中考数学旋转压轴题解题方法 一、图形旋转知识与方法 1、图形的变换是新课标中“空间与图形”领域的一个主要内容，体现运动变换的理念与思想，是教材中的一大亮点．初中数学所学的图形变换包括平移、轴对称、旋转、位似。 2、旋转，它是一种数学变换．生活中的旋转也是随处可见，汽车的轮子，钟表的指针，游乐园里的摩天轮，都是旋转现象． 3、图形的旋转有三个要素： ①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度． 三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样． 4、旋转具有以下性质： ①对应点到旋转中心的距离相等，即边相等。 ②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，即角相等 ③旋转前、后的图形全等。 5、旋转是近几年中考数学的热点题型，对旋转的特例“中心对称”的考查多以选择题或填空题的形式出现，题目比较简单，大多数属于送分题；利用旋转作图，是格点作图题中的重点。利用旋转构造复杂几何图形，通常将旋转融合在综合题中，题目难度中等，在选择题、填空题、解答题中都有出现。有旋转点的，有旋转线段的，更多的是旋转图形的。旋转三角形，旋转平行四边形，旋转矩形，旋转正方形，其中，近两年的各地中考试题中，旋转矩形出现的最频繁，深受出题老师的青睐。其实旋转的题目还有一个好听的名字就是“手拉手问题”，本文将对这一类问题分类汇总，以这三个性质为突破口，就能快速解决问题。 二、典例精讲 典例．在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝α，点D为直线BC上一动点，过点D作DF∥AC 交直线AB于点F，将AD绕点D顺时针旋转α得到ED，ED交直线AB于点O，连接BE．
（1）问题发现： 如图1，α＝90°，点D在边BC上，猜想： ①AF与BE的数量关系是； ②∠ABE＝度． （2）拓展探究： 如图2，0°＜α＜90°，点D在边BC上，请判断AF与BE的数量关系及∠ABE的度数，并给予证明． （3）解决问题 如图3，90°＜α＜180°，点D在射线BC上，且BD＝3CD，若AB＝8，请直接写出BE 的长． 思路点拨： （1）①由等腰直角三角形的判定和性质可得：∠ABC＝45°，由平行线的性质可得 ∠FDB＝∠C＝90°，进而可得由等角对等边可得DF＝DB，由旋转可得：∠ADF＝ ∠EDB，DA＝DE，继而可知△ADF≌△EDB，继而即可知AF＝BE； ②由全等三角形的性质可知∠DAF＝∠E，继而由三角形内角和定理即可求解； （2）由平行线的性质可得∠ACB＝∠FDB＝α，∠CAB＝∠DFB，由等边对等角可得 ∠ABC＝∠CAB，进而根据等角对等边可得DB＝DF，再根据全等三角形的判定方法证得△ADF≌△EDB，进而可得求证AF＝BE，∠ABE＝∠FDB＝α； （3）分两种情况考虑：①如图（3）中，当点D在BC上时，②如图（4）中，当点D 在BC的延长线上时，由平行线分线段成比例定理可得 1 == 4 AF CD AB CB 、 1 == 2 AF CD AB CB ， 代入数据求解即可； 满分解答： （1）问题发现： 如图1中，设AB交DE于O． ∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠ABC＝45°，
2018年数学中考真题演练（图形的旋转） 一．选择题 1．（2018?鞍山）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．B． C．D． 2．（2018?营口）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，在同一平面内，将△ABC绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，连接BB1，若BB1∥AC1，则∠CAC1的度数是（） A．10°B．20°C．30°D．40° 3．（2018?本溪）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B． C．D． 4．（2018?济南）“瓦当”是中国古建筑装饰檐头的附件，是中国特有的文化艺术遗产，下面“瓦当”图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（） A．B．
C．D． 5．（2018?济南）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在方格线的格点上，将△ABC 绕点P顺时针方向旋转90°，得到△A′B′C′，则点P的坐标为（） A．（0，4）B．（1，1）C．（1，2）D．（2，1） 6．（2018 ?德阳）如图，将边长为的正方形绕点 B 逆时针旋转30°，那么图中阴影部分的面积为（） A．3 B．C．3﹣D．3﹣ 7．（2018 ?牡丹江）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（）个． A．0 B．1 C．2 D．3 8．（2018 ?牡丹江）如图，△ABC三个顶点的坐标分别是A（1，﹣1），B（2，﹣2），C（4，﹣1），将△ABC绕着原点O旋转75°，得到△A1B1C1，则点B1的坐标为（）
