学位论文
光纤中孤子光脉冲序列的线性相互作用
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光纤中孤子光脉冲序列的线性相互作用研究
摘要
在光纤通信系统中，信息是通过编了码的光脉冲序列在光纤中传输的。研究光脉冲的线性相互作用对光孤子通信系统有一定的意义。本文从光脉冲的线性传输方程出发，利用傅立叶变换和反傅立叶变换，分别计算研究二、三、四个孤子构成的脉冲序列在不同间距时脉冲随传输距离的波形演化，分析了孤子光脉冲序列的线性相互作用规律与孤子光脉冲间间距大小的关系。结果表明,随着孤子数目或孤子间的间距不同，孤子脉冲序列在传输中因线性相互作用形成的脉冲数目不同，线性相互作用的强弱也不同。孤子脉冲序列之间间隔较小时，孤子脉冲序列之间会发生强的相互作用，传输中的脉冲数目减少，甚至重叠成一个脉冲，导致波形畸变。孤子光脉冲序列之间间隔太大时，相互作用很小，则孤子序列的脉冲数目将在较长的传输距离内保持不变，这不利于通信系统容量和速度的提高。适当选取孤子初始间距参数，有利于形成比初始时更多的脉冲。该研究对简单方便地利用脉冲的线性传输产生超短脉冲序列有一定的意义。
关键词：孤子光脉冲序列；色散效应；线性相互作用；傅立叶变换和反傅立叶变换
Shape Evolutions of Soliton Optical Pulse Trains in
Optical Fibers
Abstract
In the fiber optic communication system, the information was transmited by the code light pulse trains in the optical fiber. Researching optical pulse’s linear interaction is of certain significance to the optical soliton communication system. Starting from the linear propagation equation of optical pulses propagating in an optical fiber, utilizing the Fourier and Anti-Fourier transformation, the shape evolutions of optical pulse trains consisting of two, three or four solitons with distance are calculated and investigated for different initial separation between pulses. The results show that, depending on the number of the solitons and the initial separation between solitons, the number of pulses formed due to the linear interaction during the propagation of soliton trains is different, and the interaction’s intensity is also different. If the separation is too small, the intense linear interaction between pulses may make the number of the generated pulses decrease and even make the soliton trains combine into one pulse and thus lead distortion to pulse. On the other hand, however, if the separation is too large, the soliton interaction will become very weak. In this case, the soliton trains may keep their initial pulse number even after propagating a long distance. It is bad to improve the capacity and speed in the communication system. Through proper setting the parameter of the initial separation between solitons, one can obtain more pulses than
the initial input pulses. This work is of some significance to generate ultra-short pulse trains by using this simple and convenient method of linear propagation of optical pulses.
Key words: Soliton optical pulse trains; chromatic dispersion effect;linear interaction; Fourier transformation and anti-Fourier transformation
目录
论文总页数：19页
1 引言 (1)
