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勾股定理导学案（一）
学习目标：
1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。
2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。
学习爱点：勾股定理的内容及证明。
学习难点：勾股定理的证明。 学习过程：
（一）、课前准备（2分钟） 1、直角△ABC 的主要性质是：∠C=90°（用几何语言表示）
（1）两锐角之间的关系：
（2）若D 为斜边中点，则斜边中线
（3）若∠B=30°，则∠B 的对边和斜边： 。
2、总结规律，大胆才猜想（5分钟）
在等腰直角三角形中斜边的平方等于两条直角边的平方和，其他的直角三角形中也有这个性质吗？（完成书上65页探究）由此我们可以得出什么结论？
命题1：如果直角三角形的两直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么 。
（二）、用面积法证明勾股定理
1、已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。
求证： 222a b c +=
证明方法一：
证明方法二：
A C
B D
证明方法三：
四、练一练
勾股定理：对于任意的直角三角形，如果的它的两条直角边分别是a、b，斜边为c，那么一定有：
变形则有a=
b=
c=
勾股定理的应用是本节教学的重点，一定要让学生熟练地掌握在直角三角形中已知两边求第三边的方法。
练习1(填空题)
已知在Rt△ABC中，∠C=90°。
①若a=3，b=4，则c=________；②若a=40，b=9，则c=________；
③若a=6，c=10，则b=_______；④若c=25，b=15，则a=________。
练习2
①求下列图中字母所表示的正方形的面积
81
A
225
B
225
400
②如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A，B，C，D的面积之和为___________cm2。
A B
C
D 7cm
（三）随堂练习
1、在Rt △ABC 中，90C ∠=? ，
（1）如果a=3，b=4，则c=________；
（2）如果a=6，b=8，则c=________；
（3）如果a=5，b=12，则c=________；
(4) 如果a=15，b=20，则c=________.
2、下列说法正确的是（ ）
A.若a 、b 、c 是△ABC 的三边，则222a b c +=
B.若a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边，则222a b c +=
C.若a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边，90A ∠=?， 则222a b c +=
D.若a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边，90C ∠=? ，则222a b c += 3、一个直角三角形中，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（ ）
A ．斜边长为25
B ．三角形周长为25
C ．斜边长为5
D ．三角形面积为20
4、如图,三个正方形中的两个的面积S1＝25，S2＝144，则另一个的面积S3为________．
5、一个直角三角形的两边长分别为5cm 和12cm,则第三边的长为 。
（四）当堂检测：
1．在Rt △ABC 中，∠C=90°，
①若a=5，b=12，则c=___________；②若a=15，c=25，则b=___________；
③若c=61，b=60，则a=__________；④若a ∶b=3∶4，c=10则S Rt△ABC =________。
2、一直角三角形的一直角边长为6，斜边长比另一直角边长大2，则斜边的长为 。
3、一个直角三角形的两边长分别为3cm 和4cm,则第三边的为 。
4、已知，如图在ΔABC 中，AB=BC=CA=2cm ，AD 是边BC 上的高．
求 ①AD 的长；②ΔABC 的面积．
拓展提高:
1．在△ABC 中，∠BAC=120°，AB=AC=310cm ，一动点P 从B 向C
以每秒2cm 的速度移动，问当P 点移动多少秒时，PA 与腰垂直。
2．已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 在CB 的延长线上。
求证：⑴AD 2－AB 2=BD ·CD
⑵若D 在CB 上，结论如何，试证明你的结论。
A
D C B 第4题图
S 1 S 2 S 3
课题：14.1.1直角三角形三边关系 班级： 姓名： 小组： 小组内评价： ★学习目标： 1.探索并掌握勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 2．会应用勾股定理解决实际问题 ★重点：探索勾股定理的证明过程 ★难点：运用勾股定理解决实际问题 课前预习案 一、知识回顾与预习自测： 1、如图1直角?ABC 的面积ABC s ?= 图1 2、下面两个图中每个小方格的面积都为 1 图 2 （1） 如图2正方形P 的面积是 边长是 ； 正方形Q 的面积是 ，边长是 ； 正方形R 的面积是 ,边长是 ； 面积可以表示成 直角三角形的面积和 （2）如图3，正方形P 的面积是 边长是 ； 正方形Q 的面积是 ，边长是 ； 正方形R 的面积是 ,边长是 正方形R 面积可以分割成哪些图形的面积 和 图3 （3）你能发现图2、图3中三个正方形P ， Q ，R 的面积之间有什么关系吗？ （4）你能发现图2、图3中直角三角形三 边长度之间存在什么关系吗？ 二、教材解读 1、勾股定理的内容： 直角三角形 的平方和等 于 的平方。 2、如果直角三角形两直角边分别为a 、b,斜边为c ，由勾股定理知 =2c ，=c =2 a ，=a =2b ，=b
课内探 一、课堂检测 1、如上图正方形P 的面积=_____________ AB=__________ BC=__________ AC=__________ 2、如上图，P 的面积 =______________ AB=__________BC=__________ AC=__________ 二、例题讲练 1、已知Rt △ABC 中，∠C=90° ①若a = 5，b = 12，求c 的长度 ②若c= 10，b = 8，求a 的长度. 2、在Rt △ABC 中， ∠C ＝90°， BC=a ,AC=b ,AB=c . （１）已知a =7, b =24,求c ； （２）已知a =5, c =8, 求b ； （３）已知a =b ,c =6, 求a ； 三、课堂练习：求下列未知数的值。 四、我的反思 五、布置作业：