A．（，）或（﹣，﹣）B．（，）或（﹣，﹣） C．（﹣，﹣）或（，）D．（﹣，﹣）或（，）9．（2018?黑龙江）如图图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（） A．B． C．D． 10．（2018?阜新）如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2018次得到正方形OA2018B2018C2018，如果点A的坐标为（1，0），那么点B2018的坐标为（） A．（1，1）B．（0，）C．（）D．（﹣1，1）11．（2018?贺州）下列图形中，属于中心对称图形的是（） A．B．C．D． 12．（2018?大连）如图，将△ABC绕点B逆时针旋转α，得到△EBD，若点A恰好在ED的延
【考法综述】 1．全等三角形： （1）全等三角形的性质与判定综合应用 用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系． （2）作辅助线构造全等三角形 常见的辅助线做法：①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律．②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明． 2.相似三角形： 相似三角形相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等． 三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可． 3.锐角三角函数与解直角三角形： 通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问． 如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度． 解直角三角形的一般过程是： ①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）． ②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案． 4.等腰三角形： （1）等腰三角形的概念 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． （2）等腰三角形的性质 ①等腰三角形的两腰相等 ②等腰三角形的两个底角相等．简称：等边对等角 ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，简称为：三线合一. （3）等腰三角形的判定：判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．简称：等角对等边. 说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法． ②等腰三角形的判定和性质互逆； ③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线； ④判定定理在同一个三角形中才能适用． 5.等边三角形：（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具
人教版数学九年级上册旋转问题的题型与解法探析 一、联系生活欣赏扑克牌中的旋转 例1现有如图1所示的四张牌，若只将其中一张牌旋转180后得到图2，则旋转的牌是（） 分析：解这类问题时，同学们不妨采用“局部透视整体法”即通过观察整体中某一个部分，按照题目的要求进行相应的变化后，所遵循的规律，或者说所引起的变化，则图形的整体变化也遵循同样的规律． 梅花5的图形“梅花”是个轴对称图形，所以旋转180o后得到的图形要发生变化，原来向下的梅花的小尾巴，要变成向上；原来向上梅花顶要变成向下．这是第一张牌的特点； 红桃5的图形“红桃”是个轴对称图形，所以旋转180o后得到的图形要发生变化，原来向上的红桃的尖，要变成向下．这是第二张牌的特点； 黑桃5的图形“黑桃”是个轴对称图形，所以旋转180o后得到的图形要发生变化，原来向下的黑桃的尖，要变成向上．这是第三张牌德特点； 方块5中的图形“方块”是菱形，而菱形是中心对称图形，所以旋转180o后得到的图形还是菱形，也就是说在变化前后，图形的方向、位置、形状都不会发生变化． 而图2中的变化特点是：第一张牌发生变化，第二张牌没有变化，第三张牌没有变化，第四张牌没有变化，因此我们选B． 解：选B． 二、坐标系中以原点为中心旋转180o后求坐标 例2如图3，△PQR是△ABC经过某种变换后得到的图形.如果△ABC中任意一点M的坐标为（a，b），那么它的对应点N的坐标为.
分析：仔细观察图形中每一对对应点的坐标变化规律，确定其中的变化规律．因为点A 的坐标为（4,3），变化后点P 的坐标为（-4，-3），所以这个变化是旋转变化，且旋转角为180o，所以这是一个中心对称图形．因为点M 的坐标为（a ，b ），所以它的对应点N 的坐标为（-a ，-b ）． 解：应该填（-a ，-b ）． 三、坐标系中旋转90o后求坐标 例3正方形ABCD 在坐标系中的位置如图4所示，将正方形ABCD 绕D 点顺时针方向旋转90o后，B 点的坐标为（ ） A ．（-2,2） B ．（4,1） C ．（3,1） D ．（4,0） 分析：在坐标系中，经常遇到多边形旋转一定角度后求某一点的坐标问题．在解答这类问题时，如果把问题的焦点聚焦到这个点身上，思路往往打不开，但是当我们换一个角度，把点的旋转问题转化成某一个三角形的旋转问题，思路就会豁然开朗了．如图5将蓝色的三角形按照要求旋转后落到了红色三角形的位置上，这样就比较容易确定点B 的坐标了，仔细观察不难发现旋转后点B 的对应点的坐标为（4，0）． 解：选择D ． 四、坐标系中绕某一定点旋转180o后求坐标 例4）如图6，将△ABC 绕点C （0，-1）旋转180°得到△B A ''C ，设点A 的坐标为),(b a 则点A '的坐标为（ ） （A ）),(b a -- （B ）)1.(---b a （C ）)1,(+--b a （D ）)2,(---b a
