基于层次分析法的住房分配方案
一 引言
住房分配是一个多指标，多成员的决策问题，是多属性决策（Multiple Attribute Decision Making, 简记为MADM ）在现实中的具体应用。而解决多属性决策问题关键的环节就是确定各指标的相对权重。在确定权的方法上目前主要有层次分析法中的最大特征根法、近似计算方法中的幂法、方根法、求积法，加权平方和法以及来自信息论的熵技术等。一定的原则指导下，寻求一种较为合理、有效的方法对住房分配也就显得十分必要。层次分析法（AHP)是解决多属性决策的一种行之有效的方法。本文通过分析住房分配要素的性质和成员在各指标下的数据，利用层次分析法，结合具体实例给出了分配方案需要的排序。并在文末，检验了方案的合理性，并对个例进行了推广，使这种方法更具有通用性。
二 基本原理和方法
住房分配涉及到很多指标，诸如职称、职务、工作时间、学历、对单位贡献程度、特殊人才、奖励等。合理分配住房问题，就是根据一定的原则，分配这些指标在住房分配时的权重，实现半定性问题向定量问题的转化。由于住房分配考虑的指标多半是成员的历史信息，因此每位成员的指标信息是已知的。规范化各位成员的指标信息，结合指标权重，利用加权和法，给出每位成员的综合得分，从而实现排序的目的。在计算权重和综合成员得分上都有不同的方法。我们无法说哪一种方法更好，给出的排序方案更科学，更公正。本文在求权重时利用了最大特征根法，在综合成员得分时采用了简单加权法，从最终评价中给出综合的排序。由于定性向定量转化本身都有很大的主观性，因此我们不能从根本上实现最精确的排序。只能给出一种相对合理的排序结果。 1 指标选取
指标的选择从属性上可以分为三种类型：效益型，成本型，既非效益又非成本型。指标属性值越大越好的，称为效益型指标；指标值越小越好的称为成本型指标。无法用大小衡量好坏的属于第三类指标。在考虑住房分配时更多考虑的是效益型指标，如级别，工作时间，任职时间，学历，科研经费，奖励等。有时，也可以考虑惩罚性因素，处分扣分。还有些如爱人单位，家庭负担程度，稳定状况等既不属于效益型又不属于成本型指标。 2 指标数据的处理
针对指标属性的不同类型和各个属性的不同量纲，应用不同的变换对原始数据处理。使数据变成[]1,0区间的值，进而使数据变的规范化。具体如下，对效益型指标max
/j
ij ij y y z =，
其中ij y 为第i 个成员在第j 属性下的属性值，max j y 为第j 个属性这一列的最大值；对成本型指标，利用max /1j ij ij y y z -=处理。由于某种原因造成属性值差别较大的情况，如奖励等则采用统计平均的办法，即设定平均值M ，将方案属性的均值定位于M ，用下式
M M y y y y z j j
j ij ij +---=
--
)00.1(max ，实现归一化，其中，∑=-
=m
i ij j y m y 1
1是属性j 的均值，m 为成员的个数，M 的取值可在75.0~5.0之间。 3 属性权重的确定
根据首次提出层次分析法的美国匹次堡大学Seaty 教授的建议，把关联因素相对重要程度用1~9及其倒数表示相互比较元素的重要程度的反映，找出判断矩阵。由判断矩阵寻求属性的权重。判断矩阵的选择有很大的主观性，需要专家组对各属性集中比较各因素的相对比较。此外，还要对判断矩阵从其应有的性质和一致性作出检验，方能说明各因素间相对客观的权重。在住房分配中专家组可由住房分配小组代替，依据一定的、统一的原则，对指标体系中各因素的相对重要程度做出比较。通过对判断矩阵的调整、判断和求解，得出满足一致性的判断矩阵。在由判断矩阵求权重时常用的有四种方法：最大特征根法，加权平方和法、近似计算权重的方法，还有来自信息论的熵技术。本文为利用软件MATLAB ，采用了最大特征跟法。归一化特征向量，即可得出属性指标的具体权重值。 4 决策时的几个假设
（1）每个属性的边际价值是线形的(优劣与属性值大小成比例)，每两个属性都是相互价值独立的。即住房指标体系下各属性值的大小反映了各成员在该属性下的相对优劣程度，而指标间又是相互独立的，防止一个事实在两个指标中衡量的情况。
（2）属性间的完全可补偿性：方案的某属性无论多差都可与用其它属性来补偿，即在住房各指标体系中，成员的综合得分体现的排序结果是他们各自在各个属性下优劣互补的最终结果。
（3）假设住房分配选择的指标、计算各属性值时采取的量化方法及确定指标的相对重要程度都具有权威性，各成员对此没有异议。 5 方案的产生
根据各成员归一化的属性值和各指标的权重，利用简单加权和法求得各个成员的综合得分，达到排序的目的。
三 决策实例
某院校现行住房分配方案采用“分档次加积分”的方法，其原则是：“按职级分档次，同档次的按任职时间先后排队分配住房，任职相同时再考虑其他条件(如工龄、爱人情况、职称、年龄大小等)适当加分，从高分到低分依次排队”。我们认为这种分配方案仍存在不合理性，例如，同档次的排队主要由任职先后确定，任职早在前，任职晚在后，即便是高职称、高学历，或夫妻双方都在同一单位(干部或职工)，甚至有的为单位做出过突出贡献，但任职时间晚，则也只能排在后面。这种方案的主要问题是“按资排辈”，显然不能充分体现重视人才，鼓励先进等政策。
根据民意测验，80%以上的人认为相关条件为职级、任职时间(为任副处的时间)、工龄、职称、爱人情况、学历、年龄和奖励情况。
要解决的问题是：
请你按职级分档次，在同档次中综合考虑相关各项条件给出一种适用于任意N人的合理分配住房方案，用你的方案根据下表中的40人情况给出排队次序，并说明你的方案较原方案的合理性。
表1 40个人的基本情况统计表及按原方案排序
(一)模型分析
鉴于原来按任职先后排队的方案可能已被一部分人所接受，从某种意义上讲届有一定的
合理性，现在提出要充分体现重视人才、鼓励先进等政策，但也有照顾到原方案合理的方面，如任职时间、工作时间、年龄的因素应重点考虑。于是，可以认为相关的8项条件在解决这一问题中所起的作用是不同的，应有轻重缓急之分。因此，假设8项条件所起的作用依次为任职时间、工龄、职级、职称、爱人情况、学历、年龄和奖励情况。这样能够符合大多数人的利益。任职时间早、工龄长、职级高、高职称、双职工、高学历、年龄大、受奖多的人员都能够得到充分的体现。任何一种条件的优越，在排序中都不能是绝对的优越，需要的是综合实力的优越。
由上面的分析，首先将各项条件进行量化，为了区分各条件中的档次差异，确定量化原则如下：
将决策的时间定为1998年5月，任职时间、工作时间、出生年月均按每个月0.1分计算；职级差为1分，8级(处级)算2分,9级(副处级)算1分；职称每差一级1分，初级算1分，中级2分，高级3分；学历每差一档差1分，中专1分，大专、本科、硕士、博士、博士后分别算2、3、4、5、6分；爱人情况：院外算1分，院内职工算2分，院内干部算3分；对原奖励得分再加1分。对40人量化分数如表。
表2 40个人的量化分数表(实力表)
(二)模型建立 1． 建立层次结构：
问题的层次结构分三层，第一层为目标层(O)：综合选优排序；第二层为准则层(C)：相减条件，共有8个因素，依次为任职时间、工作时间、职级、职称、爱人情况、学历、年龄和奖励情况，分别记为(1,2,,8)k c k
= ；第三层为方案层(P)：40个参评人员，依次记为
(1,2,,40)i p i = 。
2． 确定准则层 (C)对目标层(O)的权重1W ：
根据假设，C 层的8个因素是依次排列的，我们可以认为对决策目标的影响程度也是依次排列的，且相邻两个的影响程度之差可以认为基本相等。因此，构造比较矩阵如下：
A = 12345678123
4
5678
123456781/212345671/31/21234561/41/31/2123451/51/41/31/212341/61/51/41/31/21231/71/61/51/41/31/2121/81/71/6
1/51/41/31/21A c c c c c c c c c c c c c c c c ??
