高三数学第一轮复习——数列
一、知识梳理
数列概念
1. 数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项 .
2. 通项公式：如果数列a
n
的第 n 项与序号之间可以用一个式子表示
, 那么这个公式叫做这个数列的
通项公式，即 a n
f (n) .
3. 递推公式：如果已知数列
a n 的第一项（或前几项） ，且任何一项 a n 与它的前一项 a n 1 （或前几
项）间的关系可以用一个式子来表示，即
a n f (a n 1 ) 或 a n f (a n 1, a n 2 ) ，那么这个式子叫做数 列
a n 的递推公式 . 如数列 a n 中， a 1 1, a n 2a n 1，其中 a n 2a n 1 是数列 a n 的递推 公式 . 数列的前 n 项和与通项的公式
4.
① S n a 1 a 2
a n ； ② a n
S 1 (n 1)
S n
.
S n 1 (n 2)
5. 数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法
.
6. 数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列，无界
数列 .
①递增数列 : 对于任何 n N , 均有 a n 1 a n .
②递减数列 : 对于任何
n
N , 均有 a n 1
a n .
③摆动数列 : 例如 :1,1, 1,1, 1, .
④常数数列 : 例如 :6,6,6,6, .
⑤有界数列 : 存在正数 M
使
a n
M , n
N
.
⑥无界数列 : 对于任何正数
M ,
总有项
a n 使得 a n M .
等差数列
1. 等差数列的概念
如果一个数列从第二项起， 每一项与它前一项的差等于同一个常数 称为等差数列的公差 .
d ，这个数列叫做等差数列，
常数 d
2. 通项公式与前 n 项和公式
⑴通项公式
a n
a 1 (n 1) d ，
a 1 为首项， d 为公差 .
⑵前 n 项和公式
S n
n(a 1
a n ) 或 S n na 1
1
n(n 1) d .
2
2
3. 等差中项
如果 a, A, b 成等差数列，那么
A 叫做 a 与 b 的等差中项 .
即： A 是 a 与 b 的等差中项
2 A a b
a ， A ，
b 成等差数列 .
4. 等差数列的判定方法
⑴定义法： a n 1
a n d （ n
N ， d 是常数）
a n 是等差数列；
⑵中项法：
2a n 1a n
a n 2 ( n
N )
a n
是等差数列 .
5. 等差数列的常用性质
⑴数列
a n 是等差数列，则数列 a n p 、 pa n
（ p 是常数）都是等差数列；
⑵在等差数列 a n
中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即
a n , a n k , a n
2k
, a
n 3k ,
为等
差数列，公差为
kd .
⑶
n
m
( ) a n an b a b
S n an 2
bn (
, b
是常数，
a 0
)
a a
n m d ；
( ,
是常数 ) ；
a
( , , ,
q N
) ，则
m
a
n a p
a
q ；
⑷若
m n p q m n p
a
⑸若等差数列
a n
的前 n 项和 S n ，则
S n 是等差数列；
n
⑹当项数为
2n (n
N ) ，则 偶
奇
S
偶
a n 1 ；
S
Snd,
a n
S
奇
当项数为 2
n
1(n N ) ，则
奇
偶
a n , S 偶 n 1 .
S S
S 奇 n
等比数列
1. 等比数列的概念
如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数 q( q 0) ，这个数列叫做等比数
列，常数 q 称为等比数列的公比 .
2. 通项公式与前 n 项和公式 ⑴通项公式： a
n a 1
q n
1 ， a 1为首项， q 为公比 .
⑵前 n 项和公式：①当 q
1
时，
S n
na 1
②当 q 1 时， S n
a 1 (1 q n ) a 1 a n q .
1 q 1 q
3. 等比中项
如果 a, G,b 成等比数列，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项 .
即： G 是 a 与 b 的等差中项
a ， A ，
b 成等差数列G 2
a b .
4. 等比数列的判定方法
⑴定义法：
a n 1
q （
n N ， q
0是常数）
a n
是等比数列；
a n
2
a n a n 2 (
n N
) 且 a n 0
a n
⑵中项法： a n 1
是等比数列 .
5. 等比数列的常用性质
⑴数列 a
n 是等比数列，则数列 pa n 、 pa n
（ q
0 是常数）都是等比数列；
⑵在等比数列 a n 中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即 a n , a n k , a n 2k , a n 3k ,为等
比数列，公比为
q k .
⑶ a n a m q
n m
(n, m N )
( , , , q N
) ，则 a a n
a p a q ；
⑷若 m n p q m n p
m
⑸若等比数列
a n 的前 n 项和 S n ，则 S k 、 S 2k S k 、
S 3 k S 2 k 、 S 4 k
S 3k 是等比数列 .
二、典型例题
A 、求值类的计算题（多关于等差等比数列）
1）根据基本量求解（方程的思想）
1、 已知 S n 为等差数列 a n 的前 n 项和， a 4
9, a 9 6, S n 63 ，求 n ；
2、等差数列
a n 中， a 4 10 且 a 3， a 6， a 10 成等比数列，求数列 a n 前 20 项的和 S 20 ．
3、设 a n 是公比为正数的等比数列，若 a 1 1, a 5 16 ，求数列 a n 前 7 项的和 .
4、已知四个实数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为 37 ，中间两数之和为 36 ，求这四个数 .
2）根据数列的性质求解（整体思想）
1、已知 S n 为等差数列
a n 的前 n 项和， a 6 100 ，则 S 11
；
2 、设 S n 、 T n 分别是等差数列
a n 、 a n 的前 n 项和， S n
7n
2 ，则 a
5 .
T n n 3 b 5 3、设 S n 是等差数列 a n 的前 n 项和，若
a 5
5
,
S
9
（
）
a 3
9
S 5
4 、等差数列 { a n } , {b n } 的前 n 项和分别为 S n , T n ,若
S n
2n ,则 a n
=（ ）
T n 3n 1 b n
5 、已知 S n 为等差数列 a n 的前 n 项和， S n
m, S m n(n m) ，则 S m n
.
6、在正项等比数列 a n 中， a 1a 5 2a 3a 5 a 3a 7 25 ，则 a 3 a 5
_____ __。
7、已知数列
a n 是等差数列，若
a 4a
7
a
10
17 , a 4
a 5 a 6
L
a
12
a
13
a
14
77 且 a k 13 , 则 k _________。 8 、已知 S n 为等比数列 a n 前 n 项和， S n 54 ， S 2 n
60 ，则 S 3 n
.