2020-2021备战中考数学压轴题专题直角三角形的边角关系的经典综合题附详细 答案 一、直角三角形的边角关系 1．如图，在△ABC中，AB=7.5，AC=9，S△ABC=81 4 ．动点P从A点出发，沿AB方向以每秒 5个单位长度的速度向B点匀速运动，动点Q从C点同时出发，以相同的速度沿CA方向向A点匀速运动，当点P运动到B点时，P、Q两点同时停止运动，以PQ为边作正△PQM （P、Q、M按逆时针排序），以QC为边在AC上方作正△QCN，设点P运动时间为t秒．（1）求cosA的值； （2）当△PQM与△QCN的面积满足S△PQM=9 5 S△QCN时，求t的值； （3）当t为何值时，△PQM的某个顶点（Q点除外）落在△QCN的边上． 【答案】（1）coaA=4 5 ；（2）当t= 3 5 时，满足S△PQM= 9 5 S△QCN；（3）当t=2733 -s或 2733 +s时，△PQM的某个顶点（Q点除外）落在△QCN的边上． 【解析】 分析：（1）如图1中，作BE⊥AC于E．利用三角形的面积公式求出BE，利用勾股定理求出AE即可解决问题； （2）如图2中，作PH⊥AC于H．利用S△PQM=9 5 S△QCN构建方程即可解决问题； （3）分两种情形①如图3中，当点M落在QN上时，作PH⊥AC于H．②如图4中，当点M在CQ上时，作PH⊥AC于H．分别构建方程求解即可； 详解：（1）如图1中，作BE⊥AC于E． ∵S△ABC=1 2 ?AC?BE= 81 4 ，
∴BE= 92 ， 在Rt △ABE 中，AE=22=6AB BE -， ∴coaA= 64 7.55 AE AB ==． （2）如图2中，作PH ⊥AC 于H ． ∵PA=5t ，PH=3t ，AH=4t ，HQ=AC-AH-CQ=9-9t ， ∴PQ 2=PH 2+HQ 2=9t 2+（9-9t ）2， ∵S △PQM =9 5 S △QCN ， ∴ 3?PQ 2=935??CQ 2， ∴9t 2+（9-9t ）2=9 5 ×（5t ）2， 整理得：5t 2-18t+9=0， 解得t=3（舍弃）或35 ． ∴当t= 35时，满足S △PQM =9 5 S △QCN ． （3）①如图3中，当点M 落在QN 上时，作PH ⊥AC 于H ． 易知：PM ∥AC ， ∴∠MPQ=∠PQH=60°， ∴3， ∴39-9t ），
中考数学几何图形旋转典型试题 一、填空题 1.（日照市）如图1，把边长为1的正方形ABCD绕顶点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，则它们的公共部分的面积等于． 2．（成都市）如图2，将一块斜边长为12cm，∠B＝60°的直角三角板ABC，绕点C沿逆时针方向旋转90°至△A′B′C′的位置，再沿CB向右平移，使点B′刚好落在斜边AB 上，那么此三角板向右平移的距离是cm． 3.（连云港市）正△ABC的边长为3cm，边长为1cm的正△RPQ的顶点R 与点A重合，点P，Q分别在AC，AB上，将△RPQ沿着边AB，BC，CA顺时针 连续翻转（如图3所示），直至点P第一次回到原来的位置，则点P运动路径 的长为cm． 4.（泰州市）如图4，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，BC＝ 3，∠BCD＝45°，将腰CD以点D为中心逆时针旋转90°至ED，连结AE，CE，则△ADE的面积是． 二、解答题 5.（资阳市）如图5-1，已知P为正方形ABCD的对角线AC上一点(不与A、C重合)，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F. (1) 求证：BP=DP； (2) 如图5-2，若四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，在旋转过程中是否总有BP=DP？若是，请给予证明；若不是，请用反例加以说明； (3) 试选取正方形ABCD的两个顶点，分别与四边形PECF的两个顶点连结，使得到的两条线段在四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等，并证明你的结论 . 6.（武汉市）如图6－1是一个美丽的风车图案，你知道它是怎样画出来的吗？按下列步骤可画出这个风车图案：在图6－2中，先画线段OA，将线段OA平移至CB处，得到风车
支付宝首页搜索“933314”领红包，每天都能领。付款前记得用红包 一、与旋转有关的角度计算 例1 (2017?菏泽)如图1，将Rt△ABC绕直角顶点C时针旋转90°，得到△A?B?C?，连接AA?，若∠1=25°，则∠BAA?的度数是( ) A.55° B.60° C.65° D.70° 评注：与旋转有关的角度计算，一般联系旋转的性质、三角形全等的性质、三角形的内角和以及三角形的外角的性质等，注意结合图形信息，寻找已知角与未知角之间的关系，灵活运用三角形的边与角之间的关系解题. 二、与旋转有关的线段长度的计算问题 例2 (2017?娄底)如图2，在平面直角坐标系中，点A,B的坐标分别是A(3,0),B(0,4)，把线段AB绕点A旋转后得到线段AB?，使得点B的对应点B?落在x轴的正半轴上，则点B?的坐标是( ) A.(5,0) B.(8,0) C.(0,5) D.(0,8) 评注：此题旋转角度不是特殊角，但旋转后点B的对应点位于X轴的正半轴上，计算线段AB的长度是解决问题的关键. 一般地，如果旋转特殊角，有以下规律： 坐标平面内的点p(x,y)，绕着原点旋转一个90°,①如果是顺时针旋转，则有旋转后的对应点的坐标为(y,-x);②如果是逆时针旋转，则有旋转后的对应点的坐标为(-y,x).坐标平面