2光脉冲在光纤中传输的各种因素 (1)
2.1 光纤的基本特性 (1)
2.2 光纤损耗 (2)
2.3 光纤色散 (3)
2.4 光纤的非线性特性 (6)
3 脉冲在光纤中的传输理论 (6)
3.1 麦克斯韦方程组 (6)
3.2 基本传输方程 (8)
3.3 不同的传输区域 (12)
4 光纤中孤子光脉冲序列的线性相互作用 (14)
4.1 理论模型 (14)
4.2 孤子光脉冲序列 (15)
4.3 计算机模拟及结论 (16)
结论 (22)
参考文献 (23)
致谢 (24)
声明 (24)
1 引言
光纤中引导光传播的基本原理是全内反射，介电包层能改善光纤的特性。早期的光纤具有很高的损耗（典型值约为1000dB/km），到了1970年，石英光纤的损耗下降到了20dB/km的水平[1]。光纤的损耗、偏振和色散对光纤应用来说是十分重要的特性参量。影响光脉冲在光纤中传输的重要因素是非线性和色散效应，非线性效应会引起脉冲频谱展宽，而色散效应则会导致脉冲形状变化脉宽变宽。当两者共同作用时，将导致光孤子产生，从而用于光孤子通信[1-10]。当光纤的实际长度与光纤各特征长度间的大小关系的不同时，非线性效应和色散效应对光脉冲传输的影响程度也将不同。当实际光纤长度远小于光纤的非线性长度而与色散特征长度相当时，可忽略光纤非线性效应，光脉冲的传输处于线性传输区。此时，光线的色散效应将影响光脉冲传输中的形状和宽度。人们以对不同形状的单个脉冲的线性特性以及在脉冲压缩领域的重要应用作过广泛的研究[1-7]。而在光孤子通信系统中，输入的并非单个孤子脉冲，而是由一系列孤子构成的脉冲序列。本文即针对这种脉冲序列输入的情况，从光纤中的线性传输方程出发，采用傅立叶变换和反傅立叶变换，计算不同孤子间距时由二、三、四个孤子构成的脉冲序列的相互作用规律。
2光脉冲在光纤中传输的各种因素
2.1 光纤的基本特性
光纤由折射率略低于纤芯的包层包裹着纤芯，纤芯、包层折射率分别记做和，这样的光纤通常称为折射率阶跃光纤。图2-1给出了阶跃折射率光纤的横截面和折射率分布示意。描述光纤特性的两个参量是纤芯包层相对折射率差，定义为
(2-1)定义的归一化频率为
(2-2) 式中，，为纤芯半径，为光波波长。
图2-1 阶跃折射率光纤的横截面和折射率分布示意图参量决定了光纤中能容纳的模式数量。在阶跃光纤中，如果<2.405，则它只容纳单模，满足这个条件的光纤称为单模光纤。单模光纤和多模光纤的主要区别在于芯径，对典型的多模光纤来说，其芯径=～；而的典型值约为3×10-3的单模光纤，要求。包层半径的数值无太严格的限制，只要它大到足以把光纤模式完全封闭在内就满足要求，对单模和多模光纤，其标准值为=。
用于制造低损耗光纤的材料是由熔SiO2分子组成的石英玻璃。纤芯和包层的折射率的差别是通过制造过程中的选择掺杂物来实现的。掺杂GeO2和P2O5可以提高纯石英的折射率，此用来做纤芯；而硼和氟用来做包层掺杂物，因为它能减小石英的折射率。对于特殊的应用，可以采用另外一些掺杂物。
2.2 光纤损耗
光纤损耗即每千米对信号衰减程度，单位为。光纤通信中，限制传输
距离和传输容量的主要原因是损耗和色散。损耗使光信号在传输时能量不断减弱，可分为固有损耗以及由使用条件造成的附加损耗。固有损耗包括散射损耗、吸收损耗和光纤结构不完善引起的损耗。附加损耗则包括微弯损耗、弯曲损耗和接续损耗。在实际应用中，光纤微小弯曲、挤压、拉伸受力也会引起损耗。其中光纤的损耗主要由材料的吸收损耗和瑞利散射损耗确定。
光信号在光纤内传输时功率的损耗，若是入射光纤的功率，传输功率为
(2-3)其中，通常被称为光纤损耗，是光纤的长度。光纤的损耗表示为
(2-4) 从上式可看出，光纤损耗与光波长有关。单模石英光纤的损耗谱中，在1.55um处最小损耗约为0.2dB/km。在较短的波长处有较高的损耗，在可见区达10dB/km左右，低损耗特性的光纤对光纤系统十分有用。现代光纤损耗已经做到很低，长距离光纤通信的瓶颈不是损耗，而是色散原因。
2.3 光纤色散
光纤中传输的光信号具有一定的频谱宽度，即光信号具有许多不同的频率成分。在多模光纤中，光信号可能由若干个模式叠加而成，每一个频率成份可能由若干个模式分量来构成。在光纤中传输的光信号的不同频率成份或不同的模式分量以不同的速度传播，到达一定距离后必然产生信号失真，这种现象称为光纤的色散或弥散。色散是光纤最主要的传输特性之一，色散的大小直接影响信号的传输距离和传输容量。光纤的色散是光纤传输的信号波形发生畸变的一种物理现象，表现为使光脉冲宽度展宽，使得信号畸变失真。色散常用时延差表示，单位为。光纤的色散主要有材料色散、波导色散、模间色散、偏振色散四种。材料色散和波导色散都与光
源的谱线宽度成正比，因此把它们总称为波长色散。单模光纤中不存在模间色散，主要是波长色散。数字光纤通信系统中，光纤色散将使光脉冲在传输过程中随着传输距离的增加而逐渐展宽。光纤色散对光纤传输系统有着非常不利的影响，限制了系统传输速率和传输距离的增加。
一束电磁波与电介质的束缚电子相互作用时，介质的响应通常与光波频率有关，此特性称为色散，它表明折射率对频率的依赖关系。一般的说，色散的起源与介质通过束缚电子的振荡吸收电磁辐射的特征谐振频率有关，远离介质谐振频率时，折射率与塞尔迈耶尔方程近似
(2-5)
式中，是谐振频率，为阶谐振强度。由于不同的频谱分量对应于由给定的不同的脉冲传输速度，因而色散在短脉冲传输中起关键作用；甚至当非线性效应不很严重时，由色散引起的脉冲展宽对光通信系统也是有害的。
在数学上，光纤的色散效应可以通过在中心频率处展成模的传输常数的泰勒级数来解决
()()()()Λ+-+-+==2020102
1ωωβωωββω
ωωβc n (2-6)
参量，和折射率有关，它们的关系表示为
??