9、在等差数列 a n 中，若 S 4
1, S 8 4 ，则 a 17
a 18 a 19 a 20 的值为（
） 10、在等比数列中，已知
a 9 a
10 a(a
0) ， a 19
a
20
b ，则 a 99
a
100
.
11、已知 a n 为等差数列， a 15 8,a 60
20 ，则 a 75
12、等差数列
a n 中，已知
S 4
1 , 求 S 8 .
S 8
3
S
16
B 、求数列通 公式
1） 给出前几项，求通项公式
1,0,1,0,??
1,3,6,10,15,21, ,
3，-33,333 ，-3333,33333 ??
2）给出前n 项和求通项公式
1、⑴ S
2
n2n
3
n
1.
n
3 ；⑵ S n
2、设数列a n满足a13a232a3?+3n-1a n n
(n N * ) ，求数列a n的通项公式3
3）给出递推公式求通项公式
a、⑴已知关系式a n 1 a n f (n) ，可利用迭加法或迭代法；
a n (a n a n 1 ) (a n 1a n 2 ) (a n 2a n 3 )(a2a1 ) a1
例：已知数列a n中， a12, a n a n 12n 1(n2) ，求数列a n的通项公式；b、已知关系式a n 1a n f (n) ，可利用迭乘法. a n a n a n 1a n2a3a2a1
a n 1 a n 2a n 3a2a1
例、已知数列a n满足：
a n n1
2), a1 2
，求求数列
a n的通项公式；
n
( n
a
n 11
c、构造新数列
1°递推关系形如“a
n 1pa n q ”，利用待定系数法求解
例、已知数列a n中， a11, a n12a n3，求数列a n的通项公式 .
2°递推关系形如“，两边同除
p n 1或待定系数法求解
例、
a1 1, a n 1 2a n 3n，求数列 a n的通项公式.
3°递推已知数列a n中，关系形如“ a n 2p a n 1q a n”，利用待定系数法求解例、已知数列 a n中， a1 1, a2 2, a n 23a n 12a n，求数列 a n的通项公式.
4°递推关系形如 " a n pa n 1qa n a n（1 p,q0) ,两边同除以 a n a n 1
例 1、已知数列a n中， a n a n 1 2a n a n（1n 2),a 1 2 ，求数列a n的通项公式.
例 2、数列a n中，a12, a n 1
2a
n ( n N ) ，求数列a
n的通项公式.
4 a n
d 、给出关于S n和 a m的关系
例 1、设数列a n的前 n 项和为 S n，已知 a1a, a n 1S n3n (n N ) ，设 b n S n3n，求数列b n的通项公式．
例 2、设S n是数列a n的前 n 项和，a11，S n2a n S n 1
(n 2) . 2
⑴求 a n的通项；
S n
，求数列b n的前 n 项和 T n.
⑵设 b n
2n1
C、证明数列是等差或等比数列
1)证明数列等差
例 1、已知S n为等差数列a n的前n 项和， b n S n
n
(n N ) .求证：数列b n是等差数列.
例 2、已知数列 { a n n，且满足nnn－ 111的前 n 项和为 S a +2S · S =（ n≥ 2）， a = .
1
2 } 是等差数列；
求证： {
S n
2）证明数列等比
例 1、设 { a n} 是等差数列， b n＝1
2
a n
，求证：数列{ b n} 是等比数列；
例2、数列 { a n} 的前 n 项和为 S n，数列 { b n} 中，若 a n+S n=n.设 c n=a n－1，求证：数列 { c n} 是等比数列；
例 3、已知S n为数列a n的前n项和，a11， S n4a n 2 .
⑴设数列b n中， b n a n1 2a n，求证： b n是等比数列；
⑵设数列c n中， c n a n，求证：c n是等差数列；⑶求数列a n的通项公式及前
2n
n 项和.
例 4、设S n为数列a n的前 n 项和，已知ba n2n b 1 S n
⑴证明：当 b 2时，
a n n 2n 1是等比数列；
⑵求 a n的通项公式
例 5、已知数列
a n 满足 a 1 1,a 2 3,a n 2 3a n 1 2a n (n N * ).
⑴证明：数列
a n 1 a n 是等比数列；
⑵求数列 a n 的通项公式；
⑶若数列
b n 满足 4b 1
14b 2
1...4b n
1
(a n
1)b n (n
N * ), 证明 b n 是等差数列
.
D 、求数列的前 n 项和
基本方法：
1）公式法， 2）拆解求和法 .
例 1、求数列 {2 n 2n 3} 的前 n 项和 S n .
例 2、求数列
1 ， 1 ， 1
， ，
1
)， 的前 n 项和 S n .
1
2
3
( n
2n
2 4 8
例 3、求和： 2× 5+3× 6+4× 7+ +n （n+3 ）
2 ） 裂 项 相 消 法 ， 数 列 的 常 见 拆 项 有 ：
1
1 (1 1
) ；
n( n k )
k n
n k
1
n
1 n ；
n
n 1
例 1、求和： S=1+
1
1
1
1 2 1 2 3 1 2 3 n
例 3、 求和：
1
1
1
1 .
2
1
3 2
43
n 1
n
3）倒序相加法，
例、设 f ( x)
x2
2 ，求：1x
⑴ f ( 41 ) f ( 31 ) f ( 21 ) f (2) f ( 3) f (4) ；
⑵ f ( 20101 ) f ( 20091 ) f ( 31 ) f ( 21 ) f (2) f (2009) f ( 2010).
4）错位相减法，
3n，求此数列的前
例、若数列 a n的通项 a n(2n 1)n 项和 S n.
5）对于数列等差和等比混合数列分组求和
2的前 n 项和T .
例、已知数列 { a } 的前 n 项和 S =12n－ n ，求数列 {| a |}
n n n n
E、数列单调性最值问题
例 1、数列a n中，a n2n49 ，当数列 a n的前 n 项和 S n取得最小值时， n.例 2、已知S n为等差数列a n的前 n 项和，a125, a4 16. 当n为何值时，S n取得最大值；
例 4、数列a n中，a n3n228n 1，求 a n取最小值时 n 的值.
例 5、数列a n中， a n n n 2 2 ，求数列a n的最大项和最小项.
