2020-2021太原五中高三数学上期中试题(含答案)
一、选择题
1.已知首项为正数的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若1008a 和1009a 是方程
2201720180x x --=的两根,则使0n S >成立的正整数n 的最大值是( )
A .1008
B .1009
C .2016
D .2017
2.已知数列{}n a 的首项11a =,数列{}n b 为等比数列,且1
n n n
a b a +=
.若10112b b =,则21a =( )
A .92
B .102
C .112
D .122
3.在ABC V 中,4
ABC π
∠=
,AB =
3BC =,则sin BAC ∠=( )
A
B
C
D
4.已知AB AC ⊥u u u v u u u v ,1AB t
=u u u
v ,AC t =u u u v ,若P 点是ABC V 所在平面内一点,且4AB AC AP AB AC
=+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ,则·PB PC u u u v u u u v 的最大值等于( ). A .13
B .15
C .19
D .21
5.已知数列{a n } 满足a 1=1,且111
()(233
n n n a a n -=+≥,且n ∈N*),则数列{a n }的通项公式为( )
A .32
n
n a n =+
B .2
3
n n n a +=
C .a n =n+2
D .a n =( n+2)·3n
6.已知:0x >,0y >,且21
1x y
+=,若222x y m m +>+恒成立,则实数m 的取值范围是( ) A .()4,2- B .(][),42,-∞-+∞U C .()
2,4-
D .(][),24,-∞-?+∞
7.已知数列{an}的通项公式为an =2()3
n
n 则数列{an}中的最大项为( ) A .89
B .23
C .
6481
D .
125
243
8.若a ,b ,c ,d∈R,则下列说法正确的是( ) A .若a >b ,c >d ,则ac >bd
B .若a >b ,c >d ,则a+c >b+d
C .若a >b >0,c >d >0,则
c d a b
> D .若a >b ,c >d ,则a ﹣c >b ﹣d
9.在ABC V 中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,S 表示ABC V 的面积,若
cos cos sin ,c B b C a A += ()
22234
S b a c =+-,则B ∠=
A .90?
B .60?
C .45?
D .30?
10.等比数列{}n a 的前三项和313S =,若123,2,a a a +成等差数列,则公比q =( ) A .3或13
- B .-3或
13
C .3或
13
D .-3或13
-
11.“中国剩余定理”又称“孙子定理”1852年英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数问题的解法传至欧洲.1874年,英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理,因而西方称之为“中国剩余定理”“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题,现有这样一个整除问题:将1至2019中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列,构成数列{}n a ,则此数列的项数为( ) A .134
B .135
C .136
D .137
12.已知4
2
1
3332,3,25a b c ===,则 A .b a c << B .a b c << C .b c a <<
D .c a b <<
二、填空题
13.已知数列{}n a 、{}n b 均为等差数列,且前n 项和分别为n S 和n T ,若
321
n n S n T n +=+,则4
4
a b =_____. 14.在ABC ?中,,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边,若
3
2sin sin sin ,cos 5
B A
C B =+=
,且6ABC S ?=,则b =__________. 15.已知
的三边长分别为3,5,7,则该三角形的外接圆半径等于_________.
16.已知实数,x y 满足102010x y x y x y ++≥??
-≥??--≤?
,则目标函数2z x y =+的最大值为____.
17.已知关于x 的一元二次不等式ax 2
+2x+b >0的解集为{x|x≠c},则227
a b a c
+++(其中
a+c≠0)的取值范围为_____.
18.已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 3=
3
2,S 3=92
,则a 1的值为________.
19.设
是定义在上恒不为零的函数,对任意
,都有,若
,
,
,则数列
的前项和
的取值范围是__________.
20.已知无穷等比数列{}n a 的各项和为4,则首项1a 的取值范围是__________.
三、解答题
21.已知数列{}n a 的前n 项和22
n n n
S +=.
(1)求数列{}n a 通项公式; (2)令1
1
n n n b a a +=
,求数列{}n b 的前n 项和n T . 22.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,各项为正的等比数列{}n b 的前n 项和为n T ,
11a =-,11b =,222a b +=.
(1)若335a b +=,求{}n b 的通项公式; (2)若321T =,求3S
23.如图,A ,B 是海面上位于东西方向相距()
533+海里的两个观测点,现位于A 点北偏东45°,B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号,位于B 点南偏西60°且与B 点相距203海里的C 点的救援船立即即前往营救,其航行速度为30海里/小时,该救援船
到达D 点需要多长时间?
24.设数列的前项和为,且.
(1)求数列的通项公式; (2)设
,求数列
的前项和
.
25.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且211a =,7161S =. (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)若1
1
n n n b a a +=
,求数列{}n b 的前n 项和n T . 26.如图,Rt ABC V 中,,1,32
B AB B
C π
=
==点,M N 分别在边AB 和AC 上,将
AMN V 沿MN 翻折,使AMN V 变为A MN '△,且顶点'A 落在边BC 上,设AMN θ∠=
(1)用θ表示线段AM 的长度,并写出θ的取值范围; (2)求线段CN 长度的最大值以及此时A MN '△的面积,
【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除
一、选择题 1.C 解析:C 【解析】
依题意知100810091008100920170,20180a a a a +=>=-<,Q 数列的首项为正数,
()()120161008100910081009201620162016
0,0,02
2
a a a a a a S +?+?∴>∴=
=,
()1201720171009
2017201702
a a S a
+?=
=?<,∴使0n S >成立的正整数n 的最大值是
2016,故选C.