内的点绕着原点旋转180°，得出的点关于原点中心对称，点p(x,y)关于原点的中心对称点的坐标是(-x,-y)，p,p?位于相对的两个象限，即分别位于第一、第三象限或者第二、第四象限. 三、与多次旋转有关的探究规律问题 评注：此题运用坐标系内的点到原点的距离与到坐标轴的距离之间的平方关系，再者根据旋转的性质，旋转前后对应线段的长度相等，因此得出oo?，o?o4之间的相等关系，运用直角三角形中三边之间的倍数关系，注意每一次偶数序号的变化，横坐标与纵坐标都是点o?的横坐标与纵坐标的若干倍，这个倍数是序号的下标与2的商. 四、与旋转有关的开放探究问题 例4 (2017?河南)如图5，在Rt△ABC中，∠A=90°,AB=AC，点D,E分别在边AB,AC 上，AD=AE，连接DC，点MPN分别为DE,DC,BC的中点. (1)观察猜想 如图5，线段PM与PN的数量关系是___________，位置关系是_______. (2)探究证明 把△ADE绕点A逆时针旋转到图6的位置，连接MN,BD,CE，判断△PMN的形状，并说明理由； (3)拓展延伸
图形的旋转经典题 一．选择题（共10小题） 1．把一副三角板按如图放置，其中∠ABC=∠DEB=90°，∠A=45°，∠D=30°，斜边AC=BD=10，若将三角板DEB绕点B逆时针旋转45°得到△D′E′B，则点A在△D′E′B的（） A．内部 B．外部 C．边上 D．以上都有可能 2．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，则B、D两点间的距离为（） A． B．2 C．3 D．2 3．如图，△ABC中，AB=6，BC=4，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AEF，使得AF∥BC，延长BC交AE于点D，则线段CD的长为（） A．4 B．5 C．6 D．7 4．规定：在平面内，将一个图形绕着某一点旋转一定的角度（小于周角）后能和自身重合，则称此图形为旋转对称图形．下列图形是旋转对称图形，且有一个旋转角为60°的是（）A．正三角形 B．正方形C．正六边形 D．正十边形 5．下面生活中的实例，不是旋转的是（） A．传送带传送货物B．螺旋桨的运动 C．风车风轮的运动D．自行车车轮的运动 6．如图，在直角坐标系中放置一个边长为的正方形ABCD，将正方形ABCD沿x轴的正方向无滑动的在x轴上滚动，当点A第三次回到x轴上时，点A运动的路线与x轴围成的图形的面积和为（） 6题 7题 9题 A．π+πB．2π+2 C．3π+3π D．6π+6 7．（2016?松北区模拟）如图，将△OAB绕点O逆时针旋转80°，得到△OCD，若∠A=2∠D=100°，则∠α的度数是（） A．50°B．60°C．40°D．30° 8．一个菱形绕它的两条对角线的交点旋转，使它和原来的菱形重合，那么旋转的角度至少是（） A．360° B．270° C．180° D．90°
（易错题精选）初中数学图形的平移，对称与旋转的图文解析 一、选择题 1．如图，圆柱形玻璃杯高为8cm ，底面周长为48cm ，在杯内壁离杯底3cm 的点B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿2cm 且与蜂蜜相对的A 处，则蚂蚁从外壁A 处走到内壁B 处，至少爬多少厘米才能吃到蜂蜜（ ） A ．24 B ．25 C ．23713+ D ．382 【答案】B 【解析】 【分析】 将圆柱形玻璃杯的侧面展开图为矩形MNPQ ，设点A 关于MQ 的对称点为A′，连接A′B ，则A′B 就是蚂蚁从外壁A 处走到内壁B 处的最短距离，再根据勾股定理，即可求解． 【详解】 圆柱形玻璃杯的侧面展开图为矩形MNPQ ，则E 、F 分别是MQ ，NP 的中点，AM=2cm ，BF=3cm ，设点A 关于MQ 的对称点为A′，连接A′B ，则A′B 就是蚂蚁从外壁A 处走到内壁B 处的最短距离．过点B 作BC ⊥MN 于点C ，则BC=ME=24cm ，A′C=8+2-3=7cm ， ∴在Rt?A′BC 中，A′B= 222272425A C BC +=+=′cm ． 故选B ． 【点睛】 本题主要考查图形的轴对称以及勾股定理的实际应用，把立体图形化为平面图形，掌握“马饮水”模型，是解题的关键． 2．如图，ABC ?是O e 的内接三角形，45A ∠=?，1BC =，把ABC ?绕圆心O 按逆时针方向旋转90?得到DEB ?，点A 的对应点为点D ，则点A ，D 之间的距离是（）
A ．1 B ． 2 C ． 3 D ．2 【答案】A 【解析】 【分析】 连接AD ，构造△ADB ，由同弧所对应的圆周角相等和旋转的性质，证△ADB 和△DBE 全等，从而得到AD=BE=BC=1. 【详解】 如图，连接AD ，AO ，DO ∵ABC ?绕圆心O 按逆时针方向旋转90?得到DEB ?， ∴AB=DE ，90AOD ∠=?，45CAB BDE ∠=∠=? ∴1452 ABD AOD ∠= ∠=?（同弧所对应的圆周角等于圆心角的一半）， 即45ABD EDB ∠=∠=?， 又∵DB=BD ，∴DAB BED ∠=∠（同弧所对应的圆周角相等）， 在△ADB 和△DBE 中 ABD EDB AB ED DAB BED ∠=∠??=??∠=∠? ∴△ADB ≌△EBD （ASA ）, ∴AD=EB=BC=1. 故答案为A. 【点睛】 本题主要考查圆周角、圆中的计算问题以及勾股定理的运用；顶点在圆上，两边都与圆相交的角角圆周角；掌握三角形全等的判定是解题的关键.