?
? ?
?
? ? ?
? ?
?
? ???
这是一个8阶的正互反矩阵，经计算求得该矩阵的最大特征值为max 8.2883λ ，对应的特征向量归一化处理后为：
[]
10.3313,0.2306,0.1572,0.1059,0.0709,0.0477,0.0327,0.0236T W =
1.(8.28838)/70.0412C I =-=；查找相应的平均一致性指标1. 1.41R I =
所以， 1.0.0412/1.41
0.02920.1
C R ==< ，通过一致性检验，可以认为分配指标体系的各属性指标在遵从要求原则的前提下给出的权重的方法是可行的。 3． 确定准则层 (P)对准则层(C)的权重2W ：
根据问题的条件和模型的假设，对每个人各项条件的量化指标能够充分反映出每个人的综合实力。由此可以分别构造P 层对准则层(1,2,,8)k C k
= 的比较矩阵
()
()k k ij N N
B b
?=，其中()
()
()(,1,2,,40;1,2,,8)k k i ij
k j
T b
i j k T === 14040
8.38.38.38.38.3 6.5 6.5 3.56.5 6.5 6.5 6.58.3 6.5 6.5 3.56.5
6.5 6.5 6.58.3 6.5 6.5 3.53.5 3.5 3.5 3.58.3
6.5
6.5
3.5B ??? ? ? ? ? ?= ? ? ? ? ? ???
，…… 显然，所有的(1,2,,8)k B k = 均为一致阵，由一致阵的性质可知，k B 的最大特征
值()
max 40k λ
=，()..0k C R =，其任一列向量都是的特征向量，将其归一化可得P 层对C
层的权重向量，记作
()
()
()()
()1
2340,,,,(1,2,,8)T
k k k k k W
w
w w w k ??==??
，
记
(1)(2)(8)
2408,,,W W W W ???=?? ，
即为P 层对C 层的权重，且一致性比率指标为8
()
22
1
..0k k C R C R
===∑。
4． 确定方案层 (P)对目标层(O)的权重W ：
由于C 对O 的权重1W 和P 对C 的权重2W 已求得，则P 对O 的权重为
[]
(1)(2)(8)
()2111240408
,,,,,,[0.0316,0.0301,0.0277,0.0267,0.0285,0.0267,0.0270,0.0288,0.0259,0.0287,0.0258,0.0273,0.0250,0.0264,0.0257,0.0247,
0.0240,0.0252,0.0207,0.0226,0.023T
k W W W W W W W W w w w ???=?=?==??
= 8,0.0264,0.0216,0.0232,0.0273,0.0224,0.0232,0.0211,0.0260,0.0208,0.0249,0.0265,0.0259,0.0227,0.0242,0.0248,0.0207,0.0214,0.0213,0.0227]T
其组合一致性比率指标为21...0.02920.1C R C R C R =+< ，因此，组合权重W 可作为目标决策的依据。 5． 综合排序：
由于上式中的(1,2,,40)i w i 是参评人 i P 对目标层
O 层的权重，即就表示参评
人i P 的综合实力指标，按其大小依次排序，就可以得到决策方案。
其中给出的数字只是属性值矩阵对应的前三行和最后的三行，中间省略号为其他32位成员的各个属性值。
表2 40人的排序结果
(三) 结果分析
1．决策中选择的权重符合住房分配的原则，从权重值上可以看出它们是逐渐变小的，而这恰好吻合了分配原则中对各项指标在优先次序上的安排。
2．本文前提只是给出“按资排辈”的原则，只是突出了该具体的实例中的与职务、年龄、工龄等指标在指标体系中权重值相对较大。根据实际需要的住房分配原则，可以调整它们的次序或相对的比重，还可以扩充、减少考虑的指标。只要衡量判断矩阵时通过一致性检验，都能说明设定权重的合理性。因此，利用层次分析法确定住房分配指标权重时具有一定的普遍性和通用性。
3．从实际的排序结果看，排入前5位的来看，他们的职级都是8级，任职都比较早，工作时间都比较早，而这些因素的权重都较大，综合得分较大也是合理的。与此相反排序在第37、38、39、40位的他们在前四项指标衡量中都较别人低，而其它指标对应的值与别人相比，又没有优势，不能弥补前几项指标衡量中带给自身的劣势，造成总的得分最低。因此，
整体来看，该模型能较好的满足住房分配的原则。从大量的多属性决策问题结论上知道无论采用什么决策原则，高层次水平方案总是优先低层次水平方案，同一层次的几个方案采用不同的决策准则，优先次序会有所不同。限于篇幅，我们没有给出这些不同准则下的综合排序，没有给出更合理的方案。但层次分析法仍不失是解决住房分配的有效方法。
住房分配问题 某中学现有30套福利房欲分配给该校老师，该校有50位教师。学校经过全体老师讨论决定，分房只考虑下列因素：职称，工龄，学历，教学情况。具体情况如下表1，请设计一个数学模型，合理分配这30套住房。
说明：1、职称中的1，2，3分别表示高级、中级、初级； 2、学历中的1，2，3分别表示研究生、本科、专科； 3、教学中的1，2，3分别表示好，一般，差。 【摘要】学校福利分房是各学校对教师认可所采取的一种福利措施，涉及到全国各地区的中学和高校。由于各学校情况不同，不同的学校都制定不同的分房制度，以达到合理、科学地分房。本文就是讨论科学分房的问题。在本文中，讨论最终目标是对50位教师进行综合实力排名以确定分房的人员，由于教师具有不同的职称、工龄、学历、教学，他们之间在某一因素方面的影响程度比较好确定，另外职称、工龄、学历、教学对教师分房实力排名也可以确定，于是我们采取了层次分析法对50位教师分别在职称、工龄、学历、教学四个因素中的地位进行确定，并对职称、工龄、学历、教学四个因素在目标排名中地位也进行确定，最后得出目标排名；另外，上述方法精确度高，用于教师人员少的情况下非常有效，但当分房教师增加时，要得到精确的结论，必须加大投入，这样反而不经济了，而且当职称、工龄、学历、教学四个因素对目标方案的影响因素的程度由于各学校的对某一因素的重视程度不同而不好量化时，我们就提出了另一种方法：即对职称、工龄、学历、教学的不同情况赋予不同的分数，并且采用马氏距离的方法，得出最终的排名。在数据的分析和处理过程中，我们用到数学软件，即MATLAB。 【关键词】层次分析法（AHP），MATLAB, 判断矩阵, Perron-Frobenions定理，马氏距离，排名 一、问题的重述 为认真贯彻执行国家、自治区关于城镇住房制度改革精神，结合全国学校现行住房制度改革，在各个学校职工住房分配中本着公开、公正、民主集中制原则，充分考虑各方权益，对福利房进行了合理有效的分配。本文就是讨论合理分房的问题，并一某学校为例：某中学现有30套福利房欲分配给该校老师，该校有50位教师。学校经过全体老师讨论决定，分房只考虑下列因素：职称，共龄，学历，教学情况。具体的情况如下表1，请设计一个数学模型，合理分配这30套住房。 人员职称工龄学历教学人员职称工龄学历教学 P1 13031 P263821 P212522P273522 P312122P283922 P412031P293523 P511922P303612
