫2x-x^2^4-x^2 dxdy 0^2 [(2x^3/3 - 2x^5/5) - (x^5/5 - x^7/21)] dx 16/15 因此，所求积分为16/15. 5、解： 高等数学II 期中试卷 一、选择题（每小题3分，共计 15 分） 1、函数⎪ ⎩ ⎪⎨⎧=+≠++=000),(222222y x y x y x xy y x f 在（0，0）点 。 (A )．连续，偏导函数都存在； (B )．不连续，偏导函数都存在； (C )．不连续，偏导函数都不存在； (D )．连续，偏导函数都不存在。 2、二重积分⎰⎰D xydxdy （其中D ：10,02≤≤≤≤x x y ）的值为 。 (A )． 6 1 ； (B )． 12 1； (C )． 2 1 ； (D )． 4 1。 3、设f 为可微函数，)(bz y f az x -=-，则=∂∂+∂∂y z b x z a 。 (A )．1； (B )．a ； (C )．b ； (D )．b a +。 4、设D 是以原点为圆心，R 为半径的圆围成的闭区域，则⎰⎰ D d xy σ = 。 (A )．44R ； (B )．34R ； (C )．24 R ； (D )．4R 。 5、设),(y x f 在10 10≤≤-≤≤x x y D ,:上连续，则二重积分⎰⎰D y x f σd ),(表示 成极坐标系下的二次积分的形式为 。 (A )． 1 2 0 d (cos ,sin )d f r r r r π θθθ⎰ ⎰； (B )． cos sin 2 0 0 d (cos ,sin )d f r r r r π θθ θθθ+⎰⎰ ； (C ) ． 1cos 2 0 d (cos ,sin )d f r r r r π θ θθθ-⎰ ⎰ ； (D )．1 2cos sin 0 0 d (cos ,sin )d f r r r r π θθθθθ+⎰ ⎰ 。 1 / 2 大一上学期高数期中考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题 4分, 共16 分) 1. )(0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()() x x αβ与是等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的 无穷小. 3 4 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5 =+→x x x sin 20 )31(lim . 6 ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =⋅⎰x x x x f d cos )(则 7. lim (cos cos cos )→∞-+++=22221n n n n n n ππ ππ . 8 设x e f x +='1)(， 则=)(x f 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10 .d )1(177 x x x x ⎰+-求 11 求 x x x x x c b a 1 0)3(lim ++→ )0,0,0(>>>c b a 12 x x x sin 1(sin lim -++∞ →） 13 判别间断的类型，对可去间断点，将间断点去掉。 设 x e x f -+=11 11 )( 四、 解答题（本大题7分） 14将一个边长为a 的正方形铁皮，从每个角截去同样的小方块，然后把四边折起来，能做 成一个无盖的方盒，为了使这个方盒的体积最大，问应截去多少。 五、解答题（本大题7分） 15、已知)(x f 是周期为5的连续函数，它在0=x 的某个邻域内满足关系式 )(8)sin 1(3)sin 1(x o x x f x f +=--+ 且)(x f 在1=x 处可导，求曲线)(x f y =在点))6(,6(f 处的切线方程。 六、证明题（本大题有2小题，每小题7分，共14分） 16、（本小题7分） 设)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，在开区间),(b a 内可导，且， 0)1()0(==f f ，1)2 1(=f ，证明：存在)1,0(∈ξ，使1)(='ξf 17、（本小题7分）设)(x f 在区间[]1,1-上具有三阶连续导数，且1)1(,0)1(==-f f ， 0)0(='f ，证明：在（-1,1）内至少存在一点ξ，使3)(='''ξf ---精心整理，希望对您有所帮助 广东工业大学试卷用纸，共 5 页，第 1 页 一、填空题（每题3分分） ．已知{4,3,4}a =-在向量{2,2,1}b =t e e x ,sin cos == 广东工业大学试卷用纸，共 5 页，第 2 页 广东工业大学试卷用纸，共 5 页，第 3 页 解：两边微分得 )()(21y z d f x z d f dx '+'= 2分 2 221y z d y y d z f x z d x x d z f dx -'+-' = 5分 整理得 dx f y x f xy f z x dx f y x f xy f zy y x dz 2 2 122222121222)('+'' +'+''+= 6分 四、计算下列各题（每题7分，共28分） １．计算 D x ⎰⎰，其中Ｄ是由曲线.10y x y x ===及所围成的区域 : 20 3 1 441 2 00:1112 (1)3121231 1)18 y D x x dx y y ====+=-⎰⎰⎰ ⎰⎰⎰解 ２．计算 ⎰⎰D dxdy xy }1,max{，其中}20,20),{(≤≤≤≤=y x y x D ．解：曲线1=xy 把区域D 分成三个区域1D 、2D 和3D 21,221: 1≤≤≤≤y x x D ；x y x D 10,221:2≤≤≤≤；20,2 1 0:3≤≤≤≤y x D 2分 ⎰⎰D dxdy xy }1,max{＝dxdy xy D ⎰⎰1 ＋⎰⎰2 D dxdy ＋⎰⎰3 D dxdy ＝ 2 1 21 2 2 12122 1⨯ ++⎰⎰⎰⎰x x dy dx xydy dx 6分 ＝ 2ln 4 19 + 7分 ３．设Ω是曲线⎩ ⎨⎧==022x z y 绕z 轴旋转一周而成的曲面与平面8=z 围成的空间区域，求 1. （24分 每小题6分）求下列数列或函数的极限 (1) 1 lim (1)n n n n →∞++; (2) x x x x sin )1(e ) 31ln(lim 2230--→; (3) 13 21(lim +∞ →-x x x ）； (4) x x x x e 1(lim 10-+→） 解 （1）因为n 1 1(1n)n n n =≤+≤= 因为1 ln lim lim 01x x x x x →+∞→+∞==，则11 ln 0lim lim e e 1x x x n x x x →+∞→+∞====. 由夹逼极限准则，得1 lim (1)1n n n n →∞+=. （2）因为当0x →时，33ln(13)~3x x --，2e 1~2x x -，sin ~x x ，因此， 3322200ln(13)33lim lim (e 1)sin (2)4 x x x x x x x x →→--==--⋅. （3）2223 13 3 3 2 222lim (1lim (1lim (11e e x x x x x x x x -+- - -→∞→∞→∞⎡⎤ -=-⋅-=⋅=⎢⎥ ⎣⎦ ）））. （4）1 1220001 l n(1) (1e (1)l n(1) 1lim lim(1e lim (1) x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→⋅ -++--+++=+=⋅+）） 0ln(1)e e lim 22 x x x →-+=⋅=-。 另解：1ln(1)ln(1) 10000ln(1)1(1e e e e 1lim lim e lim e lim x x x x x x x x x x x x x x x x ++-→→→→+-+---==⋅=⋅） 200011 ln(1)e 1e lim e lim e lim 22(1)2 x x x x x x x x x x x →→→-+--+=⋅=⋅=⋅=-+. 2. （24分 每小题6分）计算下列函数的导数或微分 (1) 设2arctan ln(1)x t y t =⎧⎨=+⎩ ，求22d d d d x y x y ，； (2) 设x x y e 1tan +=，求y d ； (3) x x y cos22 =，求） （100y ； (4) 求由方程 0sin 2 1 =+-y y x 所确定的隐函数的二阶导数22d d x y 。大一下学期高等数学期中考试试卷及答案
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