第4章 插值与拟合方法
1 问题的描述与基本概念
已知[,]a b 上实函数()f x 在1n +个互异点[,]i x a b ∈(0,1,,)i n =???处的函数值
()i f x (0,1,,)i n =???，要求估算()f x 在[,]a b 中某
点x 的值.
1）插值问题的描述
找近似函数P (x )，满足
()()(0,1,,)i i P x f x i n ==???
● P (x ) 称为f (x )的一个插值函数; ● f (x ) 称为被插函数;点i x 为插值节点; ● ()()(0,1,,)i i P x f x i n ==???称为插值条件; ● ()()()R x f x P x =-称为插值余项。
当插值函数()P x 是多项式时称为多项式插值. 为获得唯一的插值多项式，设
0().
n
k k k P x a x ==∑
用n H 表示次数不超过n 的多项式集合.
定理 1 n H 中满足插值条件的插值多项式是存在且唯一.
证明 仅证唯一性.设(),(),n n P x H Q x H ∈∈且都满足插值条件，于是有
()()()(0,1,,).
i i i P x Q x f x i n ===???
令
()()(),
R x P x Q x =-
那么()n R x H ∈.因为
()()()()()0(0,1,,),
i i i i i R x P x Q x f x f x i n =-=-==???
所以()R x 有n +1个零点. 由代数基本定理有()0R x =，因此()()P x Q x ≡。
2 Lagrange 插值
1n =时，设11()L x H ∈，满足100()(),L x f x =
111()().
L x f x =
01
1010110
()()()
.
x x x x L x f x f x x x x x
--=+-- 2n =时，设22()L x H ∈，满足2()()i i L x f x =
(0,1,2)i =. 将2()L x 写成
1001122()()()()()()(),
L x f x l x f x l x f x l x =++
其中()(0,1,2)i l x i =是二次多项式，满足
1,()(,0,1,2)
0,i j i j
l x i j i j
=?==?
≠?
可求得
2
0()0,1,2k
i k i k
k i
x x l x i x x =≠-==-∏
()
例一 已知数表
x 0 1 3 y=f(x)
1
3
2
用抛物插值计算(2)f 的近似值.
一般地，
()()(),
n
n i i i o L x f x l x ==∑
其中
0()0,1,,.
n
k
i k i k
k i
x x l x i n x x =≠-==-∏
()
()(0,1,,)i l x i n = 具有性质
1,()(,0,1,,).
0,i j i j
l x i j n i j
=?==?
≠?
()n L x 称为Lagrange 插值多项式，而()(0,1,,)i l x i n = 称为 Lagrange 插值基函数
例二 证明：
11()
()0,1,,()()n i i n
i x l x i n x x x ωω++=
='- ()
10()().
n
n j j x x x ω+==-∏
定理 2 设
()()n f x 在[a,b ]上连续，(1)
()n f
x +在（a,b ）上存在，互异节点[,]
k x a b ∈
(0,1,,,)k n = ，
()n L x 是满足插值条件的插值多项式，则有对任何[,]x a b ∈成立
()()()()
()()11,
(,)
1!
n n n n f R x f x L x x a b n ξωξ++=-=∈+
式中()10
().n
n k k x x x ω+==∏-
设()f x 在[a,b ]上有n +1阶导数，若能得 到
(
)
()
11max n n a x b
M f x ++≤≤=，则有余项估计式
()()()1
1,[,]
1!
n n n M R x x x a b n ω++≤∈+
例三 证明由下列插值条件
x 0
12 1 32 2 52 y=f(x)
1-
34-
54
3
214
所确定的Lagrange 插值多项式是一个二次多项式.
3 Newton 插值
1) 构造原理
已知数表 x
0x 1x n x ()f x
0()f x 1()f x ()
n f x
设插值多项式为
010201011()()()()()()()
n n n N x a a x x a x x x x a x x x x x x -=+-+--+?+--?-借助插值条件可求出 )(x N n
的系数.
当0x x =时，有
000()(),n N x a f x ==
得出00()a f x =. 当1x x =时, 有 101101()()(),n N x a a x x f x =+-= 可得
10110(()())
.()
f x f x a x x -=
-
依次取n x x x ,,,32?并利用插值条件就可依次解出n a a a ,,,32?，从而求出)(x N n 的具体形式。
为将解出的系数012,,,,n a a a a ?用公式表示出来，引进差商的概念.
称[]()i
i
f x f x =为函数()f x 关于节点i x 的零阶均差，称
()()[,]j i i j j i
f x f x f x x x x -=
-
为函数()f x 关于节点,i j x x 的一阶均差，称
[,][,]
[,,]j k i j i j k k i
f x x f x x f x x x x x -=
-
为函数()f x 关于节点,,i j k x x x 的二阶均差. 一般地，有了1n -阶均差后，称
12011010
[,,,][,,,]
[,,,]k k k k i i i i i i i i i i i f x x x f x x x f x x x x x -?-??=
-
为函数()f x 关于节点0
1
,,,k
i i i x x x 的k 阶均差.
均差性质
0101()
1
[,,,],()k
j k j k
j f x f x x x x ω=+='∑
101()()()()
k k x x x x x x x ω+=---
2 均差关于节点是对称的
3 ()f x 在[,]a b 上存在n 阶导数，则均差与 导数关系为
()01()
[,,,],
[,]!n n f f x x x a b n ξξ=∈
例一 设73()51,f x x x =++ 求
01
[2,2],f
017[2,2,,2]f 和0178
[2,2,,22]f ，
2) 分析
000()=()[,]()f x f x f x x x x +- 001011[,]=[,][,,]()f x x f x x f x x x x x +-
01010[,,,]=[,,,][,,,]()
n n n n f x x x f x x x f x x x x x -+- 把后式依次代入前式可有 ()()(),n n f x N x R x =+ 其中
()[][][]00100120101011(),(),,()(),,,()()(),
n n n N x f x f x x x x f x x x x x x x f x x x x x x x x x -=+-+--+?