【关键字】设计、方法、条件、动力、增长、计划、问题、系统、网络、理想、要素、工程、项目、重点、检验、分析、规划、管理、优化、中心 数学建模常用模型方法总结 无约束优化 线性规划连续优化 非线性规划 整数规划离散优化 组合优化 数学规划模型多目标规划 目标规划 动态规划从其他角度分类 网络规划 多层规划等… 运筹学模型 （优化模型） 图论模型存 储论模型排 队论模型博 弈论模型 可靠性理论模型等… 运筹学应用重点:①市场销售②生产计划③库存管理④运输问题⑤财政和会计⑥人事管理⑦设备维修、更新和可靠度、项目选择和评价⑧工程的最佳化设计⑨计算器和讯息系统⑩城市管理 优化模型四要素：①目标函数②决策变量③约束条件 ④求解方法(MATLAB--通用软件LINGO--专业软件) 聚类分析、 主成分分析 因子分析 多元分析模型判别分析 典型相关性分析 对应分析 多维标度法 概率论与数理统计模型 假设检验模型 相关分析 回归分析 方差分析 贝叶斯统计模型 时间序列分析模型 决策树 逻辑回归
传染病模型马尔萨斯人口预测模型微分方程模型人口预 测控制模型 经济增长模型Logistic 人口预测模型 战争模型等等。。 灰色预测模型 回归分析预测模型 预测分析模型差分方程模型 马尔可夫预测模型 时间序列模型 插值拟合模型 神经网络模型 系统动力学模型(SD) 模糊综合评判法模型 数据包络分析 综合评价与决策方法灰色关联度 主成分分析 秩和比综合评价法 理想解读法等 旅行商(TSP)问题模型 背包问题模型车辆路 径问题模型 物流中心选址问题模型 经典NP问题模型路径规划问题模型 着色图问题模型多目 标优化问题模型 车间生产调度问题模型 最优树问题模型二次分 配问题模型 模拟退火算法(SA) 遗传算法(GA) 智能算法 蚁群算法(ACA) (启发式) 常用算法模型神经网络算法 蒙特卡罗算法元 胞自动机算法穷 举搜索算法小波 分析算法 确定性数学模型 三类数学模型随机性数学模型 模糊性数学模型
名额公平分配问题 问题的提出 名额分配问题是西方所谓的民主政治问题，美国宪法在第一条第二条款指出：‘众议院议员名额……将根据各州的人口比例分配。。。。。’美国宪法从1788年生效以来200多年间，关于公平和人力的实现宪法中所规定的分配原则，美国的政治家和科学家们展开了激烈的讨论。并提出了多种方法，但没有一种方法能够得到普遍的认可。下面就日常生活中的实际问题，考虑合理的分配方案问题。 设某高校有5个系共2500名学生，各系学生人数见表格。现有25个学生代表名额， 赢如何分配较为合理。 5个系的学生人数 系别一二三四五总和人数11056483622481372500模型假设 1、要将名额尽可能的公平的分配，首先考虑的是公平量化，所谓公平，就是学生 代表的名额占有率都相等，这样，基于名额占有率相等的分配的方案就是最公平的，在 名额占有率不相等时，应要求差距尽可能的小，才能使分配方案更加公平。 2、在计算各个系别的名额分配占有量，这样就确定了公平的分配方案。 3、通常计算的名额占有量是小数，而名额只能整数的分配，这就需要将小数变成 整数，解决小数变整数的问题通常采用四舍五入法。 名额占有率=总名额数÷总人数 名额占有量=名额占有率×学生数 模型建立 模型一名额占有率分配 =1%，即每一百人才有一个名额。根据名额占有率可以算出全校名额占有率=25 2500 分配： 系别一二三四五总和 人数11056483622481372500名额数11.05 6.48 3.62 2.48 1.3725取整11642124 显然看出，这种方法出现了缺陷，分的总名额数多出一个，而这一个又无法可分， 无论是四舍五入法，还是直接取整，分给二，四其中一个必定对另一个不公平。所以需
数学建模活动策划方案（初稿） 一、活动背景 数学建模协会面向全校招新活动圆满完成。为了促进协会会员对数学建模的了解，增强对数学建模的认识，数学建模协会对近期一年时间策划此次活动，希望通过活动，增强新会员对数学建模协会的兴趣和认识度，是新会员对数学建模的活动、工作有一定了解和一个全新的认识。 二、活动目的及意义 为了让同学们对数学建模及竞赛有一个初步的了解，激发广大学子学习数学建模的热情，促进我校大学生课外科技活动的蓬勃开展，提高大学生的创新意识及运用数学知识和计算机技术解决实际问题的能力，推广数学建模精神，让同学们了解数学建模，接近数学建模，喜欢数学建模。活动对培养同学们应用数学知识解决实际问题的兴趣，开拓眼界等都有着十分重要的意义。活动的开展不仅为民院学子提供了一次施展才华和挑战自我的机会，也为学子创造了一个学习实践与思想交流的平台。 三、活动主题 走进数学建模 四、主办单位 社团联合会数学建模协会 五、承办单位
社团联合会数学建模协会 六、活动内容 （一）数学建模知识讲座 （二）新老会员见面交流会 （三）团队娱乐游戏活动 （四）小型数学建模大赛 七、活动步骤 （一）数学建模知识讲座 1、前期准备：邀请相关老师并协调好时间、通知协会会员及兴趣 爱好者 2、中期过程：（1）安排知识讲座时间、地点以及准备相关物品 （2）内容：数学建模思想、数学建模理论 3、后期安排：相关工作人员做工作总结 （二）新老会员见面交流会 1、前期准备：邀请相关人员为交流会做准备、通知协会会员 2、中期过程：安排见面交流会的时间、地点以及准备相关物品 3、后期安排：相关工作人员做工作总结 （三）团队娱乐游戏活动（待定） （四）小型数学建模大赛 1、前期准备：对举行小型数学建模大赛的意义进行宣传，并通知 比赛时间地点、比赛模式，邀请相关老师参与 2、中期过程：由相关老师批阅后进行表彰
数 学 建 模 论 文 系部——— 班级—— 组员—— —— ——2010年1月7日
摘要：席位分配是日常生活中经常遇到的问题，对于企业、公司、、学校政府部门都能解决实际的问题。席位可以是代表大会、股东会议、公司企业员工大会、等的具体座位。假设说，有一个学校要召集开一个代表会议，席位只有20个，三个系总共200人，分别是甲系100，乙系60,丙系40.如果你是会议的策划人，你要合理的分配会议厅的20个座位，既要保证每个系部都有人参加，最关键的就是要对个公平都公平，保证三个系部对你所安排的位置没有异议。那么这个问题就要靠数学建模的方法来解决。 关键词： Q值法公平席位