例 5、设数列a n的前 n 项和为 S n．已知 a1 a ， a n 1S n 3n， n N *．（Ⅰ）设 b n S n3n，求数列b n的通项公式；
（Ⅱ）若 a n1≥ a n， n N *，求 a 的取值范围．
例6、已知
⑴求数列⑵数列 a n
S n为数列a n的前 n 项和，a1 3 ，S n S n 12a n (n2) .
a n的通项公式；
中是否存在正整数k ，使得不等式a k a k 1对任意不小于k 的正整数都成立？
若存在，求最小的正整数k ，若不存在，说明理由.
例 7、非等比数列{ a n}中，前 n 项和S n 1
(a n1)2，
（ 1）求数列{ a n}的通项公式；
4
（ 2）设b n
1
b2L b n，是否存在最大的整数m，使得对任意( n N*) ，T n b1
n(3a n )
的 n 均有T n m
总成立？若存在，求出m；若不存在，请说明理由。32
F、有关数列的实际问题
例1、用砖砌墙 , 第一层 ( 底层 ) 用去了全部砖块的一半多一块 , 第二层用去了剩下的一半多一块 ,依次类推 , 每一层都用去了上次剩下的砖块的一半多一块 , 到第十层恰好把砖块用完，问共用了多少块 ?
例 2、 2002 年底某县的绿化面积占全县总面积的40 ％，从2003年开始 , 计划每年将非绿化面积的
8％绿化 , 由于修路和盖房等用地 , 原有绿化面积的2％被非绿化 .
1,2002 年底绿化面积为a14
a n 1,试用
⑴设该县的总面积为, 经过n年后绿化的面积为
10
a n表示
a n 1；
⑵求数列 a n的第n1项 a n 1；
⑶至少需要多少年的努力, 才能使绿化率超过60%(参考数据 : lg 20.3010, lg 30.4771 )
假如单以金钱来算,我在香港第六、七名还排不上,我这样说是有事实根据的.但我认为,富有的人要看他是怎么做.照我现在的做法我为自己内心感到富足,这是肯定的. 求数列通项专题高三数学复习教学设计 海南华侨中学邓建书 课题名称 求数列通项（高三数学第二阶段复习总第1课时） 科目 高三数学 年级 高三（5）班 教学时间 2009年4月10日 学习者分析 数列通项是高考的重点内容 必须调动学生的积极让他们掌握！ 教学目标 一、情感态度与价值观 1. 培养化归思想、应用意识. 2.通过对数列通项公式的研究 体会从特殊到一般 又到特殊的认识事物规律 培养学生主动探索 勇于发现的求知精神 二、过程与方法 1. 问题教学法------用递推关系法求数列通项公式 2. 讲练结合-----从函数、方程的观点看通项公式 三、知识与技能 1. 培养学生观察分析、猜想归纳、应用公式的能力； 2. 在领会函数与数列关系的前提下 渗透函数、方程的思想 教学重点、难点 1.重点：用递推关系法求数列通项公式 2.难点：（１）递推关系法求数列通项公式（２）由前n项和求数列通项公式时注意检验第一项（首项）是否满足 若不满足必须写成分段函数形式；若满足
则应统一成一个式子. 教学资源 多媒体幻灯 教学过程 教学活动1 复习导入 第一组问题： 数列满足下列条件 求数列的通项公式 （1）；（2） 由递推关系知道已知数列是等差或等比数列即可用公式求出通项 第二组问题：[学生讨论变式] 数列满足下列条件 求数列的通项公式 （1）；（2）； 解题方法：观察递推关系的结构特征 可以利用"累加法"或"累乘法"求出通项 （3） 解题方法：观察递推关系的结构特征 联想到"？=？)" 可以构造一个新的等比数列 从而间接求出通项 教学活动2 变式探究 变式1：数列中 求 思路：设 由待定系数法解出常数
课题: §2.1数列的概念与简单表示法 授课类型：新授课 备课人： ●教学目标 知识与技能：理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的一个通项公式；了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列的递推公式写出数列的前几项； 过程与方法：通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培养学生的观察能力和抽象概括能力． 情感态度与价值观：通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。 ●教学重点 了解数列的概念和简单表示法，了解数列是一种特殊函数，体会数列是反映自然规律的数学模型 ●教学难点 将数列作为一种特殊函数去认识，了解数列与函数之间的关系，根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 （引言）数产生于人类社会的生产、生活需要，它是描绘静态下物体的量，因此，在人类社会发展的历程中，离不开对数的研究，在这一背景下产生数列。数列是刻画离散现象的函数，是一种重要的数学模型。人们往往通过离散现象认识连续现象，因此就有必要研究数列 三角形数：1，3，6，10，… 正方形数：1，4，9，16，25，… Ⅱ.讲授新课 ⒈ 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列. 注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列； ⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现. ⒉ 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，…. 例如，上述例子均是数列，其中①中，“4”是这个数列的第1项（或首项），“9”是这个数列中的第6项. ⒊数列的一般形式：ΛΛ,,,,,321n a a a a ，或简记为{}n a ，其中n a 是数列的第n 项 结合上述例子，帮助学生理解数列及项的定义. ②中，这是一个数列，它的首项是“1”，
一、等差数列选择题 1．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足() 12n n n S +=，则数列11n n a a +?????? 的前10项的和为（ ） A ． 89 B ． 910 C ．10 11 D ． 1112 2．南宋数学家杨辉《详解九张算法》和《算法通变本末》中，提出垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差不相等，但是逐项差数之差或者高次成等差数列.在杨辉之后一般称为“块积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别1，7，15，27，45，71，107，则该数列的第8项为（ ） A ．161 B ．155 C ．141 D ．139 3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若S 2=8，38522a a a +=+，则a 1等于（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4．等差数列{}n a 中，22a =，公差2d =，则10S =（ ） A ．200 B ．100 C ．90 D ．80 5．中国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何?” 意思是:“现有一根金锤，长五尺，一头粗一头细.在粗的一端截下一尺，重四斤;在细的一端截下一尺，重二斤.问依次每一尺各重几斤?”根据已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，中间三尺的重量为（ ） A ．3斤 B ．6斤 C ．9斤 D ．12斤 6．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，15a =，且满足 122527 n n a a n n +-=--，若p ，*q ∈N ，p q >，则p q S S -的最小值为（ ） A ．6- B ．2- C ．1- D ．0 7．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差1d =，且62 10S S ，则34a a +=（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 8．定义 12n n p p p ++ +为n 个正数12,, ,n p p p 的“均倒数”，若已知数列{}n a 的前 n 项的“均倒数”为 12n ，又2n n a b =，则1223 910 111 b b b b b b +++ =（ ） A ． 8 17 B ． 1021 C ． 1123 D ． 9 19 9．题目文件丢失！ 10．为了参加学校的长跑比赛，省锡中高二年级小李同学制定了一个为期15天的训练计划.