勾股定理全章复习 主备人: 审核人：初二数学组 课型:新授 学习目标：复习勾股定理及其逆定理，能利用它们求三角形的边长或证明三角形是直角 三角形. 学习重点：勾股定理及其逆定理的应用。 学习难点：利用定理解决实际问题。 学习过程 一、知识要点1：直角三角形中，已知两边求第三边 1.勾股定理：若直角三角形的三边分别为a ，b ，c ，ο 90=∠C ，则 。 公式变形①：若知道a ，b ，则=c ； 公式变形②：若知道a ，c ，则=b ； 公式变形③：若知道b ，c ，则=a ； 例1：求图中的直角三角形中未知边的长度： =b ，=c . (1)在Rt ABC ?中，若ο 90=∠C ，4=a ，=b 3，则=c . (2)在Rt ABC ?中，若o B 90=∠，9=a ，41=b ，则=c . (3)在Rt AB C ?中，若ο 90=∠A ，7=a ，5=b ，则=c . 二、知识要点2：利用勾股定理在数轴找无理数。 例2：在数轴上画出表示5的点. 在数轴上作出表示10的点． 三、知识要点3：判别一个三角形是否是直角三角形。 例3：分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）3、4、5（2）5、12、13（3）8、15、17（4）4、5、6，试找出哪些能够成直角三角形。 1、在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是（ ） A ．12，15，17 B ．9，16，25 C ．5a ，12a ，13a （a>0） D ．2，3，4 2、判断由下列各组线段a ，b ，c 的长，能组成的三角形是不是直角三角形，说明理由. （1）5.6=a ，5.7=b ，4=c ； （2）11=a ，60=b ，61=c ； 9 15 b 24 c
子洲三中 “双主”高效课堂 导学案 2014-2015 学年第一学期 姓名： 组名： 使用时间2014年 月 日 年 级 科 目 课 题 主 备 人 备 课 方 式 负责人（签字） 审核领导（签字） 序号 八（3） 数学 §1.1 探索勾股定理（第1课时） 乔 智 一、教学目标 1．用数格子（或割、补、拼等）的办法体验勾股定理的探索过程并理解勾股定理反映的直角三角形的三边之间的数量关系，会初步运用勾股定理进行简单的计算和实际运用． 2．让学生经历“观察—猜想—归纳—验证”的数学思想，并体会数形结合和特殊到一般的思想方法． 二、教学过程设计 第一环节：创设情境，引入新课 内容：2002年世界数学家大会在我国北京召开，投影显示本届世界数学家大会的会标： 会标中央的图案是一个与“勾股定理”有关的图形，数学家曾建议用“勾股定理”的图来作为与“外星人”联系的信号．今天我们就来一同探索勾股定理． 第二环节：探索发现勾股定理 1．探究活动一 内容：投影显示如下地板砖示意图，引导学生从面积角度观察图形： 问：你能发现各图中三个正方形的面积之间有何关系吗？ 通过观察，归纳发现： 结论1 以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积． 2．探究活动二 内容：由结论1我们自然产生联想：一般的直角三角形是否也具有该性质呢？ （1）观察下面两幅图： （2）填表： A 的面积 （单位面积） B 的面积 （单位面积） C 的面积 （单位面积） 左图 右图 （3）你是怎样得到正方形C 的面积的？与同伴交流．（学生可能会做出多种方法，教师应给予充分肯定．） 图1 图2 图3 A B C C B A
课题名称：勾股定理 (1 ) 学习目标： 1 ?了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。 2. 培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。了解我国古代在勾股定 理研究方面所取得的成就。 学习目标：经历观察与发现直角三角形三边关系的过程，感受勾股定理的应用意识。学习重点：勾股定理的内容及证明。学习难点：勾股定理的证明。 自助探究 1. 1、2002年北京召开了被誉为数学界“奥运会”的国际数学家大会，这就是当 时采用的会徽.你知道这个图案的名字吗？你知道它的背景吗？你知道为什么会 用它作为会徽吗？ 量关系.请同学们也观察一 下， 2、相传2500年前，古希腊的数学家毕达哥/ 么？ 拉斯在朋友家做客时，发现朋友家用地砖铺' 成的地面中反映了直角三角形三边的某种数 (1) 引导学生观察三个正方形之间的面积的关系； (2) 引导学生把面积的关系转化为边的关系. 结论：等腰直角三角形三边的特殊关系：斜边的平方等于两直角边的平方和 3、等腰直角三角形有上述性质， 其它直角三角形也有这个性质吗？ 4、____________________________________________________ 猜想：命题1 自助提升 1、定理证明 (1) 赵爽利用弦图证明。 显然4个_________ 的面积+中间小正方形的面积二该图案的面积. 1 22 即4 X X _______ +〔〕= c ,化简后得到___________ . ________ 2 (2) 其他证明方法：教材72页思考讨论完成 2、在Rt△ ABC中，/ C=90°,AB=17,BC=8,求AC 的长 3、Rt△ ABC和以AB为边的正方形ABEF,/ ACB=90° AC=12，BC=5,则正方形的面积是________ . 4、(1)已知Rt△ ABC 中，/ C=90 ° BC=6，AC=8，求AB. (2) 已知Rt△ ABC 中，/ A=90 ° AB=5，BC=6，求AC. (3) 已知Rt△ ABC 中，/ B=90 ° a，b，c 分别是/ A，/ B， / C的对 A F i片i C B
探索勾股定理（一） 一、活动探究 观察下面两幅图： （1）填表： （2）你是怎样得到正方形C 的面积的？与同伴交流． （3）如果直角三角形的两直角边为a 、b ，斜边为c ，用直角三角形的边长来表示上图中正方形的面积 （4）分别以5厘米、12厘米为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度．2中发现的规律对这个三角形仍然成立吗？分别以3厘米、4厘米为直角边作出一个直角三角形呢？ 用符号表示为： 变形公式：（1）___________________________ ( 2 ) 二、勾股定理的简单应用 1、 如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面10m 处折断倒下，