+--?-
011()[,,,,]()n n n R x f x x x x x ω+=?
()n N x 为
Newton 插值多项式，
()n R x 为均差型插值余项.
()()()
()()1101==()[,,,]()
1!
n n n n n n f f x L x x N x f x x x x n ξωω++++
++ 由插值多项式唯一性可有
()()()1101=[,,,]()
1!
n n n n f x f x x x x n ξωω++++
设1n x x +=可得
()
()101[,,]1!n n n f f x x x n ξ++=+ ，
差商表
x
f(x)
一阶差商
二阶差商
…
n 阶差商
x
1x 2x
n
x
0()
f x 1()f x 2()f x ()n f x
01[,]f x x ],[21x x f
1[,]n n f x x -
]
,,[210x x x f
],,[12n n n x x x f --
???
01[,,,]
n f x x x ?
例二已知数表
x 0 1 3
y=f(x) 1 3 2
用二次Newton插值计算(2)
f的近似值.
练习一 给定数表
x 1 2 4 5 6 8 f(x) 0 2 8 12 18 28 试用二次和四次Newton 插值多项式计算(5.8)f 的近似值.
练习二 假定()f x 定义在[,]a b 上,又12312,,,,,,n x x x t t t 是[,]a b 中互异的点,证明
121212232312()[,,,,,]()[,,,,,]n n x x f x x t t t x x f x x t t t -+- 313112()[,,,,,]n x x f x x t t t +- 0.=
练习三 设,1()j j k P x ++为()f x 关于节点11,,,j j j k x x x +++???的1k +次Lagrange 插值多项式，证明下列递推关系
1,11,,11()()()()
(),j j j k j k j j k j j k j k j
x x P x x x P x P x x x ++++++++++---=
-
0,1,,1,j n k =???-- 0,1,, 1.k n =???-
设函数()y f x =在等距节点0(k x x kh k =+=
0,1,,)n 上的值()k k f f x =为已知，这里常数
0,h >称为步长. 记号
1k k k
f f f +?=-
1k k k
f f f -?=-
分别称为()f x 在k x 处以h 为步长的一阶向前差分及一阶向后差分. 一般可定义m 阶差分为
111m m m k k k f f f --+?=?-?
111
m m m k k k f f f ---?=?-?
均差与差分的关系
1[,,,]!m k
k k k m m
f f x x x m h ++?=
证明：1m =时，
11[,],
k k k
k k f f f f x x h h ++-?==
命题成立.
假设1m s =-时命题成立，m s =时，
+12111[,,,][,,,]
[,,,]k k k s k k k s k k k s k s k
f x x x f x x x f x x x x x ++++-+++-=
- 11111(1)!(1)!s s k k s s f f sh s h s h
--+--??=--（-）/ ,!s
k s f s h ?=
命题成立. 由数学归纳法，命题成立.
Newton 插值多项式为
()[][][]001001201
01011
(),(),,(
)()
,,,()()().
n n n N x f x f x x x x f x x x x x x x f x x x x x x x x x -=+-+--++--?-
由均差与差分的关系，等距节点的Newton 插值多项式可改写为
()200
00012
011()()()()2!()()().!n n n n f f N x f x x x x x x x h h
f x x x x x x n h
-??=+-+--+?+--?- 令0
x x t h =+，则有Newton 前插公式 ()2
00000(1)()2!
(1)(1).
!
n n
t t N x th f x t f f t t t n f n -+=+?+?+--++?
插值法和拟合实验报告 一、 实验目的 1.通过进行不同类型的插值，比较各种插值的效果，明确各种插值的优越性； 2.通过比较不同次数的多项式拟合效果，了解多项式拟合的原理； 3.利用matlab 编程，学会matlab 命令； 4.掌握拉格朗日插值法； 5.掌握多项式拟合的特点和方法。 二、 实验题目 1.、插值法实验 将区间[-5,5]10等分，对下列函数分别计算插值节点 k x 的值，进行不同类型 的插值，作出插值函数的图形并与)(x f y =的图形进行比较： ;11)(2x x f += ;a r c t a n )(x x f = .1)(42 x x x f += (1) 做拉格朗日插值； (2) 做分段线性插值； (3) 做三次样条插值. 2、拟合实验 给定数据点如下表所示： 分别对上述数据作三次多项式和五次多项式拟合，并求平方误差，作出离散函数 ),(i i y x 和拟合函数的图形。 三、 实验原理 1.、插值法实验
∏∑∏∏∏∑∑≠==≠=≠=≠=+-==--= =-= ==-=-=----==++==j i j j i i i i i n i i n n j i j j n j i j j i i n j i j j n i i i n i i n n n o i n i i n x x x x x y x l x L x x c n i x x c x x x c x x x x x x x x c y x l x L y x l y x l y x l x L ,00 ,0,0,01100 00 )(l )()() (1 ,1,0, 1)()(l ) ()())(()()()()()()()(， 故， 得 再由，设 2、拟合实验