2019年中考数学总复习：图形的旋转综合（含答案） 一．选择题 1．如图，△OAB绕点O逆时针旋转85°得到△OCD，若∠A＝110°，∠D＝40°，则∠α的度数为（） A．55°B．75°C．85°D．90° 2．下列图形：①平行四边形；②矩形；③菱形；④等边三角形中，是中心对称图形的有（）A．①②③B．②③④C．①②④D．①②③④ 3．如图，在△ABC中，∠C＝20°，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△ADE，AE与BC 交于点F，则∠AFB的度数是（） A．60°B．70°C．80°D．90° 4．如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，D，E是斜边BC上两点，且∠DAE＝45°，将△ABE绕点A顺时针旋转90°后，得到△ACF，连接DF，则下列结论中有（）个是正确的． ①∠DAF＝45°②△ABE≌△ACD③AD平分∠EDF④BE2+DC2＝DE2 A．4 B．3 C．2 D．1 5．如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，D为△ABC内一点，将线段CD绕点C逆时针
旋转90°后得到CE，连接BE，若∠DAB＝10°，则∠ABE是（） A．75°B．78°C．80°D．92° 6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△ABC，M是BC 的中点，P是A’B’的中点，连接PM．若BC＝4，∠BAC＝30°，则线段PM的最大值是（） A．8 B．6 C．4 D．5 7．在平面直角坐标系xOy中，点O（0，0），A（2，0），B（0，），C（﹣2，0）．将△OAB绕点O顺时针旋转α（0°＜α＜360°）得到△OA′B′（（其中点A旋转到点A′的位置），设直线AA′与直线BB′相交于点P，则线段CP长的最小值是（） A．B．C．2 D． 8．如图，四边形ABCD为正方形，AB＝1，把△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AEF，连接DF，则DF的长为（） A．B．C．D． 9．如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α（0°＜α＜90°）．若∠1＝116°，则∠α的大小是（）
初中数学三角形综合题 一、单选题(共9道，每道10分) 1.(2010山西省)现有四根木棒，长度分别为4cm，6cm，8cm，10cm，从中任取三根木棒，能组成三角形的个数为（__） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 答案：C 试题难度：三颗星知识点：三角形三边关系定理 2.等腰三角形一腰上的中线把三角形周长分为15和12两部分，则此三角形底边之长为（） A.7 B.11 C.7或11 D.不能确定 答案：C 试题难度：三颗星知识点：等腰三角形三边分类讨论 3.在△ABC中，AD为BC边的中线，若△ABD与△ADC的周长差为3，AB=8，则AC的长为（） A.5 B.11 C.8或3 D.5或11 答案：D 试题难度：三颗星知识点：中线 4.锐角△ABC中，BD和CE是两条高，相交于点M，BF和CG是两条角平分线，相交于点N，若∠BMC=100°，则∠BNC的度数为（） A.100 B.110 C.120 D.130 答案：D 试题难度：三颗星知识点：高线、角平分线、内角和 5.如图①，PB平分ABC，PC平分ACB；如图②，PB平分ABC，PC平分ACE如图③，PB
平分CBF，PC平分BCE，若∠A=30°，则∠P为______度。 A.100，15，60 B.105，15，75 C.120，30，60 D.120，15，75 答案：B 试题难度：三颗星知识点：角平分线、内角、外角 6.如图所示，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D 、E分别在AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A‘重合，若∠A=70°，则∠1+∠2=（__） A.70° B.110° C.130° D.140° 答案：D 试题难度：三颗星知识点：三角形内角及折叠 7.如图，已知△ABC，D在BC的延长线上，E在CA的延长线上，F在AB上，下列关于∠1与∠2关系描述正确的是（） A.∠1=∠2 B.∠1=2∠2 C.∠1＜∠2 D.∠1＞∠2