问题的重述：三个系部学生共200名，（甲系100.乙系60，丙系40）代表会议共20席，按比例分配三个系分别为10、6、4席。老情况变为下列情况怎样分配才是最公平的，现因学生转系三系人数为103.63.34. （1）问20席该如何分配。 （2）若增加21席又如何分配。 问题的分析： 一、通常分配结果的公平与否以每个代表席位所代表的人数相等或接近来衡量。目前沿用的惯例分配方法为按比例分配方法，即： 某单位席位分配数= 某单位总人数比例 总席位 如果按上述公式参与分配的一些单位席位分配数出现小数,则先按席位分配数的整数分配席位,余下席位按所有参与席位分配单位中小数的大小依次分配之。这样最初学生人数及学生代表席位为 系名甲乙丙总数学生数100 60 40 200 学生人数比例100/200 60/200 40/200 席位分配10 6 4 20 学生转系情况，各系学生人数及学生代表席位变为 系名甲乙丙总数学生数103 63 34 200 学生人数比例103/200 63/200 34/200 按比例分配席位10.3 6.3 3.4 20 按惯例席位分配10 6 4 20 （1）20席应该甲系10席、乙系6席,丙系4席这样分配
课程时间安排数学建模公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]
课程时间安排的优化模型 摘要 排课是教务运作中的一项重要工作，同时排课问题也是一个复杂的组合优化问题，对此问题的建模和求解，难度都非常大。多数情况下我们只是满足于求解问题的一个可行解，而对此可行解的进一步优化往往通过手工完成，效率很低。目前有很多计算机专家和数学专家都致力于对大规模排课问题的研究，在此我们给出一个规模相对较少，约束相对较少的较为简单的排课问题。解决排课中的问题，既能满足老师授课上机的要求又能满足学生对上机时间的合理安排。让学校、老师和同学的满意。 让老师满意，就是安排尽量少出现像同一天同一位老师上1-2节，7-8节，最好是1-2节面授然后4-5节课上机；让同学们满意，可从以下几方面考虑，比如，同一班级同一门课程，至少应隔一天上一次，另外对学生感到比较难学的课程尽量安排在最好的时段，上机时间要安排在面授课之后；让学校满意，就是尽量减少因出现问题而不得不为老师调课的次数。根据实际情况在具体模型建立过程中采用了0-1矩阵法，矩阵的乘法等数学方法，建立优化类数学模型来求解有效矩阵，根据有效矩阵初排课表，结合多方面因素建立修正矩阵，对初排课表逐层修改，得出最优排课表。并通过matlab实现算法和给出模型的解。 先将123班级课表和20张老师课表转换为0-1变量，有课改为0，没课改为1，组成两个矩阵，然后可用VB编程得到一个新的矩阵，两矩阵中元素都为1时，新的矩阵对应的元素就为1，即老师和班级同时有空时为1。将多目标函数转换为单目标函数，其他的要求可直接在约束条件中满足。然后用lingo软件编程解决（其约束条件和目标函数都可用lingo的语句表示出来） 关键词：排课问题 0-1矩阵矩阵的乘法优化目标矩阵 lingo VB 1 问题重述 排课是教务运作中的一项重要工作，同时排课问题也是一个复杂的组合优化问题，对此问题的建模和求解，难度都非常大。多数情况下我们只是满足于求解问题的一个可行解，而对此可行解的进一步优化往往通过手工完成，效率很低。目前有很多计算机专家和数学专家都致力于
数学建模的基本步骤 一、数学建模题目 1）以社会，经济，管理，环境，自然现象等现代科学中出现的新问题为背景，一般都有一个比较确切的现实问题。 2）给出若干假设条件： 1. 只有过程、规则等定性假设； 2. 给出若干实测或统计数据； 3. 给出若干参数或图形等。 根据问题要求给出问题的优化解决方案或预测结果等。根据问题要求题目一般可分为优化问题、统计问题或者二者结合的统计优化问题，优化问题一般需要对问题进行优化求解找出最优或近似最优方案，统计问题一般具有大量的数据需要处理，寻找一个好的处理方法非常重要。 二、建模思路方法 1、机理分析根据问题的要求、限制条件、规则假设建立规划模型，寻找合适的寻优算法进行求解或利用比例分析、代数方法、微分方程等分析方法从基本物理规律以及给出的资料数据来推导出变量之间函数关系。 2、数据分析法对大量的观测数据进行统计分析，寻求规律建立数学模型，采用的分析方法一般有： 1）. 回归分析法(数理统计方法)-用于对函数f（x）的一组观测值（xi,fi）i=1,2,…,n，确定函数的表达式。 2）. 时序分析法--处理的是动态的时间序列相关数据，又称为过程统计方法。 3）、多元统计分析（聚类分析、判别分析、因子分析、主成分分析、生存数据分析）。 3、计算机仿真（又称统计估计方法）：根据实际问题的要求由计算机产生随机变量对动态行为进行比较逼真的模仿，观察在某种规则限制下的仿真结果（如蒙特卡罗模拟）。 三、模型求解： 模型建好了，模型的求解也是一个重要的方面，一个好的求解算法与一个合
适的求解软件的选择至关重要，常用求解软件有matlab，mathematica，lingo，lindo，spss，sas等数学软件以及c/c++等编程工具。 Lingo、lindo一般用于优化问题的求解，spss，sas一般用于统计问题的求解，matlab，mathematica功能较为综合，分别擅长数值运算与符号运算。 常用算法有：数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法,通常使用spss、sas、Matlab作为工具. 线性规划、整数规划、多元规划、二次规划、动态规划等通常使用Lindo、Lingo,Matlab软件。 图论算法,、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法, 模拟退火法、神经网络、遗传算法。 四、自学能力和查找资料文献的能力： 建模过程中资料的查找也具有相当重要的作用，在现行方案不令人满意或难以进展时，一个合适的资料往往会令人豁然开朗。常用文献资料查找中文网站：CNKI、VIP、万方。 五、论文结构： 0、摘要 1、问题的重述，背景分析 2、问题的分析 3、模型的假设，符号说明 4、模型的建立（局部问题分析，公式推导，基本模型，最终模型等） 5、模型的求解 6、模型检验:模型的结果分析与检验，误差分析 7、模型评价:优缺点，模型的推广与改进 8、参考文献 9、附录 六、需要重视的问题 数学建模的所有工作最终都要通过论文来体现，因此论文的写法至关重要：
对公平的席位分配问题解法的一点补充 222008314011010 刘欢 08数统一班 为叙述简单，仍然采用书中的例子如下 一．提出问题： 某学校有3个系共200名学生,其中甲系100名,乙系60名,丙系40名。若学生代表会议设20个席位,公平而又简单的席位分配办法是按学生人数的比例分配,显然甲、乙、丙三系分别应占有10，6，4个席位。现在丙系有3名学生转入甲系， 3名学生转入乙系，仍按比例分配席位出现了小数，三系同意，在将取得整数的19席位分配完毕后，剩下的1席位参照所谓惯例分给比例中小数最大的丙系，于是三系仍分别占有10，6，4个席位。按比例并参照惯例的席位分配。 由于20个席位的代表会议在表决时可能出现10∶10的局面，会议决定下一届增加1席，按照上述方法重新分配席位，计算结果是甲、乙、丙三系分别应占有11，7，3个席位。显然这个结果对丙系太不公平了，因总席位增加1席，而丙系却由4席减为3席。 请问：如何分配才算是公平？ 二．书中模型 用Q 值法求解如下 设A ，B 两方，人数分别为1p 和2p ，占有席位分别是1n 和2n ，当1122=p n p n 时席位的分配公平。但人数为整数，通常1122≠p n p n 。这时席位分配不公平，且 /p n 较大的一方吃亏。 当1122>p n p n 时，定义 1122 1222 -= (,)A p n p n r n n p n （1） 为对A 的相对不公平值。