树顶落在离树根24m 处. 大树在折断之前高多少？ 2、求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度 3、直角三角形两边长为3和4，求第三边长的平方 4、小明妈妈买了一部29英寸（74厘米）的电视机. 小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了．你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？ 想一想：观察下图，探究图中三角形的三边长是否满足222c b a =+ 基础训练: 1．为迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备召开新年晚会，小刚搬来一架高为2.5米的木梯，准备把拉花挂到2.4米的墙上，则梯脚与墙角的距离应为 米． 2．如图，小张为测量校园内池塘A ，B 两点的距离，他在池塘边选定一点 C ，使∠ABC ＝90°，并测得AC 长26m ，BC 长24m ，则A ，B 两点间的距离 为 m ． ?225 100x 17a b c a b c C B
A B 17.1.1 《勾股定理》第一课时导学案 学习目标：1、了解多种方法验证勾股定理，感受解决同一个问题方法的多样性。 2、通过实例进一步了解勾股定理，应用勾股定理进行简单的计算。 学习过程： 活动一 动手做一做 1、在右边空白处画出Rt△A B C 令∠C = 90°， 直角边A C = 3cm ，B C = 4cm ， （1）用刻度尺量出斜边A B = ________（2）计算：__________,_____,222===AB BC AC 2、探究：222,,AB BC AC 之间的关系： 活动二 毕达哥拉斯的发现 1、图中两个小正方形分别为A 、B ，大正方形为C ， 则三个正方形面积之间的关系：_______________ 2、设三个正方形围成的等腰直角三角形的直角边为a ， 斜边为c ，则图中等腰直角三角形三边长度 之间的关系：_____________________ 活动三 探索与猜想 观察下面两幅图：(每个小正方形的面积为单位1) （1）你是怎样得到正方形C 的面积的？与同伴交流一下。 （2）猜想命题：如果直角三角形的两条直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么_______________ 活动四 认识赵爽弦图 活动五 证明猜想 已知：如图，在边长为c 的正方形中，有四个两直角边分别为a 、b ， 斜边为c 全等的直角三角形， 求证： 222 a b c +=（提示：大正小正＝S S S Rt +?4） 证明：
勾股定理：直角三角形两条_______的平方和等于_____的平方 如果直角三角形的两直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么_________________ 归纳直角三角形的主要性质： 在Rt △A B C 中，∠C = 90°， （1）两锐角的关系：∠ A + ∠ B = _____° （2）斜边与直角边的关系：若∠A = 30°，则 ________________ （3）三边之间的关系：______________________ 活动六 活学活用 1、如右图，在直角三角形中， x ＝______，y ＝______ 2、下列各图中所示的正方形的面积为多少。 (注：下列各图中的三角形均为直角三角形) 3、在Rt △A B C 中，∠C = 90°, （1）若a = 2，b = 3, 则c = _______ （2）若a = 1，c = 2, 则b = _______ （3）若c = 5，b = 4, 则a = _______ 4、在一个直角三角形中, 两边长分别为3、4，则第三边的长为______________ 5、（1）在Rt △A B C 中，∠C = 90°，∠A = 30°，AB = 4， 则BC = _______, 则AC = _______ （2）在Rt △A B C 中，∠A = 90°，BC = 7，AC = 5，则 AB = _________ x 8 6 13 5 y A B C
《17.1勾股定理》导学案（1） 【学习目标】：1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。 2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。学习重点：勾股定理的内容及证明。学习难点：勾股定理的证明。学习过程 一、自学导航（课前预习）1、直角△ABC 的主要性质是：∠C=90°（用几何语言表示） （1）两锐角之间的关系： （ 2）若 D 为斜边中点，则斜边中线 （3）若∠B=30°，则∠B 的对边和斜边： 2、勾股定理证明：方法一； 如图，让学生剪4个全等的直角三角形，拼成如图图形，利用面积证明。 S 正方形＝_______________＝____________________ 方法二； 已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠ A 、∠ B 、∠ C 的对边为a 、b 、c 。求证：a 2＋b 2=c 2。分析：左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等。左边S=______________ 右边S=_______________左边和右边面积相等， 即： 化简可得 。 二、合作交流（小组互助）思考： A b
（图中每个小方格代表一个单位面积） （2）你能发现图1－1中三个正方形A ，B ，C 的面积之间有什么关系吗？图1－2中的呢？ 由此我们可以得出什么结论？可猜想： 如果直角三角形的两直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么__________________ _____________________________________________________________________。 （3）展示提升（质疑点拨） 1.在Rt △ABC 中， ，90C ∠=?（1）如果a=3，b=4，则c=________；（2）如果a=6，b=8，则c=________； （3）如果a=5，b=12，则c=________； (4) 如果a=15，b=20，则c=________.2、下列说法正确的是（ ） A.若、、是△ABC 的三边，则a b c 222 a b c +=B.若、、是Rt △ABC 的三边，则a b c 222 a b c +=C.若、、是Rt △ABC 的三边，， 则a b c 90A ∠=?2 a +D.若、、是Rt △ABC 的三边， ，则a b c 90C ∠=?2a +3、一个直角三角形中，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（ ） A ．斜边长为25 B ．三角形周长为25 C ．斜边长为5 D ．三角形面积为204、如图,三个正方形中的两个的面积S1＝25，S2＝144，则另一个的面积S3为________． 5、一个直角三角形的两边长分别为5cm 和12cm,则第三边的长为 。 三、本节课我们学习了哪些知识？用了哪些方法？ 四、达标检测 1．在Rt △ABC 中，∠C=90°， ①若a=5，b=12，则c=___________；②若a=15，c=25，则b=___________；③若c=61，b=60，则a=__________；④若a ∶b=3∶4，c=10则