习题5.1： Matlab程序如下： clc,clear x=1:0.5:10; y=x.^3-6*x.^2+5*x-3; y0=y+rand; f1=polyfit(x,y0,1) y1=polyval(f1,x); plot(x,y,'+',x,y1); grid on title('一次拟合曲线'); figure(2); f2=polyfit(x,y0,2) y2=polyval(f2,x); plot(x,y,'+',x,y2); grid on title('二次拟合曲线'); figure(3); f4=polyfit(x,y0,4) y3=polyval(f4,x); plot(x,y,'+',x,y3); grid on title('四次拟合曲线'); figure(4); f6=polyfit(x,y0,6) y4=polyval(f6,x); plot(x,y,'+',x,y4); grid on title('六次拟合曲线'); 计算结果及图如下 f1 = 43.2000 -148.8307 f2 = 10.5000 -72.3000 90.0443
f4 = 0.0000 1.0000 -6.0000 5.0000 -2.3557 f6 = -0.0000 0.0000 -0.0000 1.0000 -6.0000 5.0000 -2.3557 5.2高程数据问题解答如下：matlab程序: clc,clear x0=0:400:5600 y0=0:400:4800 z0=[1350 1370 1390 1400 1410 960 940 880 800 690 570 430 290 210 150 1370 1390 1410 1430 1440 1140 1110 1050 950 820 690 540 380 300 210 1380 1410 1430 1450 1470 1320 1280 1200 1080 940 780 620 460 370 350 1420 1430 1450 1480 1500 1550 1510 1430 1300 1200 980 850 750 550 500
MATLAB中的插值、拟合与查表 插值法是实用的数值方法，是函数逼近的重要方法。在生产和科学实验中，自变量x与因变量y的函数y = f(x)的关系式有时不能直接写出表达式，而只能得到函数在若干个点的函数值或导数值。当要求知道观测点之外的函数值时，需要估计函数值在该点的值。 如何根据观测点的值，构造一个比较简单的函数y=φ(x)，使函数在观测点的值等于已知的数值或导数值。用简单函数y=φ(x)在点x处的值来估计未知函数y=f(x)在x点的值。寻找这样的函数φ(x)，办法是很多的。φ(x)可以是一个代数多项式，或是三角多项式，也可以是有理分式；φ(x)可以是任意光滑（任意阶导数连续）的函数或是分段函数。函数类的不同，自然地有不同的逼近效果。在许多应用中，通常要用一个解析函数（一、二元函数）来描述观测数据。 根据测量数据的类型： 1．测量值是准确的，没有误差。 2．测量值与真实值有误差。 这时对应地有两种处理观测数据方法： 1．插值或曲线拟合。 2．回归分析（假定数据测量是精确时，一般用插值法，否则用曲线拟合）。 MATLAB中提供了众多的数据处理命令。有插值命令，有拟合命令，有查表命令。 2.2.1 插值命令 命令1 interp1 功能一维数据插值（表格查找）。该命令对数据点之间计算内插值。它找出一元函数f(x)在中间点的数值。其中函数f(x)由所给数据决定。各个参量之间的关系示意图为图2-14。 格式 yi = interp1(x,Y,xi) %返回插值向量yi，每一元素对应于参量xi，同时由向量x 与Y的内插值决定。参量x指定数据Y的点。若Y为一矩阵，则按Y的每列计算。yi是阶数为length(xi)*size(Y,2)的输出矩阵。 yi = interp1(Y,xi) %假定x=1:N，其中N为向量Y的长度，或者为矩阵Y的行数。 yi = interp1(x,Y,xi,method) %用指定的算法计算插值： ’nearest’：最近邻点插值，直接完成计算；
数值计算之美SHU ZHI JI SUAN ZHI MEI 胡家威 http://hujiaweibujidao.github.io/ 清华大学逸夫图书馆·北京
内容简介 本书是我对数值计算中的若干常见的重要算法及其应用的总结，内容还算比较完整。 本人才疏学浅，再加上时间和精力有限，所以本书不会详细介绍很多的概念，需要读者有一定的基础或者有其他的参考书籍，这里推荐参考文献中的几本关于数值计算的教材。 本书只会简单介绍下算法的原理，对于每个算法都会附上我阅读过的较好的参考资料以及算法的实现(Matlab或者其他语言)，大部分代码是来源于参考文献[1]或者是经过我改编而成的，肯定都是可以直接使用的，需要注意的是由于Latex对代码的排版问题，导致中文注释中的英文字符经常出现错位，对于这种情况请读者自行分析，不便之处还望谅解。写下这些内容的目的是让自己理解地更加深刻些，顺便能够作为自己的HandBook，如有错误之处，还请您指正，本人邮箱地址是：hujiawei090807@https://www.doczj.com/doc/eb3257853.html,。
目录 第四章曲线拟合和多项式插值1 4.1曲线拟合 (1) 4.1.1使用线性方程进行曲线拟合 (1) 4.1.2非线性方程进行曲线拟合 (2) 4.1.3使用二次或者高次多项式进行曲线拟合[最小二乘问题].3 4.2多项式插值 (4) 4.2.1拉格朗日插值多项式 (4) 4.2.2牛顿插值多项式 (5) 4.2.3分段线性插值 (7) 4.2.4保形分段三次插值 (8) 4.2.5三次样条插值 (10) 4.3Matlab函数解析 (13) 参考文献14