一、旋转真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．在平面直角坐标系中，已知点A(0，4)，B(4，4)，点M，N是射线OC上两动点(OM＜ON)，且运动过程中始终保持∠MAN＝45°，小明用几何画板探究其中的线段关系． (1)探究发现：当点M，N均在线段OB上时(如图1)，有OM2+BN2＝MN2． 他的证明思路如下： 第一步：将△ANB绕点A顺时针旋转90°得△APO，连结PM，则有BN＝OP． 第二步：证明△APM≌△ANM，得MP＝MM． 第一步：证明∠POM＝90°，得OM2+OP2＝MP2． 最后得到OM2+BN2＝MN2． 请你完成第二步三角形全等的证明． (2)继续探究：除(1)外的其他情况，OM2+BN2＝MN2的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． (3)新题编制：若点B是MN的中点，请你编制一个计算题(不标注新的字母)，并直接给出答案(根据编出的问题层次，给不同的得分)． 【答案】(1)见解析；(2)结论仍然成立，理由见解析；(3)见解析. 【解析】 【分析】 （1）将△ANB绕点A顺时针旋转90°得△APO，连结PM，则有BN=OP．证明 △APM≌△ANM，再利用勾股定理即可解决问题； （2）如图2中，当点M，N在OB的延长线上时结论仍然成立．证明方法类似（1）；（3）如图3中，若点B是MN的中点，求MN的长．利用（2）中结论，构建方程即可解决问题． 【详解】 （1）如图1中，将△ANB绕点A顺时针旋转90°得△APO，连结PM，则有BN＝OP．
∵点A(0，4)，B(4，4)， ∴OA＝AB，∠OAB＝90°， ∵∠NAP＝∠OAB＝90°，∠MAN＝45°， ∴∠MAN＝∠MAP， ∵MA＝MA，AN＝AP， ∴△MAN≌△MAP(SAS)． （2）如图2中，结论仍然成立． 理由：如图2中，将△ANB绕点A顺时针旋转90°得△APO，连结PM，则有BN＝OP． ∵∠NAP＝∠OAB＝90°，∠MAN＝45°， ∴∠MAN＝∠MAP， ∵MA＝MA，AN＝AP， ∴△MAN≌△MAP(SAS)， ∴MN＝PM， ∵∠ABN＝∠AOP＝135°，∠AOB＝45°， ∴∠MOP＝90°， ∴PM2＝OM2+OP2， ∴OM2+BN2＝MN2； （3）如图3中，若点B是MN的中点，求MN的长． 设MN＝2x，则BM＝BN＝x， ∵OA＝AB＝4，∠OAB＝90°， ∴OB＝2， ∴OM＝2﹣x， ∵OM2+BN2＝MN2．
课题29 图形的旋转 A组基础题组 一、选择题 1.(2018莱芜模拟)下列图形中,既是中心对称,又是轴对称的是( ) 2.(2018张家口模拟)如图,在正方形网格中有△ABC,△ABC绕O点按逆时针方向旋转90°后的图案应该是( ) 3.如图,∠AOB=90°,∠B=30°,△A'OB'可以看做是由△AOB绕点O顺时针方向旋转α度得到的.若点A'在AB上,则旋转角α的大小可以是( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 4.(2018廊坊安次模拟)如图,将正五边形ABCDE绕其顶点A沿逆时针方向旋转,若使点B落在AE边所在的直线上,则旋转的角度可以是( ) A.72° B.54° C.45° D.36° 5.(2018沧州模拟)如图,△ODC是由△OAB绕点O顺时针方向旋转50°
后得到的图形,若点D恰好落在AB上,且∠AOC的度数为130°,则∠C的度数是( ) A.25° B.30° C.35° D.40° 6.(2018石家庄模拟)如图,点A、B、C、D、O都在小方格的格点上,若△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得到的,则旋转的角度为( ) A.30° B.45° C.90° D.135° 二、填空题 7.(2018衡水模拟)若点P(m,-2)与点Q(3,n)关于原点对称,则(m+n)2 018= . 8.(2018江西中考)如图,在矩形ABCD中,AD=3,将矩形ABCD绕点A逆时针方向旋转,得到矩形AEFG,点B的对应点E落在CD上,且DE=FF,则AB的长为. 9.(2018秦皇岛海港模拟)如图,A(0,4),B(1,0),将线段AB绕点A逆时针方向旋转90°,点B的对应点C的坐标为.
人教版初中数学三角形经典测试题含答案 一、选择题 1．如图11-3-1，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C，点E在边AB上，∠AED=60°，则一定有（） A．∠ADE=20°B．∠ADE=30°C．∠ADE=1 2 ∠ADC D．∠ADE= 1 3 ∠ADC 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】 设∠ADE=x，∠ADC=y，由题意可得， ∠ADE+∠AED+∠A=180°，∠A+∠B+∠C+∠ADC=360°，即x+60+∠A=180①，3∠A+y=360②， 由①×3-②可得3x-y=0， 所以 1 3 x y ，即∠ADE= 1 3 ∠ADC． 故答案选D． 考点：三角形的内角和定理；四边形内角和定理． 2．把一副三角板如图（1）放置，其中∠ACB＝∠DEC＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，斜边AB＝4，CD＝5．把三角板DCE绕着点C顺时针旋转15°得到△D1CE1（如图2），此时AB与CD1交于点O，则线段AD1的长度为（）