勾股定理 1 勾股定理（一） 学习目标： 1. 了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的容，会用面积法证明勾股定理。 2. 利用勾股定理，已知直角三角形的两边求第三条边的长。 学习重点：探索和验证勾股定理。 学习难点：证明勾股定理。 导学流程： 一、 自主学习 前置学习： 自学指导：阅读教材第64至66页，完成下列问题。 1. 教材第64至65页思考及探究。 2. 画一个直角边为3cm 和4cm 的直角△ABC ，用刻度尺量出AB 的长。（勾3，股4，弦5）。 以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5。 再画一个两直角边为5和12的直角△ABC ，用刻度尺量AB 的长。 你是否发现23+24与25的关系，25+212和2 13的关系，即23+24_____25，25+212_____213，那么就有____2+____2=____2。(用勾、股、弦填空) 对于任意的直角三角形也有这个性质吗？ 要点感知：如果直角三角形的两直角边长分别是a 、b ， 斜边为c ，那么 ，即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的 。 二、展示成果 活动1 已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。求证：222a b c +=。 证明：如爽弦图， 思考：除此之外，还有证明勾股定理的其他办法吗？ 活动2 如果将活动1中的图中的四个直角三角形按如图所拼，又该如何证明呢？ 知识点归纳： 上述问题可视为命题1的证明 命题1如果直角三角形的两直角边长分别为a 、b ， 斜边为c ，那么 。 总结：经过证明被确认正确的命题叫 。 命题1在我国称为 ，而在西方称为 。 三、合作探究 活动3 已知在Rt △ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 是△ABC 的三边，则 （1）a = 。（已知c 、b ，求a ） （2）b = 。（已知a 、c ，求b ） （3）c = 。（已知a 、b ，求c ） 活动4 △ABC 的三边a 、b 、c ， （1）若满足222a b c +=，则∠C 是 角； （2）若满足222a b c +>，则∠C 是 角； （3）若满足222a b c +<，则∠C 是 角。 四、当堂自测 基础训练： 1. 在直角三角形ABC 中，∠C=90°，若=5a ，=12b ，则=c 。 2. 在直角三角形ABC 中，若=3a ，=5b ，则=c 。 3. 若把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的 2倍，则其斜边扩大到原来的 。 4. 在ABC ?中，90C ∠=?． b b
18.1 勾股定理（1） 学习目标： 1、了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。 2、培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。 3、介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发爱国热情，勤奋学习。 重点：勾股定理的内容及证明。 难点：勾股定理的证明。 学习过程： 一、预习新知 1、正方形边长和面积有什么数量关系？ 2、以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积和以斜边为边长的大正方形的面积之间有什么关系？ 归纳：等腰直角三角形三边之间的特殊关系。 (1)那么一般的直角三角形是否也有这样的特点呢？ (2)组织学生小组学习，在方格纸上画出一个直角边分别为3和4的直角三角形，并以其三边为边长向外作三个正方形，并分别计算其面积。 (3)通过三个正方形的面积关系，你能说明直角三角形是否具有上述结论吗？ (4)对于更一般的情形将如何验证呢？ 二、课堂展示 方法一； 如图，让学生剪4个全等的直角三角形，拼成如图图形，利用面积证明。 S正方形＝_______________＝____________________ 方法二； 已知：在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。求证：a2＋b2=c2。 c b a D C A B
a b a b c c A B C D E 以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于2 1 ab. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上. ∵ Rt ΔEAD ≌ Rt ΔCBE, ∴ ∠ADE = ∠BEC. ∵ ∠AED + ∠ADE = 90o, ∴ ∠AED + ∠BEC = 90o. ∴ ∠DEC = 180o―90o= 90o. ∴ ΔDEC 是一个等腰直角三角形， 它的面积等于 2 1c 2. 又∵ ∠DAE = 90o, ∠EBC = 90o, ∴ AD ∥BC. ∴ ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于_________________ 归纳：勾股定理的具体内容是 。 三、随堂练习 1、如图，直角△ABC 的主要性质是：∠C=90°，（用几何语言表示） ⑴两锐角之间的关系： ； (2)若∠B=30°，则∠B 的对边和斜边： ； (3)三边之间的关系： 四、课堂检测 1、在Rt △ABC 中，∠C=90° ①若a=5，b=12，则c=___________； ②若a=15，c=25，则b=___________； ③若c=61，b=60，则a=__________； ④若a ∶b=3∶4，c=10则S Rt△ABC =________。 