利用matlab实现插值与拟合实验 张体强1026222 张影 晁亚敏 [摘要]：在测绘学中，无论是图形处理，还是地形图处理等，大多离不开插值与拟合的应用，根据插值与拟合原理，构造出插值和拟合函数，理解其原理，并在matlab平台下，实现一维插值，二维插值运算，实现多项式拟合，非线性拟合等，并在此基础上，联系自己所学专业，分析其生活中特殊例子，提出问题，建立模型，编写程序，以至于深刻理解插值与拟合的作用。 [关键字]: 测绘学插值多项式拟合非线性拟合 [ Abstract]: in surveying and mapping, whether the graphics processing, or topographic map processing and so on, are inseparable from the interpolation and fitting application, according to the interpolation and fitting theory, construct the fitting and interpolation function, understanding its principle, and MATLAB platform, achieve one-dimensional interpolation, two-dimensional interpolation, polynomial fitting, non-linear fitting, and on this basis, to contact their studies, analysis of their living in a special example, put forward the question, modeling, programming, so that a deep understanding of interpolation and fitting function. [ Key words]: Surveying and mapping interpolation polynomial fitting nonlinear
计算方法实验报告 专业班级：医学信息工程一班姓名：陈小芳学号：201612203501002 实验成绩： 1．【实验题目】 插值法与曲线拟合 2．【实验目的】 3．【实验内容】 4. 【实验要求】
5. 【源程序（带注释）】 （1）拉格朗日插值 #include
实验三 插值法与拟合实验 一、实验目的 1. 通过本实验学会利用程序画出插值函数，并和原图形相比较 2. 通过本实验学会拟合函数图形的画法，并会求平方误差 二、实验题目 1. 插值效果的比较 实验题目：区间[]5,5-10等分，对下列函数分别计算插值节点k x 的值，进行不同类型的插值，作出插值函数的图形并与)(x f y =的图形进行比较： 2 11)(x x f +=； x x f arctan )(=； 4 41)(x x x f += （1） 做拉格朗日插值； （2） 做三次样条插值. 2. 拟合多项式实验 实验题目：给定数据点如下表所示： 分别对上述数据作三次多项式和五次多项式拟合，并求平方误差，作出离散函数),(i i y x 和拟合函数的图形. 三、实验原理 本实验应用了拉格朗日插值程序、三次样条插值程序、多项式拟合程序等实验原理. 四、实验内容 1（1） figure x=-5:0.2:5; y=1./(1+x.^2); plot(x,y,'r'); hold on %拉格朗日插值 x1=-5:1:5; y1=1./(1+x1.^2); xx=-4.5:0.5:4.5; yy=malagr(x1,y1,xx); plot(xx,yy,'+') %三次样条插值 dy0=1./(1+25); dyn=1./(1+25);
m=maspline(x1,y1,dy0,dyn,xx); plot(xx,m,'ok') 1（2） x=-5:0.2:5; y=atan(x); plot(x,y,'r'); hold on %拉格朗日插值 x1=-5:1:5; y1=atan(x1); xx=-4.5:0.5:4.5; yy=malagr(x1,y1,xx); plot(xx,yy,'+') %三次样条插值 dy0=1./(1+25); dyn=1./(1+25); m=maspline(x1,y1,dy0,dyn,xx); plot(xx,m,'ok') 1（3） x=-5:0.2:5; y=x.^2./(1+x.^4); plot(x,y,'r'); hold on %拉格朗日插值 x1=-5:1:5; y1=x1.^2./(1+x1.^4); xx=-4.5:0.5:4.5; yy=malagr(x1,y1,xx); plot(xx,yy,'+') %三次样条插值 dy0=1./(1+25); dyn=1./(1+25); m=maspline(x1,y1,dy0,dyn,xx); plot(xx,m,'ok') 2. x=[-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5]'; y=[-4.45 -0.45 0.55 0.05 -0.44 0.54 4.55]'; plot(x,y,'or'); hold on %三次多项式拟合 p1=mafit(x,y,3);