A．13B．5C．22D．4 【答案】A 【解析】 试题分析：由题意易知：∠CAB=45°，∠ACD=30°． 若旋转角度为15°，则∠ACO=30°+15°=45°． ∴∠AOC=180°-∠ACO-∠CAO=90°． 在等腰Rt△ABC中，AB=4，则AO=OC=2． 在Rt△AOD1中，OD1=CD1-OC=3， 由勾股定理得：AD1=13． 故选A. 考点: 1.旋转；2.勾股定理. 3．如图，在△ABC中，AC＝BC，D、E分别是AB、AC上一点，且AD＝AE，连接DE并延长交BC的延长线于点F，若DF＝BD，则∠A的度数为（） A．30 B．36 C．45 D．72 【答案】B 【解析】 【分析】 由CA=CB，可以设∠A=∠B=x．想办法构建方程即可解决问题； 【详解】 解：∵CA=CB， ∴∠A=∠B，设∠A=∠B=x． ∵DF=DB， ∴∠B=∠F=x， ∵AD=AE， ∴∠ADE=∠AED=∠B+∠F=2x， ∴x+2x+2x=180°， ∴x=36°，
中考数学压轴题解题技巧 湖北竹溪城关中学明道银 解中考数学压轴题秘诀（一） 数学综合题关键是第24题和25题，我们不妨把它分为函数型综合题和几何型综合题。 （一）函数型综合题：是先给定直角坐标系和几何图形，求（已知）函数的解析式（即在求解前已知函数的类型），然后进行图形的研究，求点的坐标或研究图形的某些性质。初中已知函数有：①一次函数（包括正比例函数）和常值函数，它们所对应的图像是直线；②反比例函数，它所对应的图像是双曲线； ③二次函数，它所对应的图像是抛物线。求已知函数的解析式主要方法是待定系数法，关键是求点的坐标，而求点的坐标基本方法是几何法（图形法）和代数法（解析法）。此类题基本在第24题，满分12分，基本分2－3小题来呈现。 （二）几何型综合题：是先给定几何图形，根据已知条件进行计算，然后有动点（或动线段）运动，对应产生线段、面积等的变化，求对应的（未知）函数的解析式(即在没有求出之前不知道函数解析式的形式是什么)和求函数的定义域，最后根据所求的函数关系进行探索研究，一般有：在什么条件下图形是等腰三角形、直角三角形、四边形是菱形、梯形等或探索两个三角形满足什么条件相似等或探究线段之间的位置关系等或探索面积之间满足一定关系求x的值等和直线（圆）与圆的相切时求自变量的值等。求未知函数解析式的关键是列出包含自变量和因变量之间的等量关系（即列出含有x、y的方程），变形写成y＝f（x）的形式。一般有直接法（直接列出含有x和y的方程）和复合法（列出含有x和y和第三个变量的方程，然后求出第三个变量和x之间的函数关系式，代入消去第三个变量，得到y＝f（x）的形式），当然还有参数法，这个已超出初中数学教学要求。找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等方法。求定义域主要是寻找图形的特殊位置（极限位置）和根据解析式求解。而最后的探索问题千变万化，但少不了对图形的分析和研究，用几何和代数的方法求出x的值。几何型综合题基本在第25题做为压轴题出现，满分14分，一般分三小题呈现。 在解数学综合题时我们要做到：数形结合记心头，大题小作来转化，潜在条件不能忘，化动为静多画图，分类讨论要严密，方程函数是工具，计算推理要严谨，创新品质得提高。 解中考数学压轴题秘诀（二） 具有选拔功能的中考压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的题目，其特点是知识点多，覆盖面广，条件隐蔽，关系复杂，思路难觅，解法灵活。
初三数学中考压轴题复习——图形的旋转 一.解答题(共10小题，满分100分，每小题10分) 1.( 10分)如图，将含30°角的直角三角板ABC (/ B=30 °)绕其直角顶点A逆时针旋转％解(0°< av90°),得到RtAADE , AD与BC相交于点M，过点M作MN // DE交AE于点N，连接NC .设BC=4, BM=x , AMNC的面积为S AMNC , △ABC 的面积为S A ABC . (1)求证：AMNC是直角三角形； (2)试求用x表示S AMNC的函数关系式，并写出x的取值围； (3)以点N为圆心，NC为半径作O N , ①当直线AD与O N相切时，试探求SA MNC与S AKBC之间的关系； ②当S AMNC=—S AABC时，试判断直线AD与O N的位置关系，并说明理由. 2. ( 10分)直角三角板ABC中，/ A=30 ° BC=1 .将其绕直角顶点C逆时针旋转一个角a( 0 °< a< 120°且a @0°), 得到Rt AA B C, (1)如图，当A'B'边经过点B时，求旋转角a的度数； (2)在三角板旋转的过程中，边A C与AB所在直线交于点D，过点D作DE // A B交CB边于点E，连接BE . ① 当0°< a< 90°时，设AD=x , BE=y，求y与x之间的函数解析式及定义域； ②当吃珈E电纭収时，求AD的长. 3. (10分)将含30。角的直角三角板ABC (/ B=30 °绕其直角顶点A逆时针旋转a角(0°Z aZ 90°,得到RtAADE , AD与BC相交于点M，在AE上取点N，使Z MCN=90。.设AC=2 , AMNC的面积为S AMNC , A ABC的面积为S^BC . (1)求证：MN // DE ； (2)以点N为圆心，NC为半径作O N , ①当直线AD与O N相切时，试S AMNC与SA\BC之间的关系； ②S A MNC与S AABC之间满足怎样的关系时，试探求直线AD与O N的各种位置.