2、已知在Rt △ABC 中，∠B=90°，a 、b 、c 是△ABC 的三边，则 ⑴c= 。（已知a 、b ，求c ） ⑵a= 。（已知b 、c ，求a ） ⑶b= 。（已知a 、c ，求b ） 3、直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为__________。 4、已知一个Rt △的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ） A 、25 B 、14 C 、7 D 、7或25 5、等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则三角形的面积为（ ） A C B D
第一章勾股定理 第1课时探索勾股定理（1） 一、三角形的边角关系： 边： 角： 引例： 二、探索直角三角形三边的特殊关系： （1）画一个直角三角形，使其两边满足下面的条件，测量第三边的长度，完成下表；（2）猜想：直角三角形的三边满足什么关系? 勾股定理： 三、利用拼图验证勾股定理： 用四个全等的直角三角形拼出图1，并思考： 1．拼成的图1中有_______个正方形，___个直角三角形。 2．图中大正方形的边长为_______，小正方形的边长为_______。 3．你能请用两种不同方法表示图1中大正方形的面积，列出一个等式，验证勾股定理吗？
四、典型例题 例1、求出下列各图中x 的值。 例2、如图所示，强大的台风使得一根旗杆在离地面9米处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处。旗杆折断之前有多高？ 例3、飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个站着不动的女孩头顶正上方4000米处，过了25秒，飞机距离女孩头顶5000米处，则飞机的飞行速度是多少？ 例4、求下图中字母所代表的正方形的面积。 x 15 17C B A
例6、直角三角形两直角边长分别为5cm ，12cm ，则斜边上的高为 . 五、知识巩固： 1．在△ABC 中，∠C=90°， （1）若BC =5，AC =12，则AB = ； （2）若BC =3，AB =5，则AC = ； （3）若BC ∶AC =3∶4，AB =10，则BC = ，AC = . 2．某农舍的大门是一个木制的矩形栅栏，它的高为2m ，宽为1.5m ，现需要在相对的顶点间用一块木棒加固，木棒的长为 . 3．若直角三角形的两直角边之比为3：4，斜边长为20㎝，则斜边上的高为 。 4．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都 是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm ， 则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为_______cm 2 . 5．一个直角三角形的两直角边长为3cm 、4cm ，斜边长为 a cm ，则以斜边为半径的圆的面积是 。 6．等腰三角形的腰长为13cm ，底边长为10cm ，则其面积为 ．
2．6探索勾股定理（2） 班级 姓名 得分 学习目标 1. 经历勾股定理逆定理折探究过程。 2. 掌握用勾股定理来判定一个三角形是直角三角形。 学习重点 勾股定理逆定理 学习难点 几何推演中的数式运算与变形 么，如果一个三角形的两边的平方和是第三边的平方，这个三角形是直角三角形吗？ 1．作四个三角形，使其边长分别为3cm ，4cm ，5cm ；6cm ，8cm ，10cm ；5cm ，12cm ，13cm ；4cm ，5cm ，8cm ； （1） 算一算较短两边的平方和是否是最长边的平方； a b c a 2+b 2与c 2的关系 最大的角 3 4 5 6 8 10 5 12 13 4 5 8 由此猜想： 【反思小结】1、哪条边所对的角是直角？ 2、如果较短的两条边的平方和不等于最长边的平方，这个三角形还是直角三角形吗？ 【类型之一】根据下列条件，判断以a ，b ，c 为边的三角形是不是直角三角形。 （1）a=7， b=24，c=25； （2）a= 31， b=41，c=5 1； （3）a ： b ：c=5：12：13。 【类型之二】在ΔABC 中，三角形的三边依次为a ，b ，c ，且a=2 2 n m -，b=2mn ，c=2 2 n m +（n m n m ,,>是正整数），ΔABC 是直角三角形吗？请说明理由。 【学习笔记】判定一个三角形是直角三角形的步骤如下:(1)首先确定最大边(2)验证另两边的平方和是不是等于最大边的平方. 【类型之三】 如图，△ABC 分别以a 、b 、c 为边向外作正方形，若S 1+S 2=S 3，请判断△ABC 的形状. 变式1:把以AB 为边的正方形向另一测作轴对称变换,如图，以△ABC 的每一条边为边作三个正方形。已知这三个正方形构成的图形中，黄色部分的面积与蓝色部分的面积相等，则△ABC 是直角三角形吗？ 变式2: △ABC 分别以a 、b 、c 为边向外作等腰直角三角形，若S 1+S 2=S 3，请判断△ABC 的形 状. G E S 3 S 2S 1 C B A A S 3 S 2 S 1C B
第一章勾股定理导学案 第1课时探索勾股定理（1） 一、学习目标：掌握勾股定理并能利用它来解决简单的实际问题。 二、预习设计： 1、三角形按角的大小可分为：、、。 2、三角形的三边关系： 三角形的任意两边之和；任意两边之差。 3、直角三角形的两个锐角； 4、在RtΔABC中，两条直角边长分别为a、b，则这个直角三角形的面积可以表示为：。 5、自学感知：探索直角三角形三边的特殊关系： （1）画一直角三角形，使其两边满足下面的条件，测量第三边的长度，完成下表； （2）猜想：直角三角形的三边满足什么关系? （3）任画一直角三角形，量出三边长度，看得到的数据是否符合你的猜想。猜想： 三、课堂探究：：
如果下图中小方格的边长是1，观察图形，完成下表，并与同学交流：你是 怎样得到的？ 思考： 每个图中正方形的面积与三角形的边长有何关系？归纳得出勾股定理。 勾股定理： 直角三角形等于； 几何语言表述：如图1.1-1，在RtΔABC中， C＝ 90°， 则：； 若BC=a，AC=b，AB=c，则上面的定理可以表示为：。 图1.1-1 课堂练习： 1、求下图中字母所代表的正方形的面积