高三数学数列专题复习题含答案 一、选择题 1.等比数列{}n a 中，12a =，8a =4，函数 ()128()()()f x x x a x a x a =---L ，则()'0f =（ ） A ．62 B. 92 C. 122 D. 152 【答案】C 【解析】考查多项式函数的导数公式，重点考查学生创新意识，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法。考虑到求导中，含有x 项均取0，则()' 0f 只与函数()f x 的一次项 有关；得：412 123818()2a a a a a a ??==L 。 2、在等比数列{}n a 中，11a =，公比1q ≠.若12345m a a a a a a =，则m= （A ）9 （B ）10 （C ）11 （D ）12 【答案】C 3、已知{}n a 是首项为1的等比数列，n s 是{}n a 的前n 项和，且369s s =，则数列1n a ?? ???? 的前5项和为 （A ） 158或5 （B ）3116或5 （C ）3116 （D ）15 8 【答案】C 【解析】本题主要考查等比数列前n 项和公式及等比数列的性质，属于中等题。 显然q ≠1，所以3639(1q )1-=121-q 1q q q q -?+?=-，所以1{}n a 是首项为1，公比为1 2 的等比数列， 前5项和5 51 1()31211612 T -= =-. 4、已知各项均为正数的等比数列{n a }，123a a a =5，789a a a =10，则456a a a = (A) 【答案】A
【解析】由等比数列的性质知31231322()5a a a a a a a ===g ，3 7897988()a a a a a a a ===g 10,所以 13 2850a a =, 所以13 3 3 64564655 28()()(50)52a a a a a a a a a =====g 5.已知等比数列{m a }中，各项都是正数，且1a ， 321 ,22 a a 成等差数列，则91078a a a a +=+ A.12+ B. 12- C. 322+ D 322- 6、设{}n a 是任意等比数列，它的前n 项和，前2n 项和与前3n 项和分别为,,X Y Z ，则下列等式中恒成立的是 A 、2X Z Y += B 、()()Y Y X Z Z X -=- C 、2 Y XZ = D 、()()Y Y X X Z X -=- 【答案】 D 【分析】取等比数列1,2,4,令1n =得1,3,7X Y Z ===代入验算，只有选项D 满足。 8、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若111a =-,466a a +=-,则当n S 取最小值时,n 等于 A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 【答案】A 【解析】设该数列的公差为d ，则461282(11)86a a a d d +=+=?-+=-，解得2d =， 所以22(1) 11212(6)362 n n n S n n n n -=-+ ?=-=--，所以当6n =时，n S 取最小值。 9、已知等比数列{}n a 满足0,1,2,n a n >=L ，且25252(3)n n a a n -?=≥，则当1n ≥时， 2123221log log log n a a a -+++=L A. (21)n n - B. 2 (1)n + C. 2n D. 2 (1)n -
[A 基础达标] 1．下列说法中不正确的是( ) A ．数列a ，a ，a ，…是无穷数列 B ．1，－3，45 ，－7，－8，10不是一个数列 C ．数列0，－1，－2，－3，…不一定是递减数列 D ．已知数列{a n }，则{a n ＋1－a n }也是一个数列 解析：选B.A ，D 显然正确；对于B ，是按照一定的顺序排列的一列数，是数列，所以B 不正确；对于C ，数列只给出前四项，后面的项不确定，所以不一定是递减数列．故选B. 2．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1＋（－1）n ＋ 12，则该数列的前4项依次为( ) A ．1，0，1，0 B ．0，1，0，1 C.12，0，12，0 D ．2，0，2，0 解析：选A.当n 分别等于1，2，3，4时，a 1＝1，a 2＝0，a 3＝1，a 4＝0. 3．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n 2－n ，那么( ) A ．30是数列{a n }的一项 B ．44是数列{a n }的一项 C ．66是数列{a n }的一项 D ．90是数列{a n }的一项 解析：选C.分别令2n 2－n 的值为30，44，66，90，可知只有2n 2－n ＝66时，n ＝6(负值舍去)，为正整数，故66是数列{a n }的一项． 4．已知数列的通项公式是a n ＝? ????2，n ＝1，n 2－2，n ≥2，则该数列的前两项分别是( ) A ．2，4 B ．2，2 C ．2，0 D ．1，2 解析：选B.当n ＝1时，a 1＝2；当n ＝2时，a 2＝22－2＝2. 5.如图，各图形中的点的个数构成一个数列，该数列的一个通项公 式是 ( ) A ．a n ＝n 2－n ＋1 B ．a n ＝n （n －1）2 C ．a n ＝n （n ＋1）2 D ．a n ＝n （n ＋2）2 解析：选C.法一：将各图形中点的个数代入四个选项便可得到正确结果．图形中，点的个数依次为1，3，6，10，代入验证可知正确答案为C. 法二：观察各个图中点的个数，寻找相邻图形中点个数之间的关系，然后归纳一个通项公式．观察 点的个数的增加趋势可以发现，a 1＝1×22，a 2＝2×32，a 3＝3×42，a 4＝4×52，所以猜想a n ＝n （n ＋1）2 ，故选C.