当1122
p n p n ，即对A 不公平，当再分配一个席位时，有以下三种情况： (1) 当 22 1>+11p p n n 时，说明即使给A 增加1席，仍然对A 不公平，所以这一席显然应给A 方. (2)当 22 1<+11p p n n 时，说明给A 增加1席后，变为对B 不公平，此时对B 的相对不公平值为 211212 11-1 ++= () (,)B p n r n n p n （3） (3)当 221 >+11p p n n 时，这说明给B 增加1席，将对A 不公平，此时对A 的相对不公平值为 121221 11-1 ++= () (,)A p n r n n p n （4） 因为公平分配席位的原则是使相对不公平值尽可能小，所以如果 121211 +<+(,)(,)B A r n n r n n （5） 则这1席给A 方，反之这1席给B 方. 由(3)(4)可知，(5)等价于 2 1222211< 11++() () p p n n n n （6） 不难证明上述的第(1)种情况 22 1>+11p p n n 也与(6)式等价,于是我们的结论是当(6)式成立时,增加的1席应给A 方,反之给B 方。 若记 2, =1,2 1= +() i i i i p Q i n n
。 例１差分方程—-资金的时间价值 问题1：抵押贷款买房——从一则广告谈起 每家人家都希望有一套(甚至一栋)属于自己的住房，但又没有足够的资金一次买下，这就产生了贷款买房的问题。先看一下下面的广告（这是1991年1月1日某大城市晚报上登的一则广告）,任何人看了这则广告都会产生许多疑问,且不谈广告中没有谈住房面积、设施等等,人们关心的是：如果一次付款买这栋房要多少钱呢?银行贷款的利息是多少呢？为什么每个月要付12０0元呢？是怎样算出来的?因为人们都知道,若知道了房价(一次付款买房的价格），如果自己只能支付一部分款,那就要把其余的款项通过借贷方式来解决,只要知道利息，就应该可以算出五年还清每月要付多少钱才能按时还清贷款了,从而也就可以对是否要去买该广告中所说的房子作出决策了。现在我们来进行数学建模。由于本问题比较简单无需太多的抽象和简化。 a。明确变量、参数，显然下面的量是要考虑的： 需要借多少钱，用记; 月利率(贷款通常按复利计）用R记； 每月还多少钱用x记; 借期记为N个月。 b.建立变量之间的明确的数学关系。若用记第k个月时尚欠的款数,则一个月后（加上利息后)欠款 , 不过我们又还了x元所以总的欠款为 ｋ=0，1，２，３， 而一开始的借款为.所以我们的数学模型可表述如下 (1) c. （1)的求解。由
（2）这就是之间的显式关系。 d.针对广告中的情形我们来看（１）和（2）中哪些量是已知的。Ｎ=5年=60个月，已知;每月还款x＝１20０元，已知Ａ.即一次性付款购买价减去７０000元后剩下的要另外去借的款，并没有告诉你，此外银行贷款利率Ｒ也没告诉你,这造成了我们决策的困难.然而,由（2）可知6０个月后还清,即,从而得 (3） A和x之间的关系式，如果我们已经知道银（３)表示Ｎ=6０,x=1２00给定时0 A。例如，若Ｒ=0．01,则由(3)可算得行的贷款利息R，就可以算出0 5３94６元。如果该房地产公司说一次性付款的房价大于70０0０十53946＝12３946元的话，你就应自己去银行借款。事实上，利用图形计算器或Maｔheｍａtiｃa这样的 数学软件可把（3）的图形画出来,从而可以进行估算决策。以下我们进一步考虑下面两个问题。 注1问题1标题中“抵押贷款”的意思无非是银行伯你借了钱不还，因而要你用某种不动产（包括房子的产权）作抵押，即万一你还不出钱了，就没收你的不动产。 例题１某高校一对年青夫妇为买房要用银行贷款６000０元，月利率0.01，贷款期25年=300月，这对夫妇希望知道每月要还多少钱，25年就可还清。假设这对
竞赛时间的安排 第一天： 上午：确定题目，并查阅文献 下午：开始分析，建立初步模型 晚上：编程，得到初步计算结果 第二天： 上午：得到初步模型的合理结果 下午：开始写论文，并考虑对初步模型的改进 晚上：得到改进的模型的初步结果 第三天： 上午：得到改进模型的合理结果 下午：考虑对前二个模型的进一步优化，得到第三个数学模型，或对前二个模型的正确性等进行验证等 晚上：得到最后结果，完成整篇论文 论文写作要点 论文组成部分: 1. 摘要 2. 问题重述与背景 3. 假设 4. 建模 5. 求解和结论分析 6. 讨论优缺点 7. 模型改进 论文评卷标准 1. 假设的合理性 2. 建模的创造性 3. 结果的正确性 4. 文字清晰程度 （一）摘要 一定要写好（不超过一页纸）。主要写四个方面： 1. 解决什么问题（简明扼要） 2. 采取什么建模方法和算法（引起阅卷老师的注意，不能太粗，也不能太细） 3. 得到什么结果（清楚、生动、公式要简单、必要时可采用小图表） 4. 有什么特色
（二）问题重述 正文（15页左右，某些内容可以放在附录中） 将原问题用数学的语言表达出来 指出需要解决哪些问题，重点解决的问题应着重说明，将读者或评阅者引导到自己的思路中。 （三）假设 根据题目的条件和要求做合理的假设。关键假设不能少，要简明扼要、准确清楚 1. 假设不能太多。要归结出一些重要的假设，一般3~5条，有些不是很重要的假设在论文适当的地方提到 2. 假设要数学化，重视逻辑性要求 3. 设计好符号，使人看起来清楚，前后不要有重复 （四）建模 建模的思路要清晰 注重建模的原始想法，直观的思想往往是重要模型的来源，一定要说清楚 模型要实用、有效，数学表达（或方案）要完整 推导要严密时，公式推导若过长，可放在附录中 一般要求设计2~3个模型（一个简单的、再对模型进行改进，得到第二个模型，就会生动），鼓励创新，但不要离题。 （五）模型求解 （1）模型的定性 线性或非线性 连续、离散或混合 随机或确定 （2）模型求解 建立数学命题要表达规范，论证严密 算法原理、步骤要明确，利用现成的软件应说明 设法算出合理的数学结果或给出模拟 没有现成软件的需自己编程解出问题 （六）结果分析与检验 最终数值结果的正确性或合理性 结果检验，灵敏度分析等 考虑是否需要列出多组数据，或额外数据对数据进行比较、分析，为各种方案的提出提供依据 必要时对问题解答作定性或规律性的讨论