第四、五讲作业题参考答案 一、填空题 1、拉格朗日插值基函数在节点上的取值是（ 0或1 ）。 2、当1,1,2x =-，时()034f x =-， ，，则()f x 的二次插值多项式为 （ 2527 633 x x +- ）。 3、由下列数据 所确定的唯一插值多项式的次数为（ 2次 ）。 4、根据插值的定义，函数()x f x e -=在[0,1]上的近似一次多项式1()P x = （ 1(1)1e x --+ ），误差估计为（ 18 ）。 5、在做曲线拟合时，对于拟合函数x y ax b = +，引入变量变换y =（ 1 y ），x =（ 1 x ）来线性化数据点后，做线性拟合y a bx =+。 6、在做曲线拟合时，对于拟合函数Ax y Ce =，引入变量变换（ ln()Y y = ）、 X x =和B C e =来线性化数据点后，做线性拟合Y AX B =+。 7、设3()1f x x x =+-，则差商[0,1,2,3]f =（ 1 ）。 8、在做曲线拟合时，对于拟合函数()A f x Cx =，可使用变量变换（ln Y y =）（ln X x = ）和B C e =来线性化数据点后，做线性拟合Y AX B =+。 9、设(1)1,(0)0,(1)1,(2)5,()f f f f f x -====则的三次牛顿插值多项式为 （ 3211 66x x x +-），其误差估计式为（ 4()(1)(1)(2),(1,2)24f x x x x ξξ+--∈-） 10、三次样条插值函数()S x 满足：()S x 在区间[,]a b 内二阶连续可导， (),,0,1,2,,,k k k k S x y x y k n ==（已知）且满足()S x 在每一个子区间1[,] k k x x +上是（ 三次多项式 ）。
第十章 插值与拟合方法建模 在生产实际中，常常要处理由实验或测量所得到的一批离散数据，插值与拟合方法就是要通过这些数据去确定某一类已经函数的参数，或寻求某个近似函数使之与已知数据有较高的拟合精度。插值与拟合的方法很多，这里主要介绍线性插值方法、多项式插值方法和样条插值方法，以及最小二乘拟合方法在实际问题中的应用。相应的理论和算法是数值分析的内容，这里不作详细介绍，请参阅有关的书籍。 §1 数据插值方法及应用 在生产实践和科学研究中，常常有这样的问题：由实验或测量得到变量间的一批离散样点，要求由此建立变量之间的函数关系或得到样点之外的数据。与此有关的一类问题是当原始数据 ),(,),,(),,(1100n n y x y x y x 精度较高，要求确定一个初等函数)(x P y =（一般用多项式或分 段多项式函数）通过已知各数据点（节点），即n i x P y i i ,,1,0,)( ==，或要求得函数在另外一些点（插值点）处的数值，这便是插值问题。 1、分段线性插值 这是最通俗的一种方法，直观上就是将各数据点用折线连接起来。如果 b x x x a n =<<<= 10 那么分段线性插值公式为 n i x x x y x x x x y x x x x x P i i i i i i i i i i ,,2,1,,)(11 1 11 =≤<--+--= ----- 可以证明，当分点足够细时，分段线性插值是收敛的。其缺点是不能形成一条光滑曲线。 例1、已知欧洲一个国家的地图，为了算出它的国土面积，对地图作了如下测量：以由西向东方向为x 轴，由南向北方向为y 轴，选择方便的原点，并将从最西边界点到最东边界点在x 轴上的区间适当的分为若干段，在每个分点的y 方向测出南边界点和北边界点的y 坐标y1和y2，这样就得到下表的数据（单位：mm ）。
实验报告三 一、实验目的 通过本实验的学习，各种插值法的效果，如多项式插值法，牛顿插值法，样条插值法，最小二乘法拟合（即拟合插值），了解它们各自的优缺点及插值。 二、实验题目 1、 插值效果比较 实验题目：将区间[]5,5-10等份，对下列函数分别计算插值节点k x 的值，进行不同类型的插值，作出插值函数的图形并与)(x f y =的图形进行比较： 211)(x x f +=；x x f arctan )(=；4 2 1)(x x x f +=。 （1） 做拉格朗日插值； （2） 做三次样条插值。 2、 拟合多项式实验 实验题目：给定数据点如下表所示： i x -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 i y -4.45 -0.45 0.55 0.05 -0.44 0.54 4.55 分别对上述数据做三次多项式和五次多项式拟合，并求平方误差，作出离散函数()i i y x ,和拟合函数的图形。 三、实验原理 n 阶拉格朗日插值 设已知n x x x ,,,10 及()()()x L n i x f y n i i ,,,1,0 ==为不超过n 次的多项式，且满足 插值条件()().,,1,0n i y x L i i n ==由对()x L 2的构造经验，可设 ()()()()(),11000 n n n i i i n y x l y x l y x l y x l x L +++==∑= 其中，()()n i x L i ,,1,0 =均为n 次多项式且满足() .,,1,0,, ,0, ,1n j i j i j i x l j i =?? ?≠==不难验 证，这样构造出的()x L n 满足插值条件。因此问题归结为求()()n i x l i ,,1,0 =的表达式。因 ()i j x i ≠是n 次多项式()x l i 的n 个根，故可设
插值和拟合区别 运输1203黎文皓通过这个学期的《科学计算与数学建模》课程的学习，使我掌握了不少数学模型解决实际问题的方法，其中我对于插值与拟合算法这一章，谈一谈自己的看法可能不是很到位，讲得不好的地方也请老师见谅。 首先，举一个简单的例子说明一下这个问题。 如果有100个平面点，要求一条曲线近似经过这些点，可有两种方法：插值和拟合。 我们可能倾向于用一条（或者分段的多条）2次、3次或者说“低次”的多项式曲线而不是99次的曲线去做插值。也就是说这条插值曲线只经过其中的3个、4个（或者一组稀疏的数据点）点，这就涉及到“滤波”或者其他数学方法，也就是把不需要90多个点筛选掉。如果用拟合，以最小二乘拟合为例，可以求出一条（或者分段的多条）低次的曲线（次数自己规定），逼近这些数据点。具体方法参见《数值分析》中的“线性方程组的解法”中的“超定方程的求解法”。经过上面例子的分析，我们可以大致的得到这样一个结论。插值就是精确经过，拟合就是逼近。 插值和拟合都是函数逼近或者数值逼近的重要组成部分。他们的共同点都是通过已知一些离散点集M上的约束，求取一个定义在连续集合S(M包含于S)的未知连续函数，从而达到获取整体规律目的，即通过"窥几斑"来达到"知全豹"。 所谓拟合是指已知某函数的若干离散函数值{f1,f2,…,fn}，通过调