第2讲数列求和及综合问题 高考定位 1.高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现，通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求数列的和，难度中档偏下；2.在考查数列运算的同时，将数列与不等式、函数交汇渗透. 真题感悟 1.(2020·全国Ⅰ卷)数列{a n}满足a n＋2＋(－1)n a n＝3n－1，前16项和为540，则a1＝________. 解析法一因为a n＋2＋(－1)n a n＝3n－1， 所以当n为偶数时，a n＋2＋a n＝3n－1， 所以a4＋a2＝5，a8＋a6＝17，a12＋a10＝29，a16＋a14＝41， 所以a2＋a4＋a6＋a8＋a10＋a12＋a14＋a16＝92. 因为数列{a n}的前16项和为540， 所以a1＋a3＋a5＋a7＋a9＋a11＋a13＋a15＝540－92＝448.① 因为当n为奇数时，a n＋2－a n＝3n－1， 所以a3－a1＝2，a7－a5＝14，a11－a9＝26，a15－a13＝38， 所以(a3＋a7＋a11＋a15)－(a1＋a5＋a9＋a13)＝80.② 由①②得a1＋a5＋a9＋a13＝184. 又a3＝a1＋2，a5＝a3＋8＝a1＋10，a7＝a5＋14＝a1＋24，a9＝a7＋20＝a1＋44，a11＝a9＋26＝a1＋70，a13＝a11＋32＝a1＋102，
所以a 1＋a 1＋10＋a 1＋44＋a 1＋102＝184，所以a 1＝7. 法二 同法一得a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＋a 11＋a 13＋a 15＝448. 当n 为奇数时，有a n ＋2－a n ＝3n －1， 由累加法得a n ＋2－a 1＝3(1＋3＋5＋…＋n )－n ＋1 2 ＝32(1＋n )·n ＋12－n ＋12＝34n 2＋n ＋1 4， 所以a n ＋2＝34n 2＋n ＋1 4＋a 1. 所以a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＋a 11＋a 13＋a 15 ＝a 1＋? ????34×12＋1＋14＋a 1＋? ????34×32＋3＋14＋a 1＋? ?? ?? 34×52＋5＋14＋a 1＋ ? ????34×72＋7＋14＋a 1＋? ????34×92＋9＋14＋a 1＋? ?? ??34×112 ＋11＋14＋a 1＋ ? ???? 34×132＋13＋14＋a 1＝8a 1＋392＝448，解得a 1＝7. 答案 7 2.(2018·全国Ⅰ卷)记S n 为数列{a n }的前n 项和.若S n ＝2a n ＋1，则S 6＝________. 解析 法一 因为S n ＝2a n ＋1，所以当n ＝1时，a 1＝2a 1＋1，解得a 1＝－1. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n ＋1－(2a n －1＋1)， 所以a n ＝2a n －1，所以数列{a n }是以－1为首项，2为公比的等比数列， 所以a n ＝－2n －1. 所以S 6＝－1×（1－26）1－2 ＝－63. 法二 由S n ＝2a n ＋1，得S 1＝2S 1＋1，所以S 1＝－1，当n ≥2时，由S n ＝2a n ＋1得S n ＝2(S n －S n －1)＋1，即S n ＝2S n －1－1，∴S n －1＝2(S n －1－1)，又S 1－1＝－2，∴{S n －1}是首项为－2，公比为2的等比数列，所以S n －1＝－2×2n －1＝－2n ，所以S n ＝1－2n ，∴S 6＝1－26＝－63.
高三文科数学数列专题 高三文科数学复习资料 ——《数列》专题 1. 等差数列{ a n}的前n项和记为S n，已知a1030, a2050 . （ 1）求通项a n； （ 2）若S n242 ，求 n ； （ 3）若b n a n20 ，求数列 { b n } 的前 n 项和 T n的最小值. 2. 等差数列{ a n}中，S n为前n项和，已知S77, S1575 . （ 1）求数列{ a n}的通项公式； （ 2）若b n S n，求数列 {b n } 的前 n 项和 T n. n 3. 已知数列{ a n}满足a1 1 a n 1 ( n 1) ，记 b n 1 ， a n . 1 2a n 1 a n （1）求证 : 数列{ b n}为等差数列； （2）求数列{ a n}的通项公式 . 4. 在数列a n 中， a n 0 ， a1 1 ，且当 n 2 时，a n 2S n S n 1 0 . 2 （ 1）求证数列1 为等差数列；S n （ 2）求数列a n的通项 a n； （ 3）当n 2时，设b n n 1 a n，求证： 1 2 (b2 b3 b n ) 1 . n 2(n 1) n 1 n 5. 等差数列{ a n}中，a18, a4 2 . （ 1）求数列{ a n}的通项公式； （ 2）设S n| a1 | | a2 || a n |，求 S n；
1 (n N *) ， T n b1 b2 b n (n N *) ，是否存在最大的整数m 使得对任（ 3）设b n n(12 a n ) 意 n N * ，均有T n m m 的值，若不存在，请说明理由. 成立，若存在，求出 32 6. 已知数列{log2(a n1)} 为等差数列，且a13, a39 . （ 1）求{ a n}的通项公式； （ 2）证明： 1 1 ... 1 1. a2 a1 a3 a2 a n 1 a n 7. 数列{ a n}满足a129, a n a n 12n 1(n 2, n N * ) . （ 1）求数列{ a n}的通项公式； （ 2）设b n a n，则 n 为何值时， { b n } 的项取得最小值，最小值为多少？n 8. 已知等差数列{ a n}的公差d大于0 , 且a2,a5是方程x2 12 x 27 0 的两根,数列 { b n } 的前 n 项和 为 T n,且 T n 1 1 b n. 2 （ 1）求数列{ a n} , { b n}的通项公式； （ 2）记c n a n b n，求证:对一切 n N 2 , 有c n. 3 9. 数列{ a n}的前n项和S n满足S n2a n 3n . （1）求数列{ a n}的通项公式a n； （2）数列{ a n}中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，请求出一组适合条件的项；若不存在，请说明理由 . 10. 已知数列{ a n}的前n项和为S n，设a n是S n与 2 的等差中项，数列{ b n} 中， b1 1，点 P(b n , b n 1 ) 在 直线 y x 2 上. （ 1）求数列{ a n} , { b n}的通项公式
高三 数学 科 数列的综合应用 （复习）学案 考纲要求：综合利用等差数列与等比数列的有关知识，解决数列综合问题和实际问题。 课前预习 一、 知识梳理 1. 解答数列应用题的步骤： 2. 数列应用题常见模型：（1）等差模型 （2）等比模型 （3）递推数列模型 二、 自我检测 1.等比数列{a n }的前 n 项和为 s n ，且 12344a 2a a a 1s ==1，，成等差数列，若，则 （ ）A 7 B 8 C 15 D 16 2．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比 数列，且c=2a ，则cosB= （ ）A 1 4 B 34 3.有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒末能在杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有1个这样的细菌和100个这样的病毒，问细菌将将病毒全部杀死至少需要（ ） A 6秒 B 7秒 C 8秒 D 9秒 4．等差数列{n a }中，n a ≠0，n ∈N +,有2 3711220,a a a -+=数列{b n }是等 比数列，且7768,b a b a ==则 （ ）A 2 B 4 C 8 D 16 5.已知三个数a 、b 、c 成等比数列，则函数f （x ）=ax 2+bx+c 的图像与x 轴公共点的个数为 6.在数列{n a }中，对任意自然数n ∈N +，1221,n a a a ++=-n …则
122 2a a ++=2n …+a 课内探究 典例讲解 题型一：性质的综合应用 例1 设{n a }为等差数列，{n b }为等比数列，112432431,,,a b a a b b b a ==+==分别求出{n a }及{n b }的前10项和1010,.S T 题型二：求通项公式 例2 在数列{n a }中，111,22.n n n a a a +==+（1）设1 ,2n n n a b -=证明数列{n b }是等差数列； （2）求n a 数列{n a }前n 项和s n 。 例3 (2009全国1，理20)在数列{n a }中，1n+1n n 1 n 1 a 1a 1a .n 2 +== ++，（） （1）设b n = n a n ，求数列{b n }的通项公式； （2）求数列{a n }的前n 项和s n .