会议筹备模型设计 摘要：本文给出了会议筹备策略的数学模型。对于客房安排我们对数据利用进行MATLAB 进行拟合，得到了实到人数与发回执人数的线性关系，大体估算出实际到的代表数量为639人。先对发来回执且会到的代表进行客房安排，考虑到经济且令代表满意，我们建立了一个非线性规划模型，再考虑方便管理以及距离远近的因素，对得出的结果进行调整，最后对未发来回执但与会的代表，进行分配。得到如文表4的住房安排。对会议室安排，文中先用表格对各宾馆会议室进行排列归类，再用一个简单的规划模型，求解出了最经济的会议选择，即会议室全部选宾馆7的六个会议室。且花费7000元。对客车的安排我们同样先用表格对数据进行排列归类，用一个规划模型，利用LINGO 软件进行求解，得客车最优安排， 即宾馆①安排33座车3辆；宾馆②安排36座车6辆；宾馆⑤安排45座车3辆，33座车3辆；宾馆⑥安排45座车3辆，33座车3辆，所花钱14800元。最后得到安排会议室与租赁客车总花费W==+21w w 7000+14800=21800元。本模型对于此类问题，能够较好的解决，且可解决诸如比赛安排，人员安排等问题。 关键词：拟合，排列归类，数学建模，非线性规划
问题的提出 某市的一家会议服务公司负责承办某专业领域的一届全国性会议，会议筹备组要为与会代表预订宾馆客房，租借会议室，并租用客车接送代表。由于预计会议规模庞大，而适于接待这次会议的几家宾馆的客房和会议室数量均有限，所以只能让与会代表分散到若干家宾馆住宿。为了便于管理，除了尽量满足代表在价位等方面的需求之外，所选择的宾馆数量应该尽可能少，并且距离上比较靠近。 筹备组经过实地考察，筛选出10家宾馆作为备选，它们的名称用代号①至⑩表示，相对位置见附图，有关客房及会议室的规格、间数、价格等数据见附表1。 根据这届会议代表回执整理出来的有关住房的信息见附表2。从以往几届会议情况看，有一些发来回执的代表不来开会，同时也有一些与会的代表事先不提交回执，相关数据见附表3。附表2，3都可以作为预订宾馆客房的参考。 需要说明的是，虽然客房房费由与会代表自付，但是如果预订客房的数量大于实际用房数量，筹备组需要支付一天的空房费，而若出现预订客房数量不足，则将造成非常被动的局面，引起代表的不满。 会议期间有一天的上下午各安排6个分组会议，筹备组需要在代表下榻的某几个宾馆租借会议室。由于事先无法知道哪些代表准备参加哪个分组会，筹备组还要向汽车租赁公司租用客车接送代表。现有45座、36座和33座三种类型的客车，租金分别是半天800元、700元和600元。 请你们通过数学建模方法，从经济、方便、代表满意等方面，为会议筹备组制定一个预订宾馆客房、租借会议室、租用客车的合理方案。 附表1 10家备选宾馆的有关数据
题目 赛程安排 摘要 赛程安排在体育活动中举足轻重，在很大程度上影响比赛的结果；本文主要针对最优赛程安排方案建立相应的数学模型，给出最优赛程的安排方案。 对于问题一，要给出一个各队每两场比赛中间都至少相隔一场的赛。因为参赛队伍只有5个，容易操作，所以可以利用排除-假设法可以得到一种满足条件的赛程安排，即,,,,,,,,,AB CD EA BC DE AC BD EC AD BE 。 对于问题二，考虑到各队每两场比赛中间至少相隔一场，我们用逆时针轮转法对比赛队伍进行排序，并根据这种方法，用Matlab 编出相应编程得出不同队伍比赛间隔的上限，再根据数据总结出规律，当N 为偶数时各队每两场比赛中间相隔的场次数的上限为22 N -场，用Matlab 软件验证其准确性。用同样的方 法可知，当N 为奇数时各队每两场比赛中间相隔的场次数的上限为 N 32 -（）。 对于问题三，在达到第二问上限的情况下，可通过轮换模型得到8,9N N ==的赛程安排。N 8=时一种赛程安排如下： (1,2),(3,5),(4,6),(8,7),(1,3),(4,2),(8,5),(7,6),(1,4),(8,3),(7,2),(6,5),(1,8),(7,4),(6,3),(5,2),(1,7),(6,8),(5,4),(2,3),(1,6),(5,7),(2,8),(3,4),(1,5),(2,6),(3,7),(4,8) 9N =时一种赛程安排如下： (1,2),(3,4),(5,6),(7,8),(1,9),(2,4),(3,6),(5,8),(7,9),(1,4),(2,6),(3,8),(5,9),(1,7),(4,6),(8,2),(9,3),(5,7),(1,6),(4,8),(2,9),(3,7),(1,5),(6,8),(4,9),(2,7),(3,5),(1,8),(6,9),(4,7),(2,5),(1,3),(8,9),(6,7),(4,5),(2,3). 对于问题四，我们可以用每个队的每两场比赛中间间隔的场次数之和SUM 来衡量赛程的公平性。当SUM 不同时，SUM 大的队伍对其比赛结果越有利。当SUM 相同时，用每次间隔场次的标准差来衡量赛程的公平性，其中标准差越小的队对其比赛的结果越有利。当SUM 相同且每次间隔场次的标准差也相同时，两个队比赛时，我们用双方已参加比赛的次数来衡量比赛赛程的优劣，其中在双方比赛时，已参加比赛次数越少，其比赛的结果越有利。 关键词：排除-假设法 逆时针轮转法 Matlab 标准差
教师住房分配问题 摘要 现在，单位分房是很多企业给职工的重要福利之一。然而，怎样分配最为合理公正，应该采用怎样的衡量标准等问题仍然颇具争议。本文即主要探讨住房分配问题，试图给出可推广的解决方案，并评价其公平程度。本文主要采用了层次分析法（Analytic Hierarchy Process，简称AHP），它是美国运筹学家T. L. Saaty 教授于70年代初期提出的一种简便、灵活而又实用的多准则决策方法，特别适用于一些难于完全定量分析的、复杂模糊的问题。 本文假设学校主要遵循传统的“按资排辈”原则分配，目标层为住房分配，准则层由职称、学历、工龄、教学4个因素构成，最终得出所有职工对总目标权重。针对准则层通过两两强弱程度比较，构造4*4的矩阵，进行一致性检验，确定各因素所占权重。根据每个职工的不同情况，量化其在4项因素中的表现，构造4个50*50的一致阵，并对每个矩阵归一化，得出相应的特征向量。最终矩阵相乘求得每位职工的总权值，降序排列取前30人。 本文中针对准则层4个因素的强弱排序可以随着学校政策导向的变化而改动，使之更具有广泛适用性。另外，由于职工人数较多，本文采用了MATLAB编程来进行矩阵的构造和运算。最后，针对本文给出的结果，对照原表举例验证了其公正合理性。 关键词：层次分析法归一化一致性指标量化MATLAB 准则层