? ??+===ωωβd d 1υ1g 1n n c c n g
(2-7)
(2-8)
是群折射率，是群速度，脉冲包络以群速度运动。参量表示群速度色散，和脉冲展宽有关。这种现象称群速度色散（GVD ），是GVD 参量。处的波长称为零色散波长。高阶色散效应能在线性和非线性区引起超短脉冲的畸变。
色散参量D ，通常用来代替，其关系为
22221d d π2d d λ
λβλλβn c c D -≈-== (2-9)
根据色散参量或D 的符号，光纤中的非线性效应表现出显著的不同的特征。若波长，光纤表现出正常色散（）。在正常色散区，光脉冲的较高频率分量（蓝移）比较低的频率分量（红移）传输较慢。的反常色散区域情况正好相反。当光波长超过零色散波长（）时，石英光纤表现为反常色散。在反常色散区和非线性效应之间的平衡，光纤能维持光孤子。色散的一个重要特性是，由于群速度的失配，不同的波长下的脉冲在光纤内以不同的速度传输，导致了走离效应，它在涉及到两个或更多个交叠脉冲的非线性现象的描述中起了重要的作用。当传输得较快的脉冲完全通过传输的较慢的脉冲后，两脉冲之间的互作用将停止。
色散限制了光纤的带宽——距离乘积值。色散越大，光纤中的带宽——距离乘积越小，在传输距离一定（距离由光纤衰减确定）时，带宽就越小，带宽的大小决定传输信息容量的大小。
光纤传输带宽是光纤的重要传输参数，它与色散有着直接关系，相互间关系为：
(2-10)
式中：—光功率下降6时的每千米带宽。—光脉冲传播1时延差，单位为。
光纤色散对时域脉冲宽度展宽，对应频域的高频分量衰减。脉冲展宽越大，高频分量衰减越严重，带宽越窄。因此，带宽与色散成反比，即与时延差成正比。光纤长度为的带宽与每千米带宽的关系为：
(2-11)
式中：—光纤长度时的带宽。—带宽距离指数（多模光纤，单模光纤）。
2.4 光纤的非线性特性
在高强度电磁场中任何电介质对光的响应都会变成非线性，光纤也一样。从基能级看，介质非线性响应的起因与施加到它上面的场的影响下束缚电子的非谐振运动有关，结果导致电偶极子的极化强度对电场是非线性的，关系为
()()()() +++?=E E E E E E P 3210:χχχε
(2-12)
其中，是真空中的介电常数，（=1,2,3）为阶电极化率。线性电极化率对是主要的。二阶电极化率对应于二次谐波的产生、和频运转等非线性效应。只在某些分子结构非反演对称的介质中才不为零，分子是对称结构，因而对石英玻璃等于零。光纤中通常不显示二阶非线性效应。
光纤中的最低阶非线性效应起源于三阶电极化率，它是引起诸如三次谐波产生、四波混频以及非线性折射等现象的主要原因。三次谐波的产生或四波混频在光纤中是不易发生的。因而，光纤中的大部分非线性效应起源于非线性折射率，而折射率与光强有关的现象是由引起的。
非线性效应中研究得最广泛的是自相位调制（SPM ）和交叉相位调制（XPM ）。光纤的非线性性使得光纤成为合适的非线性介质，用于在相对较低的功率水平下观察各种非线性效应。
3 脉冲在光纤中的传输理论
3.1 麦克斯韦方程组
同所有的电磁现象一样，光纤中光脉冲的传输也服从麦克斯韦方程组，在国际单位制（或SI ）中，该方程组可写成
(3-1)
(3-2)
(3-3)
(3-4)
式中，，分别是电场强度矢量和磁场强度矢量；，分别是电位移矢量和磁感应强度矢量；电流密度矢量和电荷密度表示电磁场的源，在光纤无自由电荷的介质中，,=0。
介质内传输的电磁场强度和增大时，电位移矢量和磁感应强度也随之增大，它们的关系通过物质关系联系起来
(3-5)
(3-6)
式中，为真空中介电常数；为真空中的磁导率；，分别为感应电极化强度和磁极化强度，在光纤这样的无磁性介质中=0。
描述光纤中光传输的波方程可以从麦克斯韦方程组得到。方程(3-1)两边取旋度，并利用式(3-2)，式(3-5)和式(3-6)，用，消去，，可得
2202221t
P t E c E ??-??-=???? μ (3-7)
式中，，为真空中的光速。
电极化强度和电场强度的关系，在远离介质的共振频率处，可唯象的写成(2-12)式。若只考虑与有关的三阶非线性效应，则感应电极化强度由两部分组成：