新数学《数列》期末复习知识要点 一、选择题 1．在数列{}n a 中，若10a =，12n n a a n +-=，则23111 n a a a +++L 的值 A ． 1 n n - B ． 1 n n + C ． 1 1n n -+ D ． 1 n n + 【答案】A 【解析】 分析：由叠加法求得数列的通项公式(1)n a n n =-，进而即可求解23111 n a a a +++L 的和. 详解：由题意，数列{}n a 中，110,2n n a a a n +=-=， 则112211()()()2[12(1)](1)n n n n n a a a a a a a a n n n ---=-+-++-+=+++-=-L L ， 所以 1111 (1)1n a n n n n ==--- 所以 231111111111(1)()()12231n n a a a n n n n -+++=-+-++-=-=-L L ，故选A. 点睛：本题主要考查了数列的综合问题，其中解答中涉及到利用叠加法求解数列的通项公式和利用裂项法求解数列的和，正确选择方法和准确运算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力. 2．已知等比数列{}n a 满足13a =，13521a a a ++=，则357a a a ++=（ ） A ．21 B ．42 C ．63 D ．84 【答案】B 【解析】 由a 1+a 3+a 5=21得24242 1(1)21172a q q q q q ++=∴++=∴=∴ a 3+a 5+a 7=2 135()22142q a a a ++=?=，选B. 3．设数列{}n a 是等差数列，1356a a a ++=，76a =.则这个数列的前7项和等于（ ） A ．12 B ．21 C ．24 D ．36 【答案】B 【解析】 【分析】 根据等差数列的性质可得3a ，由等差数列求和公式可得结果. 【详解】 因为数列{}n a 是等差数列，1356a a a ++=，
数列的概念与简单表示法 一、教材与教学分析 1．数列在教材中的地位 根据新课程的标准，“数列”这一章首先通过“三角形数”、“正方形数”等大量的实例引入数列的概念，然后将数列作为一种特殊函数，介绍数列的几种简单表示法，等差数列和等比数列.这样就把生活实际与数学有机地联系在一起,这是符合人们的认识规律,让学生体会到数学就在我们身边. 作为数列的起始课，为达到新课标的要求，从一开始就培养学生的研究意识、创新意识、合作意识和应用意识，打造数列教与学的良好开端。教学中从日常生活中大量实际问题入手，探索并掌握它们的一些基本数量关系，感受数列模型的广泛应用(如存款利息、购房贷款等与人们生活联系密切的现实问题)． 2．教学任务分析 (1)了解数列的概念 新课标的教学更贴近生活实际.通过实例，引入数列的概念，理解数列的顺序性，感受数列是刻画自然规律的数学模型．了解数列的几种分类． (2)了解数列是一类离散函数，体会数列中项与序号之间的变量依赖关系． 3．教学重点与难点 重点：理解数列的概念，认识数列是反映自然规律的基本数学模型． 难点：认识数列是一种特殊的函数，发现数列与函数之间的关系． 二、教学方法与学习方法 自主学习与合作探究相结合． 三、教学情境设计 问题设计设计意图师生活动 问题一：根据实际例子，归纳数列的概念． （1）棋盘中的数学 （2）一尺之棰，日取其半，万世不竭．——《庄子》 （3）三角形数； （4）正方形数； （5）观察树枝数目； （6）餐馆一周的营业额． 从生活实例引 入，让学生认识数 列是一种重要的数 学模型． 认识数列具有 顺序性．并总结数 列的定义． 师：引导学生分析每一列数的规律，并 利用所发现的规律求出下一个数． 生：分析每一个数的规律并利用规律求 出下一个数． 师：让学生体会从实际生活中提炼出一 列数据，分析这些数据的规律，利用这些规 律解决一些实际生活问题，引出数列是一种 重要的数学模型．（板书课题——§2-1-1 数列的概念） 师：请分析六组数的共同特征，总结数 列的概念． 生：分析并找出规律，总结数列的概念： 按照一定顺序排列着的一列数称为数列． 问题二：思考下面两个问认识数列是有师：肯定学生的回答，并引导学生分析
届高三数学第二轮复习数列综合
数列综合 ★★★高考要考什么 本章主要涉及等差（比）数列的定义、通项公式、前n 项和及其性质，数列的极限、无穷等比数列的各项和．同时加强数学思想方法的应用，是历年的重点内容之一，近几年考查的力度有所增加，体现高考是以能力立意命题的原则． 高考对本专题考查比较全面、深刻，每年都不遗漏．其中小题主要考查1()a d q 、、 n n n a S 、、间相互关系，呈现“小、巧、活”的特点；大题中往往把等差（比）数列与函数、方程与不等式，解析几何 等知识结合，考查基础知识、思想方法的运用，对思维能力要求较高，注重试题的综合性，注意分类讨论． 高考中常常把数列、极限与函数、方程、不等式、解析几何等等相关内容综合在 一起，再加以导数和向量等新增内容，使数列综合题新意层出不穷．常见题型： （1）由递推公式给出数列，与其他知识交汇，考查运用递推公式进行恒等变形、推理与综合能力． （2）给出S n 与a n 的关系，求通项等，考查等价转化的数学思想与解决问题能力． （3）以函数、解析几何的知识为载体，或定义新数列，考查在新情境下知识的迁移能力． 理科生需要注意数学归纳法在数列综合题中的应用，注意不等式型的递推数列． ★ ★★ 突 破 重 难 点 【范例1】已知数列{}n a ，{}n b 满足12a =，11b =，且11 113114413144 n n n n n n a a b b a b ----?=++??? ?=++??（2n ≥） （I ）令n n n c a b =+，求数列{}n c 的通项公式； （II ）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和公式n S ．
一、等差数列选择题 1．《张丘建算经》是我国北魏时期大数学家张丘建所著，约成书于公元466-485年间.其中记载着这么一道“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，且每日增加的数量相同.已知第一日织布4尺，20日共织布232尺，则该女子织布每日增加（ ）尺 A ． 47 B ． 1629 C ． 815 D ． 45 2．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，3518a S +=，633a a =+，则n a =（ ） A ．1n - B ．n C ．21n - D ．2n 3．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列判断错误的是（ ） A ．S 5，S 10-S 5，S 15-S 10必成等差数列 B ．S 2，S 4-S 2，S 6-S 4必成等差数列 C ．S 5，S 10，S 15+S 10有可能是等差数列 D ．S 2，S 4+S 2，S 6+S 4必成等差数列 4．等差数列{},{}n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，若231 n n a n b n =+，则2121S T 的值为（ ） A ． 13 15 B ． 2335 C ． 1117 D ． 49 5．已知等差数列{}n a 前n 项和为n S ，且351024a a a ++=，则13S 的值为（ ） A ．8 B ．13 C ．