一、问题重述 某中学现有30套福利房欲分配给该校老师，该校有50位教师。学校经过全体老师讨论决定，分房只考虑下列因素：职称，工龄，学历，教学情况。具体情况如下表1，请设计一个数学模型，合理分配这30套住房。 人员职称工龄学历教学人员职称工龄学历教学P1 1 30 3 1 P26 3 8 2 1 P2 1 25 2 2 P27 3 5 2 2 P3 1 21 2 2 P28 3 9 2 2 P4 1 20 3 1 P29 3 5 2 3 P5 1 19 2 2 P30 3 6 1 2 P6 1 15 1 3 P31 3 4 2 1 P7 2 14 1 2 P32 3 3 2 2 P8 2 16 2 2 P33 3 2 3 2 P9 2 13 2 2 P34 3 5 2 1 P10 2 8 2 1 P35 3 4 2 2 P11 2 10 3 3 P36 3 6 3 3 P12 2 9 3 1 P37 3 8 1 2 P13 2 8 2 3 P38 3 5 1 1 P14 2 12 2 2 P39 3 3 2 2 P15 2 13 3 1 P40 3 4 2 1 P16 2 11 2 2 P41 3 1 2 2 P17 2 10 3 3 P24 3 5 2 1 P18 2 7 2 2 P43 3 2 2 2 P19 2 8 3 1 P44 3 3 3 3 P20 2 9 3 2 P45 3 6 1 1 P21 2 10 2 2 P46 3 4 2 2 P22 2 11 2 2 P47 3 2 2 1 P23 2 13 2 2 P48 3 6 1 1 P24 2 10 2 2 P49 3 3 2 2 P25 2 8 3 3 P50 3 1 2 2 表1
2010年**学院数学建模宣传活动策划书 策划人：杨**、李**等 活动内容：2010年**学院数学建模成果展系列宣传活动 活动时间：2010年12月3日——12月30日（暂定） 举办单位：**数学建模工作室，**数学建模协会 一、活动背景： 全国大学生数学建模竞赛（CUMCM）是由教育部高等教育司和中国工业与应用数学学会主办，目前全国高等学校中规模最大的课外科技活动之一。我校自2003年以来每年都组织参加该项赛事，并且在比赛中取得了优异的成绩。2010全国大学生数学建模竞赛陕西赛区获奖名单在11月19日正式公布。在今年的比赛中，我校取得了可喜可贺的成绩，参赛的20支队伍中共有18支队伍获奖，其中国家奖4个，省级奖14个，参赛队伍获奖率高达90%，在所有同类院校中名列前茅，同时也实现了我校参赛以来本科队国家奖零的突破，具体如下表： 而且我校的两支队伍已报名参加明年二月的数学建模国际赛，目前队员们正在为比赛进行准备，这需要学校给予鼓励和宣传支持。我
校今年无论是获奖队伍的数量还是获奖的等级上都有了很大的提高，在所有同类院校中名列前茅。美中不足的是我校还有很多人对数学建模竞赛一知半解，在每年选拔参赛队员的时候宣传极为费力，同时也可能使许多优秀的同学失去了参加比赛的机会。我校在这样的背境下正适合宣传数学建模系列活动，以使更多的同学接触并了解数学建模比赛，为在以后的全国比赛乃至国际赛取得优秀的成绩打下基础。 二、活动目的： 1.、增强我校学生对数学建模竞赛的认识，吸引更多喜欢数模的优秀大学生加入； 2、为我校的两支团队参加明年数学建模国际赛造势； 3、为**数学建模协会培养挑选一批优秀人才，使**数学建模协会能形成良性循环机制。 三、活动简介： **数学建模协会计划于2010年12月3日—30日举行“2010年**学院数学建模宣传系列活动”，并借助此次活动宣传数学建模，扩大数学建模的影响力。 本次系列活动包含三个子活动 活动一：“2010年**学院数学建模成果展” 活动二：“数学建模国际赛宣传活动” 活动三：“有奖征集，**数学建模协会会徽设计大赛” 四、活动地点及负责人：
中国城市房价分析 摘要 随着近年来中国经济的快速发展，房地产业也得以迅猛地发展，其势头受到世人的瞩目，它作为国民经济的支柱产业不仅对国家宏观经济运行产生巨大的影响，而且与广大百姓的自身利益休戚相关。 本论文从实际出发，选取具有代表性的几个城市，结合其城镇居民的人均可支配收入，并参考国际房价合理性标准，从而研究我国房价的合理性。然后根据数据预测未来几年各个城市的房价走势，并结合现阶段国家政策下的实际房价提出合理的措施。最后根据搜集的数据，结合20世纪下半叶日本房地产与GDP的关系，预测房地产行业未来将会对中国经济产生的影响。 关键词：城市房价；合理性；GDP；国民经济 1.问题重述 房价问题关系到一个社会人民生活的切身利益，也对国家的经济发展与社会稳定有重要影响。1998年6月，国务院决定，党政机关停止实行40多年的实物分配福利房的做法，推行住房分配货币化，让房地产业成为了中国经济新的增长点。但是在居民收入持续上升的同时，房价也不断飙升。尤其是近几年来，房价不断大幅度增加的问题引起了社会各界的广泛关注。但是房价的合理性，以及房价未来的走势，至今也没有统一的认识。因此，判断当今房价是否合理，预测未来房价走势，以及提出使房价合理化的措施，分析房价对经济发展产生的影响成为亟待解决的问题。考虑到用楼房建造成本、土地成本等数据的搜集难度，我们不采用“结合楼房建造成本、土地成本、开发商利润”这个方法分析房价的合理性。 基于以上问题，我们下面分成四个问题进行讨论： 问题1.首先选取我国几个具有代表性的城市，搜集其历年房价、历年城镇居民的人均可支配收入，分析判断各个城市房价的合理性； 问题2.根据数据来预测未来几年所选取的各个城市的房价走势； 问题3.根据所搜集的数据，结合近年国家所采取的调控政策，对房价问题提出合理的措施； 问题4.根据所搜集的数据，选取日本上世纪的例子作比较，粗略预测房地产行业对中国经济发展的影响。 2.问题分析
公平的席位分配问题 ——数学建模报告 20094865，陈天送 20094862，陈铁忠 20094854，朱海
公平的席位分配问题 席位分配在社会活动中经常遇到，如：人大代表或职工学生代表的名额分配和其他物质资料的分配等。通常分配结果的公平与否以每个代表席位所代表的人数相等或接近来衡量。 符号设定： N ：总席位数 i n ：分配给第i 系席位数 （1,2,3i =分别为甲，乙，丙系） P ：总人数 i P ：第i 系数 （1,2,3i =分别为甲，乙，丙系） i Q ：第i 系Q 值 （1,2,3i =分别为甲，乙，丙系） Z ：目标函数 方法一，比例分配法：即： 某单位席位分配数 = 某单位总人数比例?总席位 如果按上述公式参与分配的一些单位席位分配数出现小数,则先按席位分配数的整数分配席位,余下席位按所有参与席位分配单位中小数的大小依次分配之。这种分配方法公平吗？由书上给出的案例，我们可以很清楚的知道该方法是有缺陷的，是不公平的。 方法二，Q 值法： 采用相对标准，定义席位分配的相对不公平标准公式：若 2211n p n p > 则称 1122122221 1-=-n p n p n p n p n p 为对A 的相对不公平值， 记为 ),(21n n r A ，若 2211n p n p < 则称 121121 1 11 22-=-n p n p n p n p n p 为对B 的相对不公平值 ，记为 ),(21n n r B 由定义有对某方的不公平值越小，某方在席位分配中越有利，因此可以用使不公平值尽量小的分配方案来减少分配中的不公平。 确定分配方案： 使用不公平值的大小来确定分配方案，不妨设1 1 n p > 2 2n p ，即对单位A 不公平，再分配一个席 位时，关于11n p ,22n p 的关系可能有 1. 111+n p >22 n p ,说明此一席给A 后,对A 还不公平; 2. 111+n p <22n p ,说明此一席给A 后,对B 还不公平,不公平值为 1)1(11),1(21211111 222 1-?+=++-=+n p p n n p n p n p n n r B 3. 1 1 n p > 1 22+n p ,说明此一席给B 后,对A 不公平,不公平值为