(3-8)
式中，线性部分和非线性部分与场强的普适关系为
()()()
'''10d ,t t r E t t P L ?∞∞--=χε (3-9)
()()()()()3213213213d d d ,,,,,t t t t r E t r E t r E t t t t t t P NL ???---=∞∞-χε
(3-10)
当把方程(3-8)中的非线性极化处理成总感应极化强度的微扰，在时解方程(3-7)，方程关于是线性的，因此在频域内具有简单的形式。即方程(3-7)变成
()()()0,~,~22=-????ωωωεωr E c
r E (3-11)
式中，是的傅立叶变换，定义为
()()()t t t r E r E d i exp ,,~?∞∞-=ωω
(3-12)
解方程(3-11)时作两个近似：光纤的损耗很小，用代替；在阶跃光纤的纤芯和包层中由于折色率与方位无关，于是有
()E E E E 22-?=?-???≡????
(3-13)
3.2 基本传输方程
脉宽范围为～的短脉冲在光纤内传输时，色散和非线性效应影响其形状和频谱。由式(3-8)、式(3-13)，波动方程(3-7)写成如下形式：
2
2022022221t P t P t E c E NL L ??+??=??-? μμ (3-14)
解方程(3-14)，需做几个假设使其简化。第一，把处理成的微扰；第二，假定光场沿光纤长度方向其偏振态不变，其标量近似有效；第三，假定光场是准单色的，即对中心频率为的频谱，其谱宽为，且。约为，第三个假
定对脉宽0.1的脉冲是成立的。在慢变包络近似下，电场的快变化部分写成
()()()[]..i exp ,?2
1,0c c t t r E x t r E +-=ω (3-15)
类似地，可把极化强度分量，表示成
()()()[]..i exp ,?2
1,0c c t t r P x t r P L L +-=ω (3-16)
()()()[]..i exp ,?2
1,0c c t t r P x t r P NL NL +-=ω (3-17)
线性极化分量通过把方程(3-16)代入(3-9)得到，并被写成
()()()()()[]
()()()()[]ωωωωωωχεωχεχχχχd i exp ,~π2d i exp ,~,0010''0''10t r E t t t t r E t t t r P L ---=-?-=??∞∞-∞∞-
(3-18)
上式中，为类似于方程(3-12)定义的的傅立叶变换。
把方程(3-17)代人方程(3-10)得到极化强度的非线性分量。假定非线性响应是瞬时作用的，因而方程(3-10)中的的时间关系可由三个函数的积得到，这样方程(3-10)变成
()()()()()t r E t r E t r E t r P NL ,,,,30 χε=
(3-19)
对石英光纤，振动或拉曼响应在～时间量级，方程(3.2.6)在脉宽大于时，基本有效。
利用方程(3-17)得出的表达式
(3-20)
求慢变化振幅的波动方程，把处理成常量，此方法从慢变包络近似以及的扰动特性来看，认为是合理的。把方程(3-15)～(3-17)代入(3-14)，傅里叶变换为为
()()()t e t r E r E t d ,,~d i 00?∞∞--=-ωωωω
(3-21)
并满足亥姆霍兹方程
(3-22)
式中，，且
(3-23)
方程(3-12)可利用变量分离法求解。假定解的形式为
()()()()z z A y x F r E 000i exp ,~,,~βωωωω-=-
(3-24)
式中，是的慢变函数；是波数。方程(3-12)分离成两个关于和的方程
[]
0~)(2202222=-+??+??F k y F x F βωε (3-25)
(3-26)
电场强度经变换为
()()()()[]{}..i exp ,,?2
1,00c c t z t z A y x F x t r E +-=ωβ (3-27)
满足方程(3-25)的慢变振幅的傅里叶变换可表达为