整该函数中若干待定系数f(λ1, λ2,…,λ3), 使得该函数与已知点集的差别(最小二乘意义)最小。如果待定函数是线性，就叫线性拟合或者线性回归(主要在统计中)，否则叫作非线性拟合或者非线性回归。表达式也可以是分段函数，这种情况下叫作样条拟合。 而插值是指已知某函数的在若干离散点上的函数值或者导数信息，通过求解该函数中待定形式的插值函数以及待定系数，使得该函数在给定离散点上满足约束。 从几何意义上将，拟合是给定了空间中的一些点，找到一个已知形式未知参数的连续曲面来最大限度地逼近这些点；而插值是找到一个(或几个分片光滑的)连续曲面来穿过这些点。 不过是插值还是拟合都是建立在一定的数学模型的基础上进行的。多项式插值虽然在一定程度上解决了由函数表求函数的近似表达式的问题，但是在逼近曲线上有明显的缺陷，很可能不能很好的表示函数的走向，存在偏差，在实际问题中我们往往通过函数近似表达式的拟合法来得到一个较为准却的表达式。
实验 2 插值与拟合 系班姓名学号 【实验目的】 1、掌握用MATLAB计算拉格朗日、分段线性、三次样条三种插值的方法，改变节点的数目， 对三种插值结果进行初步分析。 2、掌握用MATLAB作线性最小二乘的方法。 3、通过实例学习如何用插值方法与拟合方法解决实际问题，注意二者的联系和区别。 【实验内容】 预备：编制计算拉格朗日插值的M文件： 以下是拉格朗日插值的名为y_lagrl的M文件： function y=y_lagr1(x0,y0,x) n=length(x0);m=length(x); for i=1:m z=x(i); s=0.0; for k=1:n p=1.0; for j=1:n if j~=k p=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j)); end end s=p*y0(k)+s; end y(i)=s; end 第1题（d） 选择函数y=exp(-x2) (-2≤x≤2),在n个节点上（n不要太大，如5~11）用拉格朗日、分段线性、三次样条三种插值方法，计算m个插值点的函数值（m要适中，如50~100）。通过数值和图形输出，将三种插值结果与精确值进行比较。适当增加n，在作比较，由此作初步分析。 运行如下程序： n=7;m=61;x=-2:4/(m-1):2; y=exp(-x.^2); z=0*x; x0=-2:4/(n-1):2; y0=exp(-x0.^2); y1=y_lagr1(x0,y0,x); y2=interp1(x0,y0,x); y3=interp1(x0,y0,x,'spline');
[x'y'y1'y2'y3'] plot(x,z,'w',x,y,'r--',x,y1,'b:',x,y2,'m',x,y3,'b') gtext('y=exp(-x^2)'),gtext('Lagr.'),gtext('Piece.-linear.'),gtext ('Spline'), 将三种插值结果y1,y2,y3与精确值y 项比较，显然y1在节点处不光滑,拉格朗日插值出现较大的振荡,样条插值得结果是最好的.增加n 值（使n=11），再运行以上程序，得到的图形如右图所示，比较这两个图可发现，节点增加后，三种插值方法结果的准确度均有所提高，因此可近似地认为：增加节点个数可以提高插值结果的准确程度。 第3题 用给定的多项式，如y=x 3-6x 2+5x-3，产生一组数据（x i ,y i ,i=1,2,…,n ），再在yi 上添加随机干扰（可用rand 产生（0，1）均匀分布随机数，或用randn 产生N （0，1）分布随机数），然后用x i 和添加了随机干扰的y i 作3次多项式拟合，与原系数比较。如果作2或4次多项式拟合，结果如何？ 解：2 编制y_2_3.m 文件 n=15; x=0:8/(n-1):8; y=x.^3-6*x.^2+5*x-3; z=0*x; y0=y+rand(1,15); f=polyfit(x,y0,m); r=polyval(f,x) pl2ot(x,z,'k',x,y,'r:'r,'b') 程序及运行结果如下：m=2 ,y_2_3 f = 5.9888 -31.9916 17.6679 m=3 ,y_2_3
第七讲插值方法与数据拟合 § 7.1 引言 在工程和科学实验中，常常需要从一组实验观测数据(x i , y i ) (i= 1, 2, …, n) 揭示自变量x与因变量y 之间的关系，一般可以用一个近似的函数关系式y = f (x) 来表示。函数f (x) 的产生办法因观测数据与要求的不同而异，通常可采用两种方法：插值与数据拟合。 § 7.1.1 插值方法 1．引例1 已经测得在北纬32.3?海洋不同深度处的温度如下表： 根据这些数据，我们希望能合理地估计出其它深度（如500米、600米、1000米…）处的水温。 解决这个问题，可以通过构造一个与给定数据相适应的函数来解决，这是一个被称为插值的问题。 2．插值问题的基本提法 对于给定的函数表 其中f (x) 在区间[a, b] 上连续，x0，x1，…，x n为[a, b] 上n + 1个互不相同的点，要求在一个性质优良、便于计算的函数类{P(x)} 中，选出一个使 P(x i ) = y i，i= 0, 1, …, n(7.1.1) 成立的函数P(x) 作为 f (x) 的近似，这就是最基本的插值问题（见图7.1.1）。 为便于叙述，通常称区间[a, b] 为插值区间，称点x0，x1，…，x n为插值节点，称函数类{P(x)} 为插值函数类，称式(7.1.1) 为插值条件，称函数P(x) 为插值函数，称f (x) 为被插函数。求插值函数P(x) 的方法称为插值法。 § 7.1.2 数据拟合 1．引例2 在某化学反应中，已知生成物的浓度与时间有关。今测得一组数据如下： 根据这些数据，我们希望寻找一个y = f (t) 的近似表达式（如建立浓度y与时间t之间的经验公式等）。从几何上看，就是希望根据给定的一组点（1, 4.00），…,（16, 10.60），求函数y = f (t) 的图象的一条拟合曲
计算方法实验 题目： 班级： 学号： 姓名：