落在离旗杆底部12米处。旗杆折断之前有多高？ 三、师生互动： 例题.在△ABC 中,AB=AC=5cm ，BC=6cm,求△ABC 的面积. C B A
四、训练达标： 基础巩固： 1．在△ABC 中，∠C=90°， （1）若BC =5，AC =12，则AB = ； （2）若BC =3，AB =5，则AC = ； （3）若BC ∶AC =3∶4，AB =10，则BC = ，AC = . （4) 若AB=8.5，AC=7.5，则BC= 。 2．某农舍的大门是一个木制的矩形栅栏，它的高为2m ，宽为1.5m ，现需要在相对的顶点间用一块木棒加固，木棒的长为 . 3．在Rt △ABC 中,∠C=90°,AC=5,AB=13,则BC= ,该直角三角形的面积为 。 4．直角三角形两直角边长分别为5cm ，12cm ，则斜边上的高为 . 5.若直角三角形的两直角边之比为3：4，斜边长为20㎝，则斜边上的高为 。 能力提升： 6.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm ，则正方 形A ，B ，C ，D 的面积之和为_______cm 2 . 7.一个直角三角形的三边长为3、4和a ，则以a 的面积是 。 8.如图，点C 是以AB 为直径的半圆上一点，∠ACB=90AC=3,BC=4,则图中阴影部分的面积是 。9．等腰三角形的腰长为13cm ，底边长为10cm ，则其 面积为 ． 10．△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12，求△ABC 的周长。 课堂检测 1．在△ABC 中，∠C ＝90°，（l ）若 a ＝5，b ＝12，则 c ＝ （2）若c ＝41，a ＝9，则b ＝ 2．等腰△ABC 的腰长AB ＝10cm ，底BC 为16cm ，则底边上的高为 ，面积为 第4题
17.1 勾股定理（1） 学习目标： 1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。 2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。 3．介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发爱国热情，勤奋学习。 重点：勾股定理的内容及证明。 难点：勾股定理的证明。 学习过程： 一.预习新知（阅读教材第64至66页，并完成预习内容。） 1正方形A、B 、C的面积有什么数量关系？ 2以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积和以斜边为边长的大正方形的面积之间有什么关系？ 归纳：等腰直角三角形三边之间的特殊关系。 A B C (1)那么一般的直角三角形是否也有这样的特点呢？ (2)组织学生小组学习，在方格纸上画出一个直角边分别为3和4的直角三角形，并以其三边为边长向外作三个正方形，并分别计算其面积。 (3)通过三个正方形的面积关系，你能说明直角三角形是否具有上述结论吗？ (4)对于更一般的情形将如何验证呢？
二.课堂展示 方法一； 如图，让学生剪4个全等的直角三角形，拼成如图图形，利用面积证明。 S 正方形＝_______________＝____________________ 方法二； 已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。 求证：a 2＋b 2=c 2。 分析：左右两边的正方形边长相等，则两个正方形 的面积相等。 左边S=______________ 右边S=_______________ 左边和右边面积相等， 即 化简可得。 方法三： 以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上. ∵ Rt ΔEAD ≌ Rt ΔCBE, ∴ ∠ADE = ∠BEC. ∵ ∠AED + ∠ADE = 90o, ∴ ∠AED + ∠BEC = 90o. ∴ ∠DEC = 180o―90o= 90o. ∴ ΔDEC 是一个等腰直角三角形， 它的面积等于 c 2. 又∵ ∠DAE = 90o, ∠EBC = 90o, ∴ AD ∥BC. ∴ ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于_________________ 归纳：勾股定理的具体内容是 。 2 12 1 b b b
第十八章勾股定理 勾股定理（1） 主备人：初审人： 终审人： 【导学目标】 1.能用几何图形的性质和代数的计算方法探索勾股定理. 2.知道直角三角形中勾、股、弦的含义，能说出勾股定理，并用式子表示. 3.能运用勾股定理理解用关直角三角形的问题. 【导学重点】 知道直角三角形中勾、股、弦的含义，能说出勾股定理，并用式子表示. 【导学难点】 用拼图的方法验证勾股定理. 【学法指导】 探究、发现. 【课前准备】 查阅有关勾股定理的文化背景资料. 【导学流程】 一、呈现目标、明确任务 1.了解勾股定理的文化背景，体验勾股定理的探索过程. 2.了解利用拼图验证勾股定理的方法. 3.利用勾股定理，已知直角三角形的两边求第三边的长. 二、检查预习、自主学习 1.动手画画、动手算算、动脑想想. 在纸上作出边长分别为: （1）3、4、5 （2）6、8、10 的直角三角形，且动笔算一下，三条边长的平方有什么样的关系，你能猜想一下吗？ 2.借图说明 (1)观察课本P64页图，思考：等腰直角三角形有什么性质吗？你是怎样得到的？它们满足上面的结论吗？
(2)在P65页图中的三个直角三角形中，是否仍满足这样的关系？若能，试说明你是如何求出正方形的面积？ 3.有什么结论？ 三、问题导学、展示交流 阅读P65页用拼图法证明勾股定理的内容，弄懂面积关系. 四、点拨升华、当堂达标 1.探究P66页“探究1”. 在Rt△ABC中，根据勾股定理AC2 = 2+ 2因 为 AC=5≈2.236，因此AC木板宽，所以木板 从门框内通过. 2.讨论《配套练习》P24页选择填空题. 五、布置预习 预习“探究2”，完成P68页的练习. 【教后反思】 勾股定理（2） 主备人：初审人： 终审人： 【导学目标】 1.能运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题. 2.通过例题的分析与解决，感受勾股定理在实际生活中的应用. 【导学重点】 运用勾股定理解决实际问题. 【导学难点】 勾股定理的灵活运用. 【学法指导】 观察、归纳、猜想. 【课前准备】 数轴的知识 【导学流程】 一、呈现目标、明确任务 1.能运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题. 2.通过例题的分析与解决，感受勾股定理在实际生活中的应用.