2.B
解析:B 【解析】 【分析】
由已知条件推导出a n =b 1b 2…b n-1,由此利用b 10b 11=2,根据等比数列的性质能求出a 21. 【详解】
数列{a n }的首项a 1=1,数列{b n }为等比数列,且1
n n n
a b a +=, ∴3212212a a b a b a a ==
,=4312341233
a
a b b b a b b b a ∴=∴=,,=,, …101211011211220120219101122n n a b b b b b a b b b b b b b b b -=?=∴=?=????=Q ,
,()()() . 故选B .
本题考查数列的第21项的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意递公式和等比数列的性质的合理运用.
3.C
解析:C 【解析】
试题分析:由余弦定理得2
29223cos
5,54
b b π
=+-???==.由正弦定理得
35
sin sin
4
BAC π=
∠310sin BAC ∠=. 考点:解三角形.
4.A
解析:A 【解析】
以A 为坐标原点,建立平面直角坐标系,如图所示,则1(,0)B t
,(0,)C t ,
10)4(0,1)(1,4)AP =+=u u u r (,,即14)P (,,所以1
14)PB t
=--u u u r (,,14)PC t =--u u u r (,,因
此PB PC ?u u u r u u u r
11416t t =--+117(4)t t =-+,因为11
4244t t t t
+≥?=,所以PB PC ?u u u r u u u r 的最大值等于
13,当1
4t t =,即12
t =时取等号.
考点:1、平面向量数量积;2、基本不等式.
5.B
解析:B
试题分析:由题可知,将111
()(233
n n n a a n -=
+≥,两边同时除以,得出
,运用累加法,解得
,整理得2
3
n n n a +=
; 考点:累加法求数列通项公式
6.A
解析:A 【解析】 【分析】
若2
22x y m m +>+恒成立,则2x y +的最小值大于22m m +,利用均值定理及“1”的代换求得2x y +的最小值,进而求解即可. 【详解】 由题,因为
21
1x y
+=,0x >,0y >, 所以()214422242448x y x y
x y x y y x y x ??++=+++≥+?=+= ???
,当且仅当4x y y x =,即
4x =,2y =时等号成立,
因为2
22x y m m +>+恒成立,则228m m +<,即2280m m +-<,解得42m -<<, 故选:A 【点睛】
本题考查均值不等式中“1”的代换的应用,考查利用均值定理求最值,考查不等式恒成立问题.
7.A
解析:A 【解析】
解法一 a n +1-a n =(n +1)
n +1
-n
n
=·
n
,
当n <2时,a n +1-a n >0,即a n +1>a n ; 当n =2时,a n +1-a n =0,即a n +1=a n ; 当n >2时,a n +1-a n <0,即a n +1a 4>a 5>…>a n ,
所以数列{a n }中的最大项为a 2或a 3,且a 2=a 3=2×
2
=.故选A.
解法二 ==
,
令
>1,解得n <2;令=1,解得n =2;令
<1,解得n >2.又a n >0,
故a 1a 4>a 5>…>a n ,
所以数列{a n }中的最大项为a 2或a 3,且a 2=a 3=2×
2
=.故选A.
8.B
解析:B 【解析】 【分析】
利用不等式的性质和通过举反例否定一个命题即可得出结果. 【详解】
A 项,虽然41,12>->-,但是42->-不成立,所以不正确;
B 项,利用不等式的同向可加性得知,其正确,所以成立,即B 正确;
C 项,虽然320,210>>>>,但是
32
21
>不成立,所以C 不正确; D 项,虽然41,23>>-,但是24>不成立,所以D 不正确; 故选B. 【点睛】
该题考查的是有关正确命题的选择问题,涉及到的知识点有不等式的性质,对应的解题的方法是不正确的举出反例即可,属于简单题目.
9.D
解析:D 【解析】 【分析】
由正弦定理,两角和的正弦函数公式化简已知等式可得sin A =1,即A =900,由余弦定理、三角形面积公式可求角C ,从而得到B 的值. 【详解】
由正弦定理及cos cos sin ,c B b C a A +=得2
sin cos sin cos sin ,C B B C A +=
()2sin sin sin 1C B A A ?+=?=,因为000180A <<,所以090A =;
由余弦定理、三角形面积公式及)
2223S b a c =
+-,得13sin 2cos 2ab C ab C =, 整理得tan 3C =,又00090C <<,所以060C =,故030B =. 故选D 【点睛】
本题考查正、余弦定理、两角和的正弦公式、三角形面积公式在解三角形中的综合应用,考查计算能力和转化思想,属于中档题.
10.C
解析:C 【解析】
很明显等比数列的公比1q ≠,由题意可得:(
)2
31113S a q q
=++=,①
且:()21322a a a +=+,即()2
11122a q a a q +=+,②
①②联立可得:113a q =??=?或1
9
13a q =???=??
,
综上可得:公比q =3或1
3
. 本题选择C 选项.
11.B
解析:B 【解析】 【分析】
由题意得出1514n a n =-,求出15142019n a n =-≤,即可得出数列的项数. 【详解】
因为能被3除余1且被5除余1的数就是能被15整除余1的数,故1514n a n =-.由
15142019n a n =-≤得135n ≤,故此数列的项数为135,故答案为B.
【点睛】
本题主要考查阅读能力及建模能力、转化与化归思想及等差数列的通项公式及数学的转化与化归思想.属于中等题.
12.A
解析:A 【解析】 【分析】 【详解】
因为4
2
2
2
33332=4,3,5a b c ===,且幂函数2