课程时间安排的优化模型 摘要 排课是教务运作中的一项重要工作，同时排课问题也是一个复杂的组合优化问题，对此问题的建模和求解，难度都非常大。多数情况下我们只是满足于求解问题的一个可行解，而对此可行解的进一步优化往往通过手工完成，效率很低。目前有很多计算机专家和数学专家都致力于对大规模排课问题的研究，在此我们给出一个规模相对较少，约束相对较少的较为简单的排课问题。解决排课中的问题，既能满足老师授课上机的要求又能满足学生对上机时间的合理安排。让学校、老师和同学的满意。 让老师满意，就是安排尽量少出现像同一天同一位老师上1-2节，7-8节，最好是1-2节面授然后4-5节课上机；让同学们满意，可从以下几方面考虑，比如，同一班级同一门课程，至少应隔一天上一次，另外对学生感到比较难学的课程尽量安排在最好的时段，上机时间要安排在面授课之后；让学校满意，就是尽量减少因出现问题而不得不为老师调课的次数。根据实际情况在具体模型建立过程中采用了0-1矩阵法，矩阵的乘法等数学方法，建立优化类数学模型来求解有效矩阵，根据有效矩阵初排课表，结合多方面因素建立修正矩阵，对初排课表逐层修改，得出最优排课表。并通过matlab实现算法和给出模型的解。 先将123班级课表和20张老师课表转换为0-1变量，有课改为0，没课改为1，组成两个矩阵，然后可用VB编程得到一个新的矩阵，两矩阵中元素都为1时，新的矩阵对应的元素就为1，即老师和班级同时有空时为1。将多目标函数转换为单目标函数，其他的要求可直接在约束条件中满足。然后用lingo软件编程解决（其约束条件和目标函数都可用lingo的语句表示出来）
关键词：排课问题 0-1矩阵矩阵的乘法优化目标矩阵 lingo VB 1 问题重述 排课是教务运作中的一项重要工作，同时排课问题也是一个复杂的组合优化问题，对此问题的建模和求解，难度都非常大。多数情况下我们只是满足于求解问题的一个可行解，而对此可行解的进一步优化往往通过手工完成，效率很低。目前有很多计算机专家和数学专家都致力于对大规模排课问题的研究，在此我们给出一个规模相对较少，约束相对较少的较为简单的排课问题，请同学们加以解决。 目前，某校的计算机上机课大都安排在计算机学院，计算机学院有5个机房用于学生上机，每个机房大约容纳90人。安排上机的课程共有4门，指导上机的教师共有24人，其中20人为课程的授课教师，见附件1，其他四人为机房的管理人员，依次为陆老师，章老师，张老师和彭老师，其中陆老师负责2个机房。共有123个班级需要上机，详细名单见附件1。教师和学生的上机时间不能和他们的授课课程时间冲突，为此我们给出了各位教师和各个班级学生的课程表，见文件夹附件2。四名管理人员可全天进行上机指导，但只能在自己负责的机房进行. 要求： （1）为了保证授课效果，学院规定每个老师在同一个时间段只能为1个班级进行指导；而同一时段允许有两名教师在同一个机房分别指导一个班级； （2）上机指导老师尽可能指导自己授课班级的学生； （3）周末尽可能不安排上机；其次晚上尽可能不安排上机。 （4）为了减少教师到新校区的次数，上机时间尽可能与其授课时间安排在同一天。 （5）还有其它要求可根据高校教学的情况，酌情给出，给出时要充分考虑教学规律、教学效果和大部分老师、学生的要求。
西安邮电学院第九届大学生数学建模竞赛 参赛作品 参赛队编号： 016 赛题类型代码： A题
2 房价问题 摘 要 随着我国房地产市场的不断升温，居民买房难愈来愈严重。定一个合适的房价既照顾到居民的需求也满足方差开发商的盈利需要是十分必要的，要达到这些目的都要用到数学模型来进行量化。在本文中，我们经研究解决了城市房价模型，找出了影响房价的主要因素，建立预测下一阶段的房产均价的一个模型，同时也对政策对调控房价所起的作用作了详细的分析说明。在解决房价模型问题时，我们用了多元线性回规模型和蛛网模型同时对相关变量进行分析和处理，最终找出了影响房价的主要因素为生产成本和供需关系。并对房价的形成、演化机理和房地产投机进行了深入细致的分析。 模型一，我们通过比较西安房价近11年来的变化及城镇居民收入变化情况，找到买房难的根结。 模型二，在房价预测方面，我们选用多元线性回归，蛛网模型同时对相关变量进行分析和处理，最终找出影响房价的主要因素为生产成本和供需关系，求出房价预测的计算表达式。 模型三，我们取定一个时间段内某几个房价新政，结合新政出台时间前后某地房价的变化情况分析了房价新政对房价的调控作用。我们选取房价新政的标准是根据政策内容对相关经济指标有直接作用效果。最终我们发现，新政出台后，虽然房价依然是居高不下，但房价上涨速率得到了一定的控制，变化渐缓。 关键字：楼市 预测 蛛网模型 线性回归
一、问题重述 住房问题关系国计民生，既是经济问题，更是影响社会稳定的重要民生问题。2008年受国际金融危机的影响，部分购房需求受到抑制，2009年在国家税收、土地等调控政策作用下，一度受到抑制的需求得到释放，适度宽松的货币政策使信贷规模加大，为房地产开发和商品房购买提供了比较充裕的资金，房地产市场供求大增，带动了整体回升。但有的城市房价过高，上涨过快，加大了居民通过市场解决住房问题的难度，另一方面，部分投机者也通过各种融资渠道买入房屋囤积，期望获得高额利润，也是导致房价居高不下的原因之一。因此，如何有效遏制房价过快上涨，遏制房地产投机，是一个备受关注的社会问题。现在就以下几个方面的问题进行讨论： 一：通过调查及分析相关数据，建立一个关于房价增长与居民收入之间关系的一个模型，用Matlab建模，以图的形式直观明了的分析出其相关性，从而找出其解决方案。 二：通过分析找出影响房价的主要原因，并建立一个城市房价的数学模型，对房价的形成、演化机理和房地产投机进行深入细致的分析。 三：选择某一地区（如重庆、西安、深圳），调查近些年房价变化情况，并根据所调查的数据，预测下一阶段该地区房价的走势。并且根据国家和各地方政府的一系列调控房价的政策（如购房贷款政策等等）出台的时间与房价的变化情况，分析这些政策对调控房价所起的作用，根据所得到结果，给出你关于购房的一些建议。 二、问题分析 2-1：模型一分析 针对当前房地产市场火爆局面和房价迅猛的增长势头，以及国民买不起房的抱怨声。分析产生这些现象，我们可以从很多方面找到原因，有房价恶性增长，有国民的平均收入增长过慢，有收入分配的不均很，有失业率的逐年增长，有近些年人们的消费观念的转变，有国际社会环境的影响等。我们不可对每一个产生这种现象因素都进行一一分析，但是，对于其主要的或者说具有代表性的因素（房价增长率于和国民的收入的增长率）进行分析，也能够反映一些大的方面规律，以便于更好处理解决这些问题。 因此，我们搜集从2000年到2011年西安市的房价和市民的平均收入数据并进行整合，计算每年的房价和居民收入的增长率，利用matlab软件进行趋势图的模拟，并进行matlab进行一个拟合处理。最终，得出两者之间的关系，提出一些解决这类问题的办法及可行的方案。