(3-28)
此方程的物理意义是脉冲沿光纤传输时，其包络内的每一谱成分都得到一个与频率和强度有关的相移。在频率处进行泰勒级数展开
()()()() +-+-+-+=3302201006
121βωωβωωβωωβωβ (3-29)
将式(3-29)代入式(3-28)，利用
()()()[]ωωωωωd i exp ,~π
21,00t z A t z A ---=?∞∞- (3-30)
做傅里叶变换的逆变换。在傅里叶变换中，用微分算符代替得到
A t
A t A z A βββ?+??-??-=??i 2i 2221 (3-31)
项包括了光纤的损耗及非线性效应。方程(3-31)可变为
A A A t
A t A z A 22221i 22i γαββ=+??+??+?? (3-32)
为非线性系数。
方程(3-32)描述了皮秒光脉冲在单模光纤内的传输，有时也被称为非线性薛定谔方程，在一定的条件下，其可以简化成非线性薛定谔方程；反映了光纤的损耗，，反映了光纤的色散，是考虑了光纤的非线性特性。当群速度色散（GVD ）是由引起时，脉冲包络以群速度移动。
传输方程(3-32)成功的解释了许多非线性效应，但对于脉宽小于的超短脉冲其需要改进，因为忽略了拉曼效应。
和时间量度的关系为
(3-33)
利用方程(3-33)和方程(3-32)得到：
022i i 2222=+??-+??A A T
A A z A γβα (3-34)
在的特殊条件下，方程称作非线性薛定谔方程（NLS ）。
3.3 不同的传输区域
光脉冲在单模光纤内传输的NLS 方程，对脉宽大于的脉冲可由方程(3-34)描述为
A A T A A z A 22
2222i i γβα-??+-=?? (3-35)
为脉冲包络的慢变振幅，是随脉冲以群速度移动的参考系中的时间量度。方程(3-35)右边的三项分别对应于光脉冲在光纤中传输时的吸收效应、色散效应和非线性效应。根据入射脉冲的初始宽度和峰值功率，决定脉冲在光纤内演变过程中是色散还是非线性效应起主要作用。引入两个度量分别为色散长度和非线性长度长度量。根据，和光纤长度的相对大小，脉冲演变切分成下面讨论的四种不同的传输区。
引入一个对初始脉宽归一化的时间量
(3-36)
同时，根据下面的定义，引入归一化振幅
(3-37)
式中，为入射脉冲的峰值功率，指数因子代表光纤的损耗。利用方程(3-35)～(3-37)，满足方程
U U L U L z U NL
z D 2222e 2)sgn(i ατβ--??=?? (3-38)
式中，，根据GVD参量的符号确定，且
(3-39) 色散长度和非线性长度给出了沿光纤长方向脉冲演变过程的长度量。根据，及之间的相对大小，传输特性可分为四类。讨论如下：第一种情况：当光纤长度，时，色散和非线性效应都不起重要作用，如果假定脉冲有平滑的时间轮廓，，那么，，此时脉冲在传输过程中保持它的形状。光纤起传输光脉冲的作用，这个区域对光通信系统是有益的。这种系统中的典型值约为。如果脉冲无畸变传输，则和应大于。根据给定的光纤参量和，由方程(3-39)可大致估算出和。对标准传输光纤，在处，，，把这些值代人方程(3-39)可以看出，若，约为。对，色散和非线性效应均可忽略。然而，当入射脉冲的脉宽变窄及能量增大时，和将变小。例如，，，和均为100m左右。对这样的光脉冲，若传输光纤的长度超过几米，就必须同时考虑色散和非线性效应。
第二种情况：当纤长，而时，方程(3-38)中的最后一项与其他两项相比可以忽略。脉冲演变过程中GVD起主要作用，非线性效应相对较弱。当光纤和脉冲参量满足下述关系时，适用于以色散为主的区域。
(3-40) 第三种情况：当光纤长，但和相当时，方程(3-38)的色散项较非线性项可以忽略（约为1）。光纤中脉冲的演变过程SPM起主要作用，它将导致脉冲频谱展宽。当
(3-41) 成立时，满足非线性为主的区域条件。较弱的GVD效应，SPM也能导致脉冲形变。若脉冲前沿或后沿变陡，即使满足了方程(3-41)的条件，色散项也会变得很重要。
第四种情况：当光纤长，时，脉冲在光纤内传输过程中，色散和非线