第一章勾股定理 1．探索勾股定理（一） 吉安市思源实验学校 学习目标 1、了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。 2、培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。 重点难点： 重点：勾股定理的简单计算和实际运用。 难点：勾股定理的证明。 教法学法 1.教学方法：引导—探究—发现法． 2.学习方法：自主探究与合作交流相结合． 第一环节：自主学习 一、学习准备（2分钟） 1、直角三角形两锐角的关系：直角三角形的两锐角。 2、三角形任意两边之和第三边，三角形任意两边之差第三边。 3、在RtΔABC中，两条直角边长分别为a、b，则这个直角三角形的面积可以表示为：。 4.写出平方差公式完全平方公式 5.阅读教材：第1节探索勾股定理（书本p2面） 二、合作探究（10分钟） 1.自学感知：探索直角三角形三边的特殊关系： （1）画一直角三角形，使其两边满足下面的条件，测量第三边的长度，完成下表；
（3）任画一直角三角形，量出三边长度，看得到的数据是否符合你的猜想。 猜想： 2.小组探究（15分钟） 如果下图中小方格的边长是1，观察图形，完成下表，并与同学交流：你是怎样得到的？ 归纳小结：1.勾股定理： 直角三角形两直角边的 等于斜边的．(古代把直角三角形中较短的直角 边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦) 2、几何语言表述：如图1.1-1，在Rt ΔABC 中， C ＝90°， 若BC=a ，AC=b ，AB=c ，则上面的定理可以表示为： 3.实践练习： 1.求下图中字母所代表的正方形的面积 2.求出下列各图中x 的值。 3.下列说法正确的是（ ） A.若a 、b 、c 是△ABC 的三边，则a 2+b 2=c 2； B.若a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边，则a 2+b 2=c 2； C.若a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边，∠A=90°，则a 2+b 2=c 2； D.若a Rt △ABC 的三边，∠C=90°，则a 2+b 2=c 2. 意图：小组合作意在让学生进一步发现直角三角形三边关系，得到勾股定理.效果：1．让学生归纳表述结论，可培养学生的抽象概括能力及语言表达能力. 2．通过作图培养学生的动手实践能力. 第三环节：展示交流（15分钟） 1.在△ABC 中，∠C=90°， （1）若BC =5，AC =12，则AB =； （2）若BC =3，AB =5，则AC =； （3）若BC ∶AC =3∶4，AB =10，则BC =，AC =. 2．在Rt △ABC 中,∠C=90°,AC=5,AB=13,则BC=,该直角三角形的面积为。 3.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，
课题：18.1勾股定理（第1课时） 一、学习目标 1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。 2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。 3．介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。 二、重点：勾股定理的内容及证明。 难点：勾股定理的证明。 三、学习准备： 预习课本P22———24页 四、课堂阅读 1. 目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地 球上人类的语言、音乐、各种图形等。我国数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种语言的。这个事实可以说明勾股定理的重大意义。尤其是在两千年前，是非常了不起的成就。 2.让学生画一个直角边为3cm 和4cm 的直角△ABC ，用刻度尺量出AB 的长。 以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5。 再画一个两直角边为5和12的直角△ABC ，用刻度尺量AB 的长。 你是否发现32+42与52的关系，52+122和132的关系，即＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，那么就有 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 对于任意的直角三角形也有这个性质吗？ 五、例习题分析 例1（补充）已知：在△ABC 中，∠C=90°， ∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。 求证：a 2＋b 2=c 2。 分析：⑴让学生准备多个三角形模型，最好是有颜色的吹塑纸，让学生拼摆不同的形状，利用面积相等进行证明。 ⑵拼成如图所示，其等量关系为：4S △+S 小正=S 大正 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ⑶发挥学生的想象能力拼出不同的图形，进行证明。 ⑷ 勾股定理的证明方法，达300余种。这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。 例2已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。 求证：a 2＋b 2=c 2。 分析：左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等。 A B b b
1.1、探索勾股定理（一）学案 一、教学目标 用数格子（或割、补、拼等）的办法体验勾股定理的探索过程并理解勾股定理反映的直角三角形的三边之间的数量关系，会初步运用勾股定理进行简单的计算和实际运用． 重点：了解勾股定理的由来并能用它解决一些简单问题。 难点：勾股定理的发现。 二、知识回顾∶我们学过的三角形有哪些 1.三角形的三边关系：三角形的两边之和______第三边。 2.等腰三角形的边关系 3.等边三角形的边关系 4.直角三角形有什么特点 三、探究活动：（1）能发现各图中三个正方形的面积之间有何关系吗？ 结论1： （2）观察下面两幅图： （2）填表： （3）你是怎样得到正方形C 的面积的？与同伴交流．