1、（本题满分8分）已知四边形ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD ＝60，对角线AC 与BD 交于点O ，过点O 的直线EF 交AD 于点E ，交BC 于点F 。 （1）求证：△AOE ≌△COF （2）若∠E0D ＝30，求CE 的长。 D 2．（本题满分8分）如图，在△ABC 中，∠C=90°,BC=5米,AC=12米。M 点在线段CA 上，从C 向A 运动，速度为1米/秒；同时N 点在线段AB 上，从A 向B 运动，速度为2米/秒。运动时间为t 秒。 （1）、求AB 的长 （2）、当t 为何值时，∠AMN=∠ANM ? 3．如图，已知平行四边形ABCD ，DE 是∠ADC 的角平分线，交BC 于点 E ．（1）求证：CD =CE ； （2）若BE =CE ，∠B =80?，求∠DAE 的度数．
A D B C 4．（本题满分8分）如图，矩形ABCD 中，点P 是线段AD 上一动点，O 为BD 的中点， PO 的延长线交BC 于Q . （1）求证：OP =OQ ； （2）若AD =8厘米，AB =6厘米，P 从点A 出发， 以1厘米/秒的速度向D 运动（不与D 重合）. 设点P 运动时间为t 秒，请用t 表示PD 的长；并求t 为何值时，四边形PBQD 是菱形． 5．（本题满分6分） 如图，在?ABC 中，∠C =90?，点D 、E 分别在AC 、AB 上，BD 平分 ∠ABC ，DE ⊥AB ，AE=3，CD=4. 求（1）求AD 的长；（2）求BC 的长. D
P D B Q C 6．（本题满分10分）如图，在Rt ?OAB 中，∠OAB =90?，OA =AB =6，将?OAB 绕点O 沿逆时针方向旋转90?得到?OA 1B 1．（1）线段OA 1的长是 ∠AOB 1的度数是 （2）连结AA 1，求证：四边形OAA 1B 1是平行四边形；（3）求四边形OAA 1B 1的面积． 7．（本题满分6分） 如图，B ，C ，E 是同一直线上的三个点，四边形ABCD 与四边形CEFG 都是正方形，连结BG ，DE ． （1）观察图形，猜想BG 与DE 之间的大小关系，并证明你的结论；（2）若延长BG 交DE 于点H ，求证：BH ⊥DE ． A H G
图形的旋转中考题精选 1、（2009年泸州）如图1，P 是正△ABC 内的一点，若将△PBC 绕点B 旋转到△P ’BA ，则∠PBP ’的度数是 （ ） A ．45° B ．60° C ．90° D ．120° 2、(2009年陕西省) 如图，∠AOB ＝90°，∠B ＝30°， △A ’OB ’可以看作是由△AOB 绕点O 顺时针旋转α角度得到的，若点A ’在AB 上，则旋转角α的大小可以是 （ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 3、（2009年桂林市、百色市）如图所示，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，将△ABO 绕点O 按顺时针方向旋转90°，得A B O ''△ ，则点A '的坐标为（ ）． A ．（3，1） B ．（3，2） C ．（2，3） D ．（1，3） 4、、（2009年甘肃白银）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A ．等腰梯形 B ．平行四边形 C ．正三角形 D ．矩形 5、（2009年台州市）单词NAME 的四个字母中，是中心对称图形的是（ ） A ．N B ．A Ｃ．M D ．E 6、（2009年广西钦州）某校计划修建一座既是中心对称图形又是轴对称图形的花坛，从学生中征集到的设计方案有等腰三角形、正三角形、等腰梯形、菱形等四种方案，你认为符合条件的是（ ） A ．等腰三角形 B ．正三角形 C ．等腰梯形 D ．菱形 7、（2009年锦州）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( ) A B C D 8、 (2009年四川省内江市)已知如图1所示的四张牌，若将其中一张牌旋转180O 后得到图2，则旋转的牌是（ ） 9、(2009成都)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(2，3)，若将OA 绕原点 O 逆时针旋转 180°得到0A′，则点A ′在平面直角坐标系中的位置是在 （ ） 图1 图2 A ． B ． C ． D ． x y 1 2 4 3 0 -1 -2 -3 1 2 3 A B
中考综合题(一季-等腰三角形)(共七季) 1.如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的边OA2,0C6,在OC上取点D将△AOD沿AD翻折,使O点落在AB边上的E点处,将一个足够大的直角三角板的顶点P从D点出发沿线段DA→AB移动,且一直角边始终经过点D,另一直角边所在直线与直线DE,BC分别交于点M,N. (1)填空:D点坐标是( 2 , 0 ),E点坐标是( 2 , 2 ); (2)如图1,当点P在线段DA上移动时,是否存在这样的点M,使△CMN为等腰三角形?若存在,请求出M点坐标;若不存在,请说明理由; (3)如图2,当点P在线段AB上移动时,设P点坐标为(x,2),记△DBN的面积为S,请直接写出S与x之间的函数关系式,并求出S随x增大而减小时所对应的自变量x的取值范围. 考点: 一次函数综合题. 分析: (1)根据△AOD沿AD翻折,使O点落在AB边上的E点处,得到∠OAD ∠EAD45°,DEOD,求出OD2,得出D点的坐标,再根据DEOD2,求出E点的坐标; (2)由翻折可知四边形AODE为正方形,过M作MH⊥BC于H,先求出∠NMH∠MNH45°,得出NHMH4,MN4,再根据直线OE的解析式为:yx,依题意得MN‖OE,设MN 的解析式为yx+b,根据DE的解析式为x2,BC的解析式为x6,得出M(2,2+b),N(6,6+b),CM,CN6+b,MN4,①当CMCN时,42+(2+b)2(6+b)2,解得:b?2,此时M(2,0);②当CMMN时,42+(2+b)2(4)2,解得:b12,b1?6(不合题意舍去),此时M(2,4);③当CMMN时,6+b4,解得:b4?6,此时M(2,4?4); (3)根据题意先证出△PBN∽△DEP,得出BN的值,求出S与x之间的函数关系