目录 计算方法实验 (1) 1 实验目的 (3) 2 实验步骤 (3) 2.1环境配置： (3) 2.2添加头文件 (3) 2.3主要模块 (3) 3 代码 (4) 3.1主程序部分 (4) 3.2多项式方程部分 (4) 3.3核心算法部分 (8) 3.4数据结构部分 (13) 4运行结果 (19) 4.1拉格朗日插值法运行结果 (19) 4.2牛顿插值法运行结果 (20) 4.3多项式拟合运行结果 (20) 5总结 (21) 拉格朗日插值法 (21) 牛顿插值法 (21) 多项式拟合 (21) 6参考资料 (22)
1 实验目的 1.通过编程对拉格朗日插值法、牛顿插值法以及多项式拟合数据的理解 2.观察上述方法的计算稳定性和求解精度并比较各种方法利弊 2 实验步骤 2.1环境配置： VS2013，C++控制台程序 2.2添加头文件 #include "stdio.h" #include "stdlib.h" #include "stdafx.h" 2.3主要模块 程序一共分成三层，最底层是数据结构部分，负责存储数据，第二层是交互部分，即多项式方程部分，负责输入输出获得数据，最上层是核心的算法部分，负责处理已获得的数据。具体功能如下： ●数据结构部分 数据结构部分是整个程序的最底层，负责存储部分。因方程系数作为数据元素插入和删除操作较少，而顺序表空间利用率大且查看方便，故此程序选用顺序表保存系数。数据结构文件中写的是有关顺序表的所有基本操作以供其他文件调用。本次实验使用列主元高斯消元法作为求解方程组的方法，所以也用了二维顺序表存储数组。综上，数据结构部分文件是前两个试验的文件内容和，稍作修改。 ●常系数微分方程部分 多项式方程部分是程序的第二层，内容主要是常系数微分方程导数的计算和显示菜单部分。 ●算法部分 算法部分分为两个文件，一个是插值部分，一个是拟合部分。 插值部分文件负责有关插值的核心算法，处于整个程序最上层部分，负责拉格朗日插值法和牛顿插值法的具体实现过程。调用方程文件的函数，将获得的数据进行处理运算，将结果返回给方程主函数和输出的第二层。每种方法有两个函数，一个为仅仅实现一次插值的算法，另一个是和方程部分联系的
曲线拟合的数值计算方法实验 郑发进 2012042020022 【摘要】实际工作中，变量间未必都有线性关系，如服药后血药浓度与时间的关系；疾病疗效与疗程长短的关系；毒物剂量与致死率的关系等常呈曲线关系。曲线拟合（curve fitting）是指选择适当的曲线类型来拟合观测数据，并用拟合的曲线方程分析两变量间的关系。曲线直线化是曲线拟合的重要手段之一。对于某些非线性的资料可以通过简单的变量变换使之直线化，这样就可以按最小二乘法原理求出变换后变量的直线方程，在实际工作中常利用此直线方程绘制资料的标准工作曲线，同时根据需要可将此直线方程还原为曲线方程，实现对资料的曲线拟合。常用的曲线拟合有最小二乘法拟合、幂函数拟合、对数函数拟合、线性插值、三次样条插值、端点约束。 关键词曲线拟合、最小二乘法拟合、幂函数拟合、对数函数拟合、线性插值、三次样条插值、端点约束 一、实验目的 1.掌握曲线拟合方式及其常用函数指数函数、幂函数、对数函数的拟合。 2.掌握最小二乘法、线性插值、三次样条插值、端点约束等。 3.掌握实现曲线拟合的编程技巧。 二、实验原理 1.曲线拟合 曲线拟合是平面上离散点组所表示的坐标之间的函数关系的一种数据处理方法。用解析表达式逼近离散数据的一种方法。在科学实验或社会活动中，通过实验或观测得到量x与y的一组数据对（X i，Y i)（i=1，2，...m），其中各X i 是彼此不同的。人们希望用一类与数据的背景材料规律相适应的解析表达式，y=f(x，c）来反映量x与y之间的依赖关系，即在一定意义下“最佳”地逼近或拟合已知数据。f(x，c)常称作拟合模型，式中c=(c1，c2，…c n)是一些待定参数。
Matlab中插值拟合函数汇总和使用说明 命令1 interp1 功能一维数据插值（表格查找）。该命令对数据点之间计算内插值。它找出一元函数f(x)在中间点的数值。其中函数f(x)由所给数据决定。 x：原始数据点 Y：原始数据点 xi：插值点 Yi：插值点 格式 (1)yi = interp1(x,Y,xi) 返回插值向量yi，每一元素对应于参量xi，同时由向量x 与Y 的内插值决定。参量x 指定数据Y 的点。 若Y 为一矩阵，则按Y 的每列计算。yi 是阶数为 length(xi)*size(Y,2)的输出矩阵。 (2)yi = interp1(Y,xi) 假定x=1:N，其中N 为向量Y 的长度，或者为矩阵Y 的行数。(3)yi = interp1(x,Y,xi,method) 用指定的算法计算插值： ’nearest’：最近邻点插值，直接完成计算； ’linear’：线性插值（缺省方式），直接完成计算； ’spline’：三次样条函数插值。对于该方法，命令interp1 调用
函数spline、ppval、mkpp、umkpp。这些命令生成一系列用于分段多项式操作的函数。命令spline 用它们执行三次样条函数插值； ’pchip’：分段三次Hermite 插值。对于该方法，命令interp1 调用函数pchip，用于对向量x 与y 执行分段三次内插值。该方法保留单调性与数据的外形； ’cubic’：与’pchip’操作相同； ’v5cubic’：在MATLAB 5.0 中的三次插值。 对于超出x 范围的xi 的分量，使用方 法’nearest’、’linear’、’v5cubic’的插值算法，相应地将返回NaN。对其他的方法，interp1 将对超出的分量执行外插值算法。 (4)yi = interp1(x,Y,xi,method,'extrap') 对于超出x 范围的xi 中的分量将执行特殊的外插值法extrap。(5)yi = interp1(x,Y,xi,method,extrapval) 确定超出x 范围的xi 中的分量的外插值extrapval，其值通常取NaN 或0。 例1 1. 2.>>x = 0:10; y = x.*sin(x); 3.>>xx = 0:.25:10; yy = interp1(x,y,xx); 4.>>plot(x,y,'kd',xx,yy) 例2 1.