结论2 （4）如果直角三角形的两直角边为a 、b ，斜边为c ，用直角三角形的边长来表示上图中正方形的面积 （5）分别以5厘米、12厘米为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度．2中发现的规律对这个三角形仍然成立吗？分别以3厘米、4厘米为直角边作出一个直角三角形呢？ 四、勾股定理的简单应用 1、 如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面10m 处折断倒下， 树顶落在离树根24m 处. 大树在折断之前高多少？ 2、 求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度 3、直角三角形两边长为3和4，求第三边长的平方 4、小明妈妈买了一部29英寸（74厘米）的电视机. 小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了．你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？ 想一想：观察下图，探究图中三角形的三边长是否满足222c b a =+ ?225 100x 17a b c a b c
八上第一章《勾股定理》导学案 第一课时 探索勾股定理 （1） 【学习目标】 1、经历用数格子的办法探索勾股定理的过程，进一步发展学生的合情推力意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系。 2、探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系，进一步发展学生的说理和简单的推理的意识及能力。 3、【学习重点】了结勾股定理的由来，并能用它来解决一些简单的问题。 【学前准备】1、画一个直角三角形并测量三边的长。2、准备一张坐标纸 【自学探究】 阅读课本2-5页回答下列问题 1、 直角三角形的两条直角边的长度分别为a=3㎝， b=4㎝和a=6㎝，b=8㎝。 ①请你量出斜边c 的长度。 （1） （2） ②进行有关的计算：(1)a 2+b 2= c 2= (2) a 2+b 2= c 2= ③得出结论： 2、思考： 6cm
（图中每个小方格代表一个单位面积） （2）你能发现图1－1中三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系吗？图1－2中的呢？（3）你能发现图1－1中三个正方形A，B，C围成的直角三角形三边的关系吗？ （4）你能发现课本图1－3中三个正方形A，B，C围成的直角三角形三边的关系吗？ (5)如果直角三角形的两直角边分别为1.6个单位长度和2.4个长度单位，上面所猜想的数量关系还成立吗？说明你的理由。 预习后你还有什么问题？最想和大家讨论交流的问题是什么？ 【合作交流】 勾股定理： 例题：P2引例 【随堂练习】 1、P3随堂练习1、2 【巩固练习】 1．在△ABC中，∠C＝90°，（l）若 a＝5，b＝12，则 c＝（2）若c＝41，a＝9，则b＝ 2．等腰△ABC的腰长AB＝10cm，底BC为16cm，则底边上的高为，面积为。3．△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长为（） A．42 B．32 C．42或 32 D．37 或 33 4．一个长方体抽斗的长为24cm，宽为7cm，在抽斗里放铁条，铁条最长能是多少？
勾股定理导学案第一课时 学习目标： 1．经历勾股定理的探索过程，能熟记定理的内容. 2．能运用勾股定理由直角三角形的已知两边求第三边. 3．能运用勾股定理解一些简单的实际问题. 重点：勾股定理的探索和应用. 难点：勾股定理的探索. 学习过程： 一、知识回顾（用学过的知识完成下列填空） ①含有一个 的三角形叫做直角三角形. ②已知R t △ABC 中的两条直角边长分别为a 、b ,则S △ABC ＝ . ③已知梯形上下两底分别为a 和b ，高为（a ＋b ），则该梯形的面积为 . ④完全平方公式：（a ±b ）2＝ . ⑤在R t △ABC 中，已知∠A ＝30°，∠C ＝90°，直角边BC ＝1，则斜边AB ＝ . 二、自学交流 活动一 动手做一做 1、在右边空白处画出Rt△A B C 令∠C = 90°， 直角边A C = 3cm ，B C = 4cm ， （1）用刻度尺量出斜边A B = ________ （2）计算：__________,_____,222===AB BC AC 2、探究：2 2 2 ,,AB BC AC 之间的关系：________________ 活动二 毕达哥拉斯的发现 1、 图中两个小正方形分别为A 、B ，大正方形为C ， 则三个正方形面积之间的关系：_______________ 2、 设三个正方形围成的等腰直角三角形的直角边为a ， 斜边为c ，则图中等腰直角三角形三边长度 之间的关系：_____________________ 3.（1）能发现各图中三个正方形的面积之间有何关系吗？ 结论1： （2）观察右边两幅图，填表。
b a C A B 四、当堂检测 1、在Rt △ABC 中，∠C=90°， ①若a=5，b=12，则c=___________；②若a=15，c=25，则b=___________； ③若c=61，b=60，则a=__________；④若a ∶b=3∶4，c=10则S Rt△ABC =________。 2、一直角三角形的一直角边长为6，斜边长比另一直角边长大2，则斜边的长为 。 3、一个直角三角形中，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（ ） A ．斜边长为25 B ．三角形周长为25 C ．斜边长为5 D ．三角形面积为20 4、已知，如图在ΔABC 中，AB=BC=CA=2cm ，AD 是边BC 上的高． 求 ①AD 的长；②ΔABC 的面积． A 的面积 B 的面积 C 的面积 左图 右图 （3）你是怎样得到正方形C 的面积的？与同伴交流． 3.猜想命题：如果直角三角形的两条直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么 。 活动四 认识赵爽弦图 活动五 证明猜想 已知：如图，在边长为c 的正方形中，有四个 两直角边分别为a 、b ，斜边为c 全等的直角三角形， 求证： 2 2 2 a b c +=（提示：大正小正＝S S S Rt +?4） 证明： 3.证法积累：利用下图，模仿上述推导，能否得到相同的结果？ 在我国古代，人们将直角三角形中_____________叫做勾，______________叫做股，_______叫做弦. 勾股定理：直角三角形两条_______的平方和等于_____的平方 如果直角三角形的两直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么_________________ b b c c c c a a a a b b b b a a c a c c a a D B b b b b c c c c a a a b b a c c a a