26 D ．162 6．已知数列{}n a 为等差数列，2628a a +=，5943a a +=，则10a =（ ） A ．29 B ．38 C ．40 D ．58 7．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12a =，315S =，则8a =（ ） A ．11 B ．12 C ．23 D ．24 8．若两个等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且3221n n S n T n +=+，则12 15 a b =（ ） A ． 3 2 B ． 7059 C ． 7159 D ．85 9．南宋数学家杨辉《详解九张算法》和《算法通变本末》中，提出垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差不相等，但是逐项差数之差或者高次成等差数列.在杨辉之后一般称为“块积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别1，7，15，27，45，71，107，则该数列的第8项为（ ） A ．161 B ．155 C ．141 D ．139 10．已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足：21<
等比数列的概念教案 教学目标 1．理解等比数列的定义，并能以方程思想作指导，理解和运用它的通项公式． 2．逐步体会类比、归纳的思想，进一步培养学生概括、抽象思维等能力． 3．培养学生严密的思维习惯，促进个性品质的良好发展． 教学重点和难点 重点：等比数列要领的形成及通项公式的应用． 难点：对要领的深刻理解． 教学过程设计 (一)引入新课 师：前面我们已经研究了一类特殊的数列──等差数列，今天我们一起研究第二类新的数列──等比数列． (板书)三等比数列 (二)讲解新课 师：等比数列与等差数列在名字上非常类似，只有一字之差，一个是差，一个是比，你能否仿照等差数列，举列说明你对等比数列的理解． (要求学生能主动的用类比思想，通过具体例子说明对概念的理解) 生：数列1，3，9，27，… 师：你为什么认为它是等比数列呢？ 生：因为这个数列相邻两项的比都是相等的，所以是等比数列． (先引导学生用自己的语言描述等比数列的特征，但暂时不作评论，以防限制其他学生的思维) 师：这是你对等比数列的理解，不过这个例子中的项是一项比一项大，能否再举一个一项比一项小的．
师：你对等比数列的理解呢？ 生：数列中每一项与前一项的比都是同一个常数． 师：他们对等比数列理解基本相同的，能否再换个样子，举一个例子． (若理解没有什么变化，就不必让学生再重复了) 师：下面再举例子又增加点要求，既然要去研究它，说明它一定有实际应用价值，那么能否再举一个生活中的等比数列例子． 生：如生物学中细胞分裂问题：1个细胞经过一次分裂变为2个细胞，这两个细胞再继续分裂成为4个细胞．这样分裂继续下去，细胞个数从1到2到4到8，把每次分裂后所得细胞个数排列好可形成一个数列1，2，4，8，16，…这个数列就是等比数列． 师：这个例子举得很好，不仅能够发现生活中的数学问题，还能把数学知识应用在其它学科，其实等比数列的应用是非常广泛的，说明它确有很高的研究价值． 说了这么多，也发现了等比数列的特征，能否试着给等比数列下个定义呢？ 生：如果一个数列的每一项与前一项的比都等于一个常数，那么这个数列就叫做等比数列． 师：作为定义这种叙述还有一点不足，为保证这样比都作得出来，这每一项应从数列的第二项起，否则第一项没有前一项，也就做不出这个比，调整之后，再找一位同学准确描述一下等比数列． 生：如果一个数列，从第二项起．每一项与前一项的比都等于一个常数，那么这个数列叫做等比数列． 师：好，就把它作为等比数列的定义记录下来． (板书)1．定义如果一个数列，从第二项起，每一项与前一项的比都是同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做公比，记作q．
高考数学数列题型专题 汇总 公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]
高考数学数列题型专题汇总 一、选择题 1、已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且S S n n =∞ →lim .下列 条件中，使得()*∈ A ．{}n S 是等差数列 B ．2{}n S 是等差数列 C ．{}n d 是等差数列 D ．2{}n d 是等差数列 【答案】A 二、填空题 1、已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若16a =，350a a +=，则 6=S _______.. 【答案】6 2、无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意 *∈N n ，{}3,2∈n S ，则k 的最大值为________. 【答案】4 3、设等比数列{}n a 满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则a 1a 2a n 的最大值 为 . 【答案】64 4、设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2=4，a n +1=2S n +1，n ∈N *，则 a 1= ，S 5= . 【答案】1 121 数列（理） 考查内容：本小题主要考查等差数列与等比数列的通项公式及其前n 项和公式、 不等式证明等基础知识，考查分类讨论的思想方法，考查运算能力、 推理论证能力及综合分析、解决问题的能力。 1、在数列{}n a 中，11a =，122n n n a a +=+。 （1）设1 2 n n n a b -= 。证明：数列{}n b 是等差数列； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S 。 2、设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()21n n n ba b S -=- （1）证明：当2b =时，{} 12n n a n --?是等比数列； （2）求{}n a 的通项公式 3、已知数列{}n a 的首项12 3 a = ，121n n n a a a +=+，1,2,3,n =…。 （1）证明：数列? ?? ?? ?-11n a 是等比数列； （2）数列? ?? ?? ?n a n 的前n 项和n S 。 4、已知数列{}n a 满足：1±≠n a ，2 11=a ，()() 2211213n n a a -=-+，记数列21n n a b -=，221n n n c a a +=-， n N *∈。 （1）证明数列 {}n b 是等比数列； （2）求数列{}n c 的通项公式； （3）是否存在数列{}n c 的不同项k j i c c c ,,，k j i <<，使之成为等差数列？若存在请求出这样的不同项 k j i c c c ,,，k j i <<；若不存在，请说明理由。 5、已知数列{}n a 、{}n b 中，对任何正整数n 都有： 11213212122n n n n n n a b a b a b a b a b n +---+++++=--L 。 （1）若数列{}n a 是首项和公差都是1的等差数列，求证：数列{}n b 是等比数列； （2）若数列{}n b 是等比数列，数列{}n a 是否是等差数列，若是请求出通项公式，若不是请说明理由； （3）若数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 是等比数列，求证：1132 n i i i a b =<∑ 。 6、设数列{}n a 满足11a =，22a =，121 (2)3 n n n a a a --= +，(3,4,)n =L 。数列{}n b 满足11,(2,3,)n b b n ==L 是非零整数，且对任意的正整数m 和自然数k ，都有 111m m m k b b b ++-≤+++≤L 。 （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）记(1,2,)n n n c na b n ==L ，求数列{}n c 的前n 项和n S 。 7、有n 个首项都是1的等差数列，设第m 个数列的第k 项为mk a ， (,1,2,3,,, 3)m k n n =L ≥，公差为m d ，并且123,,,,n n n nn a a a a L 成等差数列。 （1）证明1122m d p d p d =+，n m ≤≤3，12,p p 是m 的多项式，并求12p p +的值； （2）当121, 3d d ==时，将数列{}m d 分组如下：123456789(), (,,), (,,,,),d d d d d d d d d L （每组数的个数构成等差数列），设前m 组中所有数之和为4()(0)m m c c >，求数列{2}m c m d 的前n 项和n S 。 （3）设N 是不超过20的正整数，当n N >时，对于（2）中的n S ，求使得不等式1 (6)50 n n S d ->成立的所有N 的值。 8、数列}{n a 的通项公式为?? ? ? ?-=3sin 3cos 22 2 ππn n n a n ，其前n 项和为n S 。 （1）求n S ； （2）设n n n n S b 4 3?= ，求数列}{n b 的前n 项和n T 。 9、数列}{n a 满足}221221,2,(1cos )sin ,1,2,3,.22 n n n n n a a a a a n ππ+===++=L 满足。 等差数列 教学目的： 1．明确等差数列的定义，掌握等差数列的通项公式； 2．会解决知道n d a a n ,,,1中的三个，求另外一个的问题 教学重点：等差数列的概念，等差数列的通项公式 教学难点：等差数列的性质 教学过程： 引入：① 5，15，25，35，… 和 ② 3000，2995，2990，2985，… 请同学们仔细观察一下，看看以上两个数列有什么共同特征？？ 共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即等差）；（误：每相邻两项的差相等-----应指明作差的顺序是后项减前项），我们给具有这种特征的数列一个名字——等差数列 二、讲解新课： 1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的 差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d ”表示） ⑴．公差d 一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求； ⑵．对于数列{n a },若n a －1-n a =d (与n 无关的数或字母)，n ≥2，n ∈N + ，则此数列是等差数列，d 为公差 2．等差数列的通项公式：d n a a n )1(1-+=【或=n a d m n a m )(-+】 等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得若一等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则据其定义可 得：d a a =-12即：d a a +=12 d a a =-23即：d a d a a 2123+=+= d a a =-34即：d a d a a 3134+=+= …… 由此归纳等差数列的通项公式可得：d n a a n )1(1-+= ∴已知一数列为等差数列，则只要知其首项1a 和公差d ，便可求得其通项a 如数列①1，2，3，4，5，6； n n a n =?-+=1)1(1（1≤n ≤6） 数列②10，8，6，4，2，…； n n a n 212)2()1(10-=-?-+=（n ≥1） 数列③ ;,1,54 ;53,52;51Λ 5 51)1(51n n a n =?-+=（n ≥1） 由上述关系还可得：d m a a m )1(1-+= 即：d m a a m )1(1--= 则：=n a d n a )1(1-+=d m n a d n d m a m m )()1()1(-+=-+-- 即的第二通项公式 =n a d m n a m )(-+ ∴ d=n m a a n m -- 如：d a d a d a d a a 43212345+=+=+=+= 三、例题讲解 例1 ⑴求等差数列8，5，2…的第20项 ⑵ -401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？ 第三章数列 ●网络体系总览 ●考点目标定位 1.知识要求：（1）理解数列的概念，了解数列通项公式的意义；了解递推公式是给出一种数列的表示方法，并能写出数列的前n项.（2）理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解决简单的问题.（3）理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解决简单的问题. 2.能力要求：培养观察能力、化归能力和解决实际应用问题的能力. ●复习方略指南 本章在历年高考中占有较大的比重，约占10%～12%，特别是2002年共计26分，占17%，2003年共计21分，占14%，2004年26分，占17%.考题类型既有选择题，也有填空题和解答题，既有容易题，也有中档题，更有难题.由于等差数列和等比数列在内容上是平行的，所以在复习时要应用对比去认识、理解、掌握数列知识. 纵观近几年的高考试题，可发现如下规律： 1.等差（比）数列的基本知识是必考内容，这类问题既有选择题、填空题，也有解答题；难度易、中、难三类皆有. 2.数列中a n与S n之间的互化关系也是高考的一个热点. 3.函数思想、方程思想、分类讨论思想等数学思想方法在解决问题中常常用到，解答试题时要注意灵活应用. 4.解答题的难度有逐年增大的趋势. 因此复习中应注意： 1.数列是一种特殊的函数，学习时要善于利用函数的思想来解决.如通项公式、前n项和公式等. 2.运用方程的思想解等差（比）数列，是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量a1、d（或q），掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算. 3.分类讨论的思想在本章尤为突出.学习时考虑问题要全面，如等比数列求和要注意q=1和q≠1两种情况等等.q a （D ）7.08.0,01-<<-
天津市高三数学总复习 综合专题 数列 理 (学生版)
(完整版)高中数学等差数列教案
高考第一轮复习数学：3.1 数列的概念
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