第四章 插值法与函数逼近 A 插值法 1. 根据( 2.2)定义的范德蒙行列式,令 证明 是n 次多项式,它的根是,且 . 2. 当x = 1 , -1 , 2 时, f (x)= 0 , -3 , 4 ,求f (x )的二次插值多项式. 3. 4. 给出cos x ,0°≤x ≤90°的函数表,步长h =1′=(1/60)°,若函数表具有5位有效数字, 研究用线性插值求cos x 近似值时的总误差界. 5. 设,k =0,1,2,3,求. 6. 设 为互异节点(j =0,1,…,n ),求证: i) ii) 7. 设 且,求证 8. 在上给出的等距节点函数表,若用二次插值求的近似值,要使截 断误差不超过,问使用函数表的步长应取多少? 9. 若,求 及. 10. 如果是次多项式,记,证明的阶差分 是次多项式,并且为正整数). 11. 证明. 12. 证明 13. 证明 14. 若 有个不同实根,证明 2000 0112111 21 ()(,, ,,)11 n n n n n n n n n x x x V x V x x x x x x x x x x ----== ()n V x 01, ,n x x -101101()(,, ,)() ()n n n n V x V x x x x x x x ---=--0k x x kh =+032max ()x x x l x ≤≤j x 0()(0,1, ,); n k k j j j x l x x k n =≡=∑0 ()()1,2,,). n k j j j x x l x k n =-≡0(=∑[] 2(),f x C a b ∈()()0f a f b ==21 ()()(). 8max max a x b a x b f x b a f x ≤≤≤≤≤-"44x -≤≤()x f x e =x e 6 10-h 2n n y =4n y ?4 n y δ()f x m ()()()f x f x h f x ?=+-()f x k ()(0)k f x k m ?≤≤m k -()0(m l f x l +?=1()k k k k k k f g f g g f +?=?+?1 1 0010 . n n k k n n k k k k f g f g f g g f --+==?=--?∑∑1 2 00 . n j n j y y y -=? =?-?∑1011()n n n n f x a a x a x a x --=++++n 12,,,n x x x
第三章 插值方法与数据拟合 所讨论的问题给复杂的函数 ()f x 找一简单的函数()p x 如多项式、三角函数 等，并让其满足一定的条件，让其近似的取代原函数 ()f x 。 或 有一数据表格，我们需要找一函数取近似的表征该表数据。 §1 拉格朗日（L a g r a n g e ）插值 在函数类中多项式具有最简单的性质。 1230123()...n n p x a a x a x a x a x =+++++ 设 ()y f x =在区间[a ，b ]连续的实函数已知在该区间上n +1个不同点i x 的函 数值()1,2,...,i i y f x i n == 或 有数据表有1n +对数据 1,2,...,i i x y i n →= 插值节点 我们需要找一个n 次多项式 1230123()...n n p x a a x a x a x a x =+++++ 使得在这些点上函数值等于插值节点的值。 ()i i y p x = 1、线性插值 已知两个点的函数值：0 011x y x y →→ 做一线性函数使得在两个节点上函数值为节点值。 0011() ()y p x y p x == 函数为：
0011 01 010110 ()()()p x l x y l x y x x x x y y x x x x =+--=+-- 基函数()i l x 为一次函数，且在节点上 1()0j i i j j i x x l x x x =??=?≠?? 几何意义：过两点做直线。按x 变化量平均。 2、抛物线插值 已知三个点的函数值：0 01122x y x y x y →→→ 做二次函数使得在三个节点上函数值为节点值。 001122() ()()y p x y p x y p x === 函数为： 001122 0012 21012010210122021 ()()()()p x l x y l x y l x y x x x x x x x x x x x x y y y x x x x x x x x x x x x =++------=++------ 基函数()i l x 为二次函数，且在节点上 1()0j i i j j i x x l x x x =??=?≠?? 3、拉格朗日插值 已知n +1个点的函数值：0 011,....,n n x y x y x y →→→ 做n 次函数使得在n +1个节点上函数值为节点值。 0011() (),...,()n n y p x y p x y p x === 函数为：
插值与多项式逼近的数组计算方法实验【摘要】计算机软件中经常要用到库函数，如） （x cos，x e，它们 sin，） （x 是用多项式逼近来计算的。虽然目前最先进的逼近方法是有理函数（即多项式的商），但多项式逼近理论更适于作为数值分析的入门课程。在已知数据具有高精度的情况下，通常用组合多项式来构造过给定数据点的多项式。构造组合多项式的方法有许多种，如线性方程求解、拉格朗日系数多项式以及构造牛顿多项式的方分和系数表。 关键字泰勒级数、拉格朗日插值法、牛顿插值法、帕德逼近 一、实验目的 1.通过具体实验，掌握泰勒级数、拉格朗日插值法、牛顿插值法、帕德逼近的编程技巧。 2.比较各插值方法的优劣并掌握。 二、实验原理 1.泰勒级数 在数学中，泰勒级数（英语：Taylor series）用无限项连加式——级数来表示一个函数，这些相加的项由函数在某一点的导数求得。 如果在点x=x 具有任意阶导数，则幂级数 称为在点x 处的泰勒级数。 =0，得到的级数 在泰勒公式中，取x 称为麦克劳林级数。函数的麦克劳林级数是x的幂级数，那么这种展开
是唯一的，且必然与的麦克劳林级数一致。 2.拉格朗日插值法 如对实践中的某个物理量进行观测，在若干个不同的地方得到相应的观测值，拉格朗日插值法可以找到一个多项式，其恰好在各个观测的点取到观测到的值。这样的多项式称为拉格朗日（插值）多项式。数学上来说，拉格朗日插值法可以给出一个恰好穿过二维平面上若干个已知点的多项式函数。 在平面上有(x 1,y 1)(x 2,y 2)...(x n ,y n )共n 个点，现作一条函数f （x ）使其图像经过这n 个点。 作n 个多项式p i (x),i=1,2,3...,n,使得 最后可得 3.牛顿插值法 插值法利用函数f (x)在某区间中若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f (x)的近似值。如果这特定函数是多项式，就称它为插值多项式。利用插值基函数很容易得到拉格朗日插值多项式，公式结构紧凑，在理论分析中甚为方便，但当插值节点增减时全部插值基函数均要随之变化，整个公式也将发生变化， 这在实际计算中是很不方便的，为了克服这一缺点，提出了牛顿插值。 牛顿插值通过求各阶差商，递推得到的一个公式： 10121()()()()()()N N N N P x P x a x x x x x x x x --=+----L 牛顿插值与拉格朗日插值具有唯一性。 4.帕德逼近 它不仅与逼近论中其他许多方法有着密切的关系，而且在实际问题特别是许多物理问题中有着广泛的应用。设是在原点某邻域内收敛的、具有复系数的麦克劳林级数。欲确定一个有理函数，式中,使得前次方的系数为0，即使得 此处约定qk ＝0（k>n ）。虽然所求得的Pm(z)和Qn(z)不惟一，但是比式却总是惟一的。有理函数称为F(z)的(m,n)级帕德逼近,记为(m/n)。由(m/n)所形成的阵